PUTKIKELLON SUUNNITTELU 1 JOHDANTO 2 VÄRÄHTELEVÄN PALKIN TEORIAA. dm Q dx = (1) Matti A Ranta

Transkriptio

1 Matt A Aaltoylopsto Perusteteden korkeakoulu Matematkan ja systeemanalyysn latos PL 1100, Espoo matt.ranta@tkk.f 1 JOHDANTO Putkkellot kuuluvat lyömäsotnten ryhmään. Putkkellot koostuvat erptussta vrtetystä metallputksta. Ne on tavallsest valmstettu messngstä. Putket ovat yleensä halkasjaltaan 3040mm ja ptuudeltaan 75155cm. Ään syntyy, kun putka lyödään penellä nahka ta muovvasaralla. Vtteet [1], [2] ja [3]. Värähtelevän palkn teoran [4] avulla tetylle frekvensslle vrtettävän putken ptuus vodaan laskea er reunaehtoja vastaamaan. Värähtelevän palkn osttasdfferentaalyhtälö vodaan ratkasta ns. muuttujen erottamskenoa käyttäen. Se johtaa transkendenttfunktoon (16), jonka ratkasu määrttää putken ptuuden kaavan (22) avulla. 2 VÄRÄHTELEVÄN PALKIN TEORIAA Teknllsen tavutusopn perusteet löytyvät helpost krjallsuudesta [4]. Tarkastellaan nfntesmaalsta dxptusta palkkalkota, johon vakuttaa momentt M, lekkausvoma Q ja ulkonen kuormtus p. Palkkalkon tasapanosta saadaan yhtälöt dm Q dx = (1) dq = p (2) dx Olkoon E palkn materaaln kmmokerron ja ρ sen theys. Palkn pokklekkauksen muoto ja koko määrttää palkn jäyhyysmomentn I ja pntaalan A. Merktään x dervaattaa plkulla ja t el akadervaattaa psteellä tapuman y päällä. Teknllnen tavutusopp antaa yhtälöt M EI yʹ ʹ = (3) 1

2 p =!!A!!y (4) Yhtälö (4) on palkn massan htaudesta johtuva kuormtusterm. Sjotetaan yhtälö (1) yhtälöön (2) ja shen stten yhtälöt (3) ja (4). Päädytään vakopokkpntasen palkn pokttasvärähtelyjen osttasdfferentaalyhtälöön!!y ( t, x) + EI 3 MUUTTUJIEN EROTTAMINEN!A y!!!! t, x ( ) = 0 (5) Nn sanottu muuttujen erottamnen on osottautunut tehokkaaks kenoks värähtelyprobleemoden kästtelyssä. Etstään yhtälön (5) ratkasua muodossa!!y ( t, x) + EI!A y!!!! t, x Sjotetaan tämä yhtälöön (5) ja jaetaan tulolla TY ( ) ( ) + EI!!T t T t!a Y!!!! ( ) = 0 (6) ( x) Y x ( ) = 0 (7) Yhtälö hajoaa kahden termn summaks, josta ensmmänen rppuu van ajasta t ja tonen pakkakoordnaatsta x. Tämä on mahdollsta van, jos kumpkn term on vako. Saadaksemme ajasta harmonsest rppuvan ratkasun merktään ensn separomsparametr T!! ( t ) T ( t) =!! 2 (9) joka antaa ratkasut snω t ja cosω t. Toseks x:stä el pakasta rppuvaks yhtälöks tulee Y ( x) Y( t) Käytetään lyhennysmerkntää 2 ρaω ʹ ʹ ʹ ʹ = 0 (10) EI 4 2 β ρaω = l EI (11) Y x Yrtetään koeratkasua ( ) rx ( β ) 4 ( ) = 0 4 r l Y x = e ja sjotetaan yhtälöön (10). Saadaan tulos, joka toteutuu, jos vako r saa arvot r 1,2 =± β l ta 3,4 r =± β l. 2

3 Pakasta rppuva osuus Y( x ) muodostuu funktosta Y( x) Acosh ( βx l) Bcos( βx l) Csnh ( βx l) Dsn ( βx l) = (12) 4 REUNAEHDOT MÄÄRITTÄVÄT OMINAISMUODOT Knntystavasta johtuen palklla on rpustuspsteessä x = 0 nvel, jossa sekä tapuma että momentt hävävät el kaavojen (12) ja (3) mukaan ehdot ovat ( 0) 0 Y = A B 0 + = ja ( ) Yʹ ʹ 0 = 0 A B= 0 tulos on A= B= 0 (13) Vapaassa alapäässä x= l hävävät sekä momentt että lekkausvoma el kaavojen (1) ja (3) perusteella ehdot ovat ʹ ʹ = Csnh β Dsn β 0 Y ( l) 0 = ja Y ( l) 0 Nämä ehdot toteutuvat, jos yhtä akaa on vomassa ʹ ʹ ʹ = Ccosh β Dcos β = 0 (14) C sn cos D = β β snh β = cosh β (15) Tämä on mahdollsta, jos β on transkendenttsen yhtälön tan β = tanh β (16) juur. Kuten seuraavasta kuvasta nähdään, on tällä yhtälöllä äärettömän monta juurta Kuva 1. Yhtälön tan β = tanh β juuret. Taulukko 1. Yhtälön (16) kuus ensmmästä juurta β1 β2 β3 β4 β5 β6 3,9266 7, , , , ,

4 Koska tanh β 1 kun on suur, saadaan juuret ensmmästä ehkä lukuun ottamatta lkkaavasta tan β = 1. Ne ss ovat β ( 14) + π (17) Tämä lkkaava antaa ensmmäsen juuren kohdalla lan suuren arvon. Sen jälkeen ero on korkentaan luokkaa 10!7, el merktyksetön. Värähtelyyhtälön (5) ratkasu vodaan nyt ehdon (15) ja uusen ntegromsvakoden A ja B avulla esttää sarjamuodossa n (18) = 1 y( t, x) = ( A snωt+ B cosωt) sn β snh ( β x l) + snh β sn ( β x l) Tässä on moodn muotoa esttävä funkto Y ( x) sn β snh ( β x l) snh β sn ( β x l) = + (19) Separomsparametr ω rppuu merknnän (11) perusteella omnasarvosta β el 2 2 E I l ω = β (20) ρ A Reunaehdot määrttvät frekvensst ja omnasmuodot mutta alkuehdot määrttäsvät värähtelyjen ampltudn. Ampltuda e usenkaan tarvtse ratkasta. Seuraavassa kuvassa näemme kolme ensmmästä mooda kaavasta (19) snh β :lla skaalattuna Kuva 2. Värähtelyprobleeman kolme ensmmästä skaalattua mooda. 4

5 5 PUTKEN PITUUDEN JA VÄRÄHDYSLUVUN VÄLINEN YHTEYS Koska ω = 2π f, saadaan kaavasta (20) putken ptuuden ja frekvenssn nelöjuuren välnen rppuvuus l f β E I = 2π ρ A 1/2 (21) Tästä kaavasta nähdään, että putken ptuuden ja sen ensmmäsen värähdysluvun nelöjuuren tulo rppuu tuentatavasta johtuvasta vakosta β1 2π 1,56649 sekä äänennopeudesta c I A. 6 ESIMERKKI = E ρ palkn materaalssa ja pokklekkauksen geometrasta Valtaan materaalks messnkputk, jonka senämän paksuus on h = 10mm ja ulkohalkasja on D = 40mm. Tällön on ssähalkasja d = D 2h= 20mm. Pokklekkauksen geometrasta johtuva vako on I A 11, 2 mm. Äänen nopeus messngssä on c= E ρ = 4700m s. Valtut värähdysluvut sekä ntä vastaavat putken ptuudet kaavasta (21), kun = 1, ovat seuraavassa taulukossa Taulukko 2. Ensmmäsen värähdysluvun ja putken ptuuden välnen rppuvuus l [ ] [ ] f Hz 261,6 293,7 329,6 349,2 392,0 440,0 493,9 mm 702,1 662,6 625,5 607,7 573,5 541,3 511,0 Sama asa näkyy myös seuraavassa kuvassa Kuva 3. Esmerkssä lasketut putken ptuudet frekvenssn funktona. 5

6 Normaala kuuloaluetta Hz vastaavat putken ptuudet nähdään seuraavassa kuvassa. Kuva 5. Ihmsen kuulon aluetta Hz vastaavat esmerkn putken ptuudet. Kuvasta 5 nähdään mten matalat äänet vaatvat ptkän putken esm. 20Hz vaat 2539,15mm mutta 15000Hz van 92,72mm. Korkella taajuukslla erot putken ptuuksssa ovat penet 7 LOPPUSANAT Tässä esmerkknä estetyn kellopeln rakentamnen onnstuu osaavan kässsä sopvsta hukkaputksta, jollon kustannukset ovat penet. Lopputuloksen vo vrttää haluamalleen värähtelyalueelle. Lan ohutsenäsä putka tulee välttää, jotte nssä syntys ääntä härtsevä kuorvärähtelyjä. VIITTEET [1] f.wkpeda.org/wk/putkkellot [2] [3] vsl.co.at/en/70/3196/3216/3217/5821.vsl [4] Arvo Ylnen, Kmmo ja lujuusopp osat I ja II, WSOY, 1948 ja