Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit"

Transkriptio

1 Ykskköoperaatot ja teollset prosesst 1 Ylestä Faasen välnen tasapano Neste/höyry-tasapano Puhtaan komponentn höyrynpane Ideaalnen seos Epädeaalnen nestefaas Tlanyhtälöt Kaasu vs. höyry Höyryn ja nesteen ptosuudet erotustekjän avulla Neste/neste-tasapano Uuton vpusääntö Neste/knteä-tasapano Ideaalaskelten lukumäärän määrttämnen Johdanto Käyttövva Ideaalaskel Ideaalaskeleden lukumäärän laskemnen McCabe-Thele menetelmällä Erotusprosesst Tslaus Tslauskolonnn rakenne Tslamen taseet Yhden deaalaskeleen tomnnan ratkasemnen taseden avulla Ideaalaskeleden lukumäärän graafnen ratkasu Käyttövvojen määrttämnen Hahdutus Monvahehahduttamot Absorpto Uutto Luotus ja pesu Adsorpto Ionnvahto ja kromatografa Kteytys Saostus Henonnus Neste-knteäerotus Kalvoteknkka Vaahdotus Erotusprosessen mekanstnen malltus Mekanstsen malltuksen perusteet: taseet, tasapanot ja nopeusyhtälöt Malln yhtälöt Malln kehtys Mallen parametrsont ja spesfont Malln ratkasu Testaus, valdont ja malln edelleen kehtys Esmerkk: aneensrtoon perustuvan erotusaskeleen mall Esmerkk: tslauskolonnn deaalaskelmall smulaattorssa Srtokerronten korrelaatot

2 5.2.1 Esmerkk aneensrtokorrelaatosta erotusprosessen malltuksessa Prosesskehtys ja -syntees Prosesskehtys Prosesssyntees Herarkknen lähestymstapa prosesssynteesn Prosesssuunnttelu Essuunnttelu ja toteutettavuustarkastelu Essuunnttelun ssältö Valmstuskapasteetn valnta Toteutettavuustarkastelu Reaktorn valnta Erotusmenetelmen valnta Aneomnasuuksen vakutus erotusmenetelmän valntaan Prosessn luonne Talouskysymykset ja menetelmen kypsyys Erotusjärjestyksen valnnasta Sälöden mtotus Käyttöhyödykejärjestelmstä Prosesssuunnttelun dokumentt Suunntteluperusteet Kaavot Lohkokaavo Vrtauskaavo Putksto ja nstrumentontkaavo (PI kaavo) Muut kaavot Symbolt Ylestä Erotusprosesst perustuvat usemmten seoksen jakamseen kahteen faasn, jolla on erlanen koostumus. Tyypllsä erotusprosesseja ovat mm. tslaus, absorpto ja hahdutus, jossa herkemmn hahtuvat komponentt rkastuvat höyryfaasn ja vähemmän ta e lankaan hahtuvat nestefaasn. Uutossa käytetään kahta tosnsa lukenematonta nestefaasa, esmerkks orgaansta luotnta ja vettä. Jotkut komponentt lukenevat meluummn orgaanseen faasn ja toset taas vesfaasn. Tätä lukosuuseroa vodaan käyttää komponentten erottamseen. Kteytyksessä nukkalukosemmat komponentt kteytyvät helpommn seosta väkevötäessä hahduttamalla ta lämpötlaa laskettaessa. Suodattamalla syntyneet kteet luoksesta saadaan komponentteja erotettua nden lukosuuden perusteella. Adsorptossa erotus tapahtuu sen perusteella, mten halukkata komponentt ovat tarttumaan adsorbenttmateraaln pnnalle. Vastaavaan fyskaalseen lmöön perustuu myös kromatografnen erotus. Erotusprosessen tomnnan laskemseks tarvtaan tetoa stä, mkä on faasen välnen koostumus tasapanossa ja mllä nopeudella stä lähestytään. Tlanne on jossan määrn samanlanen kun lämmönsrrossa, mutta lämpötlan kohdalla tasapano on trvaal; lämmönsrto on tasapanossa kun lämpötlat ovat kakkalla samat. Aneensrrossa tasapano on huomattavast monmutkasemp, ja se rppuu aneden ptosuukssta sekä paneesta ja lämpötlasta. Aneen- ja lämmönsrron nopeuksen arvont on sen sjaan usen hyvn samantyyppstä. Nopeus vodaan arvoda yhtälöstä, jossa on verrannollsuuskerron (aneen- ta lämmönsrtokerron), pnta-ala, jonka yl srto tapahtuu, sekä ajava voma joka on joko lämpötlaero ta pokkeama tasapanoptosuudesta. 2

3 Aneensrtoa vodaan kuvata samantyyppsellä yhtälöllä kun lämmönsrtoa: n& = k ADx (1.) mssä n& on komponentn srtyvä anemäärä [mol/s]. Tämä on aneensrron aheuttama term anetaseessa (ssään ta ulos faassta). Tämä vastaa energataseessa srtyvää lämpövrtaa (W) k on komponentn aneensrtokerron [mol/m 2 s]. Tämä saadaan vastaavsta korrelaatosta kun lämmönsrtokerron. A on ala, jonka läp ane srtyy, esmerkks faasen välnen pnta-ala [m 2 ] Dx on aneensrron ajava voma. Dx = x - K x I,b II,b (2.) mssä yländeks I ja II vttaavat kahteen tarkasteltavaan faasn, esmerkks höyry ja neste. Käytetyt ptosuudet tässä ovat bulkkfaasn ptosuuksa, el ptosuudet faasen rajapnnan lähellä olevan aneensrron rajakerroksen ulkopuolella. Seuraavaks tarkastellaan stä, mstä saadaan faastasapanoon lttyvä jakaantumskerron K. 2 Faasen välnen tasapano Faasen tasapano vodaan määrtellä usealla er tavalla. Tasapanossa koko systeemn Gbbsn energa on mnmssään. Tämä vodaan esttää myös sten, että faast ovat tostensa kanssa tasapanossa, kun jokasen komponentn kemallnen potentaal on yhtä suur kakssa faasessa. Keman teknkassa (teknllsessä termodynamkassa) faastasapano estetään usen kemallsten potentaalen sjasta fugasteetten avulla. Fugasteett on eräänlanen efektvnen osapane. Käytännössä nässä estystavossa kyse on van er koulukunnsta; koulukunnat evät vo melptellään vakuttaa shen mhn tasapanoon faast asettuvat joten tasapanon täytyy olla merkntätavasta rppumatta sama. Faasen ollessa tasapanossa nden ptosuudet ta määrät evät muutu ajan kuluessa. Kuten akasemmn todettn, faasen tasapano e edellytä ptosuuksen yhtäsuuruutta. Faastasapanoon lttyy kaks keskestä kästettä, jotka ovat hyödyllsä myös erlasa erotusmenetelmä arvotaessa. Ensmmänen on komponentn tasapanovako ta jakaantumskerron. Huom! tätä e tule sekottaa reakton tasapanovakoon. Faastasapanoon lttyvä jakaantumskerron on komponenttkohtanen, kun taas reakton tasapanovako on reaktokohtanen. Yhtestä nälle on se, että nden lukuarvoja vodaan arvoda termodynamkan ja mukana oleven komponentten omnasuuksen perusteella, ja nden avulla laskea tasapanotlassa olevan systeemn ptosuuksa. Faastasapanoon lttyvän jakaantumskertomen määrttely on x K = x I II (3.) Se kuvaa ss ptosuuksen (moolosuuksen) suhdetta kahdessa faasssa tasapanotlassa. Yleensä faas I on kevyemp, ja II on raskaamp, el esmerkks höyryn ja nesteen välsessä tasapanossa I ols höyry ja II neste. Kahden nestefaasn välsessä tasapanossa I ols penemmän theyden 3

4 omaava neste ja II theämp. Tlanne e kutenkaan ana ole nän suoravvanen, joten epäselvssä tlantessa on hyvä ana tarkastaa mten määrtelmä on tehty. Jakaantumskerron kuvaa stä, kunka herkäst tarkasteltava komponentt kertyy faasn I verrattuna faasn II. Esmerkks höyry-neste tasapanossa herkäst hahtuvalla komponentlla on suur jakaantumskerron (paljon suuremp kun yks), ja huonost hahtuvalla kerron on vastaavast ykköstä penemp. Kun tehtävä on arvoda tetyn erotusprosessn tomntaa jodenkn komponentten erottumsessa, on oleellsta vertalla näden komponentten suhteellsta jakaantumsta faasen välllä. Sllon pelkän jakaantumskertomen sjasta käytetään tarkasteltaven komponentten jakaantumskertomen suhdetta, el erotustekjää: a j K = K j (4.) Vakka jollakn komponentlla ols selväst ykkösestä pokkeava jakaantumskerron, sen erottamnen tosesta lähes saman jakaantumskertomen omaavasta komponentsta on vakeaa. Tällön kannattaa etsä jotan tosta erotusmenetelmää, vakkapa uuttoa tslauksen sjasta. Erotustekjä on helppo tapa analysoda tetyn erotusmenetelmän soveltuvuutta tarkasteltaven komponentten erotukseen. Jos erotustekjä on lähellä ykköstä, on erotus kysesellä menetelmällä vakeaa. Mtä enemmän se eroaa ykkösestä, stä helpompaa erotus faastasapanon näkökulmasta on. 2.1 Neste/höyry-tasapano Erotusprosesselle, jotka perustuvat tasapanoon nesteen ja höyryn välllä, vodaan aj, K ja Kj esttää höyrynpaneden ja aktvsuuskertomen avulla. Ideaalnen seos on sellanen, mssä tetyn kemallsen komponentn molekyylt vuorovakuttavat ertyyppsten molekyylen (er aneden) kanssa yhtä paljon kun muden tsensä kaltasten molekyylen kanssa. Esmerkks butaanmolekyyl kokee veressä olevan pentaanmolekyyln lähes samon kun tosen butaanmolekyyln koska ne ovat kemallsest hyvn samankaltasa. Sen sjaan esmerkks veden vuorovakutus pentaanmolekyyln kanssa on hyvn erlanen kun tosen vesmolekyyln, joten seos on hyvn epädeaalnen. Hyvn epädeaalset nesteseokset muodostavat usen kaks tosnsa lukenematonta nestefaasa Puhtaan komponentn höyrynpane Puhtaalle komponentlle höyrynpane tarkottaa stä panetta, jossa annetussa lämpötlassa muodostuu kaks faasa, höyry ja neste. Mkäl pane on suuremp kun höyrynpane, muodostuu anoastaan nestefaas ja mkäl penemp, anoastaan höyryfaas. Lämpötlan noustessa nousee myös höyrynpane. Höyrynpanekäyrää seurattaessa lämpötlan ja paneen noustessa höyryn ja nesteen omnasuudet lähestyvät tosaan; esmerkks höyryn theys kasvaa ja nesteen penenee. Kun lämpötlaa nostetaan rttäväst, ns. komponentn krttseen psteeseen, neste- ja höyryfaasen omnasuudet ovat samat. Tällön erllset höyry- ja nestefaast hävävät, ja muodostuu van yks ylkrttnen flud. Krttnen pste jossa tämä tapahtuu, el krttnen lämpötla T C ja krttnen pane p C ovat tärketä kemallsta komponentta kuvaava parametreja. Esmerkks vedelle T C = 647,096 K ja p C = 22,064 MPa. Krttsä suureta käytetään usessa aneomnasuuksen estmontmenetelmssä, ss mussakn kun pelkästään höyrynpaneeseen lttyvssä omnasuuksssa. Nätä arvoja on taulukotu erlasten prosesssmulaattoreden aneomnasuustetokantohn. 4

5 Nesteden höyrynpaneen p rppuvuutta lämpötlasta T vodaan kuvata mm. Antonen yhtälöllä ln p = A - B / (C + T). Tässä yhtälössä A, B ja C ovat anekohtasa parametreja. Yhtälö e ole ylesest dmensoltaan okea, koska okealla puolen on lämpötlan ykskkö ja vasemmalla puolen paneen logartm. Sks se on vomassa van tettyjä paneen ja lämpötlojen ykskötä käytettäessä. Tämän kaltaset yhtälöt tuls esttää laadutettuna suureyhtälönä, jossa okeat dmensot on jo yhtälössä näkyvssä. Esmerkks veden höyrynpaneen kuvaamseen lämpötlavälllä 284 K 441 K soveltuu seuraava lauseke p 3816,44 ln = 18,3036- mmhg T / K - 46,13 Tähän yhtälöön sjotetaan lämpötlan lukuarvo ja dmenso (ja tehdään tarvttaessa laatumuunnokset) ja tuloksena saadaan myös pane okeassa ykskössä automaattsest. Valtettavast krjallsuudessa dmensot on usen jätetty esttämättä ja ne ptää selvttää asayhteydestä Ideaalnen seos Jos seos on deaalnen, komponentn osapane höyryssä on p = py = x p 0 (5.) mssä x ja y ovat :n moolosuuksa nesteessä ja höyryssä p on kokonaspane p 0 on puhtaan komponentn höyrynpane ko. lämpötlassa. Ideaalslle seokslle saadaan jakaantumskertomelle ja erotustekjälle (jota höyry-neste tasapanoa kuvattaessa kutsutaan suhteellseks hahtuvuudeks) seuraavat yhtälöt: K y = x = p 0 p (6.) a j p = p 0 0 j (7.) Tämän mukaan erotustekjä rppuu van puhtaden komponentten höyrynpanesta. Mkäl komponentten höyrynpaneet eroavat tosstaan merkttäväst, nn erotustekjäkn pokkeaa ykkösestä. Koska höyrynpane on komponentsta rppumatta melko samankaltasest lämpötlan funkto, vodaan edellä estetty tulkta myös sten, että erotustekjä pokkeaa ykkösestä jos komponentten kehumspsteet ovat rttäväst tosstaan pokkeava. Erotustekjää a j kutsutaankn höyry-neste prosessessa ylesest suhteellseks hahtuvuudeks Epädeaalnen nestefaas Ideaalslla luokslla erotustekjä e rpu paneesta ta ptosuukssta ja yleensä van vähäsessä määrn lämpötlasta. Käytännössä useat seokset ovat kutenkn epädeaalsa, etenkn nestefaasssa komponentten vuorovakutukset vovat olla monmutkasa. Tällön epädeaalsuus on huomotava jollan tavon, jotta erotusprosesseja vodaan suunntella oken. Epädeaalsuus vodaan huomoda 5

6 nestefaasn aktvsuuskertomen g avulla. Aktvsuuskerron on ss komponenttkohtanen korjauskerron. Se rppuu merkttäväst seoksen musta komponentesta ja lämpötlasta, mutta e juurkaan paneesta. Komponentn osapane höyryssä on sllon p = py = x g p 0 (8.) Höyryfaas oletettn tässä deaalseks. Tämä on usen paremp arvaus kun deaalnen nestefaas; höyryssä molekyylt ovat kauempana tosstaan jollon vuorovakutukset ovat kaken kakkaan vähäsempä kun nesteessä. Korkessa panessa myös höyryfaasn epädeaalsuus vo olla merkttävä ja se vodaan huomoda sopvalla tlanyhtälöllä. Tasapanovakon ja erotustekjän lausekkeet epädeaalslle luokslle saadaan edellä olevan avulla K = y x = g p p 0 (9.) a j = g p g p j 0 0 j (10.) Aktvsuuskertomen estmontn on olemassa lukusa menetelmä, jota on ohjelmotu prosesssmulaattorehn. Tyypllsmpä nästä ovat Wlson, UNIQUAC, ja NRTL. Nämä menetelmät ennustavat komponentten aktvsuuskertomet ptosuuksen ja lämpötlan perusteella. Ne vaatvat komponentten välsä vuorovakutusparametreja, jota on koottu myös smulaattoreden tetokantohn. Tyypllstä menetelmlle on se, että usean komponentn systeemessä aktvsuuskertomet vodaan ennustaa huomomalla sopvalla (menetelmälle omnasella) tavalla bnäärparen, el kunkn kahden komponentn välset, vuorovakutukset. Nän tetokantohn tarvtaan van kunkn komponenttparn mallkohtaset parametrt Tlanyhtälöt Tlanyhtälöt ovat malleja, jolla saadaan laskettua tyypllsest tuntematon mooltlavuus, pane ta lämpötla, kun kaks muuta nästä tunnetaan. Yksnkertasn tlanyhtälö on deaalkaasulak. Monmutkasemmat tlanyhtälöt pystyvät ennustamaan yhtäakasen höyry- ja nestefaasn olemassaolon ja nden ptosuudet. Monmutkasemmlla tlanyhtälöllä vodaan myös arvoda kaasun pokkeama deaalkaasusta korkessa panessa. Tlanyhtälöden hyvä puol on se, että sama yhtälö sop sekä höyrylle että nesteelle, ja nden avulla vodaan laskea sekä tasapanoptosuuksa että muta aneomnasuuksa (kuten theys). Ne sopvat laajalle pane- ja lämpötla-alueelle. Tlanyhtälöden huono puol on se, ette hyvn epädeaalsa systeemejä, kuten sellasa jotka jakautuvat kahteen tosnsa lukenemattomn nestefaasehn, ole kovn helppo kuvata tarkast. Sen sjaan tlanyhtälöt sopvat hyvn esmerkks erlasten hlvetyjen seokslle korkessa panessa. Tyypllsä tlanyhtälötä ovat mm. Soave-Redlch-Kwong (SRK) ja Peng-Robnson (PR). Tlanyhtälössä on myös komponenttparkohtasa vuorovakutuksa samon kun aktvsuuskerronmallessa. Erlasa tlanyhtälötä ja nden modfkaatota on satoja. Nästä tyypllsmmät on ohjelmotu prosesssmulaattorehn ja nden tarvtsemat vuorovakutusparametrt löytyvät usen myös ohjelmen tetokannosta. Tlanyhtälöt saattavat tosn jo olla rakenteellsest sellasa, että komponentten vuorovakutusparametrt van korjaavat tlanyhtälön tsessään ennustama vuorovakutuksa. Aktvsuuskerronmallssa nän e ole, vaan ne vaatvat ana kokeellsest mtatut ta komponentten rakenteen perusteella ennustetut vuorovakutusparametrt. 6

7 2.1.5 Kaasu vs. höyry Tässä luvussa on tarkasteltu höyry-neste tasapanoja. Höyryllä yleensä tarkotetaan kaasumasta anetta, jonka lämpötla on alle komponentn krttsen lämpötlan. Tällön slle vodaan mm. laskea höyrynpane Antonen yhtälöstä. Kemallsssa prosessessa kästellään kutenkn myös aneta, joden krttnen lämpötla on alle prosessn lämpötlan, ekä ntä ss vo esntyä puhtana nestenä kysesessä lämpötlassa. Faastasapanoja tarkasteltaessa nätä kutsutaan kaasuks, vakka arkelämässä termejä kaasu ja höyry käytetään usen sekasn. Tlannetta hämmentää velä se, että termllä höyry vtataan usen arkelämässä ertysest veden höyrymäseen olomuotoon. Englannn kelessä tlanne on selvemp, kaasu = gas, höyry = vapor, veshöyry = steam el water vapor. Ilmassa kakk merkttävässä määrn esntyvät komponentt ovat ylkrttsä ulkolman lämpötlossa lman kosteutta el lman ssältämää veshöyryä lukuun ottamatta. Kaasujen faastasapanoja kuvataan usen lukosuusmallen avulla. Tyypllsn lukosuusmall on ns. Henryn lak, joka lamelle luokslle ja deaalselle kaasufaaslle on y p = x H (11.) Henryn lan "vako" H on komponenttkohtanen ja rppuu lämpötlasta. Tämän mukaan tasapanovako K = H / p. Lukosuusmallen lsäks myös tlanyhtälötä vodaan käyttää, kun arvodaan ylkrttsten komponentten jakaantumsta faasen välllä Höyryn ja nesteen ptosuudet erotustekjän avulla Kun tarkastellaan kahden komponentn, a ja b, seosta, saadaan tekemällä sjotukset y b = 1- y a ja x b = 1- x a erotustekjän (ts. suhteellsen hahtuvuuden) lausekkeeks tasapano-olosuhtessa a ab = y x a a y x b b = y x a a ( 1 - x a ) ( 1- y ) a (12.) joka vodaan ratkasta y a :n suhteen y a a = 1+ ab x a ( a ab -1) x a (13.) Kun aab ja nesteen konsentraato xa tunnetaan, tasapanossa olevan höyryn koostumus saadaan laskettua suoraan edellä olevan yhtälön avulla. Esmerkk Bentseen-tolueen -seos on hyvn deaalnen. Komponentten höyrynpaneet 121 C:ssa ovat 304 kpa bentseenlle ja 135 kpa tolueenlle. Prrä nesteen kanssa tasapanossa olevan höyryn ptosuus nesteen ptosuuden funktona. 7

8 Ratkasu Erotustekjäks 121 C:ssa saadaan a p = p 304 = j = 0 j 2,25 (14.) Kun tämä sjotetaan yllä olevaan höyryn ptosuuden yhtälöön, tasapanokäyrän yhtälöks saadaan y a a = 1+ ab x a = 2,25x ( aab -1) x a 1+ 1,25x a a (15.) Tämä (y-x dagramm) on estetty graafsest seuraavassa kuvassa vasemmalla. Erotusprosessessa pane on usemmten lähes vako, jollon lämpötla muuttuu ptosuuden mukaan. Seuraavassa kuvassa okealla on estetty, mtä faaseja systeemssä on lämpötlan ja ptosuuden funktona (ns. T-xy dagramm ta T-xy kuvaaja) y-x dagramm T-xy dagramm Jos lämpötla on korkea, okeanpuolesen kuvan ylemmän vvan yläpuolella, e systeemssä ole nestettä lankaan vaan pelkkää höyryä. Höyryä kutsutaan tällön tulstetuks. Pystysuoraa etäsyyttä ylemmästä vvasta kutsutaan tällön tulstuslämpötlaks. Kun höyryä jäähdytetään tulstuslämpötlan verran, saavutetaan ylemp käyrä, joka kuvaa kastepsteessä olevaa höyryä. Kastepste tarkottaa stä lämpötlaa, mssä höyry juur alkaa nesteytyä. Kun lämpötlaa pudotetaan edelleen, on systeemssä höyry- ja nestefaast, joden ptosuudet ovat er suuret. Esmerkks katkovvalla kuvatussa lämpötlassa T systeem jakaantuu kahteen faasn, joden ptosuudet komponentn B suhteen ovat x B ja y B (neste x ja höyry y). Kun lämpötlaa pudotetaan edelleen, saavutetaan kuplapste, jota kuvaa edellsessä kuvassa okealla alemp vva. Tämän vvan alapuolella on kakk höyry lauhtunut. Komponentten erottumsta neste- ja höyryfaasehn vodaan luonnollsest hyödyntää anoastaan käyren välsellä alueella jossa molemmat faast ovat olemassa. Puhtalle komponentelle kaste- ja kuplapste ovat samat ja ne sjatsevat höyrynpanekäyrällä. 8

9 Usella komponentella seokset ovat snä määrn epädeaalsa, että ne muodostavat ns. atseotroopppsteen. Tällön tetyssä lämpötlasta rppuvassa ptosuudessa höyryn ja nesteen koostumukset ovat samat, el erotustekjä on yks. Perntesellä tslauksella e atseotrooppkoostumuksessa olevaa seosta voda väkevödä, koska komponentt evät rkastu kumpaankaan faasn. Tslaus vo olla samolle komponentelle hyvä vahtoehto ptosuuksssa, jotka ovat rttävän kaukana atseotroopppstettä. Esmerkknä etanol-ves seos, jossa atseotrooppkoostumus lmanpaneessa on n. 89 mol-% ta 96 tl-% etanola vedessä lämpötlan ollessa n. 78 o C. Nädenkn komponentten suhteellnen hahtuvuus on melko suur penllä etanolptosuukslla, mutta atseotroopppstettä lähestyttäessä erotus muuttuu yhä hankalammaks, koska nesteen ja höyryn ptosuudet lähestyvät tosaan. Seuraavassa T-x kuvaajassa on hahmotettu asaa. 2.2 Neste/neste-tasapano Tasapanon laskemseen tosnsa lukenemattomssa neste-neste-seoksssa vodaan käyttää yhtälöä (8) molemmlle faaselle erkseen. Komponentlle saadaan p = py = x g p 0 (16.) Koska tarkasteltavan puhtaan komponentn höyrynpane nestefaasssa, saadaan 0 p ja kokonaspane on sama kummassakn x I g I = x II g II (17.) Neste-neste prosessen erotustekjäks tasapano-olosuhtessa saadaan sten a j K = K j x = x I I j x x II II j g g = g g II I I j II j (18.) 9

10 jota kutsutaan usen luotnparn selektvsyydeks. Neste-neste -tasapanossa erottumsta tapahtuu (aj 1) van, jos luokset ovat epädeaalsa (g l). Tästä seuraa edelleen, että erotustekjä aj rppuu vomakkaast nesteden ptosuukssta. Itse asassa nesteen jakaantumnen kahteen faasn edellyttää jo snänsä vomakasta epädeaalsuutta; er faasehn meneven komponentten ptää hylkä tosaan jotta faasen erottumnen on mahdollsta. Neste-neste tasapanot ovat yleensä selväst höyry-neste tasapanoja hankalampa, mkäl ntä halutaan esttää aktvsuuskerronmallen avulla tarkast. Selektvsyys on epädeaalsuukssta johtuen myös huomattavassa määrn ptosuukssta rppuva. Tästä syystä neste-neste tasapanoja estetäänkn usen graafsessa muodossa. Seuraavassa kuvassa on estetty tasapanotedot vnyylasetaatt-etkkahappo-ves -seokselle kolmodagrammna 25 o C:ssa. Vaaka-aksellla on veden ptosuus xv panoprosenttena ja pystyaksellla on etkkahapon ptosuus x e panoprosenttena. Loppu on vnyylasetaatta, jonka ptosuus panoprosenttena on ss xvn = xv - xe. Esmerkks kuvan pste P vastaa koostumusta, jossa on vettä 27 p-%, etkkahappoa 36 p-%, ja vnyylasetaatta 100-(36+27)% = 37 %. Kuvassa käyrän alle jäävä alue vastaa sellasa ptosuuksa, jolla muodostuu kaks nestefaasa. Etkkahapon lsäämnen ss tosnsa lukenemattomen veden ja vnyylasetaatn seokseen saa ne jossan vaheessa lukenemaan tosnsa. Lukosuuskäyrät ovat myös vomakkaast lämpötlasta rppuva. Usemmten (mutta e ana) lukosuudet paranevat lämpötlan noustessa jollon käyrän alle jäävä alue penenee ja jossan lämpötlassa saattaa hävtä kokonaan. Tällön komponentt lukenevat tosnsa kakssa ptosuuksssa. Lukosuuden paranemnen on ss uuton erotustekjää huonontava sekka. Kuvassa olevan lukosuuskäyrän alapuolella oleven katkovvojen (tasapanovvojen) päät kertovat ptosuudet, john tasapanossa olevat nestefaast asettuvat. Uutto on luonnollsest mahdollnen erotusmenetelmä van lukosuuskäyrän alapuolsssa ptosuuksssa, kun systeem jakaantuu kahteen nestefaasn. 10

11 Esmerkk. Etkkahappoa postetaan vnyylasetaattluoksesta uuttamalla se veteen 25 C:ssa. Kaks tosnsa sekottumatonta nestettä saatetaan kosketukseen sekotusastassa, ja ntä sekotetaan, kunnes tasapano on saavutettu. Tämän jälkeen ne johdetaan selkeyttmeen (dekanttern), jossa faast erotetaan tosstaan. Jos vesfaasn etkkahappoptosuus on 25 %, nn mkä on vnyylasetaattfaasn koostumus? Ratkasu: Vesfaasn etkkahappoptosuus on 25 p-%. Koska van kylläset luokset vovat olla tasapanossa keskenään, nn vesfaasn koostumusta esttävä pste täytyy olla aemmn estetyn tasapanokuvan rajakäyrällä, joten sen koostumus on (pste A edellä estetyssä tasapanokuvassa) 25 p-% etkkahappoa, 8 p-% vnyylasetaatta ja 67 p-% vettä. Tasapanossa olevan vnyylasetaattfaasn koostumuksen saa seuraamalla sellasta tasapanovvaa, joka on yhdensuuntanen kuvassa oleven katkovvojen kanssa. Tasapanovvan ja rajakäyrän lekkauspsteessä (pste B) saadaan tasapanossa olevan vnyylasetaattfaasn koostumukseks 16 p-% etkkahappoa, 78 p-% vnyylasetaatta ja 6 p-% vettä Uuton vpusääntö Kun syötön ptosuus tedetään, vodaan tasapanokuvaajasta nähdä suoraan myös syntyven faasen määrät. Seuraavassa kuvassa on estetty eräs syötön kokonasptosuus S (20 p-% etkkahappoa, 25 p% vettä ja loput vnyylasetaatta), joka on kaksfaasalueella. 11

12 Se jakaantuu ss kahteen nestefaasn, joden ptosuudet saadaan tasapanovvojen pästä (A ja B). Näden faasen määrät saadaan vvojen B-S ja S-A suhteellssta ptosuukssta sten, että pstettä B vastaavan faasn (orgaannen faas) osuus on verrannollnen vvan S-A ptuuteen ja pstettä A vastaavan faasn (vesfaas) määrä vvan B-S ptuuteen. Mkäl kuva on estetty massaosuuksna, määrät ovat massoja, ja mkäl kuvassa on moolosuudet, määrät ovat mooleja. Samanlanen vpusääntö on vomassa myös höyry-neste dagrammen kaksfaasaluella. Vpusääntö saadaan johdettua helpost krjottamalla anetaseet ja ratkasemalla faasen suhteet nstä. 2.3 Neste/knteä-tasapano Neste-knteä -tasapanolle on olemassa myös jotan aktvsuuskertomn ta vastaavn vuorovakutusparametrehn pohjautuva malleja. Usemmten kutenkn tasapano estetään graafsest. Seuraavassa kuvassa on estetty esmerkk neste-knteä faasdagrammsta bnäärselle m-kresol-pkresol seokselle. Kuvassa estetty lukosuuskäyrä lmottaa lämpötlan, jossa knteä faas vo esntyä tasapanossa nesteen kanssa mllä tahansa luoksen m-kresolptosuudella. Kuvassa on merktty, mtkä faast ovat tasapanossa, kun kokonasptosuus on tetyllä lämpötlaalueella. Esmerkks jos kokonasptosuus on 8 mol-% m-kresola 14 C:ssa (pste A), nn faast ovat knteä puhdas p-kresol (pste B) ja neste, joka ssältää 27 mol-% m-kresola (pste C). Psteet, jotka on merktty E l:llä ja E 2:11ä, ovat ns. eutektsa pstetä, jotka ovat jähmettymskäyrän (lukosuuskäyrän) mnmkohta. Jos luos halutaan kteyttää kokonaan, sen lämpötla on laskettava alle vastaavan eutektsen lämpötlan. Kuvasta nähdään, että tämä lämpötla on 1,6 C, kun m-kresolptosuus on välllä mol-% ja 4 C, kun m-kresolptosuus mol-%. Knteä- neste tasapanojen tarkastelu on keskestä mm. kteytyksessä, saostuksessa ja luotuksessa. Erlasten knteden faasen, mm. er tavon järjestäytyneden kdehlojen, tarkastelu on lsäks tärkeää erlasssa materaalteknkan sovelluksssa. 12

13 3 Ideaalaskelten lukumäärän määrttämnen 3.1 Johdanto Aneensrtoa kahden faasn välllä vodaan saada akaan saattamalla faast suoraan kosketukseen. Tavallsest käytetään vastavrtaan tomva latteta, koska sten saadaan faasen välnen aneensrtopotentaal parhaten hyödynnettyä. Tlanne on hyvn samankaltanen kun myötä- ja vastavrtalämmönsrtmssä. Lämmönsrron yhteydessä prretyt myötä- ja vastavrtasrtmen lämpötlaproflen kuvat vodaan tulkta ptosuusproflks vastavrtasessa erotusprosessssa. Aneensrrossa tosn täytyy lsäks huomoda faastasapano, jota koht faasen ptosuudet lähestyvät jos saavat olla kosketuksssa tostensa kanssa rttävän kauan. Alla olevassa kuvassa on estetty kaksvahenen sekotus-selkeytyssysteem. Vasemmalta alhaalta tulee raskaamp faas ssään (tumma nuol). Se kohtaa jälkmmäsestä vaheesta tulevan kevyemmän faasn (vaalea nuol). Sekotusastassa, jossa on rttävän suur vpymäaka ja hyvä kontakt faasen välllä (rttäväst faasen välstä pnta-alaa), ne sekotetaan hyvn keskenään, jollon ne asettuvat tasapanoon. Tämän jälkeen faast erotetaan tosstaan. Raskas faas ohjataan okeanpuoleseen ykskköön tuoreen kevyen faasn syötön kanssa. Tämän ykskön selkeytysosasta saadaan raskaan faasn tuote; kevyt faas ohjataan ensmmäseen ykskköön. Tällä tavon ykskötä yhdstelemällä saadaan faast kontaktn tostensa kanssa vastavrtaperaatteen mukasest. Sama kuva prretään usen yksnkertasemmn useampvaheselle (N+2) aneensrtosysteemlle. Tällasessa ns. aneensrtokaskadssa reunmmaset yksköt ovat tomnnaltaan usen heman keskmmässtä pokkeava, mstä syystä numeronnssa ne otetaan huomoon erkseen. Esmerkknä tslauksessa pohjankehutn ja lauhdutn ja nden välssä olevat tslauskolonnn välpohjat. N kpl ( ) Tyypllnen askelettan tomva aneensrtolate on tslauksen pohjakolonn. Kolon on varustettu päällekkän olevlla pohjlla. Neste vrtaa ylhäältä alaspän pohjalta pohjalle ja höyry nousee alhaalta ja vrtaa pohjssa oleven reken lävtse ja pohjlla oleven nestekerrosten lävtse seuraavalle pohjalle. Uutossa vodaan myös käyttää pohjakolonneja, jollon raskaamp neste valuu ylhäältä alas ja kevyemp neste vastavrtaan alhaalta ylös. Myös edellä estettyjä sekotn-selkeytnkaskadeja käytetään uutossa. Askelettan tomva latteta käytetään lsäks esm. pesussa, luotuksessa ja kuvauksessa. Nätä latteta kästellään myöhemmn lsää. Tarkastellaan aneensrtoprosessn (vastavrta) peraatteellsta estystä 13

14 y a V a y b V b L a x a L b x b Aneensrto tarkottaa yhden (ta useamman) komponentn srtymstä faasen välllä. Aneensrtoprosessssa on ss vähntään kaks faasa jotta erottumsta faasen välllä vo tapahtua. Edellä on käytetty merkntätapaa, jonka mukaan latteen a-päätyyn syötetään L- faas (L a) ja b-päätyyn V- faas (V b). Yleensä V:llä merktään kevyempää faasa (esm. tslauksessa höyry, Vapor) ja L:llä raskaampaa (esm. tslauksessa neste, Lqud). Muta aneensrtoprosesseja kuvattaessa käytetään yleensä samoja krjama vakka faast vovatkn olla muta kun neste ja höyry, esmerkks uutossa molemmat faast ovat nestetä. Vastaavast x a tarkottaa lateeseen tulevan L-faasn komponentn a ptosuutta ja y a lateesta postuvan V-faasn ptosuutta. Askelmall aneensrtoprosessn laskemseks on estetty seuraavassa kuvassa. Vrrat on snä estetty tulevan ylhäältä ja alhaalta, kuten käytännössä usen asa on erotuskolonneja (esm. tslaus ta uutto) käytettäessä. Muodostetaan kokonasanetase ja anetaseet tarkasteltavlle komponentelle kuvaan prretylle tasealueelle. Tasealueen rajat kuvassa ovat kolonnn tonen pää ja pohjan numero n kohdalla kolonnssa oleva katkovva. Oletetaan ajasta rppumaton tlanne el e kertymstä tasealueeseen. Oletetaan myös, että taseyhtälössä oleva syntymsterm on nolla (e reaktota). 14

15 15 Kokonasanetase: D L V L V L V b b a a n 1 n D = - = - = - + (19.) ja anetase tarkasteltavalle komponentlle: C x L y V x L V y x L y V b b b b a a a a n n 1 n 1 n D = - = - = (20.) Tarkasteltava komponentt vo olla mkä tahansa. Yleensä kahden komponentn erotuksssa tarkasteltavaks komponentks valtaan se, joka rkastuu kevyempään faasn. Esmerkks tslauksessa korkeamman höyrynpaneen omaava ane. 3.2 Käyttövva Käyttövva on komponentn anetaseen graafnen estys. Se kuvaa er faasen ptosuuksa (ta muta omnasuuksa) tetyllä kohtaa prosessa, esmerkks edellä olevassa kuvassa jollan korkeudella kolonna. Komponentn anetaseesta saadaan: 1 n b b b b n 1 n n 1 n a a a a n 1 n n 1 n V x L y V x V L V x L y V x V L y = - + = (21.) el 1 n n 1 n n 1 n V C x V L y D + = (22.) Tämä on käyttövvan yhtälö, sllä sen avulla vodaan prtää höyryn ptosuus y nesteen ptosuuden x avulla mssä tahansa kohtaa latetta. Huomaa, että tämä on er asa kun tasapanoptosuus. Jos käyttövvan ptosuudet olsvat samat kun tasapanoptosuudet, olsvat faast sllä kohtaa latetta jo tasapanossa ekä aneden rkastumsta er faasehn tapahtus. Usen laskelmen yksnkertastamseks oletetaan, että L-faasn ja V-faasn vrrat ovat vakot. Tällön saadaan käyttövvan yhtälöks: V C x V L y n 1 n D + = + (23.) Tämä on myös suoran yhtälö x, y -koordnaatstossa, mkäl L, V ja DC ovat vakota. Vako höyryja nestevrtaus on kohtuullsen hyvä oletus etenkn tslauksessa. Käytännössä taseta numeersest tetokonella ratkastaessa tätä oletusta e tarvta, mutta graafsest asota hahmoteltaessa se helpottaa työtä. Käyttövvan kanssa samaan kuvaan prretään usen komponentten tasapanokäyrä jota esteltn lyhyest jo aemmn.

16 3.3 Ideaalaskel Tarkastellaan seuraavan kuvan aneensrtoaskelta n. Raskas faas (neste) on L-faas ja kevyt faas (kaasu ta höyry) on V-faas. x,n-1 L n-1 V n y,n n N A V n+1 x,n L n y,n+1 Ideaalaskel määrtellään seuraavast: Ideaalaskeleesta postuvat vrrat ovat tasapanossa keskenään. Tasapano tarkottaa, että postuven vrtojen 1. pane on sama 2. lämpötla on sama 3. ptosuudet ovat faasen tasapanoptosuudet tässä paneessa ja lämpötlassa. Kuvassa ptosuudet y,n ja x,n ovat ss deaalaskeleen määrtelmän mukaan tasapanossa. Käyttövva stoo ptosuuksa y,n ja x,n-1 sekä y,n+1 ja x,n, sllä nämä ovat höyryn ja nesteen ptosuuksa samalla kohdalla latetta. Jos aneensrtoaskeleeseen tulevat vrrat L n-1 ja V n+1 evät ole fyskaalsessa tasapanossa, el nssä komponentn A ptosuudet evät ole tasapanossa, aneensrtoaskeleessa tapahtuu aneensrtoa faasen välllä. Ideaalaskeleessa faasen välstä aneensrron nopeutta e tarkastella snänsä, vaan oletetaan, että vpymäaka askeleessa on nn ptkä että aneensrto eht tasapanottaa ptosuudet. Todellsssa aneensrtolattessa (tslaus, uutto, pesu jne.) e aneensrto ole deaalsta, evätkä faast ehd pohjlla tasapanoon. Ideaalaskelten lukumäärä kuvaa sten teoreettsta erotuksen vakeutta sellasessa deaaltlanteessa, että faast ehtsvät joka askeleessa täydellseen tasapanoon. Todellsa erotuspohja tarvtaan yleensä enemmän kun deaalaskelten lukumäärä edellyttää. Ideaalaskelten ja todellsten askelten lukumäärän eroa kuvataan erlasten hyötysuhdemallen avulla. Hyötysuhteta vodaan edelleen arvoda ykstyskohtasempen aneensrtomallen avulla krjottamalla anetaseet jossa on huomotu aneensrron nopeusyhtälöt. Mkäl kolonnssa e ole välpohja vaan se on pakattu täytekappalella, deaalaskeleen käste on slt hyödyllnen. Täytekappaleet vovat olla esm. kolonnn satunnasest pakattuja 1-5 cm tateltuja metallrenkata ta strukturotuja tateltuja levypakkoja. Tällön deaalaskelta vastaa tetty pakkauksen korkeus, el ns. HETP -arvo (Heght Equvalent to a Theoretcal Plate). Tyypllsest tslauksessa välpohjat ovat n cm päässä tosstaan ja tomvat n % hyötysuhteella. Täytekappalekolonnessa HETP arvot ovat tyypllsest samaa suuruusluokkaa rppuen täytekappaleden tyypstä ja koosta. Täytekappalella kolonnn panehävö on tyypllsest vähän penemp kun perntesllä välpohjlla mstä on etua ertysest alpanetslauksessa. 16

17 3.4 Ideaalaskeleden lukumäärän laskemnen McCabe-Thele menetelmällä Ideaalaskeleden lukumäärän N määrttämnen tapahtuu porrastamalla käyttövvan ja tasapanovvan välllä kuten alla olevassa kuvassa on estetty. Jokanen kolmo vastaa yhtä deaalaskelta. Tähän erotukseen tarvtaan kolme deaalaskelta. Sama graafnen ratkasu sop kaklle askelettan tomvlle operaatolle kuten esm. absorpto, tslaus, luotus, pesu ja uutto. Tätä porrastusta kutsutaan McCabe-Thelen menetelmäks. Menetelmää kästellään tarkemmn tslauksen yhteydessä. 4 Erotusprosesst Keman teollsuudessa on jatkuvast tlanteta, jollon er aneta on erotettava seokssta, esm. er prosessehn syötettäven vrtojen puhdstamnen, reaktoresta tuleven tuotteden erottamnen ja/ta puhdstus, raakaöljyn fraktont, savukaasujen puhdstus, arvokkaden aneden erotus raakaanesta ta jätevrrosta, arvokkaden metallen erotus malmkvestä ta yhdyskuntajätteestä jne. Edellä mantut puhdstus- ja erotustomenpteet ovat suortettavssa aneensrtoon perustuvlla erotusprosessella. Erotusprosessella ja nden motteettomalla tomnnalla on keskenen merktys koko tuotantolatoksen tomnnan ja taloudellsen kannattavuuden kannalta. Erotusprosesst vodaan jaotella prosessssa esntyven faasen mukaan seuraavast: Kästeltävä ane Kästtelevä ane Esmerkkejä ykskköoperaatosta kaasu neste absorpto, kaasun pesu, kaasun kostutus kaasu knteä adsorpto, kalvoerotus neste kaasu tslaus, strppaus, kemallnen saostus neste neste uutto neste knteä adsorpto, kalvoerotus, suodatus knteä kaasu kuvaus knteä neste luotus, pesu Kästeltävässä aneessa vo olla myös useampa faaseja. Esmerkks vaahdotuksessa nesteessä olevasta kntoaneesta erotetaan selektvsest haluttuja kntetä partkkeleta kuplttamalla sen läp kaasua. Erotus perustuu shen, että kntoaneden tarttumshalukkuus kuplen pntaan rppuu kntoanepartkkeleden omnasuukssta. 17

18 Seuraavaks kästellään jotan tyypllsmpä erotusprosesseja ylesellä tasolla. 4.1 Tslaus Tslaus on erotusmenetelmstä tärken ertysest erotettaven aneden volyymssa mtattuna. Non 95 % kaksta kemallsen prosessteollsuuden ja öljynjalostusteollsuuden erotukssta tehdään tslauksella. Tslaus on erttän suur energan kuluttaja. Yhdysvallossa on arvotu, että 7,5 % öljyn kokonaskulutuksesta kuluu tslaukseen, mkä vastaa n. 15 % Yhdysvaltojen teollsuuden energan tarpeesta. On myös arvotu, että tslausprosesst kuluttavat Yhdysvallossa enemmän energaa kun koko lentolkenne. Tslauksella tarkotetaan sanan ylesmmässä merktyksessä nesteseoksen osttasta höyrystämstä ja syntyneen höyryn erottamsta jäljelle jääneestä nesteestä. Alkuperäsessä nesteseoksessa olevat helpommn hahtuvat komponentt väkevötyvät höyryfaasn ja vakeammn hahtuvat komponentt väkevötyvät nestefaasn. Sten komponentten erotus johtuu komponentten erlassta hahtuvuukssta el komponentten erotustekjöstä. Mtä suuremp seoksen suhteellnen hahtuvuus on, stä helpommn sen komponentt tslautuvat erlleen Tslauskolonnn rakenne Käytännössä tslaus tapahtuu kolonnessa, jossa on pohjalla kehutn, hupulla lauhdutn, ja tse kolonnssa tslauspohja ta täytekappaleta. Pohjat ta täytekappaleet antavat nesteelle ja höyrylle aneensrron tarvtseman kontaktpnnan. Koko kolonnn matkalla tapahtuu jatkuvaa höyrystymstä ja lauhtumsta sten, että kevyemmät aneet srtyvät meluummn ylöspän höyryn mukana ja raskaammat aneet alaspän lauhtuvan nesteen mukana. Pohjakolonnessa neste ohjataan yleensä alemmalle pohjalle ns. paluukaukalon kautta, josta se vrtaa pohjaa ptkn svusuunnassa pohjan tosessa reunassa olevaan paluukaukaloon. Jossan tapauksssa neste ohjataan vrtaamaan samosta re'stä alaspän mstä höyry nousee ylös. Neste Neste Höyry Höyry Rstvrtauspohja Vastavrtauspohja Erlasa pohja- ja täytekappaletyyppejä on kehtetty lukusa. Pohjlla olevat reät on yleensä varustettu erlaslla venttlratkasulla, jolla pyrtään mnmomaan nesteen halltsematon valumnen re'stä alemmalle pohjalle. Tonen vahtoehto on täyttää kolonn välpohjen sjasta täytekappalella. Tällön neste valuu täytekappaleden pntoja ptkn alaspän hyvässä kontaktssa täytekappaleden välssä ylöspän vrtaavan höyryn kanssa. Täytekappaleta vodaan valmstaa useasta er materaalsta, kuten metallsta, muovsta ta keraamssta materaalesta. Samoja pohjatyyppejä ta täytekappa- 18

19 leta vodaan käyttää myös mussa höyry-neste erotusprosessessa, kuten absorptossa. Tslauksessa välpohjen tomnta on tyypllsest melko lähellä edellä määrteltyjä deaalaskela. Todellsen tslauspohjan ja deaalaskeleen eroa vodaan kuvata pohjan hyötysuhteella. Tyypllsest hyötysuhteet tslauksessa ovat suuruusluokkaa 60-90%. Monssa mussa erotusprosessessa, kuten absorptossa ta uutossa, hyötysuhteet vovat olla huomattavast penempä. Seuraavassa kaavokuvassa on tyypllnen jatkuvatomnen tslauskolonn. Syöttö tulee usemmten kolonnn keskvahelle jotta erotusta tapahtuu sekä tsleeseen että pohjatuotteeseen. Optmkohta syötölle on sellanen, mssä kolonnn ssästen vrtausten ptosuudet ovat mahdollsmman lähellä syötön ptosuuksa. Kolonnn yläosassa on lauhdutn, mssä kolonnsta tuleva höyry nesteytyy joko osttan ta kokonaan. Osa nesteestä on palautettava kolonnn, jotta syötön yläpuolellakn ols nestefaas. Vastaavast kolonnn pohjalla olevaa nestettä on kehutettava, jotta syötön alapuolella ols höyryfaas. Jatkuvatomnen tslauslattesto on tavallsest useta välpohja ta joskus täytekappaleta kästtävä pystykolonn. Pakatussa kolonnessa panehävö on penemp kun pohjakolonnessa, joten ne sopvat esmerkks alpaneessa tapahtuvaan tslaukseen. Täytekappaleta käytetään myös usen sllon, kun kolonnn halkasja on melko pen (penet vrtaukset). Mkäl aneden suhteellnen hahtuvuus on suur (a j > 1,5) el seoksen ssältämen aneden kehumspsteet ovat hyvn erlaset, vaadttaven deaalpohjen määrä on pen. Mkäl taas aneden suhteellnen hahtuvuus on pen el seoksen ssältämen aneden kehumspsteet ovat lähellä tosaan, saattaa vaadttaven teoreettsten pohjen määrä olla useta satoja. Tällön tslaukselle on usen järkevää etsä jokn vahtoehtonen erotusmenetelmä Tslamen taseet Tslauskolonnn ratkasu perustuu ana taseden ja faastasapanon ratkasemseen. Taseta vodaan ratkasta käsn laskemalla, prtämällä taseet ja faastasapano samaan kuvaan (McCabe-Thele menetelmä), ta prosesssmulaattorella. Käytännössä käsn laskenta ja graafset menetelmät sopvat 19

20 van tlantesn, jossa erotetaan kahta komponentta tosstaan. Nden avulla on kutenkn hyvä hahmottaa tslausprosessa. Krjottamalla tase kolonnn melvaltasen pohjan numero n ympärlle saadaan V n y n + L nx n = L n- 1x n-1 + Vn + 1y n+ 1 (24.) Tässä on oletettu, että pohjalle e syötetä ekä seltä oteta kolonnn ulkopuolelle anetta. Lsäks on oletettu ajasta rppumaton tlanne. Ulkopuolset vrtaukset vodaan helpost lsätä anetaseeseen. Mkäl halutaan ratkasta ajasta rppuva tlanne, ptää kolonnn pohjan omnasuuksa tuntea tarkemmn (mm. nesteen tlavuus pohjalla). Lsäks yhtälöden ratkasumenetelmä ajasta rppuvssa tlantessa on erlanen. Ajasta rppuva tlanne johtaa dfferentaalyhtälöhn, kun ajasta rppumaton tavallseen yhtälöryhmään. Krjottamalla vastaava energatase saadaan V nh n + Lh = L n- 1h n-1 + Vn + 1H n+ 1 (25.) Tase kuvaa energavrtoja (J/s) joten se on ss dmensoltaan ajasta rppuva vakka mallssa oletetaankn steady state tla (e kertymstä). Mkäl pohjalle syötetään ta seltä postetaan anetta, nämä vrrat tulee huomoda taseessa. Samon mahdollnen lämmtys ta jäähdytys tulee ottaa huomoon. Tämä mall (taseyhtälöt ja aemmn kästelty faastasapano) vodaan ratkasta numeersest tetokonella. Tetokonella usen lasketaan ns. smulonttapaus. Tällön - arvataan tarvttava pohjaluku N - syöttö oletetaan täysn tunnetuks (ptosuudet, vrtaukset, lämpötla, syötön faas) - tsleen ta altteen määrä valtaan ja tonen lasketaan kokonastaseesta - lämmtysteho ta jäähdytysteho valtaan ja tonen lasketaan energataseesta Yhtälöryhmän ratkasuna saadaan kakken pohjen ptosuudet, lämpötlat ja vrtaukset. Jos lasketut tsleen ja altteen ptosuudet evät ole tovotut, nn muutetaan pohjalukua, tuotevrtausta ta energankäyttöä ja lasketaan uudelleen, kunnes saavutetaan haluttu erotus Yhden deaalaskeleen tomnnan ratkasemnen taseden avulla Seuraavaks tarkastellaan deaalaskeleen tomnnan ratkasemsta, ts. ulostuleven vrtojen omnasuuksen laskentaa, taseden avulla. Yks deaalaskel vo kuvata vakkapa sälötä, jossa höyryä kupl nesteen läp, ta kehutusastaa jossa osa syötettävästä nesteestä postuu höyrynä ja osa nesteenä. Taseet tälle systeemlle ovat seuraavat kokonasanetase tosen (esm. kevyemmän) komponentn anetase energatase F V + F L = V + L F Vy F + F Lx F = Vy + Lx F VH F + F Lh F + Q = VH + LH mssä F vttaa syöttöön (feed). 20

21 Lsäks tarvtaan faastasapanomall, esm. yhtälö 5 deaalsten faasen tapauksessa, stomaan postuvan höyryn ja nesteen ptosuuksa (nämähän ovat oletuksen mukaan tasapanossa). Energatasetta varten tarvtaan mall entalpolle. Jos oletetaan, että lämpökapasteett ovat vakota, saadaan höyryn entalpa H = cpv ( T - Tref ) + DH vap nesteen entalpa h = c ( T - T ) Mkäl tarkasteltavana on kahden komponentn seos, tuntemattoma ovat postuvat vrtaukset V ja L, ptosuudet x ja y (tosen komponentn ptosuus on 1-y ta 1-x) ja lämpötla T. Mkäl lämpötla on annettu ja syötettävä energamäärä halutaan laskea, vodaan se ratkasta energataseesta. Kahden komponentn systeemlle tässä on ss vs yhtälöä ja vs tuntematonta, joten yhtälöryhmä on oken määrtelty. L pl ref Ideaalaskeleden lukumäärän graafnen ratkasu Vakka nykyään tslauskolonnt suunntellaan prosesssmulaattoreta käyttäen, deaalaskeleden lukumäärän graafnen ratkasu McCabe-Thele -menetelmällä auttaa hahmottamaan tslausprosessa ja tetyn tslaustehtävän vakeutta. Menetelmässä prretään y-x dagrammn (kuvaajaan, jossa tarkasteltavan komponentn höyryn moolosuus on prretty nesteen moolosuuden funktona) sekä tasapanokäyrä että käyttövvat el kysesen komponentn anetasesta ratkastu höyryn ptosuus nesteen ptosuuden funktona. Käyttövva kuvaa höyryn ja nesteen ptosuuksen suhdetta tetyssä kohdassa kolonna. Tasapanokäyrä kuvaa ss ptosuuksen suhdetta deaalaskeleesta postuvssa vrrossa. Höyry postuu askeleesta ylöspän ja neste alaspän, evätkä ne postu samassa kohdassa. Akasemmn johdettn anetaseesta yleset yhtälöt käyttövvolle. Tslauksessa käyttövvat krjotetaan erkseen kolonnn syötön yläpuolselle osalle (väkevöntosa) ja alapuolselle osalle (hahdutusosa). Kun nämä prretään samaan kuvaajaan faastasapanokäyrän kanssa, saadaan deaalaskelten määrä arvotua porrastamalla käyttövvojen ja tasapanokäyrän väl. Merktään väkevömsosan vrtauksa alandeksllä V, el vrtaukset ovat L V ja V V. Höyrystymsosan vrtauksa merktään alandeksllä H, el vrtaukset ovat V H ja L H. Väkevömsosan ja hahdutusosan käyttövvojen yhtälöks saadaan tällön L V V y = x + V D V V x D (26.) L V H y = x - H B V H x B (27.) Tslamen lauhduttmen palautusvrran ja tslevrran suhdetta kutsutaan palautussuhteeks, ja stä merktään symbollla R ta RD. Tämä on tärkeä parametr, koska sen avulla saadaan yhteys tsleen määrän ja kolonnn ssästen vrtausten vällle. Palautussuhde määrtellään seuraavast R = L V / D (28.) Huomomalla tämä ja tslamen lauhduttmen kokonastase 21

22 V = D + V L V (29.) vodaan väkevömsosan käyttösuora lausua palautussuhteen avulla R x D y = x + R + 1 R + 1 (30.) Käyttövvojen määrttämnen Kun kolonnn tslevrran haluttu ptosuus x D ja palautussuhde R tunnetaan, vodaan väkevöntosan käyttövva prtää. Väkevöntosan käyttövvan yhtälöstä nähdään, että kun x = x D, nn myös y = x D, joten väkevömsosan käyttövva kulkee ana tämän psteen kautta. R Suoran kulmakerron on, jota vodaan myös käyttää käyttövvan prtämseen. R + 1 Väkevöntosan käyttövva kulkee myös psteen x=0, x D y = kautta. R + 1 Kun väkevöntosan käyttövva on prretty, seuraavaks määrtellään syöttökohta. Se saadaan arvotua sen avulla, mtä faasa syöttö on. Syötölle prretään yhtälö q x F y = x - q -1 q -1 (31.) Parametr q kuvaa stä, kunka paljon syöttö kasvattaa kolonnn nestevrtaa. Käytännössä tämä on hyvn lähellä nesteen osuutta syötössä. Mkäl syöttö on nestettä kehumspsteessään, q=1, mkäl se on höyryä lauhtumspsteessään, q=0. Mussa tlantessa q vodaan arvoda syötön entalpan avulla H - h F q = H - h (32.) mssä H Syöttöpohjalla olevan höyryn entalpa () J/mol h Syöttöpohjalla olevan nesteen entalpa () J/mol h F Syötön entalpa () J/mol Seuraavaks etstään aemmn prretyn kolonnn yläosan ja syöttösuoran lekkauspste. Kolonnn alaosan käyttövva saadaan tämän lekkauspsteen ja pohjatuotteen y = x = xb psteden avulla Kun tslamen tasapanokäyrä ja käyttövvat tunnetaan, vodaan tarvttaven deaalaskelten lukumäärä määrttää porrastamalla. Alotetaan esmerkks kehuttmesta. Pohjatuotteen ptosuus x B tunnetaan. Kehuttmesta postuvan höyryn koostumus saadaan tasapanokäyrältä. Kolonnssa tällä kohtaa oleva neste saadaan taas käyttövvalta, el nesteen ptosuudesta, joka vastaa tätä höyryä. 22

23 Porrastusta jatketaan, kunnes päädytään syöttöpohjalle, väkevöntosaan ja lopuks lauhduttajaan. Porrasten lukumäärää kertoo erotukseen tarvttaven deaalaskelten lukumäärän. Portaden tasapanoaskeleella olevat kulmat ss kuvaavat sltä pohjalta postuven vrtojen ptosuuksa, ja käyttövvalla olevat kulmat vrtoja (höyry ja neste) tasapanokäyrällä oleven askelten välssä. Esmerkk n-pentaan/n-heptaan seos ssältää 50 mol-% pentaana. Tsleeks halutaan 90 mol-% pentaana ja altteeks 10 mol-% pentaana. Palautussuhde on 3 ja syöttö kehumspsteessä. Montako deaalaskelta erotukseen tarvtaan? Pentaan-heptaan seoksen suhteellnen hahtuvuus tslausolosuhtessa on 2,65. Prretään ensn kuvaan tasapanokäyrä suhteellsen hahtuvuuden avulla. Prretään stten kolonnn yläosan käyttövva halutun tsleen ptosuuden ja käytettävän palautussuhteen avulla. Prretään syöttösuora (syöttö kehumspsteessä olevaa nestettä, el q=1). Yläosan käyttövvan ja syöttösuoran lekkauspsteestä saadaan tonen alaosan käyttövvan pste, ja tonen on pohjatuotteen ptosuus dagonaallla. Porrastamalla käyttövvan ja tasapanokäyrän välllä saadaan non 6 deaalaskelta. Tasapanokäyrä, käyttövvat, syöttösuora ja porrastus on estetty seuraavassa kuvassa. Huomaa, että tsleen ptosuus porrastuksessa menee heman yl asetetun tsleen ptosuuden. Mkäl kolonnssa ols 6 deaalaskelta, käytetyllä palautussuhteella tsle ols heman vaadttua puhtaampaa. Tonen vahtoehto ols säätää puhtaus haluttuun arvoon palautussuhdetta heman penentämällä. Ideaalaskelten lukumäärä nesteen ptosuus Tyypllsest käytettävän numeronnn mukaan pohja 1 on lauhdutn, el porrastuksen yln vaakavva, jossa höyry y = x D lauhdutetaan nesteeks. Kehutn on pohja numero 7. Pohja on ss yks enemmän kun erotusaskela. Joskus nätä kästtetä käytetään sekasn. 23

24 Vakka kolonneja e käytännössä suunntella nykyään tällasella porrastuksella, auttaa McCabe- Thele -menetelmän hahmottamnen arvomaan tslauksen vakeutta. Suunnttelja vo tasapanokäyrän nähdessään yhdellä slmäyksellä arvoda, onko tslaus helppo va vakea, mhn ptosuuksn ast tslauksella mahdollsest päästään helpost ja mnkälasta palautussuhdetta on käytettävä. Suur palautussuhde merktsee suurta energankulutusta koska palautettava neste kulkee kolonnssa edes takasn kehuttmen ja lauhduttmen välllä. Suur pohjaluku merktsee suura nvestontkustannuksa, koska kolonnsta tulee korkeamp. 4.2 Hahdutus Hahdutuksessa luoksesta höyrystyy jotan komponentteja, jollon raskaat komponentt väkevötyvät jäljelle jääneeseen luokseen. Hahdutus mustuttaa jossan määrn tslausta, mutta termä hahdutus käytetään usen sllon, kun väkevötävänä on jotan käytännössä täysn hahtumattoma komponentteja, kuten suoloja. Tällön höyry on puhdasta luotnta. Hahduttmet ovat usen rakennettu sten, että nssä on pystysuora putka, jota ptkn neste valuu alaspän ja samalla osa stä höyrystyy. Tonen ylenen hahdutnratkasu on sellanen, mssä neste ja höyry vrtaavat ylöspän. Seuraavassa kuvassa on estetty ptkäputkhahdutn, joka on eräs tyypllnen hahdutntyypp. Syöttö vrtaa syöttösälöstä pystyputkea ptkn nestemäsenä okealla olevaan lämmönsrrnosaan jossa se nousee kehutnputka ptkn samalla höyrystyen. Näden putken tosella puolella on hahdutettavan nesteen kehumspstettä kuumempaa höyryä jollon hahdutettava neste osttan kehuu. Syntynyt neste-höyryseos johdetaan erotussälöön vasemmalla ylhäällä. Erotussälöstä postetaan syntynyt höyry. Tässä erotussälöön johdetaan myös lamea nestesyöttö. Väkevöty neste postetaan kerrosta nestemäsenä kuvassa alhaalla. Kuvan hahduttmessa nesteen vrtaus saadaan akaan kehumsessa syntyven kuplen avulla samaan tapaan kun perntesessä kahvnkettmessä. Tällasta kutsutaan myös termosfonks ta luonnonkertoseks hahduttmeks, mutta kertoa vodaan tehostaa myös pumpulla. Vastaava ratkasuja käytetään myös tslauskolonnen pohjankehuttmna. 24

25 Mkäl hahdutettava neste on hyvn vskoosa, vodaan sen lämmönsrtoa tehostaa myös erlaslla hahdutusputken ssällä pyörvllä kaapmlla. Tällaset ratkasut ovat luonnollsest kallmpa kun luonnonkertoset hahduttmet Monvahehahduttamot Putken tosella puolella teollsssa hahduttmssa on tyypllsest lämmttävä höyry. Usen hahduttmet kytketään sarjaan sten, että ensmmäsestä vaheesta syntyvä höyry käytetään seuraavan vaheen lämmtykseen. Tällön säästetään latokseen syötettävän tuoreen lämmtyshöyryn tarpeessa. Seuraavassa kuvassa on estetty kolmvahenen hahduttamo, jossa neste ja höyry kulkevat samaan suuntaan (vaheesta I vaheeseen III). Neste vodaan myös syöttää vaheeseen III ja pumpata seltä akasempn vahesn. Hahdutettava luos syötetään kuvassa ykskköön numero I, jonne myös prmäärhöyry syötetään. I ykskön höyry-neste erotuksesta tuleva nestevrta jaetaan kahteen osaan, josta tonen kertää lämmönsrtmeen ja osa jatkaa ykskön II höyrystyskertoon. Vaheessa I hahtunut höyry johdetaan ykskön II höyrypuolelle. Vastaavast II yksköstä postuva väkevöty luos ja hahtunut höyry johdetaan III ykskköön. Kytkentä on nmeltään myötäkytkentä; höyryt ja väkevödyt luokset vrtaavat samaan suuntaan. Yksköden paneet ja lämpötlat penenevät samansuuntasest T1>T2>T3 ja p 1>p 2>p 3. Latteston vmeseen ykskköön on kytketty vakuumpumppu ja lauhdutn. Järjestelmä e tarvtse pumppuja hahdutnyksköden välssä, koska sekä väkevötävä luos että höyry vrtaavat yksköhn, jossa on alemp pane. Huomaa, että useamman hahdutusvaheen myötäkytkentä e tarkota samaa kun useamman aneensrtoaskeleen myötäkytkentä. Aneensrtoaskeleden myötäkytkennässä ensmmäsen askeleen jälkeen e tapahdu mtään sllä vrrat ovat tasapanossa jo ensmmäsen askeleen jälkeen. Hahdutuksessa joka vaheessa hahtuu lsää luotnta edellsen vaheen höyryn lauhtuessa. Usen hahdutuksessa anakn vmeset vaheet tomvat alpaneessa kehumslämpötlan alentamseks. Lämpötlan alenemsella on kaks hyvää puolta: lämpöherkät hahtumattomat aneet evät hajoa nn helpost ja matalamplämpönen (ts. alemman paneen) prmäärhöyry rttää lämmttämään seosta. Alemppanenen prmäärhöyry (latoksen käyttöhyödyke) on halvempaa ja latteden suunnttelupaneet ovat myös alemmat. Korkeat suunnttelupaneet johtavat yleensä kallmpn rakentesn. 25

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-

Lisätiedot

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e

Lisätiedot

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron

Lisätiedot

Monte Carlo -menetelmä

Monte Carlo -menetelmä Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla

Lisätiedot

3.5 Generoivat funktiot ja momentit

3.5 Generoivat funktiot ja momentit 3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä

Lisätiedot

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt FYSP103 / 1 KAASUTUTKIUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttausöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-

Lisätiedot

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut) J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät

Lisätiedot

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10

Lisätiedot

Sähkökiukaan kivimassan vaikutus saunan energiankulutukseen

Sähkökiukaan kivimassan vaikutus saunan energiankulutukseen LAPPEENRANNAN ENILLINEN YLIOPISO eknllnen tedekunta LU Energa Sähkökukaan kvmassan vakutus saunan energankulutukseen Lappeenrannassa 3.6.009 Lass arvonen Lappeenrannan teknllnen ylopsto eknllnen tedekunta

Lisätiedot

Tchebycheff-menetelmä ja STEM

Tchebycheff-menetelmä ja STEM Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot

Lisätiedot

r i m i v i = L i = vakio, (2)

r i m i v i = L i = vakio, (2) 4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään

Lisätiedot

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks

Lisätiedot

Mittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa

Mittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa Mttausteknkan perusteet / luento 6 Mttausepävarmuus ja shen lttyvää termnologaa Mttausepävarmuus = mttaustulokseen lttyvä parametr, joka kuvaa mttaussuureen arvojen odotettua vahtelua Mttauksn lttyvä kästtetä

Lisätiedot

Uuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan

Uuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemanalyysn laboratoro Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Uuden eläkelatoslan vakutus allokaatovalntaan Tmo Salmnen 58100V Espoo, 14. Toukokuuta 2007 Ssällysluettelo Johdanto...

Lisätiedot

Työssä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa

Työssä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE (7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 38E. MEKAANISEN VÄRÄHELYN UKIMINEN. yön tavote 2. eoraa yössä tutustutaan harmonsen mekaansen värähdyslkkeen omnasuuksn seuraavssa tapauksssa:

Lisätiedot

FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA

FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA Smo Hostkka VTT PL 1000, 02044 VTT Tvstelmä Fre Dynamcs Smulator (FDS) ohjelman vdes verso tuo mukanaan joukon muutoksa, jotka vakuttavat ohjelman käyttöön ja käytettävyyteen.

Lisätiedot

Tilastollisen fysiikan luennot

Tilastollisen fysiikan luennot Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta

Lisätiedot

Mittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?

Mittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio? Mttausteknkan perusteet / luento 7 Mttausepävarmuus Mttausepävarmuus Mttaustulos e ole koskaan täysn oken Mttaustulos on arvo mtattavasta arvosta Mttaustuloksen ja mtattavan arvon ero on mttausvrhe Mkäl

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot

Lisätiedot

Puupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:

Puupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö: Puupntasen sandwchkattoelementn lujuuslaskelmat. Ssältö: Sandwch kattoelementn rakenne ja omnasuudet Laatan laskennan kulku Tulosten vertalua FEM-malln ja analyyttsen malln välllä. Elementn rakenne Puupntasa

Lisätiedot

Mittaustulosten käsittely

Mittaustulosten käsittely Mttaustulosten kästtely Vrhettä ja epävarmuutta lmasevat kästteet Tostokoe ja satunnasten vrheden tlastollnen kästtely. Mttaustulosten jakaumaa kuvaavat tunnusluvut. Normaaljakauma 7. Tostokoe ja suurmman

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä. MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt

Lisätiedot

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka

Lisätiedot

6. Stokastiset prosessit (2)

6. Stokastiset prosessit (2) Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella

Lisätiedot

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0. BM20A5800 - Funktot, lneaaralgebra, vektort Tentt, 26.0.206. (a) Krjota yhtälöryhmä x + 2x 3 = a 2x + x 2 + 5x 3 = b x x 2 + x 3 = c matrsmuodossa Ax = b ja ratkase x snä erkostapauksessa kun b = 0. Mllä

Lisätiedot

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss

Lisätiedot

BL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka

BL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka BLA6 Sähkönsrtoteknkka Tehonaon laskenta Jarmo Partanen LT Energy Electrcty Energy Envronment Srtoverkkoen laskenta Verkon tehonaon laskemnen srron hävöt ännteolosuhteet ohtoen kuormttumnen verkon käyttäytymnen

Lisätiedot

Sähkön- ja lämmöntuotannon kustannussimulointi ja herkkyysanalyysi

Sähkön- ja lämmöntuotannon kustannussimulointi ja herkkyysanalyysi Sähkön- ja lämmöntuotannon kustannussmulont ja herkkyysanalyys Pekka Nettaanmäk Osmo Schroderus Jyväskylän ylopsto Tetoteknkan latos 2010 1 2 Tvstelmä Raportn tarkotuksena on esttää pelkstetyn matemaattsen

Lisätiedot

AINEIDEN OMINAISUUKSIIN PERUSTUVA SEOSTEN LUOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT LAUSEKKEET

AINEIDEN OMINAISUUKSIIN PERUSTUVA SEOSTEN LUOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT LAUSEKKEET N:o 979 3731 te 2 AINEIDEN OMINAISUUKSIIN ERUSTUVA SEOSTEN UOKITUS JA VAARAA OSOITTAVAT AUSEKKEET JOHDANTO Vaarallsa aneta ssältävä seoksa luokteltaessa ja merkntöjä valttaessa aneden ptosuuksen perusteella

Lisätiedot

Hallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä 2005-9-14 Palautuspäivä 2005-9-28

Hallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä 2005-9-14 Palautuspäivä 2005-9-28 Jyväskylän Aattkorkeakoulu, IT-nsttuutt IIF00 Sovellettu fyskka, Syksy 005, 4.5 ETS Opettaja Pas epo alln lö Laatja - Pas Vähäartt Vuoskurss - IST4SE Tekopävä 005-9-4 Palautuspävä 005-9-8 8.9.005 /7 LABOATOIOTYÖ

Lisätiedot

7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.

7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset. 7. Modult Vektoravaruudet ovat vahdannasa ryhmä, jossa on määrtelty jonkn kunnan skalaartomnta. Hyväksymällä kerronrakenteeks kunnan sjaan rengas saadaan rakenne nmeltä modul. Moduln käste on ss vektoravaruuden

Lisätiedot

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten

Lisätiedot

Kansainvälisen konsernin verosuunnittelu ja tuloksenjärjestely

Kansainvälisen konsernin verosuunnittelu ja tuloksenjärjestely Kansanvälsen konsernn verosuunnttelu ja tuloksenjärjestely Kansantaloustede Pro gradu -tutkelma Talousteteden latos Tampereen ylopsto Toukokuu 2007 Pekka Kleemola TIIVISTELMÄ Tampereen ylopsto Talousteteden

Lisätiedot

LIGNIININ RAKENNE JA OMINAISUUDET

LIGNIININ RAKENNE JA OMINAISUUDET 16006 LIGNIININ RAKENNE JA INAISUUDET Hlatomen nmeämnen γ 16006 6 α 1 β 5 3 4 e Lgnnn prekursort (monomeert) Lgnnn bosyntees e e e Peroksdaasn ja vetyperoksdn läsnäollessa prekursorsta muodostuu resonanssstablotu

Lisätiedot

Aamukatsaus 13.02.2002

Aamukatsaus 13.02.2002 Indekst & korot New Yorkn päätöskursst, euroa Muutos-% Päätös Muutos-% Helsnk New York (NY/Hel) Dow Jones 9863.7-0.21% Noka 26.21 26.05-0.6% S&P 500 1107.5-0.40% Sonera 5.05 4.99-1.1% Nasdaq 1834.2-0.67%

Lisätiedot

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos. Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu /9. Ampltudmodulaato (AM) Spektranalysaattorlla mtattn 50 ohmn järjestelmässä ampltudmodulaattorn (AM) lähtöä, jollon havattn 3 mpulssa spektrssä taajuukslla

Lisätiedot

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi 3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu

Lisätiedot

ANTIBIOOTTIEN POISTO VEDESTÄ ADSORPTIOLLA

ANTIBIOOTTIEN POISTO VEDESTÄ ADSORPTIOLLA LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO Teknllnen tedekunta Kemanteknkan koulutusohjelma Teknllsen keman laboratoro Kanddaatntyö ANTIBIOOTTIEN POISTO VEDESTÄ ADSORPTIOLLA Removal of antbots from water by adsorpton

Lisätiedot

CHEM-A2100. Oppimistavoite. Absorptio. Tislaus, haihdutus, flash. Faasitasapainot

CHEM-A2100. Oppimistavoite. Absorptio. Tislaus, haihdutus, flash. Faasitasapainot Omstavote CHEM-A21 Faastasaanot 1 Ymmärtää mhn faastasaanoa tarvtaan Ymmärtää faastasaanoen matemaattsen kuvauksen alkeet (höyry-neste & neste-neste; deaal & aktvsuuskerron) Ymmärtää kvaltatvsest erlasa

Lisätiedot

Kuluttajahintojen muutokset

Kuluttajahintojen muutokset Kuluttajahntojen muutokset Samu Kurr, ekonomst, rahapoltkka- ja tutkmusosasto Tutkmuksen tausta ja tavotteet Tavaroden ja palveluden hnnat evät muutu jatkuvast, vaan ovat ana jossan määrn jäykkä lyhyellä

Lisätiedot

3.3 Hajontaluvuista. MAB5: Tunnusluvut

3.3 Hajontaluvuista. MAB5: Tunnusluvut MAB5: Tunnusluvut 3.3 Hajontaluvusta Esmerkk 7 Seuraavat kolme kuvaa osottavat, että jakaumlla vo olla sama keskarvo ja stä huolmatta ne vovat olla avan erlaset. Kakken kolmen keskarvo on 78,0! Frekvenss

Lisätiedot

Taustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon

Taustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon Taustaa Sekventaalnen vakutuskaavo Sekventaalnen päätöskaavo on 1995 ovalun ja Olven esttämä menetelmä päätösongelmen mallntamseen, fomulontn ja atkasemseen. Päätöspuun omnasuukssta Hyvää: Esttää eksplsttsest

Lisätiedot

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia ähköstaattnen enega Potentaalenegan a potentaaln suhde on samanlanen kun Coulomn voman a sähkökentän suhde: ähkökenttä vakuttaa vaattuun kappaleeseen nn, että se kokee Coulomn voman, mutta sähkökenttä

Lisätiedot

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste

Lisätiedot

Pyörimisliike. Haarto & Karhunen.

Pyörimisliike. Haarto & Karhunen. Pyörmslke Haarto & Karhunen www.turkuamk.f Pyörmslke Lttyy jäykän kappaleen pyörmseen akselnsa ympär Pyörmsenerga on pyörmsakseln A ympär pyörvän kappaleen osasten lke-energoden summa E r Ek mv mr mr www.turkuamk.f

Lisätiedot

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5)

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5) SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0..06 (5) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

KUVIEN LAADUN ANALYSOINTI

KUVIEN LAADUN ANALYSOINTI KUVIEN LAADUN ANALYSOINTI Lasse Makkonen 1.7.2003 Joensuun Ylopsto Tetojenkästtelytede Pro gradu tutkelma Tvstelmä Tutkelmassa luodaan katsaus krjallsuudessa esntyvn dgtaalsten kuven laadullsen analysonnn

Lisätiedot

ER-kaaviot. Ohjelmien analysointi. Tilakaaviot. UML-kaaviot (luokkakaavio) Tietohakemisto. UML-kaaviot (sekvenssikaavio) Kirjasto

ER-kaaviot. Ohjelmien analysointi. Tilakaaviot. UML-kaaviot (luokkakaavio) Tietohakemisto. UML-kaaviot (sekvenssikaavio) Kirjasto Ohelmen analsont Ohelmen kuvaamnen kaavolla ohelmen mmärtämnen kaavoden avulla kaavoden tuottamnen ohelmasta Erlasa kaavotppeä: ER-kaavot, tlakaavot, UML-kaavot tetohakemsto vuokaavot (tarkemmn) Vuoanals

Lisätiedot

Palkanlaskennan vuodenvaihdemuistio 2014

Palkanlaskennan vuodenvaihdemuistio 2014 Palkanlaskennan vuodenvahdemusto 2014 Pkaohje: Tarkstettavat asat ennen vuoden ensmmästä palkanmaksua Kopo uudet verokortt. Samat arvot kun joulukuussa käytetyssä, lman kumulatvsa tetoja. Mahdollsest muuttuneet

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Montavoteoptmont ja teollsten prosessen hallnta Ylassstentt Juss Hakanen juss.hakanen@jyu.f syksy 2010 Interaktvset menetelmät Idea: päätöksentekjää hyödynnetään aktvsest ratkasuprosessn akana

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekankan jatkokurss Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalamp LUENTO 2 Alkuverryttelyä Vääntömomentt Oletus: Vomat tasossa, joka on kohtsuorassa pyörmsaksela vastaan. Oven kääntämseen tarvtaan er suurunen voma

Lisätiedot

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2009

MAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2009 MOL-Pstetysohjeet Fyskka kevät 9 Tyypllsten vrheden aheuttama pstemenetyksä (6 psteen skaalassa): - pen laskuvrhe -/3 p - laskuvrhe, epämelekäs tulos, vähntään - - vastauksessa yks merktsevä numero lkaa

Lisätiedot

Tietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18

Tietojen laskentahetki λ α per ,15 0,18 per ,15 0,18 per tai myöhempi 0,20 0,18 SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 6.3.07 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

Valmistelut INSTALLATION INFORMATION

Valmistelut INSTALLATION INFORMATION Valmstelut 1 Pergo-lamnaattlattan mukana tomtetaan kuvallset ohjeet. Alla olevssa tekstessä on seltykset kuvn. Ohjeet on jaettu kolmeen er osa-alueeseen, jotka ovat valmstelu, asennus ja svous. Suosttelemme,

Lisätiedot

LIITE 2. KÄSITELUETTELO

LIITE 2. KÄSITELUETTELO 222 LIITE 2. KÄSITELUETTELO Absoluttnen energa-astekko Adabaattnen palamslämpötla Adabaattnen prosess Aktvsuus Aktvsuuskerron Aktvaatoenerga Eksotermnen reakto Elektrod Elektrolyys Endotermnen reakto Entalpa

Lisätiedot

Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa

Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa Usean muuttujan funktoden ntegraallaskentaa Pntantegraaln määrtelmä Yhden muuttujan tapaus (kertausta) Olkoon f() : [a, b] R jatkuva funkto Oletetaan tässä ksnkertasuuden vuoks, että f() Remann-ntegraal

Lisätiedot

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6)

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6) SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 28.0.206 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan

Lisätiedot

Ilmanvaihdon lämmöntalteenotto lämpöhäviöiden tasauslaskennassa

Ilmanvaihdon lämmöntalteenotto lämpöhäviöiden tasauslaskennassa Y m ä r s t ö m n s t e r ö n m o n s t e 122 Ilmanvahdon lämmöntalteenotto lämöhävöden tasauslaskennassa HELINKI 2003 Ymärstömnsterön monste 122 Ymärstömnsterö Asunto- ja rakennusosasto Tatto: Lela Haavasoja

Lisätiedot

Oppimistavoite tälle luennolle

Oppimistavoite tälle luennolle Oppmstavote tälle luennolle Ykskköoperaatot ja teollset prosesst CHEM2 (5 op) neensrto Kerrata faasen välsen tasapanon ehdot Kerrata srtolmöt ja nden analogat Ymmärtää aneensrtomekansmt ja nden vakutukset

Lisätiedot

Eräs Vaikutuskaavioiden ratkaisumenetelmä

Eräs Vaikutuskaavioiden ratkaisumenetelmä Mat-2.142 Optmontopn semnaar, s-99 28.9. 1999 Semnaarestelmän referaatt Joun Ikonen Lähde: Ross D. Schachter: Evaluatng nfluence dagrams, Operatons Research, Vol 34, No 6, 1986 Eräs Vakutuskaavoden ratkasumenetelmä

Lisätiedot

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä

Lisätiedot

Betoniteollisuus ry 18.2.2010 1 (43)

Betoniteollisuus ry 18.2.2010 1 (43) Betonteollsuus r 18.2.2010 1 (43) 2 Jäkstsjärjestelmät... 2 2.1 Rakennuksen jäkstssuunnttelun tehtävät... 4 Alustava jäkstssuunnttelu... 4 Jäkstksen mtotus murtorajatlassa... 6 Jäkstksen mtotus kättörajatlassa...

Lisätiedot

in 2/2012 6-7 4-5 8-9 InHelp palvelee aina kun apu on tarpeen INMICSIN ASIAKASLEHTI

in 2/2012 6-7 4-5 8-9 InHelp palvelee aina kun apu on tarpeen INMICSIN ASIAKASLEHTI n 2/2012 fo INMICSIN ASIAKASLEHTI 6-7 Dgtova kynä ja Joun Mutka: DgProfITn sovellukset pyörvät Inmcsn konesalssa. 4-5 HL-Rakentajen työmalle on vedettävä verkko 8-9 InHelp palvelee ana kun apu on tarpeen

Lisätiedot

TULEVAISUUDEN KILPAILUKYKY VAATII OSAAVAT TEKIJÄNSÄ. Suomen Ammattiin Opiskelevien Liitto - SAKKI ry

TULEVAISUUDEN KILPAILUKYKY VAATII OSAAVAT TEKIJÄNSÄ. Suomen Ammattiin Opiskelevien Liitto - SAKKI ry TULEVAISUUDEN KILPAILUKYKY VAATII OSAAVAT TEKIJÄNSÄ Suomen Ammattn Opskeleven Ltto - SAKKI ry AMMATILLINEN KOULUTUS MUUTOKSEN KOURISSA Suomalasen ammatllsen koulutuksen vahvuus on sen laaja-alasuudessa

Lisätiedot

VERKKOJEN MITOITUKSESTA

VERKKOJEN MITOITUKSESTA J. Vrtamo 38.3141 Telelkenneteora / Verkon mtotus 1 VERKKOJEN MITOITUKSESTA 1. Prkytkentäset verkot Lnkken kapasteetten (johtoja/lnkk) määräämnen sten, että verkon kokonaskustannukset mnmotuvat, kun päästä-päähän

Lisätiedot

Raja-arvot. Osittaisderivaatat.

Raja-arvot. Osittaisderivaatat. 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat

Lisätiedot

Kuntoilijan juoksumalli

Kuntoilijan juoksumalli Rakenteden Mekankka Vol. 42, Nro 2, 2009, s. 61 74 Kuntoljan juoksumall Matt A Ranta ja Lala Hosa Tvstelmä. Urhelututkmuksen melenknnon kohteena ovat yleensä huppu-urheljat. Tuokon yksnkertastettu juoksumall

Lisätiedot

Yrityksen teoria ja sopimukset

Yrityksen teoria ja sopimukset Yrtyksen teora a sopmukset Mat-2.4142 Optmontopn semnaar Ilkka Leppänen 22.4.2008 Teemoa Yrtyksen teora: tee va osta? -kysymys Yrtys kannustnsysteemnä: ylenen mall Työsuhde vs. urakkasopmus -analyysä Perustuu

Lisätiedot

Tasapainojen määrittäminen tasapainovakiomenetelmällä

Tasapainojen määrittäminen tasapainovakiomenetelmällä Luento 6: Ksutspnot Keskvkko 7.9. klo 8-1 771 - Termodynmset tspnot (Syksy 17) http://www.oulu.f/pyomet/771/ Tspnojen määrttämnen tspnovkomenetelmällä Trkstelln homogeenst ksufsrektot. Esm.: (g) + (g)

Lisätiedot

1, x < 0 tai x > 2a.

1, x < 0 tai x > 2a. PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto

Lisätiedot

Kollektiivinen korvausvastuu

Kollektiivinen korvausvastuu Kollektvnen korvausvastuu Sar Ropponen 4.9.00 pävtetty 3..03 Ssällysluettelo JOHDANTO... KORVAUSVASTUUSEEN LIITTYVÄT KÄSITTEET VAHINKOVAKUUTUKSESSA... 3. MERKINNÄT... 3. VAHINGON SELVIÄMINEN JA KORVAUSVASTUU...

Lisätiedot

Jaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen

Jaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen Tosakajärjestelmät Luento : Resurssen hallnta ja prorteett Tna Nklander Jaetut resursst Useat tapahtumat jakavat ohjelma-/lattesto-olota, jossa kesknänen possulkemnen on välttämätöntä. Ratkasuja: Ajonakanen

Lisätiedot

Karttaprojektion vaikutus alueittaisten geometristen tunnuslukujen määritykseen: Mikko Hämäläinen 50823V Maa-123.530 Kartografian erikoistyö

Karttaprojektion vaikutus alueittaisten geometristen tunnuslukujen määritykseen: Mikko Hämäläinen 50823V Maa-123.530 Kartografian erikoistyö Karttaprojekton vakutus aluettasten geometrsten tunnuslukujen määrtykseen: Mkko Hämälänen 50823V Maa-23.530 Kartografan erkostyö SISÄLLYSLUETTELO JOHDANTO... 4. TUTKIMUKSEN LÄHTÖKOHTA... 4.2 RAPORTISTA...

Lisätiedot

Rahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen

Rahastoonsiirtovelvoitteeseen ja perustekorkoon liittyvät laskentakaavat. Soveltaminen SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0.4.05 Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä perusteta sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

4. A priori menetelmät

4. A priori menetelmät 4. A pror menetelmät 4. Arvofunkto-menetelmä 4.2 Lekskografnen järjestämnen 4.3 Tavoteohjelmont Tom Bäckström Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 4. Arvofunkto-menetelmä Päätöksentekjä antaa eksplsttsen

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 22..2007 Luento 0 Ssäpstemenetelmät ja kokonaslukuoptmont (krja 0.-0.4) Ssäpstemenetelmät luvut 8 ja 9, e tarvtse lukea Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / Luentorunko Sananen

Lisätiedot

Galerkin in menetelmä

Galerkin in menetelmä hum.9.3 Galerkn n menetelmä Galerknn menetelmän soveltamnen e ole rajottunut van ongelmn, jotka vodaan pukea sellaseen varaatomuotoon, joka on seurauksena funktonaaln mnmomsesta, kuten potentaalenergan

Lisätiedot

A = B = T = Merkkijonon A osamerkkijono A[i..j]: n merkkiä pitkä merkkijono A:

A = B = T = Merkkijonon A osamerkkijono A[i..j]: n merkkiä pitkä merkkijono A: Merkkjonot (strngs) n merkkä ptkä merkkjono : T T T G T n = 18 kukn merkk [], mssä 0 < n, kuuluu aakkostoon Σ, jonka koko on Σ esm. bttjonot: Σ = {0,1} ja Σ = 2, DN: Σ = {,T,,G} ja Σ = 4 tetokoneen aakkosto

Lisätiedot

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit 68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta

Lisätiedot

. g = 0,42g. Moolimassat ovat vastaavasti N 2 :lle 28, 02g/ mol ja typpiatomille puolet tästä 14, 01g/ mol.

. g = 0,42g. Moolimassat ovat vastaavasti N 2 :lle 28, 02g/ mol ja typpiatomille puolet tästä 14, 01g/ mol. LH-1 Kaasusälö ssältää 1, g typpeä 1800 K lämpötlassa Sälön tlavuus on 5,0 l Laske pane sälössä ottamalla huomoon, että tässä lämpötlassa 30 % typpmolekyylestä, on hajonnut atomeks Sovella Daltonn laka

Lisätiedot

Tarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi

Tarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät

Lisätiedot

9. Muuttuva hiukkasluku

9. Muuttuva hiukkasluku Statstnen fyskka, osa B (FYSA242) Tuomas Lapp tuomas.v.v.lapp@jyu.f Huone: FL240. E kntetä vastaanottoakoja. kl 2016 9. Muuttuva hukkasluku 1 Kertaus: lämpökylpy Mustetaan kurssn A-osasta Mkrokanonnen

Lisätiedot

Hyrynsalmen kunta, jäljempänä kunta. Laskutie 1, 89400 HYRYNSALMI. Kohde sijaitsee Hallan Sauna- nimisessä kiinteistössä.

Hyrynsalmen kunta, jäljempänä kunta. Laskutie 1, 89400 HYRYNSALMI. Kohde sijaitsee Hallan Sauna- nimisessä kiinteistössä. VUOKRASOPIMUS 1.1 Sopjapuolet Hyrynsalmen kunta, jäljempänä kunta. Laskute 1, 89400 HYRYNSALMI Hallan Sauna Oy (y-tunnus: 18765087) CIO Tl- Tekno Oulu Oy Kauppurnkatu 12, 90100 OULU 1.2 Sopmuksen kohde

Lisätiedot

Automaattinen 3D - mallinnus kalibroimattomilta kuvasekvensseiltä

Automaattinen 3D - mallinnus kalibroimattomilta kuvasekvensseiltä Maa-57.270 Fotogrammetran, kuvatulknnan ja kaukokartotuksen semnaar Automaattnen 3D - mallnnus kalbromattomlta kuvasekvensseltä Terh Ahola 2005 Ssällysluettelo 1 Johdanto...2 2 Perusteoraa...2 2.1 Kohteen

Lisätiedot

DEE Polttokennot ja vetyteknologia

DEE Polttokennot ja vetyteknologia DEE-54020 Polttokennot ja vetyteknologa Polttokennon hävöt 1 Polttokennot ja vetyteknologa Rsto Mkkonen Polttokennon tyhjäkäyntjännte Teoreettnen tyhjäkäyntjännte E z g F Todellnen kennojännte rppuu er

Lisätiedot

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely)

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely) Epälneaarsten penmmän nelösumman tehtäven ratkasemnen numeerslla optmontmenetelmllä valmn työn esttely Lar Pelkola 9.9.014 Ohjaaja/valvoja: Prof. Harr Ehtamo yön saa tallentaa ja julkstaa Aalto-ylopston

Lisätiedot

KlapiTuli-palotila. www.klapituli.fi. KlapiTuli-palotilan osat, kokoamis- ja turvaiiisuusohje. Sormikiinnikkeet. 1. Nuppi 1. 2. 3. 4. 2.

KlapiTuli-palotila. www.klapituli.fi. KlapiTuli-palotilan osat, kokoamis- ja turvaiiisuusohje. Sormikiinnikkeet. 1. Nuppi 1. 2. 3. 4. 2. l u T p Kla ö t t e k Teho a j s m a koko e j h o s u asenn KlapTul-palotla KlapTul-palotlan osat, kokoams- ja turvaiisuusohje 1. Nupp 2. HoIkk 3. Kans 4. Ruuv Knntä holkk ja nupp ruuvlla kannen läp ja

Lisätiedot

VATT-TUTKIMUKSIA 124 VATT RESEARCH REPORTS. Tarmo Räty* Jussi Kivistö** MITATTAVISSA OLEVA TUOTTAVUUS SUOMEN YLIOPISTOISSA

VATT-TUTKIMUKSIA 124 VATT RESEARCH REPORTS. Tarmo Räty* Jussi Kivistö** MITATTAVISSA OLEVA TUOTTAVUUS SUOMEN YLIOPISTOISSA VATT-TUTKIMUKSIA 124 VATT RESEARCH REPORTS Tarmo Räty* Juss Kvstö** MITATTAVISSA OLEVA TUOTTAVUUS SUOMEN YLIOPISTOISSA Valton taloudellnen tutkmuskeskus Government Insttute for Economc Research Helsnk

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

PUTKIKELLON SUUNNITTELU 1 JOHDANTO 2 VÄRÄHTELEVÄN PALKIN TEORIAA. dm Q dx = (1) Matti A Ranta

PUTKIKELLON SUUNNITTELU 1 JOHDANTO 2 VÄRÄHTELEVÄN PALKIN TEORIAA. dm Q dx = (1) Matti A Ranta Matt A Aaltoylopsto Perusteteden korkeakoulu Matematkan ja systeemanalyysn latos PL 1100, 02015 Espoo matt.ranta@tkk.f 1 JOHDANTO Putkkellot kuuluvat lyömäsotnten ryhmään. Putkkellot koostuvat erptussta

Lisätiedot

Harjoitukset (KOMPRIMOINTI)

Harjoitukset (KOMPRIMOINTI) Kmrmntharjtuksa (7) Harjtukset (KOMPRIMOINI) Kmressreja käytetään esmerkks seuraavssa svelluksssa: kaasujen srt, neumaattnen kuljetus anelmahult rsesstellsuudessa kaasureaktden, kaasujen nesteyttämsen

Lisätiedot

Paperikoneiden tuotannonohjauksen optimointi ja tuotefokusointi

Paperikoneiden tuotannonohjauksen optimointi ja tuotefokusointi TEKNILLINEN KORKEAKOULU Teknllsen fyskan koulutusohjelma ERIKOISTYÖ MAT-2.108 Sovelletun matematkan erkostyöt 22.4.2003 Paperkoneden tuotannonohjauksen optmont ja tuotefokusont Jyrk Maaranen 38012p 1 Ssällysluettelo

Lisätiedot

Pikaopas. Valmistelu ja esitäyttö

Pikaopas. Valmistelu ja esitäyttö Pkaopas Valmstelu ja estäyttö Kerää seuraavat tarvkkeet ennen valmstelua: yks 500 ml:n ta 1 000 ml:n puss/pullo estäyttöluosta (0,9-prosenttnen NaCl, johon on lsätty 1 U/ml heparna) yks 500 ml:n ta 1 000

Lisätiedot

9.1 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapani Jokinen, luonnos 9. LÄMMÖNSIIRTO

9.1 LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapani Jokinen, luonnos 9. LÄMMÖNSIIRTO 9. LTY Juha Pyrhönen, TKK Tapan Joknen, luonnos 9. LÄMMÖNSIITO Lämmönsrtoa tapahtuu ana lämpötlaerojen esntyessä. Lämpötlaerot tasottuvat luonnostaan, kun lämpö srtyy korkeammasta lämpötlasta koht matalampaa

Lisätiedot

Työllistääkö aktivointi?

Työllistääkö aktivointi? Jyväskylän ylopsto Matemaatts-luonnonteteellnen tedekunta Työllstääkö aktvont? Vakuttavuusanalyys havannovassa tutkmuksessa Elna Kokkonen tlastoteteen pro gradu tutkelma 31. elokuuta 2007 Tlastoteteen

Lisätiedot

3D-mallintaminen konvergenttikuvilta

3D-mallintaminen konvergenttikuvilta Maa-57.270, Fotogammetan, kuvatulknnan ja kaukokatotuksen semnaa 3D-mallntamnen konvegenttkuvlta nna Evng, 58394J 2005 1 Ssällysluettelo Ssällysluettelo...2 1. Johdanto...3 2. Elasa tapoja kuvata kohdetta...3

Lisätiedot

Saatteeksi. Vantaalla vuoden 2000 syyskuussa. Hannu Kyttälä Tietopalvelupäällikkö

Saatteeksi. Vantaalla vuoden 2000 syyskuussa. Hannu Kyttälä Tietopalvelupäällikkö Saatteeks Tomtlojen rakentamsta seurattn velä vme vuoskymmenen lopulla säännöllsest vähntään kerran vuodessa tehtävllä raportella. Monsta tosstaan rppumattomsta ja rppuvsta systä johtuen raportont loppu

Lisätiedot

4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman

4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman 4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten

Lisätiedot

Viiteopas. 2 Kokoa ja kiinnitä uusi natronkalkkikolonni. 1 Poista vanha natronkalkki. Esitäyttö esiliitetyn letkuston avulla

Viiteopas. 2 Kokoa ja kiinnitä uusi natronkalkkikolonni. 1 Poista vanha natronkalkki. Esitäyttö esiliitetyn letkuston avulla Vteopas Valmstelu ja estäyttö esltetyllä letkustolla Kerää seuraavat tarvkkeet ennen valmstelua: Yks 500 ml:n ta 1 000 ml:n puss/pullo tavallsta kettosuolaluosta, jossa on yks (1) ykskkö (U) heparna kettosuolaluoksen

Lisätiedot