Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa

Transkriptio

1 Usean muuttujan funktoden ntegraallaskentaa Pntantegraaln määrtelmä Yhden muuttujan tapaus (kertausta) Olkoon f() : [a, b] R jatkuva funkto Oletetaan tässä ksnkertasuuden vuoks, että f() Remann-ntegraal b a f() d määrteltn seuraavast a f() Valtaan väln jako < < < n b ja jakoväleltä svuna on väl [, ] ja korkeutena f(ξ ), ja ss plvään pnta-ala on f(ξ ), mssä Koko plväskuvon pntaala on ns Remann-summa f(ξ ) psteet ξ [, ] Saadaan plväskuvo, mssä ana hden plvään alaa f() Rajalla, kun jako thenee, Remann-summan raja-arvo on olemassa ja ana sama eo valnnosta rppumatta (anakn kun f on jatkuva), ja stä sanotaan funkton (Remann-)ntegraalks, f(ξ ) b a f() d Integraaln geometrnen merkts on kärän f() ja -akseln väln jäävän alueen pnta-ala (kun f() koko välllä) Kahden muuttujan tapaus (pnta-ntegraal) Olkoon f() : R jatkuva funkto, mssä R 2 Oletetaan tässä ksnkertasuuden vuoks, että f(, ) Pntantegraal f(, ) d määrtellään monsteessa s 4 42 seuraavast Tehdään alueen jako - ja -akselen suuntaslla suorlla Merktään jako-osa, ja olkoon :n pnta-ala Jokaselta osa-alueelta valtaan pste (ξ, η ) b b z z f(,) ( ξ, η )

2 Jokaselle osa-alueelle saadaan plväs, jonka korkeus on f(ξ, η ) Plvään tlavuus on z ss f(ξ, η ) Koko plvästön tlavuus on f(ξ, η ) Plväskuvo approksmo pntaa z f(, ), tetenkn stä tarkemmn mtä theämp jako f(ξ,η ) z f(,) on (Monsteessa svun 42 läreunan kuvo on skäl hukan harhaan johtava, että plvään läpnta on snä kaareva Tarkotus on että plväät ovat suorakulmasa särmötä) z nnetaan nt jaon thentä nn että osa-alueden määrä kasvaa ja nden alat lähenevät nollaa Vodaan todstaa, että jos f on jatkuva ja alueen reuna klln säännöllnen, nn raja-arvo on olemassa ja ana sama rppumatta edellä tehdstä valnnosta (ss rppumatta stä, mten alueen jaot ja psteet (ξ, η ) valttn) Raja-arvoa sanotaan pntantegraalks f(ξ, η ) f(, ) d; katso monsteen svulta 42 er merkntätapoja Ilmesest ss pntantegraallla on se geometrnen merkts, että se antaa tapauksessa f(, ) pnnan z f(, ) ja -tason väln jäävän kappaleen tlavuuden Pntantegraala e pdä sekottaa shen, että pnta-aloja laskettn tavallsella ntegraallla Nämä ovat avan er asota Esmerkk Pats tlavuuksa, pntantegraalella (ta tlavuusntegraalella ta käräntegraalella tms) lasketaan kakenlasa suureta 2

3 jatellaanpa esmerkknä, että mellä on ohut levmänen kappale, jonka massa medän ptäs laskea stä tedosta, että tedämme mten panavaa ane kussakn kohdassa on Oletetaan ss, että aneen thes vahtelee er osssa ja että me tunnemme mten se vahtelee: tunnemme ns pntatheden er kohdssa Sjotetaan kappale koordnaats d d toon Olkoon ρ(, ) pntathes kohdassa (, ) Kuvon d d svusen pkku suorakulmon massa on dm ρ(, ) d d, sllä dm pntathes ala Koko massa M saadaan summaamalla tällaset pkku osat, ja summaamnen tarkottaa ntegronta, joten massa on M ρ(, ) d d ρ(, ) d, mkä on pntantegraal alueen l Se laskettasn ss seuraavaks seltettävällä tavalla Mon muukn asa lasketaan pntantegraaln avulla; esmerkks tämän kappaleen panopsteen koordnaatt (, ) ovat M ρ(, ) d, M ρ(, ) d Pntantegraaln laskemnen Pntantegraal lasketaan leensä ns terotuna ntegraalna, mkä tarkottaa (kätettäessä -koordnaatteja), että ensn ntegrodaan :n suhteen ja stten :n suhteen ta tosn pän, tlanteesta rppuen Katso monsteen svut Tosnaan kumpkaan tapa e onnstu suoraan vaan ntegrontalue ptää ensn jakaa sopvn osn; tätä seltetään möhemmn Esmerkk Lasketaan pntantegraal 3 2 d kun on alue {(, ) R 2, 2 }

4 Pntantegraal terotuna ntegraalna on ( ) d 3 2 d d Tämä muodostettn nn, että ulommaks ntegraalks otettn -ntegront ja ssemmäks -ntegront Integrontrajat määrätvät seuraavast Ulommassa ntegronnssa :n rajat tulevat välstä [, ], jonka kulkee Ssemmässä ntegraalssa ajatellaan, että snä on jokn pste [, ], ja tällä :llä kä väln [, 2 ]; katso kuvota Nt, kun olemme saaneet krjotetuks terodun ntegraaln okene ntegrontrajoneen, nn sen laskemnen on suoravvanen tö: ( ) d 3 2 d d ( / ) d ( 3 3( ( 2 ) 3 3)) d 3 9 d / 3 3 ( ) 3 Monsteessa terodulle ntegraalelle kätetään tosta, krjallsuudessakn lestä merkntätapaa; ss esmerkks eo ntegraala merktään 2 d 3 2 d, mllä kutenkn tarkotetaan juur esmerkssä ollutta ssäkkästä ntegronta Tässä tekstssä noudatetaan koko ajan tädellsempää merkntätapaa Esmerkk Joskus saman ntegraaln vo laskea terotuna ntegraalna valtsemalla ntegrontjärjestksen kummalla tavalla tahansa Äskenen ntegraal vodaan laskea seuraavastkn Integrodaan kääntesessä järjestksessä Kärä 2 on sama kun (kun ) 4 2

5 Kuvon avulla lasketaan: 3 2 d ( 3 2 d ) d 4 / ( / ) d ( 4 2( 4 4 )) d ( 2 4 ) d ( ) ( 3 5 ) Iterodussa ntegraalssa ulommat ntegrontrajat ovat ana vakota: sellä e saa esntä :ää ta :tä Ssemmän ntegronnn sjotusvaheessa on oltava tarkkana, kumpaan muuttujaan sjottaa Nässä asossa esnt usen vrhetä tenttpaperessa Monsteessa seltetään terodut ntegraalt lesemmn Iterotua ntegraala vodaan ss kättää, jos alue on shen sopvan muotonen, katso monste s Jos alue on hankalamp, sen ptää ehkä ensn jakaa osn, john kuhunkn keno soveltuu Esmerkks ao alueessa e vo laskea terotua ntegraala kummassakaan järjestksessä, mutta kun alue jaetaan osn, se onnstuu kussakn osassa erkseen, ja f f + 2 f + 3 f 2 3 Mks terotu ntegront tom Seltetään terodun ntegraaln takana oleva ksnkertanen dea Sen ssästämsestä on sekn höt, että se auttaa mustamaan laskumenetelmän vaheet oken 5

6 Tarkastellaan edellä laskettua ntegraala 2 f(, ) d mssä on kuten kuvossa Se laskettn kahdellakn tavalla Ensmmänen ol f(, ) d ( 2 f(, ) d ) d Mks tämä tom? Jaetaan alue penn osn kuten pntantegraaln määrtelmässä Merktään osa-alueta ja valtaan nstä kustakn pste (ξ, η ) (esmerkks (ξ, η ) vos ana olla :n keskpste) Sllon f d f(ξ, η ) ; onhan vasen puol okean puolen raja-arvo kun jako thenee Okealla puolella oleva summa on tavallnen äärellnen summa, jossa termt vodaan ss laskea hteen mssä järjestksessä tahansa Lasketaan ne hteen pstsukalettan ; katso ao kuvota Tarkastellaan kuvon mukasta htä pnoa osa-alueta; olkoot ne k, k+,, k+t Nästä saadaan osasumma k+t k f(ξ, η ) Tehdään sama jokaselle pstsukaleelle; kus- k k+t takn saadaan tuollanen osasumma Stten lasketaan ne kakk hteen, jollon saadaan koko summa Vodaan krjottaa f(ξ, η ) ( sukale f(ξ, η ) ), mssä okean puolen ssemmässä summassa lasketaan ana summa hdestä sukaleesta ja ulommassa summassa lasketaan sukalesummat hteen Iterodussa ntegraalssa tehdään sama mutta summen tlalla on ntegraalt: f d ( 2 f(, ) d ) d Tähänhän lmesest päädtään, kun o sum- 2 2 malausekkessa otetaan raja-arvo antamalla jaon thentä Ssemmässä ntegraalssa ntegrodaan ptkn tuota kuvossa kohtaan merkttä pstjanaa, mkä ntegraal vastaa summan ottoa hdestä pstsukaleesta Ulomp ntegraal, jossa kä väln [, ], vastaa taas stä, että sukalesummat lasketaan hteen 6