Johdnto Numeers rtsumenetelm ytett ess on oltv stys nden mtemttsst perustest se nden soveltuvuudest j truudest. Tetooneohjelmn on oltv vrheet n j robu

Transkriptio

1

2 Johdnto Numeers rtsumenetelm ytett ess on oltv stys nden mtemttsst perustest se nden soveltuvuudest j truudest. Tetooneohjelmn on oltv vrheet n j robust el yenev tunnstmn teht v t sngulrteett, jot se e os rtst. Numeersen menetelm n tulos on yleens pprosmtvnen j rppuvnen menetelm -, py rstys- j ertym vrhest. Anlyyttnen dervont on tomenpteen mennen, mutt ntegront e st ole. Numeernen ntegront on stbl operto, mutt numeernen dervont ts e ole. Numeersest dervonnst teee hnln sn ytett v erotusosm r, os sn menetet n mertsev numerot. Tvllset d erentlyht l t DY j DY-systeemt ovt usen ytetty mll fysls lm t tutttess. T ss ty ss trstelln lurvoteht v n rtsu ensmm sen ertluvun DY-systeemlle retodynm, jst rppuv Schr dngern yht l. Sovellusosss sen sjn rtstn jst rppumton Schr dngern yht l, jo omnsrvoteht v n rtstn mtrsn dgonlsontmenetelm ll. Numeernen dervont Oloon funton rvot tunnettu pstess, j. Lsetn lrvo :lle erotusosm r n vull, lmn dervtn nlyyttst luseett. Etenev d erenss: tenev d erenss : esesd erenss: : : : Vstvst vodn pprosmod oremp dervttoj: Hrjotusteht v: Johd :st lusee my s 4 :lle. Etenev lle d erensspprosmtolle sdn vrhervo Tylorn ehtelm n vull: h ] [

3 mss : j :t e tunnet, mutt n hd n vrheen olevn ertluo esd erensslle j toselle dervtlle sdn N st seur, ett h py rstysvrheet el prs :, un. Kes-. K yt nn ss on utenn huomotv. Rchrdsonn estrpoltomenetelm ss dervonttruutt vodn prnt. Kesesd erenssn erront 5 e yleens tunnet, mutt se e rpu :st. Ksnertstmll Elmnomll vo N n stn ss 4 sdn 6 edellsst yht l st sdn R Jos funton : 4 -pprosmto 7 :lle. Prosess votsn jt edelleen. rvo tunnetn vn ennltm r tyss pstess, vodn dervod : nterpolov splne-funto [, ]. T m tp sop ertysest, un pstet joss dervtn rvo hlutn on pljon t pstest e ole tsv lnen. Numeernen ntegront Newton Cotes -vt perustuvt nterpoltopolynomehn. Trstelln ntegrln lsemst settmll j 8. Muuttujnvhdoll sdn

4 El ysnertsn tp pprosmod ntegrl on ns. suordes [ ] nt: Smll tvll vodn joht monmutsempn voj. Annettu pstest on, mss, j. Integrl pprosmodn nyt ennt n -stesell Newtonn nterpoltopolynomll Muuttujnvhdoll : j ehtt m ll eteneven d erenssen vull s- dn!! T m ntegrl on helppo lse j :t muuttmll sdn erls ns. Newton Cotes -ntegrlvoj, jot ovt suljettuj, os nterpoltopolynom nterpolo : v ln [ ] p tepstess. Vltsemll sdn ns. puolsuunnss el j vlnt jo on tr, un nt 4 on suor. Vlnt tuott Smpsonn vn 4 5 tuott Smpsonn /8 -vn 8 6 Molemmt vt ovt troj orentn stett olevlle polynomelle. Menetelm vrheen ertluo on Esm. D erenss j. Tonen mhdollsuus on nterpolod :, j, un j j j Ã!. 4 j, un., vn v ln [ jne. ]

5 ss pstess P tepstelle j, mss, j.. Integrl pprosmodn nyt vomell Newtonn j Cotesn vll! sdn v, jo tunnetn espstes Vltsemll 7 nn n nmell :! ] [ 8 Mtl-steset Newton Cotes -vt ntvt ep troj tulos ln ptlle ntegromsv lelle. Kore-stesll polynomell ts on osllonttpumus. Integromsv l jetn ss osv lehn, joss ntegront suortetn erseen: mss v l [ ] on jettu,, joselle osv llle, sdn j joss, x x ], joss. Soveltmll puolsuunnss nt sovellettess jetn v l [ 9 ] [ Smpsonn s nt x :n ptuseen osv ln [ [ x : n n X, x x n ] ] : n :n ptuseen osv ln [ n j ], el x x j sdn n Hrjotusteht v: Johd v Smpsonn /8 -menetelm lle. Tosn un edell, Gussn vdrtuuress [,, ] e ytet tsv lst, nntetty pstest vn ntegrontpsteet ovt vpt prmetrej Legendren polynomn nollohdt, joden vull pnoertomet rtstn. Adptvset ntegrontlgortmt ytt v t yht t usemp leellst vdrtuur j m r v t utomttsest osv len ptuudet sten, ett tetty truusvtmus toteutuu. Erls selptuus ytet n lueen er osss: pt selt un funto on tsnen j lyhyemp muul- l. Monulottesess ntegronnss tulontegrlen lsentty sv nopest. T ysn erlnen l hestymstp on Monte Crlo -menetelm, jo perustuu stunnsluugenerttorn ytt n j soveltuu, un vruuden dmenso on so. 5

6

7

8

9