Tchebycheff-menetelmä ja STEM

Transkriptio

1 Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot estetään päätöksentekjälle yksnkertasessa muodossa Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 2 1

2 2. Tchebycheff-menetelmä Suunnteltu helpoks päätöksentekjän kannalta Tässä estetään menetelmä kohdefunktoden mnmontn Joka teraatolla päätöksentekjälle estetään joukko Paretoratkasuja, josta hän valtsee melestään parhaan Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 3 Valnnan perusteella penennetään mahdollsten ratkasujen joukkoa Paretoratkasuja luodaan käyttämällä panotettua Tchebycheff-metrkkaa er panokertomlla Ratkasujen luomsessa täytyy olla tedossa utopapste, johon ratkasuja verrataan Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 4 2

3 Oletuksa vähän Krteerfunktot mnmotava Krteerfunktot alhaalta rajotettuja käyvässä alueessa S Seuraavassa oletetaan lsäks että deaalpste ja utopapste tunnetaan metrkasta vodaan jättää tsesarvomerkt pos Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 5 Paretopstetä luodaan ratkasemalla panotettu Tchebycheff-tehtävä z ** :n suhteen er panokertomlla Panotettu Tchebycheff-tehtävä: mnmo w W = max = 1, K, k ** [ w ( f ( x) z )], { } k k w R 0 < w < 1, w = 1 = 1 Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 6 3

4 Ongelma: osa löydetystä pstestä hekkoja Paretopstetä Ratkasu: edellä kuvatun panotetun Tchebycheff- tehtävän sjasta käytetään lekskografsta panotettua Tchebycheff-tehtävää Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 7 Lekskografnen panotettu Tchebycheff-tehtävä lex mnmo k = 1 s.e. x ** ( f ( x) z ) S max = 1, K,k, [ w ], ** ( f ( x) z ) Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 8 4

5 Lekskografnen panotettu Tchebycheff-tehtävä Aluks ratkastaan tavallnen panotettu Tchebycheff-tehtävä Mkäl ratkasu on ykskästtenen on se Pareto-optmaalnen Mkäl ratkasuja on useamp, valtaan se joka on L 1 -normn mukaan lähmpänä utopapstettä Ykskästtesyyden toteamnen hankalaa, joten tonenkn vahe on suortettava Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 9 z 2 Z 2. mnmont 1. mnmont z 1 Lekskografnen panotettu Tchebycheff-tehtävä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 10 5

6 Lause Lekskografsen Tchebycheff-ongelman ratkasu on Pareto-optmaalnen. Lause * Olkoon x Tällön w, (0 < w S Pareto - optmaalnen. ykskästtenen ratkasu lekskografselle R Tchebycheff - tehtävälle. k ) sten että x * on Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 11 Tchebycheff-menetelmän tomnta Paretoratkasuja luodaan muuttamalla panokerronvektora Tchebychefftehtävässä Panokerronavaruutta, josta panokertoma valtaan, penennetään teronnn edetessä Tällön penenee myös se Paretoratkasujen osajoukko, josta vahtoehtoja estellään päätöksentekjälle Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 12 6

7 1. teraatolla muodostetaan joukko Paretoratkasuja koko Paretoavaruudesta Tätä varten luodaan hyvn hajallaan oleva panokerronvektoren joukko Päätöksentekjä valtsee saadusta ratkasusta melestään parhaan Seuraavalla teraatolla otetaan valttua ratkasua vastaavan panokerronvektorn ympärstöstä joukko panokertoma ja luodaan uus ratkasujoukko Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 13 Nän saadaan joukko ratkasuja aemmn valtun ratkasun ympärstöstä Ratkasuvahtoehtojen määrä Yleensä päätöksentekjä päättää montako vahtoehtoa haluaa estettävän tselleen Vo muuttua teraatoden välllä Mtä suuremp, stä luotettavamp algortm on Ihmsen kyvyt rajottavat annettaven vahtoehtojen määrää Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 14 7

8 Reduktokerron Kertoo, mten paljon panokerronavaruutta penennetään Mtä suuremp, stä nopeammn panokerronavaruus penenee ja stä vähemmän mahdollsuuksa päätöksentekjällä on muuttaa meltään kesken prosessn Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 15 Kommentteja Tchebycheffmenetelmästä Laskennassa syytä käyttää normalsotuja tavotefunktota Vahtoehdot kutenkn kannattaa esttää alkuperäsessä muodossa Konvergensssta e vo sanoa mtään varmaa Mahdollsta käyttää myös laajennettua Tchebycheff-metrkkaa lekskografsen sjasta Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 16 8

9 Päätöksentekjän rool helppo Hattana että kerran hylättyjä osa panokerronavaruudesta e saada enää takasn jos päätöksentekjä muuttaa meltään Vaat runsaast laskentaa Tosaalta mahdollstaa rnnakkaslaskennan Suurssa ongelmssa vahtoehtojen vertalu hankalaa päätöksentekjälle Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / STEM Yks ensmmässtä vuorovakuttessta menetelmstä Tyytyy etsmään tyydyttävän ratkasun ekä optmo taustalla olevaa arvofunktota Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 18 9

10 Oletetaan, että päätöksentekjä pystyy tetystä Paretoratkasusta sanomaan mtkä tavotefunktoden arvot ovat hyväksyttävä ja mtkä evät Jos osa arvosta on e-hyväksyttävä, on päätöksentekjän annettava jodenkn hyväksyttäven arvojen huonontua, jotta e-hyväksyttävstä saadaan hyväksyttävä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 19 Oletukset Tavotefunktot mnmotava Tavotefunktot rajotettuja käyvässä alueessa Lsäks on tedettävä deaalpste z * approksmaato nadrpsteelle z nad Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 20 10

11 STEM-algortmn kulku 1) Laske z * ja z nad sekä panokertomet w seuraavlla kaavolla e w =, = 1, K, k, mssä k = e e e max j 1 1 z = * z = z nad nad z nad * * ta nad * [ z, z ] j z z analyytkon valnnan mukaan Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 21 1) (jatkuu) Aseta h=1. Ratkase panotettu Tchebycheff-tehtävä lasketulla panokertomlla. Ratkasu olkoon x h ja vastaava kohdevektor z h. 2) Pyydä päätöksentekjää jakamaan kohdefunktoden arvot z h :ssa hyväksyttävn (I > ) ja e-hyväksyttävn (I < ). Jos I < on tyhjä menee vaheeseen 4. Muuten pyydä häntä antamaan helpotetut ylärajat hyväksyttävlle funktolle. Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 22 11

12 3) Ratkase allaoleva tehtävä. Merktse ratkasua x h+1 :llä ja vastaavaa kohdevektora z h+1 :llä. Mene vaheeseen 2. mnmo max ehdolla f f ( x) [ w ] ** ( f ( x) z ), h < ( x) f ( x ), I, x S < I ε I > Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 23 4) Lopeta. Ratkasu on x h. Edelläoleva aputehtävä on laajennus panotetulle Tchebycheff-tehtävälle. ensmmäset rajotukset antavat hyväksyttäven tavotefunktoden huonontua jälkmmäset rajotukset estävät ehyväksyttävä tavotefunktota huonontumasta Menetelmästä olemassa erlasa varaatota Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 24 12

13 STEM e oleta päätöksenteon taustalla olevan arvofunktota Arvofunktosta e ols apua kysymyksn vastaamsessa Tuottaa vastauksen nopeast, jos rajotusten helpotukset tehdään sten, että lsähelpotuksa e enää sallta Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 25 Päätöksentekjälle selkeä menetelmä, ptää van päättää mtä rajotuksa asettaa tavotefunktolle Helpotusten suuruuden määrttämnen ongelma Myös hekot Paretoratkasut mahdollsa Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 26 13

14 4. Yhteenveto Tchebycheff-menetelmässä vahtoehdot ovat päätöksentekjälle helppoja ymmärtää, mutta valta vo olla vakeaa vahtoehtojen lukumäärän vuoks STEM on myös yksnkertanen ymmärtää, mutta sopven rajotusehtojen keksmnen vo olla ongelmallsta Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 27 Kottehtävä Suorta vähntään 2 teraatota STEM-algortmlla seuraavalle tehtävälle: f mnmo f f 1 ehdolla x S ( x) 2 3 ( x) = x = 2x + x 1 2 x1 + x x 4 x3 + x 2 4 ( x) = x1 + x2 2x3 x4 { = x R x1 + x2 + x3 + x4 1, x 0, = 1,...,4} Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 28 14

15 Ilmota vastauksessas anakn käyttämäs deaalpste z *, nadrpsteen approksmaato z nad ja optmonnssa käyttämäs panokertomet sekä tetyst optmonnn lopputulos x *. Vastauksesta tulee myös lmetä mten olet valnnut funktot, joden arvot ovat hyväksyttävä sekä nälle asetetut rajotukset kussakn vaheessa. Käytä optmontn esmerkks Exceln Solvera ja huomaa ratkasussas, että krjan kaavassa on vrhe. Okea kaava löytyy asaankuuluvasta kohdasta tästä estyksestä. Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 29 15