KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET...57

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET...57"

Transkriptio

1 KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET Johdanto Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys Schrödingerin yhtälö Vapaan hiukkasen aaltofunktio Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta Kokonaisheijastus E < E Osittainen heijastuminen E > E Heijastumiskertoimen laskeminen Hiukkanen potentiaalilaatikossa Harmoninen oskillaattori Energiatasojen ja aaltofunktioiden ominaisuuksia Sironta potentiaalivallista Transmissiokertoimen ominaisuuksia Aaltofunktion symmetriaominaisuudet ja pariteetti... 1

2

3 Kvanttimekaniikan perusteet 57 Kvanttimekaniikan perusteet.1 Johdanto Jos tunnemme makroskooppiseen kappaleeseen kohdistuvat voimat, voimme Newtonin liikeyhtälöiden avulla kuvata kappaleen käyttäytymistä ajan funktiona periaatteessa rajattomalla tarkkuudella. Klassisen fysiikan perustan muodostavat Newtonin liikeyhtälöt ja eristetylle systeemille pätevät energian, liikemäärän ja kulmaliikemäärän säilymislait. Eristetylle systeemille voidaan määritellä seitsemän skalaarisuuretta, jotka ovat liikevakioita (liikemäärä- ja kulmaliikemäärävektorit sisältävät molemmat 3 skalaarivakiota). Klassisessa fysiikassa kappaleiden liiketilan muutoksia voidaan tutkia, ainakin periaatteessa, rajattomalla tarkkuudella häiritsemättä itse tutkittavaa systeemiä. Luvussa 1 olemme usean esimerkin avulla osoittaneet, että klassisen mekaniikan ja sähkömagnetismin lait eivät anna tarkkoja ennusteita mikroskooppisten systeemeiden rakenteesta tai niiden dynaamisesta käyttäytymisestä. Mikroskooppisia systeemejä kuvataan kvanttifysiikassa aineaaltojen ja sähkömagneettista kenttää fotonien avulla. Näiden uusien käsitteiden ohella käytettiin myös klassisen fysiikan säilymislakeja, jotka näyttävät säilyttävän pätevyytensä myös kvanttifysiikassa. Systeemiä kuvaavien fysikaalisten suureiden yhtäaikaisesti mitattujen arvojen tarkkuutta rajoittava Heisenbergin epämääräisyysperiaate ja hiukkasen energian kvantittuminen ovat uusia mikromaailman ominaisuuksia, jolle ei esiinny vastinetta klassisessa fysiikassa. Mikromaailman ilmiöiden kuvaamiseksi kehitettiin 19-luvun loppupuolella kvanttimekaniikan nimellä kulkeva matemaattinen teoria. Kvanttimekaniikan kehittämiseen vaikuttivat keskeisesti Louis de Broglie, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Paul Dirac, Max Born ja monet muut. Kvanttimekaniikassa hiukkasia kuvataan aineaaltojen avulla. Aineaaltoja kuvaa kenttäyhtälö, jonka ratkaisua kutsutaan hiukkasen aaltofunktioksi. Kvanttifysiikan mukaan aaltofunktion ja hiukkasen mitattavissa olevien

4 58. Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys fysikaalisten ominaisuuksien, eli mittauksissa saatavien mahdollisten mittaustulosten, välillä on yksinkertainen matemaattinen yhteys. Tässä kappaleessa käydään lyhyesti läpi kvanttimekaniikan tärkeimmät perusolettamukset ja ominaisuudet. Myöhemmin tullaan johtamaan kvanttimekaniikan mallien avulla atomien, molekyylien ja kiinteän aineen tärkeimmät ominaisuudet.. Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys Luvussa 1.1 pääteltiin, ettei mikrohiukkaselle voida määritellä liikerataa klassisen mekaniikan mielessä. Kvanttimekaniikan keskeisenä periaatteena on, että liikeradan sijasta mikroskooppista hiukkasta kuvaa ajasta riippuva aineaaltokenttä. Edellisessä kappaleessa kuvatut diffraktio- ja interferenssi-ilmiöt antavat aiheen olettaa, että aineaalloilla on yhteisiä perusominaisuuksia esimerkiksi sähkömagneettisten aaltojen kanssa. Eräs tällainen ominaisuus on seisovat aallot, ts. aallot, joissa muuttuvan kenttäsuureen (sähkökentän vektorikomponentti tai molekyylin poikkeama tasapainoasemastaan) itseisarvon neliö on ajasta riippumaton paikan funktio. Klassisesta sähkömagnetismissa kentän amplitudin neliö on verrannollinen sähkömagneettisen aallon intensiteettiin. On luonnollista ajatella, että jokin mikrohiukkasen ominaisuus on verrannollinen sitä kuvaavan aineaaltokentän itseisarvon neliöön. Tarkastellaan esimerkiksi atomin elektronia. Se ei koskaan voi etääntyä kauaksi ytimestä ollessaan sidotulla tilalla ja näin ollen elektronin liike rajoittuu alueelle, jonka ulottuvuus on atomin säteen luokkaa siis noin 9 1 m. On luonnollista ajatella, että hiukkaseen liittyvän aineaaltokentän amplitudi on merkittävästi nollasta poikkeava vain tällä samalla alueella. ψ x. Tätä suuretta Merkitään tätä aineaaltokentän amplitudia suureella ( ) kutsutaan seuraavassa hiukkasen aaltofunktioksi. Oletetaan, että hiukkanen voi liikkua vain yhdessä ulottuvuudessa ja valitaan koordinaatiston x-akselin tähän hiukkasen sallittuun liikesuuntaan. Tulosten yleistäminen 3- ulottuvuuteen on matematiikkaa, eikä tuo oleellista uutta fysiikan puolelle.

5 Kvanttimekaniikan perusteet 59 Kun klassisessa mekaniikassa aaltoliikkeen intensiteetti on verrannollinen amplitudin neliöön, kvanttimekaniikassa aineaaltokentän intensiteetti on verrannollinen aaltofunktion itseisarvon neliöön. Aaltofunktio on yleisesti kompleksiarvoinen, joten aaltofunktion itseisarvon neliön kirjoitetaan yleisesti muodossa ψ ( x) ψ * ( x) ψ ( x). Aaltofunktio voi olla erityistapauk- * ψ = ψ. Hiukkasen aaltofunktio on sissa myös reaalinen, jolloin vakiovaihetekijää lukuun ottamatta yksikäsitteinen. Toisin sanoen voimme aina kertoa hiukkasen aaltofunktion paikasta ja ajasta riippumattomalla i vaihetekijällä e δ ilman, että mitkään aaltofunktion määräämät hiukkasen ominaisuudet muuttuvat. Aineaaltokentän intensiteetillä tarkoitetaan hiukkasen esiintymistodennäköisyyttä tietyssä paikassa. Toisin sanoen todennäköisyys sille, että tietyssä x- akselin pisteessä havaitaan hiukkanen on verrannollinen aaltofunktion itseisarvon neliöön. Tarkastellaan kuvaa -1. Huomaamme ψ x että kuvassa -1a aaltofunktion ( ) Kuva - 1 Välillä AB liikkuvan hiukkasen (a) aaltofunktio ja (b) todennäköisyysjakauma.. amplitudi laskee hyvin nopeasti alueen AB ulkopuolella. Vastaavasti hiukkasen esiintymistodennäköisyys, joka on esitetty kuvassa -1b, rajoittuu x- akselin välille AB. Määrittelemme täsmällisemmin hiukkasen esiintymistodennäköisyyden siten, että todennäköisyys sille että hiukkanen sijaitsee x-akselin välillä [ xx, + dx] on P[ ] = ψ ( x) dx. + xx, dx Hiukkasen esiintymistodennäköisyys yksikköväliä kohden, eli todennäköisyystiheys on siis ( ) ψ ( x) P x =. Edellä olevat tarkastelut on helppo yleistää kolmeen ulottuvuuteen; aaltofunktio on tällöin kaikkien kolmen paikkakoordinaatin funktio ja todennäköisyys sille että hiukkanen sijaitsee suorakulmaisessa särmiössä, jonka ψ x, y, z sivujen pituudet ovat dx, dy ja dz, on ( ) todennäköisyys tilavuusyksikköä kohden on dxdydz. Vastaavasti

6 6. Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys P = ψ ( xyz,, ). (.1) Tarkastellaan esimerkkinä atomiin sidotun elektronin aaltofunktiota ψ x, yz,. Kuvassa - on esitetty todennäköisyystiheys ψ etäisyyden ( ) funktiona atomin ytimestä. Ylempi kuvista esittää todennäköisyystiheyttä etäisyyden funktiona ytimestä laskien. Alemmassa kuvassa on esitetty todennäköisyystiheys tasossa, joka kulkee atomin ytimen kautta. Renkaat ja ytimen kohdalla esiintyvä tihentymä kuvaavat sitä, että elektronilla on suuri todennäköisyys esiintyä näillä alueilla. Jos mittaamme kokeellisesti elektronin paikan, saamme useiden peräkkäisten mittausten seurauksena tämän kuvan esittämän jakauman. Jos haluamme määrittää elektronin esiintymistodennäköisyyden jossain äärellisessä tilavuudessa V, meidän on integroitava elektronin todennäköisyystiheys tämän alueen yli. Toisin sanoen kirjoitamme V (,, ) P ψ x y z dxdydz = V. Jos varmuudella tiedämme elektronin olevan jossain tietyssä äärellisen suuressa avaruuden osassa, on luonnollista olettaa, että todennäköisyystiheyden integraali tämän avaruuden osan yli on varmuudella yksi. Toisin sanoen voimme kirjoittaa koko avaruus ( x y z) ψ,, dxdydz = 1. (.) Tätä yhtälöä kutsutaan normitusehdoksi. Huomattakoon, että on olemassa myös elektronitiloja, joita ei voida normittaa yhtälön Kuva - Atomin elektronin todennäköisyysjakauma. esittämällä tavalla. Nämä liittyvät sellaisiin elektronin ominaistiloihin, joissa elektroni on vapaa liikkumaan periaatteessa äärettömälle etäisyydelle ytimestä. Näitä kutsutaan sirontatiloiksi ja niiden normittamiseen tulemme palaamaan lyhyesti myöhemmin.

7 .3 Schrödingerin yhtälö Kvanttimekaniikan perusteet 61 Edellä on tuotu esiin analogian aineaaltokentän ja sähkömagneettisen kentän välillä. Samankaltainen vastaavuus on olemassa myös sähkömagneettisen kenttäyhtälön ja aineaaltoja kuvaavan kenttäyhtälön välillä. Seuraava tehtävä onkin löytää Maxwellin yhtälöitä (tai SM-kentän aaltoyhtälöä) vastaava kenttäyhtälö aineaalloille. Hiukkaseen liittyvä aineaaltokenttä riippuu hiukkasen energiatilasta, joten aineaaltoja kuvaava kenttäyhtälö sisältää riippuvuuden hiukkasen liike- ja potentiaalienergiasta. Tarkastellaan aluksi aaltofunktion riippuvuutta hiukkasen paikasta, eli ns. aaltofunktion avaruusosaa. Erwin Schrödinger ehdotti vuonna 196 aineaaltokenttää kuvaavaksi ajasta riippumattomaksi aaltoyhtälöksi ħ d ψ + E ( ) p x ψ = Eψ, (.3) m dx missä m on hiukkasen massa ja E ( ) p x hiukkasen potentiaalienergia. Yhtälön oikealla puolella esiintyvä vakio E on ominaisarvo ja ψ ( x) vastaava ominaisfunktio. Hiukkasen aaltofunktio on ominaisarvoyhtälön.3 ratkaisu. Hiukkasen mahdolliset energiat ja aaltofunktiot määräytyvät oleelli- E x perusteella. sesti hiukkasen potentiaalienergian ( ) p Schrödingerin yhtälö.3 on kvanttimekaniikan perusolettamus. Schrödingerin yhtälöä ei voi johtaa klassisen mekaniikan liikeyhtälöistä tai säilymislaeista. Sen sijaan voidaan osoittaa, että yhtälön.3 aikariippuvuuden sisältävästä yleistyksestä seuraa erityistapauksena muun muassa Newtonin liikeyhtälö. Täten on siis olemassa luonnollinen yhteys mikromaailman aineaaltokenttään liittyvän kvanttimekaniikan ja klassisen fysiikan Newtonin liikeyhtälön välillä. Newtonin mekaniikka edustaa tiettyä kvanttimekaniikan raja-arvoa. Luvussa 3 tulemme tarkastelemaan esimerkissä 3.1 de Broglie aallonpituushypoteesin perusteella analogiaa SM-aaltoyhtälön ja Schrödingerin yhtälön välillä. Tätä analogiaa voidaan pitää jonkinlaisena loogisena perusteluna Schrödingerin yhtälölle. Schrödingerin yhtälön määrittelemä kvanttimekaaninen malli on oleellisesti klassista fysiikkaa syvällisempi kuvaus aineen rakenteesta ja dynamiikasta.

8 6.3 Schrödingerin yhtälö.3.1 Vapaan hiukkasen aaltofunktio Tarkastelemme ensimmäisenä erityistapauksena vapaan hiukkasen Schrö- E x =. Seuraa- dingerin yhtälöä. Tällöin hiukkasen näkemä potentiaali ( ) p vassa voitaisiin olettaa yleisemmin, että potentiaali on paikasta ja ajasta riippumaton vakio, sillä tämä vain siirtää energia-asteikkoa vastaavalla määrällä. Schrödingerin yhtälöksi saadaan nyt ħ d ψ = Eψ, m dx mikä voidaan edelleen kirjoitta myös muodossa d ψ me + ψ =. (.4) dx ħ Yhtälöllä.4 on ratkaisu jokaisella ominaisenergian E arvolla. Luvusta I tiedetään, että vapaalle hiukkaselle E = p m. Sijoittamalla p = ħ k, missä k on aaltovektori, saadaan E = ħ k m. Näin aaltoyhtälö tulee muotoon d ψ + k ψ =. (.5) dx Yhtälö.5 on muodoltaan tarkalleen sama kuin seisovien sähkömagneettisten aaltojen (kentän paikasta riippuvan osan) toteuttama aaltoyhtälö. Schrödingerin yhtälö vapaalle hiukkaselle seuraa suoraan sähkömagneettisten aaltojen aaltoyhtälöstä, jos oletamme aallonpituuden ja liikemäärän toteuttavan de Broglie-aallonpituuden mukaisen lausekkeen λ = h p. Kun palautamme mieliin kompleksilukujen perusominaisuudet, havaitsemme, että tasoaallot ikx ikx ψ ( x) = e ja ψ ( x) e = (.6) ovat yhtälön.5 ratkaisuja. Kuten tulemme myöhemmin osoittamaan ratkaisu ψ = e, liittyy hiukkaseen, jonka liikemäärä p = ħ k ja ikx energia E = p m = ħ k m ja joka liikkuu positiivisen x-askelin suuntaan. ikx Vastaavasti aaltofunktio ψ = e liittyy ominaistilaan, jossa hiukkasella

9 Kvanttimekaniikan perusteet 63 on sama liikemäärän itseisarvo ja energia, mutta hiukkanen liikkuu negatiivisen x-akselin suuntaan, ts. sen liikemäärän arvo on nyt p = ħ k. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ominaisuuksien perusteella yhtälön.5 yleinen ratkaisu voidaan esittää muodossa ψ ikx ikx ( x) Ae Be = +. (.7) Yleinen ratkaisu on siis negatiivisen ja positiivisen x-akselin suuntaan etenevien osittaisratkaisujen painotettu summa. Palataan seuraavaksi tasoaaltoratkaisujen.6 ominaisuuksiin. Näihin ratkaisuihin liittyvien aaltofunktioiden itseisarvon neliö on paikasta riippumaton ja ykkösen suuruinen. Jos aaltofunktion itseisarvon neliö on paikasta riippumaton vakio, todennäköisyys hiukkasen löytymiselle on sama kaikissa x-akselin pisteissä. Siksi tasoaaltoratkaisut, ± ikx ψ = e, kuvaavat ominaistilaa, jossa hiukkasen asemasta x-akselilla ei tiedetä mitään. Tämä on sopusoinnussa epätarkkuusperiaatteen kanssa, sillä tasoaaltotiloihin liittyvä liikemäärän arvo on tarkalleen määrätty eli p = ħ k ja p =. Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen toteutuminen edellyttää x siten, että x p ħ. Jotta hiukkasen sijainnista x-akselilla saataisiin tarkempaa tietoa meidän täytyy muodostaa painotettu summa tasoaaltotiloista.6. Yleisessä muodossa voimme muodostaa painotetun summan tasoaaltotiloista aaltopaketin muodossa ψ ( x) = A( k) e ikx dk, (.8) missä Ak ( ) on tasoaaltoon e ikx liittyvän erityisratkaisun amplitudi eli painokerroin. Aaltopaketti.8 ei kuitenkaan ole ajasta riippumattoman Schrödingerin yhtälön ratkaisu. Palaamme aaltopakettien ominaisuuksiin aikariippuvan Schrödingerin yhtälön yhteydessä. Schrödingerin yhtälö.3 on kirjoitettu hiukkaselle, joka liikkui vain yhdessä ulottuvuudessa. Schrödingerin yhtälö voidaan helposti yleistää kolmeen ulottuvuuteen ja kirjoittaa muodossa ψ ψ ψ + + E (,, ) + p xyzψ = Eψ. (.9) m x y z

10 64.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta Kolmiulotteinen ratkaisu vapaalle hiukkaselle on tietenkin muotoa ψ ψ ψ + + Eψ m =. x y z Tämän yhtälön ratkaisu hiukkaselle, jonka liikemäärä E = ħ k m, on p = ħk ja energia i ψ = e kr. x y z Jätämme harjoitustehtäväksi osoittaa, että tämä tasoaaltoratkaisu todella toteuttaa kolmiulotteisen vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälön. Apuneuvoina voi käyttää yhtälöitä k r = kx x+ kyy+ kzz ja k + k + k = k.

11 Kvanttimekaniikan perusteet 65.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta Johdamme seuraavaksi Schrödingerin yhtälön ratkaisun yksinkertaisessa analyyttisesti ratkeavassa erityistapauksessa. Kuvan.3 esittämää potentiaaliprofiilia kutsutaan potentiaaliaskeleeksi tai potentiaalikynnykseksi. Kuva.3 esittää hiukkasen potentiaalienergiaa, mutta tulemme jatkossa puhumaan usein myös hiukkasen näkemästä potentiaalista, joka on potentiaalienergia jaettuna hiukkasen varauksella. X-akselin negatiivisilla arvoilla potentiaalienergia on nolla. x- akselin positiivisella puolella potentiaalienergialla on paikasta riippumaton arvo E >. Todellisissa luonnossa esiintyvissä mikrosysteemeissä ei potentiaali voi muuttua epäjatkuvasti. Voidaan kuitenkin osoittaa, ettei potentiaalin epäjatkuvuudella ole (tässä tarkasteltavassa esimerkissä) ratkaisevaa laadullista vaikutusta aaltoyhtälön ratkaisuihin tai Kuva - 3 Potentiaaliaskel hiukkasten sirontaan kynnyksestä. Todellista fysikaalista potentiaalienergian muutosta kuvaa katkoviiva. Tämän kaltainen potentiaalienergian nopea kasvu tietystä arvosta korkeampaan arvoon esiintyy esimerkiksi metallin pinnalla. Metallin sisällä elektronien potentiaalienergia on alempi kuin metallin ulkopuolella. Tämä pitää metallin elektronit kiinni metallissa. Askelpotentiaalilla voidaan siis likimääräisesti kuvata esimerkiksi metallin elektronien käyttäytymistä pinnan läheisyydessä. Tarkastellaan nyt Schrödingerin yhtälön ratkaisuja kuvan.3 potentiaalissa. Tutkitaan erikseen tapauksia, joissa energia on pienempi kuin E ja suurempi kuin E. Olkoon aluksi hiukkasen energia E pienempi kuin E. Tällöin hiukkanen, joka tulee vasemmalta pisteeseen O ei voi klassisen mekaniikan mukaan läpäistä potentiaalikynnystä, sillä energian säilymislain mukaan hiukkasen kineettinen energia pisteen O oikealla puolella eli positiivisilla x-arvoilla tulisi olemaan Ek = E E eli negatiivinen. Näin ollen alue x > on klassisen mekaniikan mukaan kielletty hiukkaselta jonka energia on pienempi kuin potentiaalikynnyksen korkeus. Tämä tarkoittaa, että metallissa ne elektronit, joiden energia on

12 66.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta pienempi kuin potentiaalienergiakynnyksen korkeus metallin pinnalla eivät voi paeta metallista, vaan kohdatessaan metallin pinnan heijastuvat takaisin. Määräämme nyt Schrödingerin yhtälön ratkaisun tapauksessa, jossa hiukkasen energia on pienempi kuin potentiaalienergiakynnyksen korkeus..4.1 Kokonaisheijastus E < E Tarkastelemme aluksi erillisesti ratkaisua alueessa x <, ts. alue (I), ja x>, ts. alue (II). Alueessa (I), jossa potentiaali on nolla, voimme kirjoittaa Schrödingerin yhtälön muodossa d ψ 1 me ψ 1 dx + =. ħ Tämä vastaa vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälöä.4. Sen yleinen ratkaisu on yhtälön.7 mukaan 1 ( ) ikx ikx ψ x = Ae + Be. (.1) ikx Yhtälössä.1 ratkaisu, joka on verrannollinen tekijään e kuvaa vasemmalta oikealle tulevaa, eli sisääntulevaa, ja vastaavasti osittaisratkaisu ikx joka on muotoa e vasemmalle etenevää eli heijastunutta hiukkasta. Alu- E x = E, Schrödingerin yhtälö on eessa (II), jossa potentiaali on muotoa ( ) vastaavasti p d ψ m E dx ( E ) + ψ =. (.11) ħ Kun E < E, voimme määritellä positiivisen reaalisen suureen ( E) m E α = ħ siten, että yhtälö.11 tulee muotoon ψ d dx αψ =. (.1) Tämän differentiaaliyhtälön ratkaisut voidaan esittää erityisratkaisujen ja superpositiona. Tarkastelemalla tähän ratkaisuun liittyvien toden- e α x e α x

13 Kvanttimekaniikan perusteet 67 näköisyystiheyksien käyttäytymistä muuttujan x funktiona huomataan, että x ratkaisu, joka on verrannollinen tekijään e α, ei ole hyväksyttävissä. Tähän erityisratkaisuun liittyvä todennäköisyystiheyshän kasvaa äärettömäksi muuttujan x kasvaessa. Tämä ei voi kuvata hiukkasta, joka saapuu kynnyksen läheisyyteen liike-energialla, joka on pienempi kuin kynnyksen korkeus. Voidaan siis olettaa, että ratkaisu on muotoa e α x ψ ( ) x = Ce α x..13 Ratkaisu ψ ei ole identtisesti nolla, joten hiukkasella on äärellinen, joskin eksponentiaalisesti pienenevä, todennäköisyys tulla havaituksi pisteen O oikealla puolella, eli x >. Tämä on ominaisuus, joka erottaa kvanttimekaanisen käyttäytymisen klassisesta mekaniikasta. Kvanttimekaniikassa se alue, jossa hiukkanen voi liikkua, ei ole koskaan tarkkaan rajattu. Aaltofunktion itseisarvon neliö eli todennäköisyystiheys laskee eksponentiaalisesti mitä kauemmaksi klassisesti kielletyn alueen sisään hiukkanen tunkeutuu. Yleisesti hiukkanen ei voi tunkeutua kovin pitkälle sellaiseen potentiaalienergia-alueeseen, joka on siltä klassisen mekaniikan mukaan kielletty. Seuraavaksi määrätään integrointivakiot A, B ja C vaatimalla aaltofunktion ja sen derivaatan jatkuvuus pisteessä x =. Aaltofunktion ja aaltofunktion derivaatan jatkuvuus on välttämätöntä, jotta todennäköisyysvirta olisi jatkuva kaikkialla avaruudessa. Jos näin ei olisi, pitäisi hiukkaseen liittyvää todennäköisyystiheyttä kadota jonnekin. Tämä ei ole mahdollista, sillä hiukkanen on jatkuvasti olemassa jossakin avaruuden pisteessä. Aaltofunktion ja derivaatan jatkuvuus pisteessä x = voidaan kirjoittaa muodossa ψ1( x = ) = ψ( x = ) dψ1( x = ) dψ( x = ). (.14) = dx dx Näistä ehdoista saadaan A B C + = ja ( ) ik A B = αc, joista voidaan edelleen ratkaista kertoimet A ja B kertoimen C avulla B = ( ik + α ) ik α A ja ika C =. ik α

14 68.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta Voimme siis kirjoittaa aaltofunktion muodossa ik + α ψ x = A e + e 1 ( ) ikx ikx ik α ja ψ ( x ) ik α x = Ae ik α Vasemmalta tulevan hiukkasen aineaaltokentän intensiteetti (amplitudin itseisarvon neliö) on siis A. Vastaavasti heijastuneen aineaaltokentän intensiteetti on. ik + α ik + α ik + α B = A = A = A ik α ik α ik α Toisin sanoen tulevan ja heijastuneen kentän intensiteetit ovat samat. Tämä voidaan tulkita siten, että kaikki vasemmalta potentiaalikynnykseen tulevat hiukkaset heijastuvat takaisin, jos hiukkasten energia E < E, mikä on sopusoinnussa klassisen fysiikan säilymislakien kanssa. Aaltofunktio ψ 1 ( x) voidaan myös kirjoittaa vaihtoehtoisessa muodossa. A ikx ψ1 ( x) = ( ik α) e + ( ik + α) e ik α ± ikx ikx ja käyttämällä yhtälöitä e = coskx± isinkx, saadaan ik α ψ1 ( x) = A cos kx sin kx ik α k. Jättämällä molemmissa funktioissa ψ 1 ja ψ huomiotta yhteisen vakiotekijän ik ( ik α ) ne voidaan esittää reaaliarvoisina funktiona kuvan -4 tapaan. Mitä suurempi on potentiaaliaskeleen korkeus, sitä suurempi on parametrin α arvo ja sitä nopeammin funktio ψ lähestyy nollaa kun x >. Jos kynnyksen korkeus E tulee hyvin suureksi ja samalla α kasvaa on funktio ψ identtisesti nolla alueessa x >. Tämäkin vastaakin klassisen fysiikan raja-arvoa. Tällöin sanotaan että kaikki potentiaalikynnyksen kohtaavat vasemmalta tulevat hiukkaset heijastuvat kynnyksen kohdalta, x =, takaisin. Tällä rajalla voimme esittää funktion ψ 1 muodossa

15 Kvanttimekaniikan perusteet 69 ψ 1 = iasinkx = C sinkx. Tätä raja-arvoa esittää kuvan -5 aaltofunktio. Kuva - 4 Aaltofunktio potentiaali-askelelle E, kun E < E Kuva - 5 Ääretön potentiaalivalli ja siihen liittyvä aaltofunktio. Esimerkki.1. Elektronit, joiden energiat ovat 1 ev, 3 ev ja 9 ev, törmäävät E = 1 ev potentiaaliaskeleeseen, joka sijaitsee pisteessä x =. Laske, missä x-akselilla kunkin elektronin todennäköisyystiheys on pudonnut kymmenenteen osaan arvosta kynnyksen kohdalla. Ratkaisu: Alueessa x > todennäköisyystiheys (ks. yhtälö.13) on ψ ( x) C e α x = ħ =, missä α m( E E) pienenemiselle kymmenenteen osaan on. Ehto todennäköisyystiheyden ψ ( x) α x ln1 ħln1 = e =.1 x = = ψ ( x = ) α mv ( E) Numeroarvoiksi saadaan E x 1eV,75Å 3eV,85Å 9eV,5Å

16 7.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta.4. Osittainen heijastuminen E > E Seuraavaksi tarkastellaan tapausta E > E. Kuva -6 esittää aaltofunktion reaaliosaa. Tällöin vasemmalta tulevan potentiaalikynnyksen kohtaavan hiukkasen kokonaisenergia on kynnyksen korkeutta suurempi. Klassisen mekaniikan mukaan hiukkasen liike-energian ollessa suurempi kuin potentiaalienergiakynnys kaikki hiukkaset läpäisisivät kynnyksen saapuessaan alueesta (I). Kvanttimekaniikan antama ennuste hiukkasen käyttäytymiselle on selvässä ristiriidassa yllä kuvatun klassisen mekaniikan mukaisen käyttäytymisen kanssa. Ratkaistaan jälleen Schrödingerin yhtälön erikseen alueessa (I) ja (II). Alueessa (I) Schrödingerin yhtälön yleinen ratkaisu on yhä ψ 1 ikx ikx = Ae + Be. Alueessa (II) Schrödingerin yhtälön ratkaisu on muodoltaan erilainen kuin edellisessä kohdassa, jolloin hiukkasen energia oli kynnyksen korkeutta pienempi. Merkitään aaltovektorin neliötä k = m E E ħ ja kirjoitetaan Schrödingerin yhtälön alueessa (II) ( ).11 muodossa d ψ dx + k ψ =. Tämän yhtälön ratkaisu on matemaattiselta muodoltaan sama kuin alueessa (I) saatava yleinen ratkaisu. Jälleen voidaan käyttää hyväksi fysikaalista reunaehtoa. Alkuehtona oletettiin, että hiukkaset saapuvat alunperin kynnykselle alueesta (I). Siksi Kuva - 6 Tulevan, heijastuneen ja läpäisseen aallon voidaan olettaa, että alueessa (II) ei reaaliosat. voi esiintyä x-akselin negatiiviseen suuntaan kulkevaa hiukkasvirtaa. Näin ollen voidaan yleisessä ratkaisussa termi aaltoyhtälön ratkaisuksi saadaan e ik x jättää pois ja ψ ( x) ik x = Ce. (.15)

17 Kvanttimekaniikan perusteet 71 Seuraavaksi käytetään jatkuvuusehtoja (.14) pisteessä x =. Funktion ja sen derivaatan jatkuvuus antavat Schrödingerin yhtälön ratkaisuissa esiintyville integrointivakioille yhtälöt A B C k A B = kc. + = ja ( ) Näistä yhtälöistä ratkaistaan jälleen vakiot B ja C vakion A avulla, jolloin B k k A k k C = ka k + k. Aaltoyhtälöiden ratkaisut saadaan = ( ) ( + ) ja ( ) alueessa (I) ja (II) ovat siis vastaavasti k k ψ x = A e + e 1 ( ) ikx ikx k + k ja ψ ( x ) k ik x = Ae k + k..16 Se että vakio B kertoo että alueessa (I) esiintyy myös x-akselin negatiiviseen suuntaan eteneviä hiukkasia. Tämä on ristiriidassa klassisen mekaniikan kanssa; osa hiukkasista heijastuu takaisin potentiaalikynnyksestä, vaikka hiukkasten liike-energia riittäisikin kynnyksen ylittämiseen..4.3 Heijastumiskertoimen laskeminen Seuraavaksi lasketaan potentiaaliaskeleen heijastus- ja läpäisykertoimet tapaukselle E >. Luvussa 3 tullaan osoittamaan, että aaltofunktioon.16 liittyvä todennäköisyysvirran tiheys saadaan yhtälöstä * * ψ( x) ψ ( x) j( x) = ψ ( x) ψ( x) im x x (.17) Todennäköisyysvirta tarkoittaa todennäköisyyttä, jolla hiukkanen ohittaa tarkastelupaikan aikayksikköä kohden. Todennäköisyysvirta on tasoaallon kuvaamalle hiukkaselle aaltofunktion itseisarvon neliö kertaa hiukkasen nopeus. Todennäköisyysvirran lauseke.17 on johdettu esimerkissä 3.4. Käyttämällä yhtälöä.17 saadaan aaltofunktion todennäköisyysvirraksi alueessa I ħk m ħk m j1 = A B = jinc + jrefl. (.18)

18 7.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta Huomaamme, että todennäköisyysvirta jakaantuu kahteen osaan, joista inc ( / ) j = ħk m A on verrannollinen vasemmalta tulevien hiukkasten amplitudin itseisarvon neliöön kerrottuna hiukkasen nopeudella ħ k/ m. Kutsumme tätä sisään tulevaksi virraksi. Vastaavasti j ( / ) = ħ k m B on heijastuneen (alueessa I vasemmalle etenevän hiukkasvirran) tiheys. refl Alueessa II todennäköisyysvirta on vastaavasti ħk ' j = C = j m trans. (.19) Alueessa II esiintyy vain oikealle etenevien potentiaaliaskeleen läpäisseiden hiukkasten virta j trans. Heijastumiskerroin määritellään suhteena R = j / j, joten refl inc kb k k' R = = ka k + k', (.) ja transmissiokerroin vastaavasti T = j / j eli trans inc k' C T = = 4 kk ' ka ( k + k' ). (.1) Kuva - 7 Ylempi kuva esittää heijastus- ja läpäisykertoimia, kun potentiaalienergia kasvaa määrällä E >. Alempi kuva esittää heijastus- ja läpäisykertoimet kun potentiaalienergia pienenee määrällä E >. Kertoimet on esitetty yksiköttömän suureen E / E (hiukkasen liike-energia jaettuna kynnyksen korkeudella) funktiona. Yksinkertaisella laskutoimituksella saadaan R + T = 1. Hiukkanen voi kohdatessaan potentiaalikynnyksen joko heijastua tai läpäistä kynnyksen, mutta se ei voi kadota potentiaalikynnyksessä. Kuvan -7 ylempi osa esittää heijastuskertoimen ja läpäisykertoimen hiukkasen liike-energian ja potentiaaliaskeleen suhteen E / E funktiona.

19 Kvanttimekaniikan perusteet 73 Tarkastellaan lopuksi tilannetta, jossa hiukkasen näkemä potentiaalienergia laskee arvosta E p = (x < ) arvoon Ep = E pisteessä x =. Hiukkanen kulkee siis potentiaaliportaan läpi alamäkeen. Heijastus- ja läpäisykertoimet saadaan yhä kaavoista.,.1, joissa on kuitenkin korvattava potentiaalienergia E vastaluvullaan E. Kuvan -7 alempi osa esittää heijastus- ja läpäisykertoimia suureen E / E funktiona kuljettaessa porras alamäkeen. Kuvasta huomataan, että pienillä liike-energian arvoilla lähes kaikki hiukkaset heijastuvat takaisin, vaikka potentiaalienergia pienenee kynnyksen kohdalla!.5 Hiukkanen potentiaalilaatikossa Tarkastellaan seuraavaksi potentiaalilaatikkoa, jossa mikroskooppisen hiukkasen liike on rajoitettu x-akselin välille [, a ]. Potentiaalienergian arvo x-akselin välillä [, a ] on nolla ja tämän välin ulkopuolella potentiaalienergia oletetaan äärettömäksi. Potentiaalilaatikon hiukkanen voi olla esimerkiksi metallikappaleen elektroni, joka kohdatessaan metallin pinnan hyvin jyrkän potentiaaliseinämän heijastuu siitä takaisin. Metallikappaleen sisällä potentiaali on likimain vakio. Toisin sanoen elektroni voi liikkua vapaasti metallissa, mutta se ei voi paeta metallikappaleesta. Jos elektronin liike-energia on paljon pienempi kuin pinnalla olevan potentiaalienergiavallin korkeus, voidaan tilannetta approksimoida potentiaalilaatikolla. Tällaista (lähes) äärettömän syvää E x = välillä potentiaalilaatikkoa esittää kuva -8. Potentiaalin arvo ( ) p < x< a ja E p =+ tämän välin ulkopuolella. Koska potentiaali kasvaa äärettömäksi välin [, a ] ulkopuolella, voidaan olettaa, että hiukkasen aaltofunktio ei tunkeudu näiden äärettömän kovien seinämien sisään. Lähdettäessä ratkaisemaan Schrödingerin yhtälöä voidaan siis olettaa reunaehtona, että aaltofunktio on nolla pisteissä x = ja x = a. Schrödingerin yhtälö on potentiaalilaatikossa sijaitsevalle hiukkaselle d ψ + k ψ =, dx k = me ħ. (.)

20 74.5 Hiukkanen potentiaalilaatikossa Tämän yhtälön yleinen ratkaisu on muotoa ψ ikx ikx ( x) Ae Be = +. Yleisessä ratkaisussa on mukana molempiin suuntiin liikkuvaa vapaata hiukkasta kuvaavat aaltofunktiokomponentit. Soveltamalla nyt reunaeh- ψ x = = saadaan toa pisteessä ( ) A+ B =, eli B = A, voimme siis kirjoittaa ratkaisun muodossa Kuva - 8 Yksiulotteinen potentiaalilaatikko ikx ikx ( ) = ( ) = sin ψ x A e e ia kx = Csin kx, missä C = ia. Aaltofunktion voidaan aina kertoa kompleksisella vakiotekijällä ilman, että mitkään aaltofunktion antamat ennusteet hiukkasen fysikaalista ominaisuuksista (todennäköisyystiheys tai fysikaalisten suureiden odotusarvot) muuttuvat. Näin ollen voidaan olettaa, että potentiaalilaatikolle vakio C on reaalinen. Soveltamalla reunaehtoa pisteessä x = a, saadaan ψ ( x = a) = Csin ka =. Koska vakio C ei voi olla nolla (muuten saataisiin ratkaisu, jossa todennäköisyystiheys on nolla kaikkialla) voidaan päätellä, että sinka = eli ka = nπ, missä n on kokonaisluku. Ratkaisemalla tästä aaltovektorin k saamme, k = nπ a, eli p = ħk = nπ ħ a. (.3) Tästä saamme myös hiukkasen kineettisen ja kokonaisenergia. Koska potentiaalienergia E p =, voimme kirjoittaa kokonaisenergialle p n π ħ E = = m. (.4) ma

21 Kvanttimekaniikan perusteet 75 Yhtälöstä.4 huomataan, että energia riippuu ainoastaan kokonaisluvun n neliöstä. Kokonaisluku n = jätetään huomiotta, koska se antaa aaltofunktion, joka on nolla kaikkialla. Negatiiviset kokonaisluvut eivät anna aidosti erilaisia ratkaisuja, sillä aaltofunktio vain vaihtaa merkkinsä kun n n. Kaikki fysikaaliset energia-arvot ja aaltofunktiot saadaan jo positiivisista kokonaisluvuista n = 1,, 3, jne.. Näihin liittyvät energian ominaisarvot ovat siis vastaavasti E = E 1, 4E 1, 9E 1, jne., missä E = ħ π ma. Yhtälöstä.4 1 huomataan, että hiukkasen energialla ei voi olla mitä arvoa tahansa, vaan ainoastaan nämä diskreetit arvot, joita kutsutaan Schrödingerin yhtälön ominaisarvoiksi. Potentiaalilaatikko on erikoistapaus, jossa hiukkasella on ainoastaan epäjatkuva eli viivaspektri. Ominaisarvoja.4 on kuvattu kuvassa -9 energiatasoina. Potentiaalilaatikolle energian ominaisarvot ovat oleellisesti erilaiset kuin potentiaaliaskeleen tapauksessa, jossa Schrödingerin yhtälöllä ei ole sidottuja ti- Kuva - 9 Energiatasot yksiulotteisessa potentiaalilaatikossloja, vaan ainoastaan energiatilajatkumo. Kuten aiemmin on mainittu, diskreettien energiatasojen olemassaolo ei rajoitu äärettömän potentiaalilaatikon erikoistapaukseen. Yleisesti, jos hiukkasen näkemällä potentiaalilla on absoluuttinen minimiarvo jossain x-akselin pisteessä, niin ainakin osa hiukkasen energiatasoista (ominaisenergioista) on diskreettejä. Energian ominaisarvojen epäjatkuvuus johtuu reunaehdoista, jotka liittyvät hiukkasen liikettä rajoittavan potentiaalin olemassaoloon. Energiatasojen diskreettisyys on ominaisuus, joka on sisäänrakennettu Schrödingerin yhtälöön ja luonnollinen seuraus tästä aineaaltokentän toteuttamasta aaltoyhtälöstä. Kun aaltovektorin sallitut arvot.3 sijoitetaan aaltofunktioon ψ ( x), saamme energiatilan n ominaisfunktioksi ( ) sin ( π ) ψ n x = C n x a. (.5)

22 76.5 Hiukkanen potentiaalilaatikossa Analogia klassiseen fysiikkaan ilmenee siinä, että aaltofunktio.5 on (vakiotekijää lukuunottamatta) sama kuin jännitetyssä langassa esiintyvien seisovien aaltojen poikkeama tasapainoasemasta tiettynä ajanhetkenä. Kolmen alimman tilan aaltofunktiot ja niihin liittyvät todennäköisyystiheydet on esitetty kuvassa -1. Perustilassa olevalle hiukkaselle energia 1 π E = E = ħ ma, eikä nolla niin kuin klassisen mekaniikan perusteella voisi olettaa. Tämä vähimmäisenergia voidaan ymmärtää myös epämääräisyysperiaatteen avulla. Jos hiukkanen sijaitsee potentiaalilaatikossa, jonka leveys on a, voimme kirjoittaa hiukkasen paikan epämääräisyydelle karkean likiarvon x = a. Jos oletetaan, että hiukkanen liikkuu laatikossa edestakaisin, on liikemäärän epämääräisyys suuruusluokkaa p = p. Epämääräisyysperiaatteen mukaan x p h. Tästä syystä voidaan kirjoittaa ap h eli p π ħ / a, mistä saamme edelleen ( ) E ħ π / ma = E. Siksi energiaa E 1 kutsutaan joskus myös hiukkasen nollapiste-energiaksi. Nollapisteenergia on tyypillinen potentiaaleille, jossa hiukkasen liike on rajoitettu tiettyyn avaruuden osaan. Kuva - 1 (a) Potentiaalilaatikon kolmen alimman tilan aaltofunktiot ja (b) vastaavat todennäköisyystiheydet. Tarkastellaan vielä Schrödingerin yhtälön ratkaisussa esiintyvän vakion C määräämistä. Käytetään seuraavaksi todennäköisyystiheyden normitusehtoa. Hiukkanen on varmuudella jossain potentiaalilaatikon pisteessä. Jos integroimme hiukkasen todennäköisyystiheyden potentiaalilaatikon yli, on tuloksen oltava yhtä kuin 1 todennäköisyyslaskennan periaatteen mukaan. Todennäköisyystiheydelle voidaan siis kirjoittaa normitusehto 1 a ψ ( ) n x dx = 1 eli C ( ) a sin nπ x a dx = 1.

23 Kvanttimekaniikan perusteet 77 Ratkaisemalla integrointivakion C, saadaan C = a. Normitettu aaltofunktio voidaan siis tässä esimerkkitapauksessa esittää reaalisessa muodossa ( ) sin( π ) ψ n x = a n x a. (.6) Potentiaalilaatikon ominaisfunktiot ovat ortogonaalisia. Jos valitsemme mielivaltaiset kaksi ominaisfunktiota ψ ja ψ, ne toteuttavat yhtälön n n a * ψψ dx =, n n. (.7) Voimme osoittaa tämän ortogonaalisuusominaisuuden helposti sijoittamalla yhtälöön.7 potentiaalilaatikon ominaistilat, jolloin saamme nπx n πx ψψ sin sin dx a a a a * a n ndx = ( ) π ( + ) 1 a n n x n n πx = cos cos dx a = a a, missä on käytetty kosinifunktiolle päteviä trigonometrian kaavoja. Voidaan osoittaa, että tämä aaltofunktioiden ortogonaalisuusominaisuus ei rajoitu potentiaalilaatikkoon, vaan on yleinen niin sanottujen lokaalisten potentiaalien ominaisuus. Esimerkki.. Tarkastelemme seuraavaksi hiukkasen energiatasoja kolmiulotteisessa potentiaalilaatikossa. Laatikon seinien pituudet ovat a, b ja c, katso kuvaa -11. Voidaan osoittaa, että kolmiulotteinen Schrödingerin yhtälö separoituu tässä erityistapauksessa kolmeksi erilliseksi Schrödingerin yhtälöksi, joista kukin on muodoltaan Kuva - 11 Kolmiulotteinen potentiaalilaatikko.

24 78.5 Hiukkanen potentiaalilaatikossa 1-ulotteisen potentiaalilaatikon Schrödingerin yhtälön (.) kaltainen. Saamme erillisen yhtälön kullekin muuttujalle x, y, z ja yhtälöt voidaan ratkaista toisistaan riippumatta. Yhtälön.3 mukaan voimme kirjoittaa liikemäärän arvoiksi kolmessa eri suunnassa πħ n 1 πħ 3 px, p n πħ = y =, p n z = a b c, missä suureet n 1, n, n 3 ovat positiivisia kokonaislukuja. Kokonaisenergia on riippumattomien yhtälöiden ominaisarvojen summa π n1 n n 3 E = ( px + py + pz ) m= + + m a b c. (.8) Tämä kokonaisenergian lauseke antaa kolmiulotteisessa laatikossa sijaitsevan hiukkasen ominaisenergiat. Voidaan osoittaa, että vastaava ominaisfunktio saadaan kertomalla kunkin kolmen ominaisarvoyhtälön ratkaisut keskenään, jolloin saamme 1 3 sin n π x sin n π y sin n π z ψ = C. (.9) a b c Lukija voi helposti osoittaa suoralla sijoituksella, että aaltofunktio.9 on kolmiulotteisen Schrödingerin yhtälön.9 ratkaisu, jos potentiaalienergia E p =. Samalla huomataan, että vastaavat ominaisarvot saadaan yhtälöstä.8. Aaltofunktio.9 on nolla suorakulmaisen särmiön kaikilla tahkoilla ja muistuttaa muodoltaan suorakulmaiseen särmiöön rajoittuvaa seisovan aallon amplitudia esimerkiksi sähkömagneettiselle aallolle. Käsittelemme seuraavaksi tärkeää erityistapausta, jossa laatikko on kuution muotoinen, ts. a= b= c. Ominaisenergiat ovat nyt π ħ π ħ E = n + n + n = ma ma ( 1 3) κ missä ( n 1 n n3 ) κ = + + ja vastaavat ominaisfunktiot, (.3) πnx 1 πny πnz 3 ψ = C sin sin sin a a a. (.31) Huomattakoon, että hiukkasen energia riippuu ainoastaan suureesta κ, joka on kolmen nollaa suuremman kokonaisluvun neliön summa. Tämä tarkoittaa sitä että kaikki ne Schrödingerin yhtälön ominaistilat joilla kokonaislukujen n 1, n, n 3 neliöiden summa on sama liittyvät samaan ominai-

25 Kvanttimekaniikan perusteet 79 senergiaan. Jos samaan ominaisenergiaan liittyy useita eri aaltofunktioita, sanomme ominaistiloja degeneroituneiksi. Niiden ominaistilojen lukumäärää, joilla on tämä mainittu yhteinen energia ilmoittaa Taulukko -1 Kolmiulotteisen potentiaalilaatikon energiatasot ja degeneraatiot energiatason (ominaisenergian) degeneraatioasteen. Taulukossa.1 olemme esittäneet kuuden alimman ener- 3E 1,1,1 1 Energia Yhdistelmät n, n, n Degeneraatio, g 1 3 giatason degeneraatioasteet 6E 1,1,, 1,,1,,1,1 3 ja ne kokonaisluvut n 1, n, n 3, 9E 1,,,,1,,,,1 3 jotka liittyvät kuhunkin energiatasoon. Esimerkissämme ominaisenergiat on 1E,, 1 11E 1,1, 3, 1, 3,1, 3,1,1 3 lausuttu yksiköissä E = π ħ ma. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1,, 3 ),( 1, 3, ), (,1, 3 ), (,3,1 ),( 3,1, ),( 3,,1) 14E 6 Esimerkki.3. Energiatilojen tiheys hyvin suuressa kolmiulotteisessa potentiaalilaatikossa. Tarkastellaan äärettömän kovaa kolmiulotteista potentiaalilaatikkoa. Laatikon tilavuus V = a, missä a on särmän pituus. Laatikossa oleva hiukka- 3 nen voi olla esimerkiksi metallin johtovyön elektroni. Elektroni voi liikkua likimain vapaasti metallikappaleen sisällä, mutta kappaleen reunalla sen pitää metallin sisällä rajapintapotentiaali, jota voidaan approksimoida potentiaalilaatikolla. Tilatiheyden laskemiseen tarvitsemme.3 annettuja ominaisenergioita. Nämä ominaisenergiat ovat hiukkasen sallitut energiatasot. Tarkastellaan nyt ominaistilojen lukumäärää suureen ( n1 n n3 ) κ = + + funktiona. Positiivisten koordinaattiakseleiden ξ, η, ζ määräämässä osassa avaruutta liitämme kuhunkin kolmen positiivisen kokonaisluvun yhdistelmään särmältään ykkösen suuruisen kuution. Näin jokaista energiatilaa vastaa tilavuudeltaan ykkösen suuruinen osa tästä koko Kuva - 1 Jokaiseen energiatilaan liittyy kolme kokonaislukua. Lukukolmikko varaa yhden yksikön suuruisen tilavuusalkion kolmiulotteisessa lukuavaruudessa. avaruuden 1/8 osan käsittävästä alueesta, katso kuva -1. Kun κ kasvaa,

26 8.5 Hiukkanen potentiaalilaatikossa tulee vierekkäisten energiatilojen välinen suhteellinen ero E / E yhä pienemmäksi ja tilojen voidaan katsoa muodostavan jatkumon. Tätä on havainnollistettu kuvassa -13. Tarkastellaan nyt tilojen lukumäärää sellaisella pallokuorella, jonka paksuus tässä indeksiavaruudessa on κ. Vastaava energiaero kuoren sisä- ja ulkoreunan välillä on Kuva - 13 Energiatasot pienessä ja suuressa potentiaalilaatikossa. Ison laatikon tilatiheys on esitetty skemaattisesti. π E = κ κ = ma 1/. (.3) ma 1/ = E κ π Tilojen lukumäärä tässä alueessa on kuoren tilavuus N = (1/ 8)4πκ κ, eli kahdeksas osa koko pallokuoren tilavuudesta. Ratkaisemalla tästä κ ja sijoittamalla yhtälöön.3 saamme hiukkasten tilatiheydeksi 1/ 3/ N 4πκ κ π π ma 1/ ge ( ) = = = E E 1/ 4 16E κ ma π 1/ 3/ ( ) π m V E 1/ =. 3 h (.33a) Yhtälössä.33 kuution tilavuus muodossa V 3 = a. Tilatiheys esitetään usein myös 3/ m V 1/ g( E) = E 1/ 3 π ħ, (.33b) missä on käytetty Planckin vakion toista esitysmuotoa ħ = h /π. Tilatiheys.33 b on esitetty kuvassa -14. Huomataan, että tilojen lukumäärä energiayksikköä kohden on suoraan verrannollinen tilavuuteen ja energian neliöjuureen samoin kuin aiemmin tilastollisen fysiikan kurssissa johdettu kaasumolekyylien tilatiheys. Klassisen mekaniikan perusteella voidaan molekyylien tilatiheydelle johtaa riippuvuus energiasta ja tilavuudesta. Tilatiheyden edessä olevan vakion

27 Kvanttimekaniikan perusteet 81 johtaminen edellyttää kvanttimekaanista tarkastelua. Yhtälössä.33 ei oteta huomioon esimerkiksi elektronien spinvektorin (elektronin spiniin palaamme myöhemmin) suuntaa. Tästä syystä on elektronien tilatiheys kerrottava kahdella, jos haluamme sen edustavan molempiin spintiloihin liittyvää kokonaistilatiheyttä. Kuva - 14 Energiatasojen tiheys isossa kuutiollisessa potentiaalilaatikossa.

28 8.6 Harmoninen oskillaattori.6 Harmoninen oskillaattori p Harmoninen oskillaattorissa hiukkasen potentiaalienergia on muotoa 1 E = kx. Harmonista oskillaattoria voidaan käyttää mallina useille mikroskooppisille värähtelijöille. Esimerkiksi kiinteän aineen hilaverkossa tai molekyyleissä atomien keskinäiseen värähtelyyn liittyvä potentiaalienergia on verrannollinen tasapainoasemasta lasketun poikkeaman neliöön, jos poikkeama tasapainoasemasta on pieni. Harmonista potentiaalia ja siihen liittyviä energiatasoja esittää kuva -15. Harmonista oskillaattoria voidaan käyttää mallina useille mikroskooppisille värähtelijöille. Harmonisen oskillaattorin Schrödingerin yhtälö on ħ d ψ mdx 1 + kx ψ = Eψ..34 Yhtälön.34 ratkaisut on johdettu esimerkissä.4. Tarkastelemme seuraavaksi harmonisen oskillaattorin ominaisfunktioiden (Taulukko -) tärkeimpiä ominaisuuksia. Klassisen mekaniikan mukaan harmonisen oskillaattorin kulmataajuus voidaan Kuva - 15 Harmonisen oskillaattorin potentiaalienergia ja energiatilat. esittää muodossa ω = km. Kuten esimerkissä.4 on osoitettu, harmonisen oskillaattorin Schrödingerin yhtälön ominaisenergiat voidaan esittää muodossa n 1 ( ) E = n+ ħ ω, (.35) 1 missä n on nolla tai positiivinen kokonaisluku. Alimmat energiatasot ovat siis E = 1 ħω, E = 3ħω, E = 5ħ ω,... Mielenkiintoisena yksityiskohtana huomattakoon, että harmonisen oskillaattorin perustilan energia on E = 1 ħ ω, eikä nolla niin kuin klassisen harmonisen oskillaattorin. Tämä on ns. nol-

29 Kvanttimekaniikan perusteet 83 Kuva - 16 Ensimmäisen kolmen energiatilan aaltofunktiot Kuva - 17 Ensimmäisen kolmen energiatilan todennäköisyystiheydet lapiste-energia. Sitä ei havaita suoraan ominaistilojen välisissä siirtymissä, joissa energiatilojen erotuksessa nollapiste-energia supistuu pois. Taulukossa. olemme esittäneet muutamien alimpien energiatilojen aaltofunktioita. Huomattakoon että aaltofunktiot on tässä normitettu siten,, + on 1. Vaihetekijä että todennäköisyystiheyden integraali väliltä [ ] on valittu siten, että kaikki funktiot ovat reaalisia. Aaltofunktiot ja niiden itseisarvon neliö on esitetty kuvissa.16 ja.17. Aaltofunktio ei pienene tarkalleen nollaan siellä, missä potentiaalienergian arvo leikkaa Taulukko - Harmonisen oskillaattorin alimpien energiatilojen aaltofuntiot. energiatason. Tämä on jälleen yksi esimerkki kvanttimekaniikassa yleisestä tunneloitumisesta sellaiseen alueeseen, joka on klassisen mekaniikan mukaan kielletty. Yllä on tarkasteltu yksiulotteista oskillaattoria. Mikäli oskillaattorin värähtely tapahtuu kolmessa n 3 1 ( ) n E ψ x ( ) = ( ) 1 ( ) = ( ) ħω ψ x a π e 1 ax 1 ħω ψ x a π axe ax 1 ( ) = ( ) ( ) ax ħω ψ x a 8 π 4a x e 1 ( ) = ( ) ( ) 3 3 ax 3 ħω ψ x a 48 π 8a x 1ax e ulottuvuudessa, joissa kaikissa on sama jousivakio, voidaan ominaisenergiat esittää muodossa n

30 84.6 Harmoninen oskillaattori n 3 ( ) E = n+ ħ ω. (.36) Ainoa ero on energioihin.35 nollapiste-energiassa joka on nyt kolme kertaa suurempi, ts. hiukkasella on (1/ )ħω nollapiste-energiaa kaikissa kolmessa ulottuvuudessa. Esimerkki.4. Harmonisen oskillaattorin ominaisfunktioiden johtaminen. Tässä esimerkissä johdamme rekursiokaavan harmonisen oskillaattorin Schrödingerin yhtälön ominaistiloille. Lähtökohtana on harmonisen oskillaattorin Schrödingerin yhtälö.34. Etsimme sellaisia tämän ominaisarvoyhtälön ratkaisuja, jotka ovat jatkuvia ja joiden ominaisfunktio on nolla positiivisessa ja negatiivisessa äärettömyydessä. Muutamme aluksi yhtälön.34 dimensiottomaan muotoon ottamalla käyttöön uuden muuttujan y = α x, missä α = mk ħ. Sijoittamalla tämä yhtälöön.34 saamme ( n y ) d ψ + λ ψ =, (.37) dy reunaehto ( ) missä λn = En ħω ja ω = km on oskillaattorin klassinen resonanssitaajuus. Olemme tässä ottaneet myös käyttöön alaindeksin n, mikä implisiittisesti tarkoittaa, että oletamme energiatilojen olevan kvantittuneet. Kun muuttuja x lähestyy ääretöntä, myös y lähestyy ääretöntä. Hiukkanen on sidottu oskillaattorin potentiaalikuoppaan, joten todennäköisyystiheys lähestyy äärettömyydessä nollaa. Aaltofunktiolle pätee siksi asymptoottinen ψ y =. Suurilla muuttujan y arvoilla voimme jättää tekijän λ huomiotta yhtälössä.37, jolloin differentiaaliyhtälö saa yksinkertaisen muodon d dy ψ = y ψ. (.38) Sekä yhtälö.37 että yhtälö.38 ovat parillisia muuttujan y suhteen. Yhtä- ψ y =, kun y ±, on lön.38 ratkaisu, joka toteuttaa reunaehdon ( ) ( y) β y ψ = Ae. (.39) Sijoittamalla.39 yhtälöön.38, saamme β y β y β y βae + 4β y Ae = y Ae.

31 Kvanttimekaniikan perusteet 85 Kun y on hyvin suuri, vasemman puolen ensimmäinen termi on paljon pienempi kuin toinen ja voidaan jättää huomiotta. Tästä saamme parametrille β ehdon β = 1/. Kun yrite.39 sijoitetaan alkuperäiseen ominaisarvoyhtälöön.37 saadaan supistamalla eksponenttifunktiot y n y 4β β + λ =. (.4) Koska yhtälö.4 seuraa suoraan Schrödingerin yhtälöstä.37, sen on toteuduttava kaikilla muuttujan y arvoilla. Tämä on mahdollista vain, jos muuttujan y kuhunkin potenssiin verrannollisten termien summa on nolla. Edellä johdettu β = 1/ takaa, että y :n toisen asteen termien summa on nolla. Muuttujan y nollannen asteen kertoimien summan tulee myös olla nolla. Tästä seuraa λ n = 1. Näin olemme ratkaisseet alimman ominaisarvon En 1 = E = ħω. (.41) Vastaava ominaisfunktio on y x ( x) Ae α = = Ae ψ. (.4) Tämä voidaan vielä normittaa tavalliseen tapaan. Seuraavaksi määräämme ensimmäisen viritetyn tilan aaltofunktion. Koska potentiaali V ( x ) on symmetrinen, Schrödingerin yhtälön ratkaisuilla on aina hyvin määritelty pariteetti, parillinen tai pariton. Johtamamme perustilan aaltofunktio on parillinen. Voidaan osoittaa, että kaikille peilisymmetrisille potentiaaleille alin energiatila on parillinen. On luonnollista olettaa, että ensimmäinen viritetty tilan on vastaavasti pariton. Tästä syystä etsitään seuraavaksi sellaista asymptoottisen yhtälön.38 ratkaisua, joka suurilla etäisyyksillä vaimenee kuten y e ja on samalla pariton funktio. Yksinkertaisin tällainen funktio on y x 1( x) A1ye α = = A1( x) e ψ α. (.43) Jos sijoitamme tämän funktion yhtälöön.37, saamme yhtälöä.4 vastaavan yhtälön 3 3 λ1 λ1 y y+ y + y y = y 3y =. Tästä voimme ratkaista λ 1 = 3. Energian ominaisarvo E 1 on siis

32 86.6 Harmoninen oskillaattori 3 1 E = ħω. (.44) Seuraavaksi määrään toisen viritetyn tilan ominaisfunktio. Yksinkertaisin asymptoottinen aaltofunktio joka vaimenee kuten y e ja on parillinen y:n suhteen ja lisäksi aidosti riippumaton perustilan aaltofunktiosta on α x x Ay B e A x B e y ( ) = ( + ) = ( + ) ψ α. Sijoitamme tämän Schrödingerin yhtälöön.37 ja saamme 5Ay + λ Ay + A B+ λ B=. Tästä voimme määrätä λ :n ja kertoimen B arvot, 1 5ja B A λ = =. (.45) Energian ominaisarvo on näin ollen 5 E = ħω (.46) ja vastaava ominaisfunktio on 1 y 1 x x A y e α = = A ( x ) e ( ) ( ) ψ α. (.47) Induktiotodistuksella voidaan osoittaa, että yleisesti harmonisen oskillaattorin ominaisenergiat ovat En ( n 1 ) = + ħω (.48) ja ominaisfunktiot n ( ) = ( ) y ψ x H y e, (.49) n missä H n ( y ) (y x = α ja α = mk ħ )on parillinen polynomi, kun n on parillinen ja pariton polynomi, kun n on pariton. Näitä polynomeja kutsutaan myös Hermite polynomeiksi. Esimerkki.5. Ominaistilat äärellisessä potentiaalilaatikossa.

33 Kvanttimekaniikan perusteet 87 Kuva.18 esittää ns. potentiaalikuoppaa. Se eroaa potentiaalilaatikosta siinä, että reunoilla potentiaali ei kasva äärettömäksi vaan saa tietyn äärellisen vakioarvon. Potentiaali E p = alueessa x < a ja E p = E tämän alueen ulkopuolella eli kuopan reunoilla. Potentiaalikuoppa on esimerkki potentiaalista, jossa hiukkaseen vaikuttavien voimien kantama on äärellinen. Voimme olettaa, että hiukkaseen kohdistuva voima rajoittuu potentiaalikuopan alueelle. Tämän kaltainen potentiaali sitoo protonit ja neutronit Kuva - 18 Potentiaalikuoppa atomin ytimiin, mutta äärellisen potentiaalikuopan potentiaalilla on sovellutuksia myös puolijohteissa, joissa voidaan luoda johtovyön elektroneille (ja valenssivyön aukoille) muutamien atomikerroksien levyisiä potentiaalikuoppia, joiden syvyys on muutamia satoja millielektronivoltteja. Vaikka energiakuopan syvyys vaikuttaa pieneltä, se on kuitenkin paljon suurempi kuin terminen energia kt huonelämpötilassa ja näin elektronit voivat relaksoitua kuoppaan liittyviin sidottuihin tiloihin. Tässä esimerkissä tarkastelemme ainoastaan sidottuja tiloja, joille E < E. Tarkastellaan elektronia alueessa [ a/, a/] on (alue II). Schrödingerin yhtälö d ψ me + k ψ = missä k =. dx ħ (.5) Yhtälön.5 yleinen ratkaisu kirjoitetaan avulla muodossa sini- ja kosini-funktioiden ψ ( x) = Acoskx+ Bsinkx. (.51) ikx ikx Huomaa, että coskx ja sinkx voidaan esittää funktioiden e ja e lineaarikombinaationa, joten.51 on ekvivalentti aiemmin käytetyn esitysmuodon Ae + Be kanssa. Koska potentiaali alueissa I ja III ei ole ääretön, ikx ikx elektronilla on äärellinen esiintymistodennäköisyys myös näissä alueissa. Aaltoyhtälö on alueissa I ja III = missä = d ψ m( E E) αψ α. (.5) dx ħ

34 88.6 Harmoninen oskillaattori Huomaa, että koska laskemme sidottuja tiloja, joille E < E, olemme määritelleet α :n siten, että se on reaalinen. Yleiset ratkaisut ovat alueissa I ja III reaalisten eksponenttifunktioiden lineaarikombinaatioita αx ψ ( x) = C e + D e. (.53) αx I, III I, III Jotta aaltofunktio olisi normitettavissa vaaditaan, että C III = ja D I =. Tällöin aaltofunktion itseisarvo laskee eksponentiaalisesti kuopan ulkopuolella. Tämä on välttämätön fysikaalinen reunaehto sidotulle tilalle, jossa aaltofunktio on aina rajoitettu tiettyyn avaruuden osaan. Parilliset tilat Aaltofunktion ja sen derivaatan on oltava jatkuvat rajapinnoilla x = a/ ja x = a/. Jotta aaltofunktio olisi parillinen, vaaditaan B =. Rajapinnalla x = a/ saadaan jatkuvuusehdoksi: ka Acos = DIII e ja derivaatan jatkuvuusehdoksi α a / (.54) ka a / kasin DIII e α = α. (.55) Jakamalla yhtälöt puolittain saadaan ka k tan = α. (.56) Sijoittamalla k ja α saadaan lopulta tan ma E = ħ E E. (.57) E

35 Kvanttimekaniikan perusteet 89 Yhtälö.57 on transkendenttiyhtälö energian E suhteen. Se voidaan ratkaista esimerkiksi graafisesti kuten kuvassa.19. Kuvassa.19 on piirretty yhtälön.57 oikean ja vasemman puolen kuvaajat. Energian ominaisarvot saadaan kuvaajien leikkauspisteistä. Kuvassa on käytetty ns. milliatomiyksiköitä ( lyhennys ma.u. = mev). Yhtälön.57 oikea puoli on piirretty kahdella eri potentiaalikuopan syvyyden arvolla E = 1. ma.u. 7meV ja Kuva - 19 Parillisen tilan ratkaisu E = 1. ma.u. 7 mev. Kuopan leveys a = 5,3 nm. Energiaasteikon nollakohta on potentiaalilaatikon pohjalla. Pienemmällä kuopan syvyydellä saadaan vain yksi parillinen sidottu tila. Syvemmälle kuopalle saadaan kolme parillista ja kaksi paritonta sidottua tilaa. Sidottujen tilojen lukumäärä siis kasvaa kuopan syvetessä. Tässä tehtävässä valittu kuopan ulottuvuus ja syvyys vastaavat puolijohteista valmistetuissa ns. kvanttikaivoissa Kuva - Parittoman tilan ratkaisu elektronin näkemän potentiaaliminimin arvoja. Elektronin massana on kuitenkin käytetty lepomassaa, kun puolijohdemateriaalissa tulisi käyttää ns. efektiivistä massaa, jonka avulla kuvataan elektronin vuorovaikutusta kiderakenteen kanssa. Efektiiviseen massaan palaamme luvussa 7. Parittomat tilat Parittomat tilat saadaan valitsemalla yhtälössä.51 A =. Vaatimalla nyt funktion ja derivaatan jatkuvuus rajapinnoilla saadaan vastaavasti cot ma E E E = ħ E. (.58)

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV = S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

Jukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2

Jukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2 S 437 Fysiikka III Kevät 8 Jukka Tulkki 8 askuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 34 klo : mennessä Assistentit: Jaakko Timonen Ville Pale Pyry Kivisaari auri Salmia (jaakkotimonen@tkkfi) (villepale@tkkfi)

Lisätiedot

TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)

TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on

Lisätiedot

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta. K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan tulkinta

Kvanttimekaniikan tulkinta Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen

Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Luku 11 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen Tässä luvussa käsitellään sähkömagneettisten aaltojen heijastumista ja taittumista väliaineiden rajapinnalla. Rajoitutaan monokromaattisiin aaltoihin ja oletetaan

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Kvanttimekaniikka: Luento 2. Mar$kainen Jani- Petri

Kvanttimekaniikka: Luento 2. Mar$kainen Jani- Petri Kvanttimekaniikka: Luento 2 Mar$kainen Jani- Petri Assarointimainos Fyssa tarvitsee assareita Noin 30 euroa tun$+ lisiä tyypillises$ n. 4h/viikko, muba voi olla enemmän/vähemmän Opintosuoritukset+ lyhyt

Lisätiedot

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY

Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTEILYTURVAKESKUS STRÅLSÄKERHETSCENTRALEN RADIATION AND NUCLEAR SAFETY AUTHORITY Lyhyt yhteenvetokertaus nodaalimallista SÄTELYTUVAKESKUS STÅLSÄKEHETSCENTALEN ADATON AND NUCLEA SAFETY AUTHOTY Ei enää tarkastella neutronien kulkua, vaan työn alla on simppeli tuntemattoman differentiaaliyhtälöryhmä

Lisätiedot

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen

23 VALON POLARISAATIO 23.1 Johdanto. 23.2 Valon polarisointi ja polarisaation havaitseminen 3 VALON POLARISAATIO 3.1 Johdanto Mawellin htälöiden avulla voidaan johtaa aaltohtälö sähkömagneettisen säteiln etenemiselle väliaineessa. Mawellin htälöiden ratkaisusta seuraa aina, että valo on poikittaista

Lisätiedot

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)

Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen

Lisätiedot

Fysikaalisten tieteiden esittely puolijohdesuperhiloista

Fysikaalisten tieteiden esittely puolijohdesuperhiloista Fysikaalisten tieteiden esittely puolijohdesuperhiloista "Perhaps a thing is simple if you can describe it fully in several different ways without immediately knowing that you are describing the same thing."

Lisätiedot

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1).

on radan suuntaiseen komponentti eli tangenttikomponentti ja on radan kaarevuuskeskipisteeseen osoittavaan komponentti. (ks. kuva 1). H E I L U R I T 1) Matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste (ks. kuva1) kuva 1. - heilurin pituus l - tasapainoasema O - ääriasemat A ja B - heilahduskulma - heilahdusaika

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä

2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3

Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3 Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä

Lisätiedot

PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016

PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 Prof. Martti Puska Emppu Salonen Tomi Ketolainen Ville Vierimaa Luento 7: Hilavärähtelyt tiistai 12.4.2016 Aiheet tänään Hilavärähtelyt: johdanto Harmoninen

Lisätiedot

Luvun 8 laskuesimerkit

Luvun 8 laskuesimerkit Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20

Lisätiedot

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1

1 Raja-arvo. 1.1 Raja-arvon määritelmä. Raja-arvo 1 Raja-arvo Raja-arvo Raja-arvo kuvaa funktion f arvon f() kättätmistä, kun vaihtelee. Joillakin funktioilla f() muuttuu vain vähän, kun muuttuu vähän. Toisilla funktioilla taas f() hppää tai vaihtelee arvaamattomasti,

Lisätiedot

Jatkuvat satunnaismuuttujat

Jatkuvat satunnaismuuttujat Jatkuvat satunnaismuuttujat Satunnaismuuttuja on jatkuva jos se voi ainakin periaatteessa saada kaikkia mahdollisia reaalilukuarvoja ainakin tietyltä väliltä. Täytyy ymmärtää, että tällä ei ole mitään

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen

Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen Numeeriset menetelmät Pekka Vienonen 1. Funktion nollakohta Newtonin menetelmällä 2. Määrätty integraali puolisuunnikassäännöllä 3. Määrätty integraali Simpsonin menetelmällä Newtonin menetelmä Newtonin

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE

HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE HARMONISEN VÄRÄHTELIJÄN JAKSONAIKA JA HEILURIEN HEILAHDUSAJAT - johtaminen 1) VAIMENEMATON HARMONINEN VÄRÄHDYSLIIKE Harmoninen voima on voima, jonka suuruus on suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2

Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009

MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA. PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 EB-TUTKINTO 2009 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 8. kesäkuuta 2009 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa

Lisätiedot

SEISOVA AALTOLIIKE 1. TEORIAA

SEISOVA AALTOLIIKE 1. TEORIAA 1 SEISOVA AALTOLIIKE MOTIVOINTI Työssä tutkitaan poikittaista ja pitkittäistä aaltoliikettä pitkässä langassa ja jousessa. Tarkastellaan seisovaa aaltoliikettä. Määritetään aaltoliikkeen etenemisnopeus

Lisätiedot

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32

Teema 4. Homomorfismeista Ihanne ja tekijärengas. Teema 4 1 / 32 1 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki 4B.2 Esimerkki 4B.3 Esimerkki 4C.1 Esimerkki 4C.2 Esimerkki 4C.3 2 / 32 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.1 Esimerkki 4A.2 Esimerkki 4B.1 Esimerkki

Lisätiedot

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.

Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon

Lisätiedot

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

5.3 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Yllä olevat polynomit P ( x) = 2 x + 1 ja Q ( x) = 2x 1 ovat esimerkkejä 1. asteen polynomifunktioista: muuttujan korkein potenssi on yksi. Yleisessä 1. asteen polynomifunktioissa on lisäksi vakiotermi;

Lisätiedot

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?

B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja? Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille]

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] A) p 1, V 1, T 1 ovat paine tilavuus ja lämpötila tilassa 1 p 2, V 2, T 2 ovat paine tilavuus ja

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää

Lisätiedot

1.4 Funktion jatkuvuus

1.4 Funktion jatkuvuus 1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,

Lisätiedot

LIITE 11A: VALOSÄHKÖINEN ILMIÖ

LIITE 11A: VALOSÄHKÖINEN ILMIÖ LIITE 11A: VALOSÄHKÖINEN ILMIÖ Valosähköisellä ilmiöllä ymmärretään tässä oppikirjamaisesti sitä, että kun virtapiirissä ja tyhjiölampussa olevan anodi-katodi yhdistelmän katodia säteilytetään fotoneilla,

Lisätiedot

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN

LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN LAUSEKKEET JA NIIDEN MUUNTAMINEN 1 LUKULAUSEKKEITA Ratkaise seuraava tehtävä: Retkeilijät ajoivat kahden tunnin ajan polkupyörällä maantietä pitkin 16 km/h nopeudella, ja sitten vielä kävelivät metsäpolkua

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO

OSA 1: YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO OSA : YHTÄLÖNRATKAISUN KERTAUSTA JA TÄYDENNYSTÄ SEKÄ FUNKTIO Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Kolme kaverusta, Olli, Pekka

Lisätiedot

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö

Aluksi. 1.1. Kahden muuttujan lineaarinen yhtälö Aluksi Matematiikan käsite suora on tarkalleen sama asia kuin arkikielen suoran käsite. Vai oliko se toisinpäin? Matematiikan luonteesta johtuu, että sen soveltaja ei tyydy pelkkään suoran nimeen eikä

Lisätiedot

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0

k=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0 1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto

FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.

Lisätiedot

1.1 Funktion määritelmä

1.1 Funktion määritelmä 1.1 Funktion määritelmä Tämän kappaleen otsikoksi valittu funktio on hyvä esimerkki matemaattisesta käsitteestä, johon usein jopa tietämättämme törmäämme arkielämässä. Tutkiessamme erilaisia Jos joukkojen

Lisätiedot

3 Raja-arvo ja jatkuvuus

3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3 Raja-arvo ja jatkuvuus 3. Raja-arvon käsite Raja-arvo kuvaa funktion kättätmistä jonkin lähtöarvon läheisdessä. Raja-arvoa tarvitaan toisinaan siksi, että funktion arvoa ei voida laskea kseisellä lähtöarvolla

Lisätiedot

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut

Diplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2012 Insinöörivalinnan fysiikan koe 30.5.2012, malliratkaisut A1 Kappale, jonka massa m = 2,1 kg, lähtee liikkeelle levosta paikasta x = 0,0 m pitkin vaakasuoraa alustaa. Kappaleeseen vaikuttaa vaakasuora vetävä voima F, jonka suuruus riippuu paikasta oheisen kuvan

Lisätiedot

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1

KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 KERTAUSTEHTÄVIÄ KURSSIIN 766323A-01 Mekaniikka, osa 1 Tässä materiaalissa on ensin helpompia laskuja, joiden avulla voi kerrata perusasioita, ja sen jälkeen muutamia vaikeampia laskuja. Laskujen jälkeen

Lisätiedot

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta

3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate

Lisätiedot

KVANTTIFYSIIKAN ILMIÖMAAILMA...1

KVANTTIFYSIIKAN ILMIÖMAAILMA...1 KVANTTIFYSIIKAN ILMIÖMAAILMA...1 1.1 Historiaa... 1 1. Klassisen sähkömagnetismin perusideoita... 4 1.3 Mustan kappaleen säteily... 7 1.4 Valosähköinen ilmiö... 1 1.5 Sähkömagneettisen säteilyn sironta

Lisätiedot

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite

1.1. Ympäristön ja raja-arvon käsite .. Ympäristön ja raja-arvon käsite Matematiikan opintojen tässä vaiheessa aletaan olla kiinnostavimpien sisältöjen laidassa. Tähänastiset pitkän matematiikan opinnot ovat olleet kuin valmistelua, jatkossa

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo

1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo 1. Murtoluvut, murtolausekkeet, murtopotenssit ja itseisarvo Olkoot a, b, c mielivaltaisesti valittuja reaalilukuja eli reaaliakselin pisteitä. Ne toteuttavat seuraavat laskulait (ns. kunta-aksioomat):

Lisätiedot

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi.

Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Matemaattisten menetelmien hallinnan tason testi. Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vaihtoehto oikein.. Laskutoimitusten a) yhteen- ja vähennyslaskun b) kerto- ja jakolaskun c) potenssiin korotuksen järjestys

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon

Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon Matikkaa KA1-kurssilaisille, osa 3: suoran piirtäminen koordinaatistoon KA1-kurssi on ehkä mahdollista läpäistä, vaikkei osaisikaan piirtää suoraa yhtälön perusteella. Mutta muut kansiksen kurssit, no

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi

DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi DYNAMIIKKA II, LUENTO 5 (SYKSY 2015) Arttu Polojärvi LUENNON SISÄLTÖ Kertausta edelliseltä luennolta: Suhteellisen liikkeen nopeuden ja kiihtyvyyden yhtälöt. Jäykän kappaleen partikkelin liike. Jäykän

Lisätiedot

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13

Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13 Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3

Lisätiedot

53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ

53 ELEKTRONIN SUHTEELLISUUSTEOREETTINEN LIIKE- MÄÄRÄ 53 LKTRONIN SUHTLLISUUSTORTTINN LIIK- MÄÄRÄ 53. Lorentz-uunnos instein esitti. 95 erikoisen suhteellisuusteorian eruseriaatteen, jonka ukaan kaikkien luonnonlakien tulee olla saoja haainnoitsijoille, jotka

Lisätiedot

Opettajaopiskelijoiden käsityksiä kvanttimekaniikasta

Opettajaopiskelijoiden käsityksiä kvanttimekaniikasta Opettajaopiskelijoiden käsityksiä kvanttimekaniikasta Eetu Laukka Pro gradu -tutkielma Joulukuu 2015 Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto i Eetu Laukka Työn ohjaajat Opettajaopiskelijoiden

Lisätiedot

Luku 14: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi

Luku 14: Elektronispektroskopia. 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi Luku 14: Elektronispektroskopia 2-atomiset molekyylit moniatomiset molekyylit Fluoresenssi ja fosforesenssi 1 2-atomisen molekyylin elektronitilan termisymbolia muodostettaessa tärkeä ominaisuus on elektronien

Lisätiedot

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5

Tyyppi metalli puu lasi työ I 2 8 6 6 II 3 7 4 7 III 3 10 3 5 MATRIISIALGEBRA Harjoitustehtäviä syksy 2014 Tehtävissä 1-3 käytetään seuraavia matriiseja: ( ) 6 2 3, B = 7 1 2 2 3, C = 4 4 2 5 3, E = ( 1 2 4 3 ) 1 1 2 3 ja F = 1 2 3 0 3 0 1 1. 6 2 1 4 2 3 2 1. Määrää

Lisätiedot

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.

a) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3. Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi)

Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 (lukion 2. ja 3. vuosi) Kenguru 2012 Student sivu 1 / 8 Nimi Ryhmä Pisteet: Kenguruloikan pituus: Irrota tämä vastauslomake tehtävämonisteesta. Merkitse tehtävän numeron alle valitsemasi vastausvaihtoehto. Väärästä vastauksesta

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

Hiukkasfysiikan luento 21.3.2012 Pentti Korpi. Lapuan matemaattisluonnontieteellinen seura

Hiukkasfysiikan luento 21.3.2012 Pentti Korpi. Lapuan matemaattisluonnontieteellinen seura Hiukkasfysiikan luento 21.3.2012 Pentti Korpi Lapuan matemaattisluonnontieteellinen seura Atomi Aine koostuu molekyyleistä Atomissa on ydin ja fotonien ytimeen liittämiä elektroneja Ytimet muodostuvat

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

Muodonmuutostila hum 30.8.13

Muodonmuutostila hum 30.8.13 Muodonmuutostila Tarkastellaan kuvan 1 kappaletta Ω, jonka pisteet siirtvät ulkoisen kuormituksen johdosta siten, että siirtmien tapahduttua ne muodostavat kappaleen Ω'. Esimerkiksi piste A siirt asemaan

Lisätiedot

RATKAISUT: 18. Sähkökenttä

RATKAISUT: 18. Sähkökenttä Physica 9 1. painos 1(7) : 18.1. a) Sähkökenttä on alue, jonka jokaisessa kohdassa varattuun hiukkaseen vaikuttaa sähköinen voia. b) Potentiaali on sähkökenttää kuvaava suure, joka on ääritelty niin, että

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi

Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste

Lisätiedot

Kuva 6.6 esittää moniliitosaurinkokennojen toimintaperiaatteen. Päällimmäisen

Kuva 6.6 esittää moniliitosaurinkokennojen toimintaperiaatteen. Päällimmäisen 6.2 MONILIITOSAURINKOKENNO Aurinkokennojen hyötysuhteen kasvattaminen on teknisesti haastava tehtävä. Oman lisähaasteensa tuovat taloudelliset reunaehdot, sillä tekninen kehitys ei saisi merkittävästi

Lisätiedot

Aineen olemuksesta. Jukka Maalampi Fysiikan laitos Jyväskylän yliopisto

Aineen olemuksesta. Jukka Maalampi Fysiikan laitos Jyväskylän yliopisto Aineen olemuksesta Jukka Maalampi Fysiikan laitos Jyväskylän yliopisto Miten käsitys aineen perimmäisestä rakenteesta on kehittynyt aikojen kuluessa? Mitä ajattelemme siitä nyt? Atomistit Loogisen päättelyn

Lisätiedot

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.

f(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0. Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina

Lisätiedot

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt

2.2 Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt . Neliöjuuri ja sitä koskevat laskusäännöt MÄÄRITELMÄ 3: Lukua b sanotaan luvun a neliöjuureksi, merkitään a b, jos b täyttää kaksi ehtoa: 1o b > 0 o b a Esim.1 Määritä a) 64 b) 0 c) 36 a) Luvun 64 neliöjuuri

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa

Lisätiedot

ATOMIN KVANTTIMEKAANINEN MALLI...133

ATOMIN KVANTTIMEKAANINEN MALLI...133 ATOMIN KVANTTIMEKAANINEN MALLI...133 4.1 Johdanto...133 4. Atomin ydinmallin kehittyminen...134 4.3 Rutherfordin sironta...136 4.4 Rutherfordin sironnan kulmariippuvuus...138 4.5 Makroskooppisen vaikutusalan

Lisätiedot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot

Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion

Lisätiedot

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna

ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys

Lisätiedot

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo? Aalto-yliopisto, Matematiikan ja Systeemianalyysin laitos Matlab-tehtäviä, käyrän sovitus -e Differentiaali- ja integraalilaskenta 1. Laske integraali 2π cos x 13 12 cos 2x dx a) symbolisesti, b) numeerisesti.

Lisätiedot

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi

Liikkeet. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi Liikkeet Haarto & Karhunen Suureita Aika: tunnus t, yksikkö: sekunti = s Paikka: tunnus x, y, r, ; yksikkö: metri = m Paikka on ektorisuure Suoraiiaisessa liikkeessä kappaleen paikka (asema) oidaan ilmoittaa

Lisätiedot