a) skalaariprojektio ja b) vektoriprojektio pisteestä (2,3,-1) pisteeseen (-2,-4,3) ulottuvan vektorin suuntaan.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "a) skalaariprojektio ja b) vektoriprojektio pisteestä (2,3,-1) pisteeseen (-2,-4,3) ulottuvan vektorin suuntaan."

Transkriptio

1 766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 37 Harjoitus Palautus viimeistää ti 9 O aettu kolme ( y-taso, ) pistettä: = (, - ), B = (-,3) ja C = (,) Esitä alla luetellut vektorit katavektoreide î ja ĵ lieaarikombiaatioia: uuur a) B, b) uuur BC, uuur c) C, uuur uuur d) B + BC, uuur uuur e) C -3CB uuur, f) Vektori B suutaa osoittava yksikkövektori Suora joki virtaa läestä itää Vede virtausvauhti o 3 km/h Soutuvauhtisi tyyessä vedessä o 5 km/h Mihi suutaa siu o soudettava, jotta pääsisit suoraa joe yli etelästä pohjoisee Kuika kaua soutumatka kestää, ku joe leveys o 5 metriä? 3 Laske vektori = 4ˆi- 3ˆj+ kˆ a) skalaariprojektio ja b) vektoriprojektio pisteestä (,3,-) pisteesee (-,-4,3) ulottuva vektori suutaa 4 Laske ristitulot a) ˆj (3ˆi-4 k ˆ) ja b) ( ˆi+ ˆj- kˆ) (3ˆi- ˆj+ 4 k ˆ) 5 Määritä luku a site, että vektorit = ˆi+ ˆj-3k, ˆ B= 5ˆi- 3ˆj+ k ˆ ja C= ˆi- 5ˆj+ ak ˆ ovat samassa tasossa Ratkaise tehtävä kahdella eri tavalla seuraavie ohjeide mukaa: a) Vektorit ja B virittävät taso ja kolmas vektori C o tässä tasossa, jos se voidaa kirjoittaa : ja B: lieaarikombiaatioa, ts muodossa C= a+ bb, missä a ja b ovat vakioita b) Vektorit ja B virittävät taso ja ristitulovektori B o tasoa vastaa kohtisuorassa ja site myös vektoria C vastaa kohtisuorassa 6 Kolme pistettä P = (,, ), Q = (,,) ja R = (3,, - ) sijaitsevat tasolla a) Etsi yksikkövektori ˆ, joka o kohtisuorassa vektoreita uuur uuur PQ ja PR vastaa ja site myös kohtisuorassa tasoa vastaa b) Määritä taso yhtälö käyttäe ormaalivektoria ˆ, pistettä P ja vektoria r = iˆ+ yˆj+ zk, ˆ joka kärki sijaitsee tasolla

2 766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 38 Harjoitus Palautus viimeistää ti 79 Laske raja-arvo tai selitä miksi sitä ei ole olemassa: - t - a) lim( - 4+ ), b) lim, c) lim 4 - t t - t+, d) lim Ovatko fuktiot ì, ku ì, ku a) f( ) =í ja b) f( ) =í î-, ku > î-, ku > derivoituvia kohdassa = Jos o, ii laske derivaata arvo 3 Laske fuktioide a) f( ) = / ja b) f ( ) = derivaatat lähtie määritelmästä f( +D) - f( ) lim D D 4 Osoita käyttäe biomikehitelmää ja derivaata määritelmää, että yleisesti pätee D - = 5 Kuu pialta suoraa ylöspäi heitetty kivi o hetkellä t (sekuteia lähtöhetkestä) korkeudella h (metreiä) h( t) = + t-,8t Laske kive keskiopeus aikavälillä t = s 3 s ja edellee hetkellie opeus ajahetkellä t = s 6 Derivoi a) 3 ( )( ) + -, b) +, c) si 3+ si 3

3 766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 39 Harjoitus 3 HUOM! Viimeie äyttö to 99 Putkessa virtaava estee virtaamisopeus F (litraa miuutissa) o verraollie putke sätee eljätee potessii 4 F = kr, missä k o verraollisuuskerroi rvioi derivaata avulla mikä sätee prosetuaalie kasvu tarvitaa, jotta virtaamisopeus kasvaisi % rvioi derivaata avulla arvo lausekkeelle -, missä 5 5 ( + ) Vihje Kirjoita f( ) / 5 =, jolloi 3 = 3 3 D f = f( + ) - f( )» f '( ) D o haettu arvo 3 Lampaalle erotetaa aveta seiämältä mahdollisimma suuri suorakulmio muotoie alue, joka kolme sivu aitaamisee o käytettävissä 6 m aitaa Laske aluee sivuje pituudet ja pita-ala 4 Laske raja-arvot a) si3 lim si, b) e ( ) lim - + æ a ö, c) lim l ç + è ø 5 Johtime resistassi R o suoraa verraollie johtime pituutee l ja käätäe verraollie johtime sätee eliöö r, ts l R = k, r missä k o verraollisuuskerroi Jos pituude mittaukse suhteelliseksi tarkkuudeksi arvioidaa 5 % ja sätee mittaukse suhteelliseksi tarkkuudeksi %, ii arvioi resistassi suhteellie tarkkuus huooimmassa mahdollisessa tapauksessa O siis arvioitava suhteellise virhee yläraja 6 a) Muodosta implisiittisesti derivaatta dy / d yhtälöstä y = b) Piirrä (, y)-koordiaatistoo käyrä y = ja laske tageti kulmakerroi iissä käyrä pisteissä, missä = c) Mitä tapahtuu siiä käyrä pisteessä, missä =?

4 766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 4 Harjoitus 4 Viimeie äyttöpäivä ti a) Laske käyrie y = f( ) = ja y = g( ) = 3+ rajoittama suljetu aluee pita-ala b) Laske käyrie y = si ja y = cos välii jäävä pita-ala, ku p Määritä fuktio f( ) = se itegraalifuktio, joka paikallie maksimiarvo o 3 3 Fuktio f( ) keskiarvo f välillä [ ab, ] määritellää itegraalia b f = f ( ) d b - a ò a) Määritä fuktio f( ) = keskiarvo välillä [, 5] b) Määritä fuktio f( ) cos = keskiarvo välillä [, ] Hahmottele vielä molemmissa tapauksissa samaa kuvaa f( ) ja f aetulla välillä a p 4 Laske itegraalifuktiot 3 a) ò cos(5- )d b) ò cossi d c) ò d, d) + e d ò (osittaisitegroiilla) e) ò sid (osittaisitegroiilla) 5 Laske määrätyt itergraalit a) 3 - d ò (sijoitus t = - ) b) e si( p l ) ò d (sijoitus u = p l ) 6 Johda geometrise sarja osasummalle tulos - k q S = åaq = a + aq + aq + aq + K + aq = a k= -q Vihje: Kerro sarja q :lla ja väheä alkuperäie sarja äi saadusta sarjasta

5 766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 4 Harjoitus 5 Viimeie äyttö ti 8 Millä : arvoilla sarjat a) 5 å, b)! = å ja c) = + ( -) - å (-) suppeevat? = Taylori sarja (katso moiste s 7) a) Derivoi fuktio f( ) =åa kolme kertaa ja päättele tuloksista, että k:s derivaatta o = ( k ) -k f ( ) = åa( -) L ( - k + ) = k Varmista, että ymmärrät miksi sarja alkaa vasta arvosta = k ( k b) Selvitä itsellesi, miksi arvolla = derivaatasta f ) () vai esimmäie termi ( = k) o ollasta poikkeava ja laske se jälkee tulos ( k f ) () ak= k! 3 Kehitä f( ) = e - Taylori sarjaksi ja määritä sarja suppeemissäde 4 Kirjoita fuktio f( ) = si Taylori sarja ( ) f ( a) f( ) = å ( -a) =! kolme esimmäistä ollasta poikkeavaa termiä, ku sarja o kehitetty a) pistee a = ympäristössä ja b) pistee a = p / ympäristössä c) Laske laskimella si(3 p / 8) : arvo ja tutki sitte kumpi edellä esitetyistä sarjoista suppeee opeammi kohti oikeaa arvo Selitä tulos Käytä sarjoje kolmea esimmäistä termiä 5 Nopeudella v liikkuva kappalee relativistie kieettie eergia o muotoa mc Eki = -mc, -b missä m o kappalee lepomassa ja b =v / c ja c o valo opeus Osoita, että pieillä opeuksilla ( v << c ) kieettie eergia saa klassillise muotosa Eki = mv / Vihje: Kehitä (- b ) - sarjaksi (tai etsi sarja jostaki) ja katkaise se sopivasta kohdasta 6 Laske raja-arvo Vihje: e = å, =! 3 ( e - )l( + ) lim ( cos3) - - (-) l( + ) =å ja = sarjakehitelmie avulla (-) cos = å ( )! =

6 766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 4 Harjoitus 6 HUOM! Viimeie äyttö to a) Osoita suhdetestillä, että sarja 5+ 3i b) Laske - i ( + i) å suppeee = Kirjoita kompleksilukuje a) - i ja b) - + 3i apakoordiaattiesitykset ja äytä lukuje paikat kompleksitasossa 3 Esitä ( ) i muodossa a bi i Ohje: Käytä esitysmuotoa + i = z = re f ja laske 5 z 4 Laske kolmaet juuret luvuille a) - ja b) - 8i Näytä myös juurte paikat kompleksitasossa 5 a) Laske kompleksiluvu -5-8i eliöjuuret ja esitä tulokset muodossa + iy Ohje: Ratkaise ja y yhtälöstä ( ) iy = - - i b) Ratkaise yhtälö z + (i- 3) z+ 5- i= Ohje: Käytä a-kohda tulosta d 6 a) Osoita, että si z = cos z Vihje: käytä si z : ja cos z : määritelmiä sivulla 93 dz æp ö b) Laske siç + i l : arvo è ø

7 766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 43 Harjoitus 7 Viimeie äyttö ke Vaha välikoetehtävä Tarkastellaa differetiaaliyhtälöä y'' -( - ) y' + ( - y ) = a) Mikä o yhtälö kertaluku ja mikä o yhtälössä riippumato muuttuja? Perustele b) Oko yhtälö lieaarie differetiaaliyhtälö? Perustele c) Osoita, että y = ratkaisee yhtälö Määrääkö + y = 4 yhtälö d y d = ratkaisu implisiittisesti? y 3 Ratkaise separoituvat differetiaaliyhtälöt dy - d a) = ja b) 3t d y dt = Piirrä lisäksi ( t-koordiaatisto, ) se b-kohda yhtälö ratkaisu, joka kulkee pistee ( t=, ) (,) kautta (piirrä kuvaaja esim välillä t Î- [,] ) 4 a) Vaha välikoetehtävä Osoita, että differetiaaliyhtälö (y + 3) d + ( - ) dy = o eksakti ja etsi ratkaisut Osoita edellee, että saamasi ratkaisut ovat todellaki yhtälö ratkaisuja t t t b) Ratkaise alkuarvoprobleema ( e y + te y) dt + ( te + ) dy =, ku y () =-, sekä separoituvaa että eksaktia yhtälöä 5 Piei sadepisara (sumupisara), joka massa o m, putoaa kohti maata vetovoima mg alaisuudessa Pisara opeus ei kasva kovi suureksi putoamise aikaa, jote siihe kohdistuva ilma vastus o verraollie opeutee ja kirjoitettavissa muodossa -kv, missä k o verraollisuuskerroi Pisara liikeyhtälö saa muodo dv ma = F Û m = mg -kv dt Halkaisijaltaa, mm olevalle pisaralle o kokeellisesti määritetty arvo k/ m» 3 s - Käytetää laskuissa maa vetovoima kiihtyvyydelle arvoa g» ms - a) Ratkaise liikeyhtälö olettamalla, että pisara syyttyää aloittaa putoamise levosta, ts alkuehdolla v ( t = ) = b) Kasvava ilma vastukse vaikutuksesta pisara kiihtyvyys pieeee ja lopulta pisara saavuttaa vakioopeude eli s rajaopeude Laske tämä rajaopeus c) Kuika pitkä aja kuluttua lähdöstä pisara o saavuttaut 99% rajaopeudesta 6 Etsi yleiset ratkaisut differetiaaliyhtälöille dy y dy 3 a) = + + ja b) y e d d - =

8 766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 44 Harjoitus 8 Viimeie äyttö ke 6 Osoita, että differetiaaliyhtälö dy + y = d y+ y o homogeeie ja ratkaise yhtälö a) Ratkaise alkuarvoprobleema y'' -4 y' - 5y =, ku y( - ) = 3 ja y '(- ) = 9 b) Etsi yleie ratkaisut yhtälölle y'' - y' + 3y = b) Etsi yleie ratkaisut yhtälölle y'' + y' + 5y = 3 Vaha välikoetehtävä Tarkastellaa toise kertaluvu täydellistä yhtälöä y'' + y' - y = si a) Etsi vastaava homogeeise yhtälö yleie ratkaisu b) Etsi täydellise yhtälö yksittäisratkaisu c) Kirjoita täydellise yhtälö yleie ratkaisu 4 a) Etsi yleie ratkaisu yhtälölle y'' - y =- + Vihje: g( ) = p ( ) = a+ b t t b) Ratkaise differetiaaliyhtälö ''- 4 ' + 4 = te Vihje: Kokeile yritettä y() t = hte () p r 5 Origosta alkuopeudella v = v ˆ ˆ ˆ i+ vy j+ v zk heitety kappalee radiusvektori r() t o muotoa r() t = - gt kˆ + v r t, missä g = m/s o maa vetovoima kiihtyvyys Olkoot alkuopeude kompoetit v 5 m/s, v 5 m/s ja v m/s = y = a) Osoita, että SI-yksiköissä kappalee letorata (radiusvektori) o ˆ ˆ r( t) = 5ti+ 5t j+ 5(4 t -t ) k ˆ b) Laske kappalee opeus ja vauhti ajahetkellä t = 3 s c) Millä aja hetkellä kappale o lakikorkeudessa? d) Määritä letorada tagettivektori T Mikä o tagettivektori yksikkö? e) Mihi suutaa kappale letää lakikorkeudessaa? Esitä tulos tagettivektori avulla f) Mihi suutaa kappale letää sillä hetkellä, ku se osuu maaha Oletetaa, että maa pita o y-taso (ks kuva yllä) z = 6 Laske käyrä y = kaarevuussäde ja pääormaali pisteessä = Ohje: Käyrä piirtää vektori r( ) = ˆi+ ˆj

9 766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 46 Harjoitus 9 Viimeie äyttö to 7 Tärkeä tulos mekaiikassa a) Hiukkase edetessä pitki avaruuskäyrää se kiihtyvyys a voidaa jakaa tageti suutaisee kompoettii ja rada ormaali suutaisee kompoettii Osoita, että d a= v v T+ N, dt r missäv o vauhti, T käyrä yksikkötagetti, N käyrä pääormaali ja r käyrä kaarevuussäde Ohjeita: Nopeus o aia rada tageti suutaie, jote voidaa kirjoittaa v= v T Laske tästä kiihtyvyys derivoimalla (huom tulo derivoiti) Lisäksi tarvitset : k N = dt/ ds = ( dt/ dt)/ dr / dt, missä dr / dt = v b) R -säteistä ympyrärataa kulmaopeudella w kiertävä kappalee radiusvektori o r = Rcos( w ˆ ˆ t) i+ Rsi( wt) j Laske kiihtyvyyde tageti ja ormaali suutaiset kompoetit Kimalaie lähtee pesästää spiraaliradalle, jossa se apakoordiaatit ovat ìr() t = be kt í, îf () t = ct missä b, k ja c ovat positiivisia vakioita Kirjoita esi kimalaise radiusvektori r() t = ˆi+ yˆj apakoordiaatistossa ja laske siitä sitte opeusvektori v() t = r& () t 3 O aettu skalaarikettä f = z- y a) Laske ketä gradietti pisteessä (,3, ) b) Laske pisteessä (,3, ) ketä suuattu derivaatta siihe suutaa, jossa derivaatta saa suurimma arvosa 4 Maasto pia korkeus (, y) -koordiaateissa o zy (, ) = y a) Kirjoita maasto pia yhtälö tasa-arvopitaa f (, y, z) = C b) Mihi suutaa maasto pia ormaali osoittaa pisteessä (3,) c) Missä pisteessä ormaali osoittaa suoraa ylöspäi ja mikä o maasto korkeus kyseisessä pisteessä? 5 Fuktio f(, y) = + y kuvaa ylöspäi avautuvaa paraboloidia a) Laske gradietti pisteessä (,- ) b) Kirjoita fuktio apakoordiaattie avulla ja laske siitä gradietti samassa pisteessä kui a-kohdassa c) Totea, että b-kohda tulos o sama kui a-kohda tulos 6 Kuvataa vede virtausopeutta vektoriketällä V(, y) = ( + y -3y- ) ˆi+ (3+ 3) ˆj a) Missä pisteessä virtausopeus o olla? b) Mihi suutaa (myötä- vai vastapäivää) vesimassa kiertyy kyseiste pisteide ympäristössä? Ohje: Ku oikea käde peukalo asetetaa roottori suutaa, ii sormet kiertyvät siihe suutaa mihi vektorit pyrkivät kiertymää

10 766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 47 Harjoitus Viimeie äyttö ke 3 ˆ ˆ ˆ O aettu vektorifuktio R( u) = (- u) i+ 3u j-3k Etsi se itegraalifuktio ò R ( u) du, joka parametri u arvolla u = o z-akseli suutaie yksikkövektori Laske polkuitegraali ò F d r C vektoriketässä F(, y) = y ˆi+ y ˆj pisteestä (,) pisteesee (,) pitki a) suoraa y =, b) käyrää y = ja c) koordiaattiakseleide suutaisesti esi (,) (,) ja sitte (,) (,) 3 Laske vektorifuktio F = (y + 3) ˆi+ z ˆj+ ( yz -) k ˆ polkuitegraali ò F d r C pisteestä (,,) pisteesee (,, ) pitki seuraavia polkuja: 3 a) = t, y = t ja z = t, pisteestä t = pisteesee t = b) koordiaattiakseleide suutaisesti reittiä (,,) (,,) (,,) (,, ) 4 Laske itegraali dy - yd I = òc + y pisteestä (-,) pisteesee (,) pitki kuvassa esitettyä puoliympyrää Vihje: Käytä apakoordiaatteja 5 Kappale liikkuu voimaketässä 3 ˆ ˆ F = ( y cos + z ) i+ ( y si - 4) j+ (3z + ) k ˆ a) Osoita, että kettä o koservatiivie b) Etsi kettää vastaava skalaaripotetiaali c) Laske työ, joka tehdää siirrettäessä kappaletta voimaketässä pisteestä (,, - ) pisteesee ( p /, -, ) 6 a) Lähellä maa pitaa massaa m kohdistuva gravitaatiovoima kirjoitetaa muodossa F =-mg k ˆ Osoita, että voima o koservatiivie ja laske skalaaripotetiaali f eli s gravitaatiopotetiaali, joka ataa ketä muodossa F = -Ñf b) Kaukaa maa piasta massaa m kohdistuva gravitaatiovoima kirjoitetaa muodossa C F =- e ˆ r, r missä C o vakio ja r etäisyys maa keskipisteestä Osoita, että voima o koservatiivie ja laske gravitaatiopotetiaali y, joka ataa ketä muodossa F = -Ñy

11 766P Fysiika matematiikkaa sl 6, viikko 48 Harjoitus Viimeie äyttö to lue o rajattu y-tasoo y-akseli ja suorie y = -4ja y = + välii luee pitaala saadaa laskemalla itegraali = d = ddy òò òò a) Hahmottele alue ja perustele itegroimisrajat : 6 ja y: (- 4) ( + ) b) Laske aluee pita-ala Laske tehtävä aluee massakeskipistee koordiaatit CM = d òò ja ycm = òò 3 Tarkastellaa R-säteistä origokeskistä palloa Käytetää pallokoordiaatistoa a) Osoita, että pallo pialla ifiitesimaalie pita-alkio o d= R siqdq df ja laske pallo pita-ala b) Osoita, että pallo sisällä tilavuusalkio o dv = r siq dr dq df ja laske pallo tilavuus 4 Käyttäe vektorikettä F = ˆi+ yˆj+ 3z k ˆ testaa Gaussi lausetta laskemalla tilavuusitegraali òòò Ñ F dv ja pitaitegraali d V ku tilavuutea o särmiö muotoie tilavuus = [,], y = [,] ja z = [, ] 5 O aettu vektorikettä F = ( - y ) ˆi+ y ˆj ja tarkastellaa y-tasossa suorakaidetta, jota rajoittavat suorat =, = a, y = ja y= b Vahvista laskemalla yd òò F òò Ñ F d ja että tässä tapauksessa Stokesi lause toteutuu Ñ ò F d r, C 6 Sovella Greei lausetta valioilla M = ja N = / Saat itegraali òò ddy arvolle polkutegraali, joka o helppo laskea Laske tulokse avulla kolmio massakeskipistee koordiaatit (ks tehtävä ), ku kolmio kärjet ovat pisteissä (,), (, 3) ja (3,)

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)

xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x) BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

FYSIIKAN MATEMATIIKKAA

FYSIIKAN MATEMATIIKKAA 766P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alako Oulu yliopisto, Fysiika laitos, Syksy 6 Perustuu: Robert A. Adams, Calculus - A Complete Course P. Pietilä, palsta.pdf - moiste, 3 Sisältö DIFFERENTIAALILASKENTAA.................................

Lisätiedot

763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Kertaustehtäviä 1. välikokeeseen, sl 2008

763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Kertaustehtäviä 1. välikokeeseen, sl 2008 76P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Krtausthtäviä. välikoks, sl 8 Näitä laskuja i laskta laskupäivissä ikä äistä saa laskuharjoituspistitä. Laskut o tarkoitttu laskttaviksi alkutuutoroitiryhmissä, itsks, kavriporukalla

Lisätiedot

1 Eksponenttifunktion määritelmä

1 Eksponenttifunktion määritelmä Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3

LIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3 LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike 2015-09-14 13:50:32 1/40 luentokalvot_03_combined.pdf (#36) Luennon

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike

Luento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

RATKAISUOHJEET Harjoitus 1

RATKAISUOHJEET Harjoitus 1 RATKAISUOHJEET Hajoitus Vektoi -kompoeti ( î : ketoime) saat, ku väheät loppupistee -koodiaatista alkupistee -koodiaati Samalla peiaatteella tulee y- ja mahdollie z-kompoetti uuu a) Vektoi AB loppupiste

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla:

ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla: 10 a) Valo opeus levyssä o vakio v 0 = c / 0, jote ajaksi matkalla L laskemme L t0 = = 0 L. v0 c b) Valo opeus levyssä riippuu z:sta: c c v ( z) = = ( z ) 0 (1 + 3az 3 ) ja läpäisyaika lasketaa (esim)

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike

Luento 5: Käyräviivainen liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvassa leppäkerttu istuu karusellissa,

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1

infoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1 infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?

Lisätiedot

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p

3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

j = I A = 108 A m 2. (1) u kg m m 3, (2) v =

j = I A = 108 A m 2. (1) u kg m m 3, (2) v = 764A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 6 Kevät 28. Tehtävä: Aiemmi olemme laskeeet kupari johtavuuselektroie tiheydeksi 8.5 28 m. Kuparijohdossa, joka poikkipita-ala o mm 2, kulkee A: virta. Arvioi Drude

Lisätiedot

Luento 5: Käyräviivainen liike

Luento 5: Käyräviivainen liike Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 http://presemo.aalto.fi/mekaniikka2017 Kysymys Sotalaivasta

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

Luento 3: Käyräviivainen liike

Luento 3: Käyräviivainen liike Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa

Lisätiedot

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia.

Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s001.doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia. Pitkä matematiikka Suullinen kuulustelu (ma00s00doc) Tehtävät, jotka on merkitty (V), ovat vaativia Yleistä Ratkaise yhtälöt n n n n n 5 a) 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 5 b) ( ) ( ) > 0 + = + c) ( ) Suureet ja

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1 BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut

Laajennetaan lukualuetta lisäämällä murtoluvut 91 5 KOMPLEKSILUVUT 5.1 LUKUALUEEN LAAJENNUS Luoolliset luvut N : 1,, 3,... Määritelty - yhteelasku ab N, ku a, b N - kertolasku ab N, ku a, b N Kysymys: Löytyykö aia sellaie x N, että ax b, ku a, b N

Lisätiedot

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7

A Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7 1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ

Lisätiedot

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =

2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x = TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii

Lisätiedot

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti

Ristitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti 14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

dx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx

dx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 5 Kevät 2014 1. Tehtävä: Johda luetomateriaali kaavat d 2 u i k du 2 m + Uxu = E k 2 u p = k + u x i d ux. Ratkaisu: Oletetaa, että ψx = e ikx ux, missä ux +

Lisätiedot

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että

Lisätiedot

Laaja matematiikka 2 Kertaustehtäviä Viikko 17/ 2005

Laaja matematiikka 2 Kertaustehtäviä Viikko 17/ 2005 7303045 Laaja matematiikka Kertaustehtäviä Viikko 7/ 005 Tehtävät ovat Laaja matematiikka : ja : alueelta olevia etisiä välikoe- ja tettitehtäviä. Alkupää tehtävät liittyvät yleesä kurssii ja loppupää

Lisätiedot

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

BM20A Integraalimuunnokset Harjoitus 8

BM20A Integraalimuunnokset Harjoitus 8 (b)...(d) eve + eve = eve eve eve = eve BM2A57 - Itegraalimuuokset Harjoitus 8. Vastaa jokaisessa kohdassa seuraavii kysymyksii: Oko fuktio parillie? Oko fuktio parito? Huomaatko polyomie kohdalla hyvi

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r

Derivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.

Lisätiedot

3 Määrätty integraali

3 Määrätty integraali Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

N:n kappaleen systeemi

N:n kappaleen systeemi : kappalee ssteemi Tulokset voiaa leistää : kappalee ssteemille. Tällöi missä M = Rcm = m 1 1 +m 2 2 +... +m m 1 +m 2 +... +m = 1 M m, m o ssteemi kokoaismassa. Kokoaisliikemäärä ja -kieettie eergia ovat

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18

Lisätiedot

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.

3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun. Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa

Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina

Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina Jakso 1. iot-savartin laki, Ampèren laki, vektoripotentiaali Tässä jaksossa lasketaan erimuotoisten virtajohtimien aiheuttamien magneettikenttien suuruutta kahdella eri menetelmällä, iot-savartin lain

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Luento 2: Liikkeen kuvausta

Luento 2: Liikkeen kuvausta Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain

Lisätiedot

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis

on hidastuvaa. Hidastuvuus eli negatiivinen kiihtyvyys saadaan laskevan suoran kulmakertoimesta, joka on siis Fys1, moniste 2 Vastauksia Tehtävä 1 N ewtonin ensimmäisen lain mukaan pallo jatkaa suoraviivaista liikettä kun kourun siihen kohdistama tukivoima (tässä tapauksessa ympyräradalla pitävä voima) lakkaa

Lisätiedot

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)

5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) 5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x

Lisätiedot

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim

f(x) f(y) x y f f(x) f(y) (x) = lim Y1 (Matematiikka I) Haastavampia lisätehtäviä Syksy 1 1. Funktio h määritellään seuraavasti. Kuvan astiaan lasketaan vettä tasaisella nopeudella 1 l/min. Astia on muodoltaan katkaistu suora ympyräkartio,

Lisätiedot

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.

f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2. 13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Differentiaalilaskennan tehtäviä

Differentiaalilaskennan tehtäviä Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta

Differentiaali- ja integraalilaskenta Differentiaali- ja integraalilaskenta Opiskelijan nimi: DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 /

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot