Kanoniset muunnokset

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kanoniset muunnokset"

Transkriptio

1 Kanonset muunnokset Koordnaatstomuunnokset Lagrangen formalsmssa pstemuunnoksa: Q = Q (q, t) nopeudet saadaan nästä dervomalla Kanonnen formalsm: p:t ja q:t samanarvosa 2n-ulottesen faasavaruuden muuttuja ylesemp muunnosteora tarpeen. Ol. Hamltonn funkto tunnetaan muuttujlle q, p (2n kpl). Määrtellään { Q = Q (q, p, t) (M) kääntesmuunnokset P = P (q, p, t) { q = q (Q, P, t) p = p (Q, P, t) Jos K = K(Q, P, t) s.e. muunnos (M) on kanonnen muunnos. Q = K P, Ṗ = K Q (K) Huom! kanonnen muunnos (M) e saa rppua ongelmasta el H:sta: Muunnos kanonnen muotoa (K) olevat yhtälöt H Tonen näppärä tapa nähdä kanonsuus. Muunnoksessa x y (x), täytyy muunnoksen Jacobaann J (J j = y / x j ) oltava symplektnen, el ( ) J JJ T 0 I = J = n n I n n 0 Tällön ptää myös pakkaansa, että Possonn sulut ovat nvarantteja! orsta /18

2 Torsta /18 Generovat funktot Modfotu Hamltonn peraate: δ t 2 t ( P 1 Q K) dt = 0 }{{} L Musta, L ja L kuvaavat samaa systeemä, jos 1. L = L + α, α R 2. L = αl, α R 3. L = L dg dt q p H = G on (kanonsen muunnoksen) generova funkto. Se on muotoa G(v, U, t), mssä Q P K + dg dt (v, U) = (q, Q), (q, P), (p, Q), (p, P) v nn kun vanha, U nn kun uus muuttuja!

3 Torsta /18 Tyypn G1 generaattor Merktään G = G 1 (q, Q, t), tällön dg 1 dt = ( G1 q + G ) 1 Q + G 1 q Q t Nyt p q H = P Q K + ( p G ) 1 q q ( G1 q + G ) 1 Q + G 1 q Q t ( P + G ) ( 1 Q H K + G ) 1 = 0 Q t toteutuu denttsest, kun p = G 1 (1) q P = G 1 (2) Q K = H + G 1 (3) t G 1 on annettu funkto, joten (2) q = q (Q, P, t); sj. tämä (1):seen p = p (Q, P, t); sj. molemmat (3):seen K = K(Q, P, t). El G 1 on generonut kanonsen muunnoksen!

4 Torsta /18 Muut generovat funktot Lähtökohtana ol q p H = Q P K + dg dt. Jos tunnetaan G = G 1 (q, Q, t), nn mulle parelle saadaan generaattort Legendren muunnokslla: (q, Q) (q, P) : G 2 (q, P, t) = G 1 + Q P (q, Q) (p, Q) : G 3 (p, Q, t) = G 1 q p (q, Q) (p, P) : G 4 (p, P, t) = G 1 + Q P q p = G 2 q p Huom! G 1, G 2, G 3, G 4 ovat generaattoreden tyypt; tse muunnoksa on ääretön määrä.

5 Torsta /18 Muunnosyhtälöt er generaattortyypelle Jos G 1 (q, Q, t) saadaan p = G 1, P q = G 1 Q G 2 (q, P, t) = G 1 (q, Q, t) + Q P G 2 q = G 1 q = p ; G 2 = Q ; K = H + G 2 P t G 3 (p, Q, t) = G 1 (q, Q, t) q p G 3 p = q ; G 3 = G 1 = P ; K = H + G 3 Q Q t G 4 (p, P, t) = G 2 (q, P, t) q p G 4 p = q ; G 4 = G 2 = Q ; K = H + G 4 P P t Nämä vos tetyst johtaa myös suoraan yhtälöstä (HT): q p H = Q P K + dg dt

6 Torsta /18 Esmerkk pstemuunnoksesta x = r cos ϕ Q 1 := x ; Q 2 := y y = r sn ϕ q 1 := r ; q 2 := ϕ G 2 (q, P, t) = P Q = P 1 q 1 cos q 2 + P 2 q 1 sn q 2 p 1 = G 2 q 1 = P 1 cos q 2 + P 2 sn q 2 p 2 = G 2 q 2 = P 1 q 1 sn q 2 + P 2 q 1 cos q 2 ( ) ( ) ( ) q1 p 1 cos q2 sn q = q 2 P1 p 1 2 sn q 2 cos q 2 P 2 ( ) P1 = 1 ( ) ( ) cos q2 sn q 2 q1 p 1 P 2 q 1 sn q 2 cos q 2 p 2 P x = p r cos ϕ pϕ r sn ϕ P y = pϕ r cos ϕ + p r sn ϕ

7 Torsta /18 Esmerkk kanonsuudesta Mllä parametren arvolla muunnos Q = αp q ; P = βq 2 on kanonnen? Lasketaan Possonn sulut! {Q, Q} =0 = {P, P} {Q, P} = Q P q p Q P p q = αp q 2 0 2βq α q = 2αβ Ss ehto kanonsuudelle on 2αβ = 1.

8 Torsta /18 Esmerkk: ets ed. muunnokselle generaattor Q = αp q ; P = βq 2 Käytetään tosta yhtälöä: G = G 1 (q, Q, t) p = G 1 q P = G 1 Q βq 2 = G 1(q, Q) Q G 1 = βq 2 Q + g(q) p = G 1 q = 2βqQ + g (q) = qq α 2β = 1 α, g = 0 2βα = 1, G 1 = βq 2 Q

9 Infntesmaalt kanonset muunnokset Lopuks lyhyt sananen generovsta muunnokssta toselta kantlta. Tarkastellaan seuraava muunnoksa: q Q = q + ɛf (q, p) p P = p + ɛe (q, p) mssä ɛ 1 pdetään penenä. Kysymys: mtkä funktot F (q, p) ja E (q, p) ovat sallttuja, jotta tämä ols kanonnen muunnos? Jacobaan on: (J j ) = δ j + ɛ F q j ɛ F p j ɛ E q j δ j + ɛ E p j el vaatmus symplektsyydestä J JJ T = J antaa (HT) F q j F = G p, E = G q = E p j, joka pätee, kun jollekn faasavaruuden funktolle G(q, p). Tällön ss G on generonut muunnoksen. Esm. tarkastellaan funktota G = p k. Sllon vastaava nfntesmaalnen kanonnen muunnos on q q + ɛδ k ja p p ; tämä on slkka translaato. El q k :n translaatot on generonut kanonnen mpulss G = p k. Torsta /18

10 Torsta /18 Noethern teoreema Hamltonn formalsmssa Kästtelmme Lagrangen formalsmssa Noethern teoreemaa, joka kerto yhteyden symmetroden sekä sälymslaken välllä. Katsotaan seuraavaks mten tämä näkyy Hamltonn formalsmssa. Tarkastellaan nfntesmaalsa kanonsa muunnoksa, jotka on generonut jokn G: δh = H δq + H δp q p = ɛ H q G p ɛ H p G q + O(ɛ 2 ) = ɛ{h, G} + O(ɛ 2 ) Generaattor G on Hamltonn funkton symmetra, jos δh = 0. Tämä on vomassa, jos ss {G, H} = 0 Tosaalta mustamme, että Ġ = {G, H}. Toteamme seuraavaa: Jos G on symmetra, nn sllon G on lkevako. Jos mellä on sälyvä suure G, nn sllon vomme käyttää tätä lkevakota generodaksemme kanonsen muunnoksen, joka vastaa symmetraa.

11 Torsta /18 Kulma-vakutusmuuttujsta Olemme kakk yrttäneet ratkoa mona fyskan ongelma käyttäen huonost valttuja koordnaatteja. Esm. olemme käyttäneet karteessa koordnaatteja, kun ongelmaa ols kannattanut lähestyä napakoordnaatessa. Tetyst okean ratkasun saa mllä tahansa koordnaattvalnnalla, mutta se on vonut vaata suuren urakan. Hamltonn formalsmssa mellä on mahdollsuus käyttää suurempaa koordnaattmuunnosarsenaala, kun vomme sotkea q:ta ja p:tä keskenään. Onko tästä stten okeast mtään hyötyä? Vastaus on kyllä: valtsemalla kulma-vakutusmuuttujat!

12 orsta /18 Esmerkk: HO uudelleen Palataan velä aempaan esmerkkn harmonsesta oskllaattorsta ennen kun srrytään velä ylesempään teoraan. Huomatkaa, että mtä abstraktmmaks teora käy, sen helpommaks esmerkken ratkasu tulee! Harmonsen oskllaattorn Hamltonn funkto on H = p2 2m mω2 0 q2 el Hamltonn LY: jolla on smppel ratkasu ṗ = mω 2 0 q, q = p m q = A cos(ω 0 (t t 0 )), p = mω 0 A sn(ω 0 (t t 0 )) mssä A ja t 0 ovat ntegromsvakota. Vrrat faasavaruudessa ovat ellpsejä.

13 Torsta /18 Esmerkk: HO uudelleen Tehdään nyt sama muunnos mkä tehtn aemmn, el (q, p) (θ, P) mssä ajatellaan, että θ on medän uus pakkakoordnaatt ja P uus lkemääräkoordnaatt, 2P q = sn θ, p = 2Pmω 0 cos θ mω 0 Harjotuksen vuoks tarkstetaan velä, että tämä muunnos on tosaan kanonnen (tätä e tseasassa tarkstettu akasemmn) kahdella er tavalla. 1) Possonn sulkujen nvaranss: helpomp näyttää takapern, el että {q, p} = 1 (θ, P)-koordnaatessa, ts. {q, p} θ,p q p θ P q p? = 1 P θ Suora lasku { 2P {q, p} θ,p = sn θ, } 2Pmω 0 sn θ mω 0 el muunnos on tosaan kanonnen. θ,p = 2{ P sn θ, P cos θ} = 1

14 Torsta /18 Esmerkk: HO uudelleen 2) Näytetään, että Jacobaan on symplektnen. Lasketaan suoraan: ( ) ( θ θ mω0 cos q p p 2 θ mω 0q J = P P = p 2 cos 2 θ p mω q p 0 q mω 0 ) Tätä käyttämällä vo suoraan näyttää (HT), että J JJ T = J kuten ptääkn. Katsotaan stten Hamltonn funktota uusssa muuttujssa: H = 1 2m (2mω 0P) sn 2 θ+ 1 2P 2 mω2 0 cos 2 θ = ω 0 P mω 0 el θ tosaankn on syklnen muuttuja; kuten aemmnkn. Hamltonn LY: θ = H P = ω 0, Ṗ = H θ = 0 El olemme onnstuneet kuvaamaan faasavaruuden ellpsn sylnterlle, joka on parametrsotu θ:lla ja P:llä. Koordnaatt (θ, P) ovat esmerkkejä kulma-vakutusmuuttujsta.

15 orsta /18 Integrotuvat systeemt Ed. esmerkssä huomasmme, että pystymme suorstamaan faasavaruuden käyrät harmonselle oskllaattorlle, käyttäen muuttujanvahtoa, jollon lke faasavaruudessa tul trvaalks. Onkn knnostavaa kysyä vommeko tehdä tämän ylesemmnkn? Van systeemelle, jotka ovat ntegrotuva! Ajatellaan, että mellä on n vapausastetta ja tarkastelemme muunnosta: (q, p ) (θ, J ) jollon H = H(J 1,..., J n) mutta e rpu θ :stä. Tällön Hamltonn LY n lkevakota J, kun taas θ = H J = ω mssä ω e rpu θ :stä (mutta rppuu ylesest J :stä), jollon θ = ω t. Jos tällanen muunnos, nn sllon systeem on ntegrotuva. Rajotetulle lkkeelle θ on yleensä skaalattu vällle 0 θ < 2π ja koordnaatteja (θ, J ) kutsutaan kulma-vakutusmuuttujks.

16 orsta /18 Integrotuvat systeemt Tosaalta pätee myös kääntenen argumentt. Jos mellä on n kpl Posson-kommutovaa lkevakota J 1,..., J n, nn sllon tästä seuraa, että kulma-vakutusmuuttujat ja systeem on ntegrotuva. Posson-kommutovuusvaatmuksen {J, J j } = 0 vodaan ajatella määrttelevän melle kanonset mpulsst J. Tämä on nmeltään Louvllen teoreema. Huom! Kakk systeemt evät ole ntegrotuva. Itseasassa usemmat evät ole (esm. kaoottset systeemt, ks. krjan luku 8). Onko oketa kulma-vakutusmuuttuja on globaal kysymys. Lokaalst votasn ana tehdä sopva muunnos, jollon faasavaruudessa saatasn suora vvoja; on tärkeää velä stoa vvat yhteen lman, että ne sotkeutuvat.

17 Torsta /18 Kulma-vakutusmuuttujat yksulottesessa tapauksessa Tarkastellaan 1d ongelmaa: H = p2 2m + V (q) Koska H on tse lkevako, jolle H = E (E vako) on systeem ntegrotuva. Oletetaan, että lke on rajotettua, q 1 q q 2, kuten kuvassa. Sllon lke on perodsta: oskllonta päätepsteden välllä. Tavote ols ss löytää kanonnen muunnos muuttujn (θ, J) s.e. vrtaukset faasavaruudessa ovat suora vvoja.

18 Kulma-vakutusmuuttujat yksulottesessa tapauksessa Kuva : Osaammeko suorstaa vrtaukset faasavaruudessa? Koska J on lkevako, nn H = H(J) = E Mutta mkä on okea valnta, jotta sen kanonsella parlla θ [0, 2π[ on omnasuus θ = H J = E J ω mssä ω on vako ja vastaa faasavaruuden kerrostaajuutta? Väte: okea valnta on J = pdq joka on ss faasavaruudessa olevan käyrän ssälläänptämä pnta-ala ja on anoastaan energan funkto. Todstus: (HT) ta ks. Mathematcal Methods of Classcal Mechancs, V. I. Arnold orsta /18

Hamiltonin mekaniikka

Hamiltonin mekaniikka Luku 7 Hamltonn mekankka Tässä luvussa mekankan formalsma vedään velä Lagrangen mekankkaakn järeämpään muotoon. Tutustumme jo luvussa 3 johnkn kanonsen formalsmn peruspalkohn, kuten kanonsn mpulssehn,

Lisätiedot

Jäykän kappaleen liike

Jäykän kappaleen liike aananta 9.9.014 1/17 Jäykän kappaleen lke Tähän ast tarkasteltu massapstemekankkaa : m, r, v Okeast fyskaalset systeemt ovat äärellsen kokosa, esm. jäykät kappaleet r r j = c j =vako, j elastset kappaleet

Lisätiedot

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä

Lisätiedot

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10

Lisätiedot

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut) J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät

Lisätiedot

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta

HASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten

Lisätiedot

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e

Lisätiedot

Monte Carlo -menetelmä

Monte Carlo -menetelmä Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla

Lisätiedot

6. Stokastiset prosessit (2)

6. Stokastiset prosessit (2) Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella

Lisätiedot

3.5 Generoivat funktiot ja momentit

3.5 Generoivat funktiot ja momentit 3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä

Lisätiedot

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit 68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta

Lisätiedot

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi 3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa

Lisätiedot

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste

Lisätiedot

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0. BM20A5800 - Funktot, lneaaralgebra, vektort Tentt, 26.0.206. (a) Krjota yhtälöryhmä x + 2x 3 = a 2x + x 2 + 5x 3 = b x x 2 + x 3 = c matrsmuodossa Ax = b ja ratkase x snä erkostapauksessa kun b = 0. Mllä

Lisätiedot

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka

Lisätiedot

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss

Lisätiedot

7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.

7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset. 7. Modult Vektoravaruudet ovat vahdannasa ryhmä, jossa on määrtelty jonkn kunnan skalaartomnta. Hyväksymällä kerronrakenteeks kunnan sjaan rengas saadaan rakenne nmeltä modul. Moduln käste on ss vektoravaruuden

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä. MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt

Lisätiedot

Lagrangen mekaniikka. Luku Systeemin vapausasteet ja sidokset

Lagrangen mekaniikka. Luku Systeemin vapausasteet ja sidokset Luku 3 Lagrangen mekankka Lähdetään stten opskelemaan abstraktmpaa mutta samalla tehokkaampaa mekankan formalsma, jonka taustalla on kaks suurta matemaatkkoa Joseph- Lous Lagrange (1736 1813) ja Sr Wllam

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot

Lisätiedot

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks

Lisätiedot

Tchebycheff-menetelmä ja STEM

Tchebycheff-menetelmä ja STEM Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot

Lisätiedot

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron

Lisätiedot

9. Muuttuva hiukkasluku

9. Muuttuva hiukkasluku Statstnen fyskka, osa B (FYSA242) Tuomas Lapp tuomas.v.v.lapp@jyu.f Huone: FL240. E kntetä vastaanottoakoja. kl 2016 9. Muuttuva hukkasluku 1 Kertaus: lämpökylpy Mustetaan kurssn A-osasta Mkrokanonnen

Lisätiedot

Pyörimisliike. Haarto & Karhunen.

Pyörimisliike. Haarto & Karhunen. Pyörmslke Haarto & Karhunen www.turkuamk.f Pyörmslke Lttyy jäykän kappaleen pyörmseen akselnsa ympär Pyörmsenerga on pyörmsakseln A ympär pyörvän kappaleen osasten lke-energoden summa E r Ek mv mr mr www.turkuamk.f

Lisätiedot

PUTKIKELLON SUUNNITTELU 1 JOHDANTO 2 VÄRÄHTELEVÄN PALKIN TEORIAA. dm Q dx = (1) Matti A Ranta

PUTKIKELLON SUUNNITTELU 1 JOHDANTO 2 VÄRÄHTELEVÄN PALKIN TEORIAA. dm Q dx = (1) Matti A Ranta Matt A Aaltoylopsto Perusteteden korkeakoulu Matematkan ja systeemanalyysn latos PL 1100, 02015 Espoo matt.ranta@tkk.f 1 JOHDANTO Putkkellot kuuluvat lyömäsotnten ryhmään. Putkkellot koostuvat erptussta

Lisätiedot

Galerkin in menetelmä

Galerkin in menetelmä hum.9.3 Galerkn n menetelmä Galerknn menetelmän soveltamnen e ole rajottunut van ongelmn, jotka vodaan pukea sellaseen varaatomuotoon, joka on seurauksena funktonaaln mnmomsesta, kuten potentaalenergan

Lisätiedot

Kertausta: Vapausasteet

Kertausta: Vapausasteet Maanantai 8.9.2014 1/19 Kertausta: Vapausasteet Liikkeen kuvailu: massapisteen koordinaatit (x, y, z) ja nopeudet (v x, v y, v z ). Vapaasti liikkuvalla massapisteellä on kolme vapausastetta. N:llä vapaasti

Lisätiedot

r i m i v i = L i = vakio, (2)

r i m i v i = L i = vakio, (2) 4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään

Lisätiedot

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia ähköstaattnen enega Potentaalenegan a potentaaln suhde on samanlanen kun Coulomn voman a sähkökentän suhde: ähkökenttä vakuttaa vaattuun kappaleeseen nn, että se kokee Coulomn voman, mutta sähkökenttä

Lisätiedot

. g = 0,42g. Moolimassat ovat vastaavasti N 2 :lle 28, 02g/ mol ja typpiatomille puolet tästä 14, 01g/ mol.

. g = 0,42g. Moolimassat ovat vastaavasti N 2 :lle 28, 02g/ mol ja typpiatomille puolet tästä 14, 01g/ mol. LH-1 Kaasusälö ssältää 1, g typpeä 1800 K lämpötlassa Sälön tlavuus on 5,0 l Laske pane sälössä ottamalla huomoon, että tässä lämpötlassa 30 % typpmolekyylestä, on hajonnut atomeks Sovella Daltonn laka

Lisätiedot

1, x < 0 tai x > 2a.

1, x < 0 tai x > 2a. PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto

Lisätiedot

Hamiltonin-Jacobin teoriaa

Hamiltonin-Jacobin teoriaa Perjantai 10.10.2014 1/21 Hamiltonin-Jacobin teoriaa Tällä viimeisellä luennolla käsittelemme vielä uuden näkökulman klassiseen mekaniikkaan, joka kulkee nimellä Hamiltonin-Jacobin teoria. Aloitetaan Hamiltonin

Lisätiedot

Kvanttimekaanisten joukkojen yhteys termodynamiikkaan

Kvanttimekaanisten joukkojen yhteys termodynamiikkaan Kvanttmekaansten joukkojen yhteys termodynamkkaan Hukkaslukumäärän sälyttävä systeem vo vahtaa energaa ympärstönsä kanssa kahdella tavalla: työnä ta lämpönä. Termodynamkassa entropan muutos lttyy lämmön

Lisätiedot

4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman

4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman 4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten

Lisätiedot

4. A priori menetelmät

4. A priori menetelmät 4. A pror menetelmät 4. Arvofunkto-menetelmä 4.2 Lekskografnen järjestämnen 4.3 Tavoteohjelmont Tom Bäckström Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 4. Arvofunkto-menetelmä Päätöksentekjä antaa eksplsttsen

Lisätiedot

A = B = T = Merkkijonon A osamerkkijono A[i..j]: n merkkiä pitkä merkkijono A:

A = B = T = Merkkijonon A osamerkkijono A[i..j]: n merkkiä pitkä merkkijono A: Merkkjonot (strngs) n merkkä ptkä merkkjono : T T T G T n = 18 kukn merkk [], mssä 0 < n, kuuluu aakkostoon Σ, jonka koko on Σ esm. bttjonot: Σ = {0,1} ja Σ = 2, DN: Σ = {,T,,G} ja Σ = 4 tetokoneen aakkosto

Lisätiedot

Statistinen mekaniikka 1

Statistinen mekaniikka 1 Statstnen mekankka 1 Kevät 2017 Luennotsja Aleks Vuornen (aleks.vuornen@helsnk.f, A322) Laskuharjotusasstentt: Francesco Montanar (francesco.montanar@helsnk.f, A321) Tuomas Tenkanen (tuomas.tenkanen@helsnk.f,

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu

Lisätiedot

Kuntoilijan juoksumalli

Kuntoilijan juoksumalli Rakenteden Mekankka Vol. 42, Nro 2, 2009, s. 61 74 Kuntoljan juoksumall Matt A Ranta ja Lala Hosa Tvstelmä. Urhelututkmuksen melenknnon kohteena ovat yleensä huppu-urheljat. Tuokon yksnkertastettu juoksumall

Lisätiedot

5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman

5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman 5. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7.4.006 Thomas Hackman 5. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 5. Tähtteteellsten

Lisätiedot

Tilastollisen fysiikan luennot

Tilastollisen fysiikan luennot Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 22..2007 Luento 0 Ssäpstemenetelmät ja kokonaslukuoptmont (krja 0.-0.4) Ssäpstemenetelmät luvut 8 ja 9, e tarvtse lukea Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / Luentorunko Sananen

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Vahtosähkön teho hetkellnen teho p(t) pätöteho P losteho Q näennästeho S kompleksnen teho S HETKELLINEN TEHO Kn veresen kvan mpedanssn Z jännte ja vrta (tehollsarvon osottmet)

Lisätiedot

3. Datan käsittely lyhyt katsaus

3. Datan käsittely lyhyt katsaus 3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Montavoteoptmont ja teollsten prosessen hallnta Ylassstentt Juss Hakanen juss.hakanen@jyu.f syksy 2010 Interaktvset menetelmät Idea: päätöksentekjää hyödynnetään aktvsest ratkasuprosessn akana

Lisätiedot

BL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka

BL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka BLA6 Sähkönsrtoteknkka Tehonaon laskenta Jarmo Partanen LT Energy Electrcty Energy Envronment Srtoverkkoen laskenta Verkon tehonaon laskemnen srron hävöt ännteolosuhteet ohtoen kuormttumnen verkon käyttäytymnen

Lisätiedot

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-

Lisätiedot

5. KVANTTIMEKANIIKKAA

5. KVANTTIMEKANIIKKAA 5. KVANTTIMEKANIIKKAA Bohrn atommallsta samme jonknlasen kuvan atomn rakenteesta. Kutenkaan Bohrn atommall e pysty selttämään kakka kokeellsa havantoja spektrestä: Mks osa spektren vvosta on tosa vomakkaampa

Lisätiedot

Jaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen

Jaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen Tosakajärjestelmät Luento : Resurssen hallnta ja prorteett Tna Nklander Jaetut resursst Useat tapahtumat jakavat ohjelma-/lattesto-olota, jossa kesknänen possulkemnen on välttämätöntä. Ratkasuja: Ajonakanen

Lisätiedot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot

Ei-inertiaaliset koordinaatistot orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}

Lisätiedot

S , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon

S , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon S-11435, FYSIIKKA III (ES), Syksy 00, LH 4, Loppuvkko 39 LH4-1* Käyttän Maxwll-Boltzmann-jakauman parttofunktota määrtä a) nrgan nlön kskarvo (E ) skä b) nrgan nlöllnn kskpokkama kskarvosta l nrgan varanss,

Lisätiedot

Puupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:

Puupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö: Puupntasen sandwchkattoelementn lujuuslaskelmat. Ssältö: Sandwch kattoelementn rakenne ja omnasuudet Laatan laskennan kulku Tulosten vertalua FEM-malln ja analyyttsen malln välllä. Elementn rakenne Puupntasa

Lisätiedot

Raja-arvot. Osittaisderivaatat.

Raja-arvot. Osittaisderivaatat. 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat

Lisätiedot

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian

Lisätiedot

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos. Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu /9. Ampltudmodulaato (AM) Spektranalysaattorlla mtattn 50 ohmn järjestelmässä ampltudmodulaattorn (AM) lähtöä, jollon havattn 3 mpulssa spektrssä taajuukslla

Lisätiedot

Yrityksen teoria. Lari Hämäläinen S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu

Yrityksen teoria. Lari Hämäläinen S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu Yrtyksen teora Lar Hämälänen.1.003 Yrtys Organsaato, joka muuttaa tuotantopanokset tuotteks ja tom tehokkaammn kun sen osat erllään Yrtys tenaa rahaa myynthnnan sekä ostohnnan ja aheutuneden kustannuksen

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4 TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun

Lisätiedot

T p = 0. λ n i T i B = Käytetään kohdan (i) identiteetin todistamiseen induktiotodistusta. : Oletetaan, että väite on totta, kun n = k.

T p = 0. λ n i T i B = Käytetään kohdan (i) identiteetin todistamiseen induktiotodistusta. : Oletetaan, että väite on totta, kun n = k. Olkoot A R n n ja T R n n sten, että on olemassa ndeks p N jolle T p = Tällästä matrsa kutsutaa nlpotentks Näytä, että () () () Olkoot Määrtä matrs B n (λi + A) n = (λi + T ) n = B = n mn n,p ( ) n λ n

Lisätiedot

Yrityksen teoria ja sopimukset

Yrityksen teoria ja sopimukset Yrtyksen teora a sopmukset Mat-2.4142 Optmontopn semnaar Ilkka Leppänen 22.4.2008 Teemoa Yrtyksen teora: tee va osta? -kysymys Yrtys kannustnsysteemnä: ylenen mall Työsuhde vs. urakkasopmus -analyysä Perustuu

Lisätiedot

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli Ssältö Kertausta: ykskertae lkeeteoreette mall M/M/-PS asakasta palvelja asakaspakkaa M/M/-PS asakasta palveljaa asakaspakkaa Sovellus elastse datalketee malltamsee vuotasolla M/M//k/k-PS k asakasta palvelja

Lisätiedot

Hallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä 2005-9-14 Palautuspäivä 2005-9-28

Hallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä 2005-9-14 Palautuspäivä 2005-9-28 Jyväskylän Aattkorkeakoulu, IT-nsttuutt IIF00 Sovellettu fyskka, Syksy 005, 4.5 ETS Opettaja Pas epo alln lö Laatja - Pas Vähäartt Vuoskurss - IST4SE Tekopävä 005-9-4 Palautuspävä 005-9-8 8.9.005 /7 LABOATOIOTYÖ

Lisätiedot

Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit

Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit Ykskköoperaatot ja teollset prosesst 1 Ylestä... 2 2 Faasen välnen tasapano... 3 2.1 Neste/höyry-tasapano... 4 2.1.1 Puhtaan komponentn höyrynpane... 4 2.1.2 Ideaalnen seos... 5 2.1.3 Epädeaalnen nestefaas...

Lisätiedot

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto Kynä-paper -harjotukset Tana Lehtnen 8.8.07 Tana I Lehtnen Helsngn ylopsto Etelä-Suomen ja Lapn lään, 400 opettajaa a. Perusjoukon (populaaton) muodostvat kakk Etelä-Suomen ja Lapn läänn peruskoulun opettajat

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 3.9.2007 Luento Johdanto (krja.-.4) S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / Luentorunko Hstoraa Lneaarnen optmonttehtävä

Lisätiedot

Moraalinen uhkapeli: N:n agentin tapaus eli moraalinen uhkapeli tiimeissä

Moraalinen uhkapeli: N:n agentin tapaus eli moraalinen uhkapeli tiimeissä Moraalnen uhkapel: N:n agentn tapaus el moraalnen uhkapel tmessä Mat-2.4142 Optmontopn semnaar Ismo Räsänen 4.3.2008 S ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 11 - Ismo Räsänen Optmontopn

Lisätiedot

Pro gradu -tutkielma. Whitneyn upotuslause. Teemu Saksala

Pro gradu -tutkielma. Whitneyn upotuslause. Teemu Saksala Pro gradu -tutkelma Whtneyn upotuslause Teemu Saksala Helsngn ylopsto Matematkan ja tlastoteteen latos 5. maalskuuta 2013 0.1 Johdanto Topologset monstot ovat melenkntosa, koska ne ovat määrtelmänsä nojalla

Lisätiedot

Kokonaislukuoptimointi

Kokonaislukuoptimointi Kokonaslukuotmont Robust dskreett otmont ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Ar-Pekka Perkkö ovelletun matematkan tutkasemnaar Kevät 28 sältö Robustn lneaarsen kokonasluku- sekä sekalukuotmontongelman

Lisätiedot

in 2/2012 6-7 4-5 8-9 InHelp palvelee aina kun apu on tarpeen INMICSIN ASIAKASLEHTI

in 2/2012 6-7 4-5 8-9 InHelp palvelee aina kun apu on tarpeen INMICSIN ASIAKASLEHTI n 2/2012 fo INMICSIN ASIAKASLEHTI 6-7 Dgtova kynä ja Joun Mutka: DgProfITn sovellukset pyörvät Inmcsn konesalssa. 4-5 HL-Rakentajen työmalle on vedettävä verkko 8-9 InHelp palvelee ana kun apu on tarpeen

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekankan jatkokurss Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalamp LUENTO 2 Alkuverryttelyä Vääntömomentt Oletus: Vomat tasossa, joka on kohtsuorassa pyörmsaksela vastaan. Oven kääntämseen tarvtaan er suurunen voma

Lisätiedot

Työssä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa

Työssä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE (7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 38E. MEKAANISEN VÄRÄHELYN UKIMINEN. yön tavote 2. eoraa yössä tutustutaan harmonsen mekaansen värähdyslkkeen omnasuuksn seuraavssa tapauksssa:

Lisätiedot

Frégier'n lause. Simo K. Kivelä, P B Q A

Frégier'n lause. Simo K. Kivelä, P B Q A Smo K. Kvelä, 13.7.004 Fréger'n lause Tosen asteen ärllä ellpsellä, paraaelella, hperelellä ja nden erostapauslla on melonen määrä snertasa säännöllssomnasuusa. Eräs tällanen on Fréger'n lause: Oloon P

Lisätiedot

Taustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon

Taustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon Taustaa Sekventaalnen vakutuskaavo Sekventaalnen päätöskaavo on 1995 ovalun ja Olven esttämä menetelmä päätösongelmen mallntamseen, fomulontn ja atkasemseen. Päätöspuun omnasuukssta Hyvää: Esttää eksplsttsest

Lisätiedot

Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa

Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa Usean muuttujan funktoden ntegraallaskentaa Pntantegraaln määrtelmä Yhden muuttujan tapaus (kertausta) Olkoon f() : [a, b] R jatkuva funkto Oletetaan tässä ksnkertasuuden vuoks, että f() Remann-ntegraal

Lisätiedot

Jäykän kappaleen liike

Jäykän kappaleen liike Luku 6 Jäykän kappaleen lke Tähän mennessä mekankkaa on tarkasteltu lähnnä yksttästen massapsteden näkökulmasta. Okeat mekaanset systeemt muodostuvat kutenkn usen äärellsen kokossta kappalesta, joden er

Lisätiedot

Reaaliarvoinen funktio f : on differentioituva pisteessä x, jos f:lle on siinä voimassa kehitelmä. h h. eli. Silloin

Reaaliarvoinen funktio f : on differentioituva pisteessä x, jos f:lle on siinä voimassa kehitelmä. h h. eli. Silloin MAT-3440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tampereen teknllnen ylopsto Rsto Slvennonen Kevät 00 4. Vektorfunkton dervaatta. Ketjusääntö.. Reaalarvosen funkton dervaatta Tässä luvussa estetään dervaattakäste ensn reaalarvoselle

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

11. Vektorifunktion derivaatta. Ketjusääntö

11. Vektorifunktion derivaatta. Ketjusääntö 7 Vektorfunkton dervaatta Ketjusääntö Täydennämme ja kertaamme seuraavassa dfferentaallaskennan teoraa kursslta Laaja matematkka Palautetaan meln dervaatan määrtelmä reaalfunktolle: Funkton f : R R dervaatta

Lisätiedot

Kertausta: Hamiltonin periaate

Kertausta: Hamiltonin periaate Maanantai 15.9.2014 1/19 Kertausta: Hamiltonin periaate Hamilton: Kaikkien pisteiden {q 1 } ja {q 2 } välisten mahdollisten ratojen joukosta valikoituu se, jolle (Hamiltonin) vaikutusintegraali I = t2

Lisätiedot

Käytetään säteille kompleksiesitystä. Tuleva säde on Ee 0 iw t ja peräkkäisiä heijastuneita säteitä kuvaaviksi esityksiksi saadaan kuvasta: 3 ( 2 )

Käytetään säteille kompleksiesitystä. Tuleva säde on Ee 0 iw t ja peräkkäisiä heijastuneita säteitä kuvaaviksi esityksiksi saadaan kuvasta: 3 ( 2 ) 58 Yhtälön (0.4.) mukaan peräkkästen hejastuneen säteen optnen matkaero on D= n tcosqt ja vahe-eroks tulee (kun r = 0) p = kd= D. (.3.) l ässä on huomattava, että hejastuksssa tapahtuvat mahollset p :

Lisätiedot

Eräs Vaikutuskaavioiden ratkaisumenetelmä

Eräs Vaikutuskaavioiden ratkaisumenetelmä Mat-2.142 Optmontopn semnaar, s-99 28.9. 1999 Semnaarestelmän referaatt Joun Ikonen Lähde: Ross D. Schachter: Evaluatng nfluence dagrams, Operatons Research, Vol 34, No 6, 1986 Eräs Vakutuskaavoden ratkasumenetelmä

Lisätiedot

Klassisen mekaniikan historiasta

Klassisen mekaniikan historiasta Torstai 4.9.2014 1/18 Klassisen mekaniikan historiasta Nikolaus Kopernikus (puolalainen pappi 1473-1543): aurinkokeskeinen maailmankuva Johannes Kepler (saksalainen tähtitieteilijä 1571-1630): planeettojen

Lisätiedot

Mittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa

Mittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa Mttausteknkan perusteet / luento 6 Mttausepävarmuus ja shen lttyvää termnologaa Mttausepävarmuus = mttaustulokseen lttyvä parametr, joka kuvaa mttaussuureen arvojen odotettua vahtelua Mttauksn lttyvä kästtetä

Lisätiedot

Kitkavoimat. Ol. N massapisteen systeemi ja suoraan nopeuteen verrannollinen kitkavoima: k x v 2. i,x + ky v 2. i,y + kz v 2. vi F = i. r i.

Kitkavoimat. Ol. N massapisteen systeemi ja suoraan nopeuteen verrannollinen kitkavoima: k x v 2. i,x + ky v 2. i,y + kz v 2. vi F = i. r i. Kitkavoimat Ol. N massapisteen systeemi ja suoraan nopeuteen verrannollinen kitkavoima: F (f ) i = k x v i,x ê x k y v i,y ê y k z v i,z ê z Otetaan käyttöön Rayleigh n dissipaatiofunktio N F = 1 2 i=1

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Harjoitus 7: vastausvihjeet

Harjoitus 7: vastausvihjeet Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.

Lisätiedot

Venymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan AE AE

Venymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan AE AE S-11435, Fyskka III (ES) Tntt 75 1 Stsmän tunnstttavssa olvaa hukkasta on jakautunut kahdll nrgatasoll Ylm taso on dgnrotumaton ja sn nrga on 1, mv korkam kun almman tason, joka uolstaan on dgnrotunut

Lisätiedot

10.5 Jaksolliset suoritukset

10.5 Jaksolliset suoritukset 4.5 Jaksollset suortukset Tarkastellaa tlaetta, jossa asakas tallettaa pakktllle tostuvast yhtäsuure rahasumma k aa korkojakso lopussa. Asakas suorttaa talletukse kertaa. Lasketaa tlllä oleva pääoma :e

Lisätiedot

VERKKOJEN MITOITUKSESTA

VERKKOJEN MITOITUKSESTA J. Vrtamo 38.3141 Telelkenneteora / Verkon mtotus 1 VERKKOJEN MITOITUKSESTA 1. Prkytkentäset verkot Lnkken kapasteetten (johtoja/lnkk) määräämnen sten, että verkon kokonaskustannukset mnmotuvat, kun päästä-päähän

Lisätiedot

MO-teoria ja symmetria

MO-teoria ja symmetria MO-teora ja symmetra () Kaks atomorbtaaa vovat muodostaa kaks moekyyorbtaaa - Stova orbtaa - ajottava orbtaa () Atomorbtaaen energoden otava keskenään samansuurusa () Atomorbtaaen symmetravaatmukset LCAO

Lisätiedot

AB TEKNILLINEN KORKEAKOULU

AB TEKNILLINEN KORKEAKOULU B TEKNILLINEN KORKEKOULU Tetoverkkolaboratoro luento05.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 00 Ssältö eruskästteet Dskreett satunnasmuuttujat Dskreett jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnasmuuttujat

Lisätiedot

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely)

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely) Epälneaarsten penmmän nelösumman tehtäven ratkasemnen numeerslla optmontmenetelmllä valmn työn esttely Lar Pelkola 9.9.014 Ohjaaja/valvoja: Prof. Harr Ehtamo yön saa tallentaa ja julkstaa Aalto-ylopston

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ 76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee

Lisätiedot

Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu

Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita oskillaattoreita yleinen tarkastelu Useita riippumattomia vapausasteita q i, i =,..., n ja potentiaali vastaavasti U(q, q 2,..., q n). Tasapainoasema {q 0, q0 2,..., q0 n} q 0 Käytetään merkintää

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Epätäydelliset sopimukset

Epätäydelliset sopimukset Eätäydellset somukset Matt Rantanen 15.4.008 ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 16 Matt Rantanen Otmonton semnaar - Kevät 008 Estelmän ssältö Eätäydellset somukset ja omstusokeus alanén

Lisätiedot

Mittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?

Mittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio? Mttausteknkan perusteet / luento 7 Mttausepävarmuus Mttausepävarmuus Mttaustulos e ole koskaan täysn oken Mttaustulos on arvo mtattavasta arvosta Mttaustuloksen ja mtattavan arvon ero on mttausvrhe Mkäl

Lisätiedot

6. Stokastiset prosessit

6. Stokastiset prosessit luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät Ssältö Peruskästtetä Posson-prosess Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst Stokastset prosesst () Tarkastellaan otakn (lkenneteoran kannalta ta stten

Lisätiedot

Painokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät

Painokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät Panokerron-, epslon-rajotusehtoja hybrdmenetelmät Optmontopn semnaar - Kevät 000 / Estelmän ssältö Ylestä jälkkätespreferenssmenetelmstä Panokerronmenetelmä Epslon-rajotusehtomenetelmä Hybrdmenetelmä Esmerkkejä

Lisätiedot

1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori

1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa

Lisätiedot