Geometriset avaruudet Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

Transkriptio

1 5. Geometriset avaruudet 5.. Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus 69. Olkoon {b,b 2 } tason E 2 kanta ja olkoon u = 2b + 3b 2, v = 3b + 2b 2, w = b 2b 2. Määritä vektoreiden 2u v + w ja u + v w koordinaattivektorit. Piirrä kuvio vektoreista tapauksessa a) b = i, b 2 = j, b) b = i, b 2 = i j. 6 2 ) T, ) T Määritä α siten, että vektori a = α α + ) T on vektorin b = 3 ) T 2 suuntainen. Ovatko vektorit saman- vai vastakkaissuuntaiset? α = Osoita, että kolmiulotteisen avaruuden E 3 vektorit b = 2i+7j+5k, b 2 = i 8j+3k, b 3 = i+j 5k muodostavat kannan ja laske vektorin 6i + 3j + 37k koordinaatit tässä kannassa. 5 4 ) T. 72. Olkoon {b,b 2,b 3 } avaruuden E 3 kanta ja olkoot u = 2 5 ) T, v = 3 2 ) T, w = ) T kolme tässä kannassa esitettyä vektoria. Osoita, että u, v ja w ovat saman tason suuntaisia ja lausu u vektoreiden v ja w lineaariyhdistelynä. u = 4 3 v + 3 w. 73. Tutki, millä ehdolla seuraavat tason E 2 kannassa {b,b 2 } annetut vektoriparit ovat lineaarisesti riippuvia: a) α β ) T, τβ τα ) T, b) α β ) T, σα + τβ τα + σβ ) T. a) α = β = tai τ = ; b) α = β tai τ =. 74. Olkoon annettuna kolme vektoria eräässä avaruuden E 3 kannassa: u = 2 8 ) T, v = 2 ) T, w = ) T. Määritä vektoreiden u+7v 2w, u+5v w 7u v+w koordinaattivektorit samassa kannassa. Ovatko viimeksi mainitut vektorit lineaarisesti riippumattomia?

2 75. Tutki seuraavien vektorisysteemien lineaarista riippuvuutta, kun kantana on b = i + 3j + 5k, b 2 = 7i + j + 3k, b 3 = 7i + 9j + 23k: a) On, b) ei, c) on, d) ei. 76. a) { 2 ) T, 3 4 ) T, 8 3 ) T}, b) { 3 ) T, 4 2 ) T, 3 5 ) T}, c) { ) T, 2 3 ) T, 5 5 ) T}, d) { 2 ) T, 2 ) T, 3 ) T, ) T}. Olkoot vektorit OA, OB ja OC lineaarisesti riippumattomia. Todista, että myös vektorit AB ja AC ovat keskenään) lineaarisesti riippumattomia. 77. Kolmion ABC keskiö olkoon M. Koordinaatiston origona olkoon M ja kantavektoreina MA ja MB. Laske kolmion kärkipisteiden ja sivujen keskipisteiden koordinaatit. Kärkipisteet:,),,),, ); sivujen keskipisteet: 2,),, 2 ), 2, 2 ). 78. Kolmiossa ABC piste O puolittaa sivun AB, piste E jakaa sivun BC suhteessa : 2 ja piste E 2 sivun CA suhteessa : 3. Määritä kolmion kärkipisteiden koordinaatit siinä koordinaatistossa, jonka origona on piste O ja kantavektoreina OE ja OE , 4 7 ), 9 7, 4 7 ), 3 7, 8 7 ). 79. Annettu tetraedri määrää avaruuden koordinaatiston siten, että yksi kärki on origona ja muut määrittävät kantavektoreiden loppupisteet. Määritä särmien keskipisteiden, tahkojen keskiöiden ja tetraedrin keskiön koordinaatit. Särmien keskipisteet: 2,,),, 2,),,, 2 ),, 2, 2 ), 2,, 2 ), 2, 2,); tahkojen keskiöt: 3, 3, 3 ),, 3, 3 ), 3,, 3 ), 3, 3,); tetraedrin keskiö: 4, 4, 4 ). 8. Olkoot vektorit a ja b erisuuntaisia, ts. a b. Määritä vektori c siten, että a+b, b+c ja c+a muodostavat kolmion. c = o tai c = a b. 8. Olkoon piste M kolmion ABC keskiö keskijanojen leikkauspiste). Osoita, että MA + MB + MC = o. 82. Olkoot pisteet M ja N kolmioiden ABC ja DEF keskiöt. Osoita, että AD + BE + CF = 3 MN.

3 83. Kolmion ABC sivut BC, CA ja AB jakautuvat pisteissä A, B ja C suhteessa m : n. Todista, että kolmioiden ABC ja A B C keskiöt yhtyvät. 84. Kolmiossa ABC piste D jakaa sivun BC suhteessa p : q ja piste E sivun AB suhteessa r : s. Missä suhteessa janojen AD ja CE leikkauspiste X jakaa janan AD? pr + qr) : qs). 85. Kolmion ABC kärjestä A sivulle BC piirretty jana AD puolittaa kulman BAC. Lausu vektori AD vektorien u = AB ja v = AC avulla, kun tiedetään, että AB = 3 ja AC = u v. 86. Kolmion ABC sivuja merkitään u = AB, v = AC. Kärjestä A piirretyn kulmanpuolittajan ja kärjestä C piirretyn keskijanan leikkauspiste olkoon K. Määritä u, kun tiedetään, että v = ja AK = 5 u v. u = Suunnikkaassa ABCD kärki A yhdistetään sivun DC keskipisteeseen P ja kärki B sivun AD keskipisteeseen R. Yhdysjanat leikatkoot pisteessä X. Lausu vektori AX vektoreiden u = AB ja v = AD avulla. 5 u v. 88. Olkoot E, F, G ja H suunnikkaan ABCD sivujen AB, BC, CD ja DA keskipisteet. Piste X olkoon janojen BG ja EF leikkauspiste. Lausu vektori HX vektorien u = AB ja v = AD avulla. 5 6 u 6 v. 89. Puolisuunnikkaassa ABCD, missä AB DC ja AB : DC = m >, merkitään u = AD ja v = BC. Lausu näiden avulla vektorit AB ja AM, missä M on puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspiste. AB = 9. m m u v), AM = m mu v). m 2 Osoita vektoreita käyttäen, että tetraedrin kahden vastakkaisen särmän keskipisteiden yhdysjanoilla on yksi yhteinen piste.

4 9. Tetraedrin keskijana on kärjen ja vastakkaisen sivutahkon keskiön yhdysjana. Piste X jakakoon tetraedrin erään keskijanan kärjestä lähdettäessä suhteessa 3 :. Osoita, että X yhtyy edellisessä tehtävässä mainittujen yhdysjanojen leikkauspisteeseen. Miten tetraedrin neljä keskijanaa suhtautuvat toisiinsa? 5.2. Käyräviivaisia koordinaatistoja 92. Pisteen P suorakulmaiset avaruuskoordinaatit ovat 2, 3, ). Laske lieriö- ja pallokoordinaatit tarkat arvot ja likiarvot). 93. Laske kolmiulotteisen avaruuden kannassa {i, j, k} annettujen) pisteiden,, ) ja, 3, 5) pallokoordinaatit likiarvot). r.732, ϕ.7854, ϑ.9553; r 5.96, ϕ 4.396, ϑ Origokeskisellä pallopinnalla sijaitseva käyrä toteuttaa pallokoordinaattiyhtälön ϕ = ϑ. Millainen käyrä on kysymyksessä? 95. Lieriön akselina on z-akseli. Lieriöpinnalla sijaitsee käyrä, jonka yhtälö lieriökoordinaateissa on z = ϕ. Millainen käyrä on kyseessä? 5.3. Skalaaritulo 96. Vektoreille a ja b pätee a + 3b = 6, a 3b = Laske vektoreiden sisätulo a b. 97. Vektoreiden a ja b välinen kulma on 2 ja a = 3 b. Määritä skalaari λ siten, että a +b ja a λb ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. λ = Suorakulmaisessa kolmiossa ABC on suoran kulman kärjestä lähtevä korkeusjana AD. Sivujen AB ja AC pituudet ovat 5 ja 2. Laske skalaaritulot AB DC, BD CA, AC CD.

5 AB DC = BD CA = 36 69, AC CD = Säännöllisen tetraedrin kärjestä lähtevät särmävektorit ovat a, b ja c. Laske vektoreiden a+b+2c ja 2a b välisen kulman kosini Avaruuden E 3 kantavektoreista tiedetään seuraavaa: b = b 2 =, b 3 = 2, b b 2, b 3,b ) = b 3,b 2 ) = 6. Määritä α siten, että vektoreille u = 2b + αb 3 ja v = b + 3b 2 on voimassa compu,v) = compv,u). α = 2 ± 7), Koordinaatiston {O,b,b 2,b 3 } kantavektorit muodostavat pareittain 6 kulman ja niiden pituudet ovat b = 3, b 2 = 2, b 3 =. Muodosta vektoreiden määräämän tetraedrin pisteestä O lähtevän mediaanivektorin vektorikomponentti vektorille b. 2 b. 22. Osoita skalaarituloa käyttäen, että kolmion korkeusjanat kulkevat saman pisteen kautta. 23. Olkoon a o vakiovektori ja olkoon r pisteen P paikkavektori. Millaisen joukon muodostavat ne pisteet P, joille pätee a) r a) a =, b) r a) r =? Tarkastele erikseen taso- ja avaruustapausta. 24. Kolmiulotteisessa avaruudessa pisteen P ja origon yhdysjanan pituus on 5. Se muodostaa positiivisen x-akselin kanssa kulman α = 32 ja positiivisen y-akselin kanssa kulman β = 73. Laske pisteen P koordinaatit. 25. Olkoon a = 3i 4j + 2k ja b = i + j 3k. Laske kummankin vektorin skalaari- ja vektorikomponentti toisen vektorin suunnalle. compa,b) = 7, compa,b)b = 7 7 i + j 3k), compb,a) = 29, compb,a)a = i 4j + 2k). 26. Määritä vektori, joka muodostaa yhtä suuret kulmat vektoreiden k, j + k ja i + j + k kanssa. α[ 3 2)i + 2 )j + k, α R.

6 5.4. Vektoritulo 27. Määritä yksikkövektori, joka on kohtisuorassa vektoreita 2i + 3j k ja i j + 3k vastaan. ± 38 8i 7j 5k). 28. Muodosta ortonormeerattu oikeakätinen avaruuden E 3 kanta {b,b 2,b 3 }, jonka vektori b on vektorin i + j + k suuntainen ja vektori b 2 on vaakasuora, ts. xy-tason suuntainen. Määräytyykö kanta yksikäsitteisesti näistä ehdoista? 29. Jaa vektori u = i 7j k kolmeen komponenttiin, joista yksi on vektorin a = 2i 3j + k suuntainen, toinen vektorin b = i 2j + 4k suuntainen ja kolmas kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan. Miten pitkä on vektorin kohtisuora projektio tasolla, joka on vektoreiden a ja b suuntainen? 62i 3j + k) 3 3 i 2j + 4k) + 3 i + 7j + k); Osoita: a + b + c = o = a b = b c = c a. 2. Kheopsin pyramidin alkuperäinen korkeus oli 47 m ja neliönmuotoisen pohjan sivun pituus 23 m. Sijoita pyramidi sopivasti koordinaatistoon, laske pyramidin kahden vierekkäisen sivun normaalivektorit ja näiden avulla sivujen välinen diedri)kulma. 22. Sijoita säännöllinen oktaedri sopivaan asentoon koordinaatistoon siten, että yksi kärki on origossa. Laske tästä kärjestä alkavien särmien vektoriesitykset ja näiden avulla tässä kärjessä kohtaavien sivutahkojen normaalivektorit. Laske näiden avulla sivutahkojen välinen diedrikulma. π arccos Helsingistä lennetään lyhintä tietä Tokioon. Miten pitkä on matka ja mihin ilmansuuntaan Helsingistä on lähdettävä? Maapallon säde on 637 km ja kaupunkien maantieteelliset koordinaatit seuraavat: Helsinki: 6 N, 25 E ; Tokio: 36 N, 4 E. Muodosta aluksi paikkakuntien paikkavektorit maantieteellisten pallokoordinaattien avulla ja käytä sitten skalaarija vektorituloja.) Etäisyys n. 789 km, suunta 5.8 pohjoisesta itäänpäin.

7 24. Laske vektoreiden a = 2i + 3j + 4k ja b = 2i 3j + 4k ristitulo. Laske myös vektoria a vastaava ristitulomatriisi A ja em. ristitulo matriisitulona A b Vektorialgebraa 25. Olkoot a, b ja x avaruuden E 3 vektoreita. Johda vektorikolmitulon a b x) kehityskaava muodostamalla vektoreita a ja b vastaavat ristitulomatriisit A, B ja laskemalla A B. Tulkitse A B x, missä x = x, kehityskaavan oikeaksi puoleksi. 26. Laske a b c) sekä kahdella ristitulon muodostamisella että vektorikolmitulon kehityskaavalla, kun a = 2i + 3j 4k, b = 3i + j + 5k, c = 2i 2j + 3k. 2i 68j 4k. 27. Laske a b) c, kun a j = b j =, c = 2i j + 3k ja [a,b,c] = 4. 2i 8k. 28. Tutki, millä ehdoilla a b c) = a b) c. a c tai b a ja b c). 29. Olkoot a, b ja c avaruuden E 3 vektoreita. Todista: [a b, b c, c a] = [a,b,c] Vektorit a, b, c ovat lineaarisesti riippumattomia. Sievennä lauseke [a b) b c)] c a). Millä ehdolla lauseke on = o? [a,b,c]b c a) = [a,b,c][a b)c b c)a; = o, jos b a ja b c. 22. Osoita: a a b) 2 = a 4 b 2 a 2 a b) 2.

8 222. Määritä vektorin a a a a a a b)))))) pituus, kun tiedetään, että a = 3, b = ja a b = Määritä vektori r, joka toteuttaa yhtälöparin { r k r) = k r j =. r = ±i Laske sen kolmion ala, jonka kahtena sivuna ovat vektorit i + 5j 2k ja 3i 2j k Tetraedrin kärjet ovat, 2,4), 5,,), 2, 3,6),,,). Laske tetraedrin tilavuus Tutki, muodostavatko a) tason E 2 vektorit {2i j, i j}, b) avaruuden E 3 vektorit {i j + k, 3i + 2j + k, i + j 5k} kannan. Onko myönteisessä tapauksessa) kanta positiivisesti vai negatiivisesti suunnistettu? 227. Tason E 2 koordinaatistossa {O,b,b 2 } on annettuna pisteet A = ) T, ) T. ξ ξ 2 B = η η 2 Osoita, että kolmion OAB pinta-ala on ) 2 b b 2 sin b,b 2 ) det ξ η. ξ 2 η Avaruuden E 3 kolmen pisteen paikkavektorit ovat a, b ja c. Esitä menettely, jolla voidaan määrittää pisteiden kautta kulkevan ympyrän keskipisteen paikkavektori Kolmiulotteisen avaruuden ympyrä kulkee pisteiden, 2, 3), 2, 5, 3) ja, 3, 6) kautta. Määritä ympyrän keskipiste, säde ja ympyrän tason normaalin suunta.

9 5.6. Koordinaatiston vaihto 23. Tason E 2 kahden kannan välillä vallitsee yhteys { b = b + 9b 2 b 2 = 6b + 8b 2. Muodosta koordinaatistonmuunnoskaavat pilkutettujen koordinaattien suhteen ratkaistuina. ξ = 23 4ξ + 3ξ 2 ), ξ 2 = 46 9ξ ξ 2 ). 23. Tasossa E 2 siirrytään vanhasta koordinaatistosta {O,i,j} uuteen koordinaatistoon {O,b,b 2 }, missä O = 2i + j, b = i + j, b 2 = j. Esitä koordinaatistonmuunnos sekä uusien että vanhojen koordinaattien suhteen ratkaistuna Avaruuden E 3 vanha kanta muodostuu vektoreista ja uusi kanta vektoreista b = i + j + k, b 2 = i + 2j + 3k, b 3 = i + 4j + 9k b = i + 2j, b 2 = 3j + 4k, b 3 = 6i + 5k. Origojen paikkavektorit ovat b = i + j ja b = 2j + k. Muodosta yhtälöryhmät, joista kannanvaihtomatriisi ja origonsiirtovektori voidaan ratkaista Muodosta edellisen tehtävän kannanvaihtokaavat ja muunna vanhan kannan koordinaatit 2 3 ) T uuteen kantaan ja takaisin Avaruuden E 3 kahden kannan välillä vallitsee yhteys b = 2b + 2b 2 + 7b 3 b 2 = b 2 + 9b 3. b 3 = 6b + 8b 2 Määritä luvut α ja β siten, että vektorin αb + βb 2 + b 3 koordinaatit kannassa {b,b 2,b 3 } ovat keskenään yhtä suuret. α = 24 5, β = Avaruuteen sijoitetaan suuntaissärmiö, jonka yhtenä kärkenä on piste P =, 2, 3) ja jonka tästä kärjestä lähtevät särmät ovat b = i + j + k, b 2 = i + 2j + 3k, b 3 = i + 4j + 9k.

10 Laske särmiön sivutahkojen keskipisteiden koordinaatit särmäkoordinaatistossa {P,b,b 2,b 3 }. Muodosta koordinaatistomuunnos, jolla nämä koordinaatit saadaan lasketuiksi {O,i,j,k} -koordinaatistossa ja laske koordinaatit Tason koordinaatistossa {O,b,b 2 } on koordinaatiston {O,b,b 2 } ξ -akselin yhtälö 2ξ + ξ 2 = 2 ja ξ 2 -akselin yhtälö ξ ξ 2 +3 =. Eräällä pisteellä on koordinaatit ξ =, ξ 2 = 2 ja ξ = 2, ξ 2 = 2. Millä pisteellä on samat koordinaatit ξ = ξ, ξ 2 = ξ 2 ) kummassakin koordinaatistossa?,5) Tason kahden koordinaatiston väliset muunnoskaavat ovat { ξ = αξ + 2ξ 2 ξ 2 = ξ + βξ Yhtälöt ξ + 3ξ 2 + = ja 2ξ ξ = esittävät samaa suoraa. Määritä α ja β. α =, β = Kolmiossa ABC piste D puolittaa sivun BC, piste E sivun AC ja piste M on kolmion keskiö. Tarkastellaan koordinaatistoja {A, AM, AC} ja {B, BD, BE}. Erään suoran yhtälö edellisessä koordinaatistossa on 2ξ 2ξ 2 =. Määritä sen yhtälö jälkimmäisessä koordinaatistossa. Piirrä kuvio. 5ξ + 9ξ 2 = Suunnikas ABCD AB DC), jonka keskipiste on M, määrää kaksi tason koordinaatistoa: {A, AM, AD} ja {B, BC, BM}. Muodosta koordinaatistonmuunnoskaavat. Minkä pisteen koordinaatit säilyvät muuttumattomina siirryttäessä koordinaatistosta toiseen? Piirrä kuvio. ξ = ξ 2 + 2, ξ 2 = ξ + ξ 2 ;,). 24. Osoita, että vektorit b = i 2k, b 2 = 2i j+3k, b = i +j 9k ja b 2 = 5i 2j +4k ovat saman tason suuntaiset. Osoita, että sekä {O,b,b 2,b b 2 } että {O,b,b 2,b b 2 } voidaan valita avaruuden E3 koordinaatistoiksi; tässä on O = o on koordinaatistojen yhteinen origo. Määritä koordinaattimuunnoskaavojen matriisi T Tason E 2 koordinaatisto {O,i,j} on siirretty ja kierretty uuteen asentoon {O,i,j }; x -akselin yhtälö pilkuttomissa koordinaateissa on x + 3y 6 =, y -akselin vastaavasti 3x y 4 =. Esitä koordinaattimuunnoskaavat kumpaankin suuntaan, kun lisäksi tiedetään, että i - ja j-vektoreiden välinen kulma on terävä. x = 3x + y + 4), y = x 3y + 6), x = 3x y ) + 9 5, y = x 3y )

11 242. Koordinaatistoista {O,i,j,k} ja {O,i,j,k } tiedetään seuraavaa: ) Molemmat ovat ortonormeerattuja ja oikeakätisiä. 2) i ja i + 2j + 2k ovat samansuuntaiset. 3) k on xy-tason suuntainen siten, että kulma k,i) on terävä. Lausu koordinaatistonmuunnoskaava pilkuttomien koordinaattien suhteen ratkaistuna S = , x = o Totea, että matriisi T = on ortogonaalinen. Määritä pisteet, joiden koordinaatit säilyvät ennallaan koordinaatistomuunnoksessa x = T x. α 4 2 ) T, α R Avaruuden R n geometriaa 244. Osoita, että avaruuden R n vektorit b =, b. 2 =, b. 3 =,..., b. n =. muodostavat avaruuden kannan Olkoon x,...,x n,y,...,y n R. Osoita: n ) 2 x k y k k= n xk 2 k= ) n y 2 k k= ) Todista: x + y = x + y, jos ja vain jos y = o tai x = αy, missä α Todista Pythagoraan lause avaruudessa R n : Jos x y, niin x y 2 = x 2 + y 2.

12 248. Todista suunnikaslause avaruudessa R n : x y 2 + x + y 2 = 2 x y 2. Miksi lausetta sanotaan suunnikaslauseeksi? 249. Todista: x = y x + y x y. 25. Laske avaruuden R 4 vektoreiden x = 3 2 ) T ja y = ) T 3 välisen kulman kosini. Mikä on kulman suuruus? ; Laske avaruuden R 5 pisteiden P = ) T ja Q = ) T välinen etäisyys Valitse jokin avaruuden R 5 yksikkövektori x ja muodosta tämän avulla matriisi H = I 2xx T. Tutki, ovatko matriisin H pystyvektorit ortonormeeratut. Laske vektorin x ja matriisin H pystyvektoreiden välisten kulmien kosinit ja itse kulmat Vektorit V b = i+2j+3k, b 2 = i+2j, b 3 = i muodostavat avaruuden E 3 kannan. Avaruus E 3 varustetaan sisätulolla siten, että tämä kanta on ortonormeerattu, ts. sisätulolla on lauseke u v) = ξ η + ξ 2 η 2 + ξ 3 η 3, missä luvut ξ,ξ 2,ξ 3 ja η,η 2,η 3 ovat vektoreiden u ja v koordinaatit em. kannassa. Esitä sisätulon lauseke kantaan {i,j,k} liittyvien koordinaattien avulla. Totea, että lauseke voidaan kirjoittaa muotoon x T A T Ay, missä A on sopiva matriisi. Laske vektoreiden j ja k täten määritelty sisätulo Olkoon F : R n R n lineaarikuvaus. Osoita: Fx) Fy)) = 2 Fx + y) 2 Fx) 2 Fy) 2). Päättele tämän avulla, että jos lineaarikuvaus säilyttää vektorien pituuudet ts. Fx) = x x), niin se säilyttää myös vektorien väliset kulmat ts. Fx),Fy)) = x,y) x,y).