3 Yhtälöryhmä ja pistetulo

Save this PDF as:
Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "3 Yhtälöryhmä ja pistetulo"

Transkriptio

1 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Yhtälöryhmä ja pistetulo Ennakkotehtävät. z = x y, x y + z = 6 ja 4x + y + z = Sijoitetaan z = x y muihin yhtälöihin. x y + x y = 6 x 4y = 6 4x + y + x y = x + y = On saatu kaksi yhtälöä, joissa muuttujina x ja y. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan x ja y. x4y 6 x y 4 x4y 6 x 4y 4 0x 0 : ( 0) x Sijoitetaan x = alempaan yhtälöön x + y =. ( ) + y = + y = y = Ratkaistaan z yhtälöstä z = x y. z = ( ) = + = Luvut x =, y = ja z = toteuttavat yhtälöt.

2 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Jos z =, yhtälöt ovat x y + = 6 ja x + y + =. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan x ja y. x y6 x y x y5 x y x 6 : ( ) x Sijoitetaan x = yhtälöön x + y =. ( ) + y = 9 + y = y = 8 x = ja y = 8 b) Jos z =, yhtälöt ovat x y + = 6 ja x + y + =. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan x ja y. x y6 x y x y4 x y 0 x 4 :( ) x Sijoitetaan x = yhtälöön x + y = 0. ( ) + y = y = 0 y = 6 x = ja y = 6

3 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Jos z = t, yhtälöt ovat x y + t = 6 ja x + y + t =. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan x ja y. x yt 6 x yt x y 6 t x y t x 4 t : ( ) xt Sijoitetaan x = + t yhtälöön x + y + t =. ( + t) + y + t = 6 t + y + t = y = t 4 x = + t ja y = t 4

4 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Yhtälöryhmä YDINTEHTÄVÄT 0. II Sijoitetaan luvut x =, y = ja z = yhtälöryhmään () Luvut toteuttavat yhtälöryhmän. 0. a) x yz 7 x y z x yz 6 Muodostetaan ensimmäisestä ja toisesta sekä toisesta ja kolmannesta yhtälöstä yhtälöpari, joista eliminoidaan y. x yz 7 x y z x y z x y z 6 z 9 : x z 8 z Sijoitetaan z = yhtälöön x + z = 8. x + = 8 x + 6 = 8 x = Sijoitetaan x = ja z = ensimmäiseen yhtälöön x + y + z = 7. + y + = 7 + y + 6 = 7 y = x =, y = ja z =

5 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) x y z 4 x y z 8 xy z 4 Muodostetaan ensimmäisestä ja toisesta sekä toisesta ja kolmannesta yhtälöstä yhtälöpari, joista eliminoidaan y. x yz4 ( ) xyz 8 xyz8 xyz 4 ( ) 4xyz 8 xyz 8 xyz 8 xyz 4 x z 0 x z 4 Muodostetaan saaduista yhtälöistä yhtälöpari ja ratkaistaan x ja z. xz 0 ( ) xz4 6xz 0 x z 4 4x 4 : 4 x Sijoitetaan x = yhtälöön x + z = 0. + z = 0 z = Sijoitetaan x = ja z = yhtälöön x + y + z = 4. + y + = 4 + y + = 4 y = x =, y = ja z =

6 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Yhtälöitä on kolme, mutta tuntemattomia vain kaksi. Ratkaistaan kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä x ja y. Sijoitetaan saadut luvut kolmanteen yhtälöön ja tarkistetaan, toteuttaako saadut luvut myös kolmannen yhtälön. x x y y5 xy xy 5 x : x Sijoitetaan x = kolmanteen yhtälöön x + y =. + y = y = 4 : y = Sijoitetaan x = ja y = yhtälöön x = y +. ( ) = + = Saadut x ja y eivät toteuta kolmatta yhtälöä. Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua.

7 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Yhtälöitä on kolme, mutta tuntemattomia vain kaksi. Ratkaistaan kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä r ja t ja sijoitetaan saadut luvut kolmanteen yhtälöön. r4t r6t r r t 7 6t 4r6t 4 r6t 5r 5 :5 r Sijoitetaan r = yhtälöön r + = 6t. + = 6t 6t = :6 t = 6 Sijoitetaan r = ja t = kolmanteen yhtälöön r + 0 = t. () Saadut r = ja t = toteuttavat myös kolmannen yhtälön. Yhtälöryhmän ratkaisu on r = ja t =.

8 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset, jos on olemassa luku t siten, että u tv. u tv 0i6 j5 k t(0i4 j0 k) 0i6 j5k 0ti4t j0tk Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan t. 0t 0 : 0 4t 6 : ( 4) 0t 5 :0 t 0 0 t 6 4 t 5 0 Koska kaikkien yhtälöiden ratkaisuna on sama t =, ovat vektorit u ja v yhdensuuntaiset. Koska t > 0, vektorit ovat samansuuntaiset. b) Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset, jos on olemassa luku t siten, että u tv. u tv 5i6 j t(5i7 j) 5i6 j 5ti7t j Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöpari, josta ratkaistaan t.

9 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty t 5 :5 7t 6 : ( 7) 5 5 t 5 t Ei ole olemassa sellaista lukua t, että olisi u tv. Vektorit u ja v eivät ole yhdensuuntaiset. 05. Tetraedrin muotoisessa nopassa on 4 tahkoa, 4 kärkeä ja 6 särmää. Kuution muotoisessa nopassa on 6 tahkoa, 8 kärkeä ja särmää. Oktaedrissa on 8 tahkoa, 6 kärkeä ja särmää. Merkitään, että tetraedrin muotoisia noppia oli x kpl, kuution muotoisia y kpl ja oktaedrin muotoisia z kpl. Saadaan tahkojen, kärkien ja särmien määristä yhtälöryhmä. 4x6y8z 50 4x8y6z 58 6xyz 90 Muodostetaan ensimmäisestä ja toisesta sekä toisesta ja kolmannesta yhtälöstä yhtälöpari, joista eliminoidaan x. 4x6y8z 50 4x8y6z 58 : ( ) 4x8y6z 58 ( ) 6xyz 90 : 4x6y8z 50 x4yz 9 4x8y6z 58 x4y4z 0 yz 8 z Sijoitetaan z = yhtälöön y + z = 8. y + = 8 y = 0 : ( ) y = 5

10 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan y = 5 ja z = yhtälöön 4x + 6y + 8z = 50. 4x = 50 4x = 50 4x = :4 x = Tetraedrin muotoisia noppia oli kpl, kuution muotoisia 5 kpl ja oktaedrin muotoisia kpl. VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 06. a) str 5 s t r 5 str 7 Lasketaan pareittain yhteen ensimmäinen ja toinen sekä ensimmäinen ja kolmas yhtälö, jolloin saadaan eliminoitua t ja voidaan ratkaista r ja s. str 5 str 5 str 5 str 7 s r 0 s 8 : s 4 Sijoitetaan s = 4 yhtälöön s + r = r = 0 r = : r = 6 Sijoitetaan r = 6 ja s = 4 yhtälöön s + t + r = t + 6 = 5 t = 5 r = 6, s = 4 ja t = 5

11 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) ab4c5 a6bc6 a4bc abc9 a 6b c 6 a4bc5 Muodostetaan ensimmäisestä ja toisesta sekä toisesta ja kolmannesta yhtälöstä yhtälöpari, joista eliminoidaan a. abc9 a6bc6 a6bc6 a4bc5 abc9 a8bc8 abc a4bc5 0b c bc 0bc bc b 6 : b 6 Sijoitetaan b = yhtälöön 0b c =. 0 c = 5 c = 5 = c c =

12 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan b = ja c = yhtälöön a b + 4 = c 5. a + 4 = 5 a + = a = : a = a =, b = ja c = 07. a i5j k, bir jk ja crit j 5k abc i5jk ( ir j k) (rit j5 k) i5jk ir j4k 6rit j5k 4 i(5 r) j5k 6rit j5k Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan t ja r. 46r 5 r t 5 5 Alin yhtälö on aina tosi. Ratkaistaan kahdesta ylimmästä yhtälöstä r ja t. 46r 6r 4 : ( 6) r 4 6

13 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan r yhtälöön 5 r = t. 5 ( ) t 5 4 t 9 t : ( ) t 9 9 r ja t 9 9

14 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Epätosi Jotta vektorit u ja v olisivat samansuuntaiset, tulee olla sellainen luku t > 0, että u tv. Vektorin u komponentin i kerroin on positiivinen ja vektorin v komponentin 5i kerroin on negatiivinen. Ei ole olemassa sellaista positiivista lukua t, että = t ( 5). b) Tosi Vektorit u ja v ovat erisuuntaiset, jos ei ole olemassa sellaista lukua t, että u tv. u tv 8i j 5 k t( 4i 8 j 0 k) 8i j 5k 4ti 8tj 0tk Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan t. 8 4 t : ( 4) 8 t : ( 8) 5 0 t : 0 t t 8 7 t Ei ole olemassa sellaista lukua t, että u tv, joten vektorit u ja v ovat erisuuntaiset.

15 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Jotta vektorit olisivat yhtä suuret, tulee olla u = v. ( r) i j rk 4 i ( r) j 6k Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan r. r4 r 5 r r r 6 : ( ) r Koska kaikista yhtälöistä ei saada ratkaisuksi samaa r:n arvoa, lukua r ei voida valita siten, että vektorit u ja v olisivat yhtä suuret. b) Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset, jos on olemassa sellainen luku t, että u tv. u tv ( r) i j rk t(4 i ( r) j 6 k) ( r) i j rk 4 ti t( r) j 6tk Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan r. r4t tr ( ) r 6t Alimmasta yhtälöstä saadaan, että r = t. Sijoitetaan tämä ylimpään yhtälöön r = 4t. t = 4t t = Tällöin r = ( ) =. Sijoitetaan t = ja r = keskimmäiseen yhtälöön = t(r + ). = ( + ) = Luvut t = ja r = toteuttavat kaikki yhtälöt. Yhtälöryhmä toteutuu, kun r =. Luku r voidaan valita siten, että vektorit ovat yhdensuuntaiset.

16 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Nelikulmio ABCD on puolisuunnikas, jos sen kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaiset. AB(7 5) i (6 8) j ( 5 ( )) k 8i j 4k DC (7 5) i () j ( 5 7) k 44i j k Huomataan, että AB( 4i j k ) ja DC ( 4i j k ), joten nelikulmion sivuvektorit AB ja DC ovat yhdensuuntaiset. Vektorit AB ja DC ovat eripituiset, joten nelikulmio on puolisuunnikas.

17 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Hahmotellaan kuva tilanteesta. Merkitään piste, jossa käännyttiin kirjaimella P. AB su tv ( ) i ( 80) j (94) k s(i j k) t(4i k) 4i 8j 5 k (s4 t) i sj (s t) k Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan s ja t. s4t 4 s 8 st 5 Sijoitetaan s = 8 ylimpään yhtälöön s + 4t = 4. ( 8) + 4t = 4 4t = : 4 t = Sijoitetaan s = 8 ja t = alimpaan yhtälöön s + t = 5. + ( 8) = = 5 5 = 5 Luvut s = 8 ja t = toteuttavat kaikki yhtälöryhmän yhtälöt. Ratkaistaan pisteen P koordinaatit paikkavektorin avulla. OP OA su i 4k 8(i j k ) i 8j Piste P on (, 8, 0). b) Piste sijaitsee xy-tasossa, koska pisteen z-koordinaatti on 0.

18 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty u ra sb tc i j r( i k) s( i j k) t( j k) i j ( rs) i ( s t) j ( rst) k Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan r, s ja t. rs s t rst 0 Ylimmästä yhtälöstä saadaan r = s ja keskimmäisestä Sijoitetaan nämä alimpaan yhtälöön. ( s) s s 0 ss s 0 s s 4 t s. r = ( 4) = + 4 = ( 4) t 6 Saatiin u a 4b c, vektorin a suuntainen komponentti on ( i j) i 6 j.

19 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Tuntemattomia on yksi enemmän kuin yhtälöitä, joten ratkaistaan x ja y tuntemattoman z avulla. xyz x y5z ( ) xyz x y 5z y6z 0 y6 z : ( ) y z Sijoitetaan y = z ylempään yhtälöön x y + z =. x (z) + z = x z = x = z + x z y z z b) Kun z = 0, x = ja y = 0, eli lukukolmikko on x =, y = 0 ja z = 0. Kun z =, x = + = 6 ja y = =, eli lukukolmikko on x = 6, y = ja z =. Kun z =, x = + = 9 ja y = = 4, eli lukukolmikko on x = 9, y = 4 ja z =.

20 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Tuntemattomia on yksi enemmän kuin yhtälöitä, joten ratkaistaan x ja y tuntemattoman z avulla. x y4z 0 xy z 7 x y 4z 0 x 4y z 4 y6z 4 y 6z4 : yz8 Sijoitetaan y = z + 8 yhtälöön x + y + z = 7. x + ( z + 8) + z = 7 x 4z z = 7 x = z 9 : ( ) x = z + 9 xz9 y z 8 z b) xy z x y z ( ) xy z x y z y 9 : ( ) y Sijoitetaan y = yhtälöön x y + z =. x + z = x = z + 9 xz9 y z

21 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään osakerahastoihin sijoitettavaa osuutta kirjaimella x, asuntorahastoihin kirjaimella y ja korkorahastoihin kirjaimella z. Pääoma on yhteensä 5 000, eli x + y + z = Osakerahastojen tuotoksi arvioidaan 7 %. Saatava tuotto on tällöin 0,07x. Vastaavasti asuntorahastojen arvioitu tuotto on 0,0y ja korkorahaston 0,009z. Tuotoksi halutaan yhteensä 4 %, eli 0, = 600. Osakerahastossa on kaksi kertaa niin suuri pääoma kuin korkorahastossa, eli x = z. Saadaan yhtälöryhmä. x y z ,07x0,0y0,009z 600 x z Yhtälöryhmän ratkaisu on x = 5084,75, y = 77,88 ja z = 54,7. Osakerahastoihin tulisi sijoittaa 5084,75, asuntorahastoihin 77,88 ja korkorahastoihin 54,7.

22 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään kolmion yhtä kärkipistettä A = (x, y ). Kolmion muut kärkipisteet ovat B = (x, y ) ja C = (x, y ). Sivun AB keskipiste on E = (, 0), sivun AC keskipiste on D = (, ) ja sivun BC keskipiste on (4, ). Määritetään sivujen keskipisteet kolmion kärkipisteiden avulla. x x y y ja x x y y ja 0 x x y y 4 ja Saadaan yhtälöryhmät, joista ratkaistaan pisteiden koordinaatit. x x y y x x y y 0 x x y y 4 x =, x = ja x = 9; y =, y = 4 ja y = Kolmion kärkipisteet ovat (, ), (, 4) ja (9, ).

23 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 7. Ensimmäisen asteen polynomifunktion f lauseke on muotoa f(x) = dx + e. Koska funktion f kuvaajalla on pisteet (, 4) ja (5, ), on f( ) = 4 ja f(5) =. Saadaan yhtälöpari: d ( ) e4 d5e d e4 5d e Yhtälön ratkaisuksi saadaan d ja e. Funktion f lauseke on f ( x) x Funktio g on toisen asteen polynomifunktio, joten sen lauseke on muotoa g(x) = ax +bx + c. Koska funktion g kuvaajalla on pisteet (, ), (, 4) ja (5, ), niin g( ) =, g( ) = 4 ja g(5) =. Saadaan yhtälöryhmä: a( ) b( ) c a ( ) b ( ) c 4 a 5 b 5 c 9abc abc4 5a5bc

24 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Eliminoidaan kahdesta ensimmäisestä ja kahdesta viimeisestä yhtälöstä pareittain c. 9abc abc4 abc4 ( ) 5a5bc ( ) 9abc abc4 abc4 5a5bc 8ab 4a6b Ratkaistaan saaduista yhtälöistä a ja b. 8ab 4a6b 4a6b6 4a 6b b 4 : ( ) b 8a a :8 a Sijoitetaan a ja 6 c 4 6 c 4 b yhtälöön a b +c = 4. Funktion g lauseke on g( x) x x 4. 6

25 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) ts t s t Alemmasta yhtälöstä saadaan s = + t. t ( + t) + t = t + t + t = t + t = 0 4 ( ) t 5 4 t 4 tai t Kun t =, s = + =. Kun t =, s = s = ja t = tai s = = ja t =

26 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) x4y 0 x y 4 Ylemmästä yhtälöstä saadaan yhtälöön. y 4 x, joka sijoitetaan alempaan x ( x) x x x 4 : x x 64 tai x x 8 x Kun x = 8 5, y = Kun x = 8, y = 8 ( ) x = 8 ja y = 5 6.tai x = ja y = 6 5

27 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään lukuparin jäseniä x ja y. Jäsenten erotus on x y = 7 ja neliöiden erotus on x y =. Jäsenten erotuksesta saadaan y = x 7. Sijoitetaan tämä neliöiden erotuksen lausekkeisiin. x (x 7) = x x + 4x 49 = 4x = 70 : x = 5 y = 5 7 =. Luvut ovat 5 ja.

28 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Jotta pisteet olisivat samalla suoralla, tulee vektoreiden AB ja AC olla yhdensuuntaiset, eli AB t AC jollakin t:n arvolla. AB ( x) i ( 40) j (0 ( )) k ( x) i 4j k AC ( 4) i ( y0) j ( 7 ( )) k 5i yj 5k AB t AC ( x ) i 4j k t( 5i yj 5 k) ( x ) i 4j k 5ti ytj 5tk Vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan x ja y. x 5t 4 yt 5t Alimmasta yhtälöstä saadaan t = keskimmäiseen yhtälöön. x 5 ( ) 5 x 6 x 7 4 y ( ) :( ) 5 5 y 0 x = 7 ja y = 0. Sijoitetaan tämä ylimpään ja 5

29 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tarkastellaan lauseketta (x+ y +z). Koska x + y + z = 0, on myös (x+ y +z) = 0 ( x y z) 0 ( x yz)( x yz) 0 x xy xz yx y yz zx zy z 0 x y z xyxzyz 0 x y z ( xy yzzx) 0 ( xy yz zx) 0 ( xy yz zx) xy yz zx

30 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Pistetulo YDINTEHTÄVÄT. a) u v (i 4 j) ( i j) 4 5 b) u v ( i j 4 k) ( i j k) ( ) ( 4) ( ) 45 c) u v (5j k)( i k) 0 50 d) u v (i k) ( j) Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden pistetulo on 0. a) Lasketaan pistetulo u v. u v ( 6) 66 0 Vektorit u ja v ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) u v 8 (0,5) 4 ( 0,5) Koska pistetulo ei ole nolla, vektorit u ja v eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. c) u v 5 (0,) Koska pistetulo ei ole nolla, vektorit u ja v eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. d) u v 0 ( ) Vektorit u ja v ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

31 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Jotta vektoreiden välinen kulma α voidaan laskea, tarvitaan vektoreiden pistetulo ja pituudet. uv ( ) 8 + ( ) ( ) = = u 6 ( ) ( ) v 4 8 ( ) cos u v, u v 79 6 josta saadaan α = 79,94 79,9 b) uv + ( 5) = 6 5 = 9 u ( 5) 9 v 8 cos u v 9, u v 9 8 josta saadaan α =,9, c) uv = + ( ) 0 + ( ) = = 0 Koska pistetulo on nolla, ovat vektorit kohtisuorassa toisiaan vastaan, eli vektoreiden välinen kulma on 90,0.

32 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kulman ACB suuruus on arviolta 0º. Kulman BAC suuruus on 0º. b) Lasketaan kulman ACB suuruus. Kulma on vektoreiden CA ja CB välinen kulma. CA ( 4) i () j 7i j CB (5 ) i ( ) j i 4 j CA CB = 7 + ( ) ( 4) = = 0 CA ( 7) ( ) 50 CB ( 4) 0 cos CACB CA CB , josta saadaan α = 08,4 º 08,4 º Lasketaan kulman BAC suuruus. Kulma on vektoreiden AB ja AC välinen kulma. AB(5 ( 4)) i ( ) j 9i j AC CA7i j AB AC = ( ) = 6 = 60 AB 9 ( ) 90 AC 7 50 cos AB AC 60, josta saadaan α = 6,57 º 6,6 º AB AC Kulma ACB on 08,4 ja kulma BAC on 6,6.

33 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Piirretään kuva. Kolmio näyttää suorakulmaiselta. b) Kolmion kärjet ovat A = ( 6, 5, 4), B = (,, 0) ja C = (5, 4, ). Kolmion kulma B on vektoreiden BA ja BC välinen kulma. BA ( 6 ) i (5 ) j (4 0) k 8i 4 j 4k BC (5 ) i (4 ) j ( 0) k i j k Lasketaan pistetulo BA BC Koska vektoreiden pistetulo on 0, on kolmion kulma B suora kulma. Kolmio on siis suorakulmainen. 7. Kolmion samasta kärjestä lähtevät sivuvektorit ovat a i j 5k ja b 5i 4 k. Kolmion kolmas sivuvektori on a b (tai b a ). a b i j 5 k (5i 4 k) i j k Lasketaan kolmion sivuvektorien pistetulo. Jos pistetulo on nolla, kolmio on suorakulmainen. a b 5 0 ( 5) ( 4) a ( a b) ( ) ( 5) ( ) 65 0 Vektoreiden a ja a b välinen kulma on suora, joten kolmio on suorakulmainen.

34 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Appletin avulla tutkittaessa saadaan, että t =. b) Vektoreiden u ja v välinen kulma on suora, jos pistetulo on nolla. u v = t + ( ) ( t) = t 6 + t = t 6 t 6 = 0 t = 6 : t =

35 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kulma A on vektoreiden AB ja AD välinen kulma. AB(8 ( )) i ( 0) j 9i j AD(0 ( )) i (4 0) j i 4 j AB AD AB 9 85 AD 4 7 cos( AB, AD) ( AB, AD) 6,4... 6,4 Kulma C saadaan selville, kun lasketaan vektoreiden CB ja CD välinen kulma. CB (8 ) i ( ) j 6i CD (0 ) i (4 ) j i j CB CD 6() 0 CB 6 6 CD ( ) 8 cos( CB, CD) 6 8 ( CB, CD) 5 Kulma C on 60 5 = 5.

36 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Muodostetaan vektorit AB, BC ja AD. AB( ( 4)) i ( ) j 6ij BC (4 ) i ( ( )) j i 4 j AD(0 ( 4)) i (4 ) j 4i j Vektorit AB ja BC ovat erisuuntaisia. Niiden pistetulo on 6 + ( ) 4 = 0. Vektorit AB ja BC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vektorit AB ja AD ovat erisuuntaisia. Niiden pistetulo on ( ) = 4 9 = 5. Vektorit AB ja AD eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Sivut AB ja BC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, sivut AB ja AD ovat erisuuntaiset eivätkä ole kohtisuorassa tosiaan vastaan. b) CD (0 4) i (4 ) j 4i j Koska AB ( i j) ja CD ( i j ), ovat vektorit AB ja CD yhdensuuntaiset. c) Koska nelikulmion kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhtä pitkät, on nelikulmio puolisuunnikas.

37 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Piirretään kuva. Merkitään suunnikkaan kärkiä kirjaimilla A, B, C ja D. Tällöin AC v 5i 4j ja BD u i j. Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa. Määritetään sivuvektorit AB ja AD AB AC DB v u (5i 4 j) ( i j) 5 i j i j 4i j AD AC BD v u (5i 4 j) ( i j) 5 i j i j i j Sivuvektorit ovat 4i j ja i j. Sivuvektorit voivat olla myös näiden vektoreiden vastavektorit 4i j ja i j.

38 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Suunnikkaan yksi kulma on vektoreiden AB ja AD välinen kulma. Kulman laskemiseen tarvitaan vektorien pistetulo ja pituudet. AB AD 4 7 AB 4 7 AD 0 cos( AB, AD) ( AB, AD) 57, ,5 Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret ja vierekkäisten kulmien summa on 80. Suunnikkaalla on kaksi 57,5:en kulmaa ja kahden muun kulman suuruus on 80 57,5 =,47,5.. a) Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden pistetulo on nolla. uv ( r) r( ( r)) r r r r r r0 4 ( ) r 5 ( ) 6 r 4 tai r Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun r = tai r =.

39 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset, jos on olemassa luku t siten, että u tv. u tv i rj k t(i rj ( rk ) ) i rj k ti rtj ( rtk ) Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan r ja t. t rt r ( rt ) Ylimmästä yhtälöstä saadaan, että t =. Sijoitetaan tämä keskimmäiseen yhtälöön. r r r r rr 0 r 0 : r 0 Sijoitetaan t = ja r = 0 alimpaan yhtälöön. ( 0) Saadut t = ja r = 0 eivät toteuta alinta yhtälöä, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Ei voida valita lukua r siten, että vektorit olisivat yhdensuuntaiset.

40 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät ja yhdensuuntaiset. Suunnikkaan toinen lävistäjävektori on u v ja toinen lävistäjävektori u v. u v i rj 7i 4j 8 i ( r4) j u v i rj 7i 4j 6 i ( r4) j Jotta lävistäjät olisivat kohtisuorassa, tulee niiden pistetulon olla nolla. Lasketaan pistetulo. ( u v) ( u v) (8 i ( r4) j) (6 i ( r4) j) 86 ( r4)( r4) 48 6 r 64 r 64 r 0 r 64 r 8tair 8 Lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun r = 8 tai r = 8. Kun r = 8, sivuvektorit ovat u i 8 j ja v 7i 4 j. Tällöin u 8 65 ja v , eli sivuvektorit ovat yhtä pitkät ja suunnikas on tällöin neljäkäs. Samoin, kun r = 8, u i 8 j ja u ( 8) 65.

41 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Piste P on (, 0) tai (, 0). b) Kulma, jossa jana AB näkyy on vektoreiden PA ja PB välinen kulma. Jotta tämä kulma olisi suora, tulee pistetulon PA PB olla nolla. Piste P on x-akselilla, sen y-koordinaatti on 0. Koska pisteen P x-koordinaattia ei tunneta, merkitään P = (x, 0). x PA ( x) i ( 0) j ( x) i j PB (4 x) i ( 0) j (4 x) i j PAPB ( x)(4 x) 4 x 4x x x 5x 6 5x60 5 ( 5) 46 x 5 x 6 taix 4 Piste P on (, 0) tai (, 0).

42 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska kolmion kärki C sijaitsee y-akselilla, sen koordinaatit ovat muotoa (0, y). Jotta kulma C olisi suora, tulisi pisteestä C lähtevien kolmion sivuvektoreiden CA ja CB olla kohtisuorassa toisiaan vastaan. Pitää osoittaa, että pistetulo CA CB ei ole nolla. 6. a) y CA (0) i ( y) j i ( y) j CB (0) i ( y) j i ( y) j CACB ( y)( y) 6 y y y y y 4 y40 ( ) 44 y 6 5 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, joten pistetulo ei voi koskaan olla nolla. Kulma C ei siis ole koskaan suora. Vektoria u vastaan kohtisuora, saman pituinen vektori voidaan muodostaa vaihtamalla komponenttien i ja j kertoimet ja toisen kertoimen merkki. Vektorin u ai bj kanssa yhtä pitkä normaalivektori on n bi aj tai n bi aj. Lasketaan pistetulo u n abb( a) abab 0. b) Vektorin u normaalivektori on esimerkiksi 8i j ja vektorin v normaalivektori on esimerkiksi i 5 j.

43 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Vektori AB on kohtisuorassa vektoria i 4j vastaan, joten pistetulo AB (i 4 j ) on nolla. Eräs vektorin AB suuntainen vektori olisi 4i j, koska pistetulo (i 4 j) (4i j) 4 4 ( ) 0. Vektorin 4i j pituus on 4 ( ) 5 5. Myös vektorin 4i j vastavektori 4i j on kohtisuorassa vektoria i 4j vastaan. Vektorin 4i j pituus on myös 5. Vektorin AB pituus on, joten AB (4i j ) i 9 j tai AB ( 4i j ) i 9 j Määritetään pisteen B koordinaatit paikkavektorin avulla. OB OA AB i j i 9 j 7 i j tai OB i j i 9 j 7 i 9 j Piste B on ( 7, ) (, ) tai ( 7, 9 ) (, 4 )

44 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Pitää osoittaa, että vektorit a ja b ovat yhtä pitkät. Lasketaan pistetulo ( a b) ( a b) pistetulon ominaisuuksien perusteella. ( a b) ( a b) ( a b) ( a) ( a b) ( b) a( a b) b ( a b) aa ab b a b b a ab ab b a b Koska tehtävänannon mukaan ( a b) ( a b) 0, on Koska kumpikaan vektoreista ei ole nollavektori, on oltava a b 0. a b. Vektorit a ja b ovat yhtä pitkät, joten ne ovat neljäkkään sivuvektorit, jos ne asetetaan alkamaan samasta pisteestä. 9. Merkitään vektoria, joka on kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan, u xi yj zk. Tulee olla au 0 ja b u 0. au xyz xy z b u x( ) y5z xy5z Saadaan yhtälöpari xy z 0 xy5z 0 4x 6z 0 4x6 z : 4 x 6z z 4

45 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan x z yhtälöön x + y + z = 0 ja ratkaistaan y. zy z 0 y z : y z 4 x z y z 4 z Vektori, joka on kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan on muotoa zi zj zk. 4 Esimerkiksi kun z = 4 vektori on 4i 4j 4k 6i j 4k, ja 4 kun z = 8, vektori on 8i 8j 8k i j 8k. 4 Jokin näiden kanssa vastakkaissuuntainen vektori on 6i j 4 k. 40. a) Olkoon vektori a xi yj zk. Lasketaan pistetulo a a. a a ( xi yj zk ) ( xi yj zk ) xx yy zz x y z Kun a xi yj zk, on Tällöin a x y z. a x y z x y z. Näin on osoitettu, että aa a.

46 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Vektoreiden välisen kulman kaavasta saadaan cos( uv, ) u v uv u v u v u v cos( u, v) Tämän perusteella uv u v cos( u, v) Jos vektoreiden välinen kulma on välillä [0, 90], on 0 cos( uv, ). Tällöin lausekkeen u v cos( u, v ) suurin arvo on u v u v, joten uv u v. Jos vektoreiden välinen kulma on välillä ]90, 80], on cos( uv, ) < 0. Koska vektorien välisen kulman kosinin arvo on negatiivinen, saa myös lauseke u v cos( u, v ) vain negatiivisia arvoja. Tällöin itseisarvolausekkeen u v cos( u, v ) suurin arvo saavutetaan, kun cos( uv, ) on pienin. Lausekkeen u v cos( u, v ) suurin arvo on u v ( ) u v u v, joten uv u v. Tällöin pätee uv u v. 4. a) Ratkaistaan pistetulo vektorien välisen kulman kosinikaavasta. cos( uv, ) u v uv u v u v u v cos( u, v) 4 cos60 6 b) uv 6uv 6 u v cos( u, v) 64cos457 6

47 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Tosi Väite: Jos uv u v, niin u v. Vektoreiden välisen kulman kaavasta saadaan: cos( uv, ) u v. u v Tästä saadaan uv u v cos( u, v). Tällöin uv u v cos( u, v). Jos uv u v, tulee olla cos( uv, ) = tai cos( uv, ) =. cos = vain kun = 0 ja cos, vain kun = 80. Jos vektoreiden u ja v välinen kulma on 0, ovat vektorit yhdensuuntaiset. Jos vektoreiden välinen kulma on 80, vektorit ovat vastakkaissuuntaiset. b) Tosi Väite: Jos u w ja v w, niin ( u v) w. Jos vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, on niiden pistetulo nolla. On siis u w 0 ja v w 0. Lasketaan pistetulo ( u v) w. ( u v) wu wv w00 0 Koska pistetulo ( u v) w on nolla, on summavektori u v kohtisuorassa vektoria w vastaan. c) Tosi u v u v 0 0 cos( u, v ) u v u v 0 0 Vektori u on vektorin u suuntainen yksikkövektori ja vektori v 0 0 vektorin v suuntainen yksikkövektori. On siis cos( u, v ) cos( u, v). Tällöin 0 0 cos( uv, ) u v.

48 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Muodostetaan vektorit PA ja PB. PA( 0) i (0 0) j (0 5) k i 5k PB(0 0) i ( 0) j (0 5) k j 5k Vektoreiden PA ja PB välisen kulman laskemiseksi tarvitaan pistetulo PA PB ja vektoreiden pituudet. PAPB 00 ( 5) ( 5) 5 PA ( ) ( 5) 9 PB ( 5) 9 cos( PA, PB) PA PB 5 PA PB 9 9 ( PA, PB) 0, ,5 Sivusärmien PA ja PB välinen kulma on 0,5.

49 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Monitahokas on säännöllinen tetraedri, jos sen kaikkien särmien pituus on sama. Merkitään kärjet O = (0, 0, 0), A = (,, 0), B = (0,, ) ja C = (, 0, ). Muodostetaan sivuvektorit OB, OC, OD, AB, AC ja BC ja lasketaan näiden pituudet. OA i j OB j k OC i k AB (0 ) i ( ) j ( 0) k i k AC ( ) i (0 ) j ( 0) k j k BC ( 0) i (0 ) j ( ) k i j Kaikissa vektoreissa on kaksi komponenttia, joiden kerroin on tai. Kaikkien vektoreiden pituus on sama,. Monitahokas on säännöllinen tetraedri. Särmän ja tahkon välinen kulma on sama kuin särmän ja särmän projektion eli tahkon korkeusjanan välinen kulma. Tahkon korkeusjana puolittaa särmän.

50 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään kirjaimella D särmän AC keskipistettä. Särmän ja tahkon välinen kulma on vektoreiden BD ja BO välinen kulma. Piste D on (, 0, 0 ) (,, ). BD( 0) i ( ) j ( ) k i j k BOOBj k BD BO 0 ( )( ) ( )( ) BD ( ) ( ) BO cos( BD, BO) BD BO BD BO ( BD, BO) 54, ,7 Särmän ja tahkon välinen kulma on 54,7.

51 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 45. a) Vektoreiden välinen kulma on terävä, kun cos( uv, ) positiivinen. Tällöin myös pistetulo u v on positiivinen, koska u v u v cos( u, v), ja vektorien pituudet ovat aina positiivisia. Lasketaan pistetulo u v. uv t( t) ( t) ( ) t 4ttt 7t Tutkitaan polynomin t 7t + merkkiä. Polynomin kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Lasketaan nollakohdat. t 7t0 7 ( 7) 4 t t tait 4 t 7t + > 0, kun t tai t >. Vektoreiden välinen kulma on terävä, kun t tai t >. b) Vektoreiden välinen kulma on suora, kun pistetulo u v nolla. Pistetulo on nolla a-kohdan perusteella, kun t tai t =. c) Vektoreiden välinen kulma on terävä, kun cos( uv, ) negatiivinen. Tällöin myös pistetulo u v on negatiivinen, koska u v u v cos( u, v), ja vektorien pituudet ovat aina positiivisia. a-kohdan perusteella u v 0, kun t.

52 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Merkitään funktion f kuvaajalla olevaan pistettä kirjaimella P ja pistettä (, 0) kirjaimella A. Kulma, jossa origon ja pisteen A välinen jana näkyy on vektorien PO ja PA välinen kulma. Piste P on funktion f(x) = x + kuvaajalla, joten pisteen y-koordinaatti on x +. Piste P = (x, x + ). PO OP xi (0 (x )) j xi (x ) j PA ( x) i (x ) j Jana näkyy terävässä kulmassa, jos pistetulo PO PA on positiivinen. PO PA x ( x) (x )(x ) x x (4x 4x ) 5x x Polynomin 5x + x + kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Jotta polynomin arvo olisi aina positiivinen, sillä ei saa olla nollakohtia, eli yhtälön 5x + x + = 0 diskriminantti on negatiivinen. D = 4 5 = 9 0 = < 0 Pistetulo PO PA on kaikilla x:n arvoilla negatiivinen, joten kulma, jossa origon ja pisteen A välinen jana näkyy jokaisesta funktion f(x) = x + kuvaajan pisteestä, on terävä.

53 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska a b ( xx) i ( y y) j ( z z) k, niin a b ( x x ) ( y y ) ( z z ). Näin ollen ( ) ( ) ( ) x xx x y yy y z zz z ( x y z ) ( x y z ) xx yy zz a b ( xx yy zz) a b x x y y z z a b ab 48. Pisteen P, joka on paraabelilla y = x, koordinaatit ovat (x, x ). Merkitään A = (0, ). Kulma, josta jana näkyy, on vektorien PO ja PA välinen kulma. Jotta kulma olisi suora, tulee pistetulon PO PA olla nolla. PO OP xi x j PA(0 x) i ( x ) j xi ( x ) j 4 4 PO PA x ( x) ( x )( x ) x x x x x 4 x x 0 x ( x ) 0 x 0taix 0 x0 x x tai x Kun x = 0, on piste P = (0, 0). Tällöin vektori PO on nollavektori, eikä vektorien PO ja PA väliin muodostu kulmaa. Pisteet, joista origon ja pisteen (0, ) välinen jana näkyy suorassa kulmassa ovat (, ) (,) ja (,( ) ) (,).

54 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) a b ( a b) ( a b) ( a b) a ( a b) b aa ab ab 4b b a 4ab 4b a 4 a b cos( a, b) 4b 4cos a b 5 b) a b (a b)(a b) 4aa ab 9b b 4 a ab 9b 4 ab 9 97 ab 97 ab 7 ab ab 48 : ab 4 a b a 4ab 4b 4 ( 4) a b 4 6

55 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kehäkulma C on vektoreiden CA ja CB välinen kulma. Koska kyseessä on puoliympyrä, on a b ja a b c. CA CO OA c a c b CB CO OB c b CACB ( c b ) ( c b ) c c b c b c b b c b 0 Koska pistetulo on nolla, ovat vektorit CA ja CB kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten kulma C on suora. 5. Piirretään kuva. Merkitään AB a, AC b ja BC c. Koska nelikulmio ABCD on suorakulmio, on ac 0. AB AC AB ( AB BC) a ( a c aaac a 0 a )

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.

Tekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r.

Tekijä Pitkä matematiikka Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. Tekijä Pitkä matematiikka 4 16.12.2016 K1 Poistetaan yhtälöparista muuttuja s ja ratkaistaan muuttuja r. 3 r s = 0 4 r+ 4s = 2 12r 4s = 0 + r+ 4s = 2 13 r = 2 r = 2 13 2 Sijoitetaan r = esimerkiksi yhtälöparin

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1)

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. 8 ( 1) Kertaus K1. a) OA i k b) B = (, 0, 5) K. K. a) AB (6 ( )) i () ( ( 7)) k 8i 4k AB 8 ( 1) 4 64116 819 b) 1 1 AB( ( 1)) i 1 i 4 AB ( ) ( 4) 416 0 45 5 K4. a) AB AO OB OA OB ( i ) i i i 5i b) Pisteen A paikkavektori

Lisätiedot

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.

0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5

Tekijä Pitkä matematiikka On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 4 5 Tekijä Pitkä matematiikka 6..06 8 On osoitettava, että jana DE sivun AB kanssa yhdensuuntainen ja sen pituus on 5 sivun AB pituudesta. Pitää siis osoittaa, että DE = AB. 5 Muodostetaan vektori DE. DE =

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( )

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. b) B = (3, 0, 5) K2. ( ) Kertaus K1. a) OA =- i + j + k K. b) B = (, 0, 5) K. a) AB = (6 -(- )) i + ( - ) j + (- -(- 7)) k = 8i - j + 4k AB = 8 + (- 1) + 4 = 64+ 1+ 16 = 81= 9 b) 1 1 ( ) AB = (--(- 1)) i + - - 1 j =-i - 4j AB

Lisätiedot

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste

MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste MAA15 Vektorilaskennan jatkokurssi, tehtävämoniste Tason ja avaruuden vektorit 1. Olkoon A(, -, 4) ja B(5, -1, -3). a) Muodosta pisteen A paikkavektori. b) Muodosta vektori AB. c) Laske vektorin AB pituus.

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).

Tekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä

Lisätiedot

Juuri Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vektorit. Vektori LUVUN. YDINTEHTÄVÄT 0. Piste P jakaa janan BC suhteessa : eli kahteen yhtä suureen osaan. Siten CP CB u ja DP DC CP DC CBv u u v. Vastaavasti DQ DA AQ DA ABu v. 7 7 0. a) Pisteen koordinaatit

Lisätiedot

2 Vektorit koordinaatistossa

2 Vektorit koordinaatistossa Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5..06 Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

2 Vektorit koordinaatistossa

2 Vektorit koordinaatistossa Vektorit koordinaatistossa Ennakkotehtävät. Esimerkiksi 4i 4i4i i 4i Kaikkien reittien esitysmuoto vektoreiden i a avulla lausuttuna on sama. . a) Vektorin 4i komponentit muodostavat suorakulmaisen kolmion,

Lisätiedot

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d.

c) Vektorit ovat samat, jos ne ovat samansuuntaiset ja yhtä pitkät. Vektorin a kanssa sama vektori on vektori d. Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 20 a) Vektorin a kanssa samansuuntaisia ovat vektorit b ja d. b) Vektorit ovat erisuuntaiset, jos ne eivät ole yhdensuuntaiset (samansuuntaiset tai vastakkaissuuntaiset).

Lisätiedot

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota.

A-osio. Tehdään ilman laskinta ja taulukkokirjaa! Valitse tehtävistä A1-A3 kaksi ja vastaa niihin. Maksimissaan tunti aikaa suorittaa A-osiota. MAA5.2 Loppukoe 24.9.2013 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! A1. A-osio. Tehdään

Lisätiedot

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48

Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. Vastaus: a) 90 b) 60 c) 216 d) 1260 e) 974,03 f) ,48 Trigonometriset funktiot 169. Muutetaan asteet radiaaneiksi. 180 astetta on radiaaneina π eli 180 = π rad Tällöin 1 rad. 180 45 1 a) 45 180 4 4 65 1 b) 65 180 6 10 c) 10 180 5 5 d) 5 180 4 40 7 e) 40 180

Lisätiedot

VEKTORIT paikkavektori OA

VEKTORIT paikkavektori OA paikkavektori OA Piste A = (2, -1) Paikkavektori OA = 2i j 3D: kuvan piirtäminen hankalaa Piste A = (2, -3, 4) Paikkavektori OA = 2i 3j + 4k Piste A = (a 1, a 2, a 3 ) Paikkavektori OA = a 1 i + a 2 j

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Vektori Ennakkotehtävät.. Laiva etenee aikayksikössä aina nuolen pituuden verran. Jatketaan laivojen kulkua osoittavia nuolia, jolloin saadaan selville laivan sijainti yhden, kahden, kolmen jne. aikayksikön

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

169. 170. 171. 172. 173. 174. 5. Geometriset avaruudet. 5.1. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.

TASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö. TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Mb8 Koe 4.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/3 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta

Ota tämä paperi mukaan, merkkaa siihen omat vastauksesi ja tarkista oikeat vastaukset klo 11:30 jälkeen osoitteesta MAA5.2 Loppukoe 26.9.2012 Jussi Tyni Valitse 6 tehtävää Muista merkitä vastauspaperiin oma nimesi ja tee etusivulle pisteytysruudukko Kaikkiin tehtävien ratkaisuihin välivaiheet näkyviin! 1. Olkoon vektorit

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.

1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus. Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

2 Raja-arvo ja jatkuvuus

2 Raja-arvo ja jatkuvuus Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti

Lisätiedot

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa.

a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. Tekijä MAA3 Geometria 14.8.2016 1 a) Arkistokatu ja Maaherrankatu ovat yhdensuuntaiset. Väite siis pitää paikkansa. b) Pirttiniemenkatu ja Tenholankatu eivät ole yhdensuuntaisia. Väite ei siis pidä paikkaansa.

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 17.10.016 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ 1. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 180. Kolmannen kulman

Lisätiedot

HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Millä vektorin c arvoilla voidaan vektoreita a + b, a + c ja b +2 c siirtelemällä muodostaa kolmio?

HARJOITUSTEHTÄVIÄ. Millä vektorin c arvoilla voidaan vektoreita a + b, a + c ja b +2 c siirtelemällä muodostaa kolmio? Pitkäranta: Calculus Fennicus II.2. Tason vektorit Koska ilmeisesti pätee v 1, v 2 W v 1 + v 2 W, v W λ v W λ R, on W itsekin vektoriavaruus. Sen kantaan tarvitaan vain yksi vektori, esim a, joten dim

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat

Harjoitustehtävät, syyskuu Helpommat Harjoitustehtävät, syyskuu 2011. Helpommat Ratkaisuja 1. Ratkaise yhtälö a a + x = x. Ratkaisu. Ratkaistaan yhtälö reaalilukujen joukossa. Jos yhtälöllä onratkaisux, niin x 0. Jos a =0,yhtälöllä onratkaisux

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI

11 MATEMAATTINEN ANALYYSI Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

Vektorit, suorat ja tasot

Vektorit, suorat ja tasot , suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 180 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 8 Päivitetty 7.5.6 Pyramidi 4 Luku 5..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 56 vastaus Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien

Lisätiedot

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 2 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K. a) E Nouseva suora. b) A 5. asteen polynomifunktio, pariton funktio Laskettu piste f() = 5 =, joten piste (, ) on kuvaajalla. c) D Paraabelin mallinen, alaspäin aukeava. Laskettu piste f() =

Lisätiedot

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla

3 Vektorin kertominen reaaliluvulla 3 Vektorin kertominen reaaliluvulla Summalla a + a + a tarkoitetaan lausekkeessa esiintyvän vektorin a kanssa samansuuntaista, mutta pituudeltaan tähän nähden kolminkertaista vektoria. Tätä summaa on tarkoituksenmukaista

Lisätiedot

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R},

Suora. Määritelmä. Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko. { p + t v t R}, Määritelmä Suora Oletetaan, että n = 2 tai n = 3. Avaruuden R n suora on joukko { p + t v t R}, missä p, v R n ja v 0. Tässä p on suoran jonkin pisteen paikkavektori ja v on suoran suuntavektori. v p LM1,

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2 Mb8 Koe 0.11.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Tehtävien ratkaisut

Tehtävien ratkaisut Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.

Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v. Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. A III, B II, C ei mikään, D I. a) Kolmion kulmien summa on 80. Kolmannen kulman suuruus on 80 85 0 85. Kolmiossa on kaksi 85 :n kulmaa, joten se on tasakylkinen.

Lisätiedot

2 Kuvioita ja kappaleita

2 Kuvioita ja kappaleita Kuvioita ja kappaleita.1 Suorakulmaisen kolmion geometriaa 97. a) Kolmion kateettien pituudet ovat 5 ja 39. Hypotenuusan pituutta on merkitty kirjaimella. Sijoitetaan arvot Pythagoraan lauseeseen. 5 (

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.

Yhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts.

Vektorin paikalla avaruudessa ei ole merkitystä. Esimerkiksi yllä olevassa kuvassa kaikki kolme vektoria ovat samoja, ts. 49 3 VEKTORIT 3.1 VEKTORIN KÄSITE Vektori on suure, jolla suuruuden lisäksi on myös suunta (esim. kiihtyvyys). Skalaari puolestaan on suure, jolla on vain suuruus (esim. tiheys). Vektori graafisesti: Vektorin

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a)

Tekijä MAA2 Polynomifunktiot ja -yhtälöt = Vastaus a) K1 a) Tekijä MAA Polynomifunktiot ja -yhtälöt 6.8.016 ( + + ) + ( ) = + + + = + + + = + 4 b) 4 4 ( 5 + ) ( 5 + 1) = 5 + + 5 + 1 4 = + + + 4 = + 5 5 1 1 Vastaus a) 4 + b) 4 + 1 K a) f ( ) = + 1 f () = +

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.2.2016 Susanna Hurme Tervetuloa kurssille! Mitä on statiikka? Mitä on dynamiikka? Miksi niitä opiskellaan? Päivän aihe: Voiman käsite ja partikkelin tasapaino

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.

1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1. ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio

Geometriaa kuvauksin. Siirto eli translaatio Geometriaa kuvauksin Siirto eli translaatio Janan AB kuva on jana A B ja ABB A on suunnikas. Suora kuvautuu itsensä kanssa yhdensuuntaiseksi suoraksi. Kulmat säilyvät. Kuva ja alkukuva ovat yhtenevät.

Lisätiedot

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018

BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2018 1. (a) Tunnemme vektorit a = [ 5 1 1 ] ja b = [ 2 0 1 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x

MAA02. A-osa. 1. Ratkaise. a) x 2 + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x MAA0 A-osa. Ratkaise. a) x + 6x = 0 b) (x + 4)(x 4) = 9 a) 3x 6x a) Kirjoitetaan summa x + 6x yhteisen tekijän avulla tulomuotoon ja ratkaistaan yhtälö tulon nollasäännön avulla. x + 6x = 0 x(x + 6) =

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Juurifunktio Ennakkotehtävät. a) = 6, koska 4 = 6 b) + = 6, eli = 4 c) + = + + =0 4 ( ) ( ) tai Ratkaisuista = ei toteuta alkuperäistä yhtälöä, koska. Luvun tulee siis olla. . a) b) f ( ) ( ) (6) 44 9

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen

Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen Hilbertin aksioomat ja tarvittavat määritelmät Tiivistelmä Geometria-luentomonisteesta Heikki Pitkänen 1. Hilbertin aksioomat 1-3 Oletetaan tunnetuiksi peruskäsitteet: piste, suora ja suora kulkee pisteen

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km

5 TASOGEOMETRIA. ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 23,5 m eri yksiköihin. 23,5 m = 235 dm = 2350 cm = mm ja 23,5 m = 0,0235 km Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 30.7.018 5 TASOGEOMETRIA ALOITA PERUSTEISTA 190A. Muunnetaan 3,5 m eri yksiköihin. 3,5 m = 35 dm = 350 cm = 3 500 mm ja 3,5 m = 0,035

Lisätiedot

Yleistä vektoreista GeoGebralla

Yleistä vektoreista GeoGebralla Vektoreita GeoGebralla Vektoreilla voi laskea joko komentopohjaisesti esim. CAS-ikkunassa tai piirtämällä piirtoikkunassa. Ensimmäisen tavan etuna on, että laskujen tueksi muodostuu kuva. Tästä on varmasti

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA

PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA PERUSKOULUN MATEMATIIKKAKILPAILU LOPPUKILPAILU PERJANTAINA 4..005 OSA 1 Laskuaika 30 min Pistemäärä 0 pistettä 1. Mikä on lukujonon seuraava jäsen? Minkä säännön mukaan lukujono muodostuu? 1 4 5 1 1 1

Lisätiedot

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty

( 3) ( 5) ( 7) ( 2) ( 6) ( 4) Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 105 Päivitetty Pyramidi 3 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 15 Päivitetty 19..6 31 Tapa 1 Ratkaistaan yhtälöryhmä käyttämällä sijoituskeinoa. x y+ z = x y + 3z = 3x 4y+ z = Ratkaistaan yhtälöstä (1) muuttuja

Lisätiedot