Kanoniset muunnokset

Transkriptio

1 Kanonset muunnokset Koordnaatstomuunnokset Lagrangen formalsmssa pstemuunnoksa: Q = Q (q, t) nopeudet saadaan nästä dervomalla Kanonnen formalsm: p:t ja q:t samanarvosa 2n-ulottesen faasavaruuden muuttuja ylesemp muunnosteora tarpeen. Ol. Hamltonn funkto tunnetaan muuttujlle q, p (2n kpl). Määrtellään { Q = Q (q, p, t) (M) kääntesmuunnokset P = P (q, p, t) { q = q (Q, P, t) p = p (Q, P, t) Jos K = K(Q, P, t) s.e. muunnos (M) on kanonnen muunnos. Q = K P, Ṗ = K Q (K) Huom! kanonnen muunnos (M) e saa rppua ongelmasta el H:sta: Muunnos kanonnen muotoa (K) olevat yhtälöt H Tonen näppärä tapa nähdä kanonsuus. Muunnoksessa x y (x), täytyy muunnoksen Jacobaann J (J j = y / x j ) oltava symplektnen, el ( ) J JJ T 0 I = J = n n I n n 0 Tällön ptää myös pakkaansa, että Possonn sulut ovat nvarantteja! orsta /18

2 Torsta /18 Generovat funktot Modfotu Hamltonn peraate: δ t 2 t ( P 1 Q K) dt = 0 }{{} L Musta, L ja L kuvaavat samaa systeemä, jos 1. L = L + α, α R 2. L = αl, α R 3. L = L dg dt q p H = G on (kanonsen muunnoksen) generova funkto. Se on muotoa G(v, U, t), mssä Q P K + dg dt (v, U) = (q, Q), (q, P), (p, Q), (p, P) v nn kun vanha, U nn kun uus muuttuja!

3 Torsta /18 Tyypn G1 generaattor Merktään G = G 1 (q, Q, t), tällön dg 1 dt = ( G1 q + G ) 1 Q + G 1 q Q t Nyt p q H = P Q K + ( p G ) 1 q q ( G1 q + G ) 1 Q + G 1 q Q t ( P + G ) ( 1 Q H K + G ) 1 = 0 Q t toteutuu denttsest, kun p = G 1 (1) q P = G 1 (2) Q K = H + G 1 (3) t G 1 on annettu funkto, joten (2) q = q (Q, P, t); sj. tämä (1):seen p = p (Q, P, t); sj. molemmat (3):seen K = K(Q, P, t). El G 1 on generonut kanonsen muunnoksen!

4 Torsta /18 Muut generovat funktot Lähtökohtana ol q p H = Q P K + dg dt. Jos tunnetaan G = G 1 (q, Q, t), nn mulle parelle saadaan generaattort Legendren muunnokslla: (q, Q) (q, P) : G 2 (q, P, t) = G 1 + Q P (q, Q) (p, Q) : G 3 (p, Q, t) = G 1 q p (q, Q) (p, P) : G 4 (p, P, t) = G 1 + Q P q p = G 2 q p Huom! G 1, G 2, G 3, G 4 ovat generaattoreden tyypt; tse muunnoksa on ääretön määrä.

5 Torsta /18 Muunnosyhtälöt er generaattortyypelle Jos G 1 (q, Q, t) saadaan p = G 1, P q = G 1 Q G 2 (q, P, t) = G 1 (q, Q, t) + Q P G 2 q = G 1 q = p ; G 2 = Q ; K = H + G 2 P t G 3 (p, Q, t) = G 1 (q, Q, t) q p G 3 p = q ; G 3 = G 1 = P ; K = H + G 3 Q Q t G 4 (p, P, t) = G 2 (q, P, t) q p G 4 p = q ; G 4 = G 2 = Q ; K = H + G 4 P P t Nämä vos tetyst johtaa myös suoraan yhtälöstä (HT): q p H = Q P K + dg dt

6 Torsta /18 Esmerkk pstemuunnoksesta x = r cos ϕ Q 1 := x ; Q 2 := y y = r sn ϕ q 1 := r ; q 2 := ϕ G 2 (q, P, t) = P Q = P 1 q 1 cos q 2 + P 2 q 1 sn q 2 p 1 = G 2 q 1 = P 1 cos q 2 + P 2 sn q 2 p 2 = G 2 q 2 = P 1 q 1 sn q 2 + P 2 q 1 cos q 2 ( ) ( ) ( ) q1 p 1 cos q2 sn q = q 2 P1 p 1 2 sn q 2 cos q 2 P 2 ( ) P1 = 1 ( ) ( ) cos q2 sn q 2 q1 p 1 P 2 q 1 sn q 2 cos q 2 p 2 P x = p r cos ϕ pϕ r sn ϕ P y = pϕ r cos ϕ + p r sn ϕ

7 Torsta /18 Esmerkk kanonsuudesta Mllä parametren arvolla muunnos Q = αp q ; P = βq 2 on kanonnen? Lasketaan Possonn sulut! {Q, Q} =0 = {P, P} {Q, P} = Q P q p Q P p q = αp q 2 0 2βq α q = 2αβ Ss ehto kanonsuudelle on 2αβ = 1.

8 Torsta /18 Esmerkk: ets ed. muunnokselle generaattor Q = αp q ; P = βq 2 Käytetään tosta yhtälöä: G = G 1 (q, Q, t) p = G 1 q P = G 1 Q βq 2 = G 1(q, Q) Q G 1 = βq 2 Q + g(q) p = G 1 q = 2βqQ + g (q) = qq α 2β = 1 α, g = 0 2βα = 1, G 1 = βq 2 Q

9 Infntesmaalt kanonset muunnokset Lopuks lyhyt sananen generovsta muunnokssta toselta kantlta. Tarkastellaan seuraava muunnoksa: q Q = q + ɛf (q, p) p P = p + ɛe (q, p) mssä ɛ 1 pdetään penenä. Kysymys: mtkä funktot F (q, p) ja E (q, p) ovat sallttuja, jotta tämä ols kanonnen muunnos? Jacobaan on: (J j ) = δ j + ɛ F q j ɛ F p j ɛ E q j δ j + ɛ E p j el vaatmus symplektsyydestä J JJ T = J antaa (HT) F q j F = G p, E = G q = E p j, joka pätee, kun jollekn faasavaruuden funktolle G(q, p). Tällön ss G on generonut muunnoksen. Esm. tarkastellaan funktota G = p k. Sllon vastaava nfntesmaalnen kanonnen muunnos on q q + ɛδ k ja p p ; tämä on slkka translaato. El q k :n translaatot on generonut kanonnen mpulss G = p k. Torsta /18

10 Torsta /18 Noethern teoreema Hamltonn formalsmssa Kästtelmme Lagrangen formalsmssa Noethern teoreemaa, joka kerto yhteyden symmetroden sekä sälymslaken välllä. Katsotaan seuraavaks mten tämä näkyy Hamltonn formalsmssa. Tarkastellaan nfntesmaalsa kanonsa muunnoksa, jotka on generonut jokn G: δh = H δq + H δp q p = ɛ H q G p ɛ H p G q + O(ɛ 2 ) = ɛ{h, G} + O(ɛ 2 ) Generaattor G on Hamltonn funkton symmetra, jos δh = 0. Tämä on vomassa, jos ss {G, H} = 0 Tosaalta mustamme, että Ġ = {G, H}. Toteamme seuraavaa: Jos G on symmetra, nn sllon G on lkevako. Jos mellä on sälyvä suure G, nn sllon vomme käyttää tätä lkevakota generodaksemme kanonsen muunnoksen, joka vastaa symmetraa.

11 Torsta /18 Kulma-vakutusmuuttujsta Olemme kakk yrttäneet ratkoa mona fyskan ongelma käyttäen huonost valttuja koordnaatteja. Esm. olemme käyttäneet karteessa koordnaatteja, kun ongelmaa ols kannattanut lähestyä napakoordnaatessa. Tetyst okean ratkasun saa mllä tahansa koordnaattvalnnalla, mutta se on vonut vaata suuren urakan. Hamltonn formalsmssa mellä on mahdollsuus käyttää suurempaa koordnaattmuunnosarsenaala, kun vomme sotkea q:ta ja p:tä keskenään. Onko tästä stten okeast mtään hyötyä? Vastaus on kyllä: valtsemalla kulma-vakutusmuuttujat!

12 orsta /18 Esmerkk: HO uudelleen Palataan velä aempaan esmerkkn harmonsesta oskllaattorsta ennen kun srrytään velä ylesempään teoraan. Huomatkaa, että mtä abstraktmmaks teora käy, sen helpommaks esmerkken ratkasu tulee! Harmonsen oskllaattorn Hamltonn funkto on H = p2 2m mω2 0 q2 el Hamltonn LY: jolla on smppel ratkasu ṗ = mω 2 0 q, q = p m q = A cos(ω 0 (t t 0 )), p = mω 0 A sn(ω 0 (t t 0 )) mssä A ja t 0 ovat ntegromsvakota. Vrrat faasavaruudessa ovat ellpsejä.

13 Torsta /18 Esmerkk: HO uudelleen Tehdään nyt sama muunnos mkä tehtn aemmn, el (q, p) (θ, P) mssä ajatellaan, että θ on medän uus pakkakoordnaatt ja P uus lkemääräkoordnaatt, 2P q = sn θ, p = 2Pmω 0 cos θ mω 0 Harjotuksen vuoks tarkstetaan velä, että tämä muunnos on tosaan kanonnen (tätä e tseasassa tarkstettu akasemmn) kahdella er tavalla. 1) Possonn sulkujen nvaranss: helpomp näyttää takapern, el että {q, p} = 1 (θ, P)-koordnaatessa, ts. {q, p} θ,p q p θ P q p? = 1 P θ Suora lasku { 2P {q, p} θ,p = sn θ, } 2Pmω 0 sn θ mω 0 el muunnos on tosaan kanonnen. θ,p = 2{ P sn θ, P cos θ} = 1

14 Torsta /18 Esmerkk: HO uudelleen 2) Näytetään, että Jacobaan on symplektnen. Lasketaan suoraan: ( ) ( θ θ mω0 cos q p p 2 θ mω 0q J = P P = p 2 cos 2 θ p mω q p 0 q mω 0 ) Tätä käyttämällä vo suoraan näyttää (HT), että J JJ T = J kuten ptääkn. Katsotaan stten Hamltonn funktota uusssa muuttujssa: H = 1 2m (2mω 0P) sn 2 θ+ 1 2P 2 mω2 0 cos 2 θ = ω 0 P mω 0 el θ tosaankn on syklnen muuttuja; kuten aemmnkn. Hamltonn LY: θ = H P = ω 0, Ṗ = H θ = 0 El olemme onnstuneet kuvaamaan faasavaruuden ellpsn sylnterlle, joka on parametrsotu θ:lla ja P:llä. Koordnaatt (θ, P) ovat esmerkkejä kulma-vakutusmuuttujsta.

15 orsta /18 Integrotuvat systeemt Ed. esmerkssä huomasmme, että pystymme suorstamaan faasavaruuden käyrät harmonselle oskllaattorlle, käyttäen muuttujanvahtoa, jollon lke faasavaruudessa tul trvaalks. Onkn knnostavaa kysyä vommeko tehdä tämän ylesemmnkn? Van systeemelle, jotka ovat ntegrotuva! Ajatellaan, että mellä on n vapausastetta ja tarkastelemme muunnosta: (q, p ) (θ, J ) jollon H = H(J 1,..., J n) mutta e rpu θ :stä. Tällön Hamltonn LY n lkevakota J, kun taas θ = H J = ω mssä ω e rpu θ :stä (mutta rppuu ylesest J :stä), jollon θ = ω t. Jos tällanen muunnos, nn sllon systeem on ntegrotuva. Rajotetulle lkkeelle θ on yleensä skaalattu vällle 0 θ < 2π ja koordnaatteja (θ, J ) kutsutaan kulma-vakutusmuuttujks.

16 orsta /18 Integrotuvat systeemt Tosaalta pätee myös kääntenen argumentt. Jos mellä on n kpl Posson-kommutovaa lkevakota J 1,..., J n, nn sllon tästä seuraa, että kulma-vakutusmuuttujat ja systeem on ntegrotuva. Posson-kommutovuusvaatmuksen {J, J j } = 0 vodaan ajatella määrttelevän melle kanonset mpulsst J. Tämä on nmeltään Louvllen teoreema. Huom! Kakk systeemt evät ole ntegrotuva. Itseasassa usemmat evät ole (esm. kaoottset systeemt, ks. krjan luku 8). Onko oketa kulma-vakutusmuuttuja on globaal kysymys. Lokaalst votasn ana tehdä sopva muunnos, jollon faasavaruudessa saatasn suora vvoja; on tärkeää velä stoa vvat yhteen lman, että ne sotkeutuvat.

17 Torsta /18 Kulma-vakutusmuuttujat yksulottesessa tapauksessa Tarkastellaan 1d ongelmaa: H = p2 2m + V (q) Koska H on tse lkevako, jolle H = E (E vako) on systeem ntegrotuva. Oletetaan, että lke on rajotettua, q 1 q q 2, kuten kuvassa. Sllon lke on perodsta: oskllonta päätepsteden välllä. Tavote ols ss löytää kanonnen muunnos muuttujn (θ, J) s.e. vrtaukset faasavaruudessa ovat suora vvoja.

18 Kulma-vakutusmuuttujat yksulottesessa tapauksessa Kuva : Osaammeko suorstaa vrtaukset faasavaruudessa? Koska J on lkevako, nn H = H(J) = E Mutta mkä on okea valnta, jotta sen kanonsella parlla θ [0, 2π[ on omnasuus θ = H J = E J ω mssä ω on vako ja vastaa faasavaruuden kerrostaajuutta? Väte: okea valnta on J = pdq joka on ss faasavaruudessa olevan käyrän ssälläänptämä pnta-ala ja on anoastaan energan funkto. Todstus: (HT) ta ks. Mathematcal Methods of Classcal Mechancs, V. I. Arnold orsta /18