Heilurin differentiaaliyhtälö
|
|
- Risto Salo
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 LUKU 4 Heilurin differentiaaliyhtälö 4.. Konservatiiviset systeemit Fysiaalisissa sovellutusissa täreitä ovat ns. onservatiiviset systeemit. Ysiulotteinen onservatiivinen systeemi (tai onservatiivinen systeemi, jolla on ysi vapausaste; liie x-aselilla) on muotoa (4.) x = F (x) oleva differentiaaliyhtälö, missä F : I R on reaaliaselin välillä I annettu jatuva funtio ja x = x(t) on ajan t funtio. Yhtälö voidaan esittää myös ensimmäisen ertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä { x = y (4.) y = F (x) Tämän differentiaaliyhtälöryhmän rataisuäyriä t (x(t), y(t)) utsutaan differentiaaliyhtälön (4.) faasiäyrisi. Yhtälön fysiaalisen taustan vuosi äytetään usein seuraavia nimitysiä: T = T (y) = y = x x U = U(x) = F (ξ) dξ x E = E(x, y) = T + U liie-energia potentiaalienergia oonaisenergia Potentiaalienergian määrittävä ominaisuus on du = F (x). Vaio x dx valitaan siten, että U häviää sopivassa pisteessä, U(x ) =. Jos integraali F (ξ) dξ suppenee, x äytetään tätä usein potentiaalienergiana. Tällöin U(x), un x. Lause 4.. Koonaisenergia on vaio pitin liierataa, E(x(t), x (t)) = vaio. Todistus. Oloon x = x(t) rataisu. Tällöin d dt E(x(t), x (t)) = d x (t) + du dt dx (x(t))x (t) = x (t)x (t) F (x(t))x (t) =. Nimitys onservatiinen syntyy edellisen lauseen ominaisuudesta: englannin conservative juontaa juurensa verbiin conserve, säilyttää. Konservatiivisen systeemin rataisulle on siis x + U(x) = E = vaio, josta saadaan x = ± (E U(x)). Saatu yhtälö on separoituva ja sen rataisulle x = Viimesi muutettu..7.
2 ϕ(t), jolle ϕ(t ) = x, on 4.. HEILURI ϕ(t) dx t t = ± x (E U(x)) Lause 4.. Koonaisenergian tasa-arvoäyrät { } (x, y) y + U(x) = E ovat sileitä tasoäyriä luuunottamatta mahdollisesti pisteitä (x, y), joissa F (x) = ja y = (tasapainotila). Todistus. Koonaisenergian osittaisderivaatat ovat E x = ( y ) x + U(x) = U (x) = F (x) E y = ( y ) y + U(x) = y Implisiittifuntiolauseen (äsitellään urssilla Differentiaalilasenta ) nojalla tasaarvoäyrä E(x, y) = E on sileä tasoäyrä (eli se on joaisen pisteensä ympäristössä esitettävissä jatuvasti derivoituvan funtion uvaajana y = y(x) tai x = x(y)), jos joaiselle äyrän pisteelle (x, y) on voimassa E E (x, y) tai (x, y). x y 4.. Heiluri Esimeri 4.3 (Harmooninen osillaattori). Jos F (x) = x, R vaio, on potentiaalienergia vadraattinen, U(x) = x /. Tasaenergiaäyrät ovat tällöin toisen asteen äyriä E = y +x. Nämä ovat ellipsejä, jos >, ja hyperbelejä, jos <. Fysiaalisesti luonnollisessa tilanteessa on >. Harmoonisen osillaattorin yhtälö x = x on rataistu aiemmin lineaarisena, vaioertoimisena yhtälönä. Rataistaan yhtälö energian säilymisperiaatteen avulla. Kosa x = E x, on ±(t + C) = = = dt = E dx E x dξ E ξ dξ ξ E sijoitetaan x = ξ = arcsin ξ = ( ) arcsin x E Siis E x = ± sin( t + C). ( ) Rataisun muodosta ±(t + C) = arcsin E x voisi päätellä, että rataisu on määritelty vain äärelliselle aiavälille, osa arcsin ξ on määritelty vain, un ξ. Lisäsi arcsin ξ [ π, π]. Toisaalta, un rataisu irjoitetaan muotoon
3 4.. HEILURI 3 Kuva. Heiluri Kuva. Heilurin differentiaaliryhmän θ = y, y = sin θ vetorienttä. E x = ± sin( t + C), nähdään, että x = x(t) on määritelty aiille t R ja x(t) E /. Esimeri 4.4 (Heiluri). Oletetaan, että massa m on iinnitetty massattoman, l:n pituisen langan päähän. Lana poieutetaan ulman θ verran tasapainoasemastaan ja päästetään heilumaan. Hiuaseen vaiuttava painovoiman tangentiaalinen omponentti on mg sin θ. Toisaalta hiuasen iihtyvyys on x = lθ. Newtonin lain muaan on mlθ = mg sin θ eli θ + g sin θ =. l Jos heilahdusulma θ on pieni, θ, on sin θ θ, joten ulma θ toteuttaa harmoonisen osillaattorin yhtälön, missä = g/l. Jos := g/l ja F (θ) = sin θ, on U(x) = cos θ. Energian tasa-arvoäyrät ovat y cos θ = E, un y = θ. Faasiäyrät ovat siis säännöllisiä tasoäyriä luuunottamatta pisteitä (θ, y), joissa y = ja sin θ =, t.s. (nπ, ), n Z. Pisteissä (nπ, ), n Z, on E =, ja pisteissä ((n + )π, ), n Z, on E =. Faasiäyrät, joilla E =, oostuvat vain erillisistä pisteistä (nπ, ), n Z, osa y cos θ =, jos ja vain jos y = (cos θ ). Tässä cos θ vain, un cos θ =, joten θ = nπ, n Z ja y =. Tarastellaan ysityisohtaisemmin ahta aluarvotehtävää.. Alusi oletetaan, että hiuanen on aluhetellä paioillaan ja muodostaa ulman θ tasapainoasemansa anssa, t.s. θ() = θ ja θ () =. Kosa y cos θ =
4 4.. HEILURI Kuva 3. Heilurin faasiäyriä y cos θ = E. Faasiäyrä, jolle jäävät pisteet θ = (n + )π, y =, n Z, on orostettu piirtämällä se vaaleanharmaana. E, on cos θ = E, ja y = cos θ cos θ. Kun oletetaan, että θ <, on Tästä saadaan t t = θ dt = θ Valitaan uusi muuttuja ϕ siten, että dt = (cos θ cos θ ) /. θ (cos θ cos θ ) = / θ ( sin θ sin θ )/. sin θ = sin θ sin ϕ. Kun ϕ = π/, saa θ suurimman arvonsa θ. Hieman työläiden trigonometristen lasujen jäleen saadaan t = θ θ ( sin θ sin θ )/ = π/ ϕ ( sin θ sin ϕ) /.. Hieman helpompi tapaus on tilanne, jossa hiuanen on aluhetellä tasapainotilassa ja se napautetaan vauhtiin, t.s. θ() = ja θ () = θ. Ehdosta y cos θ = E saadaan nyt θ = E, ja y = θ + (cos θ ) = θ sin θ. Siis y = θ = ±θ m sin θ, missä m = 4/θ, joten ±θ t = t θ dt = θ m sin θ θ/ = m sin ϕ, missä on sijoitettu θ = ϕ. Saatu integraali on ns. ensimmäisen lajin elliptinen integraali, jota yleensä meritään F (θ m) := θ m sin ϕ.
5 4.. HEILURI 5 Kun oletetaan, että θ >, on edellä valittava y = θ = +θ..., joten rataisulle on θ t = F ( θ m). Kyseinen elliptinen integraali F (θ m) on määritelty, un m sin ϕ (välin päätepisteet vaativat hieman tarempaa tarastelua). Saatua rataisua voidaan verrata harmoonisen osillaattorin rataisuun t = arcsin(ωx), missä ξ dx arcsin ξ =. x Harmooniselle osillaattorille saatiin rataisu muotoon x = (/ω) sin( t) sen tiedon perusteella, että yseisellä integraalilla on äänteisfuntio sin t. Ensimmäisen lajin elliptisille integraaleille tilanne on vastaava: funtiolla θ F (θ m) on äänteisfuntio, Jacobin amplitudi, jota meritään am t = am(t m), t = F (θ m) am(t m) = θ. Tämä nähdään derivaatasta: funtiolle θ F (θ m) on F (θ m) θ = m sin ϕ >, un m sin ϕ >. Siis, jos m <, on θ F (θ m) määritelty ja aidosti asvava oo reaaliaselilla. Lisäsi sen uvajouo on R, joten Jacobin amplitudi on määritelty oo reaaliaselilla. Tilanne, jossa m on hanalampi. Voidaan uitenin osoittaa, että tällöinin am(θ m) on määritelty aiille θ R, mutta θ am(θ m) on jasollinen. Jaso löydetään vastaavalla päättelyllä, jolla sinin jaso löydetään arussiniä tarastelemalla. Ensinnäin, funtio θ F (θ m) on aidosti asvava, un sin θ < / m (vrt. ξ arcsin ξ on aidosti asvava, un ξ < ). Kun sin θ m = / m, eli θ m = arcsin(/ m), on t m := F (θ m m) F :n suurin arvo välillä [ θ m, θ m ] (vrt. arcsin = π/ on arussinin suurin arvo). Funtion t am(t m) jaso on 4t m = 4F (θ m m) (vrt. sinin jaso on 4 arcsin = π). Siis heilurin aluarvotehtävän θ() = ja θ () = θ rataisulle on θ t = θ/ m sin ϕ joten rataisu θ = θ(t) voidaan esittää muodossa θ = am(θ t/ m). = F (θ/ m) Huomattaoon, että myös heilurin aluarvotehtävän θ() = θ ja θ () = rataisu voidaan esittää ensimmäisen lajin elliptisen integraalin avulla, t = π/ ( sin θ sin ϕ) = ( F ( π m) F (ϕ m)), / ϕ Carl Gustav Jacob Jacobi (84 85). Nyyinen merintätapa osittaisderivaatalle lienee peräisin Jacobilta vuodelta 87: Tämän sijasta me sasalaiset äytämme Jacobin muaisesti pyöreätä osittaisderivaatalle. (Karl Weierstrass, 874.) Anglosasisissa maissa äsin tai oristeellisemmalla irjasinlajilla irjoitetussa testissä d-irjaimen yläsaara on ollut tapana taivuttaa vasemmalle ylös. Vastaava esiintyy edelleen venäjän ielessä äsin irjoitettaessa tai ursiiviirjasimella irjoitetussa testissä. Myös Jacobin determinantti on C. G. J. Jacobilta. Joseph Liouville osoitti 835, että elliptisiä integraaleja ja monia muita intgraaleja ei yleensä voida esittää aleisfuntioiden avulla.
6 4.. HEILURI Kuva 4. Heilurin aluarvotehtävän θ() = ja θ () = θ rataisuäyriä: ylemmässä uvaparissa m > (evyt töytäisy), alemmassa uvaparissa m < (voimaas töytäisy) (muista: m = 4g/lθ ). Pasut äyrät ovat taroja rataisuja, ohuet linearisoidun yhtälön rataisuja. missä m = sin θ ja sin θ = sin θ sin ϕ. Rataisu on jälleen esitettävissä Jacobin amplitudin avulla. Vaia elliptiset integraalit tuntuisivat alusi oudoilta, ei niillä laseminen ole vaieaa. Ne on määritelty valmiisi useimpiin matemaattisiin valmisohjelmistoihin uten Mathematicaan. Suureet t = F (ϕ m) ja ϕ = am(t m) saadaan Mathematicassa omennoilla EllipticF[phi,m] JacobiAmplitude[t,m] Huomattaoon, että sijoitusella t = sin θ saadaan elliptinen integraali muutettua rationaalifuntion juurilauseeen integraalisi, F (ϕ m) = ϕ ( m sin θ ) sin ϕ / ( = ( t )( mt ) ) / dt. Kuvassa 4 on vertailtu heilurin aluarvotehtävän θ() = ja θ () = θ rataisuäyriä, jota on määrätty Jacobin amplitudin avulla (pasut äyrät), ja pienille heilahdusille taroitetun, linearisoidun yhtälön θ = θ rataisuäyriä θ(t) = θ sin( t) (ohuet äyrät). Tarasteltaessa uvaa 3 nähdään, että pisteet θ = (n + )π, y =, n Z, sisältävä äyrä (uvassa vaaleanharmaa) faasitason ahteen osaan. Pisteet θ = nπ, y =, n Z, sisältävässä osassa faasiäyrät ovat suljettuja, un taas näiden alueiden ulopuolella ulevat äyrät eivät ole. Mutta millainen on äyrä, joa tämän tason jaon teee? Tämä nähdään helposti toteamalla, että nämä äyrät vastaavat arvoa m = (ja E = ). Suoraan lasemalla nähdään, että F (θ ) = log tan θ +. tan θ
7 4.3. VARIAATIOLASKENNAN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 Tästä nähdään, että heilurin rataisuäyrille, joille θ t/ = F (θ/ ), on t +, un θ π. Vastaavasti t, un θ π+. Tämä taroittaa, että äyrä, jona energia on E =, ei pääse äärellisessä ajassa pisteisiin θ = (n + )π, y =, t.s. rataisuäyrä, joa lähtee alueessa (n )π < θ < (n + )π, y >, olevalta äyrältä, pysyy oo ajan tässä alueessa. Erityisesti se ei voi jataa uluaan y-aselin alapuolelle. Käyttäytymisestä pisteissä θ = nπ, y =, n Z voidaan sanoa jotain rataisematta yhtälöä aluunaan. Nimittäin, funtio (θ, y) (y, sin θ) on jatuvasti derivoituva (osittaisderivaattamielessä). Caychyn lauseen ysiäsitteisyysominaisuuden nojalla aluarvotehtävällä θ = y, y = sin θ, θ(t ) = nπ, y(t ) =, on ysiäsitteinen rataisu. Toisaalta, vaiofuntio θ(t) = nπ, y =, toteuttaa tämän yhtälön. Siis, jos rataisu (θ, y) osuu pisteeseen (nπ, ) jollain hetellä, on rataisuäyrä piste (nπ, ), eli rataisuäyrät eivät voi ulea pisteiden (nπ, ) läpi Variaatiolasennan differentiaaliyhtälöt Variaatiolasenta on analyysin osa-alue, jona eseisimmät ongelmat johtavat differentiaaliyhtälöhin. Tarastellaan muotoa I(y) := b a f(x, y(x), y (x)) dx olevaa integraalia. Tässä f on jossain R 3 :n osajouossa määritelty annettu funtio (ns. variaatiointegraalin I(y) ydin) ja y on välillä [a, b] R määritelty funtio, joa pyritään määräämään tietyn ääriarvoperiaatteen muaan. Ysinertaisin mieleniintoinen esimeri on b I(y) = + y (x) dx, a jona geometrinen meritys on selvä: I(y) on funtion y = y(x) uvaajan aarenpituus. Tässä f(x, y, y ) = + y. Variaatiolasennan perusongelma on löytää integraalin y I(y) minimoiva funtio y = y m, t.s. funtio y m siten, että I(y m ) I(y) aiille funtioille y. Tästä ominaisuudesta voidaan johtaa ns. Eulerin ja Lagrangen yhtälö 3 d f dx y (x, y(x), y (x)) f y (x, y(x), y (x)) =. Tässä esiintyvät derivaattamerinnät taroittavat seuraavaa: (i) Derivaatassa f (x, y(x), y y (x)) funtio f(x, y, y ) derivoidaan y-muuttujan suhteen ja muuttujien y ja y paialle sijoitetaan y(x) ja y (x). (ii) Derivaatassa d f (x, y(x), y (x)) funtio f(x, y, y ) derivoidaan y -muuttujan dx y suhteen ja muuttujien y ja y paialle sijoitetaan y(x) ja y (x). Saatu x:n funtio derivoidaan x:n suhteen. 3 Leonard Euler (Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti, 744) ja Joseph Louis Lagrange (Essai d une nouvelle méthode pour déterminer les maxima et les minima des formules intégrales indéfinies, 76).
8 4.3. VARIAATIOLASKENNAN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 8 Esimeri 4.5. Oloon f(x, y, y ) = y + y. Tällöin f y (x, y(x), f y (x)) = + y, y (x, y(x), y y (x)) = y + y d f dx y (x, y(x), y (x)) f y (x, y(x), y (x)) = = d ( y (x) ) y(x) + y dx (x) = + y (x) y(x) y (x) ( + y (x) + y (x) ) 3 Kyseessä oleva variaatiointegraali I(y) = b a y(x) + y (x) dx on vaiota π vaille äyrän y = y(x), a x b, x-aselin suhteen pyörähtäessään muodostaman pinnan pinta-ala. Eulerin yhtälön + y (x) y(x) y (x) = rataisut määräävät siis pyörähdyspinnan, jona pinta-ala on minimaalinen (ainain jossain yllä täsmentämättä jääneessä mielessä). Edellisen esimerin differentiaaliyhtälö on melo vaiea rataista suoraan. Eräillä variaatiolasennan yhtälöillä on uitenin ns. ensimmäisiä integraaleja, joiden avulla rataiseminen saattaa onnistua helpommin. Funtiota h = h(x, y, y ) utsutaan yhtälön G(x, y, y, y ) = ensimmäisesi integraalisi, jos h(x, y(x), y (x)) on vaio joaiselle yhtälön G(x, y, y, y ) = rataisulle y = y(x). Jos variaatiointegraalin ydin f ei riipu esplisiittisesti muuttujasta x, f = f(y, y ), on Eulerin yhtälöllä ensimmäinen integraali h(y, y ) = f(y, y ) + y f y (y, y ) Esimeri 4.6. Jatetaan edellisen esimerin tarastelua. Tässä f ei riipu x:stä, f(y, y ) = y + y, joten yhtälöllä on ensimmäinen integraali h(y, y ) = y + y + y y y = y + y + y Eulerin yhtälön + y (x) y(x) y (x) = rataisu y = y(x) toteuttaa siis yhtälön y(x) = c, + y (x) missä c on vaio. Rataisemalla tämä ensimäisen ertaluvun differentiaaliyhtälö y :n suhteen, saadaan separoituva yhtälö, jona rataisu antaa aluperäisen Eulerin yhtälön rataisun. Rataisusi saadaan y(x) = c cosh(x/c + c). Tätä äyrää utsutaan etjuäyräsi.
funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Meaniian jatourssi Fys10 Sysy 009 Jua Maalampi LUENTO 6 Harmonisen värähdysliieen energia Jousen potentiaalienergia on U ( x missä on jousivaio ja Dx on poieama tasapainosta. Valitaan origo tasapainopisteeseen,
Lisätiedot2 Taylor-polynomit ja -sarjat
2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen
D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa
Lisätiedottermit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 19: Usean vapausasteen systeemin liikeyhtälöiden johto Newtonin lakia käyttäen
9/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 9: Usean vapausasteen systeemin liieyhtälöiden johto Newtonin laia äyttäen JOHDANTO Usean vapausasteen systeemillä taroitetaan meaanista systeemiä, jona liietilan uvaamiseen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja
LisätiedotTodennäköisyysjakaumat 1/5 Sisältö ESITIEDOT: todennäköisyyslaskenta, määrätty integraali
Todennäöissjaaumat /5 Sisältö ESITIEDOT: lasenta, määrätt Haemisto KATSO MYÖS: tilastomatematiia P (X = )=p. Nämä ovat 0 ja niiden summa on p =. Pistetodennäöisdet voidaan graafisesti esittää pstsuorien
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
LisätiedotHARMONINEN VÄRÄHTELIJÄ
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 HARMONINEN VÄRÄHELIJÄ 1. yön tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus ässä työssä tutustut jasolliseen, määrätyin aiavälein toistuvaan liieeseen,
LisätiedotPerustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24
Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = 2 + 6 + 2 +... 2. Osoita suoraan määritelmään
LisätiedotM 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon
Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
LisätiedotPyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
Lisätiedot2.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifunktion avulla
MAB Matemaattisia malleja I.8. Mallintaminen ensimmäisen asteen.8 Mallintaminen ensimmäisen asteen polynomifuntion avulla Tutustutaan mallintamiseen esimerien autta. Esimeri.8. Määritä suoran yhtälö, un
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
Lisätiedot2 b 1 + b 1 x. = b 1 (x 4) (x 2) b 1 (x 2)
3. Approsimointi 3.. Padén approsimaatio. Cauchyn approsimaatio: [7, I, 5.8]; Padén approsimaatio: [7, I, 5.9]; [, 9.5-8] Lagrangen interpolaatiopolynomi antaa ysinertaisen rataisun sileän funtion arvojen
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3
Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotTehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1
Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden
LisätiedotLuento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )
Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat
LisätiedotEnnen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen
LisätiedotSatunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
Lisätiedotkaikki ratkaisut. cos 2 x yleinen ratkaisu.
Harjoitukset 1 6.11.2007 Jatkuu... 1. Määrää differentiaaliyhtälön y = 1 cos 2 x kaikki ratkaisut. 2. Olkoot D = {(x, y) R 2 y > 0} ja f : D R, f(x, y) = y. Osoita, että jokaiselle (x 0, y 0 ) D alkuarvotehtävällä
LisätiedotMS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet
MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotTehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.
Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoitus 5, harjoitustenpitäjille taroitetut rataisuehdotuset Tämän harjoitusen ideana on opetella -muunnosen äyttöä differenssiyhtälöiden rataisemisessa Lisäsi äytetään
Lisätiedot4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. 4. Sijoitetaan x = 2 ja y = 3 suoran yhtälöön. 1. a) Tosi Piste (2,3) on suoralla. Epätosi Piste (2, 3) ei ole suoralla. 5.
Kertausosa. Sijoitetaan ja y suoran yhtälöön.. a) d, ( ) ( ),0... d, ( 0 ( ) ) ( ) 0,9.... Kodin oordinaatit ovat (-,0;,0). Kodin ja oulun etäisyys d, (,0 0) (,0 0),0,...,0 (m) a) Tosi Piste (,) on suoralla.
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
Lisätiedot[ ] [ 2 [ ] [ ] ( ) [ ] Tehtävä 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2( ) = 1. E v k 1( ) R E[ v k v k ] E e k e k e k e k. e k e k e k e k.
ehtävä. x( + ) x( y x( + e ( y x( + e ( E v E e ( ) e ( R E[ v v ] E e e e e e e e e 6 estimointivirhe: ~ x( x( x$( x( - b y ( - b y ( estimointivirheen odotusarvo: x( - b x( - b e ( - b x( - b e ( ( -
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
Lisätiedot4.3 Erillisten joukkojen yhdisteet
4.3 Erillisten jouojen yhdisteet Ongelmana on pitää yllä ooelmaa S 1,..., S perusjouon X osajouoja, jota voivat muuttua ajan myötä. Rajoitusena on, että miään alio x ei saa uulua useampaan uin yhteen jouoon.
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
LisätiedotKJR-C2002 Kontinuumimekaniikan perusteet, viikko 45/2017
KJR-C00 Kontinuumimeaniian perusteet viio 45/017 1. Oloon f t ) alojen onsentraatio [ f ] < g/m ) joessa joa riippuu siis seä paiasta että ajasta. Havaitsija on veneessä ja mittaa onsentraatiota suoraan
LisätiedotKirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!
Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin
LisätiedotKompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 1. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäöisyyslasenta IIa, syys loauu 019 / Hytönen 1. lasuharjoitus, rataisuehdotuset 1. ( Klassio ) Oloot A ja B tapahtumia. Todista lasuaavat (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A), (c)
LisätiedotJoulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut
Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
Lisätiedot3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus
30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotTyö ja energia. Haarto & Karhunen.
Työ ja energia Haarto & Karhunen Voiman teemä työ Voiman F teemä työ W määritellään voiman F ja uljetun matan s pistetulona. Siis uljetun matan s ja matan suuntaisen voiman omponentin tulona. W = F s =
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
Lisätiedotz z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0
TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä
LisätiedotVALON DIFFRAKTIO JA POLARISAATIO
Oulun yliopisto Fysiian opetuslaboratorio Fysiian laboratoriotyöt 1 1 1. Työn tavoitteet 1.1 Mittausten taroitus Tässä työssä tutit valoa aaltoliieenä. Ensimmäisessä osassa tutustut valon taipumiseen eli
LisätiedotMS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset
MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Mekaniikan kertausta
Sähöstatiia ja magnetismi Meaniian etausta Antti Haato 17.05.013 Newtonin 1. lai Massan hitauden lai Jatavuuden lai Kappaleen nopeus on vaio tai appale pysyy paiallaan, jos siihen ei vaiuta voimia. Newtonin
Lisätiedot(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.
Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää
LisätiedotVoima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen
Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)
LisätiedotEksponentti- ja logaritmiyhtälö
Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,
LisätiedotLuku 1: Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt
SMG-00 Piirianalyysi II Harjoitustehtävät Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T u u T u T u, jossa ja
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
Lisätiedot(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.
1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
Lisätiedot9 Lukumäärien laskemisesta
9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta
LisätiedotHanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:
Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään
LisätiedotVärähdysliikkeet. q + f (q, q, t) = 0. q + f (q, q) = F (t) missä nopeusriippuvuus kuvaa vaimenemista ja F (t) on ulkoinen pakkovoima.
Torstai 18.9.2014 1/17 Värähdysliikkeet Värähdysliikkeet ovat tyypillisiä fysiikassa: Häiriö oskillaatio Jaksollinen liike oskillaatio Yleisesti värähdysliikettä voidaan kuvata yhtälöllä q + f (q, q, t)
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotTalousmatematiikan verkkokurssi. Koronkorkolaskut
Sivu 1/7 oronorolasuja sovelletaan tapausiin, joissa aia on pidempi uin ysi oonainen orojaso, eli aia, jolle oroanta ilmoittaa oron määrän. orolasu: enintään yhden orojason pituisille oroajoille; oronorolasu:
LisätiedotSTOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
LisätiedotDIFFERENTIAALIYHTÄLÖN NUMEERISESTA RATKAISEMISESTA 2 1,5 0,5 -0,5 -1,5-2
Differentiaaliyhtälön numeerisesta ratkaisemisesta Olkoot D R 2 alue ja r, f, g : D R jatkuvia funktioita. Differentiaaliyhtälön y r(x, y) suuntaelementtikenttä on kuvaus D R 2, (x, y) (, r(x, y)). Suuntaelementtikenttä
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotVALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA
VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ
Mat-48 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros Vaimennetun heilurin tilanyhtälöt on esitetty luennolla: θ = g sin θ r θ L ẋ = x ẋ = g L sin x rx Epälineaarisen systeemin tasapainotiloja voidaan
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotOlkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat
Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio
Lisätiedot