Lagrangen mekaniikka. Luku Systeemin vapausasteet ja sidokset
|
|
- Kari Manninen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luku 3 Lagrangen mekankka Lähdetään stten opskelemaan abstraktmpaa mutta samalla tehokkaampaa mekankan formalsma, jonka taustalla on kaks suurta matemaatkkoa Joseph- Lous Lagrange ( ) ja Sr Wllam Rowan Hamlton ( ). Emme tee tässä emmekä jatkossakaan mtään, mkä e snänsä ratkeas ratkasemalla Newtonn lkeyhtälö ottaen huomoon kakk tarkasteltavaan systeemn vakuttavat vomat ja sdosehdot. Joskus tällanen te on jopa anoa vahtoehto. Mutta sllon, kun tarkasteltava systeem vodaan pukea Lagrangen formalsmn, hyvnkn monmutkaset ongelmat saattavat ratketa näppäräst. Langrangen ja Hamltonn formalsmella on myös tärkeä osa srryttäessä mekankasta kvanttmekankkaan, samon nstä on suurta hyötyä tarkasteltaessa mona termodynamkan ja statstsen fyskan ongelma. Kuva 3.1. Lagrange (yllä) ja Hamlton. 3.1 Systeemn vapausasteet ja sdokset Yksttäsen massapsteen tla tunnetaan täydellsest ajan hetkellä t, kun tedetään sen pakka ja nopeus. Kolmulottesessa avaruudessa massapsteellä on kolme rppumatonta pakkakoordnaatta ja kolme rppumatonta nopeusvektorn komponentta. Rppumattomen pakkakoordnaatten lukumäärää kutsutaan systeemn vapausasteks. Jos tarkastellaan N:n massapsteen mekaansta systeemä, jonka osaset pystyvät lkkumaan vapaast, on kyseessä 3N vapausasteen systeem. Tällasen systeemn täydellseen kuvaamseen tarvtaan 3N koordnaatta, 3N nopeuskomponentta. Systeemn lkkeen kuvaluun Newtonn mekankassa tarvtaan 3N tosen asteen dfferentaalyhtälöä. Es- 32
2 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 33 merkks tavallsessa tuolssa on non atoma. Jos mkään e rajottas tuoln atomen lkettä, tuoln lketlan tarkastelu ols aka työläs tehtävä. Jos kutenkn tyydytään tarkastelemaan tuola knteänä kappaleena, knteys tuo erttän suuren määrän sdosehtoja. Itse asassa tuoln pakantamseen tarvtaan van 3 koordnaatta (esm. massakeskpsteen pakan lmasemseen) ja lsäks 3 koordnaatta tuoln asennon määrttämseen. Ylesest knteden kappaleden lketlan lmasuun tarvtaan enntään nämä kuus koordnaatta. Jos tuoln oletetaan lsäks sesovan pystyssä lattalla, tämä sdosehto rajaa pos yhden pakkakoordnaatn ja tuoln asento vodaan antaa yhden kulman avulla. El jäljellä on enää kolme vapausastetta. Ensmmäsen luvun lopussa ollut helur ol esmerkk 3-ulottesesta systeemstä, jota rajott tasolke ( 1 vapausaste) ja knteä varren ptuus ( 1 vapausaste), joten lke votn kuvalla täydellsest yhdelle muuttujalle krjotetulla lkeyhtälöllä, kunhan lkkeen alkutla on annettu. Sdosehdot kuvataan Newtonn mekankassa sdosvomen avulla. Esmerkknä olkoon vakka kaltevalla tasolla lukuva palkka. Systeemn vakuttavat vomat ovat gravtaato, joka osottaa suoraan alaspän ja sdosvoma, joka osottaa kohtsuoraan kappaleen lkettä vastaan, estäen stä työntymästä kaltevan tason ssään (prrä kuva). Myös matemaattsen helurn tapauksessa sdosvoma ol kohtsuorassa lkettä vastaan ptäen helurn pään koko ajan samalla etäsyydellä rpustuspsteestä. Tässä lmeneekn tämänkaltasten sdosvomen tärkeä omnasuus: ne evät tee työtä el F (s) dr = 0. (3.1) Tällanen sdosvoma muuttaa ss kappaleen lketlaa sten, ette kappaleen energa stä muutu. On tok olemassa myös työtä tekevä sdoksa, kuten ktkavomat. Ntä täytyy tarkastella kuten mutakn kappaleen kokonasenergaan vakuttava voma. Sdoksa on useta er tyyppejä. Tarkastellaan N:n hukkasen systeemä. Jos systeemn lkettä rajaavat ehdot vodaan krjottaa muodossa f j (r (1), r (2),..., r (N), t) = 0 (3.2) kyseessä ovat holonomset sdokset 1. Knteä kappale on hyvä esmerkk holonomssta sdokssta: kappaleen kahden psteen välnen etäsyys sälyy vakona el (r r j ) 2 c 2 j = 0. Muta sdoksa kutsutaan e-holonomsks. Jos sdosehdossa aka e ole eksplsttsest mukana, on kyseessä skleronomnen sdos, muussa tapauksessa sdos on reonomnen. (HT: Met yksnkertasa esmerkkejä kustakn sdostyypstä!) 1 Kakk yhtälön (3.2) muotoset sdokset evät tarkkaan ottaen ole holonomsa. Esm. f(x, y, z) = z z antaa e-holonomsen sdoksen (mnkä?). Holonomsen sdosehdon täytyy pudottaa systeemn vapausasteden määrää, so. sen avulla täytyy anakn peraatteessa voda elmoda systeemstä jokn koordnaatt krjottamalla se muden avulla.
3 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 34 Ylesest ottaen holonomset sdokset vodaan kästellä kohtuullsen helpost kun taas e-holonomset sdokset ovat yleensä paljon hankalampa. Esmerkkenä tästä käyvät vakka massapsteen lke tasolla (holonomnen, muotoa f = 0) ja lke tason yläpuolella (e-holonomnen, muotoa f 0). 3.2 Ylestetyt koordnaatt Massapstemekankan peruskoordnaatt ovat pakkavektorn kolme koordnaatta, jolla kaklla on ptuuden dmenso (SI-ykskkönä metr). Nden akadervaatat ovat nopeuksa (m/s). Tosaalta olemme jo oppneet, että myös kulma (aste, radaan) on hyvä koordnaatt ja sen muutosnopeudella on puolestaan ykskkönä /s ta rad/s. Lagrangen mekankassa käytetään ylestettyjä koordnaatteja, jotka vovat olla tuttuja pakka- ta kulmamuuttuja, mutta ne saattavat olla myös monmutkasempa fyskaalssta suuresta muodostettuja muuttuja, kunhan ne van ovat keskenään rppumattoma ja kuvalevat systeemä täydellsest 2. Mllasn koordnaattehn joudutaan, rppuu olennasest sdosten luonteesta. Jos mellä on n kappaletta tavallsa koordnaatteja ja k holonomsta sdosta, systeemä kuvaamaan tarvtaan n k kpl ylestettyjä koordnaatteja, jota merktään joukolla {q }. Koordnaatten välset muunnokset, esm. x 1 = x 1 (q 1, q 2,..., q n k, t) x 2 = x 2 (q 1, q 2,..., q n k, t) x 3 = x 3 (q 1, q 2,..., q n k, t). x = x (q 1, q 2,..., q n k, t). x n = x n (q 1, q 2,..., q n k, t) täytyy tuntea ja nden tulee mplsttsest ssältää sdokset. Huomaa, että tässä estyksessä jokasen massapsteen jokasella koordnaatlla on oma yhtälö! Olettaen, että x :t ovat kolmulottesen avaruuden psteden koordnaatteja, n = 3N ja nämä yhtälöt vo ryhmttää N:ks yhtälöks vektorelle r j r j = r j (q 1, q 2,..., q 3N k, t), j = 1,..., N. Mkäl ss systeemn sdosehdot ovat holonomset, tällä reseptllä vodaan välttää tosstaan rppuven koordnaatten esntymnen. Tällä kursslla oletetaan yleensä anakn mplsttsest, että sdokset ovat holonomsa. E-holonomset sdokset ovat paljon hankalampa ekä nden kästtelyyn ole ylestä menetelmää. 2 Koko holonomsuus vodaan tse asassa määrtellä elegantmmn ylestettyjen koordnaatten olemassaolon avulla: mkäl systeemä vodaan kuvata ylestetyllä koordnaatella, () jotka kuvaavat systeemä täydellsest ja () jota vo varoda tosstaan rppumatta systeemn sdosehtoja rkkomatta, systeemä kutsutaan holonomseks.
4 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 35 Esmerkk holonomssta sdokssta Tarkastellaan kahta hukkasta (m 1 ja m 2 ), jotka ovat l:n mttasen jäykän massattoman tangon molemmssa pässä ja tonen hukkassta on rajotettu lkkumaan (x, y)-tasossa ρ-sätesellä ympyrällä. Etstään tälle systeemlle rppumattomat koordnaatt ja koordnaattmuunnokset. Sjotetaan systeemn orgo ympyrän keskpsteeseen el z-aksel kulkee sen kautta. Olkoon ϕ 1 kulma, joka on laskettu x-akselsta ympyrän säteellä, ϕ 2 x-akseln ja tangon xy-tason projekton välnen kulma ja θ 2 z-akseln ja tangon välnen kulma. Molempen massapsteden pakat vodaan kuvata yhteensä kuudella koordnaatlla. Tehtävässä annetut ehdot antavat kutenkn seuraavat holonomset sdosehdot r 2 r 1 l = 0 x 3 = 0 r 1 ρ = 0. Nämä kolme sdosehtoa pudottavat rppumattomen koordnaatten määrän kolmeks, joks vodaan valta kulmat ϕ 1, ϕ 2 ja θ 2, jotka saadaan muunnokslla x 1 = ρ cos ϕ 1 x 2 = ρ sn ϕ 1 x 3 = 0 x 4 = ρ cos ϕ 1 + l sn θ 2 cos ϕ 2 x 5 = ρ sn ϕ 1 + l sn θ 2 sn ϕ 2 x 6 = l cos θ Vrtuaalnen työ Vrtuaalsen työn käste on tärkeä srryttäessä Lagrangen mekankkaan. Krjotetaan edellä olleden muunnoskaavojen avulla x -koordnaatn dfferentaal dx = n k j=1 x dq j + x dt. (3.3) t Vrtuaalsella srroksella δx koordnaatn x suuntaan tarkotetaan nfntesmaalsta, hetkellstä, kuvtteellsta srrosta, joka noudattaa ennalta annettuja sdoksa. Oletetaan sdokset tässä holonomsks. Hetkellsyys merktsee stä, että akadfferentaal vodaan jättää huomotta ja sten vrtuaalnen srros ylestettyjen koordnaatten avulla lausuttuna on δx = n k j=1 x δq j. (3.4)
5 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 36 Jean le Rond d Alembert ( ) läht lkkeelle deasta, että ktkattomsta sdokssta johtuvat vomat evät tee työtä vrtuaalsssa srroksssa el F (s) δr = 0. Krjotetaan Newtonn lkeyhtälö koko systeemn slle komponentlle, jonka suuntaan vrtuaalnen srros on tehty ṗ = F + F (s). (3.5) Kerrotaan yhtälö kaklla kuvtellulla srrokslla ja summataan kakken komponentten yl Kuva 3.2. d Alembert. n =1 (F + F (s) ṗ ) δx = 0. (3.6) Koska d Alembertn oletuksen mukasest sdosvomat evät tee työtä, jää jäljelle n (F ṗ ) δx = 0. (3.7) =1 Tämä lauseke tunnetaan d Alembertn yhtälönä ta peraatteena. Jos systeemssä e ole sdoksa, δx :t ovat rppumattoma ja yhtälö tuottaa Newtonn yhtälöt komponenttmuodossa (ṗ = F ). Jos systeemssä kutenkn on sdoksa, tlanne on hankalamp. Tällön kannattaa srtyä ylestettyhn koordnaattehn, joden δq:t ovat rppumattoma, vakka tse koordnaatten määrttely-yhtälöt ssältävätkn sdokset. Ulkonen voma tekee vrtuaalsessa srroksessa vrtuaalsta työtä δw = = n F δx =1 n k n x ( F )δq j. (3.8) j=1 =1 Määrtellään ylestetty voma, jonka komponentt ovat Q j = n =1 F x, (3.9) jollon vrtuaalnen työ on n k δw = Q j δq j. (3.10) j=1 Ylestetyn voman dmenso e ole välttämättä sama kun tavallsen voman, mutta tulon Q j δq j dmenso on ana työn el energan dmenso, SI-ykskkönä joule. Huom. Edellä luvut ( x / ) muodostavat koordnaattjärjestelmen {x } ja {q j } välsen muunnosmatrsn elementt.
6 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA Lagrangen yhtälöt Lagrangen yhtälöden johtamseks tarkastellaan d Alembertn yhtälössä oleva htaustermejä ṗ ṗ δx = ( j Muokataan sulkulauseketta seuraavast m dẋ dt x = m ẍ x )δq j. (3.11) [ ] d m dt (ẋ x d x ) ẋ. (3.12) dt Päämäärän saavuttamseks tarvtaan kahta aputulosta. Jaetaan lauseke (3.3) ensn dt:llä, jollon saadaan ẋ = n k j=1 x q j + x t ja dervodaan tämän lausekkeen molemmat puolet q j :n suhteen. Nän saadaan ẋ = x (3.13) q j el psteet vo supstaa. (Mustutus: kokonasdffentaaleja (esm. dt, dx, jne.) vo supstaa, mutta osttasdfferentaalelle ( t, x, jne) e nn vo ylesest tehdä.) Toseks apuvälneeks lasketaan akadervaatta d dt ( x ) = n k l=1 = ( l q l ( x ) q l + t ( x ) x q l q l + x t ) = ẋ. (3.14) Näden avulla saadaan lopulta suoralla laskulla tulos (HT) x m ẍ = d dt q j 1 2 m ẋ m ẋ 2. (3.15) Lausekkeeseen on tullut ss kneettsen energan T dervaattoja. Sjotetaan tämä nyt d Alembertn yhtälöön ja todetaan, että yhtälön tulee toteutua kaklla vrtuaalslla srrokslla. Täten on oltava kaklla j = 1,..., n k. d dt ( T q j ) T = Q j (3.16) Huom. Saatu yhtälöryhmä e ole yhtälö lke-energalle T vaan radalle {q j (t)}. Oletetaan stten, että ulkoset vomat ovat konservatvsa Q j = F x = U(q 1, q 2,..., q n k, t), (3.17)
7 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 38 jollon potentaal e rpu nopeudesta el U/ q j = 0. Ottamalla käyttöön Lagrangen funkto L = T U saadaan Lagrangen yhtälöt d dt L L = 0. (3.18) q j Yhtälötä on ss yks jokasta ylestettyä vapausastetta j koht. Nämä yhtälöt ovat vomassa holonomslle systeemelle. Jos sdokset ovat lsäks skleronomset, L e rpu eksplsttsest ajasta. Esm. 1. Hukkasen lkeyhtälö homogeensessa panovomakentässä Normtetaan hukkasen potentaalenerga nollaks (x 1, x 2 )-tasossa, joten U = mgx 3. Kneettnen energa on puolestaan T = m 2 (ẋ2 1 +ẋ2 2 +ẋ2 3 ). Laskemalla Lagrangen funkton L = T U dervaatat, saadaan Lagrangen yhtälöstä mẍ 1 = 0 ; mẍ 2 = 0 ; mẍ 3 = mg. (3.19) Nämä ovat Newtonn mekankasta tutut vnon hettolkkeen yhtälöt. Esm. 2. Matemaattnen helur Lagrangen formalsmssa Tuodaan edellseen esmerkkn mukaan sdosehto, että lke tapahtuu (x 1, x 3 )-tasossa ja srrytään ylestettyhn koordnaattehn (trvaallla) muunnoksella Nyt Lagrangen funkto on muotoa x 1 = q 1 ; x 3 = q 2 ; sdos : x 2 0. (3.20) L = 1 2 m( q2 1 + q 2 2) mgq 2. (3.21) Lsätään velä sdos, että massapsteen etäsyys orgosta on vako l el l 2 = q1 2 + q2 2. Jäljelle jää enää yks rppumaton vapausaste, joks valtaan q 2 -akseln ja massapsteen ja orgon välsen janan välnen kulma θ. Tällön q 1 = l sn θ ; q 2 = l cos θ (3.22) ja Lagrangen funktoks tulee tällä kertaa q 1 = l θ cos θ ; q 2 = l θ sn θ (3.23) L(θ, θ) = 1 2 ml2 θ2 + mgl cos θ. (3.24) Laskemalla jälleen L:n dervaatat Lagrangen funkto antaa tuloksen θ + g l sn θ = 0. (3.25) El on päädytty samaan matemaattsen helurn yhtälöön kun edellsessä luvussa. Tästä eteenpän ratkasu tetenkn etenee kuten aemmn el melvaltaslla kulmlla edessä on ellptsen ntegraaln laskemnen. Penllä kulmlla sn θ θ, joten jonka ratkasuna on tuttu snkäyrä. θ + g l θ = 0, (3.26)
8 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 39 Esm. 3. Lkemäärämomentn sälymnen tasolkkeessä Tarkastellaan massapsteen m lkettä tasossa. Käytetään napakoordnaatteja (r, θ). Muunnoskaavat ovat r ja θ ovat ajan funktota, joten ja kneettseks energaks saadaan x = r cos θ y = r sn θ. ẋ = ṙ cos θ r θ sn θ ẏ = ṙ sn θ + r θ cos θ T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2. Ylestetyn voman komponentt ovat el Q j = F x Q r = F r r = F (re r) = F e r = F r r Q θ = F r θ = F (re θ) = rf θ, josta Q θ on voman F momentt orgon suhteen. (Huom. Tässä e oleteta voman konservatvsuutta.) Sjottamalla nämä yhtälöön ( d T dt q j ) T = Q j saadaan suorlla dervonnella d dt (mr2 θ) = rfθ, (3.27) mkä on tetenkn lkemäärämomentn sälymslak. Esm. 4. Massapste, joka lukuu ptkn tasasest pyörvää lankaa Esmerkknä reonomssta sdosehdosta tarkastellaan massapstettä, joka lukuu keskpakovoman johdosta ptkn tasasella kulmanopeudella ω pyörvää lankaa. Olkoon massapsteen etäsyys pyörmslkkeen keskpsteestä r. Muunnosyhtälöt ovat nyt x = r cos ωt y = r sn ωt. Tässä tlanteessa on van yks vapausaste, joten r rttää anoaks koordnaatks. Lagrangen funkto on L = T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) = 1 2 m(ṙ2 + r 2 ω 2 ). Lagrangen yhtälöstä saadaan stten suoralla laskulla r = rω 2, (3.28) mkä on tetenkn tuttu lauseke keskpakoskhtyvyydelle.
9 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA Nopeudesta rppuvat potentaalt Edellä on oletettu, että potentaal rppuu van koordnaatesta {q}. Tetyssä tapauksssa myös nopeudesta rppuva potentaal vääntyy Lagrangen yhtälön kaltaseen muotoon. Tämä on mahdollsta, jos potentaal U(q, q) on sellanen, että ylestetty voma vodaan krjottaa muotoon Q l = U q l + d dt ( ) U. (3.29) q l Sähkömagneettnen kenttä Tärkeä erkostapaus nopeudesta rppuvsta vomsta on sähkömagneettnen kentän vomavakutuksen magneettkentästä johtuva osa. SM-kenttn tutustutaan lähemmn elektrodynamkan kursslla. Oletetaan tässä yhteydessä kutenkn tetyt perusasat annetuks (Lorentzn voma ja Maxwelln yhtälöt). Varattu hukkanen tuntee sähkö- ja magneettkentten (E ja B) vakutuksen Lorentzn voman vältyksellä F = q(e + v B). (3.30) Voman magneettnen osa rppuu ss nopeudesta ekä stä voda sten lmasta suoraan nopeudesta rppumattoman potentaalfunkton gradenttna. Kakeks onneks SM-kentät totetuttavat Maxwelln yhtälöt, joden avulla päästään muotoa (3.29) olevaan vomaan. Tässä laskussa tarvtaan Maxwelln yhtälöstä Faradayn laka ja magneettkentän lähteettömyyttä E + B t = 0 (3.31) B = 0. (3.32) Jälkmmäsestä seuraa, että on olemassa vektorkenttä A sten, että B = A. Sjottamalla tämä Faradayn lakn saadaan (E + t A) = 0, el on olemassa skalaarkenttä Φ sten, että E + t A = Φ. El sähköja magneettkentät vodaan lmasta näden skalaar- ja vektorpotentaalen avulla (Huom. merkntä t / t.) E = Φ t A (3.33) B = A. (3.34) Lorentzn voma skalaar- ja vektorpotentaalen avulla krjotettuna on ss F = q( Φ t A + v ( A)). (3.35) Käytetään tässä karteessa koordnaatteja ( = x, y, z) ja lasketaan (HT) vmesen termn -komponentt (v ( A)) = (v A) (v )A.
10 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 41 Tosaalta koska A on pakan ja ajan funkto, da dt = A + (v )A. t Yhdstämällä nämä tulokset saadaan Lorentzn voman -komponentlle ( F = q Φ (v A) da ). dt Koska potentaalt Φ ja A tse evät rpu nopeudesta, vodaan krjottaa joten A = v (v A) = [ F = q (Φ v A) + d dt v [(v A) Φ], ] (Φ v A). v El on löydetty potentaal U = q(φ v A), jonka avulla voma vodaan krjottaa muotoon F = U + d ( ) U. (3.36) r dt ṙ Lagrangen funkto on L = 1 2 mṙ2 U (3.37) ja varatun hukkasen lkeyhtälo Lagrangen formalsmssa on d dt L ṙ L r = 0. (3.38) Tässä e ole tseasassa tehty mtään uutta, sllä sjottamalla (3.37) Lagrangen yhtälöön päästään takasn Newtonn lkeyhtälöön, jossa vomana on Lorentzn voma. Koko touhu saattaa aluks tuntua turhalta kkkalulta. Potentaalfunkton U löytymnen on kutenkn ratkasevan tärkeä askel srryttäessä kvanttmekankkaan. Mkäl lkeyhtälöä e votas krjottaa Lagrangen formalsmssa, kvanttmekankka ols velä paljon hksempää työtä kun nyt (jos stä ylpäänsä ols olemassa). Skalaar- ja vektorpotentaalesta on paljon hyötyä myös klasssessa elektrodynamkassa, kuten ED:n kursslla optaan. Ehkäpä tämän harjotelman tärken ant onkn kurkstus fyskan er alojen syvällsempään yhteyteen Ktkavomat Ktkavomat ovat usen verrannollsa kappaleen nopeuteen. Tarkastellaan esmerkkä, jossa ktkavoma vakuttaa x-akseln suuntaan ja on muotoa F (f) x = k x v x. (3.39) Otetaan käyttöön Rayleghn dsspaatofunkto F = 1 (k x vx 2 + k y vy 2 + k z v 2 2 z), (3.40)
11 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 42 mssä ndekso systeemn kappaleet. Selvästkn F (f) x = F v x. (3.41) Lasketaan nyt systeemn tekemä työ ktkaa vastaan dw (f) = F (f) dr = F (f) v dt = (k x v 2 x + k y v 2 y + k z v 2 z)dt. (3.42) Ss 2F on ktkan aheuttama energan dsspaatonopeus (dw/dt) el teho. Ylestetyn voman komponenteks tulee Q j = = F (f) r F ṙ ṙ q j ja Lagrangen yhtälöt saavat muodon d dt = F ṙ r = F q j (3.43) L L + F = 0. (3.44) q j q j Lkeyhtälön määräämseen tarvtaan sten kaks funktota L ja F. 3.6 Hamltonn peraate Hamlton kehtt Langrangen mekankkaa entstä elegantmpaan suuntaan, mssä nk. mnmperaattella on keskenen osa. Ensmmäsenä mnmperaatetta ajattel lmesest Newtonn akalanen ja klpalja Gottfred Wlhelm von Lebntz ( ), mutta varsnasest ensmmäsen mnmperaatteen formulaaton mekankan perustana estt Perre-Lous Moreau de Maupertus ( ). Hän läht (luultavast) lkkeelle Perre de Fermat n ( ) optkan tutkmukssta. Fermat ol nmttän esttänyt optkan peruslan muodossa: Valo kulkee psteden r 0 ja r välsen matkan tetä, jolle ntegraal r r 0 ds/λ saa mnmnsä. Tässä λ on valon aallonptuus. Maupertus muotol mekankkansa perusajatuksen seuraavast: Kakken mahdollsten lkkeden joukosta luonto valtsee sen, joka toteutuu penmmällä vakutuksella. Maupertus n ajattelussa ol sten mukana jonkn verran mystkkaakn. Tässä tulee kutenkn ensmmästä kertaa eteen tärkeä käste vakutus. Vakutus määrtellään klasssessa mekankassa ntegraalna S = r r 0 mv dr. (3.45) Krjotetaan dr = v dt ja huomodaan, että ptkn rataa v dr. Sten S = t t 0 mv 2 dt = t t 0 2T dt. (3.46)
12 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 43 Konservatvselle systeemlle E = T + U on sälyvä suure ja S = t t 0 (T + E U)dt = E (t t 0 ) + t Nyt ntegraaln on lmaantunut Lagrangen funkto. Hamlton käytt äärarvoperaatteensa formulontn Leonhard Eulern ( ) ja Lagrangen kehttämää varaatolaskentaa. Hamltonn peraate vodaan lmasta sanallsest Kakken psteden {q 1 }, {q 2 } välsten mahdollsten ratojen joukosta valkotuu se, jolle Hamltonn vakutusntegraal I = t2 t 1 L({q(t)}, { q(t)}, t)dt t 0 (T U)dt. (3.47) saa äärarvonsa, joko mnmn ta Kuva 3.3. Euler. maksmn. Velä heman termnologasta: vakutus määrtellään perntesest yhtälöllä (3.45). Modernmmassa krjallsuudessa kutenkn Hamltonn vakutusntegraala kutsutaan vakutukseks ta vakutusntegraalks (acton (ntegral)) ja yhtälöllä (3.45) määrteltyä suuretta lyhennetyks vakutukseks (abbrevated acton) Matemaattnen apuneuvo: varaatolaskenta Emme käy tällä kursslla opskelemaan varaatolaskentaa kovn syvällsest, mutta kästellään tässä muutama yksnkertanen ongelma, jotta dea tulee ymmärretyks. Varaatolaskennassa on kysymys jonkn halutun suureen äärarvon antavan funkton etsmsestä, esm. mkä on lyhn te kahden psteen välllä ta mnkä muotonen kahden psteen välllä määrtelty käyrä antaa penmmän pnta-alan pyörähtäessään halutun akseln ympär. Jotta ongelma saatasn matemaattseen muotoon, tarkastellaan funktota f(y, ẏ, x), joka on määrtelty radalla y = y(x) ja pste tarkottaa nyt dervaattaa ẏ = dy/dx. Tehtävänä on etsä rata y(x) sten, että ntegraallla J = x2 x 1 f(y, ẏ, x) dx (3.48) on statonaarnen arvo verrattuna ratohn, jotka pokkeavat nfntesmaalsen verran etstystä radasta.
13 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 44 y ( x 2, y 2 ) Otetaan käyttöön varaatoparametr α ja olkoon η(x) funkto, joka hävää ntegraaln päätepstessä x = x 1 ja x = x 2. Krjotetaan y myös varaatoparametrn α funktona ( x 1, y 1 ) x y(x, α) = y(x, 0) + αη(x), (3.49) jollon J on α:n funkto Kuva 3.4. Radan x2 varont. J(α) = f(y(x, α)), ẏ(x, α), x) dx. (3.50) x 1 Varaatoparametr on ss muuttuja, joka vastaa er rettejä päätepsteestä toseen. Etstty statonaarnen ratkasu on ntegraaln J äärarvo (ekstreemarvo) ( ) dj = 0. (3.51) dα α=0 Lasketaan tämä dervaatta dj x2 ( f dα = y y α + f ) ẏ dx ẏ α = = = x 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 ( f y ( f y ( f y d dx y α + f ẏ y α d dx Dervaatta hävää, kun α = 0, jos x2 ( f y d dx x 1 f ẏ f ẏ 2 ) y dx x α ( ) ) f y ẏ α dx + f ẏ y α ) y dx. (3.52) α ) ( ) y dx = 0. (3.53) α 0 Koska y/ α = η(x), olemme saaneet ehdon muotoon x2 x 1 M(x)η(x) dx = 0. (3.54) Nyt matemaatkot ovat osottaneet nk. varaatolaskennan peruslemman: Jos ylläoleva ehto on vomassa kaklle melvaltaslle kaks kertaa jatkuvast dervotuvlle funktolle η(x), nn M(x) = 0 välllä (x 1, x 2 ). Tämän perusteella J:llä on statonaarnen arvo anoastaan, jos f y d f dx ẏ = 0. (3.55) Tämä on ss samaa muotoa kun tuttu Lagrangen yhtälö, kun korvataan f L, y q ja x t. Ylläoleva tarkastelu e kerro, onko löydetty statonaarnen arvo mnm va maksm. Fyskaalsssa tlantessa se selvää yleensä ongelmanasettelusta. Luennolla tarkastellaan lähemmn seuraava klasssa esmerkkejä varaatolaskennan soveltamsesta x 2 x 1
14 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 45 Lyhn te kahden psteen välllä tasossa Kaaren ptuuselementt tasossa on ds = dx 2 + dy 2 ja kaaren kokonasptuus saadaan ntegromalla x2 ( ) dy 2 I = 1 + dx. dx x 1 Nyt tälle ptäs löytää mnm. Yhtälöön (3.55) sjotettava funkto on ss f = 1 + ẏ 2 ja f y = 0 ; f ẏ = ẏ 1 + ẏ 2. Sjottamalla nämä Eulern yhtälöön saadaan suoravvasella laskulla tetenkn tuttu tulos y = ax + b el suora vva. Integromsvakot a ja b määrätään annettujen kahden psteen mukaan. Etsttävä käyrä, jonka pyörähtämnen tuottaa penmmän pnnan Tämä on heman monmutkasemp ongelma. Tarkastellaan käyrää, joka yhdstää xy-tasossa psteet (x 1, y 1, 0) ja (x 2, y 2, 0). Sen käyräelementt on ds = 1 + ẏ 2 dx, joka pyörähtäessään y-akseln ympär tuottaa nauhan, jonka pnta-ala on Kokonaspnta-alaks tulee da = 2πx ds = 2πx 1 + ẏ 2 dx. A = 2π Nyt Eulern yhtälöön sjotetaan x2 x 1 x 1 + ẏ 2 dx. f = x 1 + ẏ 2 ; f y = 0 ; f ẏ = xẏ 1 + ẏ 2, joten y = a d xẏ dx = ẏ 2 xẏ 1 + ẏ 2 = a ẏ 2 (x 2 a 2 ) = a 2 dy dx = a x 2 a 2 dx x 2 a 2 + b = a cosh 1 x a + b,
15 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 46 jonka kääntämällä ratkasuks tulee ketjukäyrä (engl. caternary curve) x = a cosh y b a mssä käyrän päätepsteet määräävät ntegromsvakot a ja b. Nmtys ketjukäyrä tulee stä, että sama ratkasu löytyy myös ongelmaan, mhn muotoon asettuu päätepstestään rpustettu ketju (ta vakka pyykknaru)., Brachstocrone-ongelma Vuonna 1696 Jean Bernoull keks ratkasun kysymykseen: Mllasta rataa ptkn kappale putoaa psteestä A psteeseen B lyhymmässä ajassa? Hän estt akansa matemaatkolle haasteen ratkasta ongelma ja lupas esttää ratkasun puolen vuoden kuluttua. Tässä ajassa ongelman ratkasvat Lebntz ja Danel Bernoull. Newton kuul ongelmasta vasta vasta myöhemmn, mutta lähett seuraavana pävänä anonyymn ratkasun. Nähtyään ratkasun Bernoulln kerrotaan sanoneen tunnstavansa lejonan kynsstään. Vdes ongelman rppumattomast ratkassut henklö ol l Hosptal. Tässä ongelmassa on mnmotava aka t 12 = 2 1 ds v. Tarkastellaan lkettä xy-tasossa, mssä y-aksel osottaa alaspän ja kappale alkaa pudota tasolta y = 0. Systeemn energa sälyy, joten mgy = 1 2 mv2, mssä m on kappaleen massa ja g vetovoman khtyvyys. Kappaleen nopeus on sten v = 2gy ja mnmotavaks ajaks tulee t 12 = 1 2g ẏ 2 y dx. Laskun ykstyskohdat jääkööt harjotustehtäväks. Ratkasu on x = ay y 2 + a arccos(1 2y/a). 2 Tämä on syklodn kaar, jossa lähtöpste on syklodn kärkpsteessä. Käyrän parametrmuotonen lauseke on yksnkertasemman näkönen (HT) x = 1 (ϕ sn ϕ) 2 y = 1 (1 cos ϕ) Lagrangen yhtälöden johtamnen Hamltonn peraatteesta Palataan stten mekankkaan ja tarkastellaan, kunka Lagrangen yhtälöt seuraavat Hamltonn peraatteesta. Olkoon q(t) systeemn todellnen rata ja q (t) = q(t) + δq(t) nfntesmaalsest varotu rata. Ylestetyt
16 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 47 nopeudet varotuvat määrällä δ q(t) = q (t) q(t). Oletetaan lsäks, että päätepstessä varaatot hävävät (Kuva 3.4). Vakutusntegraaln varaatoks tulee δi = I I = = t2 t 1 t2 t 1 L({q + δq}, { q + δ q}, t) dt j t2 t 1 L({q}, { q}, t)dt ( L δq j + L ) δ q j dt. (3.56) q j Jotta kyseessä ols I:n äärarvo, varaaton δi täytyy hävtä, kun δq j 0 kaklla j. Tämän näkemseks muokataan ntegrandn vmestä tekjää L δ q j = d ( ) ( ) L d L δq j δq j. (3.57) q j dt q j dt q j Koska päätepsteden varaatot ovat nolla, antaa yhtälön okean puolen ensmmänen term ntegrotaessa nollan. Sten varaatontegraal saa muodon t2 δi = δ L({q}, { q}, t) dt = t 1 t2 t 1 j ( L d dt ) L δq j dt. (3.58) q j Koska tämän on hävttävä kaklla varaatolla (kun ne menevät nollaan), jäävät jäljelle juur Lagrangen yhtälöt. ( ) d L L = 0. (3.59) dt q j kaklla j = 1,..., n k. Olemme ss todstaneet, että Lagrangen yhtälöt seuraavat Hamltonn peraatteesta. Hamltonn peraatetta vo sten käyttää mekankan peruspostulaattna. Tästä on suurta hyötyä, kun tavotteena on tehdä mekankan kaltanen kuvalu e-mekaanslta näyttävlle systeemelle kuten kenttäteorossa tapana on. Itse asassa Hamltonn peraate myös seuraa Lagrangen yhtälöstä, joten kyseessä on kaks ekvvalentta tapaa formuloda klassnen mekankka. Emme käy stä tässä kutenkaan todstamaan. 3.7 Sdosvomat Vakkakn d Alembertn peraatteen ja ylestettyjen koordnaatten käyttö lakasee sdosvomat maton alle, nden tuntemnen saattaa olla tärkeää käytännön ongelmssa. Palataan takasn koordnaattehn x. Olvatpa ne rppumattoma ta e, on vomassa t2 t 1 n =1 ( L x d dt L ẋ ) δx dt = 0. (3.60) Oletetaan stten, että systeemn lttyy k kappaletta holonomsa sdoksa f l (x 1,..., x n, t) = 0, l = 1,..., k. (3.61)
17 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 48 Näden varaatolle δf l = n =1 f l x δx = 0, l = 1,..., k. (3.62) Nämä nollat vodaan kertoa funktolla λ l = λ l ({x }) ja lsätä alkuperäseen yhtälöön t2 t 1 n =1 ( L x d dt L ẋ + k l=1 λ l f l x ) δx dt = 0. (3.63) Srrytään stten koordnaatstoon, jossa on n k kappaletta rppumattoma koordnaatteja, jota merktään {y j }. Joukko {y l }, l = n k + 1,..., n, on stten jäljellejääven e-rppumattomen koordnaatten joukko. Funktota λ l kutsutaan Lagrangen kertojks ja ne on valttava sten, että rppuven koordnaatten varaatoden kertomet hävävät. Tällön jää jäljelle yhtälöryhmä d dt ( L ẏ ) L y = k l=1 λ l f l y (3.64) kaklla = 1,..., n. 3 Nämä n yhtälöä yhdessä k:n sdosyhtälön kanssa määräävät sekä koordnaatt {y (t)} (n kpl) että kertomet {λ l } (k kpl). Mstä tässä on kyse, selvää krjottamalla L = T U, jollon d dt ( T ẏ ) T y = U y + k l=1 λ l f l y. (3.65) Ss okean puolen jälkmmäsen termn vo ajatella sdoksn lttyvänä vomana samaan tapaan kun potentaalfunkton gradentt on todellnen voma. Helur tasossa Palataan luvun alussa kästeltyyn matemaattseen tasohelurn. Valtaan koordnaateks helahduskulma θ ja massan m etäsyys rpustuspsteestä, r. Kyseessä ovat ss napakoordnaatt, joden yhteys karteessn koordnaattehn on x = r cos θ ja y = r sn θ, kun x-aksel osottaa orgosta gravtaatokhtyvyyden suuntaan (Kuva 1.3). Ilman sdosehtoja systeemn Lagrangen funktoks tulee L = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) + mgx = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 ) + mgr cos θ Helurn sdosehtohan on napakoordnaatessa yksnkertasest f(r, θ) r l = 0, 3 Huom. Tässä tarkastelussa saavutettn yhtälöden (3.64) vomassaolo tosstaan rppuven koordnaatten tapauksessa valtsemalla Lagrangen kertojen arvot sopvast. Rppumattomen koordnaatten osalta nden vomassaolo seuraa Hamltonn peraatteesta.
18 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 49 jota käytettn akasemmn elmnomaan ongelmasta tonen koordnaatt (r). Käytetään nyt kutenkn Lagrangen kertojamenetelmää. Lasketaan f/ r = 1 ja f/ θ = 0, ja krjotetaan yhtälö (3.64) komponentettan d L L dt θ θ d L dt ṙ L r = λ f θ = 0 = λ f r = λ, mssä ss okealla ovat sdosvoman komponentt, merk. (Q (s) r, Q (s) θ ). Nästä saadaan yhdessä sdosehdon kanssa mr 2 θ + mgr sn θ = 0 m r mr θ 2 mg cos θ = λ r = l, ja käyttämällä vmestä yhtälöä kahdessa muussa, saamme helurn lkeyhtälöks ja sdosvoman suuruudeks θ + (g/l) sn θ = 0 Q (s) r = λ = m(l θ 2 + g cos θ). Tässä Q (s) r on tetyst luvusta 1 tuttu jänntysvoma J. Hukkanen parabolodlla Tarkastellaan parabolodlla lkkuvaan kappaleeseen vakuttava sdosvoma. Parabolod on ss pnta, joka syntyy, kun paraabel pyörähtää symmetra-akselnsa ympär. Parabolodn pnnan yhtälö on z = 1 2 a(x2 + y 2 ), mssä a on vako. Sdosehto on ss f(x, y, z) = 1 2 a(x2 + y 2 ) z = 0. Tarkastellaan tlannetta sylnterkoordnaatessa (r, θ, z): jollon f = 1 2 ar2 z. x = r cos θ y = r sn θ z = z, Koska tarkastellaan pelkästään pnnasta aheutuvaa sdosvomaa, vodaan gravtaatokhtyvyys jättää huomotta g = 0 ja U = 0. Lagrangen funktoks tulee L = T = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 + ż 2 ) ja Lagrangen yhtälöks sdosvomneen d dt T q j T = λ f
19 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 50 mssä koordnaatt {q j } ovat (r, θ, z). Laskemalla dervaatat saadaan lkeyhtälöks m r mr θ 2 = λar m d dt (r2 θ) = 0 m z = λ. Nästä keskmmäsen ntegraal antaa lkemäärämomentn z-komponentn, joka vodaan sjottaa ensmmäseen ja vmesessä yhtälössä vodaan krjottaa z = 1 2 ar2. Kaken kakkaan lkeyhtälöt saadaan muotoon m r l2 z mr 3 = λar m(r 2 θ) = lz maṙ 2 + r r = λ. Kappaleen energaks saadaan E = T = 1 2 m(ṙ2 + r 2 θ2 + ż 2 ) = 1 [ ] 2 m (1 + a 2 r 2 )ṙ 2 + l2 z m 2 r 2 ja Lagrangen kerron λ vodaan krjottaa muotoon λ = a 2E + (a2 l 2 z/m) (1 + a 2 r 2 ) 2. Lenee selvää, että näden kavamnen esn lman Lagrangen mekankan välnetä ols paljon työläämp juttu! Pyykknaru Tärkeä esmerkk Lagrangen kertojen avulla ratkeavasta ongelmasta on selvttää mhn muotoon kahden tukpsteen väln rpustettu köys asettuu. Köyden ptuus on D (sdosehto) ja tukpsteden väl 2a < D. Ongelman ratkasu on ketjukäyrä y ( x ) λ = cosh 1, λ mssä λ on yhtälön ratkasu. ( a D = 2λ snh. λ) Jätetään laskun ykstyskohdat harjotustehtäväks. Todetaan kutenkn, että tämä on ss sama käyrä, joka löydettn edellä varaatolaskennalla, kun etsttn mnmaalsen pyörähdyspnnan tuottavaa käyrää. Nällä kahdella ongelmalla on ss jokn yhteys ja sen metskely on hyvä harjotusta fyskaalsen ntuton kehttämsessä.
20 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA Kanonset mpulsst Aluks heman kelenkäytöstä. Tällä kursslla olemme käyttäneet termejä lkemäärä ja lkemäärämomentt vastaamaan englannn kelen termejä momentum ja angular momentum. Term mpulssmomentt on kutenkn yhä laajalt käytössä lkemäärämomentn synonyymnä. Hamltonn mekankassa lkemäärää vastaa käste canoncal momentum, joka ols johdonmukasnta kääntää kanonnen lkemäärä, mutta me pokkeamme tässä johdonmukasuudesta ja käytämme tradtonaalsempaa termä kanonnen mpulss. Kanonset mpulsst määrtellään kaavalla p = L q. (3.66) Lagrangen yhtälöden akadervaattaterm on nyt tetenkn ṗ, joten ṗ L q = 0. (3.67) Massapste konservatvsessa vomakentässä Käytetään karteessa koordnaatteja el L = m 2 (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) U(x, y, z). Tästä näemme suoraan, että karteessa koordnaatteja vastaavat kanonsen mpulssn koordnaatt ovat tavallsen lkemäärän komponentt (p x, p y, p z ). Jos taas tarkastellaan lkettä keskespotentaalssa käyttäen pallokoordnaatteja lkkeen ratatasossa L = m 2 (ṙ2 + r 2 ϕ 2 ) U(r), kanonsen mpulssn komponenteks tulee p r = mṙ p ϕ = mr 2 ϕ el kulmakoordnaatta vastaava kanonsen mpulssn komponentt on lkemäärämomentt sen akseln ympär, jota kulma kertää. Kanonnen mpulss sähkömagneettsessa kentässä Krjotetaan seuraavaks Lagrangen funkto sähkömagneettsessa kentässä komponenttmuodossa L = m 2 (ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 ) + q(ẋa x + ẏa y + ża z ) qφ. Kanonsen mpulssn x-komponentks tulee p x = L ẋ = mẋ + qa x (3.68)
21 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 52 ja samon mulle komponentelle. Ss SM-kentässä lkemäärä on p = mv + qa. (3.69) Tämä on ernomasen tärkeä tulos, sllä hukkasen mekaansen lkemäärän lsäks SM-kentällä tsellään on lkemäärää. Elektrodynamkan kursslla nähdään, että Newtonn lat varaukslle pelkknä massapstenä evät päde vaan myös kentän lkemäärä ptää ottaa huomoon. 3.9 Syklset koordnaatt ja sälymslat Jos Lagrangen funkto e rpu ylestetystä koordnaatsta q j el L/ = 0, kutsutaan ko. koordnaatta syklseks. Lagrangen yhtälöstä jää tällön jäljelle ( ) d L = 0 (3.70) dt q j el p j on lkevako. Ss jokasta syklstä koordnaatta vastaa sälyvä kanonsen mpulssn komponentt. Tässä on kyse ylesestä fyskan peraatteesta: Jos systeem on nvarantt jossakn muunnoksessa (translaato, kerto, jne.), muunnokseen lttyy jokn sälymslak. Velä ylesemmn asa vodaan lmasta sanomalla, että jokasta symmetraa vastaa sälymslak. Tämä peraate ulottuu myös sellasn kysymyksn kuten baryonluvun ta outouden sälymnen alkeshukkasfyskassa. Yksnkertasn esmerkk on vapaan hukkasen (L = (1/2)mv 2 ) translaatonvaranss el vapaalle hukkaselle pakka on syklnen koordnaatt: L/ x = 0, jollon 0 = d L = d dt ẋ dt (mẋ ), joten lkemäärä on lkevako. Tarkastellaan tosena esmerkknä hukkasta keskespotentaalssa ja pallokoordnaatessa L = m 2 (ṙ2 + r 2 θ2 + r 2 sn 2 θ ϕ 2 ) U(r). L e rpu kulmasta ϕ vaan anoastaan sen dervaatosta. Nnpä kulmaa vastaava kanonsen mpulssn komponentt p ϕ = L ϕ = mr2 sn 2 θ ϕ on lkevako. Jos valtaan ratataso kuten aemmn (θ = π/2), nähdään, että lkemäärämomentn z-komponentt p ϕ = mr 2 ϕ on lkevako. El jälleen on päädytty lkemäärämomentn sälymslakn. (Huom. p ϕ on ss todella lkemäärämomentn z-komponentt, vakka alandeksnä onkn ϕ.)
22 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 53 Tarkastellaan lopuks tärkeää erkostapausta, jossa Lagrangen funkto e rpu eksplsttest ajasta. Lasketaan ensn kokonasakadervaatta dl dt = j L q j + j L q j + L q j t. (3.71) Nyt ss L/ t = 0. Käyttämällä Lagrangen yhtälötä saadaan dl = ( ) d L q j + L q j dt dt q j j q j j = ( ) d L q j, (3.72) dt q j j josta seuraa d dt j L q j q j L = 0. (3.73) Sulkulauseketta merktään H:lla ja kutsutaan Hamltonn funktoks. Se on sälyvä suure ja konservatvsessa potentaalssa U lkkuvalle hukkaselle H = T + U = E. (3.74) H kuvaa ss hukkasen kokonasenergaa, mkä sälyy ajasta rppumattomassa konservatvsessa systeemssä. Newtonn ja Langrangen yhtälöden lsäks on olemassa velä kolmas tapa esttää mekaansen systeemn lkeyhtälöt. Se perustuu edellä johdetun Hamltonn funkton käyttöön ja shen palataan kurssn loppupuolella *Hyödyllsä apuvälnetä *Mekaannen smlarteett On selvää, että jos Lagrangen funkto kerrotaan melvaltasella vakolla, lopputuloksena ovat samat lkeyhtälöt. Tämä ansosta vodaan monmutkastenkn systeemen lkkeestä saada hyödyllstä tetoa lman, että lkeyhtälötä varsnasest tarvtsee ntegroda. Oletetaan, että Lagrangen funkto on muotoa L = T U ja että U on krjotettavssa karteessten koordnaatten k:nnen asteen homogeensena funktona el U(ax 1, ax 2,..., ax n ) = a k U(x 1, x 2,..., x n ), (3.75) mssä a on mkä tahansa vako. Skaalataan pakkakoordnaatt tekjällä a ja aka tekjällä b x x = ax ; t t = bt. Tällön nopeudet muuntutvat kertomella a/b, lke-energa kertomella a 2 /b 2 ja kuten yllä oletettn potentaalenerga kertomella a k. Vaadtaan lsäks, ette suhde T/U muutu. Tällön a 2 /b 2 = a k el b = a 1 k/2 ja koko Lagrangen funkto tulee kerrotuks tekjällä a k.
23 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 54 Jos nyt ollaan tekemässä jonknlasta penosmallkoetta el 0 < a < 1, nn ajat ja pakat muunnetaan lausekkella el ajat skaalautuvat kuten l = al t = bt = a 1 k/2 t t t = ) 1 k/2 ( l l ja nopeudet kuten ṽ v = ) k/2 ( l. l Se, mtä tällasella kokeella vme kädessä etstään, on potentaala U vastaaven vomen vakutus systeemn. Esm. 1. Potentaal Cx 2 Tämä on harmonnen lneaarnen oskllaattor, johon tutustutaan lähemmn seuraavassa luvussa. Koska k = 2 sadaan tulos t/t = ( l/l) 0 = 1, mkä vodaan tulkta sten, että oskllaattorn värähdysaka e rpu ampltudsta. Tosaalta energalle Ẽ/E = a k = a 2 = ( l/l) 2 el värähteljän energa on verrannollnen ampltudn nelöön. Esm. 2. Potentaal Cr 1 Tämä kuvaa on tetenkn Newtonn panovomalan potentaala. Nyt skaalaus antaa t t = ) 3/2 ( l el l ) 2 ( t = t ) 3 ( l, l mkä on tetenkn Keplern kolmas lak, kun ajat tulktaan kertoakona ja etäsyydet soakselen puolkkana. Tämä on hyvä esmerkk tuloksesta, joka löytyy Lagrangen mekankassa paljon penemmällä vavalla kun Newtonn mekankassa (vrt. luku 2). Esm. 3. putoamnen homogeensessa gravtaatokentässä Nyt F = mg el U x, joten k = 1. Tällön t/t = l/l el vapaassa pudotuksessa putoamsaka on verrannollnen alkuperäskorkeuden nelöjuureen.
24 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA *Dmensonanalyysstä Kakssa ylläolevssa esmerkessä on ss löydetty fyskaalsten suureden rppuvuus tosstaan. Menetelmää vodaan soveltaa myös tosn pän. Jos vodaan jotenkn päätellä selvtettävänä olevan suureen rppuvuus fyskaalssta perussuuresta, nn jäljelle jää van kokeellsest määrättävssä ta jotenkn muuten tedossa oleva oleva skaalausparametr a. Tätä menetelmää kutsutaan dmensoanalyysks. Vakkakaan dmensoanalyys e ole mkään ylespätevä takasauva, se on joskus hämmästyttävän tehokas työkalu. Ydnräjähdyksen energa Esmerkk, jossa G. I. Taylor päättel flmltä ydnräjäytyksessä vapautuneen energan määrän, on ertysen kuulusa. Taylor läht oletuksesta, että ydnräjähteen tulpallon säde r rppuu räjähdyksen energasta E, lman theydestä ρ ja ajasta t muodossa r E ρ r = CE a t b ρ c Kuva 3.5. Ydnräjähdys. mssä C on dmensoton vako. Nyt yhtälön okealla puolella olevat eksponentt täytyy valta sten, että koko lausekkeen fyskaalnen dmenso on ptuuden dmenso (el SI-ykskössä metr). Merktään perussuureden dmensota seuraavast: ptuus [l] = L, aka [t] = T ja massa [m] = M. Tällön energan dmenso on [E] = ML2 T 2 ja theyden dmenso on [ρ] = M L 3, joten säteen lausekkeen dmensot ovat [r] = C [E] a [t] b [ρ] c L = C M a L 2a T 2a T b M c L 3c Tämä on mahdollsta van jos a, b ja c toteuttavat yhtälöryhmän a + c = 0 b 2a = 0 2a 3c = 1 el c = 1/5, a = 1/5 ja b = 2/5 ja sten säde määräytyy kaavalla r = CE 1/5 t 2/5 ρ 1/5.
25 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 56 Nän on päästy tulokseen, jossa tarvttaan velä C:n määrttämnen joko mttauksella ta jollan muulla tedolla. Taylor päättel shokkaaltoteoran perusteella, että C 1. Tulpallon säde ol 15 ms kuluttua räjäytyksestä 300 m ja lman theys on non 1.3 kgm 3. Ratkasemalle energan ja sjottamalla nämä lukuarvot saadaan tulos Tulos osottautu okeaks! E = ρ t 2 ( r C ) J. Räjähdyksen vomakkuutta vo olla melenkntosta verrata esm. Lovsan ykkösreaktorn vuostuotantoon. Reaktorn teho on 440 MW ja se tom non 300 vuorokautta vuodessa. Tämä antaa energan tuotoks non J. Ss samaa suuruusluokkaa kun Taylorn analysoma ydnpommn räjähdys. Sntavas Ehkä velä hämmästyttävämp saavutus ol Raylegh n vuonna 1871 esttämä seltys slle, mks tavas on snnen. Tavaalta tuleva valo sroaa lman molekyylestä. Merktään Aurngosta tulevan valoaallon ampltuda E ja molekyyln srottaman valon ampltuda E s = αe. Raylegh päättel aaltolkeopn osaamsensa perusteella, että verrannollsuuskerron α on puolestaan verannollnen molekyyln tlavuuteen V = (4π/3)a 3, mssä a on molekyyln säde. Koska ampltud on puolestaan valon ntensteetn I nelöjuur, se penenee etäsyyden funktona kuten 1/r 2 = 1/r. Lsäks sronnut ntensteett I s vo rppua aallonptuudesta, joten mssä I E 2 Nnpä I s = CI a 6 r 2 λb, on tulevan valon ntensteett ja C dmensoton vako. [I s ] = [I ] [a]6 [r] 2 [λ]b, joten [a] 6 [λ] b /[r] 2 = L 4+b on dmensoton, joka toteutuu, kun b = 4 el I λ 4. Johtopäätöksenä ss on, että näkyvän valon lyhytaaltosemp pää el snnen vär on sronneessa valossa valltseva. Iltaruskon punerrus taas johtuu stä, että lyhytaaltosemp valo sroaa ympärnsä ja tavaanrannalta slmn tulee suhteellsest enemmän vähemmän sronnutta ptkäaaltosta valoa. Fyskaalnen ongelma e ole sunkaan ana ratkastavssa yksnkertasella dmensoanalyysllä ja joka kerta se vaat enemmän ta vähemmän fyskaalsta ntutota. Ensmmänen tehtävä on osata tunnstaa ongelmaan vakuttavat suureet. Vakka tavotteena e olskaan ongelman lopullnen ratkasemnen dmensoanalyysllä, on usen hyödyllstä mettä,
26 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 57 mtkä fyskaalset suureet ovat ongelman kannalta relevantteja ja mtkä vodaan jättää huomotta. Prmtvsmmässä muodossaan dmensoanalyys on saadun lausekkeen yksköden tarkastamsta, mkä sekn monest kertoo, onko jokn mennyt matkan akana vkaan. Suuren kvanttfyskan kehttäjän P. A. M. Dracn kerrotaan todenneen, että hän katsoo ymmärtävänsä fyskaalsen yhtälön, jos hän pystyy sen perusteella päättelemään ratkasun perusomnasuudet lman, että hänen tarvtsee varsnasest ratkasta yhtälöä. Tässä smlaarsuusja dmensoanalyyttset tarkastelut ovat suureks avuks *Vraalteoreema Olkoon f muuttujen {x } k:nnen asteen homogeennen funkto. Tällön on vomassa Eulern teoreema Funkton f(t) akakeskarvo määrtellään kaavalla 1 f = lm τ τ f x x = kf. (3.76) τ 0 f(t) dt. (3.77) Jos f(t) on rajotetun funkton F (t) kokonasakadervaatta, nn sen keskarvo on nolla: 1 f = lm τ τ τ 0 df dt F (τ) F (0) dt = lm = 0. (3.78) τ τ Tarkastellaan stten skleronomsta (ss ajasta rppumattomatonta) systeemä, jonka lke on rajotettu ( < q <, kaklla ). Nyt kneettnen energa T on nopeuksen { q } nelöllnen (k = 2) funkto. Joten Eulern teoreeman mukaan T q q = 2T. (3.79) Oletetaan, että U e rpu nopeukssta ja on k:nnen asteen homogeennen funkto. Nyt T/ q = p, joten 2T = ( ) (p q ) = d p q q ṗ. (3.80) dt Ottamalla tästä akakeskarvo saadaan 2 T = q ṗ = U q q = kū. (3.81) Tätä tulosta kutsutaan Clausuksen vraalteoreemaks.
27 LUKU 3. LAGRANGEN MEKANIIKKA 58 Harmonnen voma Nyt k = 2, joten T = Ū. Harmonsen värähteljän energa jakautuu keskmäärn tasan kneettsen ja potentaalenergan kesken. Keplern lke Tässä tapauksessa k = 1, joten 2 T = Ū. Nyt kokonasenerga on E = T. Koska kneettnen energa on ana postvnen, rajotetussa Keplern lkkeessä E < 0, mkä on tok tuttu tulos tämäkn. Tämä tulos e tetenkään päde paraabel- (E = 0) ta hyperbelradalle (E > 0). Tällön lke e ole rajotettu ja stten vraalteoreeman oletukset evät ole vomassa.
d L q i = V = mc 2 q i 1 γ = = p i. = V = γm q i + QA i. ṗ i + Q A i + Q da i t + j + V + Q φ
TTKK/Fyskan latos FYS-1640 Klassnen mekankka syksy 2009 Laskuharjotus 5, 16102009 1 Ertysessä suhteellsuusteorassa Lagrangen funkto vodaan krjottaa muodossa v L = m 2 u t 1! ṙ 2 V (r) Osota, että tämä
LisätiedotKanoniset muunnokset
Kanonset muunnokset Koordnaatstomuunnokset Lagrangen formalsmssa pstemuunnoksa: Q = Q (q, t) nopeudet saadaan nästä dervomalla Kanonnen formalsm: p:t ja q:t samanarvosa 2n-ulottesen faasavaruuden muuttuja
LisätiedotPyörimisliike. Haarto & Karhunen.
Pyörmslke Haarto & Karhunen www.turkuamk.f Pyörmslke Lttyy jäykän kappaleen pyörmseen akselnsa ympär Pyörmsenerga on pyörmsakseln A ympär pyörvän kappaleen osasten lke-energoden summa E r Ek mv mr mr www.turkuamk.f
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekankan jatkokurss Fys102 Syksy 2009 Jukka Maalamp LUENTO 2 Alkuverryttelyä Vääntömomentt Oletus: Vomat tasossa, joka on kohtsuorassa pyörmsaksela vastaan. Oven kääntämseen tarvtaan er suurunen voma
LisätiedotHamiltonin mekaniikka
Luku 7 Hamltonn mekankka Tässä luvussa mekankan formalsma vedään velä Lagrangen mekankkaakn järeämpään muotoon. Tutustumme jo luvussa 3 johnkn kanonsen formalsmn peruspalkohn, kuten kanonsn mpulssehn,
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Pienimmän neliösumman menetelmä.
MS-A0205/MS-A0206 Dfferentaal- ja ntegraallaskenta 2 Luento 7: Lagrangen kertojat. Penmmän nelösumman menetelmä. Jarmo Malnen Matematkan ja systeemanalyysn latos 1 Aalto-ylopsto Kevät 2016 1 Perustuu Antt
Lisätiedotr i m i v i = L i = vakio, (2)
4 TÖRMÄYKSET ILMATYYNYPÖYDÄLLÄ 41 Erstetyn systeemn sälymslat Kun kaks kappaletta törmää tosnsa ne vuorovakuttavat keskenään tetyn ajan Vuorovakutuksella tarkotetaan stä että kappaleet vahtavat keskenään
LisätiedotMat /Mat Matematiikan peruskurssi C3/KP3-I Harjoitus 2, esimerkkiratkaisut
Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss
LisätiedotMonte Carlo -menetelmä
Monte Carlo -menetelmä Helumn perustlan elektron-elektron vuorovakutuksen laskemnen parametrsodulla yrteaaltofunktolla. Menetelmän käyttökohde Monen elektronn systeemen elektronkorrelaato oteuttamnen mulla
LisätiedotJaksolliset ja toistuvat suoritukset
Jaksollset ja tostuvat suortukset Korkojakson välen tostuva suortuksa kutsutaan jaksollsks suortuksks. Tarkastelemme tässä myös ylesempä tlanteta jossa samansuurunen talletus tehdään tasavälen mutta e
LisätiedotHASSEN-WEILIN LAUSE. Kertausta
HASSEN-WEILIN LAUSE Kertausta Käytetään seuraava merkntjä F = F/F q on sukua g oleva funktokunta Z F (t = L F (t (1 t(1 qt on funktokunnan F/F q Z-funkto. α 1, α 2,..., α 2g ovat polynomn L F (t nollakohten
Lisätiedot3.5 Generoivat funktiot ja momentit
3.5. Generovat funktot ja momentt 83 3.5 Generovat funktot ja momentt 3.5.1 Momentt Eräs tapa luonnehta satunnasmuuttujan jakaumaa, on laskea jakauman momentt. Ne määrtellään odotusarvon avulla. Määrtelmä
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIMUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oppa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttauspöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
Lisätiedot3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi
3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa
Lisätiedot5. KVANTTIMEKANIIKKAA
5. KVANTTIMEKANIIKKAA Bohrn atommallsta samme jonknlasen kuvan atomn rakenteesta. Kutenkaan Bohrn atommall e pysty selttämään kakka kokeellsa havantoja spektrestä: Mks osa spektren vvosta on tosa vomakkaampa
LisätiedotGalerkin in menetelmä
hum.9.3 Galerkn n menetelmä Galerknn menetelmän soveltamnen e ole rajottunut van ongelmn, jotka vodaan pukea sellaseen varaatomuotoon, joka on seurauksena funktonaaln mnmomsesta, kuten potentaalenergan
LisätiedotJäykän kappaleen liike
aananta 9.9.014 1/17 Jäykän kappaleen lke Tähän ast tarkasteltu massapstemekankkaa : m, r, v Okeast fyskaalset systeemt ovat äärellsen kokosa, esm. jäykät kappaleet r r j = c j =vako, j elastset kappaleet
LisätiedotTilastollisen fysiikan luennot
Tlastollsen fyskan luennot Tvstelmät luvuttan I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ Lämpö on systeemen mkroskooppsten osen satunnasta lkettä Lämpöenerga vrtaa kuumemmasta kappaleesta kylmempään Jos kaks kappaletta
Lisätiedot1. Luvut 1, 10 on laitettu ympyrän kehälle. Osoita, että löytyy kolme vierekkäistä
Johdatus dskreettn matematkkaan Harjotus 3, 30.9.2015 1. Luvut 1, 10 on latettu ympyrän kehälle. Osota, että löytyy kolme verekkästä lukua, joden summa on vähntään 17. Ratkasu. Tällasa kolmkkoja on 10
LisätiedotTchebycheff-menetelmä ja STEM
Tchebycheff-menetelmä ja STEM Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 1. Johdanto Tchebycheff- ja STEM-menetelmät ovat vuorovakuttesa menetelmä evät perustu arvofunkton käyttämseen pyrkvät shen, että vahtoehdot
LisätiedotCOULOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT
COUOMBIN VOIMA JA SÄHKÖKENTTÄ, PISTEVARAUKSET, JATKUVAT VARAUSJAKAUMAT SISÄTÖ: Coulombn voma Sähkökenttä Coulombn voman a sähkökentän laskemnen pstevaaukslle Jatkuvan vaauksen palottelemnen pstevaauksks
LisätiedotFYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARISAATIO
FYSA220/2 (FYS222/2) VALON POLARSAATO Työssä tutktaan valoaallon tulotason suuntasen ja stä vastaan kohtsuoran komponentn hejastumsta lasn pnnasta. Havannosta lasketaan Brewstern lan perusteella lasn tatekerron
LisätiedotMarkov-prosessit (Jatkuva-aikaiset Markov-ketjut)
J. Vrtamo Lkenneteora a lkenteenhallnta / Markov-prosesst 1 Markov-prosesst (Jatkuva-akaset Markov-ketut) Tarkastellaan (statonaarsa) Markov-prosessea, oden parametravaruus on atkuva (yleensä aka). Srtymät
LisätiedotPainotetun metriikan ja NBI menetelmä
Panotetun metrkan ja NBI menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät / 1 Estelmän ssältö Paretopsteden generont panotetussa metrkossa Panotettu L p -metrkka Panotettu L -metrkka el panotettu Tchebycheff -metrkka
Lisätiedot13. Lineaariset ensimmäisen kertaluvun differentiaalisysteemit
68 3. Leaarset esmmäse kertaluvu dfferetaalsysteemt Tarkastelemme systeemejä () x () t = A() t x() t + b () t, jossa matrs A kertomet ja b ovat välllä I jatkuva. Jatkuve vektorarvoste fuktode avaruutta
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekankan jatkokurss Fys10 Syksy 010 Jukka Maalamp LUENTO 4 Vermnen Vermnen tarkottaa yhdstettyä lkettä, jossa kappale pyör akseln ympär ja aksel etenee suoravvasest. Vermsessä kappale e lu alustalla. Tämä
Lisätiedot1 0 2 x 1 a. x 1 2x c b 2a c a. Alimmalta riviltä nähdään että yhtälöyhmällä on ratkaisu jos ja vain jos b 3a + c = 0.
BM20A5800 - Funktot, lneaaralgebra, vektort Tentt, 26.0.206. (a) Krjota yhtälöryhmä x + 2x 3 = a 2x + x 2 + 5x 3 = b x x 2 + x 3 = c matrsmuodossa Ax = b ja ratkase x snä erkostapauksessa kun b = 0. Mllä
LisätiedotTavoitteet skaalaavan funktion lähestymistapa eli referenssipiste menetelmä
Tavotteet skaalaavan funkton lähestymstapa el referensspste menetelmä Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 1 Estelmän ssältö Panotetun metrkan ongelmen havatsemnen Referensspste menetelmän dean esttely Referensspste
LisätiedotSähköstaattinen energia
ähköstaattnen enega Potentaalenegan a potentaaln suhde on samanlanen kun Coulomn voman a sähkökentän suhde: ähkökenttä vakuttaa vaattuun kappaleeseen nn, että se kokee Coulomn voman, mutta sähkökenttä
Lisätiedot. g = 0,42g. Moolimassat ovat vastaavasti N 2 :lle 28, 02g/ mol ja typpiatomille puolet tästä 14, 01g/ mol.
LH-1 Kaasusälö ssältää 1, g typpeä 1800 K lämpötlassa Sälön tlavuus on 5,0 l Laske pane sälössä ottamalla huomoon, että tässä lämpötlassa 30 % typpmolekyylestä, on hajonnut atomeks Sovella Daltonn laka
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekankan jatkokurss Fys10 Syksy 009 Jukka Maalamp LUENTO 3 Vermnen Vermnen tarkottaa yhdstettyä lkettä, jossa kappale pyör akseln ympär ja aksel etenee suoravvasest. Vermsessä kappale e lu alustalla. Tämä
Lisätiedot1, x < 0 tai x > 2a.
PHYS-C020 Kvanttmekankka Laskuharotus 2, vkko 45 Tarkastellaan ptkn x-aksela lkkuvaa hukkasta, onka tlafunkto on (x, t) Ae x e!t, mssä A, a! ovat reaalsa a postvsa vakota a) Määrtä vako A sten, että tlafunkto
LisätiedotKertausta: Vapausasteet
Maanantai 8.9.2014 1/19 Kertausta: Vapausasteet Liikkeen kuvailu: massapisteen koordinaatit (x, y, z) ja nopeudet (v x, v y, v z ). Vapaasti liikkuvalla massapisteellä on kolme vapausastetta. N:llä vapaasti
LisätiedotTyön tavoitteita. 1 Johdanto. 2 Ideaalikaasukäsite ja siihen liittyvät yhtälöt
FYSP103 / 1 KAASUTUTKIUS Työn tavotteta havannollstaa deaalkaasun tlanyhtälöä oa, mten lman kosteus vakuttaa havattavn lmöhn ja mttaustuloksn kerrata mttausöytäkrjan ja työselostuksen laatmsta Luento-
LisätiedotRaja-arvot. Osittaisderivaatat.
1 MAT-13440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tamperee teklle ylopsto Rsto Slveoe Kevät 2010 Luku 3 Raja-arvot Osttasdervaatat 1 Fuktode raja-arvot Tarkastelemme fuktota f : A, jode määrttelyjoukko A T Muuttujat ovat
Lisätiedot6. Stokastiset prosessit (2)
Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 6 Markov-prosess Esmerkk Tark. atkuva-akasta a dskreetttlasta stokaststa prosessa X(t) oko tla-avaruudella
LisätiedotKvanttimekaanisten joukkojen yhteys termodynamiikkaan
Kvanttmekaansten joukkojen yhteys termodynamkkaan Hukkaslukumäärän sälyttävä systeem vo vahtaa energaa ympärstönsä kanssa kahdella tavalla: työnä ta lämpönä. Termodynamkassa entropan muutos lttyy lämmön
LisätiedotBL20A0600 Sähkönsiirtotekniikka
BLA6 Sähkönsrtoteknkka Tehonaon laskenta Jarmo Partanen LT Energy Electrcty Energy Envronment Srtoverkkoen laskenta Verkon tehonaon laskemnen srron hävöt ännteolosuhteet ohtoen kuormttumnen verkon käyttäytymnen
LisätiedotStatistinen mekaniikka 1
Statstnen mekankka 1 Kevät 2017 Luennotsja Aleks Vuornen (aleks.vuornen@helsnk.f, A322) Laskuharjotusasstentt: Francesco Montanar (francesco.montanar@helsnk.f, A321) Tuomas Tenkanen (tuomas.tenkanen@helsnk.f,
Lisätiedot7. Modulit Modulit ja lineaarikuvaukset.
7. Modult Vektoravaruudet ovat vahdannasa ryhmä, jossa on määrtelty jonkn kunnan skalaartomnta. Hyväksymällä kerronrakenteeks kunnan sjaan rengas saadaan rakenne nmeltä modul. Moduln käste on ss vektoravaruuden
LisätiedotKertausta: Hamiltonin periaate
Maanantai 15.9.2014 1/19 Kertausta: Hamiltonin periaate Hamilton: Kaikkien pisteiden {q 1 } ja {q 2 } välisten mahdollisten ratojen joukosta valikoituu se, jolle (Hamiltonin) vaikutusintegraali I = t2
LisätiedotABTEKNILLINEN KORKEAKOULU
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU Tetoverkkolaboratoro 6. Stokastset prosesst () Luento6.ppt S-38.45 - Lkenneteoran perusteet - Kevät 5 6. Stokastset prosesst () Ssältö Markov-prosesst Syntymä-kuolema-prosesst
LisätiedotJäykän kappaleen liike
Luku 6 Jäykän kappaleen lke Tähän mennessä mekankkaa on tarkasteltu lähnnä yksttästen massapsteden näkökulmasta. Okeat mekaanset systeemt muodostuvat kutenkn usen äärellsen kokossta kappalesta, joden er
LisätiedotPUTKIKELLON SUUNNITTELU 1 JOHDANTO 2 VÄRÄHTELEVÄN PALKIN TEORIAA. dm Q dx = (1) Matti A Ranta
Matt A Aaltoylopsto Perusteteden korkeakoulu Matematkan ja systeemanalyysn latos PL 1100, 02015 Espoo matt.ranta@tkk.f 1 JOHDANTO Putkkellot kuuluvat lyömäsotnten ryhmään. Putkkellot koostuvat erptussta
LisätiedotTarkastellaan kuvan 8.1 (a) lineaarista nelitahoista elementtiä, jonka solmut sijaitsevat elementin kärkipisteissä ja niiden koordinaatit ovat ( xi
Elementtmenetelmän erusteet 8. 8 D-SOLIDIRKEEE 8. ohdanto Kolmulottesa soldelementtejä tartaan kolmulottesten kaaleden mallntamseen. ällön tarkasteltaan kaaleen geometralla e ole ertsrtetä jotka teksät
LisätiedotTyössä tutustutaan harmonisen mekaanisen värähdysliikkeen ominaisuuksiin seuraavissa
URUN AMMAIKORKEAKOULU YÖOHJE (7) FYSIIKAN LABORAORIO V.2 2.2 38E. MEKAANISEN VÄRÄHELYN UKIMINEN. yön tavote 2. eoraa yössä tutustutaan harmonsen mekaansen värähdyslkkeen omnasuuksn seuraavssa tapauksssa:
LisätiedotJohdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan
Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematkkaan Informaatoteknologan tedekunta Jyväskylän ylopsto 4. luento 24.11.2017 Neuroverkon opettamnen - gradenttmenetelmä Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavote-parella
LisätiedotKvanttimekaanisten joukkojen yhteys termodynamiikkaan
Kvanttmekaansten joukkojen yhteys termodynamkkaan Hukkaslukumäärän sälyttävä systeem vo vahtaa energaa ympärstönsä kanssa kahdella tavalla: työnä ta lämpönä. Termodynamkassa entropan muutos lttyy lämmön
Lisätiedot0 Matemaattisia apuneuvoja
0 Matemaattsa apuneuvoja 0.1 Kokonasdfferentaal Tarkastellaan kahden muuttujan funktota f(x, y), joka on määrtelty xy-tasossa. llon jokaseen tason psteeseen (x, y) lttyy funkton arvo z = f(x, y). Jos funkto
LisätiedotKitkavoimat. Ol. N massapisteen systeemi ja suoraan nopeuteen verrannollinen kitkavoima: k x v 2. i,x + ky v 2. i,y + kz v 2. vi F = i. r i.
Kitkavoimat Ol. N massapisteen systeemi ja suoraan nopeuteen verrannollinen kitkavoima: F (f ) i = k x v i,x ê x k y v i,y ê y k z v i,z ê z Otetaan käyttöön Rayleigh n dissipaatiofunktio N F = 1 2 i=1
LisätiedotEräs Vaikutuskaavioiden ratkaisumenetelmä
Mat-2.142 Optmontopn semnaar, s-99 28.9. 1999 Semnaarestelmän referaatt Joun Ikonen Lähde: Ross D. Schachter: Evaluatng nfluence dagrams, Operatons Research, Vol 34, No 6, 1986 Eräs Vakutuskaavoden ratkasumenetelmä
LisätiedotPuupintaisen sandwichkattoelementin. lujuuslaskelmat. Sisältö:
Puupntasen sandwchkattoelementn lujuuslaskelmat. Ssältö: Sandwch kattoelementn rakenne ja omnasuudet Laatan laskennan kulku Tulosten vertalua FEM-malln ja analyyttsen malln välllä. Elementn rakenne Puupntasa
LisätiedotMAOL-Pisteitysohjeet Fysiikka kevät 2009
MOL-Pstetysohjeet Fyskka kevät 9 Tyypllsten vrheden aheuttama pstemenetyksä (6 psteen skaalassa): - pen laskuvrhe -/3 p - laskuvrhe, epämelekäs tulos, vähntään - - vastauksessa yks merktsevä numero lkaa
LisätiedotEsitä koherentin QAM-ilmaisimen lohkokaavio, ja osoita matemaattisesti, että ilmaisimen lähdöstä saadaan kantataajuiset I- ja Q-signaalit ulos.
Sgnaalt ja järjestelmät Laskuharjotukset Svu /9. Ampltudmodulaato (AM) Spektranalysaattorlla mtattn 50 ohmn järjestelmässä ampltudmodulaattorn (AM) lähtöä, jollon havattn 3 mpulssa spektrssä taajuukslla
Lisätiedot4. A priori menetelmät
4. A pror menetelmät 4. Arvofunkto-menetelmä 4.2 Lekskografnen järjestämnen 4.3 Tavoteohjelmont Tom Bäckström Optmontopn semnaar - Kevät 2000 / 4. Arvofunkto-menetelmä Päätöksentekjä antaa eksplsttsen
Lisätiedot= E(Y 2 ) 1 n. = var(y 2 ) = E(Y 4 ) (E(Y 2 )) 2. Materiaalin esimerkin b) nojalla log-uskottavuusfunktio on l(θ; y) = n(y θ)2
HY / Matematka ja tlastotetee latos Tlastolle päättely II, kevät 28 Harjotus 3A Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoot Y,, Y ja Nθ, ) Osota, että T T Y) Y 2 o parametr gθ) θ 2 harhato estmaattor Laske
LisätiedotMittausvirhe. Mittaustekniikan perusteet / luento 6. Mittausvirhe. Mittausepävarmuus ja siihen liittyvää terminologiaa
Mttausteknkan perusteet / luento 6 Mttausepävarmuus ja shen lttyvää termnologaa Mttausepävarmuus = mttaustulokseen lttyvä parametr, joka kuvaa mttaussuureen arvojen odotettua vahtelua Mttauksn lttyvä kästtetä
LisätiedotKlassisen mekaniikan historiasta
Torstai 4.9.2014 1/18 Klassisen mekaniikan historiasta Nikolaus Kopernikus (puolalainen pappi 1473-1543): aurinkokeskeinen maailmankuva Johannes Kepler (saksalainen tähtitieteilijä 1571-1630): planeettojen
LisätiedotSMG-1100: PIIRIANALYYSI I
SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Vahtosähkön teho hetkellnen teho p(t) pätöteho P losteho Q näennästeho S kompleksnen teho S HETKELLINEN TEHO Kn veresen kvan mpedanssn Z jännte ja vrta (tehollsarvon osottmet)
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 22..2007 Luento 0 Ssäpstemenetelmät ja kokonaslukuoptmont (krja 0.-0.4) Ssäpstemenetelmät luvut 8 ja 9, e tarvtse lukea Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / Luentorunko Sananen
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-.4 Lneaarnen ohelmont 8..7 Luento 6 Duaaltehtävä (kra 4.-4.4) S ysteemanalyysn Lneaarnen ohelmont - Syksy 7 / Luentorunko Motvont Duaaltehtävä Duaalteoreemat Hekko duaalsuus Vahva duaalsuus Täydentyvyysehdot
LisätiedotUsean muuttujan funktioiden integraalilaskentaa
Usean muuttujan funktoden ntegraallaskentaa Pntantegraaln määrtelmä Yhden muuttujan tapaus (kertausta) Olkoon f() : [a, b] R jatkuva funkto Oletetaan tässä ksnkertasuuden vuoks, että f() Remann-ntegraal
LisätiedotVenymälle isotermisessä tilanmuutoksessa saadaan dl = α LdT + df = df AE AE Ulkoisen voiman tekemä työ saadaan integroimalla δ W = FdL :
S-11435, Fyskka III (ES) Tentt 194 1 Setsemän tunnstettavssa olevaa hukkasta on jakautunut kahdelle energatasolle Ylem taso on degenerotumaton ja sen energa on 1, mev korkeam kun alemman tason, joka uolestaan
LisätiedotMittaustulosten käsittely
Mttaustulosten kästtely Vrhettä ja epävarmuutta lmasevat kästteet Tostokoe ja satunnasten vrheden tlastollnen kästtely. Mttaustulosten jakaumaa kuvaavat tunnusluvut. Normaaljakauma 7. Tostokoe ja suurmman
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Tilastollinen päättely II, kevät 2018 Harjoitus 7B Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II, kevät 208 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I Olkoo Y, Y rppumato otos Pareto jakaumasta, fy; θ θc θ y θ+ { y > c } tuetulla vakolla
LisätiedotLuento 6 Luotettavuus Koherentit järjestelmät
Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu Matematka a systeemaalyys latos Lueto 6 Luotettavuus Koherett ärestelmät Aht Salo Systeemaalyys laboratoro Matematka a systeemaalyys latos Aalto-ylosto erustetede korkeakoulu
LisätiedotAamukatsaus 13.02.2002
Indekst & korot New Yorkn päätöskursst, euroa Muutos-% Päätös Muutos-% Helsnk New York (NY/Hel) Dow Jones 9863.7-0.21% Noka 26.21 26.05-0.6% S&P 500 1107.5-0.40% Sonera 5.05 4.99-1.1% Nasdaq 1834.2-0.67%
LisätiedotHallin ilmiö. Laatija - Pasi Vähämartti. Vuosikurssi - IST4SE. Tekopäivä 2005-9-14 Palautuspäivä 2005-9-28
Jyväskylän Aattkorkeakoulu, IT-nsttuutt IIF00 Sovellettu fyskka, Syksy 005, 4.5 ETS Opettaja Pas epo alln lö Laatja - Pas Vähäartt Vuoskurss - IST4SE Tekopävä 005-9-4 Palautuspävä 005-9-8 8.9.005 /7 LABOATOIOTYÖ
LisätiedotPainokerroin-, epsilon-rajoitusehtoja hybridimenetelmät
Panokerron-, epslon-rajotusehtoja hybrdmenetelmät Optmontopn semnaar - Kevät 000 / Estelmän ssältö Ylestä jälkkätespreferenssmenetelmstä Panokerronmenetelmä Epslon-rajotusehtomenetelmä Hybrdmenetelmä Esmerkkejä
LisätiedotLohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat: Mitä opimme? Lohkoasetelmat. Lohkoasetelmat. Satunnaistettu täydellinen lohkoasetelma 1/4
TKK (c) lkka Melln (005) Koesuunnttelu TKK (c) lkka Melln (005) : Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa kysymystä: Mten varanssanalyysssa tutktaan yhden tekän vakutusta vastemuuttujaan, kun
LisätiedotVERKKOJEN MITOITUKSESTA
J. Vrtamo 38.3141 Telelkenneteora / Verkon mtotus 1 VERKKOJEN MITOITUKSESTA 1. Prkytkentäset verkot Lnkken kapasteetten (johtoja/lnkk) määräämnen sten, että verkon kokonaskustannukset mnmotuvat, kun päästä-päähän
LisätiedotS , FYSIIKKA III (ES), Syksy 2002, LH 4, Loppuviikko 39. Partitiofunktiota käyttäen keskiarvo voidaan kirjoittaa muotoon
S-11435, FYSIIKKA III (ES), Syksy 00, LH 4, Loppuvkko 39 LH4-1* Käyttän Maxwll-Boltzmann-jakauman parttofunktota määrtä a) nrgan nlön kskarvo (E ) skä b) nrgan nlöllnn kskpokkama kskarvosta l nrgan varanss,
LisätiedotTaustaa. Sekventiaalinen vaikutuskaavio. Päätöspuista ja vaikutuskaavioista. Esimerkki: Reaktoriongelma. Johdantoa sekventiaalikaavioon
Taustaa Sekventaalnen vakutuskaavo Sekventaalnen päätöskaavo on 1995 ovalun ja Olven esttämä menetelmä päätösongelmen mallntamseen, fomulontn ja atkasemseen. Päätöspuun omnasuukssta Hyvää: Esttää eksplsttsest
LisätiedotReaaliarvoinen funktio f : on differentioituva pisteessä x, jos f:lle on siinä voimassa kehitelmä. h h. eli. Silloin
MAT-3440 LAAJA MATEMATIIKKA 4 Tampereen teknllnen ylopsto Rsto Slvennonen Kevät 00 4. Vektorfunkton dervaatta. Ketjusääntö.. Reaalarvosen funkton dervaatta Tässä luvussa estetään dervaattakäste ensn reaalarvoselle
Lisätiedot9. Muuttuva hiukkasluku
Statstnen fyskka, osa B (FYSA242) Tuomas Lapp tuomas.v.v.lapp@jyu.f Huone: FL240. E kntetä vastaanottoakoja. kl 2016 9. Muuttuva hukkasluku 1 Kertaus: lämpökylpy Mustetaan kurssn A-osasta Mkrokanonnen
LisätiedotYksikköoperaatiot ja teolliset prosessit
Ykskköoperaatot ja teollset prosesst 1 Ylestä... 2 2 Faasen välnen tasapano... 3 2.1 Neste/höyry-tasapano... 4 2.1.1 Puhtaan komponentn höyrynpane... 4 2.1.2 Ideaalnen seos... 5 2.1.3 Epädeaalnen nestefaas...
LisätiedotTilastollinen mekaniikka. Peruskäsitteitä Mikro- ja makrotilat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Einstein jakauma Fermi-Dirac jakauma Jakaumafunktiot
Tlastollnen mekankka Peruskästtetä Mkro- ja makrotlat Maxwell-Boltzmann jakauma Bose-Ensten jakauma Ferm-Drac jakauma Jakaumafunktot Tlastollnen mekankka Teora on stä vakuttavamp, mtä yksnkertasemmat ovat
Lisätiedot1. (Monisteen teht. 5.16) Eräiden kuulalaakereiden kestoa (miljoonaa kierrosta) on totuttu kuvaamaan Weibull-jakaumalla, jonka tiheysfunktio on
HY MTO / Matemaattste tetede kadohjelma Tlastolle päättely II kevät 019 Harjotus 7B Ratkasuehdotuksa Tehtäväsarja I 1 Mostee teht 516 Eräde kuulalaakerede kestoa mljooaa kerrosta o totuttu kuvaamaa Webull-jakaumalla
LisätiedotPro gradu -tutkielma. Whitneyn upotuslause. Teemu Saksala
Pro gradu -tutkelma Whtneyn upotuslause Teemu Saksala Helsngn ylopsto Matematkan ja tlastoteteen latos 5. maalskuuta 2013 0.1 Johdanto Topologset monstot ovat melenkntosa, koska ne ovat määrtelmänsä nojalla
LisätiedotUuden eläkelaitoslain vaikutus allokaatiovalintaan
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemanalyysn laboratoro Mat-2.108 Sovelletun matematkan erkostyö Uuden eläkelatoslan vakutus allokaatovalntaan Tmo Salmnen 58100V Espoo, 14. Toukokuuta 2007 Ssällysluettelo Johdanto...
LisätiedotEpälineaaristen pienimmän neliösumman tehtävien ratkaiseminen numeerisilla optimointimenetelmillä (valmiin työn esittely)
Epälneaarsten penmmän nelösumman tehtäven ratkasemnen numeerslla optmontmenetelmllä valmn työn esttely Lar Pelkola 9.9.014 Ohjaaja/valvoja: Prof. Harr Ehtamo yön saa tallentaa ja julkstaa Aalto-ylopston
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lneaarnen ohjelmont 3.9.2007 Luento Johdanto (krja.-.4) S ysteemanalyysn Laboratoro eknllnen korkeakoulu Eeva Vlkkumaa Lneaarnen ohjelmont - Syksy 2007 / Luentorunko Hstoraa Lneaarnen optmonttehtävä
LisätiedotKäytetään säteille kompleksiesitystä. Tuleva säde on Ee 0 iw t ja peräkkäisiä heijastuneita säteitä kuvaaviksi esityksiksi saadaan kuvasta: 3 ( 2 )
58 Yhtälön (0.4.) mukaan peräkkästen hejastuneen säteen optnen matkaero on D= n tcosqt ja vahe-eroks tulee (kun r = 0) p = kd= D. (.3.) l ässä on huomattava, että hejastuksssa tapahtuvat mahollset p :
Lisätiedot3.3 Hajontaluvuista. MAB5: Tunnusluvut
MAB5: Tunnusluvut 3.3 Hajontaluvusta Esmerkk 7 Seuraavat kolme kuvaa osottavat, että jakaumlla vo olla sama keskarvo ja stä huolmatta ne vovat olla avan erlaset. Kakken kolmen keskarvo on 78,0! Frekvenss
LisätiedotTuringin kone on kuin äärellinen automaatti, jolla on käytössään
4 TUINGIN KONEET Ala Turg 1935 36 auha Koe vo srtää auha: T U I N G auhapää: ohjausykskkö: Turg koe o ku äärelle automaatt, jolla o käytössää auhapäätä vasemmalle ta okealle; se vo myös lukea ta krjottaa
LisätiedotSähkön- ja lämmöntuotannon kustannussimulointi ja herkkyysanalyysi
Sähkön- ja lämmöntuotannon kustannussmulont ja herkkyysanalyys Pekka Nettaanmäk Osmo Schroderus Jyväskylän ylopsto Tetoteknkan latos 2010 1 2 Tvstelmä Raportn tarkotuksena on esttää pelkstetyn matemaattsen
Lisätiedot5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
Lisätiedot( ) ( ) Tällöin. = 1 ja voimme laskea energiatason i. = P n missä
S-445 FYSIIKKA III (Sf) Sysy 4, LH Ratasut LHSf-* ohesen uvan esttämää systeemä Systeemssä on 5 huasta joden yhtenen energa on U = 6ε Kunn energatason degeneraatotejä on Olettaen, että systeem noudattaa
LisätiedotEi-inertiaaliset koordinaatistot
orstai 25.9.2014 1/17 Ei-inertiaaliset koordinaatistot Tarkastellaan seuraavaa koordinaatistomuunnosta: {x} = (x 1, x 2, x 3 ) {y} = (y 1, y 2, y 3 ) joille valitaan kantavektorit: {x} : (î, ĵ, ˆk) {y}
LisätiedotVaratun hiukkasen liike
Luku 15 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä Tarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin. Yleisesti
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotSähkökiukaan kivimassan vaikutus saunan energiankulutukseen
LAPPEENRANNAN ENILLINEN YLIOPISO eknllnen tedekunta LU Energa Sähkökukaan kvmassan vakutus saunan energankulutukseen Lappeenrannassa 3.6.009 Lass arvonen Lappeenrannan teknllnen ylopsto eknllnen tedekunta
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotJaetut resurssit. Tosiaikajärjestelmät Luento 5: Resurssien hallinta ja prioriteetit. Mitä voi mennä pieleen? Resurssikilpailu ja estyminen
Tosakajärjestelmät Luento : Resurssen hallnta ja prorteett Tna Nklander Jaetut resursst Useat tapahtumat jakavat ohjelma-/lattesto-olota, jossa kesknänen possulkemnen on välttämätöntä. Ratkasuja: Ajonakanen
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotMittausepävarmuus. Mittaustekniikan perusteet / luento 7. Mittausepävarmuus. Mittausepävarmuuden laskeminen. Epävarmuuslaskelma vai virhearvio?
Mttausteknkan perusteet / luento 7 Mttausepävarmuus Mttausepävarmuus Mttaustulos e ole koskaan täysn oken Mttaustulos on arvo mtattavasta arvosta Mttaustuloksen ja mtattavan arvon ero on mttausvrhe Mkäl
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotFYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 1 761121P
FYSIIKAN LABORATORIOTYÖT 76P Espuhe Fyskassa pyrtään löytämään luonnosta lanalasuuksa, jota vodaan mtata kokeellsest ja kuvata matemaattsest. Tässä kurssssa tutustutaan yksnkertasten mttausvälneden käyttöön
LisätiedotMALLIVASTAUKSET S Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe
MALLIVASTAUKSET S-4.7 Fysa III (EST) (6 op). väloe 7..7. Astassa on, µmol vetyä ( ) ja, µg typpeä ( ). Seosen lämpötla on K ja pane, Pa. Lase a) astan tlavuus, b) vedyn ja typen osapaneet ja c) moleyylen
Lisätiedot