Painokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät

Transkriptio

1 Panokerron-, epslon-rajotusehtoja hybrdmenetelmät Optmontopn semnaar - Kevät 000 / Estelmän ssältö Ylestä jälkkätespreferenssmenetelmstä Panokerronmenetelmä Epslon-rajotusehtomenetelmä Hybrdmenetelmä Esmerkkejä Optmontopn semnaar - Kevät 000 /

2 Jälkkätespreferenssmenetelmstä Generodaan Pareto-ratkasujen joukko Päätöksentekjä valtsee parhamman ratkasun Optmontopn semnaar - Kevät 000 / 3 Menetelmen jako tehtävätyypettän Montavotteset lneaarset tehtävät (MOLP) Menetelmät jotka löytävät Pareto-optmaalset äärarvot Menetelmät jotka löytävät kakk Pareto-psteet Montavotteset epälneaarset tehtävät konvekst tehtävät e-konvekst tehtävät Optmontopn semnaar - Kevät 000 / 4

3 Panokerronmenetelmä Estelty uselta er taholta, mm. Gass ja Saaty (955) ja Zadeh (963) Kantavana deana on muuntaa usean kohdefunkton ongelma yhden kohdefunkton ongelmaks Optmodaan kohdefunktoden panotettua summaa Optmontopn semnaar - Kevät 000 / 5 mn { f( ), f( ),..., f kun S k ( )} mn kun ω k = 0, ω k = S = ω f ( ) kaklle =,..., k Optmontopn semnaar - Kevät 000 / 6 3

4 Tärketä matemaattsa tuloksa Panokerrontehtävän ratkasu on hekost Pareto-optmaalnen Jos kakk panokertomet ovat postvsa, on tehtävän ratkasu Paretooptmaalnen Jos tehtävän ratkasu on ykskästtenen, on ratkasu Pareto-optmaalnen Optmontopn semnaar - Kevät 000 / 7 Lneaarset tehtävät Usemmat yhden kohdefunkton lneaarsen optmonnn menetelmät löytävät van käyvän alueen äärpstessä olevat ratkasut Tällön muut Pareto-optmaalset ratkasut vodaan esttää äärpsteden lneaarkombnaatona Ongelma: kahden äärpsteen välnen reuna vo olla Pareto-optmaalnen ta e Optmontopn semnaar - Kevät 000 / 8 4

5 Epälneaarset tehtävät Jos ongelma on konveks, on olemassa panokerronvektor, joka tuottaa Paretooptmaalsen ratkasun e-konveksssa tapauksessa aukossa oleva Pareto-pstetä e pystytä löytämään z z z z ω z ω z z ω z ω z z Optmontopn semnaar - Kevät 000 / 9 Esmerkk Lneaarnen montavotetehtävä: ma ma s. e. 8 Panokerrontehtävä: ma s. e. ω ( ) 8 ( ω )( ) Optmontopn semnaar - Kevät 000 / 0 5

6 Koska ω [0,] (,)-(,-) löytyy kohdefunkton gradentt välltä Huomataan, että kohdefunkto maksmotuu salltun alueen reunapstessä (3,) ja (4,0) (=Pareto-psteet) Optmontopn semnaar - Kevät 000 / Panokerronmenetelmän vahvuudet ja hekkoudet Menetelmä yksnkertanen Konveksen tehtäven kakk Pareto-psteet vodaan löytää - E-konveksen tehtäven kakka Pareto-pstetä e voda löytää - Lneaarsten tehtäven Pareto-optmaalset kulmapsteet vodaan löytää, kulmapsteden välset reunat vovat aheutttaa ongelma - Panojen merktyksen ymmärtämnen vo olla vakeaa (a pror tetous) Optmontopn semnaar - Kevät 000 / 6

7 Epslon-rajotusehtomenetelmä Hames et al. (97) ja Ln (976) Yks kohdefunkto kerrallaan valtaan optmotavaks ja muut asetetaan rajotteks asetetaan rajotteks srretylle funktolle ylärajat ( kohdefunkton mnmont) Optmontopn semnaar - Kevät 000 / 3 Matemaattnen muoto mn s. e. f ( ) f ( ) ε, j l S l {,..., k} j kaklle j =,..., k, k l Saadaan k kappaletta yhden kohdefunkton tehtävä Jokasta Pareto-pstettä kohden joudutaan ratkasemaan k kappaletta yhden kohdefunkton tehtävä (jos e saada ykskästtestä ratkasua) Optmontopn semnaar - Kevät 000 / 4 7

8 Tärketä matemaattsa tuloksa Vodaan osottaa, että ratkasu on Pareto-optmaalnen, joss se on kakken epslon-rajotusehtotehtäven ratkasu, kun ε j = f j ( * ), j =,..., k, j l. Ratkasu on Pareto-optmaalnen jos se on jonkn altehtävän ykskästtenen ratkasu, kun ε j = f j ( * ), j =,..., k, j l. Koko epslon-rajotusehtotehtävän ykskästtenen ratkasu on Pareto-optmaalnen rppumatta ylärajosta Optmontopn semnaar - Kevät 000 / 5 Menetelmän soveltuvuus Ratkastaessa ongelmaa, vahdellaan osatehtävssä funktoden ylärajoja Menetelmä e aseta suura rajotuksa optmonttehtävälle E-konvekssuus e aheuta ongelma (vrt. panokerronmenetelmä) Optmontopn semnaar - Kevät 000 / 6 8

9 Esmerkk Todstetaan panokerronmenetelmän yhteydessä kästellyn esmerkn psteen (4,0) Pareto-optmaalsuus Saadaan kaks osaongelmaa: mn 8 8 mn 8 4 Optmontopn semnaar - Kevät 000 / 7 Osatehtävässä päätösavaruuden muodostaa van pste (4,0), joten se on ongelman ratkasu Osatehtävä on ratkastu gradentta lkuttamalla äärpsteeseen, joka on myös (4,0) Samaan tulokseen päästään myös osatehtäven ratkasujen ykskästtesyys teoreemalla (3..3) Optmontopn semnaar - Kevät 000 / 8 9

10 Epslon-rajotusehtomenetelmän hekkoudet ja vahvuudet Menetelmä e aseta tehtävälle rajotuksa Vodaan käyttää myös a pror-menetelmänä -Laskennallsest hyvn raskas ja usen myös vakea -Ratkasujen ykskästtesyys vo olla vakea osottaa Optmontopn semnaar - Kevät 000 / 9 Hybrdmenetelmä Pyrtään yhdstämään edellä estettyjen menetelmen hyvät puolet Tehtävä saa seuraavan muodon: mn s. e. f ( ) ε S j k = kaklle j =,..., k kaklle =,..., k Kakk Pareto-psteet vodaan etsä vahtamalla funktoden ylärajoja (panoja e tarvtse muuttaa) ω > 0 ω f ( ) j Optmontopn semnaar - Kevät 000 / 0 0

11 Menetelmän hekkoudet ja vahvuudet E aseta tehtävälle rajotuksa (konvekssuus, ratkasujen ykskästtesyys) E tarvtse ratkasta useta altehtävä (laskennallnen tehokkuus) -Rajotteden ylärajojen määräämnen yhä vakeaa Optmontopn semnaar - Kevät 000 / Yhteenveto Panokerron- ja epslon-rajotusehtomenetelmä ovat perusmenetelmä, jota käytetään osana muta ratkasumenetelmä Panokerronmenetelmä laskennallsest yksnkertanen, mutta asettaa tarkasteltavalle ongelmalle suura rajotteta Epslon-rajotusehtomenetelmä laskennallsest monmutkanen, mutta e aseta yhtä tukkoja rajotuksa tehtävälle Optmontopn semnaar - Kevät 000 /

12 Olkoon tehtävän käypä alue Kottehtävä S = {(, ) R 6,, 3 ja mnmotavat krteerfunktot: f = ja f = ) Määrtä tehtävän Pareto-optmaalset psteet käyttäen panokerronmenetelmää ) Todsta velä käyttäen epslon-rajotusehtomenetelmää yhden ensmmäsessä kohdassa ratkastun psteen Pareto-optmaalsuus. 6} Optmontopn semnaar - Kevät 000 / 3