Esimerkki: 2- atominen molekyyli. Korkeammat derivaatat 1/24/13. Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. Yleisemmin merkitään:

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Esimerkki: 2- atominen molekyyli. Korkeammat derivaatat 1/24/13. Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. Yleisemmin merkitään:"

Timo-Jaakko Laine
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Korkeammat erivaatat Jo kerran erivoitu funk6o voiaan erivoia uuelleen.! f(x) x " # x % & = 2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) x 2 Yleisemmin merkitään: n f(x) = f (n) (x) x n erkki: 2- atominen molekyyli Värähtelevän kaksiatomisen molekyylin poten6aalienergiaa siospituuen r funk6ona voiaan kuvata erilaisilla poten6aaleilla, esim: Harmoninen poten6aali: V harm = 0.5k(r r eq ) 2 Morse- poten6aali: V morse = D(1 e a(r r eq ) ) 2 r eq r eq r r Tehtävä: osoita, enä harmonisen värähtelijän voimavakio on k = 2 V harm V harm = 1 2 k(r r eq) 2 V harm = 1 k 2 (r r eq) 1 r (r r eq) = k(r r eq ) 1 2 V harm = k r (r r ) = k 1= k eq Koska V harm :n toisen erivaatan arvo on k kaikkialla, se on sitä myös kohassa r = r eq. Tehtävä: laske Morse- poten6aalin "voimavakio" V morse = D(1 e a(r r eq ) ) 2 V morse = D 2 (1 e a(r r eq ) ) 1 r r (1 e a(r r eq ) ) = 2D(1 e -a(r-r eq ) # ) 0 e a(r r eq ) { r a(r r )} & eq % ' ( = 2D(1 e a(r r eq ) )( e a(r r eq ) )( a) = 2aD(e a(r r eq ) e 2a(r r eq ) ) = 2aD(e a(r req ) { r a(r r eq) } e 2a(r r eq ) { r 2a(r r eq) }) = 2aD( # e a(r r eq ) a& ' # e 2a(r r eq ) 2a& ' ) = 2a2 D(2e 2a(r r eq ) e a(r r eq ) ) 1

2 Sijoitetaan r = r eq : = 2a 2 D(2e 2a(r eq r eq ) e a(r eq r eq ) ) = 2a 2 D(2e 2a 0 e a 0 ) = 2a 2 D(2e 0 e 0 ) = 2a 2 D(2 1 1) = 2a 2 D KvanSkemialliset operaanorit OperaaNori on laskutoimituksen merkintätapa. Merkitään usein "hatulla": Â erivaanaoperaanori Â = /x Âf(x) = /x(f(x)) Â[e 2x ] = 2e 2x Miksi operaanoreista puhutaan tällä kurssilla? 1. OperaaNoreita käytetään lyhennysmerkintänä, esim Laplacen operaanori: 2 = 2 x y z 2 2. OperaaNorit ovat kvanskemiassa tärkeitä itsestäänkin (ei siis pelkkiä merkintöjä). : Hamiltonin operaanori H ˆ Kuvaa jonkin systeemin (esim atomi tai molekyyli) kaikkia ominaisuuksia. Operaa,orien laskutoimitukset Operaa,orien summa (Â + ˆB)f =Âf + ˆBf A ˆ = x, B ˆ =, f(x,y) = 3xy2 ( A ˆ + B ˆ )f = ( x + )3xy2 = x (3xy2 ) + (3xy2 ) = 3y 2 + 6xy Operaa,orien tulo ( A ˆ B ˆ )f = A ˆ ( B ˆ f) B:llä operoiaan ensin. A ˆ = x, B ˆ =, f(x,y) = 3xy2 ( A ˆ B ˆ )f = x ( 3xy2 ) = (6xy) = 6y x ( B ˆ A ˆ )f = ( x 3xy2 ) = (3y2 ) = 6y Tässä tapauksessa operoin6järjestyksellä ei ollut väliä, muna yleises6 onaen A ˆ B ˆ B ˆ A ˆ 2

3 A ˆ =, B ˆ = y, f(y) = y ( A ˆ B ˆ )f = (y y) = (y2 ) = 2y ( B ˆ A ˆ )f = y ( y) = y 1 = y huom! Eri tulos! Ominaisarvoyhtälö ˆ A f(x) = a f(x) a on vakio A ˆ B ˆ B ˆ A ˆ OperaaNori OperaaNori /x x ex =1 e x OperaaNorin ominaisfunk6o /x:n ominais- funk6o on e x Ominaisarvo Ei riipu x:stä! Ominaisarvo : Onko e 2x operaanorin /x ominaisfunk6o? Jos on, mikä on ominaisarvo? Vastaus: on ominaisfunk6o, ominaisarvo on 2 : Ovatko x 2 tai e x2 operaanorin /x ominaisfunk6o? Jos on, mitkä ovat ominaisarvot? x e 2x = 2 e 2x x x2 = 2x, 2 x ex = 2x e x 2 Ei ole vakio! Vastaus: eivät ole ominaisfunk6oita. Hamiltonin operaanori vapaalle hiukkaselle Klassisessa mekaniikassa kineesnen energia T on: T = 1 2 mv2 = p2 2m Missä p = mv on liikemäärä. 1 ulonuvuuessa voiaan kirjoinaa esim p x = mv x. KvanSmekaniikassa liikemäärää p korvataan operaanorilla (tässä esim x - akselin suunnassa): ˆp x = -i x (Tavallaanhan nopeus ja liikemäärä ovat klassisessakin mekaniikassa erivaanoja, esim v = x/t.) KvanS- mekaniikassa kineessen energian operaanori on siten: 2 ˆT = ˆp 2 x 2m = 2 2m ( x )2 = 2 2m x 2 3

4 Vapaalla hiukkasella poten6aalienergia (V) on nolla, jolloin Hamiltonin operaanorissa on ainoastaan kineessen energian termi. Schröingerin yhtälö (1 ulonuvuuessa) on siis: Ĥψ(x) = Eψ(x) 2 2 ψ(x) = Eψ(x) 2m x 2 Ja kyseessä on melko yksinkertainen ominaisarvoyhtälö. Tunnemmeko funk6oita joien toinen erivaana olisi miinus yksi kertaa vakio kertaa funk7o itse? - 2 sin(kx) = k 2 sin(kx) - 2 cos(kx) = k 2 cos(kx) x 2 x 2 Ilman mitään monimutkaisia laskuja voimme siis päätellä enä ψ(x) on sini- tai kosiniaalto, muotoa a sin(kx) tai a cos(kx), a ja k vakioita. Tästä syystä ψ(x):aa sanotaan aaltofunk7oksi. Tosielämän esimerkki: Vetyatomi (elektronin liike protonin ympärillä) MitaNava suure: energia E n 6lalla n (n =pääkvansluku). Energiaa vastaava operaanori: Hamiltonin operaanori H ˆ Ominaisarvoyhtälö: H ˆ ψ n = E n ψ n Vetyatomin 6laa pääkvansluvun arvolla n kuvaa aaltofunk6o ψ n. ψ n on elektronin paikan funk6o. Elektronin paikan toennäköisyysjakauma on ψ n* ψ n, missä * merkitsee kompleksikonjugaasa (tähän palataan myöhemmillä luennoilla). Hamiltonin operaanori vetyatomin elektronille: H ˆ = 2 2 2m e e2 4πε 0 r Missä esiintyy aiemmin maininu Laplacen operaanori, ja r on elektronien etäisyys y6mestä. Tilan n=1 aaltofunk6o (1s- orbitaali) on ψ 1 = 2( 1 3 ) 2 e r a 0 ( 1 1 a 0 4π ) 2 ja 6lan n=1 energia on: E 1 = m e e4 32π 2 ε (Tämän laskeminen ei ihan onnistu tähän mennessä opetetuilla taioilla, koska sihen tarvitaan hieman useamman muubujan iffereneaalilaskentaa Toinen tosielämän esimerkki: impulssimomen6n (pyörimismäärän) z- komponens on ominaisarvoyhtälön J ˆ z ψ = J z ψ Ominaisarvo. Impulssimomen6n operaanori on: = i φ missä i on imaginääriyksikkö; i 2 = 1. a) Onko e iϕ impulssimomensoperaanorin ˆ ominaisfunk6o? e iφ e iφ = i φ = i ieiφ = e iφ Ominaisarvoyhtälö on voimassa: e iϕ on J ˆ z :n ominaisfunk6o, ominaisarvo ħ. J z 4

5 b) entä cos(ϕ)? cos(φ) = i Ei ole ominaisfunk6o c) entä e i2ϕ? e i2φ cos(φ) = φ i sin(φ) e i2φ = i φ = i 2iei2φ = 2 e i2φ On ominaisfunk6o, ominaisarvo 2ħ. 5

Samankaltaiset tiedostot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-