2 Kuvioita ja kappaleita

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "2 Kuvioita ja kappaleita"

Transkriptio

1 Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 ( 39) Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 8. b) Kolmion kateetin pituus on 4 ja hypotenuusan pituus on 31. Toisen kateetin pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen Sivun pituus on positiivinen luku, joten 15.

2 98. a) Nelikulmion lävistäjänä on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Merkataan hypotenuusaa kirjaimella. Kolmion kateettien pituudet ovat 1 ja 1. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen Sivun pituus on positiivinen luku, joten. b) Nelikulmion lävistäjänä on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Merkataan hypotenuusaa kirjaimella. Kolmion kateettien pituudet ovat 1 ja 3. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen Sivun pituus on positiivinen luku, joten 10.

3 99. a) Kolmion kateetin pituus on 6 ja hypotenuusan pituus on 10. Toisen kateetin pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 8. b) Nelikulmion lävistäjänä on suorakulmaisen kolmion hypotenuusa. Kolmion hypotenuusan pituus on. Kolmion kateettien pituudet ovat 1 ja. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen Sivun pituus on positiivinen luku, joten 3.

4 100. Lasketaan ensin pienemmän suorakulmaisen kolmion toinen kateetti. Merkataan sitä kirjaimella. Kolmion toinen kateetin pituus on 1 ja hypotenuusan pituus on 37. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 6. Nyt meillä on kolmio, jonka kateettien pituudet ovat 6 ja a + 1 ja hypotenuusan pituus on 10. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja lasketaan yhtälöstä a. a 6 ( a 1) 10 a a a a a630

5 Sijoitetaan arvot toisen asteen ratkaisukaavaan. a 4 1 ( 63) 1 56 a 16 a a = = 9 tai a 7 Sivun pituus on positiivinen luku, joten a = 7.

6 101. Kolmion kateettien pituudet ovat 3 ja 4. Hypotenuusan pituutta ei tiedetä. Merkataan sitä kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 5.

7 10. Piirretään mallikuva ja merkitään kuvaan tunnetut arvot. 4 Merkataan neliön sivuja kirjaimella. Kuvasta muodostuu näkyviin suorakulmainen kolmio, jonka kateettien arvot ovat ja ja hypotenuusan pituus on 4. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä : 8 8 Sivun pituus on positiivinen luku, joten 8. Neliön sivun pituus on 8.

8 103. Kolmion sivujen pituudet ovat, 7 ja 3. Jos kolmion sivujen pituuksille a, b ja c on voimassa ehto a + b = c, kolmio on suorakulmainen. Jos a, b 7 ja c = yhtälö on tosi Koska ehto a + b = c toteutuu, on kolmio suorakulmainen.

9 104. a) Kolmion sivujen pituudet ovat 6 cm, 8 cm ja 10 cm. Jos kolmion sivujen pituuksille a, b ja c on voimassa ehto a + b = c, kolmio on suorakulmainen. Jos a = 6, b = 8 ja c = yhtälö on tosi Koska ehto a + b = c toteutuu, on kolmio suorakulmainen. b) Kolmion sivujen pituudet ovat 5 cm, cm ja 1 cm. Jos kolmion sivujen pituuksille a, b ja c on voimassa ehto a + b = c, kolmio on suorakulmainen. Koska hypotenuusa on suorakulmaisen kolmion pisin sivu, c = 5, a = ja b = yhtälö on epätosi Koska ehto a + b = c ei toteudu, kolmio ei ole suorakulmainen.

10 105. Piirretään mallikuva ja merkitään kuvaan tunnetut arvot Merkitään korkeutta kirjaimella, jolloin kanta on + 3. Kuviosta muodostuu näkyviin suorakulmainen kolmio, jonka kateettien pituudet ovat ja + 3 ja hypotenuusan pituus on 17. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä ( 3) : 3 40

11 Sijoitetaan arvot toisen asteen ratkaisukaavaan ( 4) tai 1 Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 1. Suorakulmion sivujen arvot ovat 1 p.y ja = 4 p.y.

12 106. Merkataan kateetteja 3 ja 4. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä. (3 ) (4 ) : Sivun pituus on positiivinen luku, joten =. Kateettien pituudet ovat 3 6ja 4 8.

13 107. a) Suorakulmaisen kolmion kateettien pituudet ovat 14 mm ja 35 mm. Merkataan hypotenuusaa kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä , Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 66. b) Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on 5, m ja toisen kateetin pituus on,7 m. Merkataan toista kateettia kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä.,7 5, 19,75 4, ,4 (m) Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 4,4 m.

14 108. Suorakulmaisen kolmion hypotenuusan pituus on 3,5 m ja toisen kateetin pituus on, m. Merkataan toista kateettia kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä., 3,5 7,41,7...,7 (m) Sivun pituus on positiivinen luku, joten =,7 m. Kolmion piiri on p,7 m, m3,5 m 8,4 m. Kolmion pinta-ala on A,7 m, m,97 m 3,0 m.

15 109. Piirretään mallikuva ja merkitään kuvaan tunnetut arvot. Pystyyn jäänyt osa 97 mm Taitettu osa 7 mm Sijoitetaan pituudet, 7 ja 97 Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä. 7 (97 ) 157,7... (mm) 157 mm Paperi on taitettu 157 mm yläreunasta.

16 110. Piirretään mallikuva ja merkitään kuvaan tunnetut arvot. 4,5 6 Hypotenuusan pituus on 4,5 m ja piiri on 10,5 m. Merkitään toista kateettia kirjaimella, jolloin toisen kateetin pituus on 10,5 m 4,5m = 6,0 m. Sijoitetaan arvot, 4,5 ja 6 Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä. (6 ) 4,5 1, ,9 tai 4, ,1 Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 4,1. Kateettien pituudet ovat 4,1 m ja 6,0 m 4,1 m = 1,9 m.

17 111. Piirretään mallikuva ja merkitään kuvaan tunnetut arvot. C 48 B 455 A Lasketaan ensin, kuinka kauan lentokoneella, joka lensi kaupungin B:n kautta kaupunkiin C. Lentomatka on 455 km + 48 km = 703 km ja keskinopeus matkalla on 760 km/h. Nopeus saadaan matkan ja ajan osamäärästä. s v t Aika saadaan matkan ja nopeuden osamäärästä. s t v Lentoaika on 703 km t1 0,95 h 55,5 min. 760 km/h

18 Lasketaan lentomatka kaupungista A kaupunkiin C Pythagoraan lauseen avulla , (km) Lasketaan toisen lennon lentoaika, kun lennon keskinopeus on 650 km/h. 518, km t 0, h 47, min 650 km/h Lentoaikojen ero on t1t 55,5 min 47, min 7, min 7, 7 min Kone, joka lentää suoraan kaupungista A kaupunkiin C, saapuu 7,7 min aikaisemmin.

19 11. a) Piirretään mallikuva ja merkitään kuvaan tunnetut arvot Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä , (m) 1070 m Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 1070 m. Nea on 1070 m:n päässä koulusta.

20 b) Muutetaan arvot samannimisiksi. 1,3 km = 1300 m. Piirretään mallikuva ja merkitään kuvaan tunnetut arvot Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä. 830 ( 670) , (m) 330 m tai 1670, (m) 1700 m Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 330 m. Kaupasta joen rantaan on matkaa 330 m.

21 113. a) Kosini on viereisen kateetin ja hypotenuusan pituuksien suhde. Kulman α viereisen kateetin pituus on. Kolmion hypotenuusan pituus on 5. 1 cos 5 5 Tangentti on vastaisen kateetin ja viereisen kateetin pituuksien suhde. Kulman α vastaisen kateetin pituus on 4. Kulman α viereisen kateetin pituus on. 4 cos b) Sini on vastaisen kateetin ja hypotenuusan pituuksien suhde. Kulman β vastaisen kateetin pituus on. Kolmion hypotenuusan pituus on 5. 1 sin 5 5 Kosini on viereisen kateetin ja hypotenuusan pituuksien suhde. Kulman β viereisen kateetin pituus on 4. Kolmion hypotenuusan pituus on 5. 4 cos 5 5

22 114. Merkitään suorakolmion toista kateettia kirjaimella. Sijoitetaan kolmion sivujen pituuksien arvot Pythagoraan lauseeseen ja ratkaistaan yhtälöstä Sivun pituus on positiivinen luku, joten 6. 5 sin 7 6 cos 7 5 tan 6

23 115. Merkataan toista kateettia kirjaimella. Suorakulmaisesta kolmiosta 1 tiedetään toinen kateetti sekä tan. Muodostetaan yhtälö ja 3 ratkaistaan tan Merkitään hypotenuusaa kirjaimella c. Kolmion hypotenuusa voidaan ratkaista Pythagoraan lauseen avulla c c c 100 c 100 c 10 Sivun pituus on positiivinen luku, joten c = 10. Kolmion muut sivut ovat 10 ja 3 10.

24 116. a) Suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma on 5. Tämän kulman vastaisen kateetin pituus on. Hypotenuusan pituus on 17,4 cm. Sivun pituus voidaan ratkaista sinin avulla. sin 5 17,4 7, ,4 cm b) Kulman β viereisen kateetin pituus on 5,5 m ja hypotenuusan pituus on 8,0 m. Kulma β voidaan ratkaista kosinin avulla. 5,5 cos 8,0 46,

25 117. a) Suorakulmaisen kolmion toinen terävä kulma on 7 ja hypotenuusan pituus on 68 cm. Merkataan tuntematonta kateettia kirjaimella. Tämän kulman viereisen sivun pituus voidaan ratkaista kosinin avulla. cos7 68 1, cm Tunnetun kulman vastaisen sivun pituus voidaan ratkaista sinin avulla. Merkataan tuntematonta kateettia kirjaimella y. y sin 7 68 y 64, y 65 cm b) Kolmion pinta-ala on 1, cm64, cm A 679, cm 680 cm

26 118. Kulman α vastaisen kateetin pituus on 13, m ja viereisen kateetin pituus on 7, m. Kulman α voidaan ratkaista tangentin avulla. 13, tan 7, 5, ,9 Kulman β vastaisen kateetin pituus on 7, m ja viereisen kateetin pituus on 13,3 m. Kulman β voidaan ratkaista tangentin avulla. 7, tan 13, 64, ,1

27 119. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 1,5 cm c 18 Merkataan tuntemattomia sivuja kirjaimilla ja c. Hypotenuusan, sivu c, voidaan laskea sinin avulla. 1,5 sin18 c c 4, c 4,9 cm Toisen kateetin, sivu, voidaan laskea tangentin avulla. 1, 5 tan18 4, ,6 cm

28 10. a) Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot m Merkataan laivan etäisyyttä rannasta kirjaimella. Tämä voidaan ratkaista tangentin avulla. tan , m Laiva on 70 m:n päässä rannasta.

29 b) Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 70 m m Merkataan pisteessä A seisovan henkilön etäisyyttä laivasta kirjaimella. Tämä voidaan laskea kosinin avulla. 650 cos48 971, m

30 c) Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 970 m 70 m m Merkataan tuntematonta sivua kirjaimella. Tämä voidaan laskea tangentin avulla. 70 tan ,66... m Kahden rannalla seisovan henkilön välinen etäisyys on 650 m 108, m 1678, m 1700 m

31 11. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 3,9 m 7 Merkataan seinän korkeutta kirjaimella. Tämä voidaan laskea sinin avulla. sin 7 3,9 3, ,7 m Tikapuiden yläpää on 3,7 m:n korkeudella.

32 1. a) Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 150 m 0,8 Merkataan Eiffel-tornin ensimmäisen tasanteen korkeutta kirjaimella. Tämä voidaan ratkaista tangentin avulla. tan 0, , ,0 m

33 b) Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 34 m 346 m α Merkataan kysyttyä kulmaa α:lla. Kulma voidaan laskea tangentin avulla. 34 tan , ,1

34 13. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot m Merkataan joen leveyttä AC kirjaimella. Tämä voidaan laskea tangentin avulla. tan , m Joki on 36 m leveä.

35 14. Muutetaan arvot samoiksi yksiköiksi. 1,8 km = 1800 km. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 138 m 1800 m α Merkataan kulmaa, josta henkilö näkee lentokoneen α:lla. Tämä voidaan laskea sinin avulla. 138 sin , ,40 Henkilö näkee lentokoneen 4,40 kulmassa.

36 15. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 1 m 4,6 Merkataan rinteen pituutta kirjaimella. Tämä voidaan laskea sinin avulla. 1 sin 4,6 643,46... m, km Nopeus saadaan matkan ja ajan suhteella. s v t Aika saadaan matkan ja nopeuden suhteella. s t v Lasketaan kuinka kauan hissillä kestää matka huipulle., km t 0,146.. h 8 min 49 s 18 km/h

37 16. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. a b 750 m b 100 m 30 z Muutetaan annetut arvot samannimisiksi. 1, km = 100 m. Merkataan linnuntietä autosta marjapaikkaan kirjaimella. Sivun z pituus on z cos z 649, m Sivun b pituus on b sin b 375 m Sivun a pituus on a 1 00 m 649, m 1849, m

38 Sivun pituus on a b 1887,15... m 1900 m 1,9 km

39 17. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 39 m α α β β 50 6 m Kulman β voidaan ratkaista 39 tan ja 6 tan 50 Tästä saadaan yhtälöpari 39 tan 6 tan 50

40 Ratkaistaan yhtälöpari. 39 tan 6 tan m Kulma α on 30 m korkeammasta asunnosta.

41 18. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. h 13,5 6,3 350 m Korkeus h voidaan laskea h tan 6,3 350 h tan 6,3 ( 350) ja tan13,5 h h tan13,5 Tästä saadaan yhtälöpari h tan 6,3 ( 350) h tan13,5 Ratkaistaan yhtälöpari. tan 6,3 ( 350) tan13,5 tan6,3 tan6,3350 tan13,5 97,97... m 300 m Henkilö on 300 m:n päässä tornista siirtymisen jälkeen.

42 b) Tornin korkeus on tan13,5 h h 71, m h 7 m

43 19. a) Sivu voidaan laskea sinin avulla. 7,10 sin 7,0 15, m 15,6 m b) Sivun voidaan laskea tangentin avulla. 15 tan 34,38... cm cm c) Sivun voidaan laskea Pythagoraan lauseella. 6, 4 8,3 5, ,3 cm Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 5,3 cm.

44 130. a) Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 4,5 cm β 8,7 cm α Merkataan toista kateettia kirjaimella. Sivun pituus voidaan laskea Pythagoraan lauseella. 4,5 8, 7 7, cm 7,4 cm Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 7,4 cm

45 b) Kulman α voidaan laskea sinin avulla. 4,5 sin 8,7 31, Kulman β voidaan laskea kosinin avulla. 4,5 cos 8,7 58, c) Kolmion pinta-ala on 4,5 cm 7, cm A 16, cm 17 cm

46 131. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 59 m 60 Merkataan liukumäen korkeutta kirjaimella. Liukumäen korkeus voidaan laskea sinin avulla. sin , m 51 m

47 13. a) Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot. 3,1 km,8 km β α Merkataan suunnistajan matkaa kohti länteen kirjaimella. Tämä voidaan laskea Pythagoraan lauseella.,8 3,1 1, km 1, 3 km Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 1,3 km.

48 b) Kulma α voidaan laskea sinin avulla.,8 sin 3,1 64,585.. Kulmat β ja α muodostavat suorankulman, joten kulma β on 90 5,

49 133. Piirretään mallikuva ja lisätään siihen tunnetut arvot Merkataan toista kateettia kirjaimella, joten toinen kateetti on = 140. Sijoitetaan luvut Pythagoraan lauseeseen ja lasketaan siitä. (140 ) cm tai 60 cm

50 . Suorakulmainen kolmio ja monikulmiot 134. a) C 5,0 cm h A 3,0 cm D B Koska kolmio on tasakylkinen, korkeusjana puolittaa kantasivun. Suorakulmaisen kolmion kannan pituus on 6,0 cm AD 3, 0 cm. Lasketaan kolmion korkeus suorakulmaisesta kolmiosta ADC Pythagoraan lauseen avulla. 3, 0 h 5, 0 9,0 h 5 h 16 h 16 h 4,0 Korkeus on aina positiivinen, joten h = 4,0 cm.

51 b) Kolmion pinta-ala on 1 6,0 cm 4,0 cm 1 cm A

52 ,0 cm 10,0 cm h 8,0 cm 8,0 cm Koska kolmio on tasakylkinen, korkeusjana puolittaa kantasivun. Suorakulmaisen kolmion kannan pituus on 16,0 cm 8, 0 cm Lasketaan kolmion korkeus suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseen avulla. 8, 0 h 10, 0 64 h 100 h 36 h 36 h 6 Korkeus on aina positiivinen, joten h = 6,0 cm. Nelikulmion pinta-ala on A1 16,0 cm 6,0 cm 96 cm

53 Kolmion pinta-ala on 1 A 16,0 cm 6 cm 48 cm Väritetyn alueen pinta-ala on A A1 A 96 cm 48 cm 48 cm.

54 136. Lasketaan puolisuunnikkaan korkeus pinta-alan yhtälöstä. 3, 0 11, 0 h 1 7h 1 :7 h 3 3,0 cm 3,0 cm y y Sivun y pituus on y3, 0 cm y 11, 0 cm y 8,0cm : y 4,0 cm

55 Sivun pituus voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla. 4,0 3,0 16 9, , 0 Sivun pituus on aina positiivinen, joten = 5,0 cm. Puolisuunnikkaan piiri on p 3,0cm11,0cm5,0cm5,0cm 4cm.

56 137. a) 4,1 cm h 55 Kolmion korkeus, h, voidaan laskea sinin avulla. h sin55 4,1 h 3, ,4 cm

57 b) 8, mm 8, mm h 3, mm Koska kolmio on tasakylkinen, korkeusjana puolittaa kantasivun. Suorakulmaisen kolmion kannan pituus on 6, 4 mm 3, mm Lasketaan kolmion korkeus suorakulmaisesta kolmiosta Pythagoraan lauseen avulla. 3, h 8, h 7, mm h 7,5 mm Korkeus on aina positiivista, joten h = 7,5 mm.

58 138. h 5,60 cm α ,1 cm Kulma α muodostaa 115 :n kulman kanssa oikokulman, joten kulma α on Korkeus h voidaan laskea sinin avulla. h sin 65 5,60 h 5, cm Kolmion pinta-ala on 10,1cm5, cm A 5, cm 5,6 cm

59 139. a) α h 1,75 m 84 4,05 m Kulman α suuruus on Lasketaan kolmion korkeus h kosinin avulla. h cos6 1, 75 h 1, m Kolmion pinta-ala on A 4,05 m 1, m 3,54... m 3,5 m.

60 b) h,59 cm α 95 3,5 cm Kulma α muodostaa oikokulman 95 :n kulman kanssa. Kulma α suuruus on Korkeus h voidaan ratkaista sinin avulla. h sin85,59 h, cm Kolmion pinta-ala on 3,5 cm,580...cm A 4,19... cm 4,19 cm

61 c) α 3,7 m h 3,7 m Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kärkikulman α. Suorakulmaisen kolmion kärkikulma α on 46 3 Korkeus h voidaan ratkaista kosinin avulla. h cos3 3,7 h 3, m Sivun pituus voidaan laskea sinin avulla. sin 3 3, 7 1, m

62 Kolmion pinta-ala on h A h1, m3, m 4,9... m 4,9 m d) 4, cm h 1,8 cm α 108 Kulma α muodostaa oikokulman 108 kulman kanssa. Kulma α suuruus on Korkeus h voidaan laskea sinin avulla. h sin 7 1,8 h 1, cm Suunnikkaan pinta-ala on A 4, cm 1, cm 7, cm 7, cm

63 140. a) 5,9 mm α 5,9 mm 3,7 mm Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kärkikulman α. Suorakulmaisen kolmion kärkikulma on α/. Koska kolmio on tasakylkinen, korkeusjana puolittaa kantasivun. Suorakulmaisen kolmion kannan pituus on 7, 4 mm 3, 7 mm Kulman α/ voidaan laskea sinin avulla. 3,7 sin 5,9 77,

64 b) 10,4 cm α 13,6 cm h 13,6 cm 6, cm Sivun pituus on 6, cm 10, 4 cm,1 cm Kulma α voidaan ratkaista kosinin avulla.,1 cos 13,6 81, ,1

65 141. Kolmion sivujen pituudet ovat 0,80148 mm 118, 4 mm. C 118,4 mm 118,4 mm h A 59, mm D 118,4 mm B Koska kolmio ABC on tasasivuinen, korkeusjana puolittaa kantasivun. Suorakulmaisen kolmion ADC kannan pituus on 118,4 mm AD 59, mm Korkeusjana h voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla. 59, h 118,4 h 10, mm Kolmion pinta-ala on 118,4 mm 10, mm A ,14... mm

66 Paperiarin pinta-ala on A 148 mm 10 mm mm Lasketaan, kuinka paljon paperiarkin pinta-ala pienenee, kun siitä leikataan kolmion muotoinen ala pois. A A mm 6 070,14... mm mm A 0, ,195 19,5 %

67 14. Tasasivuisen kolmion piiri on 1,0 cm, joten kolmion sivujen pituudet ovat 1 cm : 3 = 4,0 cm. C 4,0 cm 4,0 cm h A D B Koska kolmio ABC on tasasivuinen, korkeusjana puolittaa kantasivun. Suorakulmaisen kolmion ADC kannan pituus on 4,0 cm AD,0 cm Korkeus, h, voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosta ADC Pythagoraan lauseen avulla.,0 h 4,0 h 3, cm Kolmion pinta-ala on 4,0 cm 3, cm A 6,98... cm 6,93 cm

68 143. a) C 7 mm h 7 mm A D 5 mm B Koska kolmio ABC on tasakylkinen, korkeusjana puolittaa kantasivun. Suorakulmaisen kolmion ADC kannan pituus on 5 mm AD 6 mm Korkeus h voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosta ADC Pythagoraan lauseen avulla. 6 h 7 h 67, mm Kolmion pinta-ala on 5 mm 67, mm A 1745,68... mm 1700 mm 17 cm

69 b) C β 7 mm h 7 mm A α D α 6 mm B Kulman α voidaan laskea kosinin avulla. 6 cos 7 68, Kulman β suuruus on Kolmion kulmat ovat 69, 69 ja 4.

70 144. E D C 56,70 m 3,97 A B Sivun pituus voidaan laskea kosinin avulla. 56,70 cos3,97 56, m 56,84 m

71 145. Keinu ei ole liikkeessä.,40 m,40 m 1,75 m 0,15 m Maanpinta Keinun yläosa on,40 m + 0,15 m =,55 m päässä maanpinnasta. Keinu liikkeessä. α,40 m 75 Kulma α ja 75 kulma muodostavat suoran kulman. Kulman α suuruus on

72 Sivun pituus on cos15,40, m Keinun yläosa on,55 m:n päässä maanpinnasta. Kun keinu on liikkeessä, pohjalevyn ja maanpinnan etäisyys on,55 m, m 0, 3... m 0,3 m 3 cm.

73 146. A 8,0 cm y 8,0 cm D E B 8,0 cm y 8,0 cm C Lyhyemmän lävistäjän DB pituus on 4,0 cm, joten sivun pituus on DB 4,0 cm,0 cm Sivun y pituus voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosta ABE Pythagoraan lauseen avulla. y,0 8,0 y 7, cm Sivun pituus on aina positiivista, joten y = 7,745 cm. Pitemmän lävistäjän pituus AC on AC y 7, cm 15, cm 15,5 cm.

74 147. Keltainen suunnikas. D 3,0 cm C 3,0 cm A 3,0 cm B Keltaisen suunnikkaan korkeus on ison suunnikkaan korkeus vihreän neliön korkeus 6,0 cm 3,0 cm 3,0 cm Lasketaan sivun pituus suorakulmaisesta kolmiosta ABD Pythagoraan lauseen avulla. 3, 0 3, 0 18 Sivun pituus on aina positiivista, joten 18 cm Keltaisen suunnikkaan piiri on p1 3,0 cm 3,0 cm 18 cm 18 cm 14, cm

75 Iso suunnikas. D F C 6,0 cm 6,0 cm A E 6,0 cm B Sivun pituus voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosta EBC Pythagoraan lauseen avulla. 6,0 6,0 7 Sivun pituus on aina positiivinen, joten 7. Ison suunnikkaan piiri on p 1,0 cm 1,0 cm 7 cm 7 cm 40, cm. Lasketaan, kuinka monta prosenttia keltaisen suunnikkaan piiri on ison suunnikkaan piiristä. p p 40, cm 14, cm , ,354 35, 4 % p 40, cm

76 148. Muutetaan annetut arvot samannimisiksi. 50 cm = 0,5 m. 0,5 m h 1,7 m a) Muodostetaan puolisuunnikkaan pinta-alan yhtälö ja ratkaistaan siitä yhdensuuntaisten sivujen välinen etäisyys h. 0,5 m 1,7 m, m h h,0 m

77 b) 0,5 m β β,0 m α 0,5 m α Sivun pituus on 0,5 m 1,7 m 0,6 m Kulma α voidaan laskea tangentin avulla.,0 tan 0,6 73, Kulma β on Puolisuunnikkaan kulmat ovat 73, 73, 107 ja 107.

78 149. D y C 60 cm 50 cm A E y 10 cm F B Lasketaan sivun pituus suorakulmaisesta kolmiosta AED Pythagoraan lauseen avulla , cm Sivun pituus on aina positiivinen luku, joten = 33,166 cm. Lasketaan sivun y pituus janan AB avulla. AB AE EF FB 10 cm y 10 cm 33, cm y 33, cm y 53, cm Puolisuunnikkaan pinta-ala on 10 cm 53, cm A 50 cm 4 341, cm cm 43 dm

79 150. A y 40 E D 5,0 cm B 33,0 cm C Lasketaan sivun pituus suorakulmaisesta kolmiosta ABE sinin avulla. sin , cm Lasketaan sivun y pituus suorakulmaisesta kolmiosta ABE kosinin avulla. y cos40 5 y 19, cm Nelikulmion BCDE pinta-ala on A1 33,0 cm 16, cm 530,99... cm Suorakulmaisen kolmion ABE pinta-ala on 19, cm 16, cm A 153, cm

80 Opaskyltin pinta-ala on A1 A 530, cm 153, cm 684, cm 684 cm

81 151. a) A 1, cm y D E 1, cm C 1, cm 3,5 cm F y B Sivun y pituus voidaan laskea janan AB avulla. AB AEEF FB 3,5 cm y1, cm y y 1,15 cm Lasketaan sivun pituus suorakulmaisesta kolmiosta AED Pythagoraan lauseen avulla. 1,15 1, 0,34... cm 0,34 cm Sivun pituus on aina positiivinen luku, joten = 0,34 cm.

82 b) Tasakylkisen kolmion kanta on 1, cm ja korkeus on tasasivuisen kolmion korkeus + puolisuunnikkaan korkeus. Ratkaistaan tasasivuisen kolmion korkeus. A D 1,75 cm C h 3,5 cm B Tasasivuisen kolmion korkeusjana puolittaa kantasivun. Janan DC pituus 3,5 cm on DC 1, 75 cm. Lasketaan korkeus h suorakulmaisesta kolmiosta DBC Pythagoraan lauseen avulla. 1, 75 h 3,5 h 3, cm Tasakylkisen kolmion pinta-ala on 1, cm (0,34... cm 3, cm) A,03... cm,0 cm

83 c) Lasketaan ketun pään pinta-ala osissa. Kahden tasakylkisen suorakulmaisen kolmion pinta-ala on 1, cm 1, cm A1 1,44cm Tasakylkisen puolisuunnikkaan pinta-ala on 3,5 cm 1, cm A 0,34... cm 0, cm Tasasivuisen kolmion pinta-ala on 3,5 cm 3, cm A3 5, cm Ketun pään pinta-ala on A4 A1 A A3 1, 44 cm 0, cm 5, cm 7, cm Lasketaan, kuinka monta prosenttia ketun pään pinta-alasta on ruskea. 4 7, cm,03... cm 0, ,73 73 % A4 A A 7, cm

84 15. 3,90 cm C γ h 5,40 cm A α D 6,18 cm β B Kolmion korkeus h on 6,18 cm h 10,41cm h 3, cm Kulma α voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosta ADC sinin avulla. 3, sin 3, 90 59, Kulman β voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosta DBC sinin avulla. 3, sin 5, 40 38,

85 Kulma γ on

86 153. α α α α α α Kuusi samankokoista kulmaa α muodostavat täyden kulman. Kulman α suuruus on Tarkastellaan yhtä kolmiota h 7,4 cm 7,4 cm Tasakylkisessä kolmiossa korkeusjana puolittaa kärkikulman sekä kantasivun.

87 Lasketaan kolmion korkeus h tangentin avulla. 7,4 tan30 h h 1, cm Lasketaan kuuden kolmion pinta-ala. 14,8 cm 1, cm A 6 569, cm 569 cm

88 154. a) Merkataan janan FC pituutta kirjaimella. Tällöin janan DE pituus on 3, ja janan EF pituus on 6. Janan FC pituus on 364cm, 4 cm Janan EF pituus on EF 6 6,4cm 14,4cm Puolisuunnikkaan ABFE pinta-ala on 4 cm 14,4 cm A 16 cm 307, cm 310 cm

89 b) Janan DE pituus on DE 3 3,4cm 7,cm Merkataan janaa AE pituutta kirjaimella y. Lasketaan janan AE pituus suorakulmaisesta kolmiosta AED Pythagoraan lauseen avulla. 16 7, y y 17, cm Sivun pituus on aina positiivinen luku, joten y = 17,545 cm. Merkataan janan BF pituutta kirjaimella z. Lasketaan janan BF pituus suorakulmaisesta kolmiosta BCF Pythagoraan lauseen avulla., 4 16 z z 16, cm Sivun pituus on aina positiivinen luku, joten z = 16,178 cm. Puolisuunnikkaan ABFE piiri on p 4 cm 16, cm 14, 4 cm 17, cm 7,14... cm 7 cm c) Kulman β voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosta AED tangentin avulla. 7, tan 16 4,7... 4

90 155. a) C h 3,5 m D α 103 A 4,7 m B Kulma α muodostaa oikokulman 103 :n kulman kanssa. Kulma α on Korkeuden h voidaan laskea Suorakulmaisesta kolmiosta DAC sinin avulla. h sin 77 3,5 h 3, m Kolmion pinta-ala on 4,7 m3, m A 8, m 8,0 m

91 b) E 8,61 cm D 9,4 cm h A B 14,75 cm C Sivun pituus voidaan laskea janan AC pituudesta. AC ABBC 14,75cm 8,61cm 6,14 cm Korkeuden h voidaan ratkaista suorakulmaisesta kolmiosta ABE Pythagoraan lauseen avulla. 6,14 h 9, 4 h 6, cm Korkeus on aina positiivinen luku, joten h = 6,904 cm. Nelikulmion pinta-ala on A1 6, cm 8,61 cm 59, cm

92 Suorakulmaisen kolmion pinta-ala on 6,14 cm6, cm A 1, cm Kuvion pinta-ala on A1 A 59, cm 1, cm 80, cm 80,6 cm

93 156. D 1,7 cm A B C Tasasivuisen kolmion korkeusjana puolittaa kantasivun. Sivun voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosa ABD Pythagoraan lauseen avulla. 1,7 5, cm 5,1 cm Sivun pituus on aina positiivista, joten = 5,1 cm.

94 157. C 6,8 cm 6,8 cm A α α 5,5 cm D 5,5 cm B Tasakylkisen kolmion korkeusjana puolittaa kannan. Kulman α voidaan laskea suorakulmaisesta kolmiosta ADC kosinin avulla. 5, 5 cos 6,8 39, ,5

95 158. y α 65 cm 150 cm Kuusikulmion yhden kulman suuruus on 10. Kaksi α kulmaa muodostavat 10 :n kulman, joten kulma α on Lasketaan sivun pituus tangentin avulla. 65 tan 60 37,57... cm Sivun y pituus on 150 cm y 150 cm 37,57... cm y 37,57... cm y 74, cm

96 Lasketaan kuuden puolisuunnikkaan pinta-ala. 150 cm 74, cm A 6 65cm , cm cm 4,4 m

97 159. D,8 cm C,8 cm h E,8 cm A,8 cm B Neljäkäs muodostuu kahdesta samanlaisesta tasakylkisestä kolmiosta ABD ja BCD. Korkeusjana puolittaa kannan. Janan BD pituus on, cm, joten janan EB pituus on, cm : = 1,1 cm. Lasketaan sivun h pituus suorakulmaisesta kolmiosta ABE Pythagoraan lauseen avulla. h 1,1,8 h, cm Lasketaan neljäkkään pinta-ala., cm, cm A 5, cm 5,7 cm

98 .3 Ympyrän sekantti ja tangentti 160. a) O 100 A B b) 60 O A B

99 161. O 19,0 mm α α A C 19,0 mm B Jänne AB on tasakylkisen kolmion AOB kanta. Merkitään jänteen pituudeksi. Kolmiolla AOB on korkeusjana OC. Koska kolmio AOB on tasakylkinen kolmio, niin korkeusjana puolittaa kolmion kannan: CB 56 korkeusjana puolittaa huippukulman 56 : 8. Ratkaistaan sivun pituus sinin avulla. sin 8 19,0 8, mm

100 Jänteen AB pituus on: 8, mm 17, mm 17,8 mm

101 16. O α α 18 cm 18 cm C D B Jänne BC on tasakylkisen kolmion BOC kanta. Merkitään jänteen pituudeksi. Kolmiolla BOC on korkeusjana OD. Koska kolmio BOC on tasakylkinen kolmio, niin korkeusjana puolittaa kolmion kannan: BD 64 korkeusjana puolittaa huippukulman 64 : 3. Ratkaistaan sivun pituus sinin avulla. sin , cm Jänteen BC pituus on: 9, cm 19, cm 19 cm

102 b) Koska segmentin pinta-ala on alle puolet ympyrän pinta-alasta, segmentin pinta-ala saadaan vähentämällä sektorin alasta kolmion BOC pinta-ala. Kolmion pinta-alan laskemiseksi määritetään ensin korkeusjanan pituus h. h cos3 18 h 15,64... cm Kolmion BOC kantana on jänne BC. Lasketaan kolmion BOC pinta-ala. A BOC 19, cm 15,64... cm 145, cm Lasketaan sektorin pinta-ala. A sektori 64 (18 cm) , cm Lasketaan segmentin pinta-ala. A A A BOC segmentti sektori 180, cm 145, cm 35,35... cm 35 cm

103 163. Segmentin pinta-ala saadaan sektorin pinta-alaan lisäämällä kolmion AOB pinta-ala. B h O α 114 mm C A Jänne AB on tasakylkisen kolmion AOB kanta. Merkitään jänteen pituudeksi. Kolmiolla AOB on korkeusjana OC. Kolmion huippukulma on = 113. Koska kolmio AOB on tasakylkinen kolmio, niin korkeusjana puolittaa kolmion kannan: CB 113 korkeusjana puolittaa huippukulman 113 : 56,5.

104 Ratkaistaan sivun pituus sinin avulla. sin 56, ,06... mm Jänteen AB pituus on 95, mm 190,15... mm. Ratkaistaan kolmion korkeusjanan h pituus kosinin avulla. h cos 56,5 114 h 6,90... mm Lasketaan kolmion pinta-ala. A AOB 190,15... mm 6,90... mm 5 981, mm Lasketaan sektorin pinta-ala. A sektori 47 (114 mm) 8 01, mm 360 Lasketaan väritetyn alueen pinta-ala. A A A 5 981, mm 8 01, mm AOB sektori , mm mm 340 cm

105 164. a) B O C β 7 mm A Jänne AB on tasakylkisen kolmion AOB kanta. Merkitään jänteen pituudeksi. Kolmiolla AOB on korkeusjana OC. Koska kolmio AOB on tasakylkinen kolmio, niin korkeusjana puolittaa kolmion kannan: AB AO OB 94 mm 47 mm korkeusjana puolittaa huippukulman α:.

106 Lasketaan sinin avulla kulma β. 47 sin 7 40, Kulman α suuruus on 40, ,

107 b) B C O β z A Jänne AB on tasakylkisen kolmion AOB kanta. Merkitään jänteen pituudeksi. Kolmiolla AOB on korkeusjana OC. Koska kolmio AOB on tasakylkinen kolmio, niin korkeusjana puolittaa kolmion kannan: AB AO OB 45 cm 1,5 cm 11 korkeusjana puolittaa huippukulman 11 : 56. Lasketaan sinin avulla ympyrän säteen z pituus. 1,5 sin56 z z 147, cm 148 cm

108 165. Piirretään mallikuva. Merkitään kirjaimella O saaren keskipistettä. Henkilö 1 kulkee ympyrän kaarta pitkin. Henkilö kulkee pitkin jännettä AB. B Henkilön 1 reitti O Henkilön reitti A Janan OA pituus on sama kuin saaren säde. OA 1693 m Merkitään henkilön 1 reittiä eli kaarta AB vastaavaa keskuskulmaa kirjaimella α. Ratkaistaan kaaren pituuden avulla keskuskulman α suuruus ,9...

109 Piirretään kolmiolle AOB korkeusjana OC, joka jakaa kolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Merkitään sivun CA pituutta kirjaimella. B C O α β 1693 m A Suorakulmaisen kolmion OAC kulma β on puolet kulmasta α eli 15, , Ratkaistaan sinin avulla. sin 76, , m

110 Ratkaistu on puolet jänteen pituudesta. Jänteen AB pituus on siis 1643, m 387, m Henkilö 1 kävelee 4500 m 387, m 11, m 110 m pidemmän matkan kuin henkilö.

111 166. Ratkaistaan kaaren pituuden avulla keskuskulman α suuruus ,95... Piirretään kolmiolle AOB korkeusjana OC, joka jakaa kolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Merkitään sivun CA pituutta kirjaimella. B O α β 7 cm C A Suorakulmaisen kolmion OAC kulma β on puolet kulmasta α eli 57, ,647...

112 Ratkaistaan sinin avulla. sin 8, , cm Ratkaistu on puolet jänteen pituudesta. Jänteen AB pituus on siis 34, cm 69, cm 69 cm

113 167. Piirretään mallikuva. Merkitään kirjaimella O järven keskipistettä. Juuso Juoksee ympyrän kaarta pitkin. Elias soutaa pitkin jännettä AB. B Juoksumatka O Soutumatka A Lasketaan järven säde ympärysmitan avulla r r 693, m Piirretään kolmiolle AOB korkeusjana OC, joka jakaa kolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Sivun CA pituus on puolet jänteestä AB eli 150 m CA 65 m.

114 B O C α β 65 m 693,915 m A Lasketaan kulman β suuruus sinin avulla. 65 sin 693, ,48... Kulma α on kaksi kertaa suurempi kuin kulma β, joten kulman α suuruus on 64, , Lasketaan kaaren pituus AB. 18, b 693,915 m 1556, m 1560 m 360

115 168. Vuoan halkaisija on 34 cm, joten vuoan säde on 17 cm. Tarkastellaan yhtä sektorinmuotoista palasta. Kakkupohja jaetaan 1 yhtä suureen sektoriin, joten yhden sektorin keskuskulma on O 17 cm A α β h C B Kulma β on puolet kulmasta α, joten kulman β suuruus on 30 15

116 Lasketaan suorakulmaisesta kolmiosta ACO sivun pituus sinin avulla. sin , cm Janan AB pituus on kaksi kertaa suurempi kuin, joten janan AB pituus on AB 4, cm 8, cm Lasketaan suorakulmaisesta kolmiosta ACO korkeusjanan h pituus kosinin avulla. h cos15 17 h 16,40... cm Kolmion pinta-ala on A AOB 8, cm16,40... cm 7,51... cm Sektorin pinta-ala on A sektori 30 (17 cm) 75, cm 360

117 Lasketaan pois leikatun kakkupohjan pinta-ala. A Asektori A AOB 1 ( ) 1 (75, cm 7,51... cm ) 40, cm Kakun pinta-ala on A1 (17 cm) 907,90... cm Lasketaan, kuinka monta prosenttia kakun pinta-alasta leikataan pois. A A 907,90... cm 40, cm , ,045 4,5 % A1 907,90... cm

118 169. Ratkaistaan ympyräkaaren pituuden avulla sektorin säteen pituus r. 75,1 64, r 360 r 48, cm Piirretään kolmiolle AOB korkeusjana OC, joka jakaa kolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. A B h β α 48,979 cm O Jänne AB on tasakylkisen kolmion AOB kanta. Merkitään jänteen pituudeksi. Kolmiolla AOB on korkeusjana OC. Koska Kolmio AOB on tasakylkinen kolmio, niin korkeusjana puolittaa kolmion kannan: CA korkeusjana puolittaa huippukulman α: 37,55.

119 Ratkaistaan sivun pituus sinin avulla. sin 37,55 48, , cm Ratkaistu on puolet jänteen pituudesta. Jänteen AB pituus on siis 9, cm 59, cm Ratkaistaan sivun pituus h kosinin avulla. h cos37,55 48,979 h 38,83... cm Lasketaan kolmion pinta-ala. A AOB 59, cm 38,83... cm 1159, cm Sektorin pinta-ala on A sektori 75,1 (48, cm) 157, cm 360

120 Segmentin pinta-ala on Asegmentti Asektori A AOB 157,54... cm 1159, cm 413, cm Lasketaan, kuinka monta prosenttia segmentti on koko sektorin pintaalasta. A A 157,54... cm 413, cm 157,54... cm sektori segmentti 1 1 A sektori 0, , 63 6,3 %

121 170. Piirretään mallikuva. Merkitään kirjaimella O ympyräsektorin kärkeä. Merkitään kirjaimella sektorin sädettä. Merkitään kirjaimella y kaaren pituutta. O 3 A y B Sektorin säteet ja kaari muodostavat ympyräsektorin piirin. Muodostetaan yhtälö. y 4 y 4 Muodostetaan kaaren pituuden yhtälö 3 y 360 Sivun pituus on , cm

122 Kaaren pituus y on y 4 87, , cm Piirretään ympyräsektoriin segmentti AB. Piirretään kolmiolle AOB korkeusjana OC, joka jakaa kolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Merkitään sivun CA pituutta kirjaimella z. O α β h A z C z B Suorakulmaisen kolmion OAC kulma β on puolet kulmasta α eli 3 16 Ratkaistaan z sinin avulla. z sin16 87, z 4,13... cm

123 Ratkaistu z on puolet jänteen pituudesta. Jänteen AB pituus on siis 4,13... cm 48,64... cm Ratkaistaan h kosinin avulla. h cos16 87, h 84, cm Lasketaan kolmion AOB pinta-ala. A AOB 48,64... cm 84, cm 030, cm Sektorin pinta-ala on A sektori 3 (87, cm) 140,51... cm 360 Leikatun palan pinta-ala. Asektori A AOB 140,51... cm 030, cm 109, cm 110 cm

124 171. Ympyrän halkaisija on,0 cm, joten ympyrän säde on 11,0 cm. Piirretään mallikuva. Merkitään ympyrän keskipistettä kirjaimella O. Merkitään segmentin päätepisteitä kirjaimilla A ja B. Piirretään ympyrän keskipisteeltä säteet pisteisiin A ja B. B 11,0 cm O α 11,0 cm A Väritetty alue pitää laskea. Ratkaistaan kaaren pituuden avulla keskuskulman α suuruus. 0,0 11, ,174...

125 Piirretään kolmiolle AOB korkeusjana OC, joka jakaa kolmion kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi. Merkitään sivun CA pituutta kirjaimella. B 11,0 cm O C h α β 11,0 cm A Suorakulmaisen kolmion OAC kulma β on puolet kulmasta α eli 104, ,087.. Ratkaistaan sinin avulla. sin5, ,0 8, cm Ratkaistu on puolet jänteen pituudesta. Jänteen AB pituus on siis 8, cm 17, cm

126 Ratkaistaan h kosinin avulla. h cos 5, ,0 h 6, cm Kolmion AOB pinta-ala on A AOB 17, cm 6, cm 58, cm Kulmat α ja γ muodostavat täyden kulman, joten ,85... Lasketaan γ kulmaisen sektorin pinta-ala. A sektori 55,85... (11,0 cm) 70,13... cm 360 Lasketaan väritetyn alueen ala. AAOB Asektori 58, cm 70,13... cm 38, cm 39 cm

127 17. A O

128 173. a) A O B b) A C O B

129 c) A O 36 C B d) A 36 C O B

130 174. a) A,1 cm B β 1,4 cm O Kolmio OAB on suorakulmainen, koska jana OB on kohtisuorassa janaa AB vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OB ja AB. Hypotenuusa on jana OA. Hypotenuusan pituus on,1 m + 1,4 m = 3,5 m. Lasketaan kulma β kosinin avulla. 1, 4 cos 3,5 66,41... Kulma α on kaksi kertaa β kulma, eli 66, ,

131 b) C B α O 6 mm A Suorakulmaisen kolmion OAC kulma α on puolet keskuskulmasta eli 156 : = 78. Merkitään janan OC pituutta kirjaimella. Ratkaistaan kosinin avulla. 6 cos78 98, mm 98 mm

132 175. a) Piirretään mallikuva. C A β α 14 mm O 14 mm B Kulma α on 66,0, joten kulma β = 33,0. Kolmio OCA on suorakulmainen, koska jana AC on kohtisuorassa janaa OA vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OA ja AC. Hypotenuusa on jana OC. Lasketaan jana AC tangentin avulla. tan33,0 14 AC AC 18, mm 19 mm

133 b) Piirretään mallikuva. C A 14 mm D β α O 14 mm B Merkitään janan OA pituutta kirjaimella. Ratkaistaan sinin avulla. 14 sin 33,0 60,73... mm Pisteen C etäisyys pisteestä D on säteen verran lyhyempi kuin sivu OC. DC OC OD 60,73... mm 14 mm 118,73... mm 119 mm

134 176. Ratkaistaan ympyrän säde kehän pituuden avulla. 78 r r 1, cm A α D 1,414 cm C O B Pisteen D etäisyys pisteestä O on säteen verran pidempi kuin sivu CD. OD OC CD 1, cm 35 cm 47, cm Kolmio ODA on suorakulmainen, koska jana AD on kohtisuorassa janaa OA vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OA ja AD. Hypotenuusa on jana OD.

135 Lasketaan kulma α sinin avulla. 1, sin 47, , Tangenttikulma on kaksi α kulmaa, eli 15, ,

136 177. Ympyrän halkaisija on 5, m, joten ympyrän säde on,6 m. C,6 m α O β,6 m E D A Kulma β on puolet kulmasta α, joten Kolmio ODA on suorakulmainen, koska jana AD on kohtisuorassa janaa OD vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OD ja AD. Hypotenuusa on jana OA. Lasketaan jana OA kosinin avulla.,6 cos53 OA OA 4,30... m Pisteen E etäisyys pisteestä A on säteen verran lyhyempi kuin sivu OA. EA OA OE 4,30... m,6 m 1,70... m 1,7 m

137 178. Tornin halkaisija on 6 m, joten tornin säde on 6 m : = 13 m. Piirretään mallikuva Henkilö seisoo pisteessä B Merkitään tornin keskipistettä kirjaimella O. Henkilö näkee tornin pisteen A. 13 m A O C β α B Jana OB on säteen verran pidempi kuin CB, joten OB CB OC 35 m 13 m 48 m Kolmio OBA on suorakulmainen, koska jana AB on kohtisuorassa janaa OA vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OA ja AB. Hypotenuusa on jana OB.

138 Lasketaan kulma β sinin avulla. 13 sin 48 15, Kulma α on kaksi kertaa kulma β, joten 15, , Henkilö näkee tornin 31 asten kulmassa.

139 179. Piirretään mallikuva. Henkilö seisoo pisteessä B Merkitään jäähallin keskipistettä kirjaimella O. Henkilö näkee jäähallin pisteen A. 55 m A O C β α B Jana OB on säteen verran pidempi kuin CB, joten OB CB OC 45 m 55 m 300 m Kolmio OBA on suorakulmainen, koska jana AB on kohtisuorassa janaa OA vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OA ja AB. Hypotenuusa on jana OB. Lasketaan kulma β sinin avulla. 55 sin ,563...

140 Kulma α on kaksi kertaa kulma β, joten 10, , Henkilö näkee jäähallin 1 asteen kulmassa.

141 180. Piirretään mallikuva. Merkitään maan keskipistettä kirjaimella O. Majakka on pisteessä A. Majakasta näkee pisteeseen B. C A B 6378 km O Jana OA on säteen verran pidempi kuin CA, joten OA CA OC 51,0 m m m Kolmio BOA on suorakulmainen, koska jana AB on kohtisuorassa janaa OB vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OB ja AB. Hypotenuusa on jana OA.

142 Lasketaan sivun pituus Pythagoraan lauseen avulla , m 5500 m Sivun pituus on aina positiivinen, joten = m = 5,5 km.

143 181. Piirretään mallikuva. Merkitään maan keskipistettä kirjaimella O. Merkitään satelliitin kohtaa pisteellä A. Merkitään pisteillä C ja B päiväntasaajan kohtia, joihin satelliitista näkee km B O β α D A C Jana OA on säteen verran pidempi kuin DA, joten OA DA OD 58 km km km Kolmio BOA on suorakulmainen, koska jana AB on kohtisuorassa janaa OB vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OB ja AB. Hypotenuusa on jana OA.

144 Lasketaan kulma β kosinin avulla cos , Kulma α on kaksi kertaa kulma β, joten 7, , Lasketaan kehän pituus CB. b CB 15, km 1713, km 360 Päiväntasaajan pituus on b km , km Lasketaan, kuinka monta prosenttia päiväntasaajasta voitaisiin nähdä satelliitista. b b CB , km 1713, km , ,043 4,3 % b , km

145 18. Piirretään mallikuva. 56 cm B O 68 cm A Kolmio BOA on suorakulmainen, koska jana AB on kohtisuorassa janaa OB vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OB ja AB. Hypotenuusa on jana OA. Ratkaistaan jana AB pituus Pythagoraan lauseen avulla. 56 AB 68 AB 38, Sivun pituus on aina positiivista, joten AB 38, cm 39 cm.

146 b) 56 cm B O α 68 cm C A Lasketaan kulma α kosinin avulla. 56 cos 68 34, Lasketaan kaaren BC pituus. b BC 34, cm 33, cm 34 cm 360

147 183. Lasketaan maapallon säde r ympärysmitan avulla r r 6 366, km Piirretään mallikuva. Merkitään kirjaimella O maan keskipiste. Merkitään pisteellä E Helsingin Pasilassa sijaitseva linkkitornin huippu. Merkitän pisteellä F paikka Tallinnasta, josta näkee linkkitornin huipun. E A F B 6366,197 km α O Linkkitorni on maassa pisteessä A ja paikka Tallinnassa on maassa pisteessä B. Jotta paikasta F nähdään paikka E, janan EF sivuaa ympyrää, eli se on ympyrän tangentti. Keskuskulma α voidaan laskea, kun tunnetaan kaaren AB pituus (85 km). Jana AE on 146 m ja jana BF pitää ratkaista.

148 Ratkaistaan kulma α , ,765 Jana OE on OE 6 366, km 0,146 km 6366, km Piirretään kolmiolle OEF korkeusjana. Merkitään suorakulmaisen kolmion OCE toista terävää kulmaa kirjaimella β. Kulman β viereinen kateetti on OC ja hypotenuusa OE. E A β γ α O C F B Lasketaan kulma β kosinin avulla. 6366, cos 6366, ,388...

149 Kulman γ suuruus on 0,7650, , Lasketaan janan OF pituus kosinin avulla. 6366, cos0, OF OF 6366, km Jana OF on säteen verran pidempi kuin jana BF, joten BF OF OB 6366, km 6366, km 0, km 0,138 km 138 m Rakennuksen tulee olla vähintään 138 m korkea.

150 184. a) Kolmio BEA on suorakulmainen, koska jana EA on kohtisuorassa janaa OE vastaan. Kolmion kateetteina ovat janat OE ja EA. Hypotenuusa on jana OA. E 8,1 cm O β D α A C 33,1 Tangenttikulma on 33,1, joten kulma 16,55. Lasketaan janan EA pituus tangentin avulla. 8,1 tan16,55 EA EA 76,79... cm

151 Lasketaan kulman 1/β suuruus tangentin avulla. 1 76,79... tan 8,1 1 73,45 146,9147 b) Kaaren ADC pituus on b ADC 146,9 8,1 cm 10, cm 10 cm 360 c) Janan OA pituus on 8,1 sin16,55 OA OA 88,19... cm Jana OA on säteen verran pidempi kuin AD, joten AD OA OD 88,19... cm 8,1 cm 06, cm 06 cm d) Janan EA pituus on EA 76,79... cm 76 cm.

152

153 185. a) Segmentin pinta-ala saadaan sektorin pinta-alaan lisäämällä kolmion AOB pinta-ala. B O h α 13, cm C A Jänne AB on tasakylkisen kolmion AOB kanta. Merkitään jänteen pituudeksi. Kolmiolla AOB on korkeusjana OC. Kolmion huippukulma on 88,0. Koska kolmio AOB on tasakylkinen kolmio, niin korkeusjana puolittaa kolmion kannan: CB 88,0 korkeusjana puolittaa huippukulman 88,0 : 44,0.

154 Ratkaistaan sivun pituus sinin avulla. sin 44,0 13, 9, cm Jänteen AB pituus on: 9, cm 18, cm 18,3 cm

155 b) Ratkaistaan kolmion korkeusjanan h pituus kosinin avulla. h cos 44,0 13, h 9, cm Lasketaan kolmion pinta-ala. A AOB 18, cm 9, cm 87,06... cm Sektorin keskuskulma on ,0 = 7. Lasketaan sektorin pintaala. A sektori 7 (13, cm) 413, cm 360 Lasketaan väritetyn alueen pinta-ala. A A Asektori 87, cm 413, cm 500, cm 501 cm AOB

156 186. Piirretään mallikuva. Merkitään pisteellä A kuumailmapallon paikkaa Merkitään pisteillä D ja B Laatokan päätepisteitä. Merkitään kirjaimella O Maan keskipistettä. D A C B r α β r O Laatokan pituus on 19 km, joten kaaren DB pituus on 19 km. Lasketaan kaaren DB keskuskulman α suuruus kaaren pituuden avulla , Kulma β on puolet kulmasta α, joten 1, ,983...

157 Lasketaan suorakulmaisesta kolmiosta OBA janan OA pituus kosinin avulla cos 0, OA OA 6 378, km Lasketaan, kuinka korkealla kuumailmapallo on maanpinnasta. CA OA OC. 6378, km 6378 km 0, km 0,940 km 940 m

158 187. B 14 cm O β α C 14 cm A Lasketaan keskuskulman α arvo kehän AB avulla. 1, , Jänne AB on tasakylkisen kolmion AOB kanta. Merkitään jänteen pituudeksi. Kolmiolla AOB on korkeusjana OC. Koska kolmio AOB on tasakylkinen kolmio, niin korkeusjana puolittaa kolmion kannan: korkeusjana puolittaa huippukulman α: CA 51,156 5,

159 Ratkaistaan sivun pituus sinin avulla. sin 5, , cm Ratkaistu on puolet jänteen pituudesta. Jänteen AB pituus on siis 6, cm 1, cm Ratkaistaan sivun pituus h kosinin avulla. h cos 5, h 1,67... cm Lasketaan kolmion pinta-ala. A AOB 1, cm 1,67... cm 76,33... cm Sektorin pinta-ala on A sektori 51, (14 cm) 87,5 cm 360 Segmentin pinta-ala on Asegmentti Asektori A AOB 87,5 cm 76,33... cm 11, cm 11 cm

160 188. α r r α r α α r r α r α Tukin halkaisija r = 0 cm, joten sen säde r = 10 cm. Vaijerin kunkin suoran osan pituus = r Kaarevat osat ovat ympyrän kaaria, joiden keskuskulmat ovat Lasketaan kaarevan osuuden pituus. 60 p 6 10 cm 6, cm 360 Koko vaijerin pituus on 6r p610 cm 6, cm 18, cm 183 cm

161 .4 Avaruusgeometriaa 189. a) Lasketaan korkeusjana Pythagoraan lauseen avulla. h 4,5 1 h 11,14... cm 11cm Korkeus on aina positiivista, joten = 11 cm. b) Lasketaan korkeusjana Pythagoraan lauseen avulla. h 7,5 16, 0 h 14, cm 14,1 cm Korkeus on aina positiivista, joten = 14,1 cm.

162 190. a) Sivun s pituus voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla. 7,5,3 s s 7, dm 7,8 dm Sivun pituus on aina positiivinen, joten s = 7,8 dm. b) Lasketaan sivun s pituus Pythagoraan lauseen avulla. 4,6, 43 s s 5,0... dm 5, dm Sivun pituus on aina positiivinen, joten s = 5, dm.

163 191. a) Lasketaan kulman α suuruus sinin avulla. 1, sin 1, 5 53, b) Lasketaan kulman α suuruus kosinin avulla. 1,1 cos,3 61,

164 19. a) Suorakulmaisen kolmion kanta on puolet pyramidin pohjan sivusta, eli 3,4 dm : = 1,7 dm. Lasketaan sivun s pituus Pythagoraan lauseen avulla. 1, 7 4,5 s s 4, dm 4,8dm Sivun pituus on aina positiivinen, joten s = 4,8 dm. b) Merkataan suorakulmaisen kolmion pohjasivua kirjaimella. Piirretään Pyramidin pohjasta mallikuva. 0,80 m Sivun pituus voidaan laskea Pythagoraan lauseen avulla. 0,80 0, m Sivun pituus on aina positiivinen, joten = 0,579 m. Lasketaan sivun s pituus Pythagoraan lauseen avulla. 1,4 0, s s 1, m 1,5 m

165 193. a) Merkitään pohjasuorakulmion lävistäjä kirjaimella. 6,5 dm 4,80 dm 4,80 dm Ratkaistaan Pythagoraan lauseella. 4,80 4,80 6, dm 6,79 dm Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 6,79 dm.

166 b) Merkitään särmiön avaruuslävistäjän pituutta kirjaimella l. l 6,5 dm 4,80 dm 4,80 dm l 4,80 4,80 6, 5 9,7... dm 9,3 dm

167 c) Merkitään pohjan lävistäjän ja avaruuslävistäjän kulmaa kirjaimella α. Ratkaistaan se tangentin avulla. l 6,5 dm α 4,80 dm 4,80 dm 6,5 tan 6, , ,6

168 194. Merkitään pohjalävistäjää kirjaimella, avaruuslävistäjää kirjaimella l ja niiden välistä kulmaa kirjaimella α. l 13, cm 13, cm α 13, cm Lasketaan pohjalävistäjän pituus Pythagoraan lauseella. 13, 13, 18, cm Sivun pituus on positiivinen luku, joten = 18,667 cm. Lasketaan kulman α suuruus tangentin avulla. 13, tan 18, , ,3

169 195. Piirretään särmiön pohja ja ratkaistaan siitä pohjalävistäjä. Merkitään sitä kirjaimella. Sivujen terävä kulma on 33, joten sivujen tylppä kulma on = 147. B A cm C 168 cm z h D Lasketaan kolmiosta CDB sivun h pituus sinin avulla. h sin h 91, cm Lasketaan kolmiosta CDB sivun z pituus kosinin avulla. z cos z 140, cm Lasketaan kolmiosta ADB sivun pituus Pythagoraan lauseen avulla. 91, (4 140,896...) 376,19... cm

170 Lävistäjän pituus on aina positiivinen luku, joten = 376,193 cm. 89 cm β 376,19 cm Nyt voidaan laskea kulman β suuruus tangentin avulla. 89 tan 376, , ,3

171 196. 0,95 m z 3, m 1,8 m Sivun pituus on puolet sivun 3, m pituudesta, eli 3, m 1, 6 m. Lasketaan sivun z pituus Pythagoraan lauseella. z 1, 6 0,95 z 1, m Sivun pituus on aina positiivista, joten z = 1,860 m. 0,95 m l y 3, m 1,8 m Sivun y pituus on puolet sivun 1,8 m pituudesta, eli 1,8 m 0,9 m.

172 Lasketaan sivun l pituus Pythagoraan lauseella. l 0,9 0,95 l 1, m Sivun pituus on aina positiivista, joten l = 1,308 m. Myyntikojun katto rakentuu neljästä kolmiosta. Lasketaan kolmioiden pinta-alat. Kaksi katon kolmioista ovat 1,308 m 3, m Näiden pinta-ala on 1, m 3, m A1 4, m

173 Kaksi katon kolmioista ovat 1,860 m 1,8 m Näiden pinta-ala on 1, 8 m 1, m A 3, m Katon pinta-ala on A A1 4, m 3, m 7, m 7,5 m

174 197. Tetraedrissä on neljä samanlaista tahkoa. Tahkot ovat tasasivuisia kolmioita. 9,3 cm 4,65 cm Suorakulmaisen kannan pituus on puolet tasasivuisen kolmion kannasta, eli 9,3 cm 4,65 cm. Lasketaan sivun h pituus Pythagoraan lauseella. h 4, 65 9,3 h 8, cm Sivun pituus on aina positiivinen luku, joten h = 8,054 cm. Tetraedrin pinta-ala on 9,3 cm 8, cm A 4 149, cm 150 cm

175 198. a) Piirretään mallikuva. Kartion sisälle muodostuu suorakulmainen kolmio. h 45, cm r Kolmion korkeus on sama kuin kartion korkeus h. Kolmion toisen kateetin pituus on sama kuin kartion pohjaympyrän säde r. Kolmion hypotenuusa on sama kuin kartion sivujana eli 45, cm. Lasketaan ensin säteen r pituus, kun tiedetään, että kartion vaipan ala on 45,3 dm = cm cm r 45, cm r 31, cm Lasketaan Pythagoraan lauseella sivun h pituus. h 31, , h 3,00... cm 3,0 cm 3,0 dm Sivun pituus on aina positiivinen, joten h = 3,0 dm.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva.

5 Kertaus: Geometria. 5.1 Kurssin keskeiset asiat. 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 5 Kertaus: Geometria 5.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) Merkitään suorakulmion sivuja 3x ja 4x. Piirretään mallikuva. 4x 3x 10 cm Muodostetaan Pythagoraan lause ja ratkaistaan sen avulla x. (3 x) (4 x)

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %

C. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 % 1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! MAA3 Koe 1.4.2014 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio: Ei saa käyttää laskinta. MAOL saa olla alusta asti käytössä. Maksimissaan

Lisätiedot

1 Kertausta geometriasta

1 Kertausta geometriasta 1 Kertausta geometriasta 1.1 Monikulmiota 1. a) Kolmion kulmien summa on 180. Koska tiedetään kaksi kulmaa, kulma x voidaan laskea. 180 x 35 80 x 180 35 80 x 65 b) Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio

Geometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155.

Monikulmiot. 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 25 = 155. Monikulmiot 1. Kulmia 1. a) Kulman ovat vieruskulmia, joten α = 180 5 = 155. b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α = 8.. Kulma α ja 47 kulma ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia,

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Trigonometria Ennakkotehtävät. a) Mäessä korkeus kasvaa metriä jokaista vaakasuunnassa edettyä 0 metriä kohden eli jyrkkyys prosentteina on : 0 = 0, = 0 %. b) Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Kun

Lisätiedot

MAA03.3 Geometria Annu

MAA03.3 Geometria Annu 1 / 8 2.2.2018 klo 11.49 MAA03.3 Geometria Annu Kokeessa on kolme (3) osaa; Monivalinnat 1 ja 2 ovat pakollisia (6 p /tehtävä, yht. 12 p) B1 osa Valitse kuusi (6) mieleisintä tehtävää tehtävistä 3-10.

Lisätiedot

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet

3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet 3 Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet Ennakkotehtävät. a) Matkapuhelimen etäisyys tukiasemasta A on 5 km. Piirretään ympyrä, jonka keskipiste on tukiasema A ja säde 5 km (5 ruudun sivua). Matkapuhelin

Lisätiedot

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli

Kertausosan ratkaisut. 1. Kulma α on 37 suurempi kuin kulma eli 37. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli Kertausosa 1. Kulma α on 7 suurempi kuin kulma eli 7. Koska kulmat α ja β ovat vieruskulmia, niiden summa on 180 eli 180 7 180 14 : 71,5 Siis 7 71,5 7 108, 5 Vastaus: 108,5, 71, 5. Kuvaan merkityt kulmat

Lisätiedot

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA

2 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14.9.016 MONIKULMIOIDEN GEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. a) Lattia päällystetään neliöillä. Laatoitukseen syntyvä toistuva kuvio on b) Lattia

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5

Tekijä Pitkä matematiikka a) p = 2πr r = 4,5 = 2π 4,5 = 28, piiri on 28 cm. A = πr 2 r = 4,5 Tekijä Pitkä matematiikka 3 1.10.016 176 a) p = πr r = 4,5 = π 4,5 = 8,7... 8 piiri on 8 cm A = πr r = 4,5 b) = π 4,5 = 63,617... 64 Ala on 64 cm p = πd d = 5,0 = π 5,0 = 15,7... 16 piiri on 16 cm r =

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

15. Suorakulmaisen kolmion geometria

15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15. Suorakulmaisen kolmion geometria 15.1 Yleistä kolmioista - kolmion kulmien summa on 180⁰ α α + β + γ = 180⁰ β γ 5.1.1 Tasasivuinen kolmio - jos kaikki kolmion sivut ovat yhtä pitkät, on kolmio tasasivuinen

Lisätiedot

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!

Valitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille! 5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 YMPYRÄ POHDITTAVAA 1. Piin likiarvo yhden desimaalin tarkkuudella on 3,1. Lasketaan piin likiarvoja vaihe vaiheelta, kunnes saavutetaan haluttu tarkkuus. 1 π = 4 = 4 1 1 1 π = 4 =,66... 1 3 1 1 1 π =

Lisätiedot

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa

Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.

Tasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o.

KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA. 316. a) Samankohtaisista kulmista. b) Kolmion kulmien summa on x 2 ( 180 3x) Vastaus: a) 108 o b) 72 o. KERTAUSHARJOITUKSIA KULMA 45 l 6. a) Samankohtaisista kulmista 80( 80456) 08 b) Kolmion kulmien summa on ( 80) 80 6 l 5 80 :( 5) 6 Kysytty kulma 80 8067 Vastaus: a) 08 o b) 7 o 7. Kulmien summa on ( )

Lisätiedot

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a)

Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu a) Pyramidi 3 Geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 501 a) Kolmiossa C kaksi yhtä pitkää sivua kuin kolmiossa DEF ja näiden sivujen väliset kulmat ovat yhtä suuret, joten kolmiot ovat yhtenevät yhtenevyyslauseen

Lisätiedot

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360

302 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 2) 301 a) Ainakin yksi kulma yli 180. , joten nelikulmio on olemassa. a) = 280 < 360 Pyramidi Geometria tetävien ratkaisut sivu 01 a) Ainakin yksi kulma yli 180. 0 Nelikulmion kulmien summa on ( 4 ) 180 = 60. a) 90 + 190 = 80 < 60, joten nelikulmio on olemassa. Hamotellaan kuvaaja, joon

Lisätiedot

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia

Kolmioitten harjoituksia. Säännöllisten monikulmioitten harjoituksia. Pythagoraan lauseeseen liittyviä harjoituksia Kolmioitten harjoituksia Piirrä kolmio, jonka sivujen pituudet ovat 4cm, 5 cm ja 10 cm. Minkä yleisen kolmion sivujen pituuksia ja niitten eroja koskevan johtopäätöksen vedät? Määritä huippukulman α suuruus,

Lisätiedot

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8]

[MATEMATIIKKA, KURSSI 8] 2015 Puustinen, Sinn PYK [MATEMATIIKKA, KURSSI 8] Trigometrian ja avaruusgeometrian teoriaa, tehtäviä ja linkkejä peruskoululaisille Sisällysluettelo 8.1 PYTHAGORAAN LAUSE... 3 8.1.1 JOHDANTOTEHTÄVÄT 1-6...

Lisätiedot

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Huippu 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 AVARUUSGEOMETRIAA POHDITTAVAA 1. Muovinappulan tilavuus on V = 1 cm cm 4 cm = 8 cm 3 = 8000 mm 3. Tulostus kestää 3 8000 mm 3 800 s 10 mm / s =. Muutetaan aika minuuteiksi ja sekunneiksi. 800 s 13,333...

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 1 Monikulmiot Ennakkotehtävät 1. a) Taitetaan paperi kuvan mukaisesti lyhyempi sivu pidemmän sivun suuntaisesti. Kulma 45 on puolet suorasta kulmasta. 45 b) Kulma muodostuu a-kohdan taitoksen mukaan. 135

Lisätiedot

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12.

Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on 12. Tekijä Pitkä matematiikka 3 10.10.2016 94 Pythagoraan lauseella saadaan yhtälö 15 2 = 9 2 + a 2 a 2 = 15 2 9 2 = 225 81 = 144 a = ± 144 a = 12 tai a = 12 Pituus on positiivinen, joten kateetin pituus on

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1

Mb02 Koe 26.1.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Mb0 Koe 6.1.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/1 Kokeessa on kolme osiota: A, B1 ja B. Osiossa A et saa käyttää laskinta. Palautettuasi Osion A ratkaisut, saat laskimen pöydältä. Taulukkokirjaa voit

Lisätiedot

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

4 Avaruusgeometria. Ennakkotehtävät. 1. a) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90. Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.10.016 4 Avaruusgeometria Ennakkotehtävät 1. a) b) Pisin mahdollinen jana on jana AC. Pisin mahdollinen jana on jana AG. c) Kulma on 90.

Lisätiedot

Suorakulmainen kolmio

Suorakulmainen kolmio Suorakulmainen kolmio 1. Määritä terävä kulma α, β ja γ, kun sinα = 0,5782, cos β = 0,745 ja tanγ = 1,222. π 2. Määritä trigonometristen funktioiden sini, kosini ja tangentti, kun kulma α = ja 3 β = 73,2

Lisätiedot

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360.

Vastaus: Komplementtikulma on 23 ja suplementtikulma on 113. 404. Nelikulmion kulmien summa on 360. 9. Särmiä pitkin matka on a. Avaruuslävistäjää pitkin matka on a + a + a a a Matkojen suhde on 0,577, eli avaruuslävistäjää pitkin kuljettu matka on a 00 % 57,7 % 4, % lyhyempi. Vastaus: 4, % 0. Tilavuus

Lisätiedot

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten

( ) ( ) 1.1 Kulmia ja suoria. 1 Peruskäsitteitä. 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. 2. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten 1 Peruskäsitteitä 1.1 Kulmia ja suoria 1. a) epätosi b) tosi c) tosi d) epätosi e) tosi. a) Kulmat ovat vieruskulmia, joten α 180 5 155 b) Kulmat ovat ristikulmia, joten α 8. a) Kuvan kulmat ovat ristikulmia,

Lisätiedot

Pythagoraan polku 16.4.2011

Pythagoraan polku 16.4.2011 Pythagoraan polku 6.4.20. Todista väittämä: Jos tasakylkisen kolmion toista kylkeä jatketaan omalla pituudellaan huipun toiselle puolelle ja jatkeen päätepiste yhdistetään kannan toisen päätepisteen kanssa,

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita

Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu Ratkaisuita Helsingin seitsemäsluokkalaisten matematiikkakilpailu 22..204 Ratkaisuita. Laske 23 45. a) 4000 b) 4525 c) 4535 d) 5525 e) 5535 Ratkaisu. Lasketaan allekkain: 45 23 35 90 45 5535 2. Yhden maalipurkin sisällöllä

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAA3 Geometria Koe 5.2.2016 Jussi Tyni Lue ohjeet ja tee tehtävät huolellisesti! Tee tarvittavat välivaiheet, vaikka laskimesta voikin ottaa tuloksia. Välivaiheet perustelevat vastauksesi. Tee pisteytysruudukko

Lisätiedot

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.

Lisätiedot

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa

Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen

Lisätiedot

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA3 HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Selosta, miten puolitat (jaat kahtia) annetun koveran kulman pelkästään harppia ja viivoitinta käyttäen. 2. Piirrä kolmio, kun tunnetaan sen kaksi kulmaa (α ja β) sekä näiden

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º.

α + β = 90º β = 62,5º α + β = 180º β 35º+β = 180º +35º β = 107,5º Tekijä MAA3 Geometria Kulma α = β 35º. K1 Kulma α = β 35º. Tekijä MAA3 Geometria.8.016 a) Komplementtikulmien summa on 90º. α + β = 90º β 35º+β = 90º +35º β = 15º : β = 6,5º Tällöin α = 6,5º 35º= 7,5º. b) Suplementtikulmien summa on 180º. α

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja. nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio

Apua esimerkeistä Kolmio teoriakirja.  nyk/matematiikka/8_luokka/yhtalot_ yksilollisesti. Osio Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne

YMPYRÄ. Ympyrä opetus.tv:ssä. Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne YMPYRÄ Ympyrä opetus.tv:ssä Määritelmä Kehän pituus Pinta-ala Sektori, kaari, keskuskulma, segmentti ja jänne KAPPALEEN TERMEJÄ 1. Ympyrä Ympyrä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat yhtä kaukana

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

2 = 31415,92... 2 31 000 m

2 = 31415,92... 2 31 000 m Pyamidi Geometia tehtävien atkaisut sivu 6 40 Ympyän halkaisija d 00 m ja säde 00 m. a) kehän pituus p π d d 00 m π 68,... 60 ( m) b) pinta-ala π 00 m π 00 45,9... 40 a) ( ) 000 m a) kehän pituus 60 m

Lisätiedot

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset

4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset 4.1 Urakäsite. Ympyräviiva. Ympyrään liittyvät nimitykset MÄÄRITELMÄ 6 URA Joukko pisteitä, joista jokainen täyttää määrätyn ehdon, on ura. Urakäsite sisältää siten kaksi asiaa. Pistejoukon jokainen piste

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi

kartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi 5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen

Lisätiedot

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI

OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI OSA 2: TRIGONOMETRIAA, AVARUUSGEOMETRIAA SEKÄ YHTÄLÖPARI Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupila, Katja Leinonen, Tuomo Talala, Hanna Tuhkanen ja Pekka Vaaraniemi Alkupala Mitkä kuutiot on taiteltu kuvassa

Lisätiedot

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.

Kappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö. Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)

Lisätiedot

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2.

Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva 3), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 = 2. Hyvän ratkaisun piirteitä: a) Neliöpohjainen rakennelma Kun pallojen keskipisteet yhdistetään, muodostuu neliöpohjainen, suora pyramidi (kuva ), jonka sivusärmien pituudet ovat 2 pallon säde eli 2 1 =

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora

Ympyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI

HUOLTOMATEMATIIKKA 2, MATERIAALI 1 SISÄLTÖ HUOLTOMATEMATIIKKA, MATERIAALI 1) Murtoluvut ) Yhtenevyys ja yhdenmuotoisuus 3) Tasokuvioiden pinta-alat ja piirit 4) Kappaleiden tilavuudet 5) Suorakulmainen kolmio ja Pythagoran lause 6) Suorakulmaisen

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN alculus Lukion M Geometia Paavo Jäppinen lpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKTESTIN J KERTUSKOKEIEN TEHTÄVÄT RTKISUINEEN Geometia (M) Pikatesti ja ketauskokeet Tehtävien atkaisut 1 Pikatesti (M) 1 Määitä

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma

4.3 Kehäkulma. Keskuskulma 4.3 Kehäkulma. Keskuskulma Sellaista kulmaa, jonka kärki on ympyrän kehällä ja kumpikin kylki leikkaa (rajatapauksessa sivuaa) ympyrän kehää, sanotaan kehäkulmaksi, ja sitä vastaavan keskuskulman kyljet

Lisätiedot

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset

M 1 ~M 2, jos monikulmioiden vastinkulmat ovat yhtä suuret ja vastinsivujen pituuksien suhteet ovat yhtä suuret eli vastinsivut ovat verrannolliset Yhdenmuotoisuus ja mittakaava Tasokuvioiden yhdenmuotoisuus tarkoittaa havainnollisesti sitä, että kuviot ovat samanmuotoiset mutta eivät välttämättä samankokoiset. Kahdella yhdenmuotoisella kuviolla täytyy

Lisätiedot

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC

Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin. Peruskäsitteitä 282. Vastaus: CA = a b, = BA + AC BA = BC AC = AC CB. Vastaus: DC = AC BC Laudatur 5 MAA5 ratkaisut kertausharjoituksiin Peruskäsitteitä 8. CA CB + BA BC AB b a a b DA DB + BA ( BC) + ( AB) b a a b Vastaus: CA a b, DA a b 8. DC DA + AC BA + AC BA BC AC ( BC AC ) + AC AC CB Vastaus:

Lisätiedot

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 3. Opettajan aineisto. Geometria MAA3. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur Geometria MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita.... painos 006 Tekijät

Lisätiedot

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015

LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015 PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Arkkitehtimatematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Arkkitehtimatematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Arkkitehtimatematiikan koe..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat yhtälön x =? (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut x toteuttavat

Lisätiedot

Tekijä MAA3 Geometria

Tekijä MAA3 Geometria Tekijä MAA3 Geometria 29.9.2016 240 Kuva voidaan piirtää esimerkiksi GeoGebran 3D-piirtoalueessa. Piirtäminen voidaan esimerkiksi aloittaa piirtämällä suorakulmio pohjaksi ja syöttämällä sen jälkeen kartion

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus

Matematiikan olympiavalmennus Matematiikan olympiavalmennus Toukokuun 2012 helpommat valmennustehtävät ratkaisuja 1 Määritä sellaisen kolmion ala, jonka kaksi kulmaa ovat 60 ja 45 ja jonka pisimmän sivun pituus on 1 Ratkaisu Olkoon

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio

Monikulmiot 1/5 Sisältö ESITIEDOT: kolmio Monikulmiot 1/5 Sisältö Monikulmio Monikulmioksi kutsutaan tasokuviota, jota rajaa perättäisten janojen muodostama monikulmion piiri. Janat ovat monikulmion sivuja, niiden päätepisteet monikulmion kärkipisteitä.

Lisätiedot

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla

Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Johdatus GeoGebraan Matematiikan ilmiöiden tutkiminen GeoGebran avulla Harjoitus 1B. Konstruoi tasakylkinen kolmio ABC, jonka kyljen pituus on 5. Vihje: käytä Kiinteä jana työvälinettä kahdesti. Ota kolmion

Lisätiedot

7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen

7.lk matematiikka. Geometria 3. Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 7.lk matematiikka Hatanpään koulu 7B ja 7C Kevät 2017 Janne Koponen 2 Sisällys 15. Kolmio... 4 16. Nelikulmiot... 8 17. Monikulmiot... 12 18. Pituuksien ja pinta-alojen muutokset... 16 19. Pinta aloja

Lisätiedot

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13

Kenguru Student (lukion 2. ja 3.), ratkaisut sivu 1 / 13 Kenguru Student (lukion ja ), ratkaisut sivu / pistettä Kuvasta huomataan, että + + 5 + 7 = 44 Kuinka paljon tämän mukaan on + + 5 + 7 + 9 + + + 5 + 7? A) 44 B) 99 C) 444 D) 66 E) 49 Ratkaisu: Kuvan havainnollistuksen

Lisätiedot

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v +

{ 2v + 2h + m = 8 v + 3h + m = 7,5 2v + 3m = 7, mistä laskemmalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan 5v + 5h + 5m = 22,5 v + 9. 0. ÄÙ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø ÐÔ ÐÙÒ Ð Ù ÐÔ ÐÙÒ Ö Ø ÙØ 009 È ÖÙ Ö P. Olkoon vadelmien hinta v e, herukoiden h e ja mustikoiden m e rasialta. Oletukset voidaan tällöin kirjoittaa yhtälöryhmäksi v + h + m = 8 v +

Lisätiedot

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet

TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet TYÖPAJA 1: Tasogeometriaa GeoGebran piirtoalue ja työvälineet Näissä harjoituksissa työskennellään näkymässä Näkymät->Geometria PIIRRÄ a) jana, jonka pituus on 3 b) kulma, jonka suuruus on 45 astetta c)

Lisätiedot

Kartio ja pyramidi

Kartio ja pyramidi Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600

Muodostetaan vastinpituuksien välinen verrantoyhtälö ja ratkaistaan x. = = : 600 Tekijä 3 Geometria 7.10.016 47 Kartta on yhdenmuotoinen kuva maastosta, jolloin kartan pituudet ja maaston pituudet ovat suoraan verrannollisia keskenään. Merkitään reitin pituutta kartalla kirjaimella

Lisätiedot