Tilastollinen mekaniikka. Peruskäsitteitä Mikro- ja makrotilat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Einstein jakauma Fermi-Dirac jakauma Jakaumafunktiot

Transkriptio

1 Tlastollnen mekankka Peruskästtetä Mkro- ja makrotlat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Ensten jakauma Ferm-Drac jakauma Jakaumafunktot

2 Tlastollnen mekankka Teora on stä vakuttavamp, mtä yksnkertasemmat ovat sen perusoletukset, mtä erlasempa lmötä se kuvaa ja mtä laajemp on sen sovellutusalue. Sks klassnen termodynamkka on tehnyt mnuun syvän vakutuksen. Se on kästyksen mukaan anoa unversaal fyskaalnen teora, joka peruskästtedensä sovellutusalueella on todella pysyvä. Albert Ensten Ludwg Eduard Boltzmann (20. helmkuuta syyskuuta 1906) ol tävaltalanen fyyskko ja professor Grazssa, Münchenssä, Lepzgssä ja Wenssä. Hän sovels tlastollsa menetelmä termodynamkkaan, selvens entropan kästettä ja edst merkttäväst teoreettsen fyskan kehtystä. Born: 13 June 1831 n Ednburgh, Scotland Ded: 5 Nov 1879 n Cambrdge, Cambrdgeshre, England By treatng gases statstcally n 1866 he formulated, ndependently of Ludwg Boltzmann, the Maxwell- Boltzmann knetc theory of gases.

3 Peruskästteet Jos hukkaset evät vuorovakuta keskenään ja toteuttavat nämä ehdot ne muodostavat ns. mkrokanoonsen systeemn. Jokanen energataso vo ssältää useampa omnastloja jolla on sama energa E. Termodynamkan kannalta kakk tavat jakaa tasolle E n hukkasta ovat samanverosa. Yhden hukkasen energatasot: E, E, E, Energatasojen mehtysluvut: n ; 1,2,3,... Partto el makrotla = mehtyslukujono: n, n, n, Hukkasten kokonasmäärä on vako: N 1 n Hukkasten kokonasenerga on vako: E 1 n E

4 Mkä hmeen tladegeneraato? Aemmn on opttu, että osa mkroskooppsten systeemen energatasosta on degenerotuneta ts. usealla Schrödngern yhtälön ratkasulla on sama omnasenerga, mutta nähn omnastlohn lttyy jokn muu suure kuten spn joka erottaa ne tosstaan. Esmerkks vedyn orbtaalella ja on sama 1sm 1/2 1sm 1/2 energa -13,6 ev mutta tosella omnastlalla on spn ylös ja tosella spn alas. s s Merktään samaan energatasoon E määrää g :llä. Yo. esmerkssä tetenkn g lttyven omnastlojen 2

5 Degeneraato ja mkrotlat (1) Energatasoon E vo lttyä useta omnastloja. Nähn omnastlohn lttyy sama energa, mutta ne eroavat tosstaan jonkn muun fyskaalsen omnasuuden suhteen. E (2) Jos erlasa omnastloja on g kappaletta sanotaan taan,että energataso E on g kertasest degenerotunut. (3) Jokasta erlasta (on olemassa jokn fyskaalnen koe, jolla ko. ero havataan) tapaa jakaa hukkaset energatasohn kuuluvlle omnastlolle kutsutaan mkrotlaks. Yhteen makrotlaan el parttoon lttyy yleensä useta mkrotloja. E

6 Esmerkk mkro- ja makrotlosta Hukkasmäärä N Kokonasenerga E 6 6e Yhteensä 11 makrotlaa jossa 462 mkrotlaa. Todennäkösn partto Keskmääräset mehtysluvut: n W j k k, j k k k, j W n / 462 = mkrotlojen määrä parttossa k n = tason E mehtysluku parttossa k j j n j 1 2, , , , , , ,

7 Hukkasten denttsyys ja dentteett Klasssessa fyskassa hukkaset vodaan (nden fyskaalsten omnasuuksen muuttumatta) merktä ykslötunnstusta varten! Kunka monella tavalla kymmenen hukkasta vodaan järjestää jonoon? Ensmmänen hukkanen vo olla mkä tahansa el 10 vahtoehtoa, tosen vo valta 9:stä, jne. Mahdollsten järjestysten määrä on 10!

8 Identfotavat hukkaset Entäs jos tarkastellaan hukkasten sjottamsta energatasolle? Oletetaan, että mkään e rajota stä, kunka monta hukkasta yhdellä energatasolla vo olla. Vomme käyttää em. jonoja (10! kpl) ja merktä energatasolle sjottumsta esm. seuraavast ab cde fgh j Tetyst krjanten järjestys muuttuu er jonossa, mutta jos 1-tlalla on ana 2 hukkasta, 2-tlalla 3, jne., nn nämä edustavat samaa makrotlaa. Mtkä er kombnaatot tuottavat saman makrotlan?

9 Mkrotlojen lukumäärä ab cde fgh j Yo. esmerkssä tlalla 2 on kolme hukkasta. Kunka monta cde-jonoa löytyy? Tetyst 3! kpl: cde, ced, dce, dec, ecd, ja edc. Jonojen määrä täytyy ss jakaa jokasen tason mehtysluvun kertomalla, jotta saadaan erlasten mkrotlojen lukumäärä el termodynaamnen todennäkösyys W N! N j j!

10 Maxwell-Boltzmann statstkka Yo. esmerkssä e ollut mukana degeneraatota. Kunka se vodaan huomoda? Otetaan tlan 1 mehtys [ab]. Jos energatlalla 1 on degeneraato 3, mahdollset konfguraatot jossa a ja b vovat olla on estetty okealla. 2 Nden lukumäärä on 3. El kombnaatoden lukumäärä on kakkaan j N! N g j j WM B g j N! N! N! j j j Tämä on ss erlasten mkrotlojen määrä Maxwell-Boltzmann statstkan mukaan. j N j ab a b a b ab b a a b ab b a b a

11 Esmerkk M-B statstkan makrotlojen todennäkösyydet

12 Identtset hukkaset Kvanttmekankassa hukkasa e vo tunnstaa, mutta energatlat vo. Tämä muuttaa statstkkaa. Oletetaan taas 10 hukkasta ja degeneraato 3. Tarkastellaan ensn van yhtä energatasoa. Identfodaan taas hukkaset krjamlla ja tlat numerolla. Eräs jono on 1 abc2defg 3hj Kunka monta mahdollsta jonoa? Jotta jono edustaa hukkasten jakaantumsta energatlolle, ptää sen alkaa numerolla, loput vodaan valta vapaast. El jonojen lukumäärä on g g N 1!

13 Mkrotlojen lukumäärä Mutta koska hukkaset ovat denttsä, krjamen järjestyksellä e ole välä. Jos ajatellaan ntä jonoja, jossa numeroden pakka on knntetty, nn nätä on N! kpl, koska se ol pelkken krjanjonojen lukumäärä. Tosaalta myös energatlojen aljonot vovat sattua er järjestyksessä, esm. 3hj 1 abc2defg edustaa samaa mkrotlaa kun jono 1 abc2defg 3hj. Nätä kombnaatota on g! kpl. El er mkrotlojen lukumäärä on g! N! g 1! N! g g N 1! g N 1!

14 Bose-Ensten -statstkka Jos nyt huomodaan lsäks er energatasot, jokasella nästä on yo. mukanen määrä kombnaatota. El ns. Bose-Ensten statstkan mukanen mkrotlojen määrä on W BE g j g N j 1! 1! N! j j j

15 Esmerkk B-E statstkan makrotlojen todennäkösyydet

16 Pauln keltosääntö Kolmas tärkeä statstkka saadaan, jos hukkaset noudattavat Pauln keltosääntöä el samalla energatlalla e vo olla kahta hukkasta. Tarkastellaan ensn van yhtä energatasoa. Oletetaan nyt kolme hukkasta ja degeneraato 5. Identfodaan taas hukkaset krjamlla ja tlat numerolla. Eräs mahdollnen jono on 1 a2b34c5 Kunka monta mahdollsta jonoa? Ensmmänen hukkanen vodaan lattaa mhn tahansa vdestä vahtoehdosta, tonen neljään, jne. el kombnaatota on g g g g N g! g N!

17 Ferm-Drac statstkka Koska hukkasa e vo dentofda, nn esm. ao. jonot kuvaavat samaa mkrotlaa: 1 a2b34c5 Nätä krjanvahtoehtoja on N! kpl. Huomodaan velä kakk energatasot j, jotka kakk vovat olla mssä tahansa konfguraatossa rppumatta tosten tasojen konfguraatosta el mkrotlojen lukumäärä Ferm- Drac statstkassa on W 1 c2a34b5 FD g j! g N N!! j j j j

18 Esmerkk F-D statstkan makrotlojen todennäkösyydet

19 Tlastollsen mekankan perusoletus Tlastollsen mekankan perusoletus el hypotees (joka oletetaan okeaks) on seuraava: Yksttänen hukkanen on samalla todennäkösyydellä jokasella yhden hukkasen omnastlalla. Systeemn kuuluven hukkasten sjottumsta yhden hukkasen omnastlolle rajottaa se, että nden kokonasenerga on annettu vako. Tällä ehdolla jokanen jakotapa yhden hukkasen omnastlolle el mkrotla on yhtä todennäkönen. Systeemn termodynaamset omnasuudet rppuvat anoastaan energatasojen energosta ja mehtysluvusta el makrotlasta. Makrotlaan vo kuulua useta mkrotloja. Everythng should be made as smple as possble, but no smpler.

20 Entropa Tlastollsessa mekankassa entropa määrtellään systeemn mkrotlojen lukumäärän avulla: S k lnw B Makrotlaa, jonka entropa on suurn kutsutaan systeemn termodynaamseks tasapanotlaks. Mkrotlojen lukumäärä parttossa el makrotlassa Mllä tämän systeemn parttosta on suurn entropa? Partto 6 koska snä on enten mkrotloja. Se on samalla termodynaamnen tasapanotla!

21 Todennäkösn partto (makrotla) Termodynaamnen tasapanotla on se makrotla el partto, johon lttyy enten mkrotloja. Optmontongelma: määrää reunaehdolla 1 2 3,... N n ja E n E mehtysluvut n, n, n sten, että mkrotlojen lukumäärä W N! g n n saa suurmman arvon.!

22 MB-jakauman johtamnen Etstään sellaset n, n, n,.. että W W n, n, n,.. saa maksmarvon Reunaehtona on otettava huomoon että hukkasten kokonasmäärä N vako ja samon kokonasenerga U n n E on vako. Käytännössä on helpomp etsä funkton f n, n, n,.. ln W n, n, n, maksm. Ne mehtysluvut n, n, n, jotka antavat funkton f maksmn antavat myös funkton W maksmn sllä logartmfunkto kasvaa monotonsest - mtä suuremp on argumentt stä suuremp on sen logartm!

23

24

25

26

27

28 Maxwell-Boltzmann jakauma Todennäkösmmät mehtysluvut ovat mssä parttofunkto (el tlasumma) Z on Hukkasten kokonasenerga: N d E n E g E e k NT ln( Z) dt E / k B T 2 B Z Tämän vo todeta ottamalla parttofunkton logartmn ja dervomalla sen T:n suhteen. Kokele! Huomaa, että parttofunkto Z ja absoluuttnen lämpötla T votasn peraatteessa määrätä numeersest hukkasten kokonasmäärän ja systeemn kokonasenergan avulla! N n ge Z Z ge E / k T B E / k T Huomaa, että MBjakaumassa summaukset ovat ana yl hukkasen energatasojen e omnastlojen. Makrotla spesfo anoastaan hukkasten jakauman energatasolle. B

29 Maxwell-Boltzmann jakauma Vodaan myös osottaa, että parttofunkton ja kemallsen potentaaln välllä on yhteys 1 Z exp Joten MB-jakauman todennäkösn mehtys on kt B n g exp E kt B Tätä käytetään klassslle partkkelelle ja approksmaatona FD-statstkalle tetyssä tlantessa.

30 Bose-Ensten jakauma BE-jakauman todennäkösn mehtys on n g E exp 1 kt B Tätä statstkkaa käytetään bosonelle el esm. fotonelle, fononelle, jne.

31 Ferm-Drac jakauma FD-jakauman todennäkösn mehtys on n g E exp 1 kt B Tätä jakumaa käytetään fermonelle el esm. elektronelle ja aukolle.

32 Jakaumen vertalu Jakaumen yhtenen muoto on seuraava n g E exp a kt B Mssä a:n arvo -1 tarkottaa BE-jakaumaa, +1 FD-jakaumaa ja 0 MB-jakaumaa.