Kuntoilijan juoksumalli

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kuntoilijan juoksumalli"

Transkriptio

1 Rakenteden Mekankka Vol. 42, Nro 2, 2009, s Kuntoljan juoksumall Matt A Ranta ja Lala Hosa Tvstelmä. Urhelututkmuksen melenknnon kohteena ovat yleensä huppu-urheljat. Tuokon yksnkertastettu juoksumall soveltuu kutenkn myös satunnasen kuntoljan tulosten tarkasteluun. Avansanat: juoksumall, energatasapano, pka- ja kestävyysjuoksun raja sekä aerobnen vauht Juoksun mallntamnen Fl.tr Reno Tuokko esttää krjassaan [1] koulufyskkaan perustuvan näppärän malln Juoksun dynamkka. Tuokon mall ssältää kaks fysologsta parametra: k on aerobnen parametr el hengtyslman hapen avulla kehtetty teho ja parametr A ovat hapettomast el anaerobsest kehtetty energan vakoerä. Tuokon krjan [1] jälkeen prof. Keller julkas kaks ansokasta artkkela [2] ja []. Hän käytt lmanvastukselle nopeuteen verrannollsta laka ja lasketut juoksut oletettn suortetun suoralla radalla (lman kaarteta). Kellern optmjuoksun peraatteet: ensn nopea khdytys, stten tasanen matkavauht ja lopussa hdastusvahe el energan loppumnen ovat veläkn ylesest hyväksytyt. TKK:n Mekankan latokselle muotoutunut tutkjaryhmä ([4], [5] ja [6]) ott käyttöön nelöllsen lmanvastuslan sekä mallns myös kaarrejuoksun. Mallt ([2] [6]) ssältävät neljä parametra. Mallen [2] [6] soveltamnen on melko työlästä ja vaat runsaast dataa. Tuokon kaksparametrnen mall tarkastelee peraatteessa van juoksun tasasta keskosuutta, mssä s = vt. Tuokon mall on sks epätarkka juoksun alkuvaheessa. Tutkmuksessa selvtettn, kunka Tuokon mall sop tavallsen kuntoljan satunnasten juoksutulosten tarkasteluun. Tuokon mall Juoksun dynamkka Tuokko esttää krjassaan ([1] s. 9-16) päättelyyn perustuvan johdon tasasen vauhdn energayhtälölle. Samaan kaavaan päädytään, jos lähdetään massaykskköä kohden määrtellystä perusyhtälöstä ([7] s. ja 4). 61

2 Lkeyhtälö tyynessä lmassa alkuehtoneen on dv ( ), kv T f v dt + = = Lähteden [4] ja [7] mukaan kokonasvastuskerron muodostuu jalkojen rotaatovastuksesta k R m ja juoksjan lmanvastuksesta ja k D 0.00m el kt = kr + kd m < m. Eteenpän vevä voma on f < f max 8.46 Nkg Energayhtälö alku- ja rajotusehtoneen on de = σ fv, e( 0) e0 e( t) 0 dt -1 Aerobnen kerron on σ Wkg ja anaerobsen energavaraston et () alkuehto on e Jkg. Elmnomalla voma f saadaan tehoyhtälö ( ) -1 Koska matkavauht on vako v Sevennetään tämä velä muotoon d dt 1 ( ) v + e = σ k v 2 2 T = s t, saadaan tehoyhtälöstä ntegromalla 2 () 0 = σ T σ T et e t ktv t kt s T ( ) σ e e t t + t = s k k 0 2 T Paras loppuaka saadaan, jos kakk anaerobnen energa on käytetty maallnjaa yltettäessä el et () = 0. Kun otetaan käyttöön merknnät k = σ kt ja A= e0 kt, saadaan Tuokon peruskaava ([1] s. 16) 2 kt + At = s (1) Tämän kaavan kertomen dmensot käyvät lm yllä olevasta johdosta. Käytetään laskussa SI-mttajärjestelmää. Sovtus penmmän nelösumman menetelmällä Ajatellaan, että testjuoksussa on saatu joukko aka-matka-pareja ( t, s ) täysn toteuta kaavaa (1) vaan syntyy vrhetä Muodostetaan Gaussn vrhefunkto 2. Nämä evät ε = kt + At s (2) 2 e = ε () 62

3 Sllä on mnm, kun seuraavat osttasdervaatat hävävät Nämä johtavat yhtälöryhmään ( ) 1 e ε = 2 ε εt = kt + At s t = 0 2 k k ( ) 1 e ε = ε εt = kt + At s t = 0 2 A A (4) = 0 (5) k t A t s t = 0 (6) k t A t s t Merktään yhtälöryhmän kerrondetermnantt sekä determnantt D 6 5 t 5 4 t t D = t 5 st t st t =, D 6 t st t st = Yhtälöryhmästä (5) ja (6) seuraa kaavan (1) kertomlle ratkasut (7) (8) k = D1 D, (9) A= D2 D (10) Yhtälöt (5) ja (6) votasn ratkasta myös valmsohjelmlla kuten Mathematan Solveohjelmalla. Teoran tarkastelu Lähteen [1] s mukaan, jos hengtyksen kautta saatu energa kt tulee yhtä suureks kun perusenergan vakoerä A, on saavutettu raja, jossa anaerobnen pkajuoksu ja aerobnen kestävyysjuoksu kohtaavat tosensa. Tämä raja on lähdöstä sekuntena jollon juostu matka s ja rajavauht v ovat t = A k = D D (11) 2 1 s = t k (12) 2 6

4 v = k 2 (1) Kaavasta (1) seuraa matkan lauseke ajan funktona Vauht ajan funktona, kun t > 0, on Ak = 1+ = 1+ (14) t s t k t k t t s v= = k 1 + t / t (15) t Kun aka kasvaa suureks t, lähestyy vauht (15) aerobsta raja-arvoa v s t k aer = lm = (16) t Tettyä matkaa s vastaava juoksuaka t johtaa kaavasta (14) ratkastuna suhteen τ = tt = s t v, kolmannen asteen polynomn, kun on merktty ( ) aer 2 τ + τ = 0 (17) Sen ratkasu saadaan Cardanon kaavojen avulla. Merktään p = 1 ja q= Tarkasteltavaan tapaukseen sopva ratkasu on ([8] s kaavat 7 17) 2 2 τ = q 2 + q 4 + p 27 + q 2 q 4 + p 27 1 (18) Jos τ >> 1, saadaan sarjakehtelmän avulla lkkaava Merktään laskettuja akoja T T( s ) =. t s v t (19) aer 1 Sovellutus Tutkmuksen satunnanen kuntourhelja on v syntynyt nanen. Hän juoks erptusa matkoja Otanemen urhelukentällä lman varsnasta alkuverryttelyä tselleen sopvantuntusella vauhdlla. Juoksuaka otettn sekuntkellolla ta rannekellolla. Nasten Kympllä juosten ja välllä kävellen saatu 10 km:n aka on lkmääränen. Tulokset ovat taulukossa 1. Nästä tulokssta määrtettn Gaussn penmmän nelösumman menetelmällä vakot k ja A. Näden avulla votn stten määrttää anaerobsen ja aerobsen juoksun raja. Samon votn määrttää ns. aerobnen vauht, jota juoksja pdemmllä matkolla kykenee teorassa ylläptämään. Tuokon teora ja juoksjan omat kokemukset juoksusta sopvat hyvn yhteen. Juoksja on saavuttanut seuraavat tulokset er matkolla ( s, t ) ; matka metrenä ja aka sekuntena. Lsäks on sovtuksen jälkeen laskettu aka T 64

5 Taulukko 1. Juostut matka-aka-part (, ) s t sekä kaavasta (18) laskettu aka T s[m] t[s] T [s] Kun on laskettu determnantt (7) ja (8), saadaan kaavasta (9) aerobnen kerron ja kaavasta (10) perusenerga Kaavasta (16) saadaan aerobnen vauht - k = m s -2 A = m s vaer = k = 2.19 ms 2.2 ms -1-1 Kaavosta (11) ja (12) seuraa anaerobsen ja aerobsen juoksun raja t = A k = 86.28s Vauht on tällön kaavasta (1) s A k k = = m 28m v = 2 v = 2.76 ms 2.8ms aer -1-1 Juoksja kerto, että eräässä ennätysyrtyksessä hänelle tul juoksussa tällä vauhdlla vakeuksa juur 240 m kohdalla ja hän keskeytt juoksun. Syynä ol, että vauht ol ollut aerobseen vauhtn nähden 0,6 m/s lan kova. Prretään puollogartmnen aka-matka kuvaaja jollon saadaan sen lyhyt anaerobnen alku eroon aerobsesta jälkosasta. Kuvasta 2 nähdään mten juoksuvauht vähenee s, t käyrälle (14) matkan pdentyessä Kuten kuvasta nähdään osuvat psteet ( ) 65

6 s/m t/s Kuva 1. Juoksjan puollogartmnen aka-matka kuvaaja v m s s/m Kuva 2. Juoksjan matka-vauht kuvaaja Sovtuksen tarkkuus Vrhefunkton () kuvaaja osottautuu olevan kaukalomanen pnta, jonka ptken reunojen jyrkkyyttä määrttää parametr k, kun taas parametr A määrttää kaukalon pohjan käyryyden ptuussuunnassa. Nän ollen [12] parametr k vahtelee heman mutta parametr A vo vahdella huomattavastkn. Esmerkks Mathematan FndMnmum antaa k = 10.48m s ja A = m s ja NonlnearFt antaa k = 10.1m s ja -2 A = m s Lasketaan ajan vrheden nelöllnen keskarvo el RMS-arvo, joka on hajonnan mtta n= RMS = ( t T) = 21.6s 22s (20) n 1 Koska alussa estetty sovtusmenetelmä antaa parhaan RMS-arvon, e muta menetelmä kästellä tässä enempää. = 1 66

7 Koska vrheet johtuvat yleensä monsta tekjöstä, vodaan nden olettaa noudattavan Gaussn kellokäyrää. Se antaa todennäkösyyden p, että juostu aka pokkeaa lasketusta määrän vako kertaa RMS ([9] s ). t T RMS = x, jollon todennäkösyydellä p on vomassa Merktään ( ) + r 1 x { } 2 2 P r < x<+ r = e dx=φ( r, + r) = p 2π (21) Juostu tulos t eroaa lasketusta T todennäkösyydellä p vähemmän kun ± rrms el r T rrms < t < T + rrms (22) 1 Suureen r ratkasemsta varten tarvtaan kääntestä vrhefunktota ( p) Φ = r. Sen arvo saadaan joko taulukosta ([9] s ) ta Mathematan InverseErf[p]-funktolla. Laskutulokset 95 %: n todennäkösyydelle ovat ( ) 1 r p InverseErf p =Φ = 0.95 = 2 [ = 0.95] = 1.96 rrms = s 4s (2) Yksnkertanen sovtus E käytetä Gaussn penmmän nelösumman menetelmää vaan lasketaan vakot k ja A esm. matkojen 100m ja 4000m arvosta, jotka ovat krttsen psteen molemmn puoln. Verrataan saatuja arvoja penmmän nelösumman menetelmän avulla saatuhn arvohn. Ensn saadaan parametrt k = m s < m s ja A = m s > m s. Lasketaan näden perusteella stten muut suureet. Aerobnen vauht on vaer = k = 2.17 ms 2.2 ms 2.2 ms ja krttset arvot aka, matka ja vauht ovat t = A k = 16.56s >86.28s s A k k = 2 = 7.1m 7m >28m v = = < 2 2.7ms ms ms -1 k sekä vmeks sovtuksen tarkkuus 67

8 n= RMS = ( t T) = 20.7s 20s < 22s (24) n 1 = 1 Nähdään, että aerobnen parametr k e paljonkaan muuttunut, josta syystä aerobnen vauht v aer ja krttnen vauht v pysyvät lkman ennallaan. Anaerobsen parametrn A kasvamsen myötä krttnen aka t ja matka s kasvovat huomattavast. Sovtuksen tarkkuuden RMS-arvo penen yllättäen kahdella sekunnlla, mkä on käytännössä merktyksetöntä. Tärkentä on todeta, että parametrt k ja A saatn määrtetyks melko yksnkertasest kahdesta juoksutuloksesta. Parametren k ja A muuttumsen el harjottelun vakutus Oletetaan, että juoksja ols harjotuksella lsännyt parametren k ja A arvoja el suhteellnen muutos ols ollut dk k = ε k ja da A = ε A. Mten vodaan arvoda juoksutuloksen parantumnen? Ensnnäkn parametren arvon muuttumnen vakuttaa krttseen psteeseen el suuresn t, s, v ja v aer ; kaavat (11), (12), (1) ja (16). Kaava (11) korvautuu nyt kaavalla t A 1+ ε A A = = f k 1+ ε k ( ε, ε ) A k k (25) josta näkyy myös parametren uudet lausekkeet A( + ε ) ja k ( ε ) 1 A 1+ k. Peraatteessa votasn kaavojen (17) ja (18) avulla tutka mten juoksuajat muuttuvat uuden t :n myötä. Helpommn saadaan lkmääränen vastaus seuraavast. Ptämällä matkaa s vakona ja dfferentomalla lauseke (1) vodaan johtaa kaava dt tt 1 dt k dt A = εk + εa t t t + 2 t t + 2 t t (26) Tämän kaavan avulla on mahdollsta arvoda, mten juoksutulos muuttus parametren muuttuessa. Seuraavassa taulukossa nähdään mten parametrt ja krttnen pste muuttuvat kaavan (26) mukaan ja taulukossa 4 nähdään juoksuakojen muutokset. Oletetaan esmerkks, että ε A = 0.0 ta 0.2 ja ε k = 0.0 ta 0.1. Olkoon tapaus a: ε A = 0.2 ja ε k = 0.1 f (0.2,0.1) = 1.09, tapaus b: ε A = 0.2 ja ε k = 0.0 f (0.2,0.0) = 1.20 sekä tapaus : ε A = 0.0 ja ε k = 0.1 f (0.0,0.1) = Taulukosta nähdään mten krttnen pste srtyy er tapauksssa. Ero matkossa b ja tapauksen välllä on vähän päälle 60m. 68

9 Taulukko. Testjuoksjan eräden arvojen muuttumnen parametrn k ja A muuttuessa suure tapaus test a b k A v v - m s s m s t [] [ ] [ ] [ ] s aer m m s m s Taulukko 4. Testjuoksjan juoksuakojen parannukset Δ t parametrn k ja A muuttuessa s[m] t[s] a Δt [s] b Δt [s] Δt [s] Kun dt k = dt A nn startsta on juostu akana t = tε A ε k matka s = k t ( ε A εk) 1+ εk εa jollon molemmat ajan parannukset, anaerobnen ja aerobnen ovat yhtä suuret. Sen jälkeen aerobnen domno. Tapauksessa a on tämä aka s ja matka 486.9m. Koska t :t ovat taulukon mukaan er tapauksssa er suuret, e superpononta voda käyttää. Kuten taulukosta 4 nähdään, on Δ t <Δ t +Δ t a b. Testjuoksjan sekä SE että ME ennätysten vertalu Lähteestä [10] saadaan Suomen Veteraanurheljalton (SVU) ennätykset sarjassa yl 65 vuotta. Lähteestä [11] saadaan IAAF:n vomassa olevat nasten ja mesten juoksun maalmanennätykset. Ennätykset olvat vomassa henäkuulla Lsäks lasketaan mhn päädytään Tuokon krjan [1] antamen k ja A arvojen perusteella. 69

10 Taulukko 5. Testjuoksjan, suomalasten 65v nasten ja mesten sekä nasten ja mesten maalmanennätysten vertalu ja Tuokon arvot Testjuoksja SVUN65 SVUM65 IAAFN IAAFM Tuokko - k m s A m s t [] s s [ m] v ms v aer ms RMS s kpl [] Vakka ennätykset [10] ja [11] ovat er henklöden tekemät, suortetaan nden perusteella kutenkn samat laskutomtukset kun testjuoksjalle. Keskeset tulokset näkyvät taulukossa 5. Ensmmäsessä pystysarakkeessa on testjuoksjan saavuttamat arvot. Tosessa ja kolmannessa pystysarakkeessa ovat suomalasten nasten ja mesten sarjassa 65 vuotta ennätyksstä lasketut arvot. Neljännessä ja vdennessä pystysarakkeessa ovat IAAF:n nasten ja mesten maalmanennätyksstä lasketut arvot. Kuudennessa pystysarakkeessa on Tuokon krjassaan ([1] s. 1) arvomat k ja A arvot sekä nstä lasketut muut arvot. Almmalla vaakarvllä nähdään sovtuksen tarkkuus: RMS-luku sekä kunka monesta juoksutuloksesta se on laskettu. Seuraavsta kuvsta ja 4 näkyy vertalussa ero selväst. Vasemmalta okealle: ensn IAAF:n ME-mesten ja -nasten käyrät, stten tulevat SVU 65v mesten ja nasten ennätyksstä lasketut käyrät ja lopuks tekstjuoksjan juoksemat tulokset näkyvät enten okealla olevalla käyrällä. s m t s Kuva. IAAF:n ennätysmesten ja -nasten ja SVU:n 65v ennätysmesten ja nasten sekä testjuoksjan aka-matka käyrät 70

11 v m s s m Kuva 4. IAAF:n ennätysmesten ja -nasten ja SVU:n 65v ennätysmesten ja nasten sekä testjuoksjan matka-vauht käyrät s m t s Kuva 5. SVU:n 65v ennätysnasten ja testjuoksjan puollogartmnen aka-matka kuvaaja Käyrän kulmakerron kertoo juoksuvauhdn, joka paranee okealta vasemmalle mentäessä. Kuva 4 kertoo mten juoksuvauht hpuu matkan pdentyessä maalmanennätysjuoksjolla sekä suomalaslla 65v ennätysjuoksjolla että testjuoksjalla. Kannattaa mustaa, että kuvan 4 käyrät ovat alkupäässään väärstynetä. Kakk saavuttavat lähes aerobsen vauhdn non 4000m jälkeen. Kuvan 5 puollogartmsssa aka-matka käyrssä nähdään SVU:n 65v ennätysnasten ja testjuoksjan ero. Kuten taulukosta 5 näkyy, tarkkuus on IAAF:n mesten ennätyksssä ja SVU:n 65v nasten ennätyksssä samaa suuruusluokkaa. Testjuoksjan sovtuksen tarkkuus ol RMS 22s. Ennätysmesten ja nasten sovtuksen tarkkuuden hyvä arvo johtunee stä, että ennätysjuoksjat muodostavat varsn homogeensen joukon. 71

12 Vauhdn hpumnen maratonmatkolla Taulukossa 5 lasketut arvot pohjautuvat radalla juostuhn tuloksn. Sekä puolmaraton että kokomaraton juostaan maastossa, joten maaston laatu vakuttaa hdastavast vauhtn. Lsäks tulee tankkaamsesta ynnä musta häröstä lsää hdastusta. Taulukon 5 kahden ensmmäsen vaakarvn k ja A arvoja käyttäen vodaan laskea puol- ja kokomaratonlle teoreettnen aka-arvo. Vertaamalla ntä lähtestä [10] ja [11] saatavn todellsn ennätyksn saadaan prosentuaalset hdastumset. Ne näkyvät seuraavassa taulukossa 6. Taulukosta näkyy että ME-juoksjolla meno puolmaratonlta kokomaratonlle aheuttaa naslla van yhden %-ykskön kun taas mehllä 5%-ykskön lsähpuman. MEnaset kestävät ptkään tasasta kovaa vauhta. Suomalaslla veteraanjuoksjolla puolmaratonlla hpumnen on n. 2% mutta kokomaratonlla jo selväst suuremp varsnkn naslla. Taulukko 6. Nas- ja mesjuoksjoden juoksuakojen suhteellnen hdastumnen taulukon 5 arvohn nähden maraton matkolla Matka [ km] SVUN65 SVUM65 IAAFN IAAFM % 1.6% 4.4%.4% % 6.0% 5.4% 8.4% Tulevasuuden ennustus Juoksja on päättänyt osallstua puolmaratonlle. Kaava (18) antaa ennustetun juoksuajan ja kaava (2) vahteluväln. Estmotu aka on h m s T = s ± 4s = ± 4 s (27) Ennuste on aka tukka ja juoksjan kuntoon nähden nopen teoreettnen aka. Juoksjalla tuskn on mahdollsuuksa alttaa tätä akaa. Koska harjotellutkn kuntolja yltää tavallsest van non puoleen huppujen vauhdsta, on todennäköstä, että juoksjan hpumsaste puolmaratonlla on samaa suuruusluokkaa kun SVUN65 juoksjan kokomaratonlla el non 10 %. Tämä huomoon ottaen juoksjan akaennuste on h m s h T = s = s = (28) Tämän perusteella non kolmen tunnn juoksuaka lenee mahdollnen. 72

13 Lähteestä [1] käy lm, että juoksja saavutt puolmaratonlla 21.1 km ajan h m s t = 25926, joka on juur laskelmen perusteella arvodun (28) suurunen el non kolme tunta. Juostu aka ol 12.0 % suuremp kun kaavan (27) laskettu aka. Juoksjan hpumsaste ol ss 12.0 %. Yhteenveto Tuokon mall Juoksun dynamkka sop oken hyvn testjuoksjan tulosten analysontn, sllä hän juoksee usen tasasella vauhdlla, jonka hän sovttaa aotun matkan ptuuteen. Pkajuoksun ja kestävyysjuoksun välllä oleva krttnen raja näytt tulevan myös testjuoksussa hyvn eslle sekä teorassa että käytännössä. Tämä johtu stä, että testjuoksussa puuttu varsnanen khdytysvahe nn kun Tuokon mallstakn. Jopa kahdesta testjuoksusta lasketut arvot antovat hyvän sovtuksen. Pdemmllä testmatkolla mahdollnen ns. aerobnen el hengtettyyn happeen perustuva vauht tul myöskn laskusta selväst lm. Teora e ennusta kunka ptkän matkan juoksja kykenee juoksemaan tällä tasapanovauhdlla. Luultavast maratoonareden käyttämä tankkaus matkan varrella tuls matkan pdentyessä ennen ptkää tarpeellseks. Tuokon mallssa suhde rajavauht/aerobnen vauht on v v aer = Se e vo olla juoksjosta rppumaton luonnon vako. Tuokon mall tom parhaten krttstä matkaa pdemmllä matkolla. Se e lankaan ennusta juoksjan maksmvauhta. Mutta mussa mallessa ([4] [7]) maalmanennätyksstä laskettuna suhde maksmvauht/aerobnen vauht, on VU= Tämä sama suhteen arvo ol testjuoksjallakn el v100m vaer 1.74 Ennätysjuoksjoden tulokssta lasketut arvot taulukossa 5 antavat eräänlasen ryhmäkeskarvon, joka e välttämättä päde yksttäseen ennätysjuoksjaan vakka sovtuksen tarkkuuden RMS-arvot olsvat hyvät. Vtteet [1] Reno Tuokko, Urhelja luonnonlaken kahlessa, WSOY, Porvoo-Helsnk, 1965, s. 1-6 ja [2] Keller, J.B., A Theory of Compettve Runnng. Physs Today 26 (197) 9, s [] Keller, J.B., Optmal Veloty n Rae. Ameran Mathematal Monthly 51 (1974) 5, s [4] Holmlund, U., von Hertzen, R. ja Ranta, M.A., Eräs pkajuoksun matemaattnen mall. Arkhmedes /96, s [5] Holmlund, U., von Hertzen, R., Models of Sprntng based on Newton's seond Law of Moton and ther Comparson, Journal of Strutural Mehans, Vol. 0, 1997, No 2. s [6] von Hertzen, R., Holmlund, U., Rahkanen, A. and Ranta, M. A., On the mathematal theory of ompettve runnng, Transworld Researh Network. Bomehans, 1(200), Kerala, Inda. [7] Ranta, M. A., Optmaalnen klpajuoksu, Rakenteden Mekankka, Vol 6, 200, Nro 1. s

14 [8] Myrberg, P. J., Dfferentaal- ja ntegraallaskennan oppkrja, Otava, Helsnk, 1952, s [9] Juva, Y., Todennäkösyyslaskennan alketa, Krjayhtymä, Suomalasen Krjallsuuden Krjapano Oy, Helsnk, 1966, s [10] Suomen Veteraanurhelultto, [11] Maalmanennätysjuoksut, IAAF Internatonal Assoaton of Athlets Federaton, [12] Holmlund, U., Ykstyset keskustelut ja sähköpostn vahto, 2008 [1] Espoon Rantamaraton km naset 60v (juoksjan klpalunumero 144) Matt A Ranta TKK, Matematkan ja systeemanalyysn latos PL 100, 02015TKK s-post: Lala Hosa Nallenpolku 2 C Espoo s-post: 74

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO

FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron

Lisätiedot

Sähköstaattinen energia

Sähköstaattinen energia ähköstaattnen enega Potentaalenegan a potentaaln suhde on samanlanen kun Coulomn voman a sähkökentän suhde: ähkökenttä vakuttaa vaattuun kappaleeseen nn, että se kokee Coulomn voman, mutta sähkökenttä

Lisätiedot

Jaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen

Jaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen Tosakajärjestelmät Luento : Resurssen hallnta ja prorteett Tna Nklander Jaetut resursst Useat tapahtumat jakavat ohjelma-/lattesto-olota, jossa kesknänen possulkemnen on välttämätöntä. Ratkasuja: Ajonakanen

Lisätiedot

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset

Jaksolliset ja toistuvat suoritukset Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e

Lisätiedot

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.

Esitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos. Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu /9. Ampltudmodulaato (AM) Spektranalysaattorlla mtattn 50 ohmn järjestelmässä ampltudmodulaattorn (AM) lähtöä, jollon havattn 3 mpulssa spektrssä taajuukslla

Lisätiedot

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-

Lisätiedot

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä

Painotetun metriikan ja NBI menetelmä Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka

Lisätiedot

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT

COULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks

Lisätiedot

Kuluttajahintojen muutokset

Kuluttajahintojen muutokset Kuluttajahntojen muutokset Samu Kurr, ekonomst, rahapoltkka- ja tutkmusosasto Tutkmuksen tausta ja tavotteet Tavaroden ja palveluden hnnat evät muutu jatkuvast, vaan ovat ana jossan määrn jäykkä lyhyellä

Lisätiedot

4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman

4. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman 4. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7..008 Thomas Hackman 4. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 4. Tähtteteellsten

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä. MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt

Lisätiedot

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi

3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi 3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa

Lisätiedot

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut

Mat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss

Lisätiedot

3.5 Generoivat funktiot ja momentit

3.5 Generoivat funktiot ja momentit 3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä

Lisätiedot

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä

1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10

Lisätiedot

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt

Työn tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt FYSP103 / 1 KAASUTUTKIUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttausöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-

Lisätiedot

Tchebycheff-menetelmä ja STEM

Tchebycheff-menetelmä ja STEM Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot

Lisätiedot

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely)

Epälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely) Epälneaarsten penmmän nelösumman tehtäven ratkasemnen numeerslla optmontmenetelmllä valmn työn esttely Lar Pelkola 9.9.014 Ohjaaja/valvoja: Prof. Harr Ehtamo yön saa tallentaa ja julkstaa Aalto-ylopston

Lisätiedot

Puupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:

Puupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö: Puupntasen sandwchkattoelementn lujuuslaskelmat. Ssältö: Sandwch kattoelementn rakenne ja omnasuudet Laatan laskennan kulku Tulosten vertalua FEM-malln ja analyyttsen malln välllä. Elementn rakenne Puupntasa

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät

Luento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu

Lisätiedot

3. Datan käsittely lyhyt katsaus

3. Datan käsittely lyhyt katsaus 3. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento..0 Thomas Hackman HTTPK I, kevät 0, luento 3 3. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus

Lisätiedot

Hallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä 2005-9-14 Palautuspäivä 2005-9-28

Hallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä 2005-9-14 Palautuspäivä 2005-9-28 Jyväskylän Aattkorkeakoulu, IT-nsttuutt IIF00 Sovellettu fyskka, Syksy 005, 4.5 ETS Opettaja Pas epo alln lö Laatja - Pas Vähäartt Vuoskurss - IST4SE Tekopävä 005-9-4 Palautuspävä 005-9-8 8.9.005 /7 LABOATOIOTYÖ

Lisätiedot

AquaPro 3-10 11-18 19-26 27-34. Bedienungsanleitung Operating instructions Gebruiksaanwijzing Käyttöohje FIN. 046.01.00 Rev.0607

AquaPro 3-10 11-18 19-26 27-34. Bedienungsanleitung Operating instructions Gebruiksaanwijzing Käyttöohje FIN. 046.01.00 Rev.0607 046.01.00 Rev.0607 D GB NL FIN Bedenungsanletung Operatng nstructons Gebruksaanwjzng Käyttöohje 3-10 11-18 19-26 27-34 120 Automaattnen pyörvä laser kallstustomnnolla: Itsetasaus vaakasuorassa tasossa

Lisätiedot

. g = 0,42g. Moolimassat ovat vastaavasti N 2 :lle 28, 02g/ mol ja typpiatomille puolet tästä 14, 01g/ mol.

. g = 0,42g. Moolimassat ovat vastaavasti N 2 :lle 28, 02g/ mol ja typpiatomille puolet tästä 14, 01g/ mol. LH-1 Kaasusälö ssältää 1, g typpeä 1800 K lämpötlassa Sälön tlavuus on 5,0 l Laske pane sälössä ottamalla huomoon, että tässä lämpötlassa 30 % typpmolekyylestä, on hajonnut atomeks Sovella Daltonn laka

Lisätiedot

5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman

5. Datan käsittely lyhyt katsaus. Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I, luento Thomas Hackman 5. Datan kästtel lht katsaus Havatsevan tähtteteen peruskurss I, luento 7.4.006 Thomas Hackman 5. Datan kästtel Ssältö Tähtteteellsten havantojen vrheet Korrelaato Funkton sovtus Akasarja-anals 5. Tähtteteellsten

Lisätiedot

Mittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?

Mittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio? Mttausteknkan perusteet / luento 7 Mttausepävarmuus Mttausepävarmuus Mttaustulos e ole koskaan täysn oken Mttaustulos on arvo mtattavasta arvosta Mttaustuloksen ja mtattavan arvon ero on mttausvrhe Mkäl

Lisätiedot

Kanoniset muunnokset

Kanoniset muunnokset Kanonset muunnokset Koordnaatstomuunnokset Lagrangen formalsmssa pstemuunnoksa: Q = Q (q, t) nopeudet saadaan nästä dervomalla Kanonnen formalsm: p:t ja q:t samanarvosa 2n-ulottesen faasavaruuden muuttuja

Lisätiedot

Tarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi

Tarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät

Lisätiedot

Mittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa

Mittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa Mttausteknkan perusteet / luento 6 Mttausepävarmuus ja shen lttyvää termnologaa Mttausepävarmuus = mttaustulokseen lttyvä parametr, joka kuvaa mttaussuureen arvojen odotettua vahtelua Mttauksn lttyvä kästtetä

Lisätiedot

Monte Carlo -menetelmä

Monte Carlo -menetelmä Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla

Lisätiedot

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4

Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4 TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekankan jatkokurss Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalamp LUENTO 2 Alkuverryttelyä Vääntömomentt Oletus: Vomat tasossa, joka on kohtsuorassa pyörmsaksela vastaan. Oven kääntämseen tarvtaan er suurunen voma

Lisätiedot

Työssä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa

Työssä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE (7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 38E. MEKAANISEN VÄRÄHELYN UKIMINEN. yön tavote 2. eoraa yössä tutustutaan harmonsen mekaansen värähdyslkkeen omnasuuksn seuraavssa tapauksssa:

Lisätiedot

Tilastollisen fysiikan luennot

Tilastollisen fysiikan luennot Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta

Lisätiedot

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit

13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit 68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta

Lisätiedot

Mittaustulosten käsittely

Mittaustulosten käsittely Mttaustulosten kästtely Vrhettä ja epävarmuutta lmasevat kästteet Tostokoe ja satunnasten vrheden tlastollnen kästtely. Mttaustulosten jakaumaa kuvaavat tunnusluvut. Normaaljakauma 7. Tostokoe ja suurmman

Lisätiedot

Timo Tarvainen PUROSEDIMENTIIANALYYSIEN HAVAINNOLLISTAMINEN GEOSTATISTIIKAN KEINOIN. Outokumpu Oy Atk-osasto

Timo Tarvainen PUROSEDIMENTIIANALYYSIEN HAVAINNOLLISTAMINEN GEOSTATISTIIKAN KEINOIN. Outokumpu Oy Atk-osasto Tmo Tarvanen PUROSEDMENTANALYYSEN HAVANNOLLSTAMNEN GEOSTATSTKAN KENON Outokumpu Oy Atk-osasto PUROSEDMENTTANALYYSEN HAVANNOLLSTAMNEN GEOSTATSSTKAN KENON 1. Johdanto Nn sanotulla SKALAn alueella (karttaleht

Lisätiedot

OPTIMAALINEN KILPAJUOKSU

OPTIMAALINEN KILPAJUOKSU OPTIMAALINEN KILPAJUOKSU Matti A Ranta Rakenteiden Mekaniikka, Vol. 36 Nro 1, 003, s. -37 Tiivistelmä: Artikkelissa esitetään yksinkertainen energian tuoton malli ja sovelletaan sitä neliöllisen vastuslain

Lisätiedot

11. Vektorifunktion derivaatta. Ketjusääntö

11. Vektorifunktion derivaatta. Ketjusääntö 7 Vektorfunkton dervaatta Ketjusääntö Täydennämme ja kertaamme seuraavassa dfferentaallaskennan teoraa kursslta Laaja matematkka Palautetaan meln dervaatan määrtelmä reaalfunktolle: Funkton f : R R dervaatta

Lisätiedot

ER-kaaviot. Ohjelmien analysointi. Tilakaaviot. UML-kaaviot (luokkakaavio) Tietohakemisto. UML-kaaviot (sekvenssikaavio) Kirjasto

ER-kaaviot. Ohjelmien analysointi. Tilakaaviot. UML-kaaviot (luokkakaavio) Tietohakemisto. UML-kaaviot (sekvenssikaavio) Kirjasto Ohelmen analsont Ohelmen kuvaamnen kaavolla ohelmen mmärtämnen kaavoden avulla kaavoden tuottamnen ohelmasta Erlasa kaavotppeä: ER-kaavot, tlakaavot, UML-kaavot tetohakemsto vuokaavot (tarkemmn) Vuoanals

Lisätiedot

6. Stokastiset prosessit (2)

6. Stokastiset prosessit (2) Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella

Lisätiedot

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä

Tavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste

Lisätiedot

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.

1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0. BM20A5800 - Funktot, lneaaralgebra, vektort Tentt, 26.0.206. (a) Krjota yhtälöryhmä x + 2x 3 = a 2x + x 2 + 5x 3 = b x x 2 + x 3 = c matrsmuodossa Ax = b ja ratkase x snä erkostapauksessa kun b = 0. Mllä

Lisätiedot

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24

TKK @ Ilkka Mellin (2008) 1/24 Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B Mat-.60 Sovellettu todeäkösyyslasketa B / Ratkasut Aheet: Mtta-astekot Havatoaesto kuvaame ja otostuusluvut Avasaat: Artmeette keskarvo, Frekvess, Frekvessjakauma,

Lisätiedot

3D-mallintaminen konvergenttikuvilta

3D-mallintaminen konvergenttikuvilta Maa-57.270, Fotogammetan, kuvatulknnan ja kaukokatotuksen semnaa 3D-mallntamnen konvegenttkuvlta nna Evng, 58394J 2005 1 Ssällysluettelo Ssällysluettelo...2 1. Johdanto...3 2. Elasa tapoja kuvata kohdetta...3

Lisätiedot

KOKONAISRATKAISUT YHDESTÄ PAIKASTA

KOKONAISRATKAISUT YHDESTÄ PAIKASTA KOKONAISRATKAISUT YHDESTÄ PAIKASTA Monpuolset järjestelmät varastontn ja tuotantoon TUOTELUETTELO 2009 Kappale D Varasto- ja hyllystövältasot vältasot optmaalsta tlankäyttöä varten SSI SCHÄFER: n varasto-

Lisätiedot

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto

Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto Kynä-paper -harjotukset Tana Lehtnen 8.8.07 Tana I Lehtnen Helsngn ylopsto Etelä-Suomen ja Lapn lään, 400 opettajaa a. Perusjoukon (populaaton) muodostvat kakk Etelä-Suomen ja Lapn läänn peruskoulun opettajat

Lisätiedot

Maanhintojen vikasietoisesta mallintamisesta

Maanhintojen vikasietoisesta mallintamisesta Maanmttaus 8:-2 (2006) 5 Maanmttaus 8:-2 (2006) Saapunut 0.8.2005 ja tarkstettuna.4.2006 Hyväksytty 30.6.2006 Maanhntojen vkasetosesta mallntamsesta Marko Hannonen Teknllnen korkeakoulu, Kntestöopn laboratoro

Lisätiedot

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ

d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä

Lisätiedot

Asennus- ja käyttöohjeet. Videoterminaali 2600..

Asennus- ja käyttöohjeet. Videoterminaali 2600.. Asennus- ja käyttöohjeet Vdeotermnaal 2600.. Ssällysluettelo Latekuvaus...3 Asennus...4 Lassuojuksen rrottamnen...5 Käyttö...5 Normaal puhekäyttö...6 Kutsun vastaanotto... 6 Puheen suunnan ohjaus... 7

Lisätiedot

Karttaprojektion vaikutus alueittaisten geometristen tunnuslukujen määritykseen: Mikko Hämäläinen 50823V Maa-123.530 Kartografian erikoistyö

Karttaprojektion vaikutus alueittaisten geometristen tunnuslukujen määritykseen: Mikko Hämäläinen 50823V Maa-123.530 Kartografian erikoistyö Karttaprojekton vakutus aluettasten geometrsten tunnuslukujen määrtykseen: Mkko Hämälänen 50823V Maa-23.530 Kartografan erkostyö SISÄLLYSLUETTELO JOHDANTO... 4. TUTKIMUKSEN LÄHTÖKOHTA... 4.2 RAPORTISTA...

Lisätiedot

Aamukatsaus 13.02.2002

Aamukatsaus 13.02.2002 Indekst & korot New Yorkn päätöskursst, euroa Muutos-% Päätös Muutos-% Helsnk New York (NY/Hel) Dow Jones 9863.7-0.21% Noka 26.21 26.05-0.6% S&P 500 1107.5-0.40% Sonera 5.05 4.99-1.1% Nasdaq 1834.2-0.67%

Lisätiedot

Harjoitukset (KOMPRIMOINTI)

Harjoitukset (KOMPRIMOINTI) Kmrmntharjtuksa (7) Harjtukset (KOMPRIMOINI) Kmressreja käytetään esmerkks seuraavssa svelluksssa: kaasujen srt, neumaattnen kuljetus anelmahult rsesstellsuudessa kaasureaktden, kaasujen nesteyttämsen

Lisätiedot

Geneettiset algoritmit ja luonnossa tapahtuva mikroevoluutio

Geneettiset algoritmit ja luonnossa tapahtuva mikroevoluutio Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyöt Geneettset algortmt ja luonnossa tapahtuva mkroevoluuto 11.5.2005 Teknllnen korkeakoulu Systeemanalyysn laboratoro Oll Stenlund 47068f 1 Johdanto 3 2 Geneettset

Lisätiedot

Raja-arvot. Osittaisderivaatat.

Raja-arvot. Osittaisderivaatat. 1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat

Lisätiedot

Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit

Yksikköoperaatiot ja teolliset prosessit Ykskköoperaatot ja teollset prosesst 1 Ylestä... 2 2 Faasen välnen tasapano... 3 2.1 Neste/höyry-tasapano... 4 2.1.1 Puhtaan komponentn höyrynpane... 4 2.1.2 Ideaalnen seos... 5 2.1.3 Epädeaalnen nestefaas...

Lisätiedot

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään

Turingin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään 4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa

Lisätiedot

Paikkatietotyökalut Suomenlahden merenkulun riskiarvioinnissa

Paikkatietotyökalut Suomenlahden merenkulun riskiarvioinnissa Teknllnen korkeakoulu Lavalaboratoro Helsnk Unversty of Technology Shp Laboratory Espoo 2007 M-300 Tomm Arola Pakkatetotyökalut Suomenlahden merenkulun rskarvonnssa TEKNILLINEN KORKEAKOULU HELSINKI UNIVERSITY

Lisätiedot

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on

Testaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä

Lisätiedot

Paperikoneiden tuotannonohjauksen optimointi ja tuotefokusointi

Paperikoneiden tuotannonohjauksen optimointi ja tuotefokusointi TEKNILLINEN KORKEAKOULU Teknllsen fyskan koulutusohjelma ERIKOISTYÖ MAT-2.108 Sovelletun matematkan erkostyöt 22.4.2003 Paperkoneden tuotannonohjauksen optmont ja tuotefokusont Jyrk Maaranen 38012p 1 Ssällysluettelo

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot

Lisätiedot

Reaaliarvoinen funktio f : on differentioituva pisteessä x, jos f:lle on siinä voimassa kehitelmä. h h. eli. Silloin

Reaaliarvoinen funktio f : on differentioituva pisteessä x, jos f:lle on siinä voimassa kehitelmä. h h. eli. Silloin MAT-3440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tampereen teknllnen ylopsto Rsto Slvennonen Kevät 00 4. Vektorfunkton dervaatta. Ketjusääntö.. Reaalarvosen funkton dervaatta Tässä luvussa estetään dervaattakäste ensn reaalarvoselle

Lisätiedot

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)

Markov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut) J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät

Lisätiedot

4. A priori menetelmät

4. A priori menetelmät 4. A pror menetelmät 4. Arvofunkto-menetelmä 4.2 Lekskografnen järjestämnen 4.3 Tavoteohjelmont Tom Bäckström Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 4. Arvofunkto-menetelmä Päätöksentekjä antaa eksplsttsen

Lisätiedot

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010

TIES592 Monitavoiteoptimointi ja teollisten prosessien hallinta. Yliassistentti Jussi Hakanen syksy 2010 TIES592 Montavoteoptmont ja teollsten prosessen hallnta Ylassstentt Juss Hakanen juss.hakanen@jyu.f syksy 2010 Interaktvset menetelmät Idea: päätöksentekjää hyödynnetään aktvsest ratkasuprosessn akana

Lisätiedot

A250A0100 Finanssi-investoinnit Harjoitukset 24.03.15

A250A0100 Finanssi-investoinnit Harjoitukset 24.03.15 A50A000 Fnanss-nvestonnt Hajotukset 4.03.5 ehtävä. akknapotolon keskhajonta on 9 %. Laske alla annettujen osakkeden ja makknapotolon kovaanssen peusteella osakkeden betat. Osake Kovaanss A 40 B 340 C 60

Lisätiedot

r i m i v i = L i = vakio, (2)

r i m i v i = L i = vakio, (2) 4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään

Lisätiedot

Lähtötaso: Et ole harrastanut juoksemista, mutta olet harrastanut liikuntaa muutaman kerran viikossa.

Lähtötaso: Et ole harrastanut juoksemista, mutta olet harrastanut liikuntaa muutaman kerran viikossa. HARJOITUSOHJELMA 1 Et ole harrastanut juoksemista, mutta olet harrastanut liikuntaa muutaman kerran viikossa. Harjoitteet ovat kestoltaan hyvin samanpituisia siihen saakka kunnes pohjakunto on luotu vahvemmaksi

Lisätiedot

MART testi tulokset ja kuvaus. Ari Nummela Kilpa- ja huippu-urheilun tutkimuskeskus - KIHU Kuntotestauspäivät Jyväskylä 20.3.2014

MART testi tulokset ja kuvaus. Ari Nummela Kilpa- ja huippu-urheilun tutkimuskeskus - KIHU Kuntotestauspäivät Jyväskylä 20.3.2014 MART testi tulokset ja kuvaus Ari Nummela Kilpa- ja huippu-urheilun tutkimuskeskus - KIHU Kuntotestauspäivät Jyväskylä 20.3.2014 MART historiaa MART testin kehittäminen alkoi 1987, kun kestävyysvalmentajat

Lisätiedot

TULEVAISUUDEN KILPAILUKYKY VAATII OSAAVAT TEKIJÄNSÄ. Suomen Ammattiin Opiskelevien Liitto - SAKKI ry

TULEVAISUUDEN KILPAILUKYKY VAATII OSAAVAT TEKIJÄNSÄ. Suomen Ammattiin Opiskelevien Liitto - SAKKI ry TULEVAISUUDEN KILPAILUKYKY VAATII OSAAVAT TEKIJÄNSÄ Suomen Ammattn Opskeleven Ltto - SAKKI ry AMMATILLINEN KOULUTUS MUUTOKSEN KOURISSA Suomalasen ammatllsen koulutuksen vahvuus on sen laaja-alasuudessa

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

LIGNIININ RAKENNE JA OMINAISUUDET

LIGNIININ RAKENNE JA OMINAISUUDET 16006 LIGNIININ RAKENNE JA INAISUUDET Hlatomen nmeämnen γ 16006 6 α 1 β 5 3 4 e Lgnnn prekursort (monomeert) Lgnnn bosyntees e e e Peroksdaasn ja vetyperoksdn läsnäollessa prekursorsta muodostuu resonanssstablotu

Lisätiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot

Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava. Kokonaistodennäköisyys ja Bayesin kaava: Esitiedot TKK (c) Ilkka Mell (2004) Kokoastodeäkösyys ja Kokoastodeäkösyys ja : Johdato Kokoastodeäkösyyde ja Bayes kaavoje systeemteoreette tulkta Johdatus todeäkösyyslasketaa Kokoastodeäkösyys ja TKK (c) Ilkka

Lisätiedot

Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot

Ilkka Mellin. Sovellettu todennäköisyyslasku: Kaavat ja taulukot Mat-.09 Sovellettu todeäkösyyslasku Systeemaalyys laboratoro Teklle korkeakoulu SYKSY 00 Ilkka Mell Sovellettu todeäkösyyslasku: Kaavat ja taulukot f XY x X x X y Y ( x, y) exp XY ( XY ) XY XY X X Y Tomttaut

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO JULKISEN JA YKSITYISEN SEKTORIN VÄLISET PALKKAEROT SUOMESSA 2000-LUVULLA

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO JULKISEN JA YKSITYISEN SEKTORIN VÄLISET PALKKAEROT SUOMESSA 2000-LUVULLA JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Talousteteden tedekunta JULKISEN JA YKSITYISEN SEKTORIN VÄLISET PALKKAEROT SUOMESSA 2000-LUVULLA Kansantaloustede, Pro gradu- tutkelma Huhtkuu 2007 Laatja: Terh Maczulskj Ohjaaja:

Lisätiedot

FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA

FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA FDS-OHJELMAN UUSIA OMINAISUUKSIA Smo Hostkka VTT PL 1000, 02044 VTT Tvstelmä Fre Dynamcs Smulator (FDS) ohjelman vdes verso tuo mukanaan joukon muutoksa, jotka vakuttavat ohjelman käyttöön ja käytettävyyteen.

Lisätiedot

OUTOKUMPU OY 0 K MALMINETSINTA. talta.

OUTOKUMPU OY 0 K MALMINETSINTA. talta. 9 OUTOKUMPU OY 0 K MALMNETSNTA Tutkmusalueen sjant Tutkmusalue sjatsee Hyvelässä, n. 6 km:ä Porsta pohjoseen, Vaasa-ten täpuolella. Tarkemp sjant lmenee raportn etulehtenä olevalta :20 000 karw' talta.

Lisätiedot

7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.

7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset. 7. Modult Vektoravaruudet ovat vahdannasa ryhmä, jossa on määrtelty jonkn kunnan skalaartomnta. Hyväksymällä kerronrakenteeks kunnan sjaan rengas saadaan rakenne nmeltä modul. Moduln käste on ss vektoravaruuden

Lisätiedot

Laskennallisen virtausmekaniikan ja lämmönsiirron perusteet Timo Siikonen

Laskennallisen virtausmekaniikan ja lämmönsiirron perusteet Timo Siikonen Laskennallsen vrtausmekankan ja lämmönsrron perusteet Tmo Skonen c 2012 by Aalto Unversty School of Engneerng Department of Appled Mechancs Sähkömehente 4 FIN-00076 Aalto Fnland 1 Ssällys 1 Johdanto 5

Lisätiedot

Painokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät

Painokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät Panokerron-, epslon-rajotusehtoja hybrdmenetelmät Optmontopn semnaar - Kevät 000 / Estelmän ssältö Ylestä jälkkätespreferenssmenetelmstä Panokerronmenetelmä Epslon-rajotusehtomenetelmä Hybrdmenetelmä Esmerkkejä

Lisätiedot

Sähkökiukaan kivimassan vaikutus saunan energiankulutukseen

Sähkökiukaan kivimassan vaikutus saunan energiankulutukseen LAPPEENRANNAN ENILLINEN YLIOPISO eknllnen tedekunta LU Energa Sähkökukaan kvmassan vakutus saunan energankulutukseen Lappeenrannassa 3.6.009 Lass arvonen Lappeenrannan teknllnen ylopsto eknllnen tedekunta

Lisätiedot

BL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka

BL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka BLA6 Sähkönsrtoteknkka Tehonaon laskenta Jarmo Partanen LT Energy Electrcty Energy Envronment Srtoverkkoen laskenta Verkon tehonaon laskemnen srron hävöt ännteolosuhteet ohtoen kuormttumnen verkon käyttäytymnen

Lisätiedot

Sähkön- ja lämmöntuotannon kustannussimulointi ja herkkyysanalyysi

Sähkön- ja lämmöntuotannon kustannussimulointi ja herkkyysanalyysi Sähkön- ja lämmöntuotannon kustannussmulont ja herkkyysanalyys Pekka Nettaanmäk Osmo Schroderus Jyväskylän ylopsto Tetoteknkan latos 2010 1 2 Tvstelmä Raportn tarkotuksena on esttää pelkstetyn matemaattsen

Lisätiedot

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5)

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (5) SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 0..06 (5) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan täydennyskertomen,

Lisätiedot

Taustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon

Taustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon Taustaa Sekventaalnen vakutuskaavo Sekventaalnen päätöskaavo on 1995 ovalun ja Olven esttämä menetelmä päätösongelmen mallntamseen, fomulontn ja atkasemseen. Päätöspuun omnasuukssta Hyvää: Esttää eksplsttsest

Lisätiedot

Säilörehun korjuuajan vaikutus maitotilan talouteen -lyhyen aikavälin näkökulma

Säilörehun korjuuajan vaikutus maitotilan talouteen -lyhyen aikavälin näkökulma Sälörehun korjuuajan vakutus matotlan talouteen -lyhyen akaväln näkökulma Elna Vauhkonen Mastern tutkelma Helsngn Ylopsto Helsnk 13.5.2011 Tedekunta/Osasto Fakultet/Sekton Faculty Latos Insttuton Department

Lisätiedot

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero

Lisätiedot

Sisällysluettelo Laitteen asennus Toiminnot Tekniset tiedot Asetukset Viestikoodit Huolto Takuu Turvallisuusohjeet Toiminnot

Sisällysluettelo Laitteen asennus Toiminnot Tekniset tiedot Asetukset Viestikoodit Huolto Takuu Turvallisuusohjeet Toiminnot DEWALT DW03201 Ssällysluettelo Latteen asennus - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Johdanto- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2 Yleskuva -

Lisätiedot

b g / / / / H G I K J =. S Fysiikka (ES) Tentti

b g / / / / H G I K J =. S Fysiikka (ES) Tentti S4.35 Fyskka (ES) Tntt 4.9. 3 6. Sälö, jonka tlavuus on,5 m, ssältää haa, jonka an on,5 Pa ja lämötla C. (a) Montako moola haa sälössä on? (b) Montako klogrammaa? (c) Mtn an muuttuu, jos lämötla kasvaa

Lisätiedot

Kansainvälisen konsernin verosuunnittelu ja tuloksenjärjestely

Kansainvälisen konsernin verosuunnittelu ja tuloksenjärjestely Kansanvälsen konsernn verosuunnttelu ja tuloksenjärjestely Kansantaloustede Pro gradu -tutkelma Talousteteden latos Tampereen ylopsto Toukokuu 2007 Pekka Kleemola TIIVISTELMÄ Tampereen ylopsto Talousteteden

Lisätiedot

LASITETTUJEN PARVEKKEIDEN ÄÄNENERISTÄVYYDEN SUUNNITTELUOHJE

LASITETTUJEN PARVEKKEIDEN ÄÄNENERISTÄVYYDEN SUUNNITTELUOHJE LASITETTUJEN PARVEKKEIDEN ÄÄNENERISTÄVYYDEN SUUNNITTELUOHJE Vlle Kovalanen 1, Mkko Kyllänen 2, Tmo Huhtala 1 1 A-Insnöört Suunnttelu Oy Satakunnankatu 23 A 33210 Tampere etunm.sukunm@ans.f 2 Tampereen

Lisätiedot

Uuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan

Uuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemanalyysn laboratoro Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Uuden eläkelatoslan vakutus allokaatovalntaan Tmo Salmnen 58100V Espoo, 14. Toukokuuta 2007 Ssällysluettelo Johdanto...

Lisätiedot

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6)

SU/Vakuutusmatemaattinen yksikkö (6) SU/Vakuutusmatemaattnen ykskkö 28.0.206 (6) Rahastoonsrtovelvotteeseen ja perustekorkoon lttyvät laskentakaavat Soveltamnen. Rahastosrtovelvote RSV 2. Täydennyskerron b 6 Nätä laskentakaavoja sovelletaan

Lisätiedot

Rak-54.116 Rakenteiden mekaniikka C, RM C (4 ov) Tentti 30.8.2007

Rak-54.116 Rakenteiden mekaniikka C, RM C (4 ov) Tentti 30.8.2007 Rak-54.116 Rakeneden mekankka, RM (4 ov) Ten.8.7 Krjoa jokaeen koepapern elvä - koko nme, puhuelunm allevvauna - oao, vuokur, enn pävämäärä ekä enävä opnojako koodeneen - opkeljanumero, mukaan luken arkukrjan

Lisätiedot

JOHDANNAISTEN KÄYTTÖ JOUKKOVELKAKIRJALAINASALKUN RISKIENHALLINNASSA: empiirinen tutkimus kotimaisista pitkän koron rahastoista vuosilta 2001 2005.

JOHDANNAISTEN KÄYTTÖ JOUKKOVELKAKIRJALAINASALKUN RISKIENHALLINNASSA: empiirinen tutkimus kotimaisista pitkän koron rahastoista vuosilta 2001 2005. TAMPEREEN YLIOPISTO Talousteteden latos JOHDANNAISTEN KÄYTTÖ JOUKKOVELKAKIRJALAINASALKUN RISKIENHALLINNASSA: emprnen tutkmus kotmassta ptkän koron rahastosta vuoslta 2001 2005. Kansantaloustede Pro gradu

Lisätiedot

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0 1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona

Lisätiedot

Epätäydelliset sopimukset

Epätäydelliset sopimukset Eätäydellset somukset Matt Rantanen 15.4.008 ysteemanalyysn Laboratoro Teknllnen korkeakoulu Estelmä 16 Matt Rantanen Otmonton semnaar - Kevät 008 Estelmän ssältö Eätäydellset somukset ja omstusokeus alanén

Lisätiedot

Radioastronomian käsitteitä

Radioastronomian käsitteitä Radioastronomian käsitteitä allonpituusalue ~ 100 m - 1 mm MHz 300 GHz Leveä aallonpituusalue: erilaisia antenneja, monenlaista tekniikkaa Ei (suoraan) kuvia Signaali yleensä

Lisätiedot

Kollektiivinen korvausvastuu

Kollektiivinen korvausvastuu Kollektvnen korvausvastuu Sar Ropponen 4.9.00 pävtetty 3..03 Ssällysluettelo JOHDANTO... KORVAUSVASTUUSEEN LIITTYVÄT KÄSITTEET VAHINKOVAKUUTUKSESSA... 3. MERKINNÄT... 3. VAHINGON SELVIÄMINEN JA KORVAUSVASTUU...

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot