2) Kaksi lentokonetta lähestyy toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat?

Transkriptio

1 Määritelmä, (terävän kulman) trigonometriset funktiot: Suorakulmaisessa kolmiossa terävän kulman trigonometriset funktiot ovat: kulman sini hpotenuusa sin a c kulman kosini hpotenuusa kulman tangentti kulman kotangentti Näistä kotangenttia kätetään harvemmin. cos b c tan a b cot b a a b c Esimerkki: ) Suorakulmaisen kolmion hpotenuusa on c ja toinen terävä kulma on. Määritä kateetit. lkoon kulman ja viereinen kateetti. Yhtälöistä sin c, saadaan c sin ja c cos. cos c 2) Kaksi lentokonetta lähest toisiaan samalla korkeudella kuvan osoittamalla tavalla. Millä korkeudella ja kuinka kaukana toisistaan ne ovat? c sin c c cos L L 2 2 H 0

2 Piirretään kolmiolle HL L 2 kärkipisteestä H korkeusjana HP. Merkitään muodostuvia etäisksiä ja kulmia kirjaimilla,, h ja, β L 2 P H 0 Snt kaksi suorakulmaista kolmiota, joten ja β , h m cos m eli L 2 6,4 km, m sin 58 ja m sin 80, L L m sin m sin 80, m eli 47 km Siis korkeus on 6,4 km ja etäiss 47 km. h β EKSTRA: Tlpän kulman trigonometriaa Määritelmä: Kun puolisuora kiert tasossa alkupisteensä mpäri, niin näin sntnttä kulmaa sanotaan suunnatuksi kulmaksi. HUM! Kierron suuruutta ei rajoiteta. alkuklki Sijoitetaan suunnattu kulma -koordinaatistoon siten, että kulman kärki on origossa ja oikea klki positiivisella akselilla. Kulman loppuklki leikkaa origokeskisen ksikkömprän pisteessä P, jota sanotaan sanotaan kulman kehäpisteeksi. Jokaisella kulmalla on täsmälleen ksi kehäpiste. Toisaalta jokainen ksikkömprän piste on monen eri kulman kehäpiste. alkuklki Suunnattu kulma on positiivinen ja β negatiivinen. P (, ) II III β I GEMETRIA MAA IV 2

3 Tarkastelu ksikkömprässä ei ole sattumaa, nimittäin kun hpotenuusa on kkösen pituinen saadaan kateettien pituudet suoraan kulmasta : sin, cos sin Toisin sanoen, kateettien pituudet ja ilmoittavat suoraan kulman sinin ja kosinin arvot. cos Terävien kulmien sinit, kosinit ja tangentit määriteltiin suorakulmaisen kolmion avulla. Laajennetaan määritelmää kulmille Sijoitetaan annettu kulma ksikkömprään siten, että kulman oikea klki ht positiiviseen -akseliin ja kulman suunta on positiivinen. Tällöin jokaisella suunnatulla kulmalla on kehäpiste P,. Määritelmä, kulman sini ja kosini: Kulman sini on kehäpisteen P -koordinaatti ja kulman kosini on kehäpisteen P -koordinaatti. Siis sin, cos. P (, ) Määritelmä, kulman tangentti: Kulman tangentti on kehäpisteen P -koordinaatin ja -koordinaatin välinen suhde. Siis tan sin cos, cos 0. Huomaa, ettei tangentti ole sinin/kosinin tavoin määritelt kaikkialla! Terävillä kulmilla 0 < < 90 uuden määritelmän mukaiset trigonometristen funktioiden arvot htvät aiemman määritteln mukaisiin arvoihin, oikeanpuoleinen kuva. P (, ) cos sin sin cos P (, ) ULKA! sin 0 0, sin 90, sin 80 0 ja cos 0, cos 90 0, cos 80.

4 Suplementti- ja vastakulmat Suplementtikulmien summa on 80. Miten lasketaan kulman suplementtikulman 80 trig. funktioiden arvot? Vastaus: Ne palautetaan kulman trigonometristen funktioiden arvojen laskemiseen. Esimerkki 0 kulman sini on ja kosini, joten tämän kulman 2 2 kehäpiste on P 2, 2. Lisäksi tan 0. Kun kehäpiste P peilataan pstakselin suhteen, saadaan piste R, kulman kehäpiste., joka toisaalta on 2, 2 R Näin ollen sin 50, cos ja tan 50. Kulmat 0 ja 50 ovat toistensa supl.kulmia kehäpisteet smmetriset sinit samat, kosinit/tangentit vastalukuja P 0 2, 2 Esimerkki Kulman kehäpiste on cos, sin. Tällöin piste cos, sin on kulman 80 kehäpiste, joten cos 80 cos, sin 80 tan 80 sin ja sin 80 cos 80 Näistä kätetään nimitstä palautuskaavat koska kulma palautetaan ensimmäiseen neljännekseen, kts kuvat, s.. Kootaan vielä lauseeksi saadut tiedot. sin tan cos cos, sin Lause, suplementtikulman sini, kosini ja tangentti: Kulman ja suplementtikulman sinit ovat htä suuret, kosinit ja tangentit toistensa vastalukuja: cos 80 cos sin 80 sin tan 80 tan cos, sin 80 4

5 Tarkastellaan lopuksi vastakulmia. lkoon kulman kehäpiste,. Tällöin :n vastakulman kehäpiste on,. Näin ollen, sin sin, cos cos ja tan sin cos sin cos tan Lause, vastakulman sini, kosini ja tangentti: Kulman vastakulman palautuskaavat: cos cos sin sin tan tan, 5