Vastaukset. 8.7 Polynomilaskennan kertausta. 1. 2k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. 2. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x 2 x x x = x 3
|
|
|
- Hannes Salminen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Vastaukset 8.7 Polynomilaskennan kertausta 1. k + 3p + 3k + 4p = 5k + 7p. x + x + x = 3x 1 x = x x x = x x x x = x 3 3. a) 4x + (+6x) = 4x + 6x = 10x b) 4x + ( 6x) = 4x 6x = x c) 4x (+6x) = 4x 6x = x d) 4x ( 6x) = 4x + 6x = 10x 4. a) 3a + 4a + 5a = 1a b) (6b + 1) + (6b + 1) + 8b = 6b b b = 0b + 5. a) 9k + 4p b) 3k + p c) (9k + 4p) + (3k + p) = 9k + 4p + 3k + p = 1k + 5p 6. a) x + 3x x = 4x b) 5x 7x + 4x = x c) 11x + x 6x = 7x d) 8x 9x + 1x = 5x 7. a) p = x + (3x + 1) + x + (3x + 1) = x + 3x x + 3x + 1 = 10x + b) A = x(3x + 1) = 6x + x 8. a) x + (9x 4) = x + 9x 4 = 11x 4 b) x (9x 4) = x 9x + 4 = 7x + 4 c) (9x 4) = 18x + 8 d) x(9x 4) = 18x + 8x 9. a) ( 4x + y) + (6x 9y) = 4x + y + 6x 9y = x 7y b) ( 4x + y) (6x 9y) = 4x + y 6x + 9y = 10x + 11y 10. a) 7x + 5y + 8x 4y = 15x + y b) (7x + 5y) + (8x 4y) = 7x + 5y + 8x 4y = 15x + y c) (7x + 5y) (8x 4y) = 7x + 5y 8x + 4y = x + 9y 11. a) p = (5x + 1) + (6x + 4) + (5x + 1) + (6x + 4) b) A = 3x(6x + 4) = 18x + 1x 1. ( x + 1) (17x 3) + 14 = x x = 18x + 9 Kun x =, lausekkeen arvo on = = 7.
2 13. a) (8x 13y) + ( 11x 6y) = 8x 13y 11x 6y = 3x 19y b) (8x 13y) ( 11x 6y) = 8x 13y + 11x + 6y = 19x 7y 14. (a b) + (4a + b) + (a b) + (5a + b) + (6a b) = a b + 4a + b + a b + 5a + b + 6a b = 19a 15. (7x 5y) (6x 3y) = 7x 5y 6x + 3y = x y 1 = a) (4x 5x) + (6x 7x) = 4x 5x + 6x 7x = 10x 1x b) (4x 5x) (6x 7x) = 4x 5x 6x + 7x = x + x 17. a) 5x + 5 b) 17x 13y c) a + 5a 18. a) 8a 6a 48a A 4a b) (11a )4a 44a 8a A a 4a 19. a) 5x (8x 5) ( 4x 11) = 5x 16x x + 11 = 7x + 1 b) 3y( y + 15y 7) ( 6y 1)5y = 6y 3 45y + 1y + 30y 3 + 5y = 4y 3 40y + 1y 0.* (1x + 8) + ( x + 4) = 11x + 1 (1x + 8) ( x + 4) = 13x + 4 Polynomit ovat 1x + 8 ja x a) 6x + ( 3x) = 6x 3x = 3x b) 14x (+9x) = 14x 9x = 3x c) x ( 7x) = x + 7x = 5x d) x ( x) = x + x = 0. x x = 0 1 x = x x + x = x x x = x 3. a) p = 4x + (7x 4) + 4x + (7x 4) = 4x + 7x 4 + 4x + 7x 4 = x 8 b) A = 4x(7x 4) = 8x 16x 4. a) 5x + (3x + ) = 5x + 3x + = 8x + b) 13x (10x 6) = 13x 10x + 6 = 3x + 6 c) 3(4x + 8) = 1x 4 d) x(9x 11) = 9x + 11x
3 5. a) (16x 14) + (7x + 3) = 16x x + 3 = 3x 11 b) 6x ( 15x + 8) = 6x + 15x 8 = 1x 8 c) ( 3x + 1) (19x 17) = 3x x + 17 = 4x + 9 d) x(4x 9) (3x + 5x) = 8x + 18x 3x 5x = 11x + 13x 6. a) ( x 8y) + (1x 15y) = x 8y + 1x 15y = 11x 3x b) ( x 8y) (1x 15y) = x 8y 1x + 15y = 13x + 7y 7. 5x + x 4x x = x + x + = 4 + = 6 8. Ison suorakulmion pinta-ala on A = 5x(4x + 1) = 0x + 5x. Pienen suorakulmion pinta-ala on A = 3x x = 3x. 8.8 Kahden muuttujan yhtälö ja yhtälöpari 9. Kahden muuttujan yhtälöt ovat y = x + 4, y = x, y x = 6 ja x + y + = x + y = 6 x y = 4 x y a) + 0 = b) 3 1 = 0 = 4 = c) + 0 = x y a) x y 4 x y b) x y 10 x y a) Sijoitetaan luvut x = 0 ja y = yhtälöparin yhtälöihin. 0 + =, ei toteuta 0 =, ei toteuta Eli ei toteuta
4 b) Sijoitetaan luvut x = 0 ja y = yhtälöparin yhtälöihin. 0 + = 4, toteuttaa 0 + =, toteuttaa Toteuttaa yhtälöparin 34. a) Esim = 7 eli 5 + = 7 eli 9 + ( ) = 7 eli b) Esim. 8 1 = 7 eli 9 = 7 eli 10 = 7 eli c) x = 9 ja y = 35. a) ab4 a b 16 b) ab3 ab 36. a) 3x + y = 7 ǁ 3x y = 3x + 7 b) 4x + y = 6 ǁ 4x y = 4x + 6 ǁ : y = x + 3 c) 5x y = 8 ǁ 5x y = 5x + 8 ǁ : ( 1) y = 5x a) x + 4y = 10 ǁ 4y x = 4y + 10 ǁ : x = y + 5 b) 3x + 6y = 0 ǁ 6y 3x = 6y ǁ :( 3) y = y c) x + 5y = 9 ǁ 5y x = 5y + 9 ǁ : ( 1) x = 5y a) Sijoitetaan x = 0 ja y = 0 suoran yhtälöön y = x + 1. Suora y = x = = 1, epätosi eli piste (0, 0) ei ole suoralla
5 b) Sijoitetaan x = ja y = 1 suoran yhtälöön. Suora y = x = = 3, epätosi eli piste (, 1) ei ole suoralla c) Sijoitetaan x = ja y = 3 suoran yhtälöön. Suora y = x = = 3, tosi eli piste (, 3) on suoralla 39. Sijoitetaan x = 3 ja y = 4 suorien yhtälöihin. x + y = ( 3) + 4 = = =, epätosi x y = 10 ( 3) 4 = = 10, epätosi x y = = 7 7 = 7, tosi x + y = = 1 1 = 1, tosi x y1 x y a) Sijoitetaan luvut x = 10 ja y = 8 yhtälöpariin x + y = = = 18, tosi x y = 10 8 = =, epätosi eli ei toteuta b) x + y = = = 18, tosi x y = 10 8 =
6 =, tosi eli toteuttaa 41. a) Sijoitetaan x = 1 ja y = suoran yhtälöön. Suora y = 3x 4 = = 0, epätosi eli piste (1, ) ei ole suoralla b) Sijoitetaan x = ja y = suoran yhtälöön. Suora y = 3x 4 = 3 4 =, epätosi eli piste (, ) ei ole suoralla c) Sijoitetaan x = 1 ja y = 1 suoran yhtälöön. Suora y = 3x 4 1 = = 1, tosi eli piste (1, 1) on suoralla a b 6 4. a) a b 8 ab1 b) a 3 b 43. Sijoitetaan x = 1 ja y = 0 suorien yhtälöihin. x + y = = 1 1 = 1, tosi x y = = 1 1 = 1, tosi x y = 1 0 = 1 =, epätosi x + y = = 0 1 = 0, epätosi x y 1 x y a) Sijoitetaan luvut x = 1 ja y = yhtälöpariin. x + y = ( ) = 3 1 = 3 3 = 3, tosi
7 x y = 1 1 ( ) = = 1 1 = 1, tosi eli x = 1 ja y = toteuttavat yhtälöparin b) x + y = 0 ( 1) + ( ) = 0 = 0 0 = 0, tosi x y = 3 ( 1) ( ) = = 3 3 = 3, tosi eli x = 1 ja y = toteuttavat yhtälöparin 45. a) x 7y = 4 ǁ + 7y x = 4 + 7y ǁ : x = + 3,5y x = 3,5y + b) x 7y = 4 ǁ x 7y = 4 x ǁ : ( 7) 4 y x y x y = x Kolmion korkeus on 5. Lasketaan kolmion kanta. Sitä varten tarvitaan nollakohta. x + 5 = 0 x = 5 55 Pinta-ala on A 1,5 48. x = 3 ja y = 4, koska = 5 x = 3 ja y = 4, koska ( 3) + ( 4) = 5 x = 3 ja y = 4, koska 3 + ( 4) = 5 x = 3 ja y = 4, koska ( 3) + 4 = 5 x = 4 ja y = 3, koska = 5 x = 4 ja y = 3, koska ( 4) + ( 3) = 5 x = 4 ja y = 3, koska 4 + ( 3) = 5 x = 4 ja y = 3, koska ( 4) + 3 = 5 Kuvaaja on ympyrä.
8 49. Kahden muuttujan yhtälöt ovat y = 3x 1, y + x = 7, y x = 6, y = 1x ja x + y 8 = a) x = ja y = 1, koska + 1 = 3. x = 1 ja y =, koska 1 + = 3. b) x = 3 ja y = 4, koska 3 4 = 1. x = 1 ja y = 0, koska 1 0 = 1. x = 1 ja y =, koska 1 = 1. c) x = 1 ja y =, koska 1 + = 3 ja 1 = a) x y 50 x y 30 b) x y 15 y 4x 5. a) 5x + 10y = 0 ǁ 10y 5x = 0 10y ǁ : ( 5) x = 4 + y x = y 4 b) 5x + 10y = 0 ǁ + 5x 10y = 0 + 5x ǁ : 10 y = + 0,5x y = 0,5x a) Sijoitetaan x = ja y = 5 suoran yhtälöön. Suora y = 7x = = 3, epätosi eli piste (, 5) ei ole suoralla b) Sijoitetaan x = ja y = 5 suoran yhtälöön. Suora y = 9x = = 5, tosi eli piste (, 5) on suoralla 54. Sijoitetaan luvut x = 3 ja y = yhtälöpariin a) x + y = ( ) = 6 6 = 6 4 = 6, epätosi x y = 3 3 ( ) = = 3 5 = 3, epätosi eli x = 3 ja y = eivät toteuta yhtälöparia b) x + y = ( ) = 1 3 = 1 1 = 1, tosi
9 x y = 8 3 ( ) = = 8 8 = 8, tosi eli x = 3 ja y = toteuttavat yhtälöparin 55. y = x 56. Sijoitus: 1 a 4 b a 4 b a = 4 + a = 4 ǁ a = ǁ : a = 1 b 6 = 6 ǁ + 6 b = Yhtälöparin ratkaiseminen piirtämällä Yhtälöparin ratkaiseminen sijoittamalla 85. x = 3 ja y = x = ja y = On 88. x = 1 ja y = a) x = ja y = 1 b) x = 6 ja y = 90. a) a = 8 ja b = 4 b) a = 1 ja b = a) x = ja y = 6 b) x = 3 ja y = 9. a) x = ja y = 1 b) x = 7 ja y = (5, 10) 94. a) x = 3 ja y = 11 b) x = ja y = ( 1, 5) 96. a) s = 1,5 ja t =,5 b) s = 13 ja t = a) x = 6 ja y = 3 b) x = 1 ja y = x = 7 ja y = a) a = ja b = 1 b) s = 1 ja t = (3, 8)
10 101. a) x = 0,5 ja y = 0,5 b) x = 5 ja y = a) s ja t 7 7 b) s = 1 ja t = a) x = 11 ja y = 6 b) x = 7 ja y = x + y = y y = -0,5x+6 x Yhtälöitä vastaavat suorat ovat yhdensuuntaiset, joten niillä ei ole leikkauspistettä. Yhtälöä ratkaistaessa x:t katoavat ja päädytään yhtälöön 1 = 8, joka on epätosi a) x = 7 ja y = 7 b) x = 6 ja y = a) x = 1 ja y = 3 b) x = 4 ja y = 107. a) x = 1 ja y = 3 b) x = ja y = (4, 1) 109. s = ja t = a) x = 8 ja y = 6 b) x = 9 ja y = a = 4 ja b = a) y = -x y y = x + 4 x Likimain ( 1,3;,7) b) 1 1 ; 3 3
11 8.11 Yhtälöparin ratkaiseminen allekkain laskemalla 113. x = 7 ja y = x = 5 ja y = Ei ole x = 6 ja y = 117. a) x = 3 ja y = 1 b) x = 8 ja y = 118. a) a = 5 ja b = 1 b) a = 3 ja b = (4, 1) 10. a) x = ja y = 5 b) x = 1 ja y = 11. a) x = ja y = 5 b) x = 1 ja y = 6 1. x = 18 ja y = a) x = 10 ja y = 1 b) x = ja y = 14. a) x = 1 ja y = b) x = 4 ja y = a) x = 10 ja y = 1 b) x = ja y = a = 8,5 ja b = 4,5 17. a) x = 8 ja y = b) x = 3 ja y = 18. a) x = 1 ja y = b) 19. ( 7, 3) 130. a) x = 3 ja y = b) 131. a = ja b = a 3 1 x ja 3 1 y c ja d a) x = 8 ja y = 1 b) x = 9 ja y = a) x = 5 ja y = 1 b) x = 4 ja y = x = 15 ja y = a) a = ja b = 4 b) a = 1 ja b = 137. x = 10 ja y = (6, 1) 139. x = 5 ja y = a = 5 ja b = 8.1 Sanallisia tehtäviä 141. b) x + y = 60 c) y = 4x x y 60 d), ratkaisu x = 1 ja y = 48 y 4x e) Eetu on 1 vuotta ja isä 48 vuotta. 14. a) x + y = 36 b) y = x +
12 xy36 c), ratkaisu x = 8 ja y = 10 y x d) x:llä merkitty sivu 8 m ja y:llä merkitty sivu 10 m 143. Joona 15 cm ja Isla 95 cm 144. pulla,80 ja kaakao 1, x = 31 ja y = cm ja 14 cm jäätelöä ja 7 limsaa 148. Väinö 16 vuotta ja Emmi 5 vuotta tavallista pyörää ja 3 kolmipyöräistä pyörää 150. Piirtokolmio 0,5 ja harppi banaaneja 3,5 kg ja omenoita 1,5 kg kolmijalkaista ja 11 nelijalkaista pöytää tilasi kahvin ja 9 limsan sikaa ja 14 kanaa g 4-prosenttista ja 00 g 30-prosenttista g ja 100 g 157. kuparia 88 % ja tinaa 1 % 158. (, 4) 159. a =, b = x = 6 ja y = Joel 160 cm ja Janna 144 cm 16. kanta 15 cm, kyljet 30 cm viisikulmiota ja 16 kolmiota aikuisten ja 55 lasten lippua 165. pizza 7 ja limsapullo grammaa 5-prosenttista ja 00 grammaa 0-prosenttista suolaliuosta 167. (4, 15) 8.13 Kertaus 168. a) 3x + 7 b) 8x c) 6x 169. a) a 9 b) 7x + 7 c) 15x 5x 170. a) x = y + 4 c) y = 1 x c) x = 1 ja y = a) ei b) on c) ei 173. a) x = 3 ja y = 6 b) x = 1 ja y = a) x = 7 ja y = 3 b) x = 1 ja y = a) x = 4 ja y = 1 b) x = ja y = a) x = ja y = 6 b) x = 3 1 ja y = a) 7 ja 3 b) 3 ja a) 17 ja 1 b) 39 ja a) ei ratkaisua (yhdensuuntaiset suorat) b) ääretön määrä ratkaisuja
13 178. a) a + 9b b) 15x +13 c) 3a 18b 179. a) 1x 4x b) 99a 11ab c) x 18x y = 1 3 x 181. c) x = 3 ja y = a) ei b) ei c) on 183. a) x = ja y = b) x = 3 ja y = a) x = 1 ja y = b) x = ja y = a) x = 9 ja y = 3 b) x = 5 ja y = a) x = 4 ja y = b) x = 8 ja y = a) ei yhtään ratkaisua b) äärettömän monta ratkaisua 188. a) 10 ja 34 b) 171 cm ja 163 cm 189. a) 14 cm ja 18 cm b) 156
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä
Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit
( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty
Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja
origo III neljännes D
Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä
Tekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Polynomi ja yhtälö Sievennä. a) 4a + 3a b) 11x x c) 9x + 6 3x. Ratkaisu a) 7a b) 12x c) 6x + 6
Polynomi ja yhtälö 103. Sievennä. a) 4a + 3a b) 11x x c) 9x + 6 3x a) 7a b) 12x c) 6x + 6 104. Ratkaise yhtälöt. a) 2x + 3 = 9 b) 8x + 2 = 5x + 17 a) 2x + 3 = 9 3 2x = 6 : 2 x = 3 b) 8x + 2 = 5x + 17 2
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola
9 E matematiikka Martti Heinonen Markus Luoma Leena Mannila Kati Rautakorpi-Salmio Timo Tapiainen Tommi Tikka Timo Urpiola Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Yhteenlaskumenetelmän harjoittelua Joskus
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)
Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole
Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
YHTÄLÖ JA EPÄYHTÄLÖ. Aiheet
YHTÄLÖ JA EPÄYHTÄLÖ Aiheet Yhtälö ja sen ratkaisu Yhtälön ratkaisu lisäämällä ja vähentämällä Yhtälön ratkaisu jakamalla Yhtälön ratkaisu kertomalla Vakiokirjaimia Testaa taitosi 1 Identtiset yhtälöt Ongelmanratkaisua
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )
Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB
Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!
MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
1 ENSIMMÄISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Lämpötila maanpinnalla nähdään suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatista, joka on noin 10. Kun syvyys on 15 km, nähdään suoralta, että lämpötila
1. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,...
Vastaukset:. taskulaskimen funktionäppäimet, pankkiautomaatti, postimerkkiautomaatti,.... a) 0 b) 0 c) ( a 3) 3. 0 5 8 3 4 4 4. a) 7 b) -7 c) d) 5 5. - 8-7 0 6 5 4 6. a) Tbsjub b) Eino c) - 7. a) b) 5
Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien
Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =
B. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
Lineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
Koontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
2 Yhtälöitä ja funktioita
Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)
Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
5 Lineaariset yhtälöryhmät
5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä
RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
Juuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 2015
PREPPAUSTA 05.nb LAHDEN AMMATTIKORKEAKOULU TEKNIIKAN ALA MATEMATIIKAN PREPPAUSTEHTÄVIÄ Kesä 05 MURTOLUVUT. Laske murtolukujen 3 ja 5 6 summa, tulo ja osamäärä. Summa 3 5 6 4 3 5 6 8 6 5 6 3 6 6. Laske
2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
Vastaukset 1. A = (-4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (-7,-1) E = (-1,0) F = (3,-3) G = (7,-9) 3. tämä on ihan helppoa
Vastaukset 1. A = (4,3) B = (6,1) C = (4,8) D = (7,1) E = (1,0) F = (3,3) G = (7,9) 2. 3. tämä on ihan helppoa 4. 5. a) (0, 0) b) Kolmannessa c) Ensimmäisessä d) toisessa ja neljännessä 117 6. 7. 8. esimerkiksi
Tekijä Pitkä matematiikka
Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin
yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
3 Yhtälöryhmä ja pistetulo
Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Yhtälöryhmä ja pistetulo Ennakkotehtävät. z = x y, x y + z = 6 ja 4x + y + z = Sijoitetaan z = x y muihin yhtälöihin. x y + x y =
KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.
KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
YHTÄLÖITÄ ALOITA PERUSTEISTA A. Luku on yhtälön ratkaisu, jos luku toteuttaa yhtälön. a) Sijoitetaan luku = yhtälöön. 6 = 0 0 = 0 Yhtälö on tosi, joten = on yhtälön ratkaisu. Vastaus: on b) Sijoitetaan
Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
Aloita Ratkaise Pisteytä se itse Merkitse pisteet saanut riittävästi pisteitä voit siirtyä seuraavaan osioon ei ole riittävästi
Aloita A:sta Ratkaise osion (A, B, C, D, jne ) yhtälö vihkoosi. Pisteytä se itse ohjeen mukaan. Merkitse pisteet sinulle jaettavaan tehtävä- ja arviointilappuun. Kun olet saanut riittävästi pisteitä (6)
MAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä
2 Yhtälöitä ja epäyhtälöitä 2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Muuttujan x ensimmäisen asteen yhtälöksi sanotaan yhtälöä, joka voidaan kirjoittaa muotoon ax + b = 0, missä vakiot a ja b ovat reaalilukuja
Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
Hyvä uusi opiskelija!
Hyvä uusi opiskelija! Tässä tulee tärkeää tietoa heti syksyn alussa pidettävästä laskutaitotestistä. Matematiikka kuuluu tekniikan alan opiskelijan tärkeimpiin oppiaineisiin. Matematiikan opiskelu kehittää
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x
MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =
Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
Paraabeli suuntaisia suoria.
15.5.017 Paraabeli Määritelmä, Paraabeli: Paraabeli on tason niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä annetusta suorasta, johtosuorasta ja sen ulkopuolella olevasta pisteestä, polttopisteestä. Esimerkki
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
Ympyrän yhtälö
Ympyrän yhtälö ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA4 On melko selvää, että origokeskisen ja r-säteisen ympyrän yhtälö voidaan esittää muodossa x 2 + y 2 = r 2. Vastaavalla tavalla muodostetaan ympyrän yhtälö, jonka
4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise
Vanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö
Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 139 Päivitetty a) 402 Suplementtikulmille on voimassa
Pyramidi Analyyttinen geometria tehtävien rataisut sivu 9 Päivitetty 9..6 4 a) 4 Suplementtiulmille on voimassa b) a) α + β 8 α + β 8 β 6 c) b) c) α 6 6 + β 8 β 8 6 β 45 β 6 9 α 9 9 + β 8 β 8 + 9 β 7 Pyramidi
Piste ja jana koordinaatistossa
607 Piste ja jana koordinaatistossa ANALYYTTINEN GEOMETRIA MAA5 Kertausta kurssi Eri asioiden välisten riippuvuuksien havainnollistamiseen kätetään usein koordinaatistoesitstä Pstakselilla riippuvan muuttujan
15 Yhtäsuuruuksia 1. Päättele x:llä merkityn punnuksen massa. a) x 4 kg. x 3 kg
1 15 Yhtäsuuruuksia Päättele :llä merkityn punnuksen massa. a) 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg 1 kg b) 1 kg 5 kg 5 kg 4 kg 3 kg Kuinka monta ympyrää jälkimmäisen vaa an oikealle puolelle on laitettava, jotta
Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)
K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +
1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt
6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) ( x x) 3( x ) ( x x) (3 x 3 ) x x (3x 6) x x 3x 6 x x 6 b) 9( x 1) 5( x ) 9 x ( 9) 1 5 x 5 9x 9 5x 10 4x 1 c) (3x )(4 5 x) 3x 4 3 x (
MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Ongelmanratkaisu. Isto Jokinen 2017
MATEMATIIKKA Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017 SISÄLTÖ 1. Matemaattisten ongelmien ratkaisu laskukaavoilla 2. Tekijäyhtälöt 3. Laskukaavojen yhdistäminen 4. Yhtälöiden
1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400
a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Ratkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
Mb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4
Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]
![Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]](/thumbs/47/23676089.jpg "Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]")
Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =
Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LISÄTEHTÄVÄT. Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto Piirretään suorat. Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt. y x ja a) b) y x.
LISÄTEHTÄVÄT Kahden muuttujan lineaariset yhtälöt 0. a) b) y 7 x 4 0 y x 0 y7 x 4 : y x y,5 x c) d) 5x 8y 5 8y 5x5 :( 8) 7y 5x 7y 5x :7 5 5 5 y x y x 8 8 7 7. Piirretään suorat y x 0 y x ja x y 0 y x Leikkauspiste
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan
Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)
Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori
x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
Luku 5 Kertaus. Tehtävä 1 Kerratkaa oppimanne asiat yhdessä keskustellen.
Luku Kertaus Tehtävä 1 Kerratkaa oppimanne asiat yhdessä keskustellen. - Samanmuotoiset termit - Lausekkeen ja yhtälön ero - Yhtälön totuusarvon tutkiminen - Yhtälön ratkaisun etsiminen - Yhtälön ratkaisun
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
5.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet
.3 Suoran ja toisen asteen käyrän yhteiset pisteet Tämän asian taustana on ratkaista sellainen yhtälöpari, missä yhtälöistä toinen on ensiasteinen ja toinen toista astetta. Tällainen pari ratkeaa aina
n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.
MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla
Vastaukset. 1. kaksi. 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x e) 5. a) x y = 2x
Vastaukset. kaksi. y - - x - - 3. Pisteet eivät ole samalla suoralla. d) x y = x 0 0 3 3 e) 5. a) b) x y = x 0 0 3 6 98 6. a) b) x y = x + 0 3 5 6 7 7. a) b) x y = x - 3 0-3 - 3 3 8. 99 a) y = b) y = -