5 INTERPOLOINTI. 5.1 Johdanto. 5.2 Interpolointi emojanan alueessa

Transkriptio

1 Elementtmenetelmän perusteet 5. 5 ITERPOLOITI 5. Johdanto Ylenen elementtmenetelmä edellyttää nterpolonnn käyttöä. Sen avulla vodaan kenttäfunkto f (esmerkks srtymäkomponentt ta lämpötla) esttää elementn alueessa lkmääräsest sen solmuarvojen f avulla. Käytettävät nterpolontfunktot (muotofunktot, panofunktot) ovat alhasta astelukua oleva polynomeja, tavallset asteluvut ovat yks, kaks ja kolme, jollon puhutaan vastaavast lneaarsesta, kvadraattsesta ja kuutollsesta nterpolonnsta. antaa jotakn pokkeustapauksa (sauva- ja palkkelementt) lukuun ottamatta kenttäfunkton arvot lkmääräsest, joten sen käytöstä on seurauksena nterpolontvrhe. vrheen suuruuteen vakuttavat nterpolonnn asteluku ja elementtverkon theys. Mtä theämpää verkkoa ja mtä korkeamman asteen polynomeja käytetään, stä tarkempa tuloksa saadaan. 5. emojanan alueessa Tarkastellaan ensn yksulottesta nterpolonta kuvan 5. kakssolmusen emojanaelementn alueessa. Koordnaatt on ja sen orgo on elementn keskpsteessä. Alkusolmussa on = ja loppusolmussa = +. Lneaarset nterpolontfunktot kuvan 5. emojanan alueessa ovat Kuva 5. Emojanaelementt. Kuva 5. Lneaarset nterpolontfunktot. = ( ) = ( + ) (5.) Kuvassa 5. on nterpolontfunktoden (5.) kuvaajat ja kuva 5. esttää funkton f lneaarsta nterpolonta sen solmuarvosta f ja f lähten, jollon f ~ + (5.) ( ) f ( ) = f + f = f + f Kaavan (5.) nterpolont on ertystapaus ylesestä nterpolontkaavasta k f = ~ f (5.) ( ) f ( ) = f + f + L+ k fk = jossa k on elementn solmujen lukumäärä. Kaavassa

2 Elementtmenetelmän perusteet 5. (5.) ( ) = on solmua vastaava nterpolontfunkto el solmuarvon f panofunkto. Kukn nterpolontfunkto saa omassa solmussaan arvon ja kakssa mussa solmussa arvon. Kun solmujen koordnaatteja merktään =,, L, k, on kaklle nterpolontfunktolle vomassa f f( ) ~ f ( ) f f f ( ) = ( ) =, kun j j (5.) Vaatmus (5.) johtuu stä, että lausekkeen (5.) ptää antaa tarkat funkton f arvot solmussa. Lauseke (5.) nterpolo tarkast vakoarvosen kenttäfunkton f = f van, jos on vomassa Kuva 5. Lneaarnen nterpolont. k ( ) = = (5.5) Interpolonnssa (5.) emoelementn solmujen e tarvtse olla tasajaolla, vakka elementtmenetelmässä ne nn valtaankn. funktot vodaan hel- L post muodostaa omnasuuksen (5.) avulla. Määrtetään mallks kuvan 5. k-solmusen emoelementn Kuva 5. k-solmunen emojana. solmun nterpolontfunkto. Lähdetään lkkeelle funktosta ( ) ( )( )( ) ( ) = L (5.6) joka toteuttaa kaavan (5.) jälkmmäsen vaatmuksen ja saa solmussa arvon ( ) ( )( )( ) ( ) k = L (5.7) Etstty nterpolontfunkto on nän ollen ( ) = ( ) ( ) k ylestää, jollon solmun nterpolontfunktoks tulee. Edellä oleva vodaan ( ) = ( )( ) L ( )( + ) L( k )( k ) ( )( ) L ( )( ) L( )( ) + k k (5.) Kaavan (5.) polynomt ovat Lagrangen nterpolontpolynomt. e toteuttavat myös vaatmuksen (5.5). Lagrangen polynomt (5.) ovat astetta k ja nden avulla vodaan nterpoloda tarkast kakk korkentaan astetta k olevat polynomt. Arvolla k = kaavasta (5.) saadaan lneaarset nterpolontfunktot (5.). Kun k = ja solmut ovat tasajaolla, ovat nden koordnaatt =, ja =. Kaavas- = +

3 Elementtmenetelmän perusteet 5. ta (5.) tulee tällön kvadraattset Lagrangen nterpolontfunktot ( )( ) ( + )( ) = = ( )( ) ( + )( ) ( + )( ) = (+ )( ) = ( ) = = ( + ) (5.9) Kvadraattsten nterpolontfunktoden (5.9) kuvaajat ovat kuvassa 5.5. ( ).5 ( ).5 ( ).5 Kuva 5.5 Kvadraattset nterpolontfunktot. Kun k = ja solmut ovat tasajaolla, ovat nden koordnaatt =, = /, = +/ ja = +. Kaavasta (5.) tulee tässä tapauksessa seuraavat kuutollset Lagrangen nterpolontfunktot = ( + )( )( ) 6 9 = ( + )( ) 6 9 = ( )( ) 6 = ( + )( )( + ) 6 (5.) Kuutollsten nterpolontfunktoden (5.) kuvaajat ovat kuvassa 5.6.

4 Elementtmenetelmän perusteet 5. ( ).5 ( ).5 ( ).5 ( ).5 Kuva 5.6 Kuutollset nterpolontfunktot. 5. emonelön alueessa Yksulottenen nterpolont vodaan ylestää kaksulotteseks nterpolonnks x- emonelöelementn alueessa. Tavotteena on lausua kahden muuttujan ja funkto f(, ) lkmääräsest sen solmuarvojen ja vastaaven nterpolontfunktoden avulla. Tarkastellaan kuvan 5.7 nelsolmusta emonelötä, jonka solmut sjatsevat elementn nurkssa. Kenttäfunkton f(, ) nterpolont on nyt ~ f(, ) f (, ) = (, ) (5.) = f Kuva 5.7 elsolmunen emonelö. jossa funktot (, ) ovat nterpolontfunktot ja f solmuarvot. Määrtetään solmun nterpolontfunkto perusomnasuuksen avulla. Polynomn

5 Elementtmenetelmän perusteet 5.5 (, ) = ( )( ) arvot ovat solmussa, ja nolla. Solmussa on (, ) =, joten perusvaatmukset toteuttava funkto on (, ) = (, )/ (, ) = ( )( ) = (5.) on - ja -suunten lneaarsten nterpolontfunktoden tulo, ja sks stä kutsutaan b-lneaarseks nterpolontfunktoks. Funkton koordnaattakseleden suuntaset tasolekkaukset ovat suora. e kutenkaan termn / taka estä tasoa, vaan kyseessä on hyperbolod. Kuvassa 5. on funkton kuvaaja. Muutkn kuvan 5.7 elementn nterpolontfunktot (5.) vodaan muodostaa samalla peraatteella. = ( )( )/ = (+ )( )/ = (+ )(+ )/ = ( )(+ )/ (5.) Kuva 5. B-lneaarnen nterpolontfunkto. Yksulottesen nterpolonnn yhteydessä tulvat eslle nterpolontfunktoden perusomnasuudet. Kaks- ja kolmulottesen nterpolontfunkton on yhteensopvuuden taka oltava lsäks nolla elementn kaklla nllä svulla, jotka evät lty funktota vastaavaan solmuun. B-lneaarset nterpolontfunktot (5.) toteuttavat tämän lsävaatmuksen, esmerkks on nolla svulla ja, john solmu e lty. B-lneaarset nterpolontfunktot vodaan muodostaa - ja -suunten lneaarsten nterpolontfunktoden tulona. Samaa ajatusta vodaan soveltaa myös korkeamman asteen nterpolontn. Tällön tulon tekjän arvo nolla - ta -suunnan verassa solmussa takaa arvon nolla koko veraalla svulla. Kuvan 5.9 mukasen 9-solmusen bkvadraattsen elementn nterpolontfunktoks tulee tällä tulomenetelmällä 7 = ( ) ( )/ = ( ) ( + )/ = ( ) ( + )/ 5 = ( + ) ( )/ = ( ) ( )/ = ( )( )/ 6 9 = ( + ) ( + )/ = ( + )( = ( )( )/ ) (5.) Funktot (5.) jakaantuvat kolmeen perustyyppn.,, ja ovat nurkkafunktot, 5, 6, 7 ja svufunktot ja 9 on ssäfunkto. Kuvassa 5.9 on estetty kunkn perustyypn kuvaaja, 5 ja 9.

6 Elementtmenetelmän perusteet Kuva 5.9 B-kvadraattnen Lagrangen elementt ja sen nterpolontfunktota. Vastaavalla tavalla saadaan 6-solmunen b-kuutollnen elementt, jolla on nurkkasolmua, svusolmua ja ssäsolmua sekä korkeamman nterpolontasteen elementtejä. Tulomenetelmällä luotuja elementtejä sanotaan Lagrangen perheeks, koska tällön kakk nterpolontfunktot perustuvat kaavaan (5.). Elementn tehokkuus laskennassa rppuu stä, kunka korkea-astenen täydellnen polynom elementn nterpolontfunktolla vodaan esttää. Ensmmäsen asteen täydellnen kahden muuttujan polynom on p (, ) = A + B + C (5.5) B-lneaarsen elementn nterpolontfunktot ssältävät termt,, ja nllä pystytään esttämään p ja mukana on yks ylmääränen term, joten. Tosen as-

7 Elementtmenetelmän perusteet 5.7 teen täydellnen kahden muuttujan polynom on p (, ) A + B + C + D + E + F = (5.6) B-kvadraattsen elementn nterpolontfunktot ssältävät termt,,,,,, ja, joten nllä pystytään esttämään p ja mukana on velä kolme ylmäärästä termä, ja. Täydellsten polynomen ssältämät termt vodaan esttää kuvan 5. kaavolla, jollon tetyn astenen täydellnen polynom ssältää kaavon kärjestä alkaen kakk termt astelukuaan vastaavaan vaakarvn ast. Kaavosta nähdään myös tetyn astesen Lagrangen nterpolonnn ssältämät termt, jotka ssältyvät vastaavan kärjestä alkavan nelön alueeseen. Tetyn asteen täydellsen polynomn nterpolontn mukaan tuleven ylmäärästen termen suhteellnen osuus kasvaa asteluvun kasvaessa ( k = : /, k = : / 9, k = : 6 / 6 )., Kuva 5. Termen kaavo. Lagrangen elementtperheen hekkoutena ovat edellä mantut ylmääräset termt, joden laskentatarkkuutta lsäävä vakutus on pen nden aheuttamaan työmäärään nähden. Tonen hekkous on ssäsolmujen esntymnen, sllä ne ovat laskennassa jonkn verran kärk- ja svusolmuja tehottomampa. Lagrangen elementtperheen hekkouksen leventämseks on kehtetty Serendpelementtperhe, jolla e ole lankaan ssäsolmuja ta van tetyn asteen täydellsen polynomn esttämseen tarvttava määrä ssäsolmuja. B-lneaarnen emonelö on Serendp-elementt. Tarkastellaan kuvan 5. kvadraattsta Serendp-emonelötä. Sen

8 Elementtmenetelmän perusteet 5. nterpolontfunktot saadaan perusomnasuuksen avulla. Johdetaan ensn solmun nterpolontfunkto. Sen on oltava nolla svulla 5 ja, joten funktossa tulee olla tekjönä näden svujen yhtälöden + = ja + = vasemmat puolet. Funkton on oltava nolla solmussa 6 ja 7. än on, jos funktossa on tekjänä suoran 67 yhtälön = vasen puol. Funkto = (+ )(+ )( ) toteuttaa kakk nollavaatmukset. Solmussa on (,) = ( ) =, joten nterpolontfunkto on = (+ )(+ )( )/. Samalla peraatteella saadaan muutkn kärksolmujen nterpolontfunktot. Svusolmun 6 nterpolontfunktossa 6 on tekjönä svujen 5, 7 ja yhtälöden + =, = ja + = vasemmat puolet ja 6 (,) =, joten 6 = (+ )(+ )( )/ = (+ )( )/. Muden svusolmujen nterpolontfunktot löytyvät samalla tavalla. Kvadraattsen Serendp-elementn nterpolontfunktot ovat + = + = = Kuva 5. Kvadraattnen Serendp-elementt = ( )( )(+ + )/ = (+ )( )( + )/ = (+ )(+ )( )/ = ( )(+ )(+ )/ = ( = (+ )( = ( )( )/ )(+ )/ = ( )( )/ )/ (5.7) Funktot (5.7) jakaantuvat kahteen tyyppn,,, ja ovat nurkkafunktot ja 5, 6, 7 ja svufunktot. Kuvassa 5. on kummankn perustyypn kuvaaja. 5 Kuva 5. Serendp-nterpolontfunktota.

9 Elementtmenetelmän perusteet 5.9 Funktot (5.7) ssältävät termä lukuun ottamatta samat termt kun bkvadraattset Lagrangen nterpolontfunktot, ylmääräsä termejä on yhtä vähemmän ja laskenta heman tehokkaampaa. Korkeamman asteen Serendp-elementten nterpolontfunktota vodaan myös johtaa edellä estetyllä tekjämenetelmällä. 5. emokolmon alueessa Tarkastellaan kuvan 5. lneaarsta emokolmoelementtä, jonka solmut ovat elementn kärkpstessä. Tämän emokolmon lneaarset nterpolontfunktot on helppo päätellä suoraan perusomnasuukssta ja ne ovat = = = (5.) Perusomnasuuksen avulla on helppo muodostaa myös korkeampastesen kolmoelementten nterpolontfunktota. Kuvassa 5. on kvadraattnen emokolmo, jonka svusolmut ovat svujen Kuva 5. Lneaarnen emokolmo. keskpstessä. Määrtetään ensn kärksolmun nterpolontfunkto, jonka on oltava nolla svulla 5 ja solmussa ja 6. Svun 5 kautta kulkevan suoran yhtälö on = ja solmujen ja 6 kautta kulkevan suoran yhtälö,5 =, joten nollavaatmukset toteuttaa on = ( )(,5 ). Funkton arvo solmussa on /, joten solmun nterpolontfunktoks tulee = ( )( ). Määrtetään velä svusolmun nterpolontfunkto. Svujen 5 ja 6 kautta kulkeven suoren Kuva 5. Kvadraattnen emokolmo. yhtälöden = ja = vasempen puolen tulo = ( ) on nolla veralla svulla ja saa solmussa arvon /, joten solmun nterpolontfunkto on = ( ). Vastaavalla tavalla vodaan johtaa myös muden solmujen nterpolontfunktot ja tulokseks saadaan = ( )( ) = ( ) 5 = = ( ) 6 = ( ) = ( ) (5.9) Kaavosta (5.) ja (5.9) näkyvät nterpolontfunktoden ssältämät termt: Lneaarnen nterpolont:,, Kvadraattnen nterpolont:,,,,,

10 Elementtmenetelmän perusteet 5. Tetyn asteset nterpolontfunktot pystyvät esttämään astelukunsa mukasen täydellsen muuttujen ja polynomn tarkast lman ylmääräsä termejä. Tässä suhteessa kolmoelementt ovat tehokkaampa kun nelkulmoelementt. Kuvassa (5.5) on kolmen almman asteen nterpolontfunktohn ssältyven termen kaavo. Kuva 5.5 Termen kaavo. 5.5 emokuuton alueessa Kolmulottesessa nterpolonnssa muuttujen, ja ζ funkto f(,, ζ) lausutaan lkmääräsest solmuarvojen ja ntä vastaaven nterpolontfunktoden avulla. vodaan tehdä xx-emokuuton alueessa. Tarkastellaan ensn kuvan 5.6 -solmusta emokuutota, jonka solmut ovat elementn kärkpstessä. ζ -koordnaatston orgo on kuuton keskpsteessä. Kenttäfunkton nterpolont on muotoa ~ f(,, ζ) f (,, ζ) = (,, ζ) (5.) = f Kuva 5.6 Tr-lneaarnen emokuuto. jossa (,, ζ) ovat nterpolontfunktot ja f solmuarvot. funktot (5.) vodaan johtaa perusomnasuuksen avulla. e saadaan myös tulomenetelmällä -, - ja ζ - suunten lneaarsten Lagrangen nterpolontfunktoden avulla ja sks ntä sanotaan trlneaarsks nterpolontfunktoks. = ( )( )( = (+ )( )( = (+ )(+ )( = ( )(+ )( = ( )( )(+ = (+ )( )(+ = (+ )(+ )(+ = ( )(+ )(+ (5.)

11 Elementtmenetelmän perusteet 5. Tulomenetelmällä vodaan muodostaa myös korkeamman nterpolontasteen Lagrangen kuutoelementtejä, kuten esmerkks tr-kvadraattnen ja tr-kuutollnen elementt. ähn tulee kärksolmujen lsäks särmä-, pnta- ja ssäsolmuja. Trkvadraattsessa Lagrangen emokuutossa on 7 solmua, josta kärksolmuja on, särmäsolmuja, pntasolmuja 6 ja ssäsolmuja. Lagrangen kuutoperheellä on samat hekkoudet kun nelöperheellä. Kuutolle on kehtetty myös Serendpelementtperhe. Tr-lneaarnen emokuu- 5 to on myös Serendp-elementt. Tarkastellaan kuvan 5.7 kvadraattsta Seren- 9 dp-emokuutota. Johdetaan kärksolmun 7 nterpolontfunkton lauseke. Sen 7 on oltava nolla pnnolla, 5 ja 9 56, joten funkton 7 tulee ssältää tekjönään näden pntojen yhtälöden 6 + ζ =, + = ja + = vasemmat puolet. Funkton 7 on oltava nolla solmussa, ja 9, mkä toteutuu, Kuva 5.7 Kvadraattnen Serendp-emokuuto. jos tekjänä on lsäks näden solmujen kautta kulkevan tason yhtälön + + ζ = vasen puol. Funkto 7 = (+ )(+ )(+ )( + + ζ ) toteuttaa nän kakk nollavaatmukset. Koska solmussa 7 on 7 (,,) = =, saadaan funktolle 7 kaavan (5.) lauseke. Kaavassa (5.) on estetty kakk muutkn kvadraattsen Serendp-emokuuton nterpolontfunktot = ( )( )( ζ )( ζ )/ = (+ )( )( ζ )( + ζ )/ = (+ )(+ )( ζ )( + + ζ )/ = ( )(+ )( ζ )( + ζ )/ = ( )( )(+ ζ )( + ζ )/ = (+ )( )(+ ζ )( + + ζ )/ = (+ )(+ )(+ ζ )( ζ )/ = ( )(+ )(+ ζ )( + + ζ )/ = ( = ( = (+ )( )( ζ = ( )(+ )( ζ = ( = (+ )( )( )( ζ )/ )(+ )( ζ )/ )/ )/ )( )(+ ζ )/ )(+ ζ )/ 6 = (+ )( = ( )( = ( )(+ )( ζ = ( )( )( ζ = (+ )( = ( )( )( ζ )/ )( ζ )/ )/ )/ )(+ ζ )/ )(+ ζ )/ (5.)

12 Elementtmenetelmän perusteet emotetraedrn alueessa Kolmulotteseen nterpolontn vodaan käyttää kuvan 5. lneaarsta emotetraedra, jonka solmut ovat elementn kärkpstessä. Sen nterpolontfunktot saadaan perusomnasuukssta ja ne ovat = ζ = = = ζ (5.) Perusomnasuuksen avulla saadaan myös korkeampastesten tetraedrelementten nterpolontfunktota. Kuvassa 5.9 on kvadraattnen emotetraedr, jonka särmäsolmut ovat särmen keskpstessä. Määrtetään kärksolmun nterpolontfunkto, jonka on oltava nolla pnnalla ja solmussa 5, 7 ja. Pnnan kautta kulkevan tason yhtälö on ζ = ja solmujen 5, 7 ja kautta kulkevan tason yhtälö / ζ =, joten kakk nollavaatmukset toteuttava funkto on = ( ζ )(/ ζ ). saa solmussa arvon /, joten solmun nterpolontfunkto on = ( ζ )( ζ ). Määrtetään velä särmäsolmun 5 nterpolontfunkto. Pntojen ja kautta kulkeven tasojen yhtälöden ζ = ja = va- Kuva 5. Lneaarnen emotetraedr. sempen puolen tulo ( ζ ) on nolla kakssa verassa solmussa ja saa solmussa 5 arvon /, joten solmun 5 nterpolontfunktoks tulee 5 = ( ζ ). Vastaavalla tavalla vodaan määrttää muden solmujen nterpolontfunktot ja tulokseks saadaan Kuva 5.9 Kvadraattnen emotetraedr. 6 = ( ζ )( ζ ) = ( ) = ζ( ζ ) = = ζ = ζ( ζ ) = ( ) = ( ζ ) = ( ζ ) = ζ (5.)