Reaaliarvoinen funktio f : on differentioituva pisteessä x, jos f:lle on siinä voimassa kehitelmä. h h. eli. Silloin

Transkriptio

1 MAT-3440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tampereen teknllnen ylopsto Rsto Slvennonen Kevät Vektorfunkton dervaatta. Ketjusääntö.. Reaalarvosen funkton dervaatta Tässä luvussa estetään dervaattakäste ensn reaalarvoselle vektormuuttujan funktolle ja stten vektorarvoselle. Dervaatta on er asa kun osttasdervaatta. Dervaatassa arvodaan funkton arvon muutosta, kun muuttujavektor muuttuu ylesest, e anoastaan tetyn komponentn suuntaan. Palautetaan meln dervaatan määrtelmä reaalfunktolle: Funkton f : dervaatta f ( x ) psteessä x on a, jos erotusosamäärän raja-arvo f x+ f x lm 0 ( ) ( ) on olemassa ja a. Tämä vodaan krjottaa muotoon f ( x+ ) f a+ ε( ), mssä ε( ) 0, kun 0. Kun muuttuja saa lsäyksen, funkton muutos on ss :n lneaarnen lauseke a plus :n mukana nollaan menevä jäännösterm. Tällön sanotaan myös, että funkto f on psteessä x dfferentotuva. Funkton f dervaatta on ss muutoksen kerron.

2 Tämä omnasuus vodaan ottaa erotusosamäärän raja-arvon asemasta dervaatan määrtelmäks. Koska dfferentotuvuuden käste e käytä jakolaskua, se on madollsta ylestää vektormuuttujen funktolle. n Reaalarvonen funkto f : on dfferentotuva psteessä x, jos f:lle on snä vomassa ketelmä el f( x+ ) f a a an + ε( ) n f( x+ ) f a T + ε( ). Sllon f a x f ( ) a x a f, funkton f gradentt psteessä x. n f n Dfferentaalketelmän lneaarsessa osassa :n kertojana on nyt matrs a a an. Tätä sanotaan vastaavast kuten reaalfunktollakn funkton f dervaataks psteessä x ja merktään f ( x ). Ss f f ( x ) T. Funkton dfferentotuvuudesta seuras ss osttasdervaattojen olemassaolo ja yllä oleva yteys gradentn ja dervaatan vällle. Kääntäen, jos funktolla on jatkuvat osttasdervaatat psteessä x, nn f on snä dfferentotuva. Sllon funktota sanotaan jatkuvast dfferentotuvaks. Epäjatkuven osttasdervaattojen tapauksessa funkto e välttämättä ole dfferentotuva.

3 3. Vektorarvosen funkton dervaatta. Ensks tarvtsemme raja-arvon kästteen vektorarvoselle funktolle. Aemmn (luku ) tarkastelmme vektorfunktoden jatkuvuutta jonojen avulla. Vektormuuttujan vektorarvosen funkton, lyyest sanoen vektorfunkton f n m f( ) :, ( ) x f f x, raja-arvo, kun x x 0 määrtellään norma f m käyttäen seuraavast: lm fx ( ) c lm fx ( ) c 0. x x0 x x0 m Vektorn y normn ja sen komponentten tsesarvojen välllä on epäytälöt y y,,, m & y m max y.,, m Nästä nädään, että lm lm fx ( ) c f c,,, m x x0 x x0 el raja-arvot vodaan laskea komponentettan. Tästä seuraa, että f on jatkuva, jos ja van jos jokanen komponenttfunkto f,,..., m on jatkuva.

4 4 n m Vektorfunkto f :, on dfferentotuva psteessä x, jos snä psteessä on vomassa ketelmä fx ( + ) fx ( ) A+ ε( ), mssä ε( ) 0, kun 0 ja A on m n-matrs. Edellsestä tarkastelusta vodaan päätellä, että vektorfunkto on dfferentotuva täsmälleen sllon, kun sen komponenttfunktot ovat stä. n m Jos funkton f : komponenttfunktot f ovat dfferentotuva, nn ( ) ( ) a a a f f n ε ( ) x+ x + f( ) f( ) a a an ε( ) ( ) ( ) x+ x + fx+ fx fm( ) fm( ) x+ x am am amn + εm( ) a a a ε ( ) n a a an ε( ) + f + am am amn ε m( ) ε( ), mssä f a a a f T n a T a an f T am am a mn fm el

5 5 f f f f n f f f n fm fm fm n. Sllon ss funkto f on dfferentotuva psteessä x ja sen dervaatta psteessä x on f ( x ). Dervaatalle käytetään perntesest myös nmeä Jacobn matrs ja sllon merktään Jf ( x ). Myös merkntää f esntyy, sekä merkntää Df( x ). Rttävä eto funkton f dfferentotuvuudelle on, että kakk f osttasdervaatat ovat jatkuva psteen x ympärstössä. j Sllon funktota sanotaan jatkuvast dfferentotuvaks. xy Esm. f ( x, y) x+ 3y, x / y y x f ( xy, ) 3. x y y Esm. fx ( ) Ax, x R n, A m n matrs. fx ( + ) fx ( ) A( x+ ) Ax A A+ 0 f ( x ) A.

6 6 Dfferentaalketelmää fx ( + ) fx ( ) f + ε( ) käytetään usen funkton f lneaarsena approksmaatona psteen x0 ympärstössä merktsemällä x x0+, x x 0, ε( ) 0: fx ( ) fx ( ) + f ( x x ) Lneaarkuvausta df( ) : f sanotaan myös funkton f dfferentaalks. Geometrsest lneaarnen approksmaato merktsee tangentttason määräämstä funkton kuvaajapnnalle. xy x / y psteen [,] T ympärstössä. Esmerkk :n mukaan Esm. 3 Muodostetaan funkton f ( x, y) x+ 3y lneaarnen approksmaato f (,) 3, joten f( xy, ) f(,) + f (,)( x ) el x + y x+ y x f ( xy, ) x + 3( y ) y x + 3y. x y+ x y+

7 7 3. Ydstetyn funkton dervaatta el ketjusääntö. n m Lause. Olkoon f : dfferentotuva psteessä x ja p g : m dfferentotuva psteessä fx. ( ) Sllon ydstetty funkto p g f : n, ( g f) g( fx ( )) on dfferentotuva psteessä x ja ( g f) g ( f) f. Huomataan, että sääntö on muodoltaan avan sama, kun reaalfunktosta tuttu "ulkofunkton dervaatta kertaa ssäfunkton dervaatta". Tosn kertolaskuna on nyt matrstulo. [Todstetaan luennolla, Fzpatrck Teorem 5.34 & 5.35, Trenc Teorem 6..8]

8 8 Esm. 4 t x + y+ z f() t t+, g ( x, y, z), ( g f) ()? x y t f '(t)[,, t] T, g '(x,y,z) z x 0, ss g '(f(t))g '(t, t+, t ) t t 0 ( g f) () g '(f())f '() 0 7. Esm. 5 x y + y fx gy g f ( ), ( ), ( ) (3,)? x y y x 0 9 f, ( ), (3,) 0 x g y f 4 ( g f) (3,) g ( f(3,)) f (3,) g (9,4) f (3,)

9 9 Klassnen merkntätapa ketjusäännössä on usemmten "auk krjotettu" muoto. Esmerkks lausekkeen ust (,) gxst ((,), yst (,),(,)) zst osttasdervaatat krjotettasn muodossa u g g y g z + + s s y s z s u g g y g z + + y z t. Näden rakenne selttyy matrskertolaskusta: x(,) st ust (,) ( g f)(,), st f(,) st yst (,) zst (,) s g g g y y g ( x, y, z), f ( s, t) y z s z z s u ( s, t ) g ( f( s, t ) f ( s, t ) s u u g g g y y s x y z s z z s g g y g z g g y g z x s y s z s x t y t z t.