11. Vektorifunktion derivaatta. Ketjusääntö

Transkriptio

1 7 Vektorfunkton dervaatta Ketjusääntö Täydennämme ja kertaamme seuraavassa dfferentaallaskennan teoraa kursslta Laaja matematkka Palautetaan meln dervaatan määrtelmä reaalfunktolle: Funkton f : R R dervaatta f ( x ) psteessä x on a, jos erotusosamäärän raja-arvo f x+ f x lm 0 ( ) ( ) on olemassa ja a Tämä vodaan krjottaa muotoon f ( x+ ) f a+ ε( ), mssä ε( ) 0, kun 0 Kun muuttuja saa lsäyksen, funkton muutos on ss :n lneaarnen lauseke a plus :n mukana nollaan menevä jäännösterm Tällön sanotaan myös, että funkto f on psteessä x dfferentotuva Funkton f dervaatta on ss muutoksen kerron Tämä omnasuus votasn ottaa erotusosamäärän raja-arvon asemasta dervaatan määrtelmäks Koska dfferentotuvuuden käste e käytä jakolaskua, se on madollsta ylestää vektormuuttujen funktolle n Funkto f : R R on dfferentotuva psteessä x, jos f:lle on snä vomassa ketelmä el f( x+ ) f a a an + ε( ) n f( x+ ) f a T + ε( )

2 73 Sllon f a x f ( ) a x a f, funkton f gradentt psteessä x n f n Dfferentaalketelmän lneaarsessa osassa :n kertojana on nyt matrs a a an Tätä sanotaan vastaavast kuten reaalfunktollakn funkton f dervaataks psteessä x ja merktään f ( x ) Ss f f ( x ) T Funkton dfferentotuvuudesta seuras ss osttasdervaattojen olemassaolo ja yllä oleva yteys gradentn ja dervaatan vällle Kääntäen, jos funktolla on jatkuvat osttasdervaatat psteessä x, nn f on snä dfferentotuva Epäjatkuven osttasdervaattojen tapauksessa funkto e välttämättä ole dfferentotuva Ylenen tapaus on vektormuuttujan vektorarvonen funkto, lyyest sanoen vektorfunkto f n m f( ) Funkton :, ( ) x f R R f x, raja-arvo, kun x x 0 fm määrtellään norma käyttäen seuraavast: lm fx ( ) c lm fx ( ) c 0 x x0 x x0 m Vektorn y R normn ja sen komponentten tsesarvojen välllä on epäytälöt y y,,, m & y m max y,, m

3 74 Nästä nädään, että lm lm fx ( ) c f c,,, m x x0 x x0 el raja-arvot vodaan laskea komponentettan Tästä puolestaan seuraa, että f on jatkuva, jos ja van jos jokanen komponenttfunkto f,,, m on jatkuva Edelleen vodaan päätellä, että vektorfunkto on dfferentotuva täsmälleen sllon, kun sen komponenttfunktot ovat stä n m Jos funkton f: R R komponenttfunktot f ovat dfferentotuva, nn ( ) ( ) a a a f f n ε ( ) x+ x + f( ) f( ) a a an ε( ) ( ) ( ) x+ x + fx+ fx fm( ) fm( ) x+ x am am amn + εm( ) a a a ε ( ) n a a an ε( ) + f + am am amn ε m( ) ε( ), mssä f a a a f T n a T a an f T am am a mn fm el

4 75 f f f f n f f f n fm fm fm n Sllon sanomme ss, että funkto f on dfferentotuva psteessä x ja sen dervaatta psteessä x on f ( x ) Dervaatalle käytetään perntesest myös nmeä Jacobn matrs ja sllon merktään Jf ( x ) Myös merkntää f esntyy Rttävä eto funkton f dfferentotuvuudelle on, että kakk f osttasdervaatat ovat jatkuva psteen x ympärstössä j xy Esm f ( x, y) x+ 3y, x / y y x f ( xy, ) 3 x y y Esm fx ( ) Ax, x R n, A m n matrs fx ( + ) fx ( ) A( x+ ) Ax A A+ 0 f ( x ) A Dfferentaalketelmää fx ( + ) fx ( ) f + ε( ) käytetään usen funkton f lneaarsena approksmaatona psteen x0 ympärstössä merktsemällä x x0+, x x 0, ε( ) 0: fx ( ) fx ( ) + f ( x x ) 0 0 0

5 76 xy x / y psteen [,] T ympärstössä Esmerkk :n mukaan Esm 3 Muodostetaan funkton f ( x, y) x+ 3y lneaarnen approksmaato f (,) 3, joten f( xy, ) f(,) + f (,)( x ) el x + y x+ y x f ( xy, ) x + 3( y ) y x+ 3y x y+ x y+ Ydstetyn funkton dervaatta el ketjusääntö n m p Olkoon f: R R dfferentotuva psteessä x ja g : R m R dfferentotuva psteessä fx ( ) Sllon ydstetty funkto p g f: R n R, ( g f) g( fx ( )) on dfferentotuva psteessä x ja ( g f) g ( f) f Huomataan, että sääntö on muodoltaan avan sama, kun reaalfunktosta tuttu "ulkofunkton dervaatta kertaa ssäfunkton dervaatta" Tosn kertolaskuna on nyt matrstulo (Todstus svuutetaan)

6 77 Esm 4 t x + y+ z f() t t+, g ( x, y, z), ( g f) ()? x y t f '(t)[,, t] T, g '(x,y,z) z x 0, ss g '(f(t))g '(t, t+, t ) t t 0 ( g f) () g '(f())f '() 0 7 Esm 5 x y + y fx gy g f ( ), ( ), ( ) (3,)? x y y x 0 9 f, ( ), (3,) 0 x g y f 4 ( g f) (3,) g ( f(3,)) f (3,) g (9,4) f (3,) Klassnen merkntätapa ketjusäännössä on usemmten "aukkrjotettu" muoto Esmerkks lausekkeen ust (,) gxst ((,), yst (,),(,)) zst osttasdervaatat krjotettasn muodossa u g g y g z + + s s y s z s u g g y g z + + y z t Näden rakenne selttyy matrskertolaskusta:

7 78 x(,) st ust (,) ( g f)(,), st f(,) st yst (,) zst (,) s g g g y y g ( x, y, z), f ( s, t) y z s z z s u ( s, t ) g ( f( s, t ) f ( s, t ) s u u g g g y y s x y z s z z s g g y g z g g y g z x s y s z s x t y t z t