Mekaniikka, osa 2. Perttu Lantto. Luentokalvot

Transkriptio

1 Meaniia, osa 2 Perttu Lantto Luentoalvot perustuvat irjaan: University physics, 13 th International Edition H. D. Young & R.. Freedman (Pearson, 2012) 20. maalisuuta 2017

2 Osa VI Luu 14: Jasollinen liie

3 Jasollinen liie Luu 14: Jasollinen liie (L10) 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset 14.1 Värähtelyn uvaaminen amplitudilla, periodilla, taajuudella ja ulmataajuudella. (YHL) on täreä värähtelyn tyyppi. Miten sitä äsitellään lasennallisesti? 14.3 Harmonisen liieen energia -appale esittelee, miten energiaa äytetään YHL:n analysointiin Harmonisen liieen sovelluset esittelee muutamia fysiaalisia tilanteita, joita voi uvata YHL:llä Ysinertainen heiluri ja sen liie analysoidaan Fysiaalinen heiluri määritelmä ja uina sen liieen ominaisuusia lasetaan Vaimennetut värähtelyt appale uvaa värähtelyn vaimenemista ja atoamista Paotetut värähtelyt ja resonanssi -appale uvaa, miten sopiva taajuusinen ajava voima voi aiheuttaa erittäin suuren vasteen eli resonanssin.

4 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Useat liieet ovat toistuvia ja niitä utsutaan jasollisesi liieesi (periodic motion) tai osillaatioisi eli värähtelyisi (oscillation). Kuva 14.1 esittelee ysinertaisinta periodista liiettä teevää systeemiä: m massainen appale liiuu itatta horisontaalitasossa -aselilla iinnitettynä massattomaan jouseen, joa voi joo venyä tai puristua. Jousivoima on ainoa horisontaalinen voima; vertiaaliset normaali- ja gravitaatiovoimat summautuvat aina nollasi. setetaan appale origoon O, un appale on tasapainossa eli jousivoima on nolla. -oordinaatti on siten appaleen poieaman (displacement) -omponentti ja samalla jousen pituuden muutos. Jousen -suuntainen voima F aiheuttaa -iihtyvyyden a F /m ja pyrii palauttamaan systeemin tasapainoon eli on ns. palauttava voima (restoring force). Se saa tasapainoasemastaan poieutetun appaleen osilloimaan tasapainoasemansa ympärillä, miä ilman itavoimia jatuu ainiaan Jasollista liiettä suorittava systeemi.

5 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset mplitudi, jaso, taajuus ja ulmataajuus 14.1 Värähtelyn uvaaminen Liieen amplitudi (amplitude) on poieaman (displacement) masimisuuruus tasapainopisteestä eli :n masimiarvo. Jos uvassa 14.2 jousi on ideaalinen, liie ulottuu 2-levyiselle aluelle. Koonainen värähdys eli syli (cycle) on esim. :sta :han ja taaisin :han. :sta :han on vain puolias syli. Jaso (period) eli värähdysaia T, ([T ] s) on syliin äytetty aia. Taajuus (frequency) on sylien luumäärä tietyssä ajassa (SI: [f] 1 Hz 1 s 1 ) eli se on äänteinen (reciprocal) suure periodin anssa: f 1 T T 1 f (14.1) Kulmataajuus (angular frequency) on 2π ertaa taajuus: ω 2πf ([ω] rad/s) eli se uvaa ulmamuuttujan muutosnopeutta ja riippuu myös äänteisesti periodista: ω 2πf 2π (14.2) 14.2 Jasollisen liieen T malli.

6 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset mplitudi, jaso, taajuus ja ulmataajuus 14.1 Värähtelyn uvaaminen Esimeri 14.1: Jaso, taajuus ja ulmataajuus Ultraääniä tuottava lääetieteellinen diagnoosilaite osilloi taajuudella 6.7 MHz. Kuina auan joainen värähdys estää ja miä on värähtelyn ulmataajuus? Värähdysen esto eli periodi on: T 1 f Hz s 0.15 µs Kulmataajuudesi saadaan: ω 2πf 2π( Hz) rad/s Kyseessä on siis hyvin nopea värähtely, jolle T on pieni ja f ja ω vastaavasti suuria.

7 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Ysinertaisemmillaan värähtely on, un siinä vaiuttava palauttava voima on suoraan verrannollinen poieutusoordinaatin suuruuteen tasapainopisteestä. Tämä toteutuu, un uvien 14.1 ja 14.2 jouset ovat ideaalisia eli totauttavat Hooen lain (ts. appale 6.3) ja voiman F ja poieaman välinen suhteellisuuserroin on (aina positiivinen) voimavaio ([] N/m). Tasapainopisteen molemmin puolin F ja ovat aina erimerisiä (uva 14.3). Kappaleessa 6.3 jouseen ohdistettiin voima F, joten jousen appaleeseen ohdistama palauttava voima on vastaaismerinen: F (14.3) Jos itavoimat oletetaan olemattomisi, yhtälö (14.3) antaa nettovoiman aiilla :n arvoilla (uva 14.3) Ideaalinen jousi ohdistaa palauttavan voiman, joa noudattaa Hooen laia.

8 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Kun palauttava voima on suoraan verrannollinen poieaman suuruuteen tasapainosta yhtälön (14.3) muaisesti, värähtelyä utsutaan ysinertaisesi harmonisesi liieesi, YHL (simple harmonic motion, SHM). Kappaleen iihtyvyydesi YHL:ssä (a d2 dt 2 F m ): a d2 dt 2 m (14.4) Miinusmeri taroittaa, että iihtyvyys ja poieama ovat aina eri suuntaan. Kiihtyvyys ei ole vaio, joten vaioiihtyvyyden yhtälöitä appaleesta 2 ei saa äyttää! Kappaletta, joa suorittaa ysinertaista harmonista liiettä, utsutaan harmonisesi osillaattorisi (harmonic oscillator). Vaia monet jasolliset liieet eivät ole ysinertaista harmonista liiettä (uva 14.4), voidaan useissa tapausissa niitä approsimoida pienen poieaman (liieen amplitudin) tapausessa YHL:llä Useimmat oieat värähtelijät toteuttavat Hooen lain, jos värähtelyn amplitudi on pientä.

9 Ympyräliie ja YHL-yhtälöt 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Harmonisen liieen uvaamisesi, värähtelevän appaleen poieutusoordinaatti pitää riippua ajasta, (t). Tämän funtion toinen derivaatta d 2 /dt täytyy olla vaio ( /m) ertaa funtio itse. Kuva 14.5a esittää vaaatasossa pyörivää -säteistä levyä, jona ehälle on iinnitetty pallo ohtaan Q. Levy pyörii ulmanopeudella ω, joten pallo on tasaisessa pyörivässä liieessä (a) Tasaisen ympyräliieen ja ysinertaisen harmonisen liieen suhde. (b) Pallon varjo liiuu täsmälleen uten appale ytettynä ideaaliseen jouseen.

10 Ympyräliie ja YHL-yhtälöt 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Horisontaalinen valonsäde heittää varjostimelle pallon varjon, joa osilloi edestaaisin välillä ja, un pallo pyörii ympyrää. Osoitetaan, että pallon varjon ja uvien 14.1 ja 14.2 esittämien ideaalisten jousisysteemien liieet ovat identtisiä, jos jälimmäisen amplitudi on ja sen ulmataajuus 2πf vastaa pyörivän levyn ulmavauhtia ω. Ysinertainen harmoninen liie on tasaisen pyörivän liieen projetio sen halaisijalle (a) Tasaisen ympyräliieen ja ysinertaisen harmonisen liieen suhde. (b) Pallon varjo liiuu täsmälleen uten appale ytettynä ideaaliseen jouseen.

11 Ympyräliie ja YHL-yhtälöt 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Sijoitetaan yllä mainittu ns. referenssiympyrää (reference circle) ja sitä referenssipisteessä Q iertävä pallo y-tasolle origon O ympärille (uva 14.5b). OQ-vetori teee ajanhetellä t ulman θ positiivisen -aselin suhteen. OQ-vetori, ns. vaihevetori (phasor, phase vector), liiuu samalla ulmanopeudella ω uin piste Q liiuu ympäri referenssiympyrää. OQ-vetorin -omponentti ajanhetellä on Q-pisteen -oordinaatin arvo ja samalla varjon P, joa on Q:n projetio -aselille, -oordinaatti: cos θ (14.5) Siten myös P :n nopeus -aselia pitin on Q-pisteen nopeusvetorin -omponentti v v Q sin θ (uva 14.6a). Samoin varjon -iihtyvyys vastaa Q:n iihtyvyysvetorin -omponenttia a a Q cos θ (uva 14.6b) (a) -nopeus ja (b) -iihtyvyys ovat Q-pallon nopeus- ja iihtyvyysvetoreiden -omponentit.

12 Ympyräliie ja YHL-yhtälöt 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Tasaisen ympyräliieen iihtyvyysvetori a Q osoittaa ohti ympyrän esipistettä ja sen suuruus on vaio: a Q ω 2 (14.6) Sen -omponentti a a Q cos θ (uva 14.6b) yhdistettynä yhtälöön (14.6) antaa: a a Q cos θ ω 2 cos θ (14.7) a ω 2 (14.8) Eli iihtyvyys pisteessä P on suoraan verrannollinen poieaman arvoon ja on aina vastaaismerinen, aivan uten YHL:säin. Yhtälö (14.8) on täsmälleen harmonisen osillaattorin iihtyvyyden yhtälö (14.4), jos ω riippuu värähtelijän voimavaiosta ja massasta: 14.6 (a) -nopeus ja (b) ω 2 -iihtyvyys ovat m ω (14.9) Q-pallon nopeus- ja m iihtyvyysvetoreiden -omponentit.

13 Ympyräliie ja YHL-yhtälöt 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Kun Q pyörähtää oo ympyrän ajassa T, myös piste P teee täyden värähdyssylin, joten T on P :n värähdysperiodi. Q:n ulmavauhti on tällöin ω 2π/T, miä on sama uin P :n ulmataajuus yhtälössä (14.2) eli ulmataajuus yhdistää värähtelyn ja ympyräliieen. YHL:n ulmataajuutta ei voi siis valita vapaasti vaan se riippuu värähtelevän appaleen massasta ja siihen vaiuttavasta voimavaioon verrannollisesta palauttavasta voimasta: ω m (14.10) YHL:n taajuudesi ja periodisi saadaan: f ω 2π 1 2π m T 1 f 2π ω 2π m (14.11) (14.12) Mitä suurempi m sitä pienempi iihtyvyys, hitaampi vauhti ja pidempi periodi. Mitä suurempi (jäyempi jousi) sitä suurempi iihtyvyys ja vauhti seä lyhyempi periodi.

14 YHL:n periodi ja amplitudi 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Yhtälöiden (14.11) ja (14.12) muaan ysinertaisen harmonisen liieen periodi ja taajuus määräytyvät pelästään massan m ja voimavaion arvoista. Ysinertaisen harmonisen liieen periodi ja taajuus eivät riipu liieen amplitudista. Yhden värähdysen aia on sama riippumatta sen amplitudin suuruudesta. Mitä suurempi amplitudi on sitä suurempia palauttavia voimia appaleeseen ohdistuu, jolloin esimääräinen vauhti asvaa, miä ompensoi asvavan matan. Ilman YHL:ää vaiotaajuudesta riippuvat laitteet (esim. äänirauta, meaaniset ja eletroniset ellot) eivät olisi mahdollisia (uva 14.7). Jos värähtelijän periodi riippuu sen amplitudista, yseessä ei ole ysinertainen harmoninen liie (harmoninen osillaattori) Erimassaiset ääniraudat tuottavat eri taajuusia: f 1 2π m

15 Ympyräliie ja YHL-yhtälöt 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Esimeri 14.2: YHL:n ulmataajuus, taajuus ja jaso Jousivaaa on iinnitetty toisesta päästä seinään ytettyyn horisontaaliseen jouseen (uva 14.8a). Kun sitä vedetään, venytysvoima on verrannollinen poieamaan ja m poieamaan tarvitaan F 6.0 N voima. Vaihdetaan jousivaaa m 0.50 g massaiseen liuujaan, joa vedetään m itatonta pintaa pitin ja päästetään levosta liieelle (uva 14.8b). (a) Lasetaan jousen voimavaio seä (b) osillaation ulmataajuus ω, taajuus f ja periodi T. (a) Liie on YHL, osa jousivoima on verrannollinen venymään. Jousen jousivaaaan ohdistama voima on F 6.0 N eli voimavaio on F 6.0 N m 200 N/m (g/s2 ) (b) Yhtälöstä (14.10) saadaan: ω m 200 g/s 2 20 rad/s 0.50 g f ω 20 rad/s 3.2 Hz 2π 2π T 1 f /s 0.31 s YHL:n värähdysamplitudi on määrätty alussa (0.020 m) eivätä ulmataajuus, taajuus ja periodi riipu siitä (a) Jouseen ohdistuva voiman -omponentti F +6.0 N ja jousen ohdistama voima on F 6.0 N. (b) Jouseen iinnitetty liuuja osilloi.

16 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset YHL:n poieama, nopeus ja iihtyvyys Yhtälö (14.5), cos θ, uvaa siis seä YHL:n että tasaisen ympyräliieen referenssipisteen -oordinaattia, joa liiuu ulmavauhdilla ω m. Jos vaihevetorin OQ ulma +-aselin suhteen on φ ajanhetellä t, niin millä tahansa myöhemmällä ajanhetellä t ulma on θ ωt + φ, jolloin yhtälöstä (14.5) saadaan (uva 14.9): Kosini toistaa itseään, un sen argumentti asvaa 2π verran eli jos aloitetaan ajanhetellä t 0, saadaan yhtälö (14.12): ωt m T 2π T 2π m cos(ωt + φ) (14.13) joa voidaan irjoittaa myös sinin avulla, osa cos α sin(α + π/2). Ysinertaisen harmonisen liieen paia on periodinen, sinusoidinen ajan funtio. Kosini-funtio (uten siniin) on aina välillä [ 1, 1], joten on välillä [, ] eli on liieen amplitudi Paia ajan t funtiona ysinertaisella harmonisella liieellä (nyt φ 0).

17 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset YHL:n poieama, nopeus ja iihtyvyys Voimavaion tai massan m muuttaminen vaiuttaa värähtelyn periodiin (uvat 14.10a ja 14.10b) mutta amplitudi ei (uva 14.10c). Vaio φ on ns. vaiheulma (phase angle), joa ertoo missä sylin (Q:n paia) ohdassa ( 0 ) värähtelijä on ajanhetellä t 0: 0 cos φ (14.14) Kun φ 0 : 0 cos 0 eli appale aloittaa positiivisesta masimiarvosta. Kun φ π : 0 cos π aloittaa appale negatiivisesta poieamasta. Kun φ π/2 : 0 cos(π/2) 0, joten appale on alussa origossa (uva 14.11) YHL:n muutoset, un φ YHL:n vaihemuutoset.

18 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset YHL:n poieama, nopeus ja iihtyvyys Nopeus v ja iihtyvyys a saadaan ottamalla aiaderivaatat yhtälöstä (14.13): v d ω sin(ωt + φ) (14.15) dt a dv dt d2 dt 2 ω2 cos(ωt + φ) (14.16) v osilloi välillä v ma +ω ja v ma ω ja a välillä a ma +ω 2 ja a ma ω 2 (uva 14.12). Yhtälöitä (14.16) ja (14.13) vertaamalla saadaan: a ω 2 m miä on YHL:n yhtälö (14.4), joten paian aiariippuvuus yhtälössä (14.13) on oiein. Paian muutos ajan suhteen (uva 14.12a) eroaa neljäsosaperiodin verran nopeuden (uva 14.12b) ja puoliaan periodin verran iihtyvyyden (uva 14.12c) muutosista YHL:n paian, nopeuden ja iihtyvyyden uvaajat (φ π/3).

19 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Poieama, nopeus ja iihtyvyys YHL:ssä Jos alupaia 0 ja vauhti v 0 tiedetään, voidaan amplitudi ja vaiheulma φ määrittää. Vauhti ajanhetellä t 0 on: v 0 ω sin φ (14.17) Jaetaan tämä paian yhtälöllä (14.14), miä eliminoi :n ja saadaan yhtälö, josta voidaan rataista vaiheulma (φ): v 0 0 ω sin φ cos φ φ arctan ω tan φ ( v 0 ω 0 ) (14.18) Yhtälöistä (14.14) ja (14.17) orottamalla neliöön ja summaamalla saadaan: v2 0 ω 2 2 (cos 2 φ + sin 2 φ) v2 0 ω 2 (14.19) Jos alupaia ja -nopeus eivät ole nollia, amplitudi ei ole sama uin alupoieutus. Eli jos aloitetaan +-aselilta mutta appaleelle annetaan positiivinen alunopeus, se menee auemmasi ennen ääntymistään taaisin.

20 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Poieama, nopeus ja iihtyvyys YHL:ssä Esimeri 14.3: YHL:n uvaileminen Poieutetaan Esimerin 14.2 liuujaa m ja annetaan sille alunopeus v m/s. (a) Miä on syntyvän liieen periodi, amplitudi ja vaiheulma? (b) Kirjoitetaan poieaman, nopeuden ja iihtyvyyden yhtälöt ajan funtiona. (a) YHL:ssä periodi ja ulmataajuus ovat systeemin ominaisuusia, jota riippuvat vain :sta ja m:stä, eivät amplitudista, joten ne ovat samat uin Esimerissä 14.2 (T 0.31 s ja ω 20 rad/s). Yhtälöstä (14.19) saadaan amplitudi: v2 0 ω 2 (0.015 m) 2 (0.40 m/s)2 + (20 rad/s) m (a) Vaiheulma ( saadaan ) yhtälöstä (14.18): φ arctan v 0 ω ( 0 ) 0.40 m/s arctan 53 (20 rad/s)(0.015 m) 0.93 rad (b) Yhtälöt (14.13) - (14.15) antavat poieaman, nopeuden ja iihtyvyyden lauseeet, un sijoitetaan niihin ω, ja φ: cos(ωt + φ) (0.025 m) cos[(20 rad/s)t 0.93 rad] v ω sin(ωt + φ) (0.50 m/s) sin[(20 rad/s)t 0.93 rad] a ω 2 cos(ωt + φ) (10 m/s 2 ) cos[(20 rad/s)t 0.93 rad] Ne voi taristaa ajanhetellä t 0, jolloin niiden pitää antaa aluarvot 0 ja v 0.

21 14.3 Harmonisen liieen energia 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Ideaalisen massattoman jousen voima (uva 14.13) on onservatiivinen ja osa vertiaaliset voimat eivät tee työtä, meaaninen oonaisenergia säilyy: E K + U 1 2 mv vaio (14.20) Koonaisenergia riippuu myös suoraan liieen amplitudista, sillä un (tai ), appale pysähtyy hetesi ja ääntyy tulosuuntaansa. Tällöin v 0 ja aii energia on potentiaalienergiaa eli E U Jousivoima on ainoa appaleeseen ohdistuva horisontaalinen voima.

22 14.3 Harmonisen liieen energia 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Meaaninen oonaisenergia E on suoraan riippuvainen liieen amplitudista (ω 2 /m ja cos 2 α + sin 2 α 1) E 1 2 mv m [ ω sin(ωt + φ)]2 + 1 [ cos(ωt + φ)] sin 2 (ωt + φ) cos 2 (ωt + φ) E 1 2 mv vaio (14.21) Eli oonaisenergia säilyy ja on aiissa ohdissa E Jousivoima on ainoa appaleeseen ohdistuva horisontaalinen voima.

23 14.3 Harmonisen liieen energia 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Yhtälöstä (14.21) voidaan rataista nopeus, joa riippuu poieutusoordinaatista : v ± 2 2 (14.22) m missä ±-meri taroittaa, että appale voi liiua umpaanin suuntaan samalla vauhdilla. Esimerisi ohdissa ±/2: ( v ± 2 ± ) 2 ± m m Yhtälöstä (14.22) nähdään, että masimivauhti saavutetaan ohdassa 0 ja äyttämällä yhtälöä (14.10) (ω /m), sille saadaan arvo: v ma ω (14.23) m Tämä vastaa yhtälöä (14.15) eli että nopeus v osilloi välillä ω ja ω.

24 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset E, K, ja U ysinertaisessa harmonisessa liieessä 14.3 Harmonisen liieen energia Koonais- E, ineettinen K ja potentiaalienergia U eri poieutusoordinaatin arvoilla ysinertaiselle harmoniselle liieelle (YHL).

25 YHL:n E, K, ja U tulinta 14.3 Harmonisen liieen energia 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Kuvan 14.15a parabolinen äyrä uvaa potentiaalienergiaa U Horisontaalinen viiva uvaa oonaisenergiaa E 1 2 2, joa on vaio ja ei siis muutu :n funtiona. Parabolin etäisyys -aselista uvaa siis U:n suuruutta ja osa E K + U, parabolin etäisyys horisontaalisesta E-viivasta uvaa ineettisen energian K suuruutta. E:n ja U:n äyrät risteävät ohdissa ±, jolloin siis aii energia on potentiaalienergiaa U (K 0) ja appale on heten levossa ja vaihtaa liiiesuuntaansa. Energia siis muuttuu jatuvasti ineettisestä potentiaalisesi energiasi ja päinvastoin. Kosa ei voi olla K < 0, U ei voi olla suurempi uin E 1 2 2, joten ei voi olla > tai < Kuvassa 14.15b U:n lisäsi on piirrettu K:n parabolinen :n funtio, joa leiaa U:n pisteissä ± U ja K poieutusoordinaatin funtiona yhtälön (14.21) muaisesti.

26 14.3 Harmonisen liieen energia 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Esimeri 14.4: Nopeus, iihtyvyys ja energia YHL:ssä (a) Lasetaan masimi- ja miniminopeudet seä (b) minimi- ja masimiiihtyvyydet Esimerin 14.2 värähtelevälle elalle ( 200 N/m, m 0.50 g, m). (c) Lasetaan nopeus v ja iihtyvyys a, un ela on puolessa matassa alupisteen ja tasapainopisteen 0 välillä. (d) Lasetään tässä pisteessä oonais-, potentiaali- ja ineettinen energia. (a) Yhtälö (14.22), v ± m 2 2 antaa masimivauhdin tasapainopisteessä 0: v ma 0.40 m/s eli m masimi- ja miniminopeudet ovat tasapainopisteessä m/s ja 0.40 m/s, un ela on menossa oiealle ja vasemmalle. (b) Masimiiihtyvyys saadaan ohdassa m: a ma m ( ) +8.0 m/s2 ja minimiiihtyvyys, un m: a min (+) 8.0 m/s2 m (c) Kun ela liiuu vasemmalle pisteiden + ja 0 puolivälissä ( m), on nopeus: 200 N/m v 0.50 g (0.020 m) 2 (0.010) m/s ja iihtyvyys: a m () 4.0 m/s2. (d) Energioisi saadaan: E (200 N m )(0.020 m) J, U (200 N m )(0.010 m) J K 1 2 mv2 1 2 (0.50 g)( 0.35 m s ) J Eli oonaisenergiasta 1 on potentiaali- ja loput 4 ineettistä energiaa ohdassa 2.

27 14.3 Harmonisen liieen energia Esimeri 14.5: YHL:n energia ja liiemäärä Jouseen () iinnitetty appale (M) teee YHL:ää amplitudilla 1. Kun se ohittaa tasapainopisteensä, sen päälle putoaa massa m. (a) Lasetaan liieen uusi amplitudi ja periodi. (b) Toistetaan sama un massa putoaa appaleen päälle toisessa ääntöpisteessä. (a) lussa E ja ohdassa 0 ennen törmäystä U 0, joten E 1 K Mv2 1 v 1 M Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset (a) Lyhyen törmäysen jäleen systeemi jataa tasapainoasemasta pienemmällä ineettisellä energialla (U 0): E (M + m)v2 2 1 M 2 2 M+m v2 1 M M+m ( 1 2 Mv2 1) ( M M+m ) E 1 (a) Kosa E , amplitudisi saadaan: ( ) M 1 M+m M 1 M+m (a) Yhtälöstä (14.2) saadaan periodisi: M+m T 2 2π (a) Liiemäärän -omponentti säilyy törmäysessä ja putoavan massan liiemäärä on -suunnassa nolla, joten saadaan: Mv ( (M + ) m)v 2 v 2 M v M+m Ongelman luonnostelma.

28 14.3 Harmonisen liieen energia 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Esimeri 14.5: YHL:n energia ja liiemäärä (b) Kun massa putoaa, appale on hetellisesti levossa (uva 14.16b), joten liiemäärän -omponentti on nolla seä ennen että jäleen törmäysen. (b) Kappaleen K 1 0 ennen törmäystä ja K 2 0 törmäysen jäleen. (b) Energia on oonaan jousen potentiaalienergiaa E 1 U 1. (b) Massan lisäys ei muuta oonaisenergiaa eli E 1 E ja amplitudi pysyy samana 2 1. (b) Kuitenin periodi muuttuu samoin uin (a)-ohdassa: T 2 (M + m)/ (a)-ohdassa energiaa häviää itavoimiin, osa appaleet liuuvat toistensa suhteen. (b)-ohdassa näin ei ole, osa poiittaissuuntaista liiettä ei ole Ongelman luonnostelma.

29 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Ysinertainen vertiaalinen harmoninen värähtely 14.4 Harmonisen liieen sovelluset YHL pätee aiiin tilanteisiin, joissa palauttava voima on suoraan verrannollinen poieutusen suuruudesta tasapainoasemasta eli F [yhtälö (14.3)]. Voimavaio riippuu tilanteesta ja un se on määritetty, osillaattorin ominaisuudet ω, f, ja T saadaan suoraan aiemmin esitetyistä yhtälöistä (14.10)-(14.12). Kun appale roiuu jousesta tasapainoasemassaan, vertiaalinen jousivoima on tasapainossa painon anssa: l mg Jousessa roiuva appale.

30 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Ysinertainen vertiaalinen harmoninen värähtely 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Otetaan tasapainopiste 0 ja suunta ylöspäin positiivisesi. Kun appale on etäisyyden verran tasapainopisteen yläpuolella, jousen venymä on l ja se ohdistaa appaleeseen ylöspäin voiman ( l ). Tällöin siihen ohdistuu palauttava alaspäin suuntautuva nettovoima, jona magnitudi on : F net ( l ) + ( mg) Samoin, jos appale on tasapainoohdan alapuolella, siihen ohdistuu ylöspäin suuntautuva nettovoima. Jousesta roiuva appale suorittaa siis YHL-osillaatiota, uten vaaatasossain, joten sen ulmataajuus on ω /m. Vertiaalinen YHL on siis äytännössä sama uin horisontaalinen YHL, ainoa ero on, että tasapainopiste ei ole enää venymättömän jousen ohdassa. Tilanne on sama, jos appale on jousen yläpuolella ja puristaa sitä l verran.

31 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Ysinertainen vertiaalinen harmoninen värähtely 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Esimeri 14.6: Vertiaalinen YHL vanhassa autossa Vanhan auton (m 1000 g) isunvaimentimet ovat loppuun uluneet. 980 N painoinen henilö nousee hitaasti autoon, jolloin sen massaesipiste tipahtaa 2.8 cm. uto osuu töyssyyn, jolloin se alaa suorittaa ysinertaista harmonista liiettä. Mallinnetaan auton ja henilön systeemiä appaleena, joa painaa jousta ja lasetaan värähtelyn periodi ja taajuus. Tilanne vastaa uvaa (12.18) ja jousen voimavaio saadaan henilön aiheuttamasta lisäpainumasta: F 980 N m g/s 2 Henilön massa on w/g 980 N/9.80 m/s g, joten auton ja henilön yhteisen osillaation periodi on: T 2π m 2π 1100 g ja taajuus f 1/T 1/1.11 s 0.90 Hz g/s s Isunvaimentimien tehtävä on vaimentaa tällaiset hyvin epämiellyttävät taajuudet Jousta painava appale.

32 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Ysinertainen harmoninen iertovärähtely 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Meaaninen ello pitää aiansa tasapainorattaan (uva 14.19) osillaatioiden avulla. Rattaalla on hitausmomentti I aselinsa suhteen ja ierrejousen palauttava vääntömomentti τ z κθ on verrannollinen ulmamuutoseen θ tasapainoasemasta ja κ on torsiovaio (torsional constant). Käyttämällä Newtonin 2. lain rotaatioanalogiaa jäyälle appaleelle τ z Iα z I d2 θ dt 2, saadaan liieyhtälö κ θ Iα z d2 θ dt 2 κ I θ Yhtälön muoto vastaa täsmälleen yhtälöä (14.4) YHL:n iihtyvyydelle, un θ ja /m κ/i, joten yse on ysinertaisesta harmonisesta iertovärähtelystä (angular SHL). Samalla analogialla saadaan myös ulmataajuus ja taajuus: κ ω I f 1 κ 2π I (14.24) Jos liie ei olisi YHL:tä, se voisi riippua amplitudista, jolloin ello ei ävisi tasaisesti. Liiettä uvaa funtio θ Θ cos(ωt + φ), missä Θ on ulma-amplitudi Kellon tasapainoratas.

33 Moleyylien värähtelyt 14.4 Harmonisen liieen sovelluset 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Muutaman atomin halaisijan etäisyydestä lähtien atomit yleensä ohdistavat toisiinsa vetovoimia (attractive forces) mutta un niiden eletroniraenteet ovat riittävän päälleäin voimat muuttuvat työntävisi (repulsive forces). Kun systeemin oonaisenergia on alempi uin erillisten atomien energioiden summa, asi atomia muodostaa moleyylin. Kun atomit poieutetaan tasapainoasemastaan, ne värähtelevät sen ympärillä. Eräs atomeja moleyyleisi yhdistävä voima on ns. van der Waals (vdw)-vuorovaiutus, jona vanttimeaaniseen taustaan ei tässä mennä. Kun atomien esipisteet ovat etäisyydellä r ja tasapainoetäisyys on R 0, oeellista dataa melo hyvin uvaava vdw-vuorovaiutusen potentiaalienergiafuntio on (U 0 on positiivinen vaio, [U 0 ] J): U U 0 [ ( R0 r ) 12 ( ) ] 6 R0 2 r (14.25)

34 Moleyylien värähtelyt 14.4 Harmonisen liieen sovelluset 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Kun atomit ovat auana toisistaan U 0 ja un r R 0 U U 0. Toiseen atomiin ohdistuva vdw-voima on: F r du [ 12R 12 ] [ ( dr U 0 0 r R6 0 r 7 12 U ) 13 ( ) ] 7 0 R0 R0 (14.26) R 0 r r Voima on positiivinen un r < R 0 ja negatiivinen un r > R 0, joten se on palauttava (restoring) voima Kahden etäisyydellä r olevan atomin vuorovaiutus.

35 Moleyylien värähtelyt 14.4 Harmonisen liieen sovelluset 14.1 Värähtelyn uvaaminen 14.3 Harmonisen liieen energia 14.4 Harmonisen liieen sovelluset Muutetaan tarastelu poieutusesi tasapainoetäisyydestä: r R 0 r R 0 + : [ ( F r 12 U ) 13 ( ) ] 7 0 R0 R0 12 U [ ] 0 1 R 0 R 0 + R 0 + R 0 (1 + /R 0 ) 13 1 (1 + /R 0 ) 7 Jos rajoitutaan pienen amplitudin liieeseen eli binomiehitelmän (1 + u) n 1 + nu + n(n 1) ) [(1 + ( 13) R0 F r 12 U 0 R 0 << 1, jolloin voidaan ottaa R 0 u 2! pari ensimmäistä termiä: (1 + ( 7) R0 )] ( 72U0 R 2 0 ) (14.29) Saadaan Hooe n lai voimavaiolla 72U 0 /R 2 0 ([] J/m2 N/m) eli vdw-moleyylin värähtely tasapainoetäisyyden ympärillä voi olla pienillä amplitudeilla harmonista. Binomiehitelmällä voidaan myös osoittaa, että potentiaalienergia on muotoa U C, C U 0, 72U 0 /R 2 0. Kosa vaiotermillä C ei ole vaiutusta systeemin fysiiaan eli se voidaan valita vapaasti nollasi, ei ahden atomin värähtelijä eroa horisontaaliseen jouseen ytetystä massasta, jolle U

36 12.5 Ysinertainen heiluri 14.5 Ysinertainen heiluri 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Paotetut värähtelyt ja resonanssi Ysinertainen heiluri (simple pendulum) on idealisoitu malli, jossa pistemassa on ripustettu massattomaan ja venymättömään lanaan. Sillä voidaan mallintaa tasapoinopisteen ympärillä tapahtuvaa heilumista, uten esimerisi einumista (uva 14.21a). Pistemassan rata on L-säteisen (langan pituus) ympyrän aari, joten luonnollinen oordinaatti on etäisyys tällä radalla eli Lθ. Jotta pistemassa teisi ysinertaista harmonista liiettä, palauttavan voiman pitää olla suoraan verrannollinen poieamaan. Palauttava voima on pistemassaan ohdistuvan nettovoiman tangentiaalinen omponentti (uva 14.21b): F θ mg sin θ (14.30) Jännitysvoima T pitää ainoastaan pisteen radallaan, joten palauttava voima on gravitaatiovoiman aiheuttama. Palauttava voima ei ole suoraan verrannollinen poieamaan (θ) vaan sen siniin (sin θ) eli yseessä ei ole YHL Ysinertaisen heilurin dynamiia.

37 12.5 Ysinertainen heiluri Kuitenin jos poieama θ on pieni on sin θ θ θ3 3! + θ5 θ, esim. 5! θ 0.1 rad( 6 ) sin θ , eli: F θ mgθ mg L mg L (14.31) Palauttava voima on suoraan verrannollinen poieamaan voimavaiolla mg/l, ja ysinertaisen heilurin ulmataajuus, taajuus ja periodi ovat: 14.5 Ysinertainen heiluri 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Paotetut värähtelyt ja resonanssi Kosa palauttava voima on paino, yhtälön F m a ummallain puolella esiintyy appaleen massa m, joa siis umoutuu pois eli edellisissa yhtälöissä sitä ei esiinny. Tietyllä arvolla g heilurin pienen heilahdusen periodi (seä ulmataajuus ja taajuus) riippuu ainoastaan L:stä. Pitällä heilurilla on pidempi periodi ja toisaalta suurempi g asvattaa palauttavaa voimaa, miä lyhentää periodia. ω mg/l m f ω 2π 1 2π g L m T 2π ω 1 f 2π L g g L (14.32) (14.33) (14.34) Pienillä poieamilla θ palauttava voima on siihen suoraan verrannollinen, joten heiluri on ysinertaisessa harmonisessa liiessä.

38 12.5 Ysinertainen heiluri 14.5 Ysinertainen heiluri 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Paotetut värähtelyt ja resonanssi On hyvä muistaa, että heilurin liie on vain approsimatiivisesti YHL:tä. Kun amplitudi ei ole pieni, liie voi erota YHL:stä varsin paljon. Sen, milloin amplitudi on pieni ja liie siis YHL:tä, voi arvioida yleisesti voimassa olevasta äärettömästä sarjasta periodille (Θ on ulmamuutosen masimi eli amplitudi): T 2π L g ( Θ 2 2 sin Θ ) sin (14.35) Kun amplitudista Θ riippuvat termit ovat riittävän pieniä, voidaan liiettä pitää ysinertaisena harmonisena liieenä. Esimerisi, un Θ 15 oiea periodi on n. 0.5% pidempi uin pelän ensimmäisen termin eli yhtälön (14.35) antama YHL:n periodi. Yhtälöllä (14.35) voidaan lasea periodi haluttuun taruuteen mille tahansa ulmalle, unhan termejä otetaan tarpeesi Pienillä poieamilla θ palauttava voima on siihen suoraan verrannollinen, joten heiluri on ysinertaisessa harmonisessa liiessä.

39 12.5 Ysinertainen heiluri 14.5 Ysinertainen heiluri 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Paotetut värähtelyt ja resonanssi Esimeri 14.8: Ysinertainen heiluri Lasetaan L m pitän ysinertaisen heilurin periodi ja taajuus paiassa, jossa g m/s 2. Ysinertaiselle heilurille voidaan äyttää edellä johdettuja jasonajan ja taajuuden yhtälöitä. Periodi saadaan yhtälöstä (14.34): Ja taajuus suoraan jasonajasta: Periodi on melein tasan 2 s. L T 2π g 2π m m/s s f 1 T Hz s Metrisen systeemin aluvaiheessa seunti oli määritelty metrisen ysinertaisen heilurin jasonajan puoliaasi. Määritelmä oli huono, osa g:n arvo muuttu paiasta toiseen.

40 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.5 Ysinertainen heiluri 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Paotetut värähtelyt ja resonanssi Fysiaalinen heiluri (physical pendulum) on miä tahansa todellinen heiluri, jossa ysinertaisen heilurin massapisteen sijasta heilahtelee laajempi appale. Kuvan epäsäännöllisen muotoinen appale on ripustettu tappiin ohdasta O, jona ympäri se voi heilahdella itatta. Tasapainossa appaleen painopiste on suoraan ripustuspisteen alapuolella. m-massainen appale on poieutettu tasapainoasemasta ulman θ verran (uva 14.23), d on painopisteen (cg) etäisyys tapista O ja appaleen hitausmomentti O:n rotaatioaselin suhteen on I. Tällöin painovoima aiheuttaa vääntömomentin: τ z (mg)(d sin θ) (14.36) missä negatiivinen etumeri ertoo, että palauttava vääntömomentti on myötäpäivään un poieama on vastapäivään ja päinvastoin Fysiaalisen heilurin dynamiia.

41 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.5 Ysinertainen heiluri 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Paotetut värähtelyt ja resonanssi Kun appale vapautetaan, se osilloi tasapainoaseman ympärillä. Liie ei ole ysinertaista harmonista, sillä τ z sin θ, mutta un θ on pieni sin θ θ (rad) liie on approsimatiivisesti YHL:tä ja: τ z (mgd)θ Liieyhtälö on τ z Iα z, joten (mgd)θ Iα z I d2 θ dt 2 d2 θ dt 2 mgd θ (14.37) I Vertaamalla yhtälöön (14.4), etuteijän (/m) sijasta nyt on (mgd/i), joten ulmataajuus (f ω/2π) ja periodi ovat: mgd ω I I T 2π mgd (14.38) (14.39) Fysiaalisen heilurin dynamiia. Yhtälöä (14.39) äyttämällä voidaan määrittää hitausmomentti monimutaiselle appaleelle (esim. eläinten biomeaniia).

42 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.5 Ysinertainen heiluri 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Paotetut värähtelyt ja resonanssi Esimeri 14.9: Ysinertaisen ja fysiaalisen heilurin ero Jos uvan (14.23) appale olisi toisesta päästään riiputettu yhtenäinen L:n pituinen sauva, miä sen heilumisperiodi olisi? Päästään ripustetun sauvan hitausmomentti löytyy tauluosta 9.2: I 1 3 ML2. Ripustuspisteen ja sauvan painopisteen etäisyys on: d L/2, joten periodisi saadaan: I T 2π mgd 2π 1 3 ML2 2L 2π 1 MgL 3g 2 Jos L 1.00 m ja g 9.80 m/s 2, periodi: 2(1.00 m) T 2π 3(9.80 m/s 2 ) 1.64 s Periodi on siis 2 verran pienempi uin 3 ysinertaisella heilurilla. Tämä erroin johtuu ahdesta teijästä: toisaalta sauvan hitausmomentti on 1 pienempi uin 3 ysinertaisella heilurilla ja lisäsi sauvan painopisteen etäisyys pyörimisaselista on puolet ysinertaisen heilurin vastaavasta.

43 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.5 Ysinertainen heiluri 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Paotetut värähtelyt ja resonanssi Esimeri 14.10: Tyrannosaurus Re ja fysiaalinen heiluri Joaiselle eläimellä on luonnollinen avelytaajuus (esim. aselta/min), joa on helpompi ylläpitää uin nopeampi tai hitaampi taajuus. Käsitellään jalaa fysiaalisena heilurina, josta ävelytaajuuden oletetaan riippuvan. (a) Käsitellään jalaa yhtenäisenä sauvana lonasta jalaterään. Kuina jalan pituus L vaiuttaa ävelytaajuuteen? (b) Fossiilinäytteiden muaan 65 miljoonaa vuotta sitten T. Re:n jalan pituus oli L 3.1 m ja aselpituus S 4.0 m (uva 14.24). rvioi sen ävelyvauhti. (a) Joainen asel taroittaa jalan heilautusta eli puoliasta fysiaalisen heilurin periodista, T 2π 2L 3g L (b) Mallin muaan T. Re etenee aseleen S verran yhden oonaisen periodin aiana: T 2π 2L 3g 2π 2(3.1 m) 3(9.8 m/s 2 ) 2.9 s (b) Kävelyvauhti on suunnilleen ihmisen: v S T 4.0 m 1.4 m/s 5.0 m/h 2.9 s Kosa eläinten jalat eivät ole tasapasuja vaan massa on lähempänä lonaa painopisteen etäisyys on lyhyempi ( L/4) ja myös hitausmomentti on huomattavasti pienempi ( ML 2 /15). Periodi on siten huomattavasti lyhyempi ja ävelynopeus selvästi suurempi. (a) Joten ävelytaajuus on asi ertaa värähdystaajuus, f 1/T 1/ L. Eli mitä pidempi L sitä hitaampi ävelytaajuus Tyrannosaurus Re

44 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.5 Ysinertainen heiluri 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Paotetut värähtelyt ja resonanssi Kappeleeseen ohdistuva nettovoima on: F bv (14.40) Newton:in 2. lai systeemille on: bv ma b d dt m d2 dt 2 (14.41) Tämä on :n differentiaaliyhtälö uten yhtälö (14.4) mutta lisätermillä bd/dt. Se voidaan uitenin rataista ja jos vaimentava voima on suhteellisen pieni, liiettä uvaa yhtälö: Värähtelyn ulmataajuus on: e (b/2m)t cos(ω t + φ) (14.42) ω m b2 4m 2 (14.43) Heilumaan jätetyn ellon osillaatiot vaimenevat vähitellen ilmanvastusen ja itavoimien ansiosta.

45 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.5 Ysinertainen heiluri 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Paotetut värähtelyt ja resonanssi Yhtälön (14.42) uvaama liie eroaa vaimentamattomasta värähtelystä ahdella tapaa. Ensinnäin etuteijä e (b/2m)t ei ole vaio vaan se vaimenee esponentiaalisesti ajan funtiona ja mitä suurempi b sitä nopeammin (uva 14.26). b on uitenin riittistä arvoaan (ts. alla) pienempi, jolloin yseessä on alivaimennus (underdamping). Toiseseen ulmataajuus ω yhtälössä (14.43) on hieman pienempi uin ja menee nollasi ehdolla: m m b2 4m 2 0 b 2 m (14.44) Tällöin yseessä on riittinen vaimennus (critical damping), jolloin systeemi ei enää värähtele vaan palaa tasapainoonsa ilman osillaatiota, un se poieutusen jäleen vapautetaan Vaimennetun värähtelyn amplitudin vaimeneminen ahdella eri vaimennusvaion b arvolla (vaiheulma φ 0).

46 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.5 Ysinertainen heiluri 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Paotetut värähtelyt ja resonanssi Jos b > 2 m, on yseessä ylivaimennus (overdamping) ja systeemi ei edelleenään osilloi. Se uitenin palaa tasapainoonsa hitaammin uin riittisen vaimenemisen tapausessa, sillä yhtälön (14.41) rataisu on tällöin: C 1 e a 1t + C 2 e a 2t missä C 1 ja C 2 ovat aluehdoista riippuvia vaioita ja a 1 seä a 2 vaiot riippuvat m,, ja b. Soittimen ielen tai ääniraudan tapausessa vaimennus pyritään yleensä minimoidaan. Vaimennus on uitenin tarpeen esim. uluneuvojen jousitusen värähtelyjen vaimentamisessa, joissa isunvaimentimet aiaansaavat vauhdista riippuvan vaimennusvoiman (uva 14.27). Kyyti on tasaista, jos isunvaimennus on joo riittisesti tai hieman alivaimennettu, sillä jousi ei jää osilloimaan törmäysen jäleen. Ylivaimennusella on vastaainen vaiutus, sillä jousi ei tällöin ehdi palautua puristusesta ennen seuraavaa isua, eiä siis voi täysin absorboida sitä Isunvaimentimessa visoosin fluidin vaimentava voima riippuu ahden pään suhteellisesta vauhdista.

47 Vaimennetun värähtelyn energia 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.5 Ysinertainen heiluri 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Paotetut värähtelyt ja resonanssi Vaimentava voima ei ole onservatiivinen eli systeemin meaaninen energia ei ole vaio vaan vähenee jatuvasti ja lähestyy nollaa pitällä aiavälillä. Energian muutosnopeudelle saadaan yhtälö ottamalla oonaisenergian lauseeesta E 1 2 mv derivaatta ajan suhteen ja un muistetaan, että v d dv ja a dt dt, saadaan: de dt dv d mv + v(ma + ) dt dt Kosa yhtälö (14.41) voidaan irjoittaa ma + b d bv, saadaan E:n dt muutosnopeus: de dt v( bv) bv2 (14.45) Oiea puoli on aina negatiivinen, un appale on liieessä, riippumatta v :n etumeristä. Energia siis pienenee aina, un appale liiuu, muttei vaionopeudella. Termi bv 2 (bv )v (voima ertaa nopeus) on vaimennusteho eli se ertoo minä verran vaimentava voima teee (negatiivista) työtä systeemiin (vrt. indutanssi, apasitanssi ja resistanssi sähöpiireissä).

48 14.5 Ysinertainen heiluri 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Paotetut värähtelyt ja resonanssi Vaimennettu värähtely ja periodinen äyttövoima 14.8 Paotetut värähtelyt ja resonanssi Itseseen jätetty vaimennettu osillaattori lopulta pysähtyy. Se voidaan uitenin pitää vaio-amplitudin liieessä, jos siihen ohdistetaan periodisesti ajan suhteen muuttuva liiettä ajava voima eli äyttövoima eli paottava voima (driving force). Kun vaimennettuun värähtelijään ohdistetaan periodisesti muuttuva voima, jona ulmataajuus on ω d, saadaan aiaan paotettu eli ajettu värähtely (forced or driven oscillation). Tällöin liie eroaa vapaasti vaimenevasta värähtelystä, jolla on yhtälön (14.43) muaan ns. luonnollinen ulmataajuus ω m b2 4m 2. Paotetussa värähtelyssä ulmataajuus on sama uin sitä ajava ulmataajuus ω d, jona ei tarvitse olla sama uin ω Paotetun värähtelyn amplitudi ajavan voiman ulmataajuuden ω d funtiona eri vaimennusvaioilla b. -aselilla suhteellinen muutos ω d /ω, missä ω /m vaimentamattomalle osillaattorille.

49 14.5 Ysinertainen heiluri 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Paotetut värähtelyt ja resonanssi Vaimennettu värähtely ja periodinen äyttövoima 14.8 Paotetut värähtelyt ja resonanssi Toisaalta, un ω d ω, värähtely vahvistuu verrattuna tilanteeseen, jossa ulmataajuudet ovat hyvin erilaisia. Jos ajan suhteen sinimuotoisen (sinusoidal) paottavan periodisen voiman, F (t) F ma cos ω d t, ulmataajuutta muutellaan, paotetun värähtelyn taajuuden amplitudi muuttuu uten uvassa Kun vaimennusta on vähän (pieni b), amplitudilla on terävä piii, un ω d ω. Jos vaimennusta asvatetaan (suurempi b), amplitudipiii levenee ja mataloituu seä siirtyy ohti matalampia taajuusia. mplitudille saadaan differentiaaliyhtälön rataisuna muoto: F ma ( mωd 2)2 + b 2 ωd 2 (14.46) :n masimi ( 1 ) on ohdassa b mωd 2 0 ω d /m. Matalan taajuuden alueella (ω d 0) ajava voima on vaio F ma eli saadaan vaiopoieama Fma Paotetun värähtelyn amplitudi ajavan voiman ulmataajuuden ω d funtiona eri vaimennusvaioilla b (-aseli: ω d /ω, missä ω /m vaimentamattomalle osillaattorille).

50 Resonanssi ja sen seurauset 14.8 Paotetut värähtelyt ja resonanssi 14.5 Ysinertainen heiluri 14.6 Fysiaalinen heiluri 14.7 Vaimennetut värähtelyt 14.8 Paotetut värähtelyt ja resonanssi mplitudipiiiä luonnollisen osillaattorin taajuuden lähellä olevilla ajavan ulmataajuuden ω d arvoilla sanotaan resonanssisi (resonance). Resonanssia hyödynnetään, un heilurisysteemille annetaan lisävauhtia ohdistamalla siihen voima lähellä sen luonnollista taajuutta (esim. vauhdin antaminen lapselle einussa). Samaa resonanssi-ilmiötä haetaan, un sähöinen piiri pyritään säätämään siten, että se reagoi voimaaasti tiettyihin sähömagneettisen säteilyn taajuusiin. Tällöin vastaanotin (receiver) saadaan havaitsemaan vain haluttuja taajuusia resonanssitaajuuden lähettyviltä (esim. radio, ännyä, NMR-spetrometri). Toisaalta resonanssi-ilmiöitä havaitaan silloinin, un ei olisi tarvis (esim. äänen orostumat aiuttimissa, moottoreiden tärinät tietyillä ierosluvuilla jne.) Se voi myös aiheuttaa appaleiden hajoamista, un ajavan voiman taajuus osuu appaleen resonanssitajuudelle (esim. tuuli tai marssivat jouot saavat sillan hajoamaan, sopivan taajuusinen ääni saa ristallilasin hajoamaan).

51 n do not depend v (14.10) frequency, period in SHM T is n 2p ƒf 2p (14.12),0.0m n frequency, when it is14.7.) displaced from equilibrium. T Period les 14.2, 14.3,acts 14.6, F mass F on amplitude, but only on force con- y am CHPTER SUMMRY 14 vmg (14.2) y a, 14.7.) time for one cycle. Frequency ƒ is number ofƒ Ysinertainen heiluri 2pƒ Tstant. mg 1 v y Thedisplacement, velocity, acceleration in mg 14.5 ƒ (14.11) cos1vt SHM +liie f2 (14.13) are sinusoidal functions of time; n heiluri 2p 2p m n n amplitude cycles per unit time. ngular frequency Luu v is 2p times 14:mgJasollinen (L10) 14.6 Fysiaalinen F F mg phase angle f of oscillation are determined by mg 1 cos1vt + f2 initialmotion: (14.13) 1 frequency. (See Eample 14.1.) Periodic motionofis motion that position velocity body. (Seerepeats EamƒT 1 2p T m (14.1) Luu 14: JasollinenPeriodic liie (L11) 14.7 Vaimennetut va ra htelyt (14.12) mg itself in a definite cycle. occurs whenever a body has a mg Tƒ ƒ mg ples 14.2, 14.3, 14.6, It 14.7.) stable equilibrium position a restoring force thatpaotetut va ra htelyt ja resonanssi 14.8 cos1vt2p 1 1 when 2 acts 2 it is 1displaced 2 from equilibrium. nergy in simple harmonic motion: Energy is conserved Period T is Energy+ f2 E 5 K(14.13) 1U 2 0, constant e F in F - (14.3) E 2 mv a y v 2pƒ (14.2) y y a time for one cycle. Frequency ƒ is number of T SHM. The total energy can be epressed in terms of n CHPTER SUMMRY en displacen n unit ngular frequency v is times U 1 per 2F 1-2 cycles 2 time. monic motion: Energy conserved Simple harmonicis motion: If restoring force F in1 (14.3) Energy in simple harmonic motion: Energy is 2p conserved F Energy E 5 K 1 FU 5 K 1 U E Energy mv E constant E mv + constant F frequency. (See Eample 14.1.) (14.21) he force constant amplitude.proportional (See Eamples The total energy can be epressedin terms of in SHM. periodic motion is-directly to (14.4) displacemotion mg U mg K mg a (14.3) (14.21) O F nergy can bement epressed inismcalled terms of harmonic motion force constant amplitudet. (See Eamples K U m, motion simple ) 2T T a (14.4) ) fied if t m1 2T T (14.21) O 1m (SHM). In manyeamples cases thismotion condition is satisfied if amplitude. (See Periodic motion: Periodic is motion that repeats 2 O ƒ 2 T Simple harmonic motion: (14.1) angular If restoring2 force F in2 F -K O (14.3) F in a definite displacement equilibrium is whenever small. Theaangular fromcycle. T ƒ motion is directly proportional to itself It occurs body has a periodic displacev equilibrium (14.10) F (14.10) -stable depend not frequency, frequency, period in(14.4) SHM do not that depend O v position a restoring force ment, motion is called simple harmonic motion 0a - t SHM, 2 (14.4) m O Balance wheel Spring t m but simple motion: In angular 0 m m 1 2T T m con- acts (SHM). In manyharmonic cases condition is satisfied if, onm amplitude, only on mass m forcet con2tthis Tngular when it is displaced from equilibrium. Period is v. 0 ƒ 2p d force frequency angular frequency are related to 2p I I y O a from equilibrium 2 y 2 Ysinertaisen v 2pƒ (14.2)is small.athey angular of inertia v 1 displacement stanttime. The displacement, velocity,ƒ acceleration for one cycle. Frequency is number of in moment I torsion. dependysinertainen Vaimennetut UMMRY v (14.10) (14.24) frequency, frequency, period in constant SHM do not (14.11) 1functions v erationsimple in ngular harmonic motion: In angular SHM, times2 ƒ 2p 2pTon Balance Spring m wheel t 1 SHM are sinusoidal of time; amplitude u n m Jasollinen liie n n cycles per unit time. ngular frequency v is 2p amplitude, but only on mass m force con ƒ (14.11) vharmonisen Spring torque t opposes F angular F ƒ mplitude 1 stant. The displacement, velocity, acceleration frequency. phase angle f2p of oscillation are by v in heiluri requency frequency are todetermined angular displacement u. va ra htelyt mrelated 2p (See Eample 14.1.) 2p I mgamplitude CHPTER 14 Periodic ƒ 462 (14.11)Motion (14.10) 1 I m are sinusoidal functions SHM of time; m 2p mg mg 2p initial of body. 1 position 1 velocity mined by T 2p phase angle f of (14.12) moment of inertia I torsion constant. (See Eam- liieen motion repeats are determined by thatm (14.24) ƒ 14.2, T (14.1) ƒ energiaoscillation 1 m m 14.7.) T114.3, 14.6, ƒshm, henever a body has aples initial position velocity of body. (See Simple pendulum: simple pendulum consists ofeama point Balance gz 2pwheel T (14.12) t See Eamonic motion: In angular Spring string of length L. Its v Damped 114.6,of u When(14.32) oscillations: a force F - bv proporƒ T 2p (14.12) 0 e -1b>2m2t cos 1v t + f2 (14.42) ples 14.7.) mass m at14.3, end a (14.13) massless storing force that L torque t opposes CHPTER cos1vt14 + f2 Periodic Motion Spring ƒ 2p to v 2,462 ƒ14.2, tional to velocityz is added to a simple harmonic oscillal motion is approimately simple harmonic for suffi0.0 2 ibrium. cos1vt + f2 (14.13) ar frequency vperiod T is 1 are related luvun yhteenveto z z I Iangular frequency, fre v 2pƒ (14.2) ciently small 2p amplitude; is number of Tis directly proportional torsion quency, period n depend only on g L, not on periodic to (14.13) displace +. f2 (14.11) constant motion cos1vt ncy 2p v is 2p times 1F 2 1 2mass 1or amplitude. (See 14.8.) 2harmonic 2p Energy inm simple harmonic motion: Energy is conserved motion: Energy is conserved Energy constant - 2Energy in simple DampedaEoscillations: When force F(14.24) Eample - bv + 2a 2 mv (14.1) ment, motion is called simple harmonic motion O (14.4) propor- Simple harmonic motion: If restoring force a y F in n F F y -a y n F n mg (14.3) g is calledu. 1 angular displacement tor,v motion a (14.33) damped oscillation. If ƒ 2p (called L underdamping), systemu oscilb 2p 6 2 2m T v 1 decaying 2 1-1b>2m2t 2 Energy E122p 5 K lates an angular fre- E 5 K 1 U E mvwith 12L2amplitude 1 a2u + e cos constant 1v t +f2 (14.42) 2T that 2ptis lower (14.34) of T Tquency min SHM. The total energy can be epressed in terms Umg sin u mg cos u it would be without vtz v ƒ g u than U (14.21) added a simple harmonic force to constant (14.21) amplitude. (SeeoscillaEamples mg K damping. If b t2 1m or 2 (called critical damping) 2 Spring torque K ) zbopposes Bm - b 4m 2 (14.43) m in SHM.InThe totalcases energy be epressed in terms of mg (SHM). many thiscan condition is satisfied if e2(b /2m)t tionalmgto velocity is force amplitude. (See displacement The imple pendulum: simple pendulum ofeamples aangular point gis called a damped oscillation. If constant 2 from equilibrium 0 CHPTER consists is small. 14 Periodic Motion tor, b 72 1m (called when system - overdamping), (14.43) v 1 in SHM ), period v v motion 2 conserved frequency, frequency, do 2 E 5 K (14.10) 1 U (14.32) angular displacement u. 2 mass m at(14.2) end a massless length L. not Its depend E of mv +y 12string of constant (14.12) mit returns m Energy is displaced to2 equilibrium without OO B a a 4m L 2 y2 (called underdamping), system oscilb 6 22m y Physical pendulum: physical pendulum is any body UMMRY mgd ring force Fof z F amplitude, - on but only on (14.3) mass m force con in 2 O v oscillating. nonal terms L (14.38) suspended from an ais an of rotation. The angular motion approimately simplen harmonic for suffi- lates amplitude angular fre- freto is displacet B I O period v U 1 quency stant. velocity, n acceleration in with a decaying n The u d F displacement, for (14.11) small-amplitude oscillations are (14.21) d sin u F g ngular simple harmonic motion: In angular SHM, F ƒ Balance wheel Spring v 1 amples 1 harmonic motion amplitude; iently small angular frequency, a are sinusoidal (14.4) cg quency that is than itangular would be v Kfrequency -1b>2m2t -Damped SHM oftime; amplitude aƒ force I freo When t lower independent amplitude, but without depend on to v ƒ T 2T 3T 4T 5T m 2pF oscillations: bv frequency are related (14.33) m 1 functions mg sin u T T 2p mass of m,grave462 cos 1v t +(14.39) (14.42) 2p ofpropor2p If2 When I oscillations 2T nis ismotion satisfied ifrepeats 1m Fma Driven resonance: a sinusoidally that distance ais of rotation to center mgd mg phase angle oscillation are determined by u CHPTER 14 Periodic Motion 2p (called Lofd from moment inertia I torsion constant ƒmg simple T harmonic f ofmg (14.1) damping. If2p critical damping) or.balance b 21m uency, period n depend only on (14.13) gin L, 2 not on mg cos u (14.24) (14.46) motion: angular Spring 5F mall. The angular e2(b /2m)t ity, of1 inertiai about ais. (See Eam- wheel varying T consists ƒ whenever a body has ngular a driving force is added to a damped harmonic 1 harmonic m moment 2 tional toavelocity isshm, added to atvsimple oscillatz mg simple pendulum of point u 21 - mvd2 22 +b b52v0.1!m initial velocity of related body. (See Eam ƒ ) d 4F T motion is called a Spring system v position (14.10) 2 resulting (called 2p overdamping), (14.12) b 7g21m when ples 14.9 frequency angular frequency are SHM doforce notor depend he mass amplitude. (See Eample 14.8.) torque tz opposes restoring that oscillator,b forced oscilla to 2 0 I 2p I m 14.3, 2 O ƒ 3F v (14.32) 2 angular displacement u. ples 14.2, 14.6, 14.7.) b 5 0.4!m 2p 1 to equilibrium.0 ass Period force Tcontor, is acalled aydisplaced damped oscillation. If L (14.24) ilibrium. is moment ofof inertia torsion constant., 0is a mmassless string length L.motion Its(14.2) 2p I tion. The amplitude is a function driving frereturns without -1b>2m2t v Damped oscillations: When a force Fof (14.43) - bv proporait L T 2p (14.34) y e cos 1v t + f2 (14.42) 2F v 2pƒ y v ƒ is acceleration number ofin 2 reaches mgtoa pea cos uat a driving tz B mquency vd u frequency F cos1vt + f2 (14.13) 1bT 6 u g v ƒ (14.3) mg sin oscillating. ƒ (14.11) 461 tional to velocity is added a simple harmonic oscilla4m L underdamping), Simple system oscil2 2m (called tely simple suffin n n uency is 2p times me; vamplitude harmonic torque tzclose opposes 2p 2pfor natural frequency of system. This behavpendulum: simple pendulum consistsspring of a point b2 F gto ismg F 1 m 2 tor, called a damped oscillation. If 2 by 1 2 v ior motion.)are1determined (14.43) v Energy 1U islu. called resonance. (14.32) g mass m at Eend5 of ak massless string of lengthangular L. Its displacement vmg 1 lates decaying amplitude O B m 4m 2 mg ude; angular frequency, fre- a(14.12) 1 mg an angular fre2 2 T O 2 m with L oscil(14.4) he body. (See Eamis 1approimately simple harmonic for suffi- b 6 2 2m (called underdamping), system SHM, wheel Spring t 1 isƒconserved 2p harmonic motion: (14.33) 1 Balance 1motion Energy inƒ simple Energy Energy Ev 5aKdecaying 11U g amplitude an angular freewould 2 mv + small constant T 2T amplitude; angular frequency, frelatesƒ with 2ciently 2 quency than itoscillations without v beƒthat vshm. on is lower Fma (14.33) u Driven resonance: When a sinusoidally U Lbe 2p 2p hen L, can not on TheIg total energy epressed in terms of to depend inonly u 2p that 2pislower L quency, period n depend only on g L, U not onquency 2 Tb !m 2T0 3T0 4T0 5T0 than it would be without v (14.46) 2p Iof avarying 5Fma/ pendulum: constant cos1vt + f2 Simple simple pendulum consists point (14.21) T drivingg forcedamping) ismass added to aor damped harmonic (14.21) or amplitude. (See Eample 14.8.) amplitude Eamples If(14.13) (called b.any (See 21m FEample toring forcependulum: in force pendulum is body F physical - damping. (14.3) K damping mv 2 (14.34) +critical b 2vddamping) 2pIf LT (called or b 1O 21m (14.10) hysical. (See de. mgd v critical (14.32) K string 4Fma/ mass m at14.8.) end of a massless of length L. Its 2p z d (14.24) L tional to (14.1) displace-14.4 oscillator, resulting motion is called a(14.38) forced oscilla- b 7T21m mg cos u 14.5.) 2p 1 L v (called ƒ g b 5 0.4!m b 5 0.1!m mg sin u v overdamping), when system F uspended from an ais of rotation. The angular fre 3F tz system ma/ L b 7 21m (calledfor overdamping), when mg harmonic suffie harmonic motion motion u of simple a 1is approimately (14.4) B T 2p (14.34) 2 Energy is conserved O Energy t I tion. The amplitude is a function driving free 5 K 1 U is displaced it returns to equilibrium without b 5 0.7!m b 5 0.4!m E mv + constant 2 O u PROBLEM d g tz opposes m amplitude; ma vspring1 2T T 2m 2 angular BRIDGING Oscillating Rolling 2F2 mg cos u / torque ion is satisfied if period freuency for small-amplitude are g v dmg sin usin u pressed in terms of ciently small 2 0 oscillations it frequency, is2 displaced returns toquency equilibrium ƒ ƒ reaches without (14.33)frequency (14.11) U oscillating. b 5 1.0!m v Fma/ d 2pangular small. The angular u 2p al pea at au.drivingpendulum displacement period n only g 2 m, L, not on,but 0.depend 0 on(14.21) cg mg. (See Eamplesof quency, IO O ndependent depend on mass Physical pendulum: physical body b 5 2.0!m K 2 Thisis any z v (14.10) in SHM do not dependamplitude, close T to natural frequency of system. behavtwo uniform, solid cylinders of radius R total mass M are con vd /v mg mgd sin u T oscillating. y 2p (14.39) (14.2) v (14.38) y amass ormamplitude. (See Eample y a 14.8.) suspended from an ais of rotation. The angular fre B I mass m dforce con2p 1 quency Lperiod for small-amplitude oscillations istance from ais of harmonic rotationmotion: to Incenter gravlightu rod rest on a d ngular simple angularof SHM, Balance Spring along ir common ais by a short, are wheel nected ioro is called mgd 1 (14.34) d sin u T resonance. 2p (14.12) Fma 2 cos14.29). u When 1 n v Driven horizontal oscillations mg resonance: a sinusoidally y, acceleration in n M mg cos v v (Fig. frictionless ring cgat center I utabletop independent m, sin u ƒ ƒgof amplitude, but depend on massmg Iangular F (14.11) frequency related to F y, moment ofƒninertia about ais. (See Eam of (14.46) mg sin u T 2p (14.39) are 2pais ofi rotation to center of gravi ime; amplitude frequency mg 2p 2p m varying force is to added to awith damped distance d from driving rod ismg attached a spring force harmonic constant ; or end21 - mv b 2v 2 mgd mg cos u d moment of inertia torsion constant. ts of14.9 a point g I on determined (14.24) d lesare by14.10.) ity, moment of inertia I about ais. (See Eam-oscillator, resulting motion is calledare a forced of spring is fied. The cylinders pulled tooscillamg left a distance mg (14.13) 1 m mg tz vmg (14.32) body.shm, (See EamO ples ) u stretching angular pendulum Balance wheel Spring physical is any body T 2p R F 1 (14.12) Driven oscillations resonance: When a sinusoidally, isspring, n released fromfrerest. Due to friction gth L. Its tion. The amplitude a function of driving mgd ma z Spring torque tz opposes v ƒ L ƒ Balance wheel Spring e related to (14.46) between tabletop cylinders roll without I 2p pendulum I quency v reaches a pea at acylinders, driving frequency b 5 0.2!m 5F / (14.38) angular displacement O Physical pendulum: physical isv any body ris suffiof.rotation. angular fremgdl varying driving force is added harmonic z d u. as 2y 2 oscillate.2show2 that motion of center ma constant The cos1vt + f2 (14.13) of (14.24) close to natural of system. This behaviu vto a damped 21 -slipping mv 2dfrequency + isbsimple v 461 (14.38) Energy K 1 U The angular frefrom an 1 ais Eof5grotation. ducylinders dharmonic, 4Fma/ tz 2fre constant suspended v mass of find its period. 2 I cy, B oscillations 461 (14.3) quency resulting motion is called a forced oscillaor small-amplitude are ioru isddcalled Spring torque tz opposes b 5 0.4!m ƒ oscillator, (14.33) sin uresonance. for small-amplitude oscillations are Uperiod d sin u 3Fma/ 12p angular displacement 1 2p 1 2 L2 pendulum is conserved denergy L, not on independent (14.21) cg Simple 2mass simple consists point E 5 K 1u.I Uof E pendulum: + The constant g I u cg amplitude, depend on mass BRIDGING PROBLEM Oscillating Rolling 2 mv 2 2 but (14.24) tion. amplitude isofenergy aam, function K itude, onof m, SOLUTION GUIDE b 5 0.7!m mg sin u 2Fma/ T 2p drivingt fre- (14.39) epressed inbut termsdepend of v (14.32) mg sin u mass m end a massless string of length (14.4) T UL.ofK Its 2p (14.39) EXECUTE distance from ofais of rotation tot center gravo atd L tzmgd frequency (14.21) e. (See Eamples See study area for a Video Tutor solution. mg MasteringPhysics cos u 2T T1 u b 5 1.0!m quency v reaches a pea at a driving 2p L F ais of rotation to center of gravl ma 4. Draw a free-body diagram for th mgd motion is approimately simple harmonic for suffid ais. (See Eam/ moment inertia I about m consists of a pointity,t g of mg 2 O 2p small (14.34) mg cos u solid ofmg radius con g tz opposes b 5 from 2.0!m Spring torque v 1cylinders SET UP displaced a distance equilibr v2 ciently angular frequency, fre- Two uniform, cos ur total mass M are IDENTIFY ) ng of length L. Its ples close behavgnatural v /vfind an vl amplitude; ƒ to (14.32) mg sin u This ƒof system. (14.33) nertia I about ais. (See Eam2 frequency O 1. What condition must be satisfied for motion of center of 5. Solve epre 2.0 d to along common Lnected equations u rest on a mg 2pir2p Lmg ais byu.a short, light rod quency, period n depend only on g L, not on monic for(14.10) suffiangular displacement mass of cylinders to be simple harmonic? (Hint: See Sec center of mass of cylinders. v amplitude. 1ior gis (See called resonance. horizontal tabletop (Fig ). frictionless ring at BRIDGING MRolling T of PROBLEM ) frequency, fre- ƒmass Eample center th Oscillating or (14.33)14.8.) 14.2.)2 tell you? 2p 1 L Perttu Luentoalvot Meaniia,tionosa u 2pBalance 2p wheel L Spring yn on g1 SHM, L,not on Lantto Tis attached to a2p angular Balance wheel rod Spring spring with (14.34) force constant ; or end m 2p ƒ 462 cos1vt + f2 Ysinertainen harmoninen liie mv + constant I ƒ 1 2p I Ysinertainen harmoninen iertova ra htely Fysiaalinen heiluri Paotetut va ra htelyt ja resonanssi B perustuvat irjaan: University physics, 13 Interna