3 Yhtälöryhmä ja pistetulo

Transkriptio

1 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Yhtälöryhmä ja pistetulo Ennakkotehtävät. z = x y, x y + z = 6 ja 4x + y + z = Sijoitetaan z = x y muihin yhtälöihin. x y + x y = 6 x 4y = 6 4x + y + x y = x + y = On saatu kaksi yhtälöä, joissa muuttujina x ja y. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan x ja y. x4y 6 x y 4 x4y 6 x 4y 4 0x 0 : ( 0) x Sijoitetaan x = alempaan yhtälöön x + y =. ( ) + y = + y = y = Ratkaistaan z yhtälöstä z = x y. z = ( ) = + = Luvut x =, y = ja z = toteuttavat yhtälöt.

2 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Jos z =, yhtälöt ovat x y + = 6 ja x + y + =. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan x ja y. x y6 x y x y5 x y x 6 : ( ) x Sijoitetaan x = yhtälöön x + y =. ( ) + y = 9 + y = y = 8 x = ja y = 8 b) Jos z =, yhtälöt ovat x y + = 6 ja x + y + =. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan x ja y. x y6 x y x y4 x y 0 x 4 :( ) x Sijoitetaan x = yhtälöön x + y = 0. ( ) + y = y = 0 y = 6 x = ja y = 6

3 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) Jos z = t, yhtälöt ovat x y + t = 6 ja x + y + t =. Muodostetaan yhtälöpari ja ratkaistaan x ja y. x yt 6 x yt x y 6 t x y t x 4 t : ( ) xt Sijoitetaan x = + t yhtälöön x + y + t =. ( + t) + y + t = 6 t + y + t = y = t 4 x = + t ja y = t 4

4 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Yhtälöryhmä YDINTEHTÄVÄT 0. II Sijoitetaan luvut x =, y = ja z = yhtälöryhmään () Luvut toteuttavat yhtälöryhmän. 0. a) x yz 7 x y z x yz 6 Muodostetaan ensimmäisestä ja toisesta sekä toisesta ja kolmannesta yhtälöstä yhtälöpari, joista eliminoidaan y. x yz 7 x y z x y z x y z 6 z 9 : x z 8 z Sijoitetaan z = yhtälöön x + z = 8. x + = 8 x + 6 = 8 x = Sijoitetaan x = ja z = ensimmäiseen yhtälöön x + y + z = 7. + y + = 7 + y + 6 = 7 y = x =, y = ja z =

5 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) x y z 4 x y z 8 xy z 4 Muodostetaan ensimmäisestä ja toisesta sekä toisesta ja kolmannesta yhtälöstä yhtälöpari, joista eliminoidaan y. x yz4 ( ) xyz 8 xyz8 xyz 4 ( ) 4xyz 8 xyz 8 xyz 8 xyz 4 x z 0 x z 4 Muodostetaan saaduista yhtälöistä yhtälöpari ja ratkaistaan x ja z. xz 0 ( ) xz4 6xz 0 x z 4 4x 4 : 4 x Sijoitetaan x = yhtälöön x + z = 0. + z = 0 z = Sijoitetaan x = ja z = yhtälöön x + y + z = 4. + y + = 4 + y + = 4 y = x =, y = ja z =

6 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Yhtälöitä on kolme, mutta tuntemattomia vain kaksi. Ratkaistaan kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä x ja y. Sijoitetaan saadut luvut kolmanteen yhtälöön ja tarkistetaan, toteuttaako saadut luvut myös kolmannen yhtälön. x x y y5 xy xy 5 x : x Sijoitetaan x = kolmanteen yhtälöön x + y =. + y = y = 4 : y = Sijoitetaan x = ja y = yhtälöön x = y +. ( ) = + = Saadut x ja y eivät toteuta kolmatta yhtälöä. Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua.

7 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Yhtälöitä on kolme, mutta tuntemattomia vain kaksi. Ratkaistaan kahdesta ensimmäisestä yhtälöstä r ja t ja sijoitetaan saadut luvut kolmanteen yhtälöön. r4t r6t r r t 7 6t 4r6t 4 r6t 5r 5 :5 r Sijoitetaan r = yhtälöön r + = 6t. + = 6t 6t = :6 t = 6 Sijoitetaan r = ja t = kolmanteen yhtälöön r + 0 = t. () Saadut r = ja t = toteuttavat myös kolmannen yhtälön. Yhtälöryhmän ratkaisu on r = ja t =.

8 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset, jos on olemassa luku t siten, että u tv. u tv 0i6 j5 k t(0i4 j0 k) 0i6 j5k 0ti4t j0tk Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan t. 0t 0 : 0 4t 6 : ( 4) 0t 5 :0 t 0 0 t 6 4 t 5 0 Koska kaikkien yhtälöiden ratkaisuna on sama t =, ovat vektorit u ja v yhdensuuntaiset. Koska t > 0, vektorit ovat samansuuntaiset. b) Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset, jos on olemassa luku t siten, että u tv. u tv 5i6 j t(5i7 j) 5i6 j 5ti7t j Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöpari, josta ratkaistaan t.

9 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty t 5 :5 7t 6 : ( 7) 5 5 t 5 t Ei ole olemassa sellaista lukua t, että olisi u tv. Vektorit u ja v eivät ole yhdensuuntaiset. 05. Tetraedrin muotoisessa nopassa on 4 tahkoa, 4 kärkeä ja 6 särmää. Kuution muotoisessa nopassa on 6 tahkoa, 8 kärkeä ja särmää. Oktaedrissa on 8 tahkoa, 6 kärkeä ja särmää. Merkitään, että tetraedrin muotoisia noppia oli x kpl, kuution muotoisia y kpl ja oktaedrin muotoisia z kpl. Saadaan tahkojen, kärkien ja särmien määristä yhtälöryhmä. 4x6y8z 50 4x8y6z 58 6xyz 90 Muodostetaan ensimmäisestä ja toisesta sekä toisesta ja kolmannesta yhtälöstä yhtälöpari, joista eliminoidaan x. 4x6y8z 50 4x8y6z 58 : ( ) 4x8y6z 58 ( ) 6xyz 90 : 4x6y8z 50 x4yz 9 4x8y6z 58 x4y4z 0 yz 8 z Sijoitetaan z = yhtälöön y + z = 8. y + = 8 y = 0 : ( ) y = 5

10 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan y = 5 ja z = yhtälöön 4x + 6y + 8z = 50. 4x = 50 4x = 50 4x = :4 x = Tetraedrin muotoisia noppia oli kpl, kuution muotoisia 5 kpl ja oktaedrin muotoisia kpl. VAHVISTAVAT TEHTÄVÄT 06. a) str 5 s t r 5 str 7 Lasketaan pareittain yhteen ensimmäinen ja toinen sekä ensimmäinen ja kolmas yhtälö, jolloin saadaan eliminoitua t ja voidaan ratkaista r ja s. str 5 str 5 str 5 str 7 s r 0 s 8 : s 4 Sijoitetaan s = 4 yhtälöön s + r = r = 0 r = : r = 6 Sijoitetaan r = 6 ja s = 4 yhtälöön s + t + r = t + 6 = 5 t = 5 r = 6, s = 4 ja t = 5

11 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) ab4c5 a6bc6 a4bc abc9 a 6b c 6 a4bc5 Muodostetaan ensimmäisestä ja toisesta sekä toisesta ja kolmannesta yhtälöstä yhtälöpari, joista eliminoidaan a. abc9 a6bc6 a6bc6 a4bc5 abc9 a8bc8 abc a4bc5 0b c bc 0bc bc b 6 : b 6 Sijoitetaan b = yhtälöön 0b c =. 0 c = 5 c = 5 = c c =

12 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan b = ja c = yhtälöön a b + 4 = c 5. a + 4 = 5 a + = a = : a = a =, b = ja c = 07. a i5j k, bir jk ja crit j 5k abc i5jk ( ir j k) (rit j5 k) i5jk ir j4k 6rit j5k 4 i(5 r) j5k 6rit j5k Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan t ja r. 46r 5 r t 5 5 Alin yhtälö on aina tosi. Ratkaistaan kahdesta ylimmästä yhtälöstä r ja t. 46r 6r 4 : ( 6) r 4 6

13 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan r yhtälöön 5 r = t. 5 ( ) t 5 4 t 9 t : ( ) t 9 9 r ja t 9 9

14 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Epätosi Jotta vektorit u ja v olisivat samansuuntaiset, tulee olla sellainen luku t > 0, että u tv. Vektorin u komponentin i kerroin on positiivinen ja vektorin v komponentin 5i kerroin on negatiivinen. Ei ole olemassa sellaista positiivista lukua t, että = t ( 5). b) Tosi Vektorit u ja v ovat erisuuntaiset, jos ei ole olemassa sellaista lukua t, että u tv. u tv 8i j 5 k t( 4i 8 j 0 k) 8i j 5k 4ti 8tj 0tk Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan t. 8 4 t : ( 4) 8 t : ( 8) 5 0 t : 0 t t 8 7 t Ei ole olemassa sellaista lukua t, että u tv, joten vektorit u ja v ovat erisuuntaiset.

15 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Jotta vektorit olisivat yhtä suuret, tulee olla u = v. ( r) i j rk 4 i ( r) j 6k Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan r. r4 r 5 r r r 6 : ( ) r Koska kaikista yhtälöistä ei saada ratkaisuksi samaa r:n arvoa, lukua r ei voida valita siten, että vektorit u ja v olisivat yhtä suuret. b) Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset, jos on olemassa sellainen luku t, että u tv. u tv ( r) i j rk t(4 i ( r) j 6 k) ( r) i j rk 4 ti t( r) j 6tk Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan r. r4t tr ( ) r 6t Alimmasta yhtälöstä saadaan, että r = t. Sijoitetaan tämä ylimpään yhtälöön r = 4t. t = 4t t = Tällöin r = ( ) =. Sijoitetaan t = ja r = keskimmäiseen yhtälöön = t(r + ). = ( + ) = Luvut t = ja r = toteuttavat kaikki yhtälöt. Yhtälöryhmä toteutuu, kun r =. Luku r voidaan valita siten, että vektorit ovat yhdensuuntaiset.

16 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Nelikulmio ABCD on puolisuunnikas, jos sen kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaiset. AB(7 5) i (6 8) j ( 5 ( )) k 8i j 4k DC (7 5) i () j ( 5 7) k 44i j k Huomataan, että AB( 4i j k ) ja DC ( 4i j k ), joten nelikulmion sivuvektorit AB ja DC ovat yhdensuuntaiset. Vektorit AB ja DC ovat eripituiset, joten nelikulmio on puolisuunnikas.

17 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Hahmotellaan kuva tilanteesta. Merkitään piste, jossa käännyttiin kirjaimella P. AB su tv ( ) i ( 80) j (94) k s(i j k) t(4i k) 4i 8j 5 k (s4 t) i sj (s t) k Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan s ja t. s4t 4 s 8 st 5 Sijoitetaan s = 8 ylimpään yhtälöön s + 4t = 4. ( 8) + 4t = 4 4t = : 4 t = Sijoitetaan s = 8 ja t = alimpaan yhtälöön s + t = 5. + ( 8) = = 5 5 = 5 Luvut s = 8 ja t = toteuttavat kaikki yhtälöryhmän yhtälöt. Ratkaistaan pisteen P koordinaatit paikkavektorin avulla. OP OA su i 4k 8(i j k ) i 8j Piste P on (, 8, 0). b) Piste sijaitsee xy-tasossa, koska pisteen z-koordinaatti on 0.

18 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty u ra sb tc i j r( i k) s( i j k) t( j k) i j ( rs) i ( s t) j ( rst) k Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan r, s ja t. rs s t rst 0 Ylimmästä yhtälöstä saadaan r = s ja keskimmäisestä Sijoitetaan nämä alimpaan yhtälöön. ( s) s s 0 ss s 0 s s 4 t s. r = ( 4) = + 4 = ( 4) t 6 Saatiin u a 4b c, vektorin a suuntainen komponentti on ( i j) i 6 j.

19 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Tuntemattomia on yksi enemmän kuin yhtälöitä, joten ratkaistaan x ja y tuntemattoman z avulla. xyz x y5z ( ) xyz x y 5z y6z 0 y6 z : ( ) y z Sijoitetaan y = z ylempään yhtälöön x y + z =. x (z) + z = x z = x = z + x z y z z b) Kun z = 0, x = ja y = 0, eli lukukolmikko on x =, y = 0 ja z = 0. Kun z =, x = + = 6 ja y = =, eli lukukolmikko on x = 6, y = ja z =. Kun z =, x = + = 9 ja y = = 4, eli lukukolmikko on x = 9, y = 4 ja z =.

20 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Tuntemattomia on yksi enemmän kuin yhtälöitä, joten ratkaistaan x ja y tuntemattoman z avulla. x y4z 0 xy z 7 x y 4z 0 x 4y z 4 y6z 4 y 6z4 : yz8 Sijoitetaan y = z + 8 yhtälöön x + y + z = 7. x + ( z + 8) + z = 7 x 4z z = 7 x = z 9 : ( ) x = z + 9 xz9 y z 8 z b) xy z x y z ( ) xy z x y z y 9 : ( ) y Sijoitetaan y = yhtälöön x y + z =. x + z = x = z + 9 xz9 y z

21 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään osakerahastoihin sijoitettavaa osuutta kirjaimella x, asuntorahastoihin kirjaimella y ja korkorahastoihin kirjaimella z. Pääoma on yhteensä 5 000, eli x + y + z = Osakerahastojen tuotoksi arvioidaan 7 %. Saatava tuotto on tällöin 0,07x. Vastaavasti asuntorahastojen arvioitu tuotto on 0,0y ja korkorahaston 0,009z. Tuotoksi halutaan yhteensä 4 %, eli 0, = 600. Osakerahastossa on kaksi kertaa niin suuri pääoma kuin korkorahastossa, eli x = z. Saadaan yhtälöryhmä. x y z ,07x0,0y0,009z 600 x z Yhtälöryhmän ratkaisu on x = 5084,75, y = 77,88 ja z = 54,7. Osakerahastoihin tulisi sijoittaa 5084,75, asuntorahastoihin 77,88 ja korkorahastoihin 54,7.

22 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään kolmion yhtä kärkipistettä A = (x, y ). Kolmion muut kärkipisteet ovat B = (x, y ) ja C = (x, y ). Sivun AB keskipiste on E = (, 0), sivun AC keskipiste on D = (, ) ja sivun BC keskipiste on (4, ). Määritetään sivujen keskipisteet kolmion kärkipisteiden avulla. x x y y ja x x y y ja 0 x x y y 4 ja Saadaan yhtälöryhmät, joista ratkaistaan pisteiden koordinaatit. x x y y x x y y 0 x x y y 4 x =, x = ja x = 9; y =, y = 4 ja y = Kolmion kärkipisteet ovat (, ), (, 4) ja (9, ).

23 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 7. Ensimmäisen asteen polynomifunktion f lauseke on muotoa f(x) = dx + e. Koska funktion f kuvaajalla on pisteet (, 4) ja (5, ), on f( ) = 4 ja f(5) =. Saadaan yhtälöpari: d ( ) e4 d5e d e4 5d e Yhtälön ratkaisuksi saadaan d ja e. Funktion f lauseke on f ( x) x Funktio g on toisen asteen polynomifunktio, joten sen lauseke on muotoa g(x) = ax +bx + c. Koska funktion g kuvaajalla on pisteet (, ), (, 4) ja (5, ), niin g( ) =, g( ) = 4 ja g(5) =. Saadaan yhtälöryhmä: a( ) b( ) c a ( ) b ( ) c 4 a 5 b 5 c 9abc abc4 5a5bc

24 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Eliminoidaan kahdesta ensimmäisestä ja kahdesta viimeisestä yhtälöstä pareittain c. 9abc abc4 abc4 ( ) 5a5bc ( ) 9abc abc4 abc4 5a5bc 8ab 4a6b Ratkaistaan saaduista yhtälöistä a ja b. 8ab 4a6b 4a6b6 4a 6b b 4 : ( ) b 8a a :8 a Sijoitetaan a ja 6 c 4 6 c 4 b yhtälöön a b +c = 4. Funktion g lauseke on g( x) x x 4. 6

25 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) ts t s t Alemmasta yhtälöstä saadaan s = + t. t ( + t) + t = t + t + t = t + t = 0 4 ( ) t 5 4 t 4 tai t Kun t =, s = + =. Kun t =, s = s = ja t = tai s = = ja t =

26 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) x4y 0 x y 4 Ylemmästä yhtälöstä saadaan yhtälöön. y 4 x, joka sijoitetaan alempaan x ( x) x x x 4 : x x 64 tai x x 8 x Kun x = 8 5, y = Kun x = 8, y = 8 ( ) x = 8 ja y = 5 6.tai x = ja y = 6 5

27 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään lukuparin jäseniä x ja y. Jäsenten erotus on x y = 7 ja neliöiden erotus on x y =. Jäsenten erotuksesta saadaan y = x 7. Sijoitetaan tämä neliöiden erotuksen lausekkeisiin. x (x 7) = x x + 4x 49 = 4x = 70 : x = 5 y = 5 7 =. Luvut ovat 5 ja.

28 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Jotta pisteet olisivat samalla suoralla, tulee vektoreiden AB ja AC olla yhdensuuntaiset, eli AB t AC jollakin t:n arvolla. AB ( x) i ( 40) j (0 ( )) k ( x) i 4j k AC ( 4) i ( y0) j ( 7 ( )) k 5i yj 5k AB t AC ( x ) i 4j k t( 5i yj 5 k) ( x ) i 4j k 5ti ytj 5tk Vektorin komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan x ja y. x 5t 4 yt 5t Alimmasta yhtälöstä saadaan t = keskimmäiseen yhtälöön. x 5 ( ) 5 x 6 x 7 4 y ( ) :( ) 5 5 y 0 x = 7 ja y = 0. Sijoitetaan tämä ylimpään ja 5

29 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Tarkastellaan lauseketta (x+ y +z). Koska x + y + z = 0, on myös (x+ y +z) = 0 ( x y z) 0 ( x yz)( x yz) 0 x xy xz yx y yz zx zy z 0 x y z xyxzyz 0 x y z ( xy yzzx) 0 ( xy yz zx) 0 ( xy yz zx) xy yz zx

30 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Pistetulo YDINTEHTÄVÄT. a) u v (i 4 j) ( i j) 4 5 b) u v ( i j 4 k) ( i j k) ( ) ( 4) ( ) 45 c) u v (5j k)( i k) 0 50 d) u v (i k) ( j) Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden pistetulo on 0. a) Lasketaan pistetulo u v. u v ( 6) 66 0 Vektorit u ja v ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. b) u v 8 (0,5) 4 ( 0,5) Koska pistetulo ei ole nolla, vektorit u ja v eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. c) u v 5 (0,) Koska pistetulo ei ole nolla, vektorit u ja v eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. d) u v 0 ( ) Vektorit u ja v ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

31 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Jotta vektoreiden välinen kulma α voidaan laskea, tarvitaan vektoreiden pistetulo ja pituudet. uv ( ) 8 + ( ) ( ) = = u 6 ( ) ( ) v 4 8 ( ) cos u v, u v 79 6 josta saadaan α = 79,94 79,9 b) uv + ( 5) = 6 5 = 9 u ( 5) 9 v 8 cos u v 9, u v 9 8 josta saadaan α =,9, c) uv = + ( ) 0 + ( ) = = 0 Koska pistetulo on nolla, ovat vektorit kohtisuorassa toisiaan vastaan, eli vektoreiden välinen kulma on 90,0.

32 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Kulman ACB suuruus on arviolta 0º. Kulman BAC suuruus on 0º. b) Lasketaan kulman ACB suuruus. Kulma on vektoreiden CA ja CB välinen kulma. CA ( 4) i () j 7i j CB (5 ) i ( ) j i 4 j CA CB = 7 + ( ) ( 4) = = 0 CA ( 7) ( ) 50 CB ( 4) 0 cos CACB CA CB , josta saadaan α = 08,4 º 08,4 º Lasketaan kulman BAC suuruus. Kulma on vektoreiden AB ja AC välinen kulma. AB(5 ( 4)) i ( ) j 9i j AC CA7i j AB AC = ( ) = 6 = 60 AB 9 ( ) 90 AC 7 50 cos AB AC 60, josta saadaan α = 6,57 º 6,6 º AB AC Kulma ACB on 08,4 ja kulma BAC on 6,6.

33 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Piirretään kuva. Kolmio näyttää suorakulmaiselta. b) Kolmion kärjet ovat A = ( 6, 5, 4), B = (,, 0) ja C = (5, 4, ). Kolmion kulma B on vektoreiden BA ja BC välinen kulma. BA ( 6 ) i (5 ) j (4 0) k 8i 4 j 4k BC (5 ) i (4 ) j ( 0) k i j k Lasketaan pistetulo BA BC Koska vektoreiden pistetulo on 0, on kolmion kulma B suora kulma. Kolmio on siis suorakulmainen. 7. Kolmion samasta kärjestä lähtevät sivuvektorit ovat a i j 5k ja b 5i 4 k. Kolmion kolmas sivuvektori on a b (tai b a ). a b i j 5 k (5i 4 k) i j k Lasketaan kolmion sivuvektorien pistetulo. Jos pistetulo on nolla, kolmio on suorakulmainen. a b 5 0 ( 5) ( 4) a ( a b) ( ) ( 5) ( ) 65 0 Vektoreiden a ja a b välinen kulma on suora, joten kolmio on suorakulmainen.

34 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Appletin avulla tutkittaessa saadaan, että t =. b) Vektoreiden u ja v välinen kulma on suora, jos pistetulo on nolla. u v = t + ( ) ( t) = t 6 + t = t 6 t 6 = 0 t = 6 : t =

35 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kulma A on vektoreiden AB ja AD välinen kulma. AB(8 ( )) i ( 0) j 9i j AD(0 ( )) i (4 0) j i 4 j AB AD AB 9 85 AD 4 7 cos( AB, AD) ( AB, AD) 6,4... 6,4 Kulma C saadaan selville, kun lasketaan vektoreiden CB ja CD välinen kulma. CB (8 ) i ( ) j 6i CD (0 ) i (4 ) j i j CB CD 6() 0 CB 6 6 CD ( ) 8 cos( CB, CD) 6 8 ( CB, CD) 5 Kulma C on 60 5 = 5.

36 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Muodostetaan vektorit AB, BC ja AD. AB( ( 4)) i ( ) j 6ij BC (4 ) i ( ( )) j i 4 j AD(0 ( 4)) i (4 ) j 4i j Vektorit AB ja BC ovat erisuuntaisia. Niiden pistetulo on 6 + ( ) 4 = 0. Vektorit AB ja BC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Vektorit AB ja AD ovat erisuuntaisia. Niiden pistetulo on ( ) = 4 9 = 5. Vektorit AB ja AD eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan. Sivut AB ja BC ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, sivut AB ja AD ovat erisuuntaiset eivätkä ole kohtisuorassa tosiaan vastaan. b) CD (0 4) i (4 ) j 4i j Koska AB ( i j) ja CD ( i j ), ovat vektorit AB ja CD yhdensuuntaiset. c) Koska nelikulmion kaksi vastakkaista sivua ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhtä pitkät, on nelikulmio puolisuunnikas.

37 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Piirretään kuva. Merkitään suunnikkaan kärkiä kirjaimilla A, B, C ja D. Tällöin AC v 5i 4j ja BD u i j. Suunnikkaan lävistäjät puolittavat toisensa. Määritetään sivuvektorit AB ja AD AB AC DB v u (5i 4 j) ( i j) 5 i j i j 4i j AD AC BD v u (5i 4 j) ( i j) 5 i j i j i j Sivuvektorit ovat 4i j ja i j. Sivuvektorit voivat olla myös näiden vektoreiden vastavektorit 4i j ja i j.

38 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Suunnikkaan yksi kulma on vektoreiden AB ja AD välinen kulma. Kulman laskemiseen tarvitaan vektorien pistetulo ja pituudet. AB AD 4 7 AB 4 7 AD 0 cos( AB, AD) ( AB, AD) 57, ,5 Suunnikkaan vastakkaiset kulmat ovat yhtä suuret ja vierekkäisten kulmien summa on 80. Suunnikkaalla on kaksi 57,5:en kulmaa ja kahden muun kulman suuruus on 80 57,5 =,47,5.. a) Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jos niiden pistetulo on nolla. uv ( r) r( ( r)) r r r r r r0 4 ( ) r 5 ( ) 6 r 4 tai r Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun r = tai r =.

39 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Vektorit u ja v ovat yhdensuuntaiset, jos on olemassa luku t siten, että u tv. u tv i rj k t(i rj ( rk ) ) i rj k ti rtj ( rtk ) Vektorien komponenttiesitys on yksikäsitteinen, joten saadaan yhtälöryhmä, josta ratkaistaan r ja t. t rt r ( rt ) Ylimmästä yhtälöstä saadaan, että t =. Sijoitetaan tämä keskimmäiseen yhtälöön. r r r r rr 0 r 0 : r 0 Sijoitetaan t = ja r = 0 alimpaan yhtälöön. ( 0) Saadut t = ja r = 0 eivät toteuta alinta yhtälöä, joten yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua. Ei voida valita lukua r siten, että vektorit olisivat yhdensuuntaiset.

40 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Suunnikkaan vastakkaiset sivut ovat yhtä pitkät ja yhdensuuntaiset. Suunnikkaan toinen lävistäjävektori on u v ja toinen lävistäjävektori u v. u v i rj 7i 4j 8 i ( r4) j u v i rj 7i 4j 6 i ( r4) j Jotta lävistäjät olisivat kohtisuorassa, tulee niiden pistetulon olla nolla. Lasketaan pistetulo. ( u v) ( u v) (8 i ( r4) j) (6 i ( r4) j) 86 ( r4)( r4) 48 6 r 64 r 64 r 0 r 64 r 8tair 8 Lävistäjät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, kun r = 8 tai r = 8. Kun r = 8, sivuvektorit ovat u i 8 j ja v 7i 4 j. Tällöin u 8 65 ja v , eli sivuvektorit ovat yhtä pitkät ja suunnikas on tällöin neljäkäs. Samoin, kun r = 8, u i 8 j ja u ( 8) 65.

41 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Piste P on (, 0) tai (, 0). b) Kulma, jossa jana AB näkyy on vektoreiden PA ja PB välinen kulma. Jotta tämä kulma olisi suora, tulee pistetulon PA PB olla nolla. Piste P on x-akselilla, sen y-koordinaatti on 0. Koska pisteen P x-koordinaattia ei tunneta, merkitään P = (x, 0). x PA ( x) i ( 0) j ( x) i j PB (4 x) i ( 0) j (4 x) i j PAPB ( x)(4 x) 4 x 4x x x 5x 6 5x60 5 ( 5) 46 x 5 x 6 taix 4 Piste P on (, 0) tai (, 0).

42 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska kolmion kärki C sijaitsee y-akselilla, sen koordinaatit ovat muotoa (0, y). Jotta kulma C olisi suora, tulisi pisteestä C lähtevien kolmion sivuvektoreiden CA ja CB olla kohtisuorassa toisiaan vastaan. Pitää osoittaa, että pistetulo CA CB ei ole nolla. 6. a) y CA (0) i ( y) j i ( y) j CB (0) i ( y) j i ( y) j CACB ( y)( y) 6 y y y y y 4 y40 ( ) 44 y 6 5 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, joten pistetulo ei voi koskaan olla nolla. Kulma C ei siis ole koskaan suora. Vektoria u vastaan kohtisuora, saman pituinen vektori voidaan muodostaa vaihtamalla komponenttien i ja j kertoimet ja toisen kertoimen merkki. Vektorin u ai bj kanssa yhtä pitkä normaalivektori on n bi aj tai n bi aj. Lasketaan pistetulo u n abb( a) abab 0. b) Vektorin u normaalivektori on esimerkiksi 8i j ja vektorin v normaalivektori on esimerkiksi i 5 j.

43 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Hahmotellaan tilannetta kuvan avulla. Vektori AB on kohtisuorassa vektoria i 4j vastaan, joten pistetulo AB (i 4 j ) on nolla. Eräs vektorin AB suuntainen vektori olisi 4i j, koska pistetulo (i 4 j) (4i j) 4 4 ( ) 0. Vektorin 4i j pituus on 4 ( ) 5 5. Myös vektorin 4i j vastavektori 4i j on kohtisuorassa vektoria i 4j vastaan. Vektorin 4i j pituus on myös 5. Vektorin AB pituus on, joten AB (4i j ) i 9 j tai AB ( 4i j ) i 9 j Määritetään pisteen B koordinaatit paikkavektorin avulla. OB OA AB i j i 9 j 7 i j tai OB i j i 9 j 7 i 9 j Piste B on ( 7, ) (, ) tai ( 7, 9 ) (, 4 )

44 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Pitää osoittaa, että vektorit a ja b ovat yhtä pitkät. Lasketaan pistetulo ( a b) ( a b) pistetulon ominaisuuksien perusteella. ( a b) ( a b) ( a b) ( a) ( a b) ( b) a( a b) b ( a b) aa ab b a b b a ab ab b a b Koska tehtävänannon mukaan ( a b) ( a b) 0, on Koska kumpikaan vektoreista ei ole nollavektori, on oltava a b 0. a b. Vektorit a ja b ovat yhtä pitkät, joten ne ovat neljäkkään sivuvektorit, jos ne asetetaan alkamaan samasta pisteestä. 9. Merkitään vektoria, joka on kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan, u xi yj zk. Tulee olla au 0 ja b u 0. au xyz xy z b u x( ) y5z xy5z Saadaan yhtälöpari xy z 0 xy5z 0 4x 6z 0 4x6 z : 4 x 6z z 4

45 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Sijoitetaan x z yhtälöön x + y + z = 0 ja ratkaistaan y. zy z 0 y z : y z 4 x z y z 4 z Vektori, joka on kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan on muotoa zi zj zk. 4 Esimerkiksi kun z = 4 vektori on 4i 4j 4k 6i j 4k, ja 4 kun z = 8, vektori on 8i 8j 8k i j 8k. 4 Jokin näiden kanssa vastakkaissuuntainen vektori on 6i j 4 k. 40. a) Olkoon vektori a xi yj zk. Lasketaan pistetulo a a. a a ( xi yj zk ) ( xi yj zk ) xx yy zz x y z Kun a xi yj zk, on Tällöin a x y z. a x y z x y z. Näin on osoitettu, että aa a.

46 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty b) Vektoreiden välisen kulman kaavasta saadaan cos( uv, ) u v uv u v u v u v cos( u, v) Tämän perusteella uv u v cos( u, v) Jos vektoreiden välinen kulma on välillä [0, 90], on 0 cos( uv, ). Tällöin lausekkeen u v cos( u, v ) suurin arvo on u v u v, joten uv u v. Jos vektoreiden välinen kulma on välillä ]90, 80], on cos( uv, ) < 0. Koska vektorien välisen kulman kosinin arvo on negatiivinen, saa myös lauseke u v cos( u, v ) vain negatiivisia arvoja. Tällöin itseisarvolausekkeen u v cos( u, v ) suurin arvo saavutetaan, kun cos( uv, ) on pienin. Lausekkeen u v cos( u, v ) suurin arvo on u v ( ) u v u v, joten uv u v. Tällöin pätee uv u v. 4. a) Ratkaistaan pistetulo vektorien välisen kulman kosinikaavasta. cos( uv, ) u v uv u v u v u v cos( u, v) 4 cos60 6 b) uv 6uv 6 u v cos( u, v) 64cos457 6

47 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) Tosi Väite: Jos uv u v, niin u v. Vektoreiden välisen kulman kaavasta saadaan: cos( uv, ) u v. u v Tästä saadaan uv u v cos( u, v). Tällöin uv u v cos( u, v). Jos uv u v, tulee olla cos( uv, ) = tai cos( uv, ) =. cos = vain kun = 0 ja cos, vain kun = 80. Jos vektoreiden u ja v välinen kulma on 0, ovat vektorit yhdensuuntaiset. Jos vektoreiden välinen kulma on 80, vektorit ovat vastakkaissuuntaiset. b) Tosi Väite: Jos u w ja v w, niin ( u v) w. Jos vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, on niiden pistetulo nolla. On siis u w 0 ja v w 0. Lasketaan pistetulo ( u v) w. ( u v) wu wv w00 0 Koska pistetulo ( u v) w on nolla, on summavektori u v kohtisuorassa vektoria w vastaan. c) Tosi u v u v 0 0 cos( u, v ) u v u v 0 0 Vektori u on vektorin u suuntainen yksikkövektori ja vektori v 0 0 vektorin v suuntainen yksikkövektori. On siis cos( u, v ) cos( u, v). Tällöin 0 0 cos( uv, ) u v.

48 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Muodostetaan vektorit PA ja PB. PA( 0) i (0 0) j (0 5) k i 5k PB(0 0) i ( 0) j (0 5) k j 5k Vektoreiden PA ja PB välisen kulman laskemiseksi tarvitaan pistetulo PA PB ja vektoreiden pituudet. PAPB 00 ( 5) ( 5) 5 PA ( ) ( 5) 9 PB ( 5) 9 cos( PA, PB) PA PB 5 PA PB 9 9 ( PA, PB) 0, ,5 Sivusärmien PA ja PB välinen kulma on 0,5.

49 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Monitahokas on säännöllinen tetraedri, jos sen kaikkien särmien pituus on sama. Merkitään kärjet O = (0, 0, 0), A = (,, 0), B = (0,, ) ja C = (, 0, ). Muodostetaan sivuvektorit OB, OC, OD, AB, AC ja BC ja lasketaan näiden pituudet. OA i j OB j k OC i k AB (0 ) i ( ) j ( 0) k i k AC ( ) i (0 ) j ( 0) k j k BC ( 0) i (0 ) j ( ) k i j Kaikissa vektoreissa on kaksi komponenttia, joiden kerroin on tai. Kaikkien vektoreiden pituus on sama,. Monitahokas on säännöllinen tetraedri. Särmän ja tahkon välinen kulma on sama kuin särmän ja särmän projektion eli tahkon korkeusjanan välinen kulma. Tahkon korkeusjana puolittaa särmän.

50 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Merkitään kirjaimella D särmän AC keskipistettä. Särmän ja tahkon välinen kulma on vektoreiden BD ja BO välinen kulma. Piste D on (, 0, 0 ) (,, ). BD( 0) i ( ) j ( ) k i j k BOOBj k BD BO 0 ( )( ) ( )( ) BD ( ) ( ) BO cos( BD, BO) BD BO BD BO ( BD, BO) 54, ,7 Särmän ja tahkon välinen kulma on 54,7.

51 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty SYVENTÄVÄT TEHTÄVÄT 45. a) Vektoreiden välinen kulma on terävä, kun cos( uv, ) positiivinen. Tällöin myös pistetulo u v on positiivinen, koska u v u v cos( u, v), ja vektorien pituudet ovat aina positiivisia. Lasketaan pistetulo u v. uv t( t) ( t) ( ) t 4ttt 7t Tutkitaan polynomin t 7t + merkkiä. Polynomin kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Lasketaan nollakohdat. t 7t0 7 ( 7) 4 t t tait 4 t 7t + > 0, kun t tai t >. Vektoreiden välinen kulma on terävä, kun t tai t >. b) Vektoreiden välinen kulma on suora, kun pistetulo u v nolla. Pistetulo on nolla a-kohdan perusteella, kun t tai t =. c) Vektoreiden välinen kulma on terävä, kun cos( uv, ) negatiivinen. Tällöin myös pistetulo u v on negatiivinen, koska u v u v cos( u, v), ja vektorien pituudet ovat aina positiivisia. a-kohdan perusteella u v 0, kun t.

52 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Piirretään kuva. Merkitään funktion f kuvaajalla olevaan pistettä kirjaimella P ja pistettä (, 0) kirjaimella A. Kulma, jossa origon ja pisteen A välinen jana näkyy on vektorien PO ja PA välinen kulma. Piste P on funktion f(x) = x + kuvaajalla, joten pisteen y-koordinaatti on x +. Piste P = (x, x + ). PO OP xi (0 (x )) j xi (x ) j PA ( x) i (x ) j Jana näkyy terävässä kulmassa, jos pistetulo PO PA on positiivinen. PO PA x ( x) (x )(x ) x x (4x 4x ) 5x x Polynomin 5x + x + kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Jotta polynomin arvo olisi aina positiivinen, sillä ei saa olla nollakohtia, eli yhtälön 5x + x + = 0 diskriminantti on negatiivinen. D = 4 5 = 9 0 = < 0 Pistetulo PO PA on kaikilla x:n arvoilla negatiivinen, joten kulma, jossa origon ja pisteen A välinen jana näkyy jokaisesta funktion f(x) = x + kuvaajan pisteestä, on terävä.

53 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Koska a b ( xx) i ( y y) j ( z z) k, niin a b ( x x ) ( y y ) ( z z ). Näin ollen ( ) ( ) ( ) x xx x y yy y z zz z ( x y z ) ( x y z ) xx yy zz a b ( xx yy zz) a b x x y y z z a b ab 48. Pisteen P, joka on paraabelilla y = x, koordinaatit ovat (x, x ). Merkitään A = (0, ). Kulma, josta jana näkyy, on vektorien PO ja PA välinen kulma. Jotta kulma olisi suora, tulee pistetulon PO PA olla nolla. PO OP xi x j PA(0 x) i ( x ) j xi ( x ) j 4 4 PO PA x ( x) ( x )( x ) x x x x x 4 x x 0 x ( x ) 0 x 0taix 0 x0 x x tai x Kun x = 0, on piste P = (0, 0). Tällöin vektori PO on nollavektori, eikä vektorien PO ja PA väliin muodostu kulmaa. Pisteet, joista origon ja pisteen (0, ) välinen jana näkyy suorassa kulmassa ovat (, ) (,) ja (,( ) ) (,).

54 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty a) a b ( a b) ( a b) ( a b) a ( a b) b aa ab ab 4b b a 4ab 4b a 4 a b cos( a, b) 4b 4cos a b 5 b) a b (a b)(a b) 4aa ab 9b b 4 a ab 9b 4 ab 9 97 ab 97 ab 7 ab ab 48 : ab 4 a b a 4ab 4b 4 ( 4) a b 4 6

55 Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kehäkulma C on vektoreiden CA ja CB välinen kulma. Koska kyseessä on puoliympyrä, on a b ja a b c. CA CO OA c a c b CB CO OB c b CACB ( c b ) ( c b ) c c b c b c b b c b 0 Koska pistetulo on nolla, ovat vektorit CA ja CB kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten kulma C on suora. 5. Piirretään kuva. Merkitään AB a, AC b ja BC c. Koska nelikulmio ABCD on suorakulmio, on ac 0. AB AC AB ( AB BC) a ( a c aaac a 0 a )