Reijo Kouhia Rakenteiden Mekaniikka, Vol. 29. Kirchhon ja Reissnerin-Mindlinin laattamallit ovat kaksi yksinkertaisinta

Transkriptio

1 ER IT MATALA-ASTEISIA LAATTAELEMENTTEJ Rejo Kouha Rakenteden Mekankka, Vol. 9 Nro. 3-4, 1996 s Tvstelm : Krchhon ja Ressnern-Mndlnn laattamallt ovat kaks yksnkertasnta malla ohuen laatan k ytt ytymsen kuvaamseen. Kummankn malln numeersta ratkasua h rtsev t tetyt k yt nn n ongelmat: Krchhon mall vaat nterpolaatofunktoden dervaatolta jatkuvuutta, kun taas Ressnern-Mndlnn malln perustuva elementtej ovat vavanneet numeerset lukkutums- ja stablusongelmat. Artkkelssa k stell n yksnkertasa tomva Krchhon ja Ressnern-Mndlnn laattamallehn perustuva elementtformulaatota. Estetyt Krchhon malln elementt perustuvat jatkuvuusomnasuuden keskm r seen toteuttamseen ns. dskreett Krchho hypoteesn. Ressnern- Mndlnn malln elementest kuvataan kolm- ja nelsolmuset versot, jotka perustuvat ns. MITC reduktoteknkkaan ja stablontn, jolle estet n fyskaalnen tulknta. JOHDANTO Luotettaven ja yksnkertasten laattaelementten kehtt mnen on osottautunut ennakotua hankalammaks ongelmaks. Ertysest t m p tee keskm r sen pokttasen lekkausmuodonmuutoksen huomoonottavan Ressnern-Mndlnn laattamalln suhteen, jossa ratkasun avamet l ydettn vasta 90-luvun tatteessa. Elementtajattelun poneert yrttv t soveltaa menetelm ensn Krchhon malln. Yhteensopvuusongelmaan l ydettn ratkasuja varsn pan. Tosn useat nst johtvat hyvn ep k yt nn llsn elementtehn, jossa ol hankala vapausasteta. Esmerkkn vodaan manta Argyrksen vdennen asteen kolmoelementt, jossa esntyv t kakk tosen kertaluvun dervaatat nurkkasolmujen vapausastena. Korkeamman kertaluvun dervaattojen mukaantulo hattaa elementn k ytt kelposuutta tlantessa, jossa laatan paksuus ta materaalomnasuudet muuttuvat hypp yksellsest. Olskn tovottavaa, ett vapausastena esntysv t anoastaan tapuma ja kertym t. Hyvn k ytt kelponen tapa konstruoda Krchhon laattaelementtej ehdotettn jo 1960 luvun lopussa. Jatkuvuusvaatmusta e toteutetakkaan tarkast elementn koko reunalla vaan van tetyss dskreetess pstess. T m n vuoks formulaatota kutsutaan dskreett Krchho (DK) kondensonnks, vakka menetelm n rajotteet vodaan tulkta my s keskarvomeless. 51

2 Ressnern-Mndlnn malln ensmm set elementtformulaatot estettn samaan akaan kun DK teknkkakn. T m on luonnollsta, sll DK l hestymstavassa lkkeelle l hdet n juur Ressnern-Mndlnn mallsta. Ensmm nen huomattava vakeus ol elementten huono k ytt ytymnen analysotaessa ohuta laattoja. T st lekkauslukkutumsen nmell kulkevasta ongelmasta p stn eroon projsomalla lekkausmuodonmuutos alempasteseks polynomks kun mhn nterpolaatot johtasvat. T m joht kutenkn numeerseen ep stabluteen, joka lmenee lekkausvoman helahteluna ja pahmmassa tapauksessa j ykkyysmatrsn sngulaarsuutena. Dskreett Krchho ja Ressnern-Mndlnn laattaelementten vaatmat teknkat ovat helpoten estett vss vastaaven yksdmensosten palkkmallen avulla. T m n vuoks tarkastellaan aluks Eulern-ernoulln ja Tmoshenkon palkkmalleja. PALKKIELEMENTIT Dskreett Eulern-ernoulln malln elementt K stell n aluks dskreett Eulern-ernoulln elementn formulaatota. L ht kohtana on Tmoshenkon keskm r sen pokttasen lekkausmuodonmuutoksen huomoonottava palkkmall, jonka vrtuaalsen ty n yht l on muotoa 1 L 0 (M + Q fv)dx = 0 (1) mss v on palkn akseln tapuma, M tavutusmomentt ja Q lekkausvoma. Palkn aksela vastaan kohtsuoraan vakuttava jakaantuneen kuormtuksen ntensteett on f ja vrtuaalselle muutokselle on k ytetty klasssta symbola. Knemaattsa suureta ovat k yrstym ja lukuma. Ottamalla huomoon sek konsttutvset ett knemaattset yhteydet, vomasuureet M ja Q vodaan lausua muodosa: M = EI = EI 0 ja Q = GA s = GA s (v 0 ); () mss on pokklekkaustason kertym, EI palkn tavutus- ja GA s lekkausj ykkyys. Plkku suureen okeassa yl kulmassa merktsee dervonta pakkakoordnaatn x suhteen. Varaatoyht l st havataan, ett elementtmenetelm n mukanen dskretont vaat tapuman v ja kertym n nterpolaatofunktolta van C 0 -jatkuvuutta. Mk l dskreett Eulern-ernoulln elementn vapausasteks halutaan tapuman ja kertym n arvot elementn kahdessa solmussa, on l hdett v nterpolaatosta, jossa on yhteens vahnt n vs vapausastetta, jotta lekkausmuodonmuutosrajote vodaan ottaa huomoon. Ls ks k yrstym lle = 0 haluttasn lneaarnen nterpolaato. N m vaatmukset vodaan toteuttaa valtsemalla tapumalle lneaarnen ja kertym lle kvadraattnen nterpolaato: v = N 1 v 1 + N v = 1 (1 )v (1 + )v ; (3a) = N N + N 3 = 1 (1 ) (1 + ) + ( 1); (3b) 1 Olettaen homogeenset reunaehdot. 5

3 mss on elementn luonnollnen koordnaatt = (xx c )=h, x c on elementn keskpsteen koordnaatt ja h elementn ptuus. Kertym n kuplamuodon vapausaste vodaan elmnoda asettamalla lekkausmuodonmuutos keskm r sest h v m n elementn alueella: dx = (v 0 )dx = 0: (4) I (e) I (e) Ehdosta seuraa jollon kertym n nterpolaato on = 3 4 ( 1 + ) 3 v v 1 ; (5) h = 3 h N 3v 1 + (N N 3) 1 3 h N 3v + (N N 3) : (6) Elementn j ykkyysmatrs vodaan nyt muodostaa ottamalla huomoon pelk st n tavutukseen lttyv term EI 0 0 dx: N n konstruodun elementn j ykkyysmatrs on denttnen klasssen C 1 -jatkuva Hermten nterpolaatopolynomeja k ytt v n Eulern-ernoulln palkkelementn j ykkyysmatrsn kanssa. N n e kutenkaan ole kuormavektorn, geometrsen j ykkyysmatrsn ta massamatrsn lata, sll tapuman nterpolaato on lneaarnen. Jakaantuneen kuorman tapauksessa kuormavektort saadaan ekvvalenteks otaksumalla my s tapumalle kvadraattnen lauseke. Tapuman kuplamuotoa vastaava vapausaste v vodaan elmnoda momenttehdosta I (e) (x x c )dx = 0: (7) Tapuman kvadraattnen kuplamuoto e vakuta lekkausvoman keskm r seen h v msehtoon (4). Ratkasuks saadaan jollon tapuman nterpolaato on v = 1 8 h( 1 ); (8) v = N 1 v hn N v hn 3 : (9) Eulern-ernoulln palkkmalln geometrsen j ykkyysmatrsn el j nntysmatrsn tuottava term vrtuaalsen ty n yht l ss on muotoa Nv 0 v 0 dx; mss N on normaalvoma. N n muodostettu j nntysmatrs pokkeaa huomattavast klasssen C 1 -formulaaton vastaavasta matrssta. Dskreett E- elementtformulaatossa t m term vodaan vahtoehtosest krjottaa muotoon Ndx; 53

4 0-1 log v F E (L)v(L) v(l) t=l = t=l = 10 t=l = log(h=l) Kuva 1 Suhteellnen vrhe ulokepalkn p n tapuman arvossa verkontheyden funktona er hokkuuden arvolla (massvnen nel pokklekkaus) k ytett ess lneaarsta Tmoshenkon elementt. jollon p dyt n samaan tulokseen kun C 1 -formulaatossa. Vastaavast dynamkan teht vss tarvttava konsstentt massamatrs tuottaa estetyss E- palkkformulaatossa er tuloksen. Menetelmen tarkkuus- ja suppenemsomnasuuksa on tarkasteltu vmesess luvussa, tosn van laattojen lommahdus- ja v r htelyteht vss. Tmoshenkon palkkmalln elementt Suoravvanen elementtmenetelm formulaato Tmoshenkon malln varaatoteht v n (1) ratkasemseks saadaan valtsemalla lneaarset nterpolaatofunktot sek tapuman ett kertym n approksmomseen. T m johtaa tunnetust menetelm n, joka lukkutuu kun elementt k ytet n hyvn hokken palkken analysontn. Lukkutumsesta p st n eroon vasta kun elementn ptuus h on palkn korkeuden t luokkaa, katso kuvaa 1. Tulos on odotettu, sll tapuman pt s olla astetta korkeamp polynom, jotta lekkausmuodonmuutoksen h v mnen denttsest elementn alueella ols mahdollsta ohuen palkn rajatapauksessa. Yksnkertanen parannusehdotus on ls t tapuman nterpolaatoon kvadraattnen kuplamuoto. T m elementn ss nen vapausaste vodaan kondensoda pos elementttasolla, joten vapausasteden lukum r e kasva. Kondensontu j ykkyysmatrs on t sm lleen sama kun lekkaustermn suhteen al-ntegrotu (yhden psteen Gaussn kvadratuurlla) j ykkyysmatrs. Lekkausmuodonmuutostermn al-ntegromnenhan vastaa lekkausmuodonmuutoksen projsomsta vakofunktoks. Vakoks projsont, el keskarvostus vodaan suorttaa my s knntt m ll etuk teen tapuman kvadraattnen kuplamuoto ehdolla = v 0 = 0 = vako; (10) jonka ratkasu kuplamuodon vapausasteelle on sama kun yht l ss (8). T m on 54

5 tetenkn sama kun keskarvoehto: I (e) ( 0 )dx = I (e) (v 0 0 )dx = 0: (11) Elementn k ytt ytymst vodaan vel parantaa redusomalla lekkausj ykkyyden lauseketta. MacNeal [14] on johtanut redusodun lekkausj ykkyyden lausekkeen tarkastelemalla lneaarsest nterpolodun ja lekkausmuodonmuutoksen suhteen alntegrodun elementn tavutus- ja lekkausenergota ja verrannut nt vakolukumaja lneaarsta k yrstym tlaa vastaavaan tarkkaan ratkasuun. Lneaarsest nterpolotu elementt kuvaa kysest muodonmuutostlaa tarkast, mk l lekkausj ykkyyden lauseke GA s korvataan lausekkeella GA s = GA s 1 + GA sh 1EI : (1) Asan ykstyskohtanen johto l ytyy esm. l htest [14], [15]. Lekkausj ykkyyden korjauskertomen lauseke (1) vodaan johtaa my s lman energatarkastelua. L ht kohtana on tasapanoyht l n keskm r nen toteutumnen elementn alueella: (Q M 0 )dx = I (e) [GA s (v 0 ) + EI 00 ] dx = 0: I (e) (13) Jotta tasapanoyht l n testaamnen onnstuu, on kertym n nterpolaaton oltava v hnt n kvadraattnen. Yksnkertasn mahdollnen valnta on sten lneaarnen tapuma ja kvadraattnen kertym. Kvadraattsella tapuman muodolla e ole vakutusta yht l n (13) toteutumseen. Tlanne on analognen keskm r sen lekkausmuodonmuutoksen h v msehdon (4) kanssa. Kertym n kuplamuotoa vastaava vapausaste vodaan elmnoda elementttasolla, jollon ratkasu on = 3GA s h 1 4EI + GA s h h (v 1 v ) + 1 ( 1 + ) 1 1 h (v 1 v ) + 1 ( 1 + ) = GA sh 8EI 1 + GA sh 1EI Elementn vrtuaalsen ty n yht l n termss Qdx lekkausvoma vodaan laskea joko tasapanoyht l n avulla: Q = EI 00 = 8EI h = GA s 1 + GA sh 1EI 1 h (v v 1 ) 1 ( 1 + ) : (14) ; (15) ta suoraan m rtelm n avulla, tosn keskarvostamalla lekkausmuodonmuutos: Q = GA s (v 0 ) = GA s 1 h (v v 1 ) 1 ( 1 + ) + 3 ; (16) 55

6 mss on projekto-operaattor, el keskarvostaja. Tuloksena on tetenkn sama lauseke kun yht l ss (15). Vrtuaalnen muodonmuutos on keskarvostettuna, el laskettuna elementn keskpsteess = v 0 = (v v 1 )=h 1 ( 1 + ): (17) N n konstruotu elementt on denttnen lneaarsen Tmoshenkon palkkelementn kanssa, joka ntegrodaan yhden psteen Gaussn kvadratuura k ytt en ja johon sovelletaan lekkausj ykkyyden redusonta (1). Stablovan kuplamuodon ja lekkausj ykkyyden redusonnn v lsen yhteyden lenee ensmm sen estt nyt Juhan Ptk ranta vuonna 1988 [17], kun taas tse redusontteknkka on vuodelta 1973 ja dean s Isaac Fred [7]. Lekkausj ykkyyden redusont parantaa my s dskreetn yht l systeemn numeersta k ytt ytymst penent m ll rakenteen j ykkyysmatrsn h r alttutta. T m vodaan helpost havata tutkmalla elementn muodonmuutosenergan dmensottomassa muodossa estetty lauseketta U (e) = EI h 4 d ds! k + (1 + )!! 3 h d# r ds 5 ds; (18) mss on merktty # = v=h; s = (x x (e) )=h; I 1 = Ar (r on pokklekkauksen j yhyyss de) ja k = A s =A on pokklekkauksen lekkauskorjauskerron. Havataan, ett lekkausenergan osuuteen j rppuvuus palkn hokkuudesta r (r t) k v ll tavalla. Kun r! 0 nn lekkausenergan kerron l hestyy ret nt, jollon my s elementn j ykkyysmatrsn suurn omnasarvo l hestyy ret nt, ja rakenteen j ykkyysmatrsn h r alttus kasvaa rajatta. Redusomalla lekkausj ykkyytt yht l n (1) mukasest, muodonmuutosenergan lauseke muuttuu muotoon U (e) = EI h 4 d ds! + 1 k " 1 r # 1! 3 d# k + (1 + ) 4 h ds 5 ds; (19) josta patolognen rppuvuus hokkuusparametrst r on h vnnyt. LAATTAELEMENTIT Dskreett Krchho elementt Analogsest palkkelementten kanssa, dskreett Krchho elementten l ht kohtana on keskm r sen pokttasen lekkausmuodonmuutoksen huomoonottava Ressnern-Mndlnn laattamalln vrtuaalsen ty n yht l A mt + q T fw da s ( Q n w M n n M ns s )ds = 0; (0) mss momentten, lekkausvomen, k yrstymen ja lukumen pystyvektort ovat: m = 8 >< >: M x M y M xy 9 > = >; ; q = ( Qx Q y ) ; = 8 >< >: x y xy 9 >= >; ; = ( xz yz ) : (1) 56

7 K yrstym t vodaan lausua kertymen avulla ja lukumen lausekkeet ovat x = x;x ; y = y;y ; xy = x;y y;x ; () xz = w ;x x ; yz = w ;y y : (3) Mukavuussyst kertym t x ja y on m rtelty akselen x ja y ymp r kert ven rotaatoden x ja y avulla seuraavast (katso kuvaa ): x = y ; y = x : (4) Konsttutvset yhteydet vodaan krjottaa kompaktssa muodossa m = D b ; q = D s ; (5) mss D b ja D s ovat tavutus- ja lekkausj ykkyysmatrst. Klassnen tapa konstruoda matala-astenen DK elementt on otaksua tapuma m rtellyks van elementn reunavvolla. Kertymlle otaksutaan tavanomanen elementn alueella m rtelty nterpolaato. Lekkausmuodonmuutosrajotteet toteutetaan elementn nurkkasolmussa ja reunan keskpsteess. Usen my s reunan normaaln kertym rajotetaan lneaarseks. Ehk p vel kn selke mp tapa muodostaa DK elementt on k ytt ntegaalmuotosa rajotteta. Kolm- ja nelsolmuset DK elementt vodaan sten johtaa seuraavast. Elementn tapumaa w nterpolodaan lneaarslla (kolmo) ta blneaarslla (nelkulmo) funktolla, kun taas kertymlle k ytet n kvadraattsta (kolmo) ta supstettua bkvadraattsta (nelkulmo) nterpolaatota, joka mukavuussyst valtaan herarkseks. Interpolaato vodaan sten krjottaa muodossa w = x = nx nx N w ; (N x + N n+ x ) ; y = nx (6a) (N y + N n+ y ) ; (6b) jossa n on elementn solmujen lukum r (3 ta 4). Kolmoelementlle k ytet n alakoordnaatten L avulla m rteltyj nterpolaatofunktota N = L ; (7a) N 3+ = 4L L + ; = 1; ; 3; (7b) ja merknt + tarkottaa solmua seuraavaa solmua elementn reunaa ptkn postvseen kertosuuntaan kerrett ess. Nelkulmoelementn nterpolaato m rtell n perusnel ss luonnollsten koordnaatten ; ja supstetun bkvadraattsen kannan avulla seuraavast: N = 1 4 (1 + )(1 + ); (8a) N 4+ = 1 ( )( ); = 1; :::; 4: (8b) 57

8 x y 6 y x + u M s u 1 P PPPPPPPP u x -- y -- n + u u M s n up 1 PPPPPPPP u Kuva Kertymen m rtelm t ja laattaelementn merknt j. T ll tavon m rtellylle herarkslle muodolle N 3+ ; N 4+ ndeksn vodaan ajatella vttaavan my s elementn svun numeroon. T ll n svu on solmusta solmuun + oleva elementn reunan osa. Kuvaan on prretty elementten solmukonguraatot ja solmujen sek svujen numeront. Elementss on nyt 5n vapausastetta, jotka pt redusoda m r n 3n. T ll n elementn jokasessa k rksolmussa on kolme vapausastetta (w ; x ; y ) = (w ; T ). Tarvtaan sten kaks rajotetta svua kohden: svun suuntanen lekkausmuodonmuutos s = w ;s s = w ;s T s h v keskm r sest s ds = 0; = 1; :::; n; (9) reuna kertym n = T n muuttuu lneaarsest elementn svua ptkn T n = C x + S y = 0: (30) Edell on svun normaaln ja tangentn suuntasa ykskk vektoreta merktty n = h T h T C S ; s = S C ; mss C = cos ja S = sn. Rajoteyht l t (9) ja (30) muodostavat yht l parn n T = 0; (31a) s T = 3 w + w ` 3 4 st ( + + ) (31b) kutakn svua kohden herarksten kertym vapausasteden elmnomseks. Ratkasu on w 3 + w = 3 4 st ( + + ) s ; (3) ` mss ` on svun ptuus. Kuten palkkelementn tapauksessa, tapumalle vodaan otaksua my s kvadraattnen nterpolaato jokasta svua kohden. N t vastaava vapausaste elmnodaan momenttehdosta (7) ptkn elementn reunavvaa. 58

9 Klasssen DK nelkulmoelementn (DKQ) k ytt ytymnen on kutenkn osottautunut ep tyydytt v ks. Lyons joht v t skrjassaan [13] parannetun DKQ elementtverson, jossa k ytet n sek tapumalle ett kertymlle Lagrangen bkvadraattsta nterpolaatota. Syntyneet ls vapausasteet elmnodaan seuraavsta kolmesta ehdosta: xz da = yz da = ( xz;x + yz;y )da = 0: (33) Lyonsn elementss on sten 15 rajotusehtoa, jotka h n ott huomoon numeersessa muodossa. Crseld estt muunnetun elementn, jossa anoastaan kertymlle otetaan k ytt n Lagrangen nterpolaato ja tapumalle k ytet n supstettua bkvadraattsta kantaa [5]. Tarvttavat kaks rajotetta Crseld formulo lekkausmuodonmuutoksen h v msen ptkn elementn reunojen keskpstet yhdst ven lnjojen suhteen. N n rotaatoden kuplamuodot vodaan ratkasta eksplsttsess muodossa. Morleyn vakokaarevuuselementt on varmast yksnkertasn tomvsta Krchhon laattamalln elementest. Se vodaan johtaa my s DK kondensontteknkalla, kun kertymlle valtaan ep konformt lneaarset funktot ja tapumalle tavanomanen lneaarnen nterpolaato. Soveltamalla rajotetta (9) vodaan kertym t x ja y lausua reunan normaaln kertym n n avulla seuraavast (reunalla ): w+ w = n n + s : (34) Kertymen nterpolaato on sten mss N nc = 3X N nc = 3X " s ` s on ep konform lneaarnen nterpolaato `! ` # N nc w + n N nc n ; (35) N nc = L + L + L ; (36) joka on jatkuva elementst toseen anoastaan elementn svujen keskpstess. Mk l normaaln kertym n n kohdstuvaa rajotetta (30) e aseteta, saadaan elementt, jossa kullekn reunalle j yks kertym vapausaste. Kolme DKT elementtkonguraatota on estetty kuvassa 3. Ressnern-Mndlnn laattamalln elementtej Ehk yksnkertasn tapa konstruoda hyvn k ytt ytyv matala-astenen Ressnern- Mndlnn laattaelementt on k ytt tapumalle kvadraattsta ja kertymlle lneaarsta nterpolaatota ja kondensoda tapuman kvadraattsta muotoa vastaavat vapausasteet rajottamalla lekkausmuodonmuutoksen tangentaalkomponentt vakoks elementn reunolla. Jotta v ltytt sn lekkausj nntysten helahtelulta tarvtaan my s lekkausj ykkyyden redusonta. T t strategaa sovelsvat Tessler ja Hughes 1985 [8]. Ressnern-Mndlnn laattamalln elementest van harvat l p sev t matemaattsen vrhetarkastelun motteetta. Yks ensmm sst alhasastessta R-M elementtformulaatosta, jolle matemaattnen vrheanalyys on suortettu ovat stablodut 59

10 (a) Morleyn elementt (b) klassnen DKT (c) 1 vap. ast. DKT (w 3 ; x3 ; y3 ) (w 3 ; x3 ; y3 ) u w 3 uj uj n3 n3 up N N n uj P uj P N N n w 1 P P (w 1 ; x1 ; y1 ) (w 1 ; x1 ; y1 ) P PPPPPPPP P P uw PPPPPPPP uj PPPPPPPP P uj n1 n1 (w ; x ; y ) (w ; x ; y ) Kuva 3 Kolme erlasta DKT-elementtkonguraatota. MITC elementt. Alkuper sen MITC reduktoteknkan dean esttv t Dvorkn ja athe 1984 kuorelementlle [6] ja nelsolmuselle laattaelementlle []. Teknkka vodaan ylest kokonaselle elementtryhm lle ja matemaattsen vrheanalyysn n den elementten stablodulle versolle todstvat rezz, Fortn ja Stenberg 1991 [4]. MITC elementtformulaato perustuu sekamenetelm n, jossa pokttaslle lekkausmuodonmuutokslle (t sm llsest lmastuna nden kovarantelle tensorkomponentelle) otaksutaan tsen nen nterpolaato. Ensmm sess artkkelssaan Dvorkn ja athe [6] sovttvat n m lekkausmuodonmuutoskomponentt alkuper sn srtym suuresn Lagrangen kertojen avulla. Lyly [1] on osottanut, ett stablotu MITC-formulaato ja Hughesn ja Tesslern teknkka johtavat samaan tulokseen. Lneaarsen knematkan tapauksessa vodaan MITC elementtformulaato toteuttaa tosella tavalla. Lekkausmuodonmuutos lasketaan mododusta kertymen nterpolaatofunktosta sten, ett lekkausmuodonmuutos s elementn reunavvalla on samanastenen polynom kun tapuman gradentt t ss suunnassa. Lneaarselle ja blneaarselle elementlle t m merktsee lekkausmuodonmuutoksen vakosuutta. T m vakokomponentt asetetaan yht suureks elementn reunan keskpsteess alkuper sst nterpolaatosta lasketun lekkausmuodonmuutoksen arvon kanssa. Estet n MITC elementn konstrukton p vaheet; ykstyskohtasemp johto l ytyy l hteest [9]. Tapumalle ja kertymlle k ytet n tavanomasta nterpolaatota w = nx N w ; x = nx N x ; y = nx N y : (37) Ls ks lekkausmuodonmuutoksen m rtt mseen tarvttavlle kertymlle otaksu- Nm tulee sanosta Mxed Interpolated Tensoral Components. 60

11 taan oma nterpolaato ja merkt n st yl ndeksll S S x = n X N S x; S y = n X N S y; (38) mss N :t ovat lneaarset alakoordnaatessa lausutut ta blneaarset nterpolaatofunktot ja n on elementn solmujen lukum r (3 ta 4). Uus kertym suureden nterpolaato (38) ls elementn vapausasteta kahdella svua kohden. N m vodaan elmnoda kahdesta ehdosta: lekkausmuodonmuutos on vako elementn reunalla, el s = w ;s s T S = vako; (39) ja yht suur alkuper sst nterpolaatosta lasketun lekkausmuodonmuutoksen kanssa elementn reunan keskpsteess, el w ;s s T S = w ;s s T ( = 0): (40) J lkmm nen ehto vodaan lausua my s ntegraaln avulla: reuna s T S ds = 0: (41) Ratkasemalla yht l st (x; S S y ); = 1; :::; n ja sjottamalla ne yht l hn (38) saadaan lekkausmuodonmuutoksen laskemseen tarvttaven kertymen nterpolaatoks lausekkeet nx! S x = 1 N + C +S N + C S N x D + D! C C + N C C + N + y ; (4a) D D + nx! S y = 1 N S C + N C S + N + y D D +! S +S + N + S S N x ; (4b) D + D mss D = C S S C : Merknt tarkottaa svua edelt v svua. Tarkastellaan nyt laattaelementn lekkauskorjauksen johtamsta. Menetell n kuten Tmoshenkon palkn tapauksessa, jossa todettn kuplamuodon ls msen kertym n ja lekkauskorjauksen olevan ekvvalentteja tomenptet. Merkt n knemaattsta operaattormatrsa symbollla L ja jonka adjungantt on tasapanooperaattor L. Lekkausvomat vodaan lausua tasapanoyht l n avulla seuraavast: q = L m = L D b L: (43) 61

12 Merkt n kertym vektorn lneaarsta osaa ja kuplamuotoa seuraavast Laatalle yht l n (13) vastne on el A (e) (q L m)da = = 1 + : (44) A (e) h Ds (rw S ) L D b L( 1 + ) A (e) (D s + L D b L)dA = da = 0; A (e) D s (rw S )da: (45) Merkt n elementn nurkkasolmuhn lttyven vapausasteden pystyvektora u:lla ja kertymen kuplamuodon vapausastevektora u:lla. Yht l n (45) ratkasu vodaan krjottaa matrsmuodossa seuraavast Lekkausvomat m rtet n yht l st u = C 1 K s u: (46) q = D s (rw S ) = D s ( s pc 1 K s )u; (47) mss on j lleen projekto vakofunktoks jonka arvo on p operotuna kertym n kuplamuotoon. Mk l lekkausmuodonmuutos keskarvostetaan yht l ss (45), el = (rw S ), on K s = A (e) D s s ja lekkausvomalle saadaan q = (I pa (e) D s C 1 )D s s u; (48) mss A (e) on elementn pnta-ala ja I ykskk matrs. Lekkausj ykkyyden redusoduks muodoks saadaan sten D s = (I pa(e) D s C 1 )D s : (49) Tarkastellaan nyt ykstyskohtasest mllanen yll oleva redukto on suorakulmaselle kolmoelementlle, kun h on hypotenuusasvun mtta. Otaksutaan homogeennen sotrooppsest kmmonen tasapaksu laatta (paksuus t). K ytet n kuplamuodolle nterpolaatota N k = L 1 L L 3. Yksnkertasten laskutomtusten j lkeen matrsks C saadaan: C = A (e) (D s + L D b L)N k da = Et 3 7(1 ) ja korjatuks lekkausj ykkyydeks " D = kgt s + (h=t) + f(t=h) Edell on k ytetty merknt j " # a + b(h=t) c ; (50) c a + b(h=t) # 1 + f(t=h) g : (51) g 1 + f(t=h) a = 3 ; b = 3 k(1 ); c = 1 (1 ); 0 = b=a; f = (a c )=ab; g = c=a: 6

13 Hyvn ohuen laatan tapauksessa (t=h) 1, vodaan suhteellsen paksuuden nel t penn suurena j tt huomoon ottamatta, jollon saadaan lkm rn D s = " kgt + (h=t) 1 g g 1 # : (5) Mk l my s kytkent C matrsssa j tet n huomoon ottamatta, el asetetaan c = 0, saadaan " # kgt D = 1 0 t s = 1 + (h=t) 0 1 t + h D s; (53) el kuten stablont on estetty esm. l hteess [11]. K ytt m ll lekkauskorjauskertomelle k arvoa 5/6, on stablontparametrn = b=a arvo v lll 0:05 0:04, kun suppeumaluku vahtelee rajossa: 1 0. Nelsolmusen elementn matrs C on dagonaalnen suorakadegeometrassa. Otaksutaan lneaarsest kmmonen ortotrooppnen materaallak ja tlanne, jossa materaaln symmetrasuunnat yhtyv t koordnaattakselen suuntn. Otetaan k ytt n seuraavat lyhennysmerknn t: 1 = (1 1 1 ) G 1 E 1 ; 13 = (1 1 1 ) G 13 E 1 ; 3 = (1 1 1 ) G 3 E 1 ; = E E 1 : (54) Elementn ptk n x-akseln suuntasen svun mtta on h ja y-suunnassa "h. Redusotu lekkausj ykkyysmatrs saadaan lman lkm r styks muotoon " # D = (1 + xz (h=t) ) 1 0 s D 0 (1 + yz (h=t) ) 1 s ; (55) mss xz = k " ; yz = k " : Isotrooppselle materaallle ja nel n muotoselle elementlle -parametrt ovat yht suura ja nll on arvo = k(1 )=(3 ), joka sten vahtelee rajossa 0:1667 0:315 suppeumaluvun muuttuessa v lll 1 0. Mk l suppeumaluvulle valtaan arvo 0.3 on stablontparametr 0.16, mk vastaa melko hyvn l htess [10] ja [11] estetty tapuman nel vrheen suhteen optmaalsta stablontparametrn arvoa (katso kuvaa 13 l hteess [10] ja kuvaa 7 l hteess [11]). Stablontparametrn rppuvuus elementn svusuhteesta " on estetty kuvassa 4a sotrooppselle materaalmalllle, sek kmmokerronten suhteesta ortotrooppselle materaallle nel geometrassa kuvassa 4b. Kuvasta 4a vodaan havata stablontparametren xz ja yz penenev n elementn svusuhteen penentyess. T ten saattas olla luontevampaa m rtt lekkauskorjaus muodossa! A(e) : t 63

14 (a) (b) yz xz xz 0.05 yz " Kuva 4 Stablontparametren xz ; yz rppuvuus (a) elementn svusuhteesta ", sotrooppnen materaal = 0:3, (b) ortotrooppsen materaaln tapauksessa kmmokertomen suhteesta = E =E 1, oletettuna 1 = 1 = 0:3; G 1 = G 13 = G 3 = E =:6, nel elementt. Edell estetty menettely stablontparametrn arvon eksplsttseks m rtt mseks on hyvn rppuvanen kertym n kuplamuodon valnnasta. Puuttumatta kysymykseen stablontparametrn optmaalsesta arvosta, antanee menettely kutenkn hyv ksytt v n fyskaalsen tulknnan sen luonteesta. NUMEERISIA ESIMERKKEJ Demonstrodaan aluks stablonnn, el lekkauskorjauksen vakutusta j ykkyysmatrsn h r alttuteen, joka m rtell n kaavalla C p (K) = kkk p kk 1 k p : (56) Mtattuna spektraalnormssa (p = ) on symmetrsen postvsest dentn matrsn h r alttus sen suurmman ja penmm n omnasarvon suhde. Ratkasun merktseven numeroden s ja h r alttuden v lll on yhteys s r log(c p (K)); (57) mss r on laskennan merktseven numeroden m r. Kuvassa 5a on estetty vapaast tuetun 3 nel laatan (svun ptuus L) j ykkyysmatrsn h r alttus suhteellsen paksuuden (t=l) funktona kun laskennassa on k ytetty nelsolmusta stablomatonta ( = 0) ja stablotua ( = 0:1) MITC elementt. Rakenteesta on mallnnettu symmetrasyst van yks nelj nnes, ja elementtverkko on ollut tasajakonen K ytett ess DKQ ta sen kertymen kuplamuodolla parannettua elementtversota, on h r alttuden logartm 5.7 ja rppumaton suhteellsesta paksuudesta. Stablodun MITC elementn vastaava luku paksuusalueella 10 4 < t=l < on 6.15, kun parametr on 0.1 ja vastaavast 5.51 :n ollessa Esmerkss on k ytetty ns. kovaa vapaast tuettua reunaehtotapausta, el w = s = 0, mss s on laatan reunan suuntanen koordnaatt. 64

15 (a) (b) log(c (K)) = 0:1 = 0: log(t=l) log(c (K)) t=l = 10 6 t=l = log() Kuva 5 Vapaast tuetun nel laatan j ykkyysmatrsn h r alttuden logartm vasemmalla suhteellsen paksuuden funktona ja okealla sen rppuvuus stablontparametrsta. Nelsolmunen MITC elementt, 1010 elementtverkko laatan nelj nneksell (300 vapausastetta). Taulukko 1 Pohjustetun konjugaattgradenttmenetelm n teraatom r n rppuvuus stablontparametrsta. pohjustn IC(0) SSOR Kuvasta 5b vodaan todeta j ykkyysmatrsn h r alttuden penenev n, mk l stablontparametr on penemp kun (t=l) 3=. K ytett ess optmaalsa arvoja, ss 0:01 1, MITC elementten h r alttus palautuu DK elementten tasolle. H r alttuden vakutus n kyy ertysest ratkastaessa lneaarnen yht l systeem teratvsest. Taulukossa 1 on estetty pohjustetun konjugaattgradenttmenetelm n teraatoden lukum r pyrtt ess resduaaln suhteellseen tarkkuuteen 10 4 edell selostetussa teht v ss, kun laatan suhteellnen paksuus on t=l = Pohjustmena on k ytetty symmetrst ylrelaksaatota (SSOR) ta ep t ydellst Choleskyn hajotelmaa, jossa t yttymst e sallta (IC(0)) [1]. IC(0) hajotelma onnstuu anoastaan stablontparametrn arvolla 0:39. SSOR pohjustmessa tarvttavan ylrelaksaatoparametrn! vahtelu v lll 11.5 e juurkaan vakuta teraatom r n ja antaa optmaalsen tuloksen. DK elementten vahtoehtosa geometrsen j ykkyysmatrsn K g muodostamstapoja on vertaltu vapaast tuetun laatan krttsen lommahduskuorman m rtyksess. Laatan suhteellnen paksuus on t=l = 10 6 ja materaalvakot ja referenss- 65

16 Taulukko Laatan lommahduskuorma, elementten vertalua. verkko laatan nelj nneksell elementt MITC4 = MITC3 = nt. p MITC3 = nt. p DKQ-LC DKQ-LC K g kertymst DKQ lneaarnen w DKQ kvadraattnen w DKQ K g kertymst DKT lneaarnen w DKT kvadraattnen w DKT K g kertymst FS kuormtuksen ntensteett on valttu sten, ett Krchhon laattamalln mukanen krttsen kuormaparametrn arvo on yks. Kuormtus on yksakselnen. Taulukossa on estetty krttsen kuomaparametrn arvot k ytt en kolmea er elementtjakoa. Lyonsn elementn Crseldn modkaatota on merktty lyhenteell DKQ-LC. Vertaluun on otettu mukaan bkuubnen ogner-fox-schmt elementt (FS) [3], joka on yks varhasmmsta Krchhon malln elementest. Sn tapuman nterpolaato on yhteensopva ja konstruotu klasssesta Eulern-ernoulln palkkelementst tunnettujen Hermten nterpolaatofunktoden avulla. Vapausastena ovat tapuma, sen ensmm set dervatat ja sekadervaatta w ;xy, mk hankalottaa elementn k ytt kelposuutta. Taulukossa 3 on estetty tulokset vapaast tuetun laatan omnastaajuusanalyysst. Laatan materaalvakot on j lleen valttu sten, ett Krchhon malln omnasv r htelyn aln taajuus on 1 Hz. Geometrset mtat ovat kuten edellsess esmerkss. Vakka edell estetyt testt ev t ole mtenk n rtt v varmojen p telmen tekemseen, vodaan nst kutenkn havata tettyj omnasprtet. Klasssten DKelementten geometrsen j ykkyysmatrsn muodostamseen on syyt k ytt lneaarsta tapuman nterpolaatota; tosn ero e ole suur k ytett ess kvadraattsta tapumaa. Kakken huonon tulos saatn muodostamalla geometrnen j ykkyysmatrs kertymen nterpolaatosta. Lyonsn-Crseldn menettely parantaa huomattavast DKQ elementn tarkkuutta estetyss testess, joten kertymen kuplamuodon k ytt on suotavaa, koska elementn j ykkyysmatrsn muodostamsty e st juurkaan kasva. Stablodut MITC elementt ovat tarkkuudeltaan vastaaven DK elementten luokkaa. ogner-fox-schmt elementn k ytt ytymnen on ylvomasest paras. Tosn ty m r elementn j ykkyysmatrsn muodostamsessa on heman suuremp DKQ ja MITC4 elementtehn verrattuna, sll FS elementt vaat 33 Gaussn ntegronnn. Ls ks systeemn vapausastem r heman kasvaa w ;xy vapausasteen ansosta. 66

17 Taulukko 3 Laatan aln omnastaajuus, elementten vertalua. verkko laatan nelj nneksell elementt MITC4 = MITC3 = nt. p MITC3 = nt. p DKQ-LC DKQ lneaarnen w DKQ kvadraattnen w DKT lneaarnen w DKT kvadraattnen w FS Alhasastesten MITC elementten tapuman ja j nntysresultanttsuureden suppenemsomnasuuksa on tutkttu l htess [10], [11]. Kuten em. artkkelen tulokssta vodaan havata, j nntysresultantt, josta ertysest lekkausvomat ovat st tarkempa mt suuremp arvo stablontparametrlle valtaan. My s krjottajan omat kokemukset ep lneaarssta analyysest osottasvat aheellseks k ytt heman suurempa stablontparametrn arvoja kun l htess [10], [11]. T m tuntuu luonnollselta, sll ep lneaarsessa analyysss vomatla on t rken tekj tasapanopolun kulun m rtyksess. LOPUKSI Krjallsuudessa on estetty lukematon joukko erlasa laattaelementten konstruonteja. Artkkelssa on pyrtty valasemaan muutamen alhasastesten laattaelementtformulaatoden perusteta. Ptk ranta ja Sur [18] ovat estt neet melko ylesen matemaattsen formalsmn tomven so. lukkutumattomen ja numeersest stablen Ressnern-Mndlnn malln elementten muodostamseks. He konstruovat vs ehtoa, jotka stovat tapuman ja kertym n nterpolaatota sek lekkausmuodonmuutoksen laskemsessa tarvttavaa redusontoperaatota. Koska em. ehtojen estt mnen vaats raskaan matemaattsen kaluston m rttely, tyydyt n van toteamaan kahden ehdon takaavan numeersen ratkasun yksk sttesyyden ja stabluden ja toset kaks tarvtaan rajottamaan lekkausmuodonmuutosta laskettaessa mahdollsest syntyv konsstenssvrhett, joka aheutuu redusontoperaatosta jota tarvtaan korjaamaan tapuman ja kertymen nterpolaatoden ep tasapanoa". Vdes ehto stoo tapuman ja kertymen nterpolaatota. Vodaankn tyydytyksell todeta, ett laattaelementten konstruonnn peraatteet vmen tunnetaan. Ktokset Juha Paavolalle, Henr Perttolalle, Eero-Matt Saloselle ja Markku Tuomalalle kommentesta. 67

18 VIITTEET [1] O. Axelsson, V.A. arker, Fnte Element Soluton of oundary Value Problems: Theory and Computaton, Academc Press, [] K.-J. athe, E.N. Dvorkn, A four node plate bendng element based on Mndln-Ressner plate theory and mxed nterpolaton, Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng, 1: , [3] F.K. ogner, R.L. Fox, L.A. Schmt, The generaton of nterelement compatble stness and mass matrces by the use of nterpolaton formulas, Conference of Matrx Methods n Structural Mechancs, Wrght Patterson AF, Oho, svut , [4] F. rezz, M. Fortn, R. Stenberg, Error analyss of mxed nterpolated elements for Ressner- Mndln plates, Mathematcal Models and Methods n Appled Scences, 1: 15151, [5] M.A. Crseld, Fnte Elements and Soluton Procedures for Structural Analyss, Vol. 1: Lnear Analyss, Pnerdge Press, [6] E.N. Dvorkn, K.-J. athe, A contnuum mechancs based four-node shell element for general non-lnear analyss, Engneerng Computatons, 1: 7788, [7] I. Fred, S.K. Yang, Trangular, nne-degrees-of-freedom, C 0 plate bendng element wth quadratc accuracy, Quarterly of Appled Mathematcs, 31:30331, [8] A. Tessler, T.J.R. Hughes, A three-node Mndln plate element wth mproved transverse shear, Computer Methods n Appled Mechancs and Engneerng, 50:71101, [9] R. Kouha, M. Tuomala, Rakenteden mekankan numeerset menetelm t, luentomonste [10] M. Lyly, R. Stenberg, T. Vhnen, A stable blnear element for the Ressner-Mndln plate model, Computer Methods n Appled Mechancs and Engneerng, 110: , [11] M. Lyly, R. Stenberg, New three and four noded plate bendng elements, Rakenteden Mekankka, 7: 39 (), [1] M. Lyly, On the connecton between some lnear Ressner-Mndln plate bendng elements, k skrjotus [13] L.P.R. Lyons, A general nte element system wth specal reference to the analyss of cellular structures, v t skrja, Imperal College, Lontoo, [14] R.H. MacNeal, A smple quadrlateral shell element, Computers and Structures, 8: , [15] R.H. MacNeal, Fnte Elements: Ther Desgn and Performance, Marcel Deccer, Inc. New York, [16] L.S.D. Morley, The constant moment plate bendng element, Journal on Stran Analyss, 6: 04, [17] J. Ptk ranta, Analyss of some low-order nte element schemes, Numersche Mathematk, 53: 3754, [18] J. Ptk ranta, M. Sur, Desgn prncples and error analyss for reduced-shear plate-bendng nte elements, lmestyy Numersche Mathematk. Rejo Kouha, TKK/rakenteden mekankka, s hk post: Rejo.Kouha@hut. 68