9. Muuttuva hiukkasluku

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "9. Muuttuva hiukkasluku"

Transkriptio

1 Statstnen fyskka, osa B (FYSA242) Tuomas Lapp tuomas.v.v.lapp@jyu.f Huone: FL240. E kntetä vastaanottoakoja. kl Muuttuva hukkasluku 1

2 Kertaus: lämpökylpy Mustetaan kurssn A-osasta Mkrokanonnen ensemble: Knteä E,V,N Mkrotlat yhtä todennäkösä Lasketaan lämpötla 1 T = ( S E ) V,N E,V,N Kanonnen ensemble Vahdetaan energaa ympärstön kanssa T,V,N Järjestelmän+ympärstön mkrotlat yhtä todennäkösä = johdettn P(E) = 1 g(e) exp { βe} Z T T, E = lasketaan energan odotusarvo E 2

3 Legendren muunnos; parttofunkto Mustetaan: energan luonnollset muuttujat S,V,N (mkrokanonnen): de = T ds P dv + µ dn Legendren muunnos: uus TD potentaal vapaa energa (kanonnen): E = F = E TS; df = S dt P dv + µ dn Tätä vastaa tlasumman Laplace-muunnos Ω(E); S(E) = k B ln Ω(E) = Z (T ) = deω(e)e βe ; F = T ln Z (T ) Mustetaan Ω(E) =tlojen lukumäärä energalla E tlat s = s =1 {}}{ deδ(e E s) = Ω(E) {}}{ de δ(e E s) = s deω(e) 3

4 Kertaus: Gbbsn entropa Tarkastellaan M denttstä järjestelmää, M Statstnen pano tlanteelle, jossa p M järjestelmää on tlalla ( ) = S = k B p ln p p = 1 4

5 Suurkanonnen joukko: hukkaskylpy N b,e b N s,e s Järjestelmä hukkas- ja lämpökylvyssä: Järjestelmä ja ympärstö, hukkasa N s + N b = N, energaa E s + E b = E Kokonasmkrotlat yhtä todennäkösä Ω(N s,n b ; E s,e b ) = Ω s(n s; E s)ω b (N N s; E E s) = Ω s(n s; E s) exp {S b (N N s; E E s)/k B } (Ympärstön entropan määrtelmä S b k B ln Ω b ) Järjestelmä pen, ympärstö suur = Taylor S b (N N s; E E s) = S b (N; E) 1/T {}}{ S b (N; E) E Mustetaan kemallsen potentaaln määrtelmä ( ) S µ T N V,N E s µ/t {}}{ S b (N; E) N N s 5

6 Todennäkösyysjakauma, parttofunkto Saatn statstnen pano MK:lle (=järjestelmä + ympärstö) = t.n.-jakauma { ( )} Ω(N s,n b ; E s,e b ) = Ω s(n s,e s) exp Es k B T + µns k B T + O Es E, Ns Ω b (E) N Tlojen lukumäärä Ω s(n s,e s) = tlat r δ(e r E s)δ(n r N s) Tlan todennäkösyys, T,µ kylvyn suureet { } p s exp Es k B T + µns k B T Suurkanonnen jakauma el Gbbsn jakauma p tla s = 1 { } Z exp Es k B T + µns Z = { } exp Es k B T k B T + µns k B T tlat s Normtus Z on suurkanonnen parttofunkto 6

7 Suurkanonnen parttofunkto Laplace-muunnoksena Erotellaan tlasummasta erkseen tlat r(n), jossa on sama määrä hukkasa Z = { } exp Es k B T + µns = k B T tlat s N { } µn { exp exp Es k B T k B T s(n) = N exp Isolle systeemllä korvataan N jatkuvalla muuttujalla: { } µ Z(µ,T ) = dn exp k B T N Z (N,T ) { µn k B T Suurkanonnen parttofunkto on ss tavallsen parttofunkton Laplace-muunnos } } Z (N,T ) 7

8 Hukkaslukumäärä: odotusarvot, fluktuaatot p tla s = 1 Z exp { β (Es µns)} Z = tlat r exp { β (E r µn s)} 2 Z µ 2 = β2 s E = ln Z β N = s N sp s = k B T ln Z µ Ns 2 exp { β (E s µn s)} = Z N 2 = 2 ln Z µ 2 = µ [ 1 Z ] Z = 1 2 Z β Z µ 1 2 Z 2 ( ) 2 Z µ = β 2 ( N 2 N 2) Tedämme: ln Z ja sen dervaatat ekstensvsä: E N = N = N 2 N 2 N = N N 1 N Peraatteessa N fluktuo, käytännössä vako: N TD = N SM 8

9 Suur potentaal Mustetaan: Mkrokanonnen joukko = potentaal S = k B ln Ω(E) Kanonnen joukko = potentaal F = k B T ln Z (T ) Vastaava potentaal suurkanonsessa joukossa? Tedetään todennäkösyydet = lähdetään laskemaan Gbbsn entropaa: S = k B p s ln p s = k B p s ln e β(es µns) = Z s s k B p s (βµn s βe s ln Z) = µ T N + 1 T E + k B ln Z Suur potentaal s = k B T ln Z = E TS µn Tunnstetaan Legendren muunnokseks, uus suur potentaal Ω G (T,V,µ) = k B T ln Z = E TS µn dω G = S dt P dv N dµ 9

10 Perusalgortm, uudestaan Tunnetaan systeemn energatlat er hukkasten lukumäärllä: Lasketaan suurkanonnen parttofunkto Z = exp { β (E r µn r )} tlat r Tästä saadaan suur potentaal Ω G (T,V,µ) = k B T ln Z Suurta potentaala dervomalla termodynaamset suureet dω G = S dt P dv N dµ ( ) ( ) ΩG ΩG = S = P = T V,µ V ( ) S edelleen esm. C V = T... T V,µ Lsäks kannattaa mustaa (A-osasta) T,µ N = ( ) ΩG µ V,T G = E TS + PV = µn = Ω G = PV 10

11 Mtä tarkottaa kemallnen potentaal? I 1. Määrtelmä: µ = T ( ) S N E,V Heman hankala toteuttaa käytännössä, mten tuodaan systeemn hukkanen lman että E,V muuttuvat? 2. Mustetaan faasmuunnokssta Gbbsn vapaa energa µ = g(t,p) = G(T,P) N Hukkasa srtyy faassta toseen kunnes faasen µ sama. Analoga T lämmön johtumnen; µ hukkasen srtymnen faasen välllä 11

12 Mtä tarkottaa kemallnen potentaal? II 3. Idealsotu hukkaskylpy b: S b = vako, kakken kylvyn hukkasten energa ε. Nyt hukkasten srtyessä systeemn: de = ε dn TD2: S tot kasvaa, ol. lsäks S b = vako: ( ) ( ) S S ds = de + dn = de E N T µ T dn = ε µ 0 T V,N V,E ε > µ dn > 0: hukkasa srtyy järjestelmään ε < µ dn < 0: hukkasa srtyy pos µ: mnmenerga, joka kylvyn hukkasella ptää olla srtyäkseen spontaanst järjestelmään. 4. Lagrangen kerron: olennasest matemaattnen temppu, jolla Annetaan N:n saada er arvoja = helpomp laskea Valtsemalla µ saadaan knntettyä N haluttuun arvoon. Käytännön laskussa helpomp salla energan vahto lämpökylvyn kanssa kun olettaa E=vako. Kemallnen potentaal sall saman hukkasten vahdolle: analognen lämpötlan kanssa. 12

13 Klassnen deaalkaasu Mustetaan klasssen deaalkaasun parttofunkto Z N (T,V,N) = 1 N! [Z 1(T,V )] N = Z(T,V,µ) = N=0 { } e βµn Z N (T,V,N) = exp e βµ Z 1 (T,V ) Ω G (T,V,µ) = k B T ln Z = k B Te βµ Z 1 (T,V ) ( ) ΩG N = = e βµ Z 1 (T,V ) = Ω G µ k B T V,T = Ω G = PV = Nk B T = tlanyhtälö Käyttämällä yhden hukkasen klasssta parttofunktota: exp {βµ} = N Z 1 = N V ( 2π 2 mk B T ) 3/2 1 Z nt (T ), Mssä Z nt = ssästen vapausasteden parttofunkto 13

14 Kemallnen reakto ν A A ν B B ν C C + ν D D ν M = 0 Esm 2H 2 S + 3O 2 2H 2 O + 2SO 2 = ν(h 2 S) = 2 ν(o 2 ) = 3 ν(h 2 O) = 2 ν(so 2 ) = 2 (Ylestyy helpost er määrlle reagova aneta) Parametrsodaan reakton etenemstä reaktoasteella ξ: dn = ν dξ Vako P, T : mnmodaan Gbbsn funktota G = µ N dg = dξ ν µ = 0 = tasapanossa ν µ = 0 Huom! Tämä van ylestää faastranstoden neste kaasu = tasapanossa µ neste = µ kaasu 14

15 Kemallnen reakto deaalkaasulle Z 1 V ; määrtellään φ(t ) V /Z 1 (T,V ) = rppuu van T :stä Klassselle deaalkaasulle tasapanoehto helppoon muotoon { exp {βµ} = N = N Z 1 V φ(t ) = 1 = exp β } [ ( ) ] ν N ν µ = φ ν (T ) V Krjotetaan massavakutuksen lakna konsentraatolle N /V ta osapanelle P ( ) [ ν 1 N = φ ν (T )] K c(t ) = tasapanovako V [ ) ] ν P ν = ( kb TN V = K c(t )(k B T ) ν K P (T ) Rppu van lämpötlasta: e paneesta, alkutlasta... Mustetaan: myös lamea luos deaalkaasu Jos tunnetaan Z nt (T ), osataan laskea φ(t ) ja tasapanovako! Kemassa K c(t ) määrtetään kokeellsest 15

16 Reaktolämpö ja tasapanovako Gbbsn funkton muutos reakton tapahtuessa: G = ξ [ [ ( ) ] ν ] N ν µ = ξ k B T ln k B TK c(t ) V Termodynaamsta kkkalua: G = E + PV TS = H TS; S = ( ) G T ( ) ( ) G (G/T ) H = G T = T 2 T P,N T P,N Entalpan H muutos on reaktolämpö Q P, joten saadaan van t Hoffn yhtälö Q P = H ξ = T 2 T = T 2 T ( ν µ T ( kb T ln [ Pν ) ] ) kb T ln K P (T ) T P,N P,N = k B T 2 d dt ln K P(T ) 16

17 Esmerkk: deaalkaasureakton tasapano 2A + B C + D Tasapanovako 1-hukkasparttofunktosta [ ] / [ ( ) ] 2 NC N D NA N B = K c(t ) = V V V V Lähtötlanne Lopputlanne [ ZC V Z D V ] / [ ( ) ] 2 ZA Z B V V N A = N N A = (1 2x)N N B = N N B = (1 x)n N C = 0 N C = xn N D = 0 N D Tasapano: ratkastaan x yhtälöstä = xn x 2 (1 2x) 2 (1 x) 1 x 2 (1 2x) 2 (1 x) = Kc(T ) N V = P k B T Kc(T ) Tulkntaa: sommalla P tasapano enemmän okealla, jossa penemp V. = Kokoonpurstuva systeem! Translaatolkkeen osuus K c(t ):sta osataan laskea (translaaton Z 1 ) 17

Tilastollisen fysiikan luennot

Tilastollisen fysiikan luennot Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta

Lisätiedot

Kvanttimekaanisten joukkojen yhteys termodynamiikkaan

Kvanttimekaanisten joukkojen yhteys termodynamiikkaan Kvanttmekaansten joukkojen yhteys termodynamkkaan Hukkaslukumäärän sälyttävä systeem vo vahtaa energaa ympärstönsä kanssa kahdella tavalla: työnä ta lämpönä. Termodynamkassa entropan muutos lttyy lämmön

Lisätiedot

6. Stokastiset prosessit (2)

6. Stokastiset prosessit (2) Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella

Lisätiedot

3. Statistista mekaniikkaa

3. Statistista mekaniikkaa Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit

Lisätiedot

Tilastollinen mekaniikka. Peruskäsitteitä Mikro- ja makrotilat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Einstein jakauma Fermi-Dirac jakauma Jakaumafunktiot

Tilastollinen mekaniikka. Peruskäsitteitä Mikro- ja makrotilat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Einstein jakauma Fermi-Dirac jakauma Jakaumafunktiot Tlastollnen mekankka Peruskästtetä Mkro- ja makrotlat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Ensten jakauma Ferm-Drac jakauma Jakaumafunktot Tlastollnen mekankka Teora on stä vakuttavamp, mtä yksnkertasemmat ovat

Lisätiedot

Kvanttimekaanisten joukkojen yhteys termodynamiikkaan

Kvanttimekaanisten joukkojen yhteys termodynamiikkaan Kvanttmekaansten joukkojen yhteys termodynamkkaan Hukkaslukumäärän sälyttävä systeem vo vahtaa energaa ympärstönsä kanssa kahdella tavalla: työnä ta lämpönä. Termodynamkassa entropan muutos lttyy lämmön

Lisätiedot

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut) J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät

Lisätiedot

6. Yhteenvetoa kurssista

6. Yhteenvetoa kurssista Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 6. Yhteenvetoa kurssista 1 Keskeisiä käsitteitä I Energia TD1, siirtyminen lämpönä

Lisätiedot

4. Termodynaamiset potentiaalit

4. Termodynaamiset potentiaalit Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) uomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 asapainotila Mikrokanoninen ensemble Eristetty

Lisätiedot

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU

ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tetoverkkolaboratoro 6. Stokastset prosesst () Luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 5 6. Stokastset prosesst () Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst

Lisätiedot

LIITE 2. KÄSITELUETTELO

LIITE 2. KÄSITELUETTELO 222 LIITE 2. KÄSITELUETTELO Absoluttnen energa-astekko Adabaattnen palamslämpötla Adabaattnen prosess Aktvsuus Aktvsuuskerron Aktvaatoenerga Eksotermnen reakto Elektrod Elektrolyys Endotermnen reakto Entalpa

Lisätiedot

3.5 Generoivat funktiot ja momentit

3.5 Generoivat funktiot ja momentit 3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä

Lisätiedot

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko 1 TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä

Lisätiedot

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä

Lisätiedot

S , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon

S , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon S-11435, FYSIIKKA III (ES), Syksy 00, LH 4, Loppuvkko 39 LH4-1* Käyttän Maxwll-Boltzmann-jakauman parttofunktota määrtä a) nrgan nlön kskarvo (E ) skä b) nrgan nlöllnn kskpokkama kskarvosta l nrgan varanss,

Lisätiedot

Venymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan dl = α LdT + df = df AE AE Ulkoisen voiman tekemä työ saadaan integroimalla δ W = FdL :

Venymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan dl = α LdT + df = df AE AE Ulkoisen voiman tekemä työ saadaan integroimalla δ W = FdL : S-11435, Fyskka III (ES) Tentt 194 1 Setsemän tunnstettavssa olevaa hukkasta on jakautunut kahdelle energatasolle Ylem taso on degenerotumaton ja sen energa on 1, mev korkeam kun alemman tason, joka uolestaan

Lisätiedot

3. Statistista mekaniikkaa

3. Statistista mekaniikkaa FYSA241, kevät 2012 Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Muistelua johdanto-osasta: Kvanttimekaniikassa

Lisätiedot

Kanoniset muunnokset

Kanoniset muunnokset Kanonset muunnokset Koordnaatstomuunnokset Lagrangen formalsmssa pstemuunnoksa: Q = Q (q, t) nopeudet saadaan nästä dervomalla Kanonnen formalsm: p:t ja q:t samanarvosa 2n-ulottesen faasavaruuden muuttuja

Lisätiedot

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä

Lisätiedot

täydellinen atomaarisen tason kuvaus. Tämän tarkka kuvaaminen on mahdotonta (N ~ N A ), joten tarvitaan tilastollista tarkastelua.

täydellinen atomaarisen tason kuvaus. Tämän tarkka kuvaaminen on mahdotonta (N ~ N A ), joten tarvitaan tilastollista tarkastelua. PHYS-A00 Termodynamkka (TFM), Luentomustnpanot Luennot 9-0, kertaus: Mkro- ja makrotlat Mkrotla täydellnen atomaarsen tason kuvaus. Tämän tarkka kuvaamnen on mahdotonta ( ~ A ), joten tarvtaan tlastollsta

Lisätiedot

MALLIVASTAUKSET S Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe

MALLIVASTAUKSET S Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe MALLIVASTAUKSET S-4.7 Fysa III (EST) (6 op). väloe 7..7. Astassa on, µmol vetyä ( ) ja, µg typpeä ( ). Seosen lämpötla on K ja pane, Pa. Lase a) astan tlavuus, b) vedyn ja typen osapaneet ja c) moleyylen

Lisätiedot

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset

Lisätiedot

DEE Polttokennot ja vetyteknologia

DEE Polttokennot ja vetyteknologia DEE-54020 Polttokennot ja vetyteknologa Polttokennon hävöt 1 Polttokennot ja vetyteknologa Rsto Mkkonen Polttokennon tyhjäkäyntjännte Teoreettnen tyhjäkäyntjännte E z g F Todellnen kennojännte rppuu er

Lisätiedot

Monte Carlo -menetelmä

Monte Carlo -menetelmä Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla

Lisätiedot

4. Termodynaamiset potentiaalit

4. Termodynaamiset potentiaalit FYSA241, kevät 2012 uomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 asapainotila Mikrokanoninen ensemble Eristetty järjestelmä

Lisätiedot

Statistinen fysiikka, osa B (FYSA2042)

Statistinen fysiikka, osa B (FYSA2042) Käytännön asioita Statistinen fysiikka, osa B (FYSA2042) Kimmo Kainulainen kimmo.kainulainen@jyu.fi Huone: FL220. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2018 Käytännön asioita 1 Käytännön asioita Ajat, paikat,

Lisätiedot

( ) ( ) Tällöin. = 1 ja voimme laskea energiatason i. = P n missä

( ) ( ) Tällöin. = 1 ja voimme laskea energiatason i. = P n missä S-445 FYSIIKKA III (Sf) Sysy 4, LH Ratasut LHSf-* ohesen uvan esttämää systeemä Systeemssä on 5 huasta joden yhtenen energa on U = 6ε Kunn energatason degeneraatotejä on Olettaen, että systeem noudattaa

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä. MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt

Lisätiedot

b g / / / / H G I K J =. S Fysiikka (ES) Tentti

b g / / / / H G I K J =. S Fysiikka (ES) Tentti S4.35 Fyskka (ES) Tntt 4.9. 3 6. Sälö, jonka tlavuus on,5 m, ssältää haa, jonka an on,5 Pa ja lämötla C. (a) Montako moola haa sälössä on? (b) Montako klogrammaa? (c) Mtn an muuttuu, jos lämötla kasvaa

Lisätiedot

TILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 2008

TILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 2008 TILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 008 Randy Harrsn krjan luvun 9 Statstcal Mechancs alueeseen lttyvä suomenkelnen ohesmateraal. Tämä luentomateraal on teoran osalta laajemp ja perusteellsemp kun Harrsn

Lisätiedot

3. Statistista mekaniikkaa

3. Statistista mekaniikkaa Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit

Lisätiedot

Tasapainojen määritys ja siihen liittyvää peruskäsitteistöä

Tasapainojen määritys ja siihen liittyvää peruskäsitteistöä Tasapanojen määrtys ja shen lttyvää peruskästtestöä Ilmömallnnus prosessmetallurgassa Syksy 2016 Teema 2 - Luento 1 Tavote Kerrata, mten termodynaamsa tasapanoja vodaan laskennallsest määrttää Mustuttaa

Lisätiedot

1, x < 0 tai x > 2a.

1, x < 0 tai x > 2a. PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto

Lisätiedot

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian

Lisätiedot

Venymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan AE AE

Venymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan AE AE S-11435, Fyskka III (ES) Tntt 75 1 Stsmän tunnstttavssa olvaa hukkasta on jakautunut kahdll nrgatasoll Ylm taso on dgnrotumaton ja sn nrga on 1, mv korkam kun almman tason, joka uolstaan on dgnrotunut

Lisätiedot

III KLASSINEN TILASTOLLINEN MEKANIIKKA... 48

III KLASSINEN TILASTOLLINEN MEKANIIKKA... 48 III KLASSINEN TILASTOLLINEN MEKANIIKKA... 48 3.1 Johdanto...48 3. Tlastollsen mekankan kästtetä...49 3.3 Maxwell - Boltzmann jakauman johtamnen...51 3.4 Energatlan ssänen vapausaste...54 3.5 Tasapanotlaa

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi 3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa

Lisätiedot

TILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 2008

TILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 2008 TILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 8 Randy Harrsn krjan luvun 9 Statstcal Mechancs alueeseen lttyvä suomenkelnen ohesmateraal. Tämä luentomateraal on teoran osalta laajemp ja perusteellsemp kun Harrsn

Lisätiedot

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss

Lisätiedot

MODERNIN FYSIIKAN LUENNOT KEVÄT 2007 OSA I TILASTOLLINEN MEKANIIKKA

MODERNIN FYSIIKAN LUENNOT KEVÄT 2007 OSA I TILASTOLLINEN MEKANIIKKA MODERNIN FYSIIKAN LUENNOT KEVÄT 7 OSA I TILASTOLLINEN MEKANIIKKA TILASTOLLISEN MEKANIIKAN LUENNOT KEVÄT 7 Tlastollsen fyskan luennosta käydään keväällä 7 läp anoastaan Kappaleet III-V. Estetona nähn lukuhn

Lisätiedot

Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2

Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2 766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.

Lisätiedot

8. Klassinen ideaalikaasu

8. Klassinen ideaalikaasu Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 8. Klassinen ideaalikaasu 1 Fysikaalinen tilanne Muistetaan: kokeellisesti

Lisätiedot

III KLASSINEN TILASTOLLINEN MEKANIIKKA... 48

III KLASSINEN TILASTOLLINEN MEKANIIKKA... 48 III KLASSINEN TILASTOLLINEN MEKANIIKKA... 48 3.1 Johdanto... 48 3. Tlastollsen mekankan kästtetä... 49 3.3 Maxwell - Boltzmann jakauman johtamnen... 51 3.4 Energatlan ssänen vapausaste... 54 3.5 Tasapanotlaa

Lisätiedot

Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit

Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit Ykskköoperaatot ja teollset prosesst 1 Ylestä... 2 2 Faasen välnen tasapano... 3 2.1 Neste/höyry-tasapano... 4 2.1.1 Puhtaan komponentn höyrynpane... 4 2.1.2 Ideaalnen seos... 5 2.1.3 Epädeaalnen nestefaas...

Lisätiedot

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-

Lisätiedot

1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta

1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio

Lisätiedot

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 8: Kemiallinen potentiaali, suurkanoninen ensemble Pe 18.3.2016 1 AIHEET 1. Kanoninen

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Vahtosähkön teho hetkellnen teho p(t) pätöteho P losteho Q näennästeho S kompleksnen teho S HETKELLINEN TEHO Kn veresen kvan mpedanssn Z jännte ja vrta (tehollsarvon osottmet)

Lisätiedot

Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut

Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut 1 a Kaasuseoksen komponentin i vapaa energia voidaan kirjoittaa F i (N,T,V = ln Z i (T,V missä on ko hiukkasten lukumäärä tilavuudessa

Lisätiedot

Galerkin in menetelmä

Galerkin in menetelmä hum.9.3 Galerkn n menetelmä Galerknn menetelmän soveltamnen e ole rajottunut van ongelmn, jotka vodaan pukea sellaseen varaatomuotoon, joka on seurauksena funktonaaln mnmomsesta, kuten potentaalenergan

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot

Lisätiedot

Korkealämpötilakemia

Korkealämpötilakemia Korkealämpötlakema Johdanto reaktoknetkkaan Ma 6.11.2017 klo 10-12 SÄ114 Oulun ylopsto Tavote Oppa reaktoknetkan laskennallsta mallnnusta Tutustua pyrometallurgsssa ja mussa korkealämpötlaprosessessa esntyven

Lisätiedot

Suurkanoninen joukko

Suurkanoninen joukko Suurkanoninen joukko Suurkanonisessa joukossa systeemi on kanonisen joukon tavoin yhdistettynä lämpökylpyyn, mutta nyt systeemin ja kylvyn väliset (kuvitellut) seinät läpäisevät energian lisäksi myös hiukkasia

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST 6 op) S Modernin fysiikan tietokoneharjoitukset (Sf, 2 op )

S Fysiikka III (EST 6 op) S Modernin fysiikan tietokoneharjoitukset (Sf, 2 op ) S-114.1327 Fyskka III (EST 6 op) S-114.1427 Modernn fyskan tetokoneharjotukset (Sf, 2 op ) Luennot: prof. Ilkka Tttonen lkka.tttonen@tkk.f Mkro- ja nanoteknkka, Tetote 3,Mcronova prof. Jukka Tulkk jukka.tulkk@tkk.f

Lisätiedot

Oppimistavoite tälle luennolle

Oppimistavoite tälle luennolle Oppmstavote tälle luennolle Ykskköoperaatot ja teollset prosesst CHEM2 (5 op) neensrto Kerrata faasen välsen tasapanon ehdot Kerrata srtolmöt ja nden analogat Ymmärtää aneensrtomekansmt ja nden vakutukset

Lisätiedot

Suurkanoninen joukko

Suurkanoninen joukko Suurkanoninen joukko Suurkanonisessa joukossa systeemi on kanonisen joukon tavoin yhdistettynä lämpökylpyyn, mutta nyt systeemin ja kylvyn väliset (kuvitellut) seinät läpäisevät energian lisäksi myös hiukkasia

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekankan jatkokurss Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalamp LUENTO 2 Alkuverryttelyä Vääntömomentt Oletus: Vomat tasossa, joka on kohtsuorassa pyörmsaksela vastaan. Oven kääntämseen tarvtaan er suurunen voma

Lisätiedot

5. KVANTTIMEKANIIKKAA

5. KVANTTIMEKANIIKKAA 5. KVANTTIMEKANIIKKAA Bohrn atommallsta samme jonknlasen kuvan atomn rakenteesta. Kutenkaan Bohrn atommall e pysty selttämään kakka kokeellsa havantoja spektrestä: Mks osa spektren vvosta on tosa vomakkaampa

Lisätiedot

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10

Lisätiedot

S , Fysiikka III (S) I välikoe Malliratkaisut

S , Fysiikka III (S) I välikoe Malliratkaisut S-4.35, Fysiikka III (S) I välikoe 9.0.000 Malliratkaisut Tehtävä Kuution uotoisessa säiliössä, jonka särän pituus on 0,0, on 3,0 0 olekyyliä happea (O) 300 K läpötilassa. a) Kuinka onta kertaa kukin olekyyli

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4 TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun

Lisätiedot

BL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka

BL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka BLA6 Sähkönsrtoteknkka Tehonaon laskenta Jarmo Partanen LT Energy Electrcty Energy Envronment Srtoverkkoen laskenta Verkon tehonaon laskemnen srron hävöt ännteolosuhteet ohtoen kuormttumnen verkon käyttäytymnen

Lisätiedot

= 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6,

= 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6, S-435, Fysiikka III (ES) entti 43 entti / välikoeuusinta I Välikokeen alue Neljän tunnistettavissa olevan hiukkasen mikrokanonisen joukon mahdolliset energiatasot ovat, ε, ε, 3ε, 4ε,, jotka kaikki ovat

Lisätiedot

AB TEKNILLINEN KORKEAKOULU

AB TEKNILLINEN KORKEAKOULU B TEKNILLINEN KORKEKOULU Tetoverkkolaboratoro luento05.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 00 Ssältö eruskästteet Dskreett satunnasmuuttujat Dskreett jakaumat lkm-jakaumat Jatkuvat satunnasmuuttujat

Lisätiedot

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta

Lisätiedot

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään 4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa

Lisätiedot

4. A priori menetelmät

4. A priori menetelmät 4. A pror menetelmät 4. Arvofunkto-menetelmä 4.2 Lekskografnen järjestämnen 4.3 Tavoteohjelmont Tom Bäckström Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 4. Arvofunkto-menetelmä Päätöksentekjä antaa eksplsttsen

Lisätiedot

10. Kvanttikaasu. Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi kl Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja.

10. Kvanttikaasu. Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi kl Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL24. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 26. Kvanttikaasu Aaltofunktio ja hiukkasten vaihto Tunnettua kvanttimekaniikasta

Lisätiedot

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen

Lisätiedot

= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2

= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2 HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Montavoteoptmont ja teollsten prosessen hallnta Ylassstentt Juss Hakanen juss.hakanen@jyu.f syksy 2010 Interaktvset menetelmät Idea: päätöksentekjää hyödynnetään aktvsest ratkasuprosessn akana

Lisätiedot

S , Fysiikka III (ES) Tentti

S , Fysiikka III (ES) Tentti S-11435, Fyskka III (ES) Tentt 311005 1 Kuvan mukasessa systeemssä allo sulkee ullon tvst Pullon ssältämän kaasun adabaattvakon γ määrttämseks allo saatetataan helahtelemaan Kun ktka on en, lke on lähes

Lisätiedot

Pyörimisliike. Haarto & Karhunen.

Pyörimisliike. Haarto & Karhunen. Pyörmslke Haarto & Karhunen www.turkuamk.f Pyörmslke Lttyy jäykän kappaleen pyörmseen akselnsa ympär Pyörmsenerga on pyörmsakseln A ympär pyörvän kappaleen osasten lke-energoden summa E r Ek mv mr mr www.turkuamk.f

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu

Lisätiedot

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit 68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta

Lisätiedot

Jäykän kappaleen liike

Jäykän kappaleen liike aananta 9.9.014 1/17 Jäykän kappaleen lke Tähän ast tarkasteltu massapstemekankkaa : m, r, v Okeast fyskaalset systeemt ovat äärellsen kokosa, esm. jäykät kappaleet r r j = c j =vako, j elastset kappaleet

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

Korkealämpötilakemia

Korkealämpötilakemia Korkealämpötlakema Johdanto reaktoknetkkaan Ma 5.11.2018 klo 10-12 PR126A Tavote Oppa reaktoknetkan laskennallsta mallnnusta Tutustua pyrometallurgsssa ja mussa korkealämpötlaprosessessa esntyven lmöden

Lisätiedot

Metallurgiset liuosmallit: Yleistä

Metallurgiset liuosmallit: Yleistä Metallurgset luosmallt: Ylestä Ilmömallnnus rosessmetallurgassa Syksy 2016 Teema 2 - Luento 3 Tavote Tutustua deaal- ja reaalluosten kästtesn Tutustua luosmallehn ylesellä tasolla Luosmallen jaottelu Hyvän

Lisätiedot

4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman

4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman 4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten

Lisätiedot

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Luento 8 6.3.2015 1 Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) 2 Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä

Lisätiedot

Hamiltonin mekaniikka

Hamiltonin mekaniikka Luku 7 Hamltonn mekankka Tässä luvussa mekankan formalsma vedään velä Lagrangen mekankkaakn järeämpään muotoon. Tutustumme jo luvussa 3 johnkn kanonsen formalsmn peruspalkohn, kuten kanonsn mpulssehn,

Lisätiedot

r i m i v i = L i = vakio, (2)

r i m i v i = L i = vakio, (2) 4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään

Lisätiedot

4. Termodynaamiset potentiaalit

4. Termodynaamiset potentiaalit Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2015 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 ermodynaaminen tasapaino kanonisessa joukossa Mikrokanoninen

Lisätiedot

Korkealämpötilakemia

Korkealämpötilakemia Korkealämpötlakema Teema 2 Luento 1 Tasapanojen määrtys ja shen lttyvää peruskästtestöä Ma 30.10.2017 klo 11-12 SÄ114 Oulun ylopsto Tavote Kerrata, mten termodynaamsa tasapanoja vodaan laskennallsest määrttää

Lisätiedot

MO-teoria ja symmetria

MO-teoria ja symmetria MO-teora ja symmetra () Kaks atomorbtaaa vovat muodostaa kaks moekyyorbtaaa - Stova orbtaa - ajottava orbtaa () Atomorbtaaen energoden otava keskenään samansuurusa () Atomorbtaaen symmetravaatmukset LCAO

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Touko Herranen Toni Mäkelä Luento 11: Faasitransitiot Ke 29.3.2017 1 AIHEET 1. 1. kertaluvun transitioiden (esim.

Lisätiedot

Entrooppiset voimat. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunnoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit

Entrooppiset voimat. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunnoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat Entrooppiset voimat Vapaan energian muunnoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ 76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee

Lisätiedot

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 5.12. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö 3. Lämpövoimakoneet

Lisätiedot

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa! Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin

Lisätiedot

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka

Lisätiedot

Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa

Usean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa Usean muuttujan funktoden ntegraallaskentaa Pntantegraaln määrtelmä Yhden muuttujan tapaus (kertausta) Olkoon f() : [a, b] R jatkuva funkto Oletetaan tässä ksnkertasuuden vuoks, että f() Remann-ntegraal

Lisätiedot

5. Faasitransitiot. Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi kl Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja.

5. Faasitransitiot. Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi kl Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 5. Faasitransitiot 1 Olomuodonmuutokset eli faasitransitiot Arkinen määritelmä

Lisätiedot

Ekvipartitioperiaatteen mukaisesti jokaiseen efektiiviseen vapausasteeseen liittyy (1 / 2)kT energiaa molekyyliä kohden.

Ekvipartitioperiaatteen mukaisesti jokaiseen efektiiviseen vapausasteeseen liittyy (1 / 2)kT energiaa molekyyliä kohden. . Hiilidioksidiolekyyli CO tiedetään lineaariseksi a) Mitkä ovat eteneisliikkeen, pyöriisliikkeen ja värähtelyn suuriat ekvipartitioperiaatteen ukaiset läpöenergiat olekyyliä kohden, kun kaikki vapausasteet

Lisätiedot

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli

9. Jakojärjestelmät. Sisältö. Puhdas jakojärjestelmä. Yksinkertainen liikenneteoreettinen malli Ssältö Kertausta: ykskertae lkeeteoreette mall M/M/-PS asakasta palvelja asakaspakkaa M/M/-PS asakasta palveljaa asakaspakkaa Sovellus elastse datalketee malltamsee vuotasolla M/M//k/k-PS k asakasta palvelja

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot