Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/2

Transkriptio

1 Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/ Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta. Laskin on jätettävä etupöydälle sen saa palautettuaan A- osan tehtävät. Vastaa kolmeen A-osan tehtävään. 6p/tehtävä. Osa A: Vastaa kolmeen tehtävään kysymyspaperille. 6p/tehtävä. 1. Piirrä koordinaatistoon yksikköympyrä (1p) ja siihen kulma, jonka suuruus on 7 a) 450 (1p) b) - (p) 6 c) Piirrä samaan koordinaatistoon yksikkövektori, joka on vektorin a i j suuntainen (p). Olkoon piste A=(-1,) ja piste B=(,-5). Määritä piirtämällä piste C, jonka paikkavektori on OC OA OB. a 5 b 7. Olkoon ja sekä ( a, b) 90. Määritä vektorin c a b pituus. 4. a) Ratkaise yhtälö (asteina) cos 0, 5 b) Ratkaise yhtälö (radiaaneina) sin x 0, 5

2 Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu / Osa B: Vastaa kahteen tehtävään omalle konseptille. 6p/tehtävä. 5. Suunnikkaan sivuvektorit ovat a i 5 j ja b 4i j. Määritä suunnikkaan kärkipisteiden paikat, kun molempien sivuvektoreiden alkupiste on piste (1,1). Määritä pisteet laskemalla. 6. Lammen pinnalla olevan ongenkohon etäisyys lammen pohjasta vaihtelee funktion h( t) 0.0cos t 1, 5 mukaisesti, kun t on onkimiseen kulunut aika minuutteina ja h(t) on etäisyys metreinä. Määritä mikä on kohon pienin ja suurin etäisyys lammen pohjasta ja kuinka nopeasti kohon etäisyys muuttuu pienimmästä suurimpaan. 7. Olkoon piste, A. Määritä pisteen B koordinaatit, kun piste B on vektorin v i 4j suunnassa 4 pituusyksikön etäisyydellä A:sta. 8. Ratkaise yhtälö sin x 1 0. Anna vastaus radiaaneina tarkkana arvona. Ekstra: 9. Samasta pisteestä lähtevät vektorit kolmion pinta-ala. a 7i j ja b i 8 j virittävät kolmion. Määritä 10. Samasta pisteestä lähtee kaksi vaakasuoraa valosädettä, joilla valaistaan kohteet, joiden etäisyydet valolähteestä ovat 9 m ja 45 m. Missä kulmassa säteiden täytyy lähteä, kun kohteiden välinen etäisyys on 6 m? Mitatut etäisyydet muodostavat kolmion. Laske kolmion muodostuneen kolmion pinta-ala. 11. Lentokentältä nouseva lentokone nousee pisteestä (0,0,0) alkaen vektorin s i j 5k suuntaisesti. Millä korkeudella lentokone on ylittäessään pisteitä A(10,0,0) ja B(0,40,0) yhdistävän xy-tasossa kulkevan tien? Yksi pituusyksikkö vastaa 100 m.

3 Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /5 1. Piirrä koordinaatistoon yksikköympyrä (1p) ja siihen kulma, jonka suuruus on 7 a) 450 (1p) b) - (p) 6 c) Piirrä samaan koordinaatistoon yksikkövektori, joka on vektorin a i j suuntainen (p) Kommentti: Yksikköympyrä harpilla, merkitse säde ykköseksi! Taulukkokirjasta löytyy 7/6 pii kulma asteina. Yksikkövektorin pituus on 1, joten riittää että piirtää tehtävän suuntaisen vektorin ympyrän kehään asti.. Olkoon piste A=(-1,) ja piste B=(,-5). Määritä piirtämällä piste C, jonka paikkavektori on OC OA OB. Kommentti: Paikkavektorit piirretään erikseen ensin. Summan saa siirtämälä toisen alkamaan toisen loppupäästä. Katsotaan kuvaajasta piste johon siten päädytään. Vastaus: Kuvasta nähdään pisteen C koordinaatit (1, ). Olkoon a 5 ja b 7 sekä ( a, b) 90. Määritä vektorin c a b pituus. Kommentti: Piirros auttaa hahmottamaan että pituus voidaan laskea Pythagoraan avulla.

4 Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 4/5 b c a Vektori c on hypotenuusana suorakulmaisessa kolmiossa, joten sen pituus saadaan Pythagoraan lauseella: c , ,6 Vastaus: Vektorin c pituus on 4. a) Ratkaise yhtälö (asteina) cos 0, 5 b) Ratkaise yhtälö (radiaaneina) sin x 0, 5 Kommentti: Ilman laskinta on katsottava taulukkokirjasta millä kulmilla cos saa arvon 0,5. cos x 0,5 x n : x n 6 n on kokonaisluku Vastaus: o + n 180 o b) ei voi ratkaista ilman laskinta! Laskimella: sin x 0,5 : sin x 0, 5 x 0,56... n x,56...) n x 0, 5 n x,9 n n on kokonaisluku Vastaus: x 0, 5 n x,9 n n on kokona isluku 5. Suunnikkaan sivuvektorit ovat a i 5 j ja b 4i j. Määritä suunnikkaan kärkipisteiden paikat, kun molempien sivuvektoreiden alkupiste on piste (1,1). Määritä pisteet laskemalla. Kommentti: Jälleen piirros on paikallaan tilanteen hahmottamiseksi, mutta tehtävä on silti ratkaistava laskemalla. Käytetään hyväksi pisteen paikkavektoria. Kärkipisteet ovat sivuvektoreiden päätepisteissä sekä sivuvektoreiden summavektorin päätepisteessä. OB OA a i j i 5 j 4i 6 j OC OA b i j 4i j 5i j OD OA a b i j i 5 j 4i j 8i j Vastaus: Kärkipisteet ovat (4,6), (5, ) ja (8,).

5 Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 5/5 6. Lammen pinnalla olevan ongenkohon etäisyys lammen pohjasta vaihtelee funktion h( t) 0.0cos t 1, 5 mukaisesti, kun t on onkimiseen kulunut aika minuutteina ja h(t) on etäisyys metreinä. Määritä mikä on kohon pienin ja suurin etäisyys lammen pohjasta ja kuinka nopeasti kohon etäisyys muuttuu pienimmästä suurimpaan. Funktion h(t) suurin ja pienin arvo voidaan selvittää tarkastelemalla funktiota osissa. t 1 cos 1 0,0 0,0cos t 0,0 1, 0,0cos t 1, 5 1, 7 Suurimman ja pienimmän arvon funktio saa kun cos( t) 1 ja cos( t) 1 t t cos 1 cos 1 t n t n : t n t 1 n Jakso on n (minuuttia), joten aika pohjasta huippuun on puolijaksoa eli 1 min. Vastaus: Kohon etäisyys pohjasta vaihtelee välillä [1,; 1,7] ja koho saavuttaa pienimmän ja suurimman etäisyyden minuutin välein. 7. Olkoon piste, A. Määritä pisteen B koordinaatit, kun piste B on vektorin v i 4j suunnassa 4 pituusyksikön etäisyydellä A:sta. Kommentti: Määritetään v:n yksikkövektori, kerrotaan se neljällä ja lisätään pisteen paikkavektoriin. 0 1 OA i j ; v ( 4) 5; v ( i 4 j ) 5 OB OA 4v 0 i j 4 1 i 4 j i 1 j Vastaus: Piste B on 1, Ratkaise yhtälö sin x 1 0. Anna vastaus radiaaneina tarkkana arvona. Kommentti: Yhtälö on hankala, koska siellä on sinin toinen potenssi. Sievennetään ensin muotoon sin x = 0,5, ja otettaessa neliöjuurta muistetaan tarkastella molemmat ratkaisut (pos ja neg). Kummallakin on kaksi ratkaisusarjaa, joten saadaan neljä eri ratkaisusarjaa!!

6 Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 6/5 sin x 10 sin x 1 : 1 sin x 1 1 sin x tai sin x 5 5 x n : tai x n : tai x n : taix n : x n tai x n tai x n tai x n Vastaus: x n tai x n tai x n tai x n, missä n on kokonaisluku ( tai x n, missä n on kokonaisluku) 8 4 Ekstra: 9. Samasta pisteestä lähtevät vektorit kolmion pinta-ala. a 7i j ja b i 8 j virittävät kolmion. Määritä Kommentti: Kolmion pinta-alalle löytyy oma kaavansa kolmiolle joka ei ole suorakulmainen. Tarvitaan kahden sivun pituus ja niiden välinen kulma, joka saadaan kosinilauseesta. Helppo nakki! Pistetulon avulla ratkaistaan vektorien välinen kulma. a 7 5; b ab (7i j) ( i 8 j) 7 16 cos A a b sin 5 65 sin 66, Vastaus: Kolmion pinta-ala on 7 (pinta-alayksikköä). 10. Samasta pisteestä lähtee kaksi vaakasuoraa valosädettä, joilla valaistaan kohteet, joiden etäisyydet valolähteestä ovat 9 m ja 45 m. Missä kulmassa säteiden täytyy lähteä, kun kohteiden välinen etäisyys on 6 m? Mitatut etäisyydet muodostavat kolmion. Laske kolmion muodostuneen kolmion pinta-ala. Kosinilauseesta saadaan:

7 Mb8 Koe Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 7/ cos 0 cos 110 : cos , A 9 45 sin65, , m 6 m 45 m Vastaus: Säteiden välinen kulma on 65 ja muodostuneen kolmion pinta-ala on 590 m. 11. Lentokentältä nouseva lentokone nousee pisteestä (0,0,0) alkaen vektorin s i j 5k suuntaisesti. Millä korkeudella lentokone on ylittäessään pisteitä A(10,0,0) ja B(0,40,0) yhdistävän xy-tasossa kulkevan tien? Yksi pituusyksikkö vastaa 100 m. Tutkitaan ensin xy-tasossa, missä pisteessä lentoreitti ja tie kohtaavat. Merkitään leikkauskohtaa P(x,y) ja koneen kulkemaa suuntaa xy-tasossa s i j. Tällöin OP ts xy OA vab t(i j) 10 i v (0 10) i (40 0) i ti t j (10 10 v) i 40v j t 10 10v 10vt t 40 v : t v 10v v10 v v 10 : t Tällöin lentokoneen paikkavektori ylityskohdassa on OL ts (i j 5 k) i j k Koneen korkeus ylityskohdassa on tällöin Vastaus: Lentokone ylittää tien 1800 m korkeudella. xy 100m 1818,18...m