VERKKOJEN MITOITUKSESTA

Transkriptio

1 J. Vrtamo Telelkenneteora / Verkon mtotus 1 VERKKOJEN MITOITUKSESTA 1. Prkytkentäset verkot Lnkken kapasteetten (johtoja/lnkk) määräämnen sten, että verkon kokonaskustannukset mnmotuvat, kun päästä-päähän estolle on annettu yläraja. Moen peraate 2. Pakettkytkentäset verkot Nelöjuurmenetelmä Lnkken kapasteetten määräämnen sten, että paketn keskvve verkossa mnmotuu, kun kustannukslle on asetettu yläraja.

2 J. Vrtamo Telelkenneteora / Verkon mtotus 2 Prkytkentästen verkkojen mtotuksesta Prkytkentäsen verkon mtotustehtävä koskee yleensä seuraavaa asetelmaa. On annettu Verkon solmupsteet ja topologa (teto stä, mtkä solmupsteet on yhdstetty keskenään suoralla lnkllä) Lkennematrs, joka kertoo tarjotun lkententensteetn a,j mstä tahansa lähtösolmusta mhn tahansa kohdesolmuun j. Tarjottu lkenne oletetaan possonseks. Vaadttu palvelun laatutaso lmastuna salltun eston B suuruutena. Peraatteessa sallttu esto B,j vo olla spesfotu erkseen jokaselle yhteysvällle (, j). Lnkkkustannukset; rppuvuus lnkn kapasteetsta ja ptuudesta. Tehtävänä on mtottaa lnkken kapasteett C j sten, että kakken yhteyksen päästä-päähän estot ovat annetun rajan alapuolella ja että tämän ehdon valltessa verkon kustannukset mnmotuvat

3 J. Vrtamo Telelkenneteora / Verkon mtotus 3 Mtotustehtävä Kysymyksessä on tyypllnen epälneaarsen ohjelmonnn (optmonnn) tehtävä. Rajotushdot rppuvat epälneaarsest kapasteetesta. Kustannukset saattavat rppua epälneaarsest kapasteetesta. On huomattava, että päästä-päähän estojen laskenta snänsä on oma ongelmansa. Tarkka laskenta on yleensä mahdotonta. Kysymystä vodaan lähestyä kolmella er tarkkuustasolla: 1. Karken approksmaato muodostuu stä, että - oletetaan kuhunkn lnkkn tarjottu lkenne possonseks - lkenteen ntensteett summaks kakken lnkn kautta kulkeven lkennevrtojen ntensteetestä - lasketaan lnkn esto Erlangn kaavalla - arvodaan päästä-päähän estoa lnkkestojen summalla 2. Tätä vodaan parantaa ns. ohennetun kuorman menetelmällä, jota kästellään myöhemmn 3. Jossakn tapauksssa (mm. ltyntäverkko) tarkka analyys on mahdollnen. Tähän palataan kurssn lopussa.

4 J. Vrtamo Telelkenneteora / Verkon mtotus 4 Mtotustehtävä Seuraavassa tyydytään karkemman approksmaaton käyttöön päästä-päähän estojen laskennassa. Perntesen prkytkentäsen verkon tapauksessa kysymyksessä on lsäks kokonaslukuoptmont, koska kapasteett (johtojen määrä) on luonteeltaan dskreett. Snänsä epälneaarsen optmonttehtävän ratkasemnen on standardtehtävä ja shen on käytettävssä erlasa valmta ohjelmapaketteja. Ertysest verkon mtotusta varten on kehtetty oma erkosohjelmaan. Seuraavassa tarkastellaan yksnkertasen Moen peraatteen käyttöä optmonttehtävän ratkasemsessa. 1 1 Estys tältä osn on peräsn K. Klkn luennosta

5 J. Vrtamo Telelkenneteora / Verkon mtotus 5 Moen peraate yhden lnkn tapauksessa Moen peraatteessa on kysymys nkrementaalsesta suurmman hyöty/kustannus-suhteen lähestymstavasta. Tarkastellaan ensn yhtä lnkkä, jonka johtoluku on n ja tarjottu lkennentensteett on a. Jos johtolukua lsätään yhdellä, nn vältetyn lkenteen ntensteett kasvaa määrällä a = a(e(n, a) E(n + 1, a)), mssä E(n, a) on Erlangn estofunkto (B-kaava). Tämän avulla vodaan arvoda, vastaako lsäjohdosta saatava hyöty kustannuksa. Johtoja kannattaa lsätä nn kauan kun hyöty on suuremp kun kustannukset. Johtoja lsättäessä uudesta johdosta saatava lsähyöty penenee koko ajan.

6 J. Vrtamo Telelkenneteora / Verkon mtotus 6 Moen peraate verkossa Verkkotapauksessa Moen peraateen mukasest tomttaessa lähdetään lkkeelle verkosta, joka on almtotettu ja jossa mkään päästä-päähän esto e täytä asetettua vaatmusta. Tämän jälkeen lsätään kapasteetta yks johto kerrallaan snne, mssä se on kustannustehokkanta el snne, mssä tetyllä hnnalla saadaan suurn päästä-päähän eston penenemnen. Tätä jatketaan nn kauan, kunnes kakk rajotusehdot on täytetty el kakk päästä-päähän estot saatu annetun rajan B alle. Tlannetta mutkstaa se, että tetyn lnkn kautta kulkee useta yhteyksä ja kapasteetn lsäyksen vakutus nähn yhteyksn on erlanen. Tällön vodaan ottaa tarkasteltavaks esm. vakutus kysesen lnkn kautta kulkevsta (palvelurajan alttavsta) yhteyksstä hekonta palvelua saavan yhteyden laatuun. Moen peraatteen mukanen nkrementaalnen lähestymstapa e välttämättä johda globaaln optmn mutta antaa yleensä kelvollsen ratkasun.

7 J. Vrtamo Telelkenneteora / Verkon mtotus 7 Moen peraate symmetrsessä herarkksessa verkossa Tutktaan esmerkknä kuvan mukasta symmetrstä herarkksta verkkoa. Verkossa on vden herarkkatason solmuja ja vden er herarkkatasojen lnkkejä. Merktään lnkken lukumäärää herarkkatasolla m :llä. Oletetaan, että kakk tetyllä herarkkatasolla olevat lnkt ovat samassa asemassa: lnkken ptuudet ovat samat ja nden kautta kulkee sama määrä (tarjottua) lkennettä: tasolla ntensteett on a. Tällön on selvää, että optmmtotuksessa saman tason lnkelle kannattaa antaa sama kapasteett n. Verkkoa vodaan kuvata yksnkertasemmalla kaavolla. a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 n 1 n 2 n 3 n 4 n 5

8 J. Vrtamo Telelkenneteora / Verkon mtotus 8 Moen peraate symmetrsessä herarkksessa verkossa (jatkoa) Moen peraatteen mukasest johtoja lsätään slle tasolle, jolla saavutetaan suurn eston penenmnen kustannusykskköä koht. Tätä varten lasketaan suhde h = E(n, a ) E(n + 1, a ) m c, mssä n = johtojen lukumäärä yhdessä tason lnkssä m = tason lnkken lukumäärä c = yhden johdon kustannus tasolla = tarjotun lkenteen ntensteett yhdellä tason lnkllä a Etstään se taso, jolla h on suurn ja lsätään yks johto kaklle tämän tason lnkelle (yhteensä m kappaletta). Jatketaan kunnes päästä-päähän esto E(n, a ) tulee penemmäks kun B.

9 J. Vrtamo Telelkenneteora / Verkon mtotus 9 Symmetrsen herarkksen verkon mtotus: esmerkk Optmodaan verkko, jonka parametrt ovat ohesen taulukon mukaset. Tavotteena on päästä alle 3 %:n kokonasestoon. Lähdetään lkkeelle alla vasemmalla olevan taulukon alkutlanteesta. Suurn h on tasolla 3. Johtoja kannattaa lsätä snne, kunnes tämän tason h on tullut penemmäks kun seuraavaks suurn h tasolla 2. Nän jatketaan, kunnes kokonasesto on tullut penemmäks kun 3 %. Lopputulos on okeanpuolesessa taulukossa. n B(n )% B(n + 1)% kust. Meuro lsäkust. Meuro h %/Meuro yht m c a n B % kust. Meuro yht Lopullsessa ratkasussa estoa on vähemmän suurlkentesllä lnkellä. Jos kokonasesto ols jaettu tasan lnkken kesken, ols kustannus ollut 230 Meuro.

10 J. Vrtamo Telelkenneteora / Verkon mtotus 10 Pakettverkon mtotus ( nelöjuurmentelmä ) Pakettverkossa on M lnkkä, = 1,..., M. M/M/1-jono Vältettäven sanomen kokojakauma oletetaan eksponentaalseks; keskptuus 1/µ (bttä) Mallnnetaan pakettverkon solmujen (retttmen) lähtöpuskureta M/M/1-jonona., C λ = pakettvrta (pkt/s) lnkllä C = lnkn kapasteett d = lnkn omnaskustannus (mk/bps) 1/µ = sanoman keskkoko (bt) Λ = verkon kakkn solmuhn yhteensä tuleva kokonaspakettvrta (pkt/s) huom. Λ λ Paketn keskmääränen lähetysaka lnkllä 1/(µC ) lnkn vältyskyky µc (pkt/s). Paketn keskmääränen vpymsaka lnkllä (jonotus + lähetys) T = 1 = 1 µc λ µc 1 1 λ /µc ρ = λ /µc lnkn kuorma

11 J. Vrtamo Telelkenneteora / Verkon mtotus 11 Optmonnn tavote ja rajotusehto Halutaan mnmoda verkkoon saapuvan paketn keskmääränen vpymäaka verkossa T = 1 Λ λ T Tämä on panotettu keskarvo vvestä er lnkellä. Vodaan tulkta myös Lttlen tuloksen perusteella (koko verkko mustassa laatkossa): λ T = keskmääränen paketten lkm (jonottavat + lähetyksessä oleva) puskurssa 1 Λ λ T = paketten keskmäärärnen lkm koko verkossa λ T = paketn keskmääränen vpymä verkossa Optmonnn reunaehtona on, että verkon kokonaskustannus e saa ylttää annettua arvoa D, d C D On selvää, että vve mnmotuu, kun kakk raha käytetään kapasteetten lsäämseen, joten reunaehto vodaan korvata yhtäsuuruudella d C = D Tehtävänä on etsä kapasteett C sten, että tämän ehdon valltessa T mnmotuu.

12 J. Vrtamo Telelkenneteora / Verkon mtotus 12 Mnmont rajotusehdon valltessa, Lagrangen kertoja Mnmonttehtävän reunaehto otetaan huomoon käyttäen Lagrangen kertojamenettelyä Mnmotavaan funktoon lsätään reunaehdon määrttelevä funkto kerrottuna tostaseks määräämättömällä kertomella β. Mnmotava funkto on sten G = 1 Λ λ + β ( µc λ d C D ) Jokasella arvolla β funktolle G vodaan etsä (globaal, rajottamaton) mnm. Mnmn sjant ja arvo rppuvat parametrsta β. Määrätään nyt β sten, että mnmpste totetuttaa reunaehdon el että d C D = 0. Tällön lausekkeen G globaal mnm sjatsee reunaehdon määräämällä hyperpnnalla. Funkton G rajotus hyperpnnalle alkuperänen kohdefunkto. d C D = 0 on (β:sta rppumatta) sama kun G:n globaal mnm on varmast myös hyperpnnalle rajotetun funkton mnm el alkuperäsen kohdefunkton mnm hyperpnnalla. Löydetty ratkasu ss mnmo alkuperäsen kohdefunkton ja totetuttaa vaadtun reunaehdon el on etstty tehtävän ratkasu.

13 J. Vrtamo Telelkenneteora / Verkon mtotus 13 Mnmonnn suorttamnen G = 1 Λ G C = λ + β ( µc λ 1 Λ d C D ) λ µ (µc λ ) 2 + βd = 0, (µc λ ) 2 = λ µ Λβd C = λ µ + 1 λ Λβµ d Ratkastaan nyt β reunaehdosta = 1,..., M (mnusmerkk e tule kysymykseen) D = d C = d λ µ + 1 Λβµ λ d D λ d 1 µ = Λβµ λ d λ /µ on lnkn keskmääränen bttvrta; vähntään tämä kapasteett tarvtaan lnkllä, jotta kuorma ylpäätään kyetään kuljettamaan. Vastaavast d λ µ on järjestelmän vähmmäskustannus.

14 J. Vrtamo Telelkenneteora / Verkon mtotus 14 Mnmont (jatkoa) Merktään D e = D d λ µ Tämä on yljäämäraha, joka vähmmäskustannusten kattamsen jälkeen on käytettävssä järjestelmän optmontn. D e :n avulla reunaehto antaa 1 Λβµ = D e λ d Sjotetaan tämä takasn optmaalsen C :n lausekkeeseen: C = λ µ + D e λ /d M j=1 λj d j Keskmääränen vpymä optmodussa verkossa on T mn = 1 ΛµD e ( M =1 λ d ) 2 Lnkn kapasteett ylttää vähmmäsarvon λ /µ määrällä, joka on verrannollnen λ /d :hn.

15 J. Vrtamo Telelkenneteora / Verkon mtotus 15 Erkostapaus Jos ertysest kaklla lnkellä on sama omnaskustannus, vodaan asettaa d = 1 D = C Merktään lsäks ρ = 1 C M =1 λ µ käytettävssä oleva kokonaskapasteett lnkken keskmääränen käyttöaste Tällön kaavat saavat yksnkertasemman muodon: C = λ µ + (1 ρ)c ( ) 2 λ λ λj j Ylmääräkapasteetn jako tapahtuu λ :den suhteessa. T mn = (1 ρ)λcµ