Sidotut tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 5. Mikro- ja nanotekniikan laitos

Transkriptio

1 Sidotut tilat Harris luku 5 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016

2 Johdanto Tähän asti tutkittu aineaaltojen ominaisuuksia Seuraavaksi ryhdytään käyttämään aineaaltoja luonnon ja ilmiöiden kuvaamiseen kvanttimekaniikan näkökulmasta Miten huomioida ulkoiset voimat? Schrödingerin yhtälö kuvaa ulkoisten voimien vaikutusta Taseyhtälö jossa yhdistetään kineettinen energia ja potentiaalienergia hiukkasen kokonaisenergiaan Tutkitaan sidottuja tiloja, eli tiloja joihin hiukkanen (elektroni) on rajoitettu ulkoisen potentiaalin takia Tutustutaan kolmeen yksinkertaiseen tapaukseen Sidotut tilat Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 5

3 Schrödingerin yhtälö Case 1: Ääretön potentiaalikuoppa Case 2: Äärellinen potentiaalikuoppa Case 3: Harmoninen oskillaattori Johdanto aaltomekaniikan yleiseen rakenteeseen

4 Schrödingerin yhtälö Ajasta riippuva tapaus 2 2 Ψ(x, t) + U(x)Ψ(x, t) = Ψ(x, t) i 2m x 2 t Kuvaa hiukkasen kokonaisenergiaa (kineettinen e. + potentiaalie. = kokonaise.) Klassisessa mekaniikassa ratkaistaan F net = d p/dt = m d 2 r(t)/dt 2 r(t):n suhteen Kvanttimekaniikassa ratkaistaan Ψ(x, t) kun U(x) tunnetaan (tai arvataan) Mitä tarkoittaa nettovoiman F kannalta? Mitä edellytyksiä on nettovoimalle? Sidotut tilat Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 5

5 Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen Separointi Oletetaan, että aaltofunktio Ψ(x, t) voidaan esittää muodossa Ψ(x, t) = ψ(x)φ(t) Sijoitetaan yrite Schrödingerin yhtälöön: 2 ψ(x) 2m φ(t) 2 + U(x)ψ(x)φ(t) = i ψ(x) φ(t) x 2 t Jaetaan puolittain ψ(x)φ(t):llä (= separointi) C on separointivakio ψ(x) + U(x) = i 1 φ(t) = 2m ψ(x) x 2 C φ(t) t Oletus rajaa mahdollisia tilanteita (miksi?) Onnistuuko separointi kaikilla mahdollisilla potentiaalin U funktionaalisilla muodoilla?

6 Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö Ajasta riippuva osa on 1. kertaluvun differentiaaliyhtälö, jonka ratkaisu on φ(t) = e i C t C/ kuvaa värähtelyä kulmataajuudella ω, joten C = ω eli kokonaisenergia E = C Aineaalto Ψ(x, t) = ψ(x) e i E t φ(t) = e i E t Todennäköisyystiheys Ψ(x, t) 2 = Ψ (x, t)ψ(x, t) = ψ (x)ψ(x) ei riipu ajasta Sijoitetaan aineaalto takaisin Schödingerin yhtälöön, jolloin saadaan 2 2 ψ(x) + U(x)ψ(x) = Eψ(x) 2m x 2 = ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö; myös ominaisarvoyhtälö

7 Sopivat aaltofunktiot Aaltofunktion pitää kuvata a) fysikaalista tilannetta ja b) todennäköisyyttä hiukkasen ominaisuuksista Näiden takia sopivalta aaltofunktiolta edellytetään ψ(x, t) 2 dx = 1 koko avaruus Integraalin on myös oltava olemassa (ns. neliöintegroituvuus/square integrability) Funktion pitää olla jatkuva ja sileä (funktio ja sen 1. derivaatta oltava jatkuvia) Mitä tapahtuisi jos funktio ei olisi sileä (engl. smooth)? Sidotut tilat Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 5

8 Schrödingerin yhtälö Case 1: Ääretön potentiaalikuoppa Case 2: Äärellinen potentiaalikuoppa Case 3: Harmoninen oskillaattori Johdanto aaltomekaniikan yleiseen rakenteeseen

9 Case 1: Ääretön potentiaalikuoppa E U = U = 0 U = E k 0 L Äärettömän syvä potentiaalikuoppa (-kaivo) (engl. potential well, quantum well) Potentiaali U(x) = 0, x [0, L] ja U(x) =, muualla Potentiaalin muodon takia aaltofunktio ψ(x) = 0 kaivon ulkopuolella Schrödingerin yhtälö kaivon sisällä d 2 ψ(x) dx 2 = 2mE ψ(x) = 2 k 2 ψ(x) x

10 Ääretön potentiaalikuoppa Schrödingerin yhtälön ratkaisu on ψ(x) = A sin kx + B cos kx Reunaehdoista saadaan x = 0 : B cos(k0) = 0 = B = 0 x = L : A sin(kl) = 0 = k = nπ L Siis ψ(x) = A sin nπ L x n positiivinen kokonaisluku huom! n 0 Edelleen koska k 2 = n2 π 2 L 2 = E n = n2 π 2 2 2mL 2 energia kvantittunut!

11 Ääretön potentiaalikuoppa Normalisaatio Määritetään lopuksi vakio A sillä ehdolla että hiukkanen täytyy löytyä laatikosta Siten ratkaisu on ψ(x) 2 dx = = A = ψ n (x) = 2 L L 0 ψ(x) 2 dx = 1 2 L sin nπ L x E n = n2 π 2 2 2mL 2 = äärettömän potentiaalikaivon/kvanttikaivon aaltofunktiot ja niitä vastaava energia

12 Ääretön kvanttikaivo Huomiot Kvanttikaivossa Energia kvantittunut, eli energia ei ole jatkuva suure Energia ei voi olla nolla Minimienergia ns. perustilan (engl. ground state) n = 1 suuruinen Aaltofunktio muodostaa seisovia aaltoja Vastaavuusperiaate: korkeilla n-luvuilla (kvanttiluvuilla) hiukkasen energia suuri joten se käyttäytyy kuin klassinen hiukkanen Tehtäviä Miksi hiukkasen energia ei voi olla nolla kvanttikaivossa? Todennäköisyystiheydessä nollakohtia, miten hiukkanen pääsee paikasta toiseen? Voidaanko hiukkasta ja sen liikettä seurata kvanttikaivossa?

13 Sovellus: Kvanttikaivolaser Vapaat elektronit johtavuusvyöllä Ei varsinaisesti kvantittumista Valenssivyöllä tiukemmin sidottuja elektroneja Jos valenssivyöltä puuttuu elektroneja, johtavuuselektroni voi pudota energiassa alaspäin, luovuttaen erotuksen fotonina Vapaiden elektronien energiajakauma suuri fotonien energiajakauma suuri Ei hyvä laitteen toiminnan kannalta

14 Sovellus: Kvanttikaivolaser Ratkaistaan ongelma seostamalla rakenteeseen ohut kerros muuta puolijohdetta Saadaan johtavuusvyöhön kvanttikaivo elektronien energia kvantittuu taas Tarkemmin määritelty fotonienergia Kvanttikaivon paksuutta ja materiaalia voidaan säätää bandgap engineering Todellisuudessa tilanne ei ole ihan näin ideaalinen Kvanttikaivo ei ole äärellinen, sekä muut kiinteän olomuodon fysiikan ilmiöt vaikuttavat Nykyään suositaan kvanttipisteitä ja -lankoja (3D- ja 2D-kvanttikaivoja)

15 Schrödingerin yhtälö Case 1: Ääretön potentiaalikuoppa Case 2: Äärellinen potentiaalikuoppa Case 3: Harmoninen oskillaattori Johdanto aaltomekaniikan yleiseen rakenteeseen

16 Case 2: Äärellinen potentiaalikuoppa II I E III U = U 0 E k U = 0 L/2 L/2 Potentiaali U(x) = 0, x [0, L] ja U(x) = U 0, muualla Schrödingerin yhtälö d 2 ψ(x) + 2m ( ) U(x) E ψ(x) = 0 dx 2 2 Hiukkanen voi paeta kaivosta, jos E > U 0. Tarkastellaan tilannetta jossa E < U 0 x

17 Äärellinen potentiaalikuoppa Alue I I-alueessa U(x) = 0 < E, joten Schrödingerin yhtälö on d 2 ψ(x) dx 2 = 2m 2 ( E ) ψ(x) = k 2 ψ(x) Ratkaisu on ψ I (x) = A sin kx + B cos kx Ratkaistaan hieman eri tavalla kuin kirjassa (lopputulos sama, mutta intuitiivisempi) Nyt reunaehdot eivät määrää aaltofunktiota nollaksi reunoilla

18 Äärellinen potentiaalikuoppa Alueet II ja III Reuna-alueilla U(x) = U 0 > E, joten Schrödingerin yhtälö on d 2 ψ(x) dx 2 = 2m 2 ( U0 E ) ψ(x) = α 2 ψ(x) Tämän ratkaisut ovat eri alueissa ψ II (x) = C e αx + D e αx ψ III (x) = F e αx + G e αx Jotta aaltofunktiot eivät divergoisi, täytyy olla D = 0 ja F = 0, joten ψ II (x) = C e αx ψ III (x) = G e αx

19 Äärellinen potentiaalikuoppa Alueiden yhdistäminen Aaltofunktio on nyt paloittain jatkuva ja normalisoituva Kootaan alueet, vaatimalla että funktiot ψ I, ψ II ja ψ III ovat yhdessä jatkuva ja sileä kokonaisuus x = L/2 : C e α L 2 αc e α L 2 x = L/2 : G e α L 2 αg e α L 2 Jaetaan yhtälöt keskenään ja järjestellään termejä = A sin kl 2 + B cos kl 2 = ka cos kl 2 + kb sin kl 2 = A sin kl 2 + B cos kl 2 = ka cos kl 2 kb sin kl 2

20 Ääärellinen potentiaalikuoppa Parilliset ja parittomat tilat Jaetaan yhtälöt keskenään ja järjestellään termejä α k = A cos kl 2 + B sin kl 2 A sin kl 2 B cos kl 2 = B sin kl 2 A cos kl 2 A sin kl 2 + B cos kl 2 Edelleen sieventämällä saadaan ehto AB = AB, joka toteutuu vain jos A = 0 ja B 0 tai päinvastoin Toteutuu jos A tai B on nolla. Yhtäaikaa eivät voi olla nolla (miksi?) Vastaus jakautuu parillisiin ja parittomiin aaltofunktioihin parillinen funktio: ψ( x) = ψ(x) pariton funktio: ψ( x) = ψ(x) esim cos esim sin

21 Äärellinen potentiaalikuoppa Parilliset ja parittomat tilat α k = A cos kl 2 + B sin kl 2 A sin kl 2 B cos kl 2 Parillisille tiloille A = 0, jolloin α k = tan kl 2 Parittomille tiloille B = 0, jolloin α k = cot kl 2 = tan = cot ml 2 E U0 E = 2 2 E ml 2 E U0 E = 2 2 E Kvantittumisehdot parillisille ja parittomille ratkaisuille Tiloja on äärellinen määrä

22 Äärellinen potentiaalikuoppa Graafinen ratkaisu α k = A cos kl 2 + B sin kl 2 A sin kl 2 B cos kl 2 Määritellään dimensiottomat muuttujat u = αl/2, v = kl/2 sekä apumuuttuja u 0 = ml 2 U 0 / 2, jolloin u 2 = u0 2 + v 2 ja sijoitetaan ne kvantittumisehtoihin: { u0 2 v 2 v tan v, = v cot v, Tästä nähdään, että tilojen määrä on rajoitettu parilliset tilat parittomat tilat Koska v tan v ja v cot v kun v nπ/2, niin on mahdollista että se leikkaa käyrän u0 2 v 2 (eli löytyy ratkaisu). Neliöjuurilauseke on nolla kun v = u 0. 2u0 Siten n max = π Korkeammilla n:n arvoilla hiukkanen pakenee kaivosta

23 Äärellinen potentiaalikuoppa Graafinen ratkaisu ja aaltofunktiot

24 Äärellinen potentiaalikuoppa Huomiot Kun potentiaalikaivo on äärellinen, aaltofunktio voi tunkeutua klassisesti kielletylle alueelle U 0 > E Sen mittaaminen sieltä kuitenkin mahdotonta (miksi?) Lasketaan kuinka syvälle aaltofunktio voi tunkeutua. Alueissa II ja III ψ(x) e α x : e αδ = e 1 = δ = 1 α = 2m(U0 E) δ on tunkeutumissyvyys (engl. penetration depth) vrt. smg-aallon heijastuminen johteen pinnalta ja skin depth Mitä tapahtuisi, jos kvanttikaivon vieressä olisi hyvin lähellä (< δ) toinen kvanttikaivo ja niiden välissä potentiaali U 0?

25 Ääretön vs. äärellinen potentiaalikuoppa

26 Schrödingerin yhtälö Case 1: Ääretön potentiaalikuoppa Case 2: Äärellinen potentiaalikuoppa Case 3: Harmoninen oskillaattori Johdanto aaltomekaniikan yleiseen rakenteeseen

27 Case 3: Harmoninen oskillaattori Viimeinen yksinkertainen yksiulotteinen tapaus: potentiaali U(x) = 1 2 κx 2, eli harmoninen oskillaattori Realistisempi kuin kaksi edellistä, mutta ratkeaa edelleen analyyttisesti Erittäin hyvä approksimaatio todellisen kaksiatomisen molekyylin atomien välisestä potentiaalista, kun ollaan lähellä tasapainopistettä (vrt. mekaniikka) Jatkuva ja sileä funktio (tähän asti paloittain määritelty epäjatkuva) Ajasta riippumaton Schrödingerin yhtälö: 2 2 ψ(x) + 1 2m x 2 2 κx 2 ψ(x) = Eψ(x)

28 Harmoninen oskillaattori Hermiten polynomit 2 2 ψ(x) + 1 2m x 2 2 κx 2 ψ(x) = Eψ(x) Muokataan Schödingerin yhtälö standardimuotoon 1 apumuuttujilla β 4 = mκ 2, z = βx ja λ = 2E m κ = 2E ω, joten d 2 ψ(z) + (λ dz 2 z 2 )ψ(z) = 0 Tämän ratkaisut ovat ns. Hermiten polynomien ja Gaussin funktion tuloja ( 1 ) 1 2 ψ n (z) = π 2 n H n (z) e 1 2 z2 n! H n (z) määritelty rekursiivisesti: H n (z) = 2z H n 1 (z) 2(n 1) H n 2 (z), missä H 0 = 1, H 1 = 2z, H 2 = 4z 2 2,... n oltava kokonaisluku Energiatilat ovat E n = ( n ) ω, missä ω = κ/m (taajuus sama kuin klassisessa tapauksessa)

29 Harmoninen oskillaattori Kokonaisaaltofunktio ja sen ominaisuuksia Aaltofunktio kokonaisuudessaan ( β ) 1 2 ψ n (x) = π 2 n H n (βx) e 1 2 β2 x 2 n! Muutama Hermiten polynomi H 0 (z) = 1 H 2 (z) = 4z 2 2 H 1 (z) = 2z H 3 (z) = 8z 3 12z ψ n xψ m dx = 0 paitsi jos n = m ± 1 eli n = ±1 Tarkoittaa että E = ω ja että harmoninen oskillaattori voi siirtyä vain yhden tilan kerrallaan ylös- tai alaspäin

30 Schrödingerin yhtälö Case 1: Ääretön potentiaalikuoppa Case 2: Äärellinen potentiaalikuoppa Case 3: Harmoninen oskillaattori Johdanto aaltomekaniikan yleiseen rakenteeseen

31 Kvanttimekaniikan postulaatit Postulaatti I Klassisen mekaniikan mitattava suure Q (observaabeli, engl. observable) kuvataan kvanttimekaniikassa operaattorilla ˆQ Operaattorilla itsessään ei ole fysikaalista tulkintaa Tulkinta saadaan, kun operaattori operoi aaltofunktioon Operaattori Symboli Matemaattinen muoto Hamilton Ĥ 2 2m 2 + U paikka ˆr r liikemäärä ˆp i energia Ê i t

32 Postulaatti II Kun suureen Q arvoja mitataan, mahdolliset mittaustulokset ovat operaattorin ˆQ ominaisarvoja (eigenvalues) q i : ˆQψ = qψ Ratkaistaan siis yhtäaikaa ominaisarvot q i ja niitä vastaavat ominaistilat (eigenstate) ψ i Esimerkiksi Schrödingerin yhtälö ajasta riippumattomassa muodossa Ĥψ = Eψ Sidotut tilat Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 5

33 Postulaatti III Ekspansiopostulaatti Hiukkasen normitettu aaltofunktio ψ(x) voidaan esittää operaattorin ˆQ ominaistilojen ψ i painotettuna summana ψ(x) = c i ψ i i=1 Tästä seuraa, että mitattaessa hyvin määriteltyä suuretta Q, saadaan tulokseksi ominaisarvo q i todennäköisyydellä c i 2, missä c i = Jos systeemi ominaistilalla ψ n, mittauksista aina sama ominaisarvo Jos systeemi on yleisellä tilalla ψ, mittaaminen pakottaa sen ominaistilalle Esimerkki ψ i ψ dx Elektroni äärettömässä potentiaalikaivosssa tilalla n, josta putoaa tilalle m Pudotessa aaltofunktio sekoitus kahden tilan aaltofunktioita ψ = dψ n + f ψ m, missä d 2 + f 2 = 1 (normeeraus) Tämä tila on ei-stationaarinen tila

34 Postulaatti IV Odotusarvo Fysikaalisen suureen Q kokeellinen mittausarvo samassa tilassa oleville hiukkasille (monta toistoa) on operaattorin ˆQ odotusarvo (expectation value) Lasketaan aaltofunktion ja operaattorin integraalina Q = Q = ψ ˆQψ dx Jatketaan potentiaalikaivoesimerkkiä ja lasketaan energian odotusarvo E = ψ Ĥψ dx = ψ ( 2 2 ) ψ 2m x 2 dx =... = d 2 E n + f 2 E m

35 Standardipoikkeama Q Tilastollisen suureen keskipoikkeama/standardipoikkeama kuvaa mittaustulosten hajontaa odotusarvon ympäristössä Suureen x mittaustulos x k (k = 1, 2,..., N) esiintyy todennäköisyydellä P k ( P k = 1) Odotusarvo x = Pk x k Pk = P k x k Standardipoikkeama x = P k ( x x x k ) 2 = 2 ( x ) 2 Jatkuvalle suureelle Q summaus muuttuu integroinniksi Q = ψ ˆQψ dx Q Q = 2 ( Q ) 2 Q 2 = ψ ˆQ ˆQψ dx

36 Hyvin määritelty funktio Observaabelin Q aaltofunktio ψ on hyvin määritelty joss ψ on operaattorin ominaisfunktio ja sitä vastaava ominaisarvo on hyvin määritelty: Q hyvin määritelty Q = 0 ˆQψ = Q ψ Liikemäärä (ˆp ja e ikx ): ˆp e ikx = i x e ikx = k e ikx Energia (Ê ja e iωt ): Ê e iωt = i t e iωt = ω e iωt Paikka (x ja δ(x x 0 )): ˆxδ(x x 0 ) = x 0 δ(x x 0 ) (Diracin deltafunktio) δ(x x 0 ) = {, x = x 0 0, muuten δ(x) dx = 1

37 Digress: Operaattorit ja kommutaatio Kirjan ulkopuolelta Toisin kuin numerot, operaattorit eivät välttämättä kommutoi ˆB ˆB (esim ˆx ja ˆp) Kommutaattorioperaattori [ Â, ˆB] = ˆB ˆB (kommutaatiorelaatio) Keskeinen asia kvanttimekaniikassa! Voidaan osoittaa, että observaabelien A ja B standardipoikkeamat A ja B ovat kytketty kommutaatiorelaation kautta ( ) 2 ( ) A B i[â, ˆB] 4 Merkitys: Jos systeemille löytyy joukko hyvin määriteltyjä observaabeleita A, B,..., M, jotka kommutoivat ja joiden yhteinen ominaistila on ψ ab...m, niiden antama tieto on kaikki minkä systeemistä voi kerralla mitata, eli ne ovat hyvin määriteltyjä Muiden observaabelien Q odotusarvot eivät ole hyvin määriteltyjä ( Q 0)

38 Kommutaatio ja yhtäaikaa määritettävät suureet Kommutoimattomia observaabeleita ei siis voi määrittää yhtäaikaisesti Keskenään kommutoimattomia observaabeleita kutsutaan komplementaariksi suureiksi, toisiaan täydentäviksi suureiksi (vrt. paikka ja liikemäärä) Pointti: tässä käytettiin ainoastaan operaattorien välistä kommutaatioehtoa ei aaltofunktioita eikä niiden muotoa, eikä aalto-hiukkas -dualismia Sidotut tilat Sami Kujala Kevät 2016 Mikro- ja nanotekniikan laitos Harris luku 5

39 Ei-stationaariset tilat Miten atomi voi emittoida fotoneja? En i Atomi sidotussa tilassa: Ψ n (x, t) = ψ n (x) e t Schrödingerin yhtälö lineaarinen yhtälö: kahden ratkaisun superpositio myös ratkaisu joten En i Ψ(x, t) = ψ n (x) e t + ψ m (x) e i Em t Ψ(x, t) 2 = Ψ Ψ = ψ nψ n + ψ mψ m + ψ nψ m e i En Em t + ψmψ n e i Em En t Esimerkiksi äärettömälle kvanttikaivolle Ψ(x, t) 2 = ψ n 2 + ψ m 2 En E ) m + 2ψn ψ m cos( t

40 Ei-stationaariset tilat Todennäköisyystiheys riippuu ajasta Ψ(x, t) 2 = ψn 2 + ψ m 2 En E ) m + 2ψn ψ m cos( t Kuvaa karkeasti tilannetta jossa elektroni hyppää tilalta n tilalle m Hypyn aikana elektronin aaltofunktio on yhdistelmä molempien tilojen aaltofunktioita Tilan energia ei ole hyvin määritelty Energia pitää säilyä, joten ylim. energia purkautuu fotonina Kun tn.tiheys samaistetaan varaustiheyteen, stationaarisella tilalla tn.tiheys (ja varaustiheys) ei riipu ajasta ei säteilyä Ei-stationaarisella tilalla tn.tiheys (ja varaustiheys) riippuu ajasta säteilyä