Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Harjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½."

Petteri Auvinen
9 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x = 0 3 Ratkaise yhtälö x x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 6 Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x < ½ 7 Ratkaise epäyhtälö x 3 > x 8 Ratkaise epäyhtälöt a) x + 9x 3 > 100 b) 3x 8x Piirrä yhtälön x + y = 4 kuvaaja 10 Määritä seuraavien pisteiden välinen etäisyys: a) (,0) ja (7,0) b) (0,1) ja (0,7) c) (7,9) ja ( 1, ) d) origo ja (a,1½) e) (a,b) ja (a, b) 11 Janan päätepisteet ovat a) (,3) ja (, 7) b) (7,9) ja ( 1, ½) c) (a, ½b) ja (a,5b) Määritä janan keskipisteen koordinaatit 1 Piste (17, 8) on janan AB keskipiste ja A = ( 5,) Määritä piste B 13 Kolmiossa ABC on A = ( 1,0), B = ( 3,1) ja C = (0,4) Laske kolmion keski-janojen pituudet 14 Kolmiossa ABC on A = (, 1), B = (1,1) ja C = (3, ) Osoita, että kolmio on tasakylkinen 15 Tasakylkisessä kolmiossa ABC on A = (0,1) ja B = (,5) Jana AB on kolmion kanta ja kylki = 5 Määritä piste C 1(6)

kuvaaja 10 Määritä seuraavien pisteiden välinen etäisyys: a) (,0) ja (7,0) b) (0,1) ja (0,7) c) (7,9) ja ( 1, ) d) origo ja (a,1½) e) (a,b) ja (a, b) 11 Janan päätepisteet ovat a) (,3) ja (, 7) b)

2 16 Ratkaise algebrallisesti yhtälöpari 17 Ratkaise sijoituskeinolla yhtälöpari 18 Ratkaise graafisesti yhtälöpari 5x + 6y = 7 7x + 4y = 1 3x + y = 1 y = x 1 y = ½x + 6x 5y = Ratkaisematta seuraavia yhtälöpareja tutki, nojautuen lauseeseen 46, kuinka monta ratkaisua niillä on : 4x 10y = 6 7x + y = 19 6x + 9y = 3 a ) b) c) 6x + 15y = 9 x + 7y = 77 8x 1y = 4 0 Määritä vakio a siten, että suorat ax + 4y = 1 ja (3 a)x + 3y = 9 ovat yhdensuuntaiset Yhtyvätkö nämä suorat tällöin vai sijaitsevatko vallan erillään? 1 Ratkaise yhtälöpari ax by = c bx ay = c Määritä ne kaksi lukua, joiden summa on 10 ja erotus 88 3 EU-ratkaisu heijastui Suomen oloihin sillä tavoin, että kaupan leipä muuttui niin kalliiksi, että vain rikkailla oli sitä varaa ostaa Niinpä pieniä peltotilkkujaan viljelevän Antin LUOMU-tuotteilla oli hyvä menekki, kun keskiluokan ihmiset leipoivat leivän kotona Markku meni kerran Antin luo, ja osti 84 kg rukiita ja 39 kg ohria maksaen ostoksistaan 95,97 Mirkakin pistäytyi kaupalla samana päivänä, osti 45 kg ohria ja 60 kg rukiita ja maksoi niistä 7605 Laske, paljonko Antti peri rukiista ja ohrasta kilogrammalta 4 Ratkaise yhtälöryhmä x + y + 3z = 4 3x 4y z = 3 5x + 6y z = 5 5 Määritä suoran 3x 7y + 14 = 0 a) kulmakerroin b) suuntakulma sekä piste, jossa suora kohtaa x-akselin (6)

suorat ax + 4y = 1 ja (3 a)x + 3y = 9 ovat yhdensuuntaiset Yhtyvätkö nämä suorat tällöin vai sijaitsevatko vallan erillään?

3 6 Mikä on sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (3,6) kautta, ja rajoittaa positiivisten koordinaattiakseleiden kanssa kolmion, jonka pinta-ala on 36 pinnan yksikköä? 7 Lämpötilaa t[ o C] pidetään eräissä olosuhteissa meren pinnasta mitatun korkeuden h[m] funktiona, joka on ensimmäistä astetta oleva polynomi(funktio), siis muotoa t = kh + b Määritä tämän funktion lauseke (laki), kun 500 metrin korkeudella lämpötila on 15 o C ja m korkeudella 80 C Mikä on tällöin lämpötila meren pinnalla, ja kuinka korkealla merten pinnasta mitaten lämpötila on celsiusasteissa mitattuna nolla? 8 Suora kulkee pisteiden a) (,3) ja (, 5) kautta Muodosta suoran yhtälö 9 Määritä luku t siten, että piste (0,t) on pisteiden (1,1) ja (4,7) kautta kulkevalla suoralla 30 Kolmiossa ABC on A = ( 5,4), B = ( 1, 4) ja C = (3,) a) Muodosta pisteiden A ja B kautta kulkevain keskijanojen yhtälöt b) Missä pisteessä nämä leikkaavat toisensa Tarkista tulos piirtämällä Kolmion keskijana yhdistää kärkipisteen vastakkaisen sivun keskipisteeseen 31 Mikä on sen suoran yhtälö, joka kulkee pisteen (, 3) kautta ja on a) yhdensuuntainen suoran 3x y + 4 = 0 kanssa b) kohtisuorassa mainittua suoraa vastaan 3 Määritä pisteitä (0,0) ja ( 4,) yhdistävän janan keskinormaalin yhtälö Tarkista tulos piirtämällä 33 Kolmiossa ABC on A = (1,), B = (5,6) ja C = ( 1,1) Muodosta sivujen keski-normaalien yhtälöt ja totea laskemalla, että ne leikkaavat samassa pisteessä Mikä tämä piste on? 34 Laske pisteen (,5) etäisyys suorasta a) x = 1 b) y + 7 = 0 c) 4y = 5x x d) y = 31 4 o 3(6)

lauseke (laki), kun 500 metrin korkeudella lämpötila on 15 o C ja 10000 m korkeudella 80 C Mikä on tällöin lämpötila meren pinnalla, ja kuinka korkealla merten pinnasta mitaten lämpötila on

4 35 Laske suorien 4x + 3y + 6 = 0, x 4y + 3 = 0 ja x = 3 rajoittaman kolmion korkeusjanojen pituudet (kaikki kolme) 36 Laske suorien x 5y = 11, x + 3y = 3 ja y = x + 1 rajoittaman kolmion pinta-ala 37 Johda sen ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on ( 3, 4) ja säde 5 Kulkeeko ympyrä origon kautta? Määritä jokin toinen ympyrän kehän piste? 38 Onko yhtälöllä x + y x + 4y + 1 = 0 geometrista vastinetta Jos on, se on ilmeisesti ympyrä Määrää sen keskipiste ja säde 39 Piirrä yhtälön 4x + 4y + x 8y = 8 kuvaaja 40 Ympyrä kulkee pisteiden (3, ), (1, 4) ja ( 1, ) kautta Määritä sen yhtälö Ohje: Ympyrän kehän piste toteuttaa ympyrän yhtälön x + y ax + by + c = 0 Saat kolmen yhtälön ja kolmen tuntemattoman ryhmän 41 Ympyrän keskipiste sijaitsee suorien x y = 3 ja x + y = 0 leikkauspisteessä ja kulkee origon kautta Määrää sen yhtälö 4 Millä vakio c arvoilla yhtälö x + y + 8x 10y + c = 0 a) ei esitä mitään käyrää b) toteutuu vain yhdessä pisteessä? 43 Johda sen paraabelin yhtälö, jonka polttopiste on (1,4) ja johtosuora y = 44 Määritä paraabelin huipun koordinaatit, kun paraabelin yhtälö on a) y = x + 8x + 7 b) y = 4x + x 45 Määritä paraabelin y = x + x 4 ja suoran 4x y +1 = 0 leikkauspisteet 46 Jalkapalloa pelataan tasaisella kentällä Erään potkun seurauksena pallon lentorata on paraabeli y = 11x 0,014x, missä yksiköt ovat metrejä Nythän tehtävän koordinaatisto on asetettu niin, että pallo lähtee origosta ja osuu kenttään x-akselilla Kuinka pitkälle pallo lentää ja kuinka korkealla se maksimissaan käy? 4(6)

38 Onko yhtälöllä x + y x + 4y + 1 = 0 geometrista vastinetta Jos on, se on ilmeisesti ympyrä Määrää sen keskipiste ja säde 39 Piirrä yhtälön 4x + 4y + x 8y = 8 kuvaaja 40 Ympyrä kulkee pisteiden (3,

5 47 Ylöspäin aukeava paraabeli käy pisteiden (1,0), (, 1) ja (4,3) kautta Määritä paraabelin yhtälö 48 Määritä vakio b siten, että suora y = b 3x on paraabelin y = x 1 5x tangentti 49 Laske paraabelin y = x suorasta x y + 1 = 0 erottaman jänteen a) keskipiste b) pituus Hint: Pohdi, voitko toisen asteen yhtälön juurien summan lauseketta hyödyntää keskipistettä laskiessasi 50 Määritä pisteestä ( 1, ) paraabelille y = x + 1 piirrettyjen tangenttien yhtälöt ) 51 Missä pisteessä seuraavat ympyrät leikkaavat toisensa, toisin sanoen, x + y x + 3y + 1 = 0 ratkaise yhtälöpari x + y + x y = 0 Hint: Vähennä ensin yhtälöt toisistaan ja ota näin saamasi ensiasteen yhtälön kaveriksi jommankumman ympyrän yhtälö 5 Määritä ympyrän x + y = 5 pisteeseen (4,3) piirretyn tangentin yhtälö Kuinka pitkän janan koordinaattiakselit tästä tangentista erottavat? 53 Määritä lausekkeen 40x + 50y suurin arvo alueessa, jossa 5x + y 30 5x + 7y 35 x + 5y 0 x 0 y 0 54 Määritä lausekkeen x + 3y pienin arvo alueessa, jossa 3x + y 0 x + y 0 x + y On tullut pula-aika Kuljetusliikkeellä on yksi auto, johon se saa ostaa poltto-ainetta viikossa korkeintaan 1800 litraa Tällä autolla liike pystyy viikossa ajamaan sahan tuotantokapasiteetin puitteissa enintään 4 kuormaa lankkua sahalta satamaan Tavara on raskasta, ja auto kuluttaa polttoainetta 5(6)

) paraabelille y = x + 1 piirrettyjen tangenttien yhtälöt ) 51 Missä pisteessä seuraavat ympyrät leikkaavat toisensa, toisin sanoen, x + y x + 3y + 1 = 0 ratkaise yhtälöpari x + y + x y = 0 Hint:

6 37 litraa/100 km Yksi edestakainen matka sahan ja sataman välillä on 0 km, ja kestää 45 tuntia (lastauksineen, purkuineen) Toisaalta autolla voi ajaa myös styroxia tai eriste-villaa enintään 36 kuormaa viikossa Tavara on kevyttä, ja polttoainetta kuluu vain 6 litraa/100 km edestakaisen matkan tehtaan ja tukkuliikkeen keskusvaraston välillä ollessa 170 km Yksi keikka tarvitsee aikaa lastauksineen ja purkuineen 3 h 40 minuuttia Tässä firmassa on tehty paljon ylitöitä ja työsuojelupiiri on ottanut firman silmätikuksen Hirmuisen uhkasakon velvoittamana on määrätty, ettei auton kuljettajille saa missään tapauksessa tulla enempää kuin yhteensä 10 työtuntia viikossa Tätä määräystä onkin katsottu olevan syytä noudattaa Saha ja eristevillatehdas sijaitsevat niin vierekkäin, ettei ole merkitystä ajoaikojen suhteen sillä, kumpaa tavaraa ajetaan a) Viivoita se xy-tason alue, jonka kokonaislukukoordinaattien osoittaman määrän auto pystyy viikossa ajamaan sahatavaraa (x) ja styroxia/eristevillaa (y) b) Kuinka paljon auto pystyy viikossa enintään tuottamaan ajotuloa (brutto), kun kuljetusliikkeelle maksetaan sahatavarakuormasta 40 euroa ja eristevilla-kuormasta 155 euroa? c) Tuottaako suurimman bruttotuoton kuormajako myös suurimman neton, kun ulkomaanpoika ajaa 10 /h ja polttoaine maksaa 90 senttiä litra (ALV 0)? Bonustehtäväksi 6(6)

lastauksineen ja purkuineen 3 h 40 minuuttia Tässä firmassa on tehty paljon ylitöitä ja työsuojelupiiri on ottanut firman silmätikuksen Hirmuisen uhkasakon velvoittamana on määrätty, ettei auton

Samankaltaiset tiedostot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise