AVARUUSKEHÄN DISKREETTI OPTIMOINTI. Jussi Jalkanen Rakenteiden Mekaniikka, vol 37 No. 2, 2004, s

Transkriptio

1 AVARUUSKEHÄN DISKREETTI OPTIMOINTI Juss Jalkanen Rakenteden Mekankka, vol 37 No. 2, 2004, s TIIVISTELMÄ Artkkelssa tarkastellaan standardvalkomasta otetusta putkpalkesta valmstettuen avaruuskehen dskreettä optmonta. Tehtävänä on kehän massan mnmont srtymä-, änntys-, stablsuus- a taauusraotusehdolla. Ratkasualortmena käytetään smulotua äähdytystä (smulated annealn, SA), tabuhakua (tabu search, TS) a eneettstä alortma (enetc alorthm, GA). JOHDANTO Putkpalkt ovat tyypllsä teollsest valmstettua rakenneosa, ota on saatavssa van tetyn kokosna. Putkpalkkkehää suunnteltaessa nsnöörn täytyy valta tästä annetusta valkomasta rakenteeseen tulevat palkt. Jo melko suppealla valkomalla kehän erlasten kombnaatoden määrä kasvaa hyvn suureks. Tällön on hankala hakea pelkän kokemuksen a ntuton avulla parasta rakennetta, a tarvtaan optmonnn apua. Tässä estyksessä kästellään avaruuskehän palkken valtsemsta parhaalla mahdollsella tavalla annetusta suorakateen muotosten RHS-putken oukosta. Optmonnssa mahdollsten proflen kokoakauma a lukumäärä vo olla melvaltanen. Tehtävänä on hakea keven mahdollnen rakenne nn, ettevät kehän srtymät kasva lan suurks, vakoväärstymsenerahypoteesn (VVEH, von Mses) mukanen vertaluänntys e yltä suurnta sallttua arvoa, kehän yksttäset palkt ta koko rakenne evät menetä stablsuuttaan a omnastaauudet evät satu kelletylle välelle. Kyseessä on kantaven rakenteden dskreetn optmonnn mtotustehtävä, ollon kehän topoloa a muoto evät muutu optmonnn kuluessa. Rakenteen analysont tapahtuu elementtmenetelmällä olettaen, että srtymät ovat penä a materaal lneaarsest kmmosta. Kehän kakk ltokset oletetaan äykks a pokkpntapanuma pääsee tapahtumaan väännön yhteydessä vapaast. Kuormtukset ovat aasta rppumattoma. Putkpalkkkehän massan mnmontonelma on hyvn vaatva epälneaarnen, raotettu a suunnttelumuuttultaan dskreett optmontonelma. Sen ratkasemseks yle- 14

2 sessä tapauksessa kohtuullsella laskentatyöllä e ole olemassa luotettavaa alortma. Sten kakken kevemmän rakenteen el lobaaln optmn löytämnen on usen mahdotonta. Heurstset optmontmenetelmät ovat yksnkertasa kenoa, olla vodaan ratkasta, anakn lkmäärn, vaketa putkpalkkkehän massan mnmontonelman kaltasa kombnatorsa optmonttehtävä. Lukussta er heurstssta optmontmenetelmstä työhön on valttu smulotu äähdytys, tabuhaku a eneettnen alortm. Lähteet [2], [4] a [12] ovat katsaustyyppsä ylesest dskreettä kantaven rakenteden optmonta kästtelevä artkkeleta. Krossa [1] a [11] kästellään puolestaan smulodun äähdytyksen, tabuhaun a eneettsen alortmn perusperaatteta a tomntaa. Akasemmn smulotua äähdytystä a tabuhakua on sovellettu rstkko- a kehärakenteden optmontn artkkelessa [3] a [5]. Lähteessä [9] on varsn laaa yhteenveto tutkmukssta, ossa eneettstä alortma on käytetty teräsrakenteden optmonnssa. Lopuks kannattaa manta velä [6], [7] a [8], ossa on vertaltu alortmen kesknästä tehokkuutta muutamassa testonelmassa. SUUNNITTELUMUUTTUJAT, KOHDEFUNKTIO JA RAJOITUSEHDOT Tarkastellaan tapausta, ossa kakk n kpl kehän palkkea valtaan samasta m kpl profleta ssältävästä oukosta (kuva 1). Proflt ovat keskenään samaa tyyppä (RHS-putka), mutta nden lukumäärä a kokoakauma on melvaltanen. a) b) z n=8 20F F y Kuva m-2 m-1 m a) Kahdeksan palkn avaruuskehä. b) Suorakateen muotosten putkpalkken sara. Optmontonelman suunnttelumuuttuks valtaan palkken proflen ärestysluvut nden muodostamassa sarassa. Tällön suunnttelumuuttuen vektor, ossa { 1, 2, K, m} a = 1, 2, K, n, lmottaa kehän kunkn palkn pokklekkauksen "suuruuden", kun proflt on ärestetty ossakn melessä suuruusärestykseen. Kehän analysonnssa tarvttavat pokkpntasuureet saadaan pomttua suoraan putkpalkken valmstaan tomttamasta taulukosta ta laskettua pokklekkauksen mtosta, kun tedetään, monesko profl kullakn palklla on. Permmäseks tavotteeks avaruuskehän optmonnssa on luonnollsta ottaa kustannusten mnmomnen. Kehän kokonaskustannuksn vakuttavat materaaln kulutuksen 15

3 lsäks myös esmerkks valmstuskustannukset. Valmstuksen aheuttamen kustannusten suuruus rppuu puolestaan palkken koon ohella työmenetelmstä a on täten erlanen er konepaossa. Yksnkertasuuden vuoks vodaan valmstuskustannukset olettaa vakosuurusks a ättää pos a keskttyä optmonnssa van materaaln kulutuksen mnmontn. Tällön optmontonelman kohdefunktoks valtaan kehän massa. Raotusehtoen tehtävä on huolehta stä, että optmonnn tuloksena saatava rakenne on käyttökelponen. Srtymä-, änntys-, stablsuus- a omnastaauusraotusten lsäks vo oskus olla tarpeen ottaa huomoon myös muta, kuten esmerkks väsymseen ta valmstettavuuteen lttyvä raotusehtoa. Lsäks käytännön suunnttelutehtävässä e ole usenkaan mahdollsta, että kakk kehän palkt vovat olla keskenään erlasa. Tavotteena on tavallsest konstrukto, ossa tetyt palkt ovat keskenään kooltaan ana samoa. Tämä vodaan hotaa pakottamalla yhtälöraotusehdolla suunnttelumuuttuen arvoa samoks. Yksnkertasuuden vuoks tässä estyksessä tarkastellaan kutenkn tapausta, ossa kakk kehän palkt vovat olla erlasa. Avaruuskehän massan mnmontonelmassa raotusehtoa e ole valttu nn, että ne olsvat onkn normn mukasa. Tarkotuksena on toma ylesemmällä tasolla, ekä raottua tettyyn sovelluskohteeseen a shen lttyvn normehn. Todellsessa suunnttelutehtävässä tulee luonnollsest erlaset vranomasten asettamat vaatmukset muotolla raotusehdoks. Jotta raotusehtoen arvot votasn laskea, tulee kehä analysoda esmerkks elementtmenetelmällä. Srtymen, änntysten, kuormtuskertomen a omnastaauuksen laskemsen vaatma työmäärä rppuu tällön oleellsest analysontn käytetyn laskentamalln tarkkuudesta. Jos FEM-mall huomo esmerkks suuret srtymät a epälneaarsen materaalmalln, tulee stä laskennallsest raskas, a laskenta-aka kasvaa luonteeltaan teratvslla optmontalortmella helpost lan suureks. Tässä työssä käytetään kunkn palkn mallntamseen anoastaan yhtä yksnkertasta lneaarsen kmmoteoran mukasta 12 vapausasteen avaruuspalkkelementtä (kuva 2). y 2 5 L, A, I 1 y, I z, I v z Kuva vapausasteen avaruuspalkkelementt. 7 Todellsuutta yksnkertastavan lneaarsen FEM-malln käyttö analysonnssa on perusteltua uur sks, että rakenneanalyysen määrä kasvaa optmonnssa västämättä hyvn suureks. 16

4 OPTIMOINTIONGELMA STANDARDIMUODOSSA Standardmuodossa estettynä avaruuskehän massan mnmontonelma on mn W f u bl b {,, 2 }, 1 K n = 1, K, nu = 1, K, n = 1, K, n, (1) u mssä W on kehän massa, ovat srtymäraotusehdot, bl änntysraotusehdot, b f on koko kehän nurahdusraotusehto a ovat ovat yksttästen palkken nurahdusraotusehdot, on omnastaauusrao- n tus. n u on srtymäraotusehtoen lukumäärä sekä n = m onelman kakken epäkäypen ta käypen ratkasuen lukumäärä el suunntteluavaruuden koko. u Srtymäraotusehdot srtymät u alaraoen mn u u ( ) u raottavat FEM-malln haluttuen vapausasteden mn u a yläraoen u vällle el. (2) Kaksosepäyhtälö vodaan akaa edelleen kahdeks standardmuodon tavallseks epäyhtälöks a skaalata sopvalla vakolla u. Jänntysraotusehdot raottavat VVEH:n mukasen vertaluänntyksen alle suurmman salltun arvon kakkalla kehässä. Vertaluänntyksen arvo saadaan laskettua kaavalla red (, ~ ) = ( ) 2 ( ~ ) 2, ~ + 3 τ,, (3) mssä ~ on tarkastelukohta palklla, ( ~, ) normaalvomasta a tavutusmomentesta ohtuva normaalänntys a τ (, ~ ) lekkausvomsta a vääntömomentsta ohtuva lekkausänntys. Normaalänntyksen ( ~, ) laskenta tapahtuu teknstä tavutusteoraa käyttäen. Vääntömomentn aheuttama pokklekkauksessa kakkalla vako lekkausänntys τ (, ~ v ) lasketaan puolestaan ns. Bredtn kaavalla. Kun tähän lsätään lekkausvomen Q (, ~ y ) a Q (, ~ z ) aheuttamat lekkausänntysakaumat τ (, ~ Q y ) a τ (, ~ ) saadaan τ (, ~ ). Q z τ (, ~ ) = τ (, ~ ) (, ~ ) (, ~ v + τ Q y + τ Q ) (4) z 17

5 Palkkn lttyvässä änntysraotusehdossa vaadtaan, että palkn suurn vertaluänntyksen arvo red e yltä sallttua arvoa. Tällön ss halutaan standardmuodossa skaalattuna, että red 1. (5) bl Nurahdusraotusehdot estävät kehän yksttäsä palkkea nurahtamasta. Palkn nurahdusvoma P n lasketaan Eulern kaavalla, os redusotu hokkuusluku λ n on suuremp kun materaalarvosta rppuva raahokkuusluku λ nr. Jos taas λn ( ) λ nr, saadaan P n laskettua Tmoshenkon a Geren [13] esttämällä kaavalla. Kehän ltosten osalta oletettn, että palkt on knntetty täysn äykäst tosnsa. Nurahdusraotusehdossa vaadtaan, että kunkn palkn normaalvoman vastaluku on penemp kun nurahdusvoma aettuna lokaaln nurahduksen varmuusluvulla N bl, ollon skaalattuna standardmuodossa saadaan N bl N 1. (6) Pn ( ) R -e A Eulern hyperbel Kuva 3. Nurahdusvoma P n on redusodun hokkuusluvun λ n funkto. b Globaal nurahdusraotusehto huoleht stä, että useamp palkk ta koko kehä e pääse yhtäakasest nurahtamaan. Tätä varten lasketaan lneaarsen stablsuusteoran mukasen kahden matrsn omnasarvotehtävän aln postvnen omnasarvo λ kr yhtälöstä K u = λ K u, (7) mssä K on rakenteen äykkyysmatrs a K rakenteen eometrnen äykkyysmatrs. Tämä ns. krttnen kuormtuskerron λ kr = λkr on samalla suoraan varmuus kehän nurahtamsen suhteen. Globaalssa nurahdusraotusehdossa vaadtaan, että 18

6 ( ) λkr 1 N b, (8) mssä N b on lobaaln nurahduksen suhteen haluttu varmuusluku. f Omnastaauusraotusehdossa f () outumasta kelletylle välelle [ f ] mn, f on deana estää rakenteen omnastaauuksa, ota on n f kpl (kuva 4). Kehän omnaskulmataauudet ω () a nstä edelleen omnastaauudet f () saadaan ratkastua omnasarvotehtävästä 2 ω K u = M u, (9) mssä K on rakenteen äykkyysmatrs a rakenteen M (konsstentt) massamatrs. mn f 1 f 1 mn f 2 f 2 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 taauus Kuva 4. Rakenteen omnastaauudet f evät saa osua kelletylle välelle. Omnastaauusraotusehdossa vaadtaan tällön kutakn kellettyä välä kohden f mn ( ) < f f > f = 1, 2, K, ndf f 7 = 1, 2, K, n (10) Parametr n df on FEM-malln vapausasteden lukumäärä, oka on samalla kehän malln mukanen omnastaauuksen lukumäärä. Raotukset (10) vodaan yhdstää yhdeks raotusehdoks, ossa vaadtaan = 1,2, K, nf = 1, 2, K, ndf f f f f mn 1 1 f. (11) Vakon f dea on toma skaalauskertomena. Vakka kellettyä taauusväleä ols useampakn kun van yks, on optmontonelmassa anoastaan yks taauusraotusehto. HEURISTISET OPTIMOINTIMENETELMÄT Heurstnen tarkottaa päättelyä, oka e täytä ankara loosa vaatmuksa, mutta ohtaa usen okeaan tulokseen. On ss tavallaan kyse älykkäden arvausten menetelmästä. Optmonnssa tämä tarkottaa determnststä ta stokaststa alortma, oka yleensä tuottaa hyvän tuloksen, mutte kutenkaan välttämättä onelman optmratkasua. Heurstsa optmontmenetelmä on lukusa erlasa, a lsäks on olemassa er menetelmen yhdstelmä. Nstä laammalle käyttöön levnnessä matktaan usen otakn luonnosta otettua lmötä. Heurstsen optmontmenetelmän dean takana vo olla myös okn ratkastavan onelman ertysprteeseen perustuva aatus. f 19

7 Taulukko 1. Heurststen optmontmenetelmen, kuten smulotu äähdytys, tabuhaku a eneettnen alortm, tyypllsä etua a puutteta. Edut: - Yksnkertasa. - Joustava. - Sopvat vakelle onelmlle. - E tarvta herkkyysanalyysa. - E aauduta lähmpään lokaaln optmn. - Rnnakkastettavssa. - Parantavat nopeast alkuarvausta. Puutteet: - Tarvtaan palon analyysea. - Lopputuloksen laatu ää avomeks. - Palon er versota a parametrea. - Herkkyysnformaato puuttuu. - Raotusehtoen huomomnen. - Stokastslla alortmella tarvtaan useampa optmontkertoa. - Helpot a vakeat tehtävät yhtä työlätä. Artkkeln esmerkktehtävän ratkasemseen on käytetty heurstssta alortmesta smulotua äähdytystä, tabuhakua a eneettstä alortma. Smulotu äähdytys a tabuhaku kuuluvat lokaalehn hakualortmehn a eneettnen alortm on eräs lukussta evoluutoalortmesta. Smulodussa äähdytyksessä pyrtään matkmaan sulan metalln hdasta äähtymstä. Tabuhaussa valtaan puolestaan nykysen ratkasun läheltä seuraavaks teraatopsteeks ana paras ns. tabulstaan kuulumaton ratkasu. Geneettsen alortmn dea on matka luonnon evoluutota ratkasuden muodostamassa populaatossa. Heurstslla menetelmllä on palon omnasuuksa, otka tekevät nstä houkutteleva alortmea uur avaruuskehän massan mnmontonelman kaltasssa tehtävssä. Nästä ehkä tärkempänä vodaan manta menetelmen perusdeoden yksnkertasuus. Alortmt ovat sovellettavssa hyvn monen erlasen optmonttehtävän ratkasemseen varsn penellä työmäärällä. Kynnys srtyä käyttämään nätä menetelmä on melko matala, koska soveltamnen e vaad kovnkaan ptkälle menevää matematkan ta tetoteknkan osaamsta. Vakka heurstslla menetelmllä on palon hyvä puola, on nllä myös selvä hekkouksa. Nästä raottavmmaks muodostuu varsnkn kantaven rakenteden optmonnssa kohdefunkton a raotusehtoen arvoen laskemnen monta kertaa. Optmonnn akana täytyy kohdefunkto a raotusehdot laskea tyypllsest tuhansssa er suunntteluavaruuden pstessä, mkä tarkottaa yleensä yhtä montaa FEM-analyysa. Tällön on selvää, ette yhteen laskentakertaan vo kulua kovn palon akaa, ta muuten optmont kestää avan lan kauan. ESIMERKKIONGELMA Esmerkkonelmassa tarkastellaan ohesen kuvan 5 mukasta kahdeksan palkn avaruuskehää kuormtuksneen. Mnmotavana kohdefunktona on kehän massa a raotusehdot pakottavat voman F suuntasen srtymän u penemmäks kun suurn sallttu 20

8 sall arvo u = 70 mm, palkken VVEH:n mukasen vertaluänntyksen kakkalla kehässä penemmäks kun maksmarvo = 237 MPa a huolehtvat stä, että kukn palkk erkseen e nurahda. Kehän FEM-mallssa kakk palkt on mallnnettu yhdellä elementllä, a rakenteen omaa panoa e oteta huomoon. Palkken 1, 2, 3 a 4 alapään tuenta on äykkä. Kehän palkt täytyy valta kuvan 6 mukassta RHS-putksta, [10]. Käytössä oleven 84 profln korkeudet h, leveydet b, senämän paksuudet t a nurkan säteet r on estetty taulukossa 3. Materaalarvona käytetään taulukon 2 arvoa. Palkt on sotettu nn pän, että pystysuorssa palkessa (1, 2, 3, a 4) kuvan 6 mukanen y-aksel on lobaaln y-akseln suuntanen a vaakasuorssa palkessa (5, 6, 7 a 8) kuvan 6 y-aksel on lobaaln z-akseln suuntanen. Kuva 5. Kahdeksan palkn kehä esmerkkonelmassa. 21

9 y h t r z b Kuva 6. Pokklekkaukseltaan suorakade RHS-putk. Taulukko 2. Esmerkktehtävän materaalarvot. Kmmomodul E Possonn luku ν Theys ρ Myötöraa R e 210 GPa 0, k/m MPa Taulukko 3. Rautaruukn RHS-putken suostussara, [10]. h [mm] b [mm] t [mm] r [mm] h [mm] b [mm] t [mm] r [mm] , , ,1 17, , ,1 17, , , , , ,

10 ,5 37, ,3 15, ,5 37, ,3 15, ,5 37,5 Standardmuodossa estettynä esmerkktehtävä on muotoa mn W sall u u u red N P n = M 1, 2,, 8 { K } n = 1, 2, K, 8. (12) = 1, 2, K, 8 Srtymäraotusehdossa skaalausvakoks on kokeluden perusteella valttu u = 0, 1. Jänntysraotusehdossa pakotetaan kunkn palkn vertaluänntysten maksm alku- a loppupokklekkauksen ulkoreunalla kahdeksassa er psteessä enntään :n suuruseks. Smulodussa äähdytyksessä a tabuhaussa tarvttavana alkuarvauksena käytetään ratkasua, ossa palkken 1, 2 a 6 profleks on valttu taulukon 3 numero 65 a loppuen profleks numero 25. Geneettsen alortmn alkupopulaato arvotaan. 8 Onelman käypen a epäkäypen ratkasuden lukumäärä on n = 84. Jos käytössä on tetokone, oka pystyy laskemaan kohdefunkton a raotusehtoen arvot tuhannessa er 23

11 psteessä yhden sekunnn akana, kestää kakken suunntteluavaruuden psteden läpkäymnen yl vuotta. On selvää, että velä nänkn penessä onelmassa vähänkään suuremmalla proflen määrällä e ole enää mahdollsta tarkstaa kakka kanddaattratkasua a valta nstä parasta käypää. Kuvassa 7 sekä taulukossa 4 on estetty esmerkkonelmassa saadut tulokset. Koska smulotu äähdytys a eneettnen alortm ovat stokastsa alortmea, tarvtaan useampa optmontkertoa luotettaven tulosten saamseks. Kuvan 7 tulokset ovat smulodun äähdytyksen a eneettsen alortmn osalta keskmäärässä tuloksa vdestä aosta. Taulukko 4. Esmerkkonelmassa smulodulla äähdytyksellä (SA), tabuhaulla (TS) a eneettsellä alortmlla (GA) löydetyt parhaat rakenteet. Palkk Massa [k] SA ,55 TS ,48 GA , SA (keskarvo 5 aon perusteella) TS GA (keskarvo 5 aon perusteella) massa [k] Kuva FEM-analyyst Esmerkkonelmassa smulodulla äähdytyksellä (SA), tabuhaulla (TS) a eneettsellä alortmlla (GA) saadut tulokset. Kuvan 7 perusteella nähdään, että lopussa keskmäärn paras tulos saavutetaan smulodulla äähdytyksellä (653 k), heman huonomp keskmääränen tulos eneettsellä alortmlla (661 k) a hekon tabuhaulla (770 k). Taulukon 4 perusteella eneettsen 24

12 alortmn eräällä aolla löydetään kutenkn kakken keven rakenne (626 k). Geneettsellä alortmlla alotuspopulaaton arpomnen kestää keskmäärn 348 FEM-analyysa, mnkä älkeen kohdefunkton kehtys on huomattavan nopeata. Nän ollen eneettnen alortm näyttäs olevan kolmkon tehokkan tässä esmerkssä. Palkn 2 änntysraotusehto on raottesta ana lähmpänä aktvsta. YHTEENVETO Kantaven rakenteden optmont taroaa systemaattsen tavan hakea optmaalsta ratkasua avaruuskehän mtotusonelmaan. Suunnttelussa e kannata tyytyä van muutaman ntuton ta kokemuksen perusteella valtun rakennevahtoehdon kesknäseen vertaluun vaan pyrkä löytämään paras mahdollnen. Optmrakenne on monast vakeast etukäteen arvattavssa a ää löytymättä lman optmonnn hyödyntämstä. Lasketun testonelman perusteella smulotu äähdytys, tabuhaku a eneettnen alortm tuntusvat kohtuullsest parantavan kohdefunkton arvoa alkuarvaukseen ta alotuspopulaaton parhaaseen ratkasuun nähden. Kohdefunkton kehtys on heurstslle menetelmlle tyypllseen tapaan vomakkanta optmonnn alussa, mnkä älkeen kohdefunkton arvo tasaantuu ollekn tasolle. FEM-analyysen määrä nousee västämättä melko suureks kaklla kolmella menetelmällä. LÄHTEET [1] Aarts E., Lenstra J. K. (Ed.) Local Search n Combnatoral Optmzaton. John Wley & Sons. [2] Arora J. S Methods for dscrete varable structural optmzaton. In: Burns S. A. (Ed.) Recent Advances n Optmal Structural Desn. ASCE. [3] Balln R. J Optmal steel frame desn by smulated annealn. Journal of Structural Enneern 117, [4] Bauer J., Gutkowsk W Dscrete structural optmzaton: A revew. In: Olhoff N., Rozvany G. I. N. (Ed.) Proceedns of the Frst World Conress of Structural and Multdscplnary Optmzaton. Peramon. [5] Bland J. A Dscrete-varable optmal structural desn usn tabu search. Structural Optmzaton 10, [6] Botello S., Marroqun J. L., Onate E., van Horebeek J Solvn structural optmzaton problems wth enetc alorthms and smulated annealn. Internatonal Journal for Numercal Methods n Enneern 45, [7] Huan M. W., Arora J. S Optmal desn wth dscrete varables: Some numercal eperments. Internatonal Journal for Numercal Methods n Enneern 40, [8] Manoharan S., Shanmuanathan S A comparson of search mechancs for structural optmzaton. Computers&Structures 73, [9] Pezeshk S., Camp C. V State of the art on the use of enetc alorthms n desn of steel structures. In: Burns S. A. (Ed.) Recent Advances n Optmal 25

13 Structural Desn. ASCE. [10] Rautaruukk Metform Rautaruukn putkpalkkkäskra. Hämeenlnna. [11] Reeves C. R. (Ed.) Modern Heurstc Technques for Combnatoral Problems. London. McGraw-Hll book company. [12] Thaneder P. B., Vanderplaats G. N Survey of dscrete varable optmzaton for structural desn. Journal of Structural Enneern, Vol. 121, No 2, [13] Tmoshenko S. P., Gere J. M Mechancs of Materals. Boston. PWS Publshn Company. Juss Jalkanen, tutka Tampereen teknllnen ylopsto Teknllsen mekankan a optmonnn latos PL Tampere uss.alkanen@tut.f 26