T p = 0. λ n i T i B = Käytetään kohdan (i) identiteetin todistamiseen induktiotodistusta. : Oletetaan, että väite on totta, kun n = k.

Transkriptio

1 Olkoot A R n n ja T R n n sten, että on olemassa ndeks p N jolle T p = Tällästä matrsa kutsutaa nlpotentks Näytä, että () () () Olkoot Määrtä matrs B n (λi + A) n = (λi + T ) n = B = n mn n,p ( ) n λ n A 2 2 ( ) n λ n T Kohdassa () vot käyttää apuna Parsevaln kaavaa ( ) ( ) ( ) n + n n = + k k k Käytetään kohdan () dentteetn todstamseen nduktotodstusta perusaskel : Selväst totta, kun n = ndukto-oletus : Oletetaan, että väte on totta, kun n = k ndukto-askel muodossa Indukto-oletuksen nojalla, Indukto-oletusta päästään käyttämään, kun krjotetaan potenss (λi + A) k+ = (λi + A)(λI + A) k (λi + A) k = λ k A joten, (λi + A) k+ = λ k + A + λ k A +

2 Tehdään jälkmmäseen summaan muuttujanvahto j = + (λi + A) k+ = k+ λ k+ j A j + λ k+ j A j j j j= Lasketaan termt,, k yhteen, (λi + A) k+ = λ k+ + A k+ + j= j= (( ) ( )) k k + λ k+ j A j j j Väte seuraa Parsevaln kaavasta Kohdassa () käytetään ()-kohdan kaavaa (λi + T ) n = n ( ) n λ n T Selväst pätee, että T k =, k p Joten ylläolevan summa termt p,, n saavat arvon nolla Joka todstaa vätteen () - kohdassa krjotetaan B = 2I + Käytetään () kohdan kaavaa B n = n ( ) n 2 n Oletataan, että n > B n = 2 n I + ( ) n 2 n = [ 2 n n2 n 2 n 2 Olkoot A = 3 Tarkastellaan lohkoa [ 3 Lasketaan omnasarvot ( λ)(3 λ) + = 2

3 El, λ 2 4λ + 4 = (λ 2) 2 =, joten λ = 2 Vastaavat omnasvektort, x = el x = span Koska omnasvektoreta on yks, ylestetty omnasvektor saadan ratkasemalla x yhtälöstä Valtaan ratkasuks Saadaan, = 3 x = x = [ [ 2 2 [ Nänollen, matrsn A Jordan hajotelma on 2 A = 2 Matrsn A potensst lasketaan kuten tehtävässä A 5 = A 5 = 32 = = Olkoot A R n n Käytetään matrsn A omnasarvon λ C algebrallsesta ja geometrsesta kertaluvusta merkntää γ a (λ) ja γ g (λ) Näytä, että () γ g (λ) γ a (λ) () On olemassa ndeks p N sten, että dm null((a λi) ) = γ a (λ), p 3

4 Käytetään todstusessa matrsn A Schurn hajotelmaa, A = QT Q, jossa Q on untaarnen matrs ja T on yläkolmomatrs Matrsn A omnasarvot ovat T :dagonaallla Kukn omnasarvo tostuu sen algebrallsen kertaluvun verran Ilman ylesyyden menetystä, vodaan olettaa, että T = λ, =,, γ a (λ) Krjotetaan matrs T blokkmuodossa Tällön saadaan T T T = 2 T 22 jossa T R γa(λ) γa(λ) Tutktaan avaruutta null(a λi) (A λi)x = Q(T λi)q x = Tehdään muuttujanvahto, y = Q x El nolla avaruudelle pätee (T λi)y = Käyttämällä matrsn T blokkmuotoa saadaan, T λi T 2 y = T 22 λi Koska (T 22 λi), matrs T 22 λi) on kääntyvä joten y 2 = ja nolla-avaruus määräytyy yhtälöstä (T λi)y = Koska (T λi) =, =,, γ a (λ) matrsn A λi nolla-avaruuden dmenso on vähntään ja enntään γ a (λ) Kohdassa () tutktaan matrsa (A λi) n = Q(T λi) n Q Käytetään samaa blokkmuotoa, kun kohdassa (), (T λi) n (T λi) = n # (T 22 λi) n Matrslle (T 22 λi) n pätee, ((T 22 λi) n ), joten se on kääntyvä jokasella n Nänollen matrs (T λi) n määrttää () kohdassa tehtyjen askelten matrsn (A λi) n nolla-avaruuden Koska (T λi) n on nlpotentt, on olemassa ndeks p sten, että (T λi) p =, jollon nolla-avaruuden dmenso on γ a (λ) y 2 4

5 4 Tarkastellaan matrsa jossa ɛ R A =, + ɛ () Mllä parametern ɛ arvolla matrs A on dagonasotuva () Ets X ja dagonaalmatrs Λ sten, että A = XΛX () Laske κ 2 (X) Mtä tapahtuu, kun A on hyvn lähellä e-dagonalsotuvaa matrsa? (v) Aseta ɛ = ja yrtä laskea X ja λ matlabn -komennolla Mkä on matrsn κ 2 (X)? Matrs A on dagonalsotuva, kun kunkn sen omnasarvon algebrallnen ja geometrnen kertaluku ovat samoja Lasketaan matrsn A omnasarvot, λ det = + ɛ λ El, ( λ)( + ɛ λ) = λ = orλ = + ɛ Matrslla A on monnkertanen omnasarvo anoastaa, kun ɛ = Koska kunkn omnasarvon geometrnen kertaluku on vähntään yks, Matrs A on dagonalsotuva, kun ɛ Jotta vodaan tutka tapausta ɛ =, ratkastaan matrsn A omnasvektort Omnasarvoa λ = vastaavalle omnasvektorlle x pätee [ ɛ x = el x span Omnasarvoa λ = + ɛ vastavalle omnasvetorlle pätee ɛ x 2 = el x 2 span ɛ Kun ɛ = pätee, x span [ ja x 2 span El omnasarvon geometrnen kertaluku on ja algebrallnen kertaluku 2 Tällön A e ole dagonalsotuva Kootaan omnasvektort matrsn X ja lasketaan sen kääntesmatrs kääntesmatrsn kaavalla Saadaan, X = [ ɛ, Λ = [ + ɛ 5 ɛ, X = ɛ

6 Matrsn X kuntoluvulle κ 2 (X) pätee κ 2 (X) = σ max(x) σ mn (X) Lasketaan sngulaararvot el matrsn X T X omnasarvojen nelöjuuret X T X = + ɛ 2 Nänollen, Joten, kuntoluvuks saadaan ( λ)( + ɛ 2 λ) = ɛ 2 (2 + ɛ 2 )λ + λ 2 = λ = 2 + ɛ2 ± ɛ κ 2 2 = 2 + ɛ2 + ɛ ɛ 2 ɛ Kun ɛ on pen, vodaan aproksmoda ɛ Joten, κ 2 2ɛ Kun A on lähellä matrsa, joka e dagonalsodu, X:n kuntoluku kasvaa rajatta 6