Lineaarialgebra 5 op

Transkriptio

1 Lineaarialgebra 5 op

2 Vektorit osa1 Peruslaskutoimitukset Komponenttiesitys Vektorin pituus Jana vektorimuodossa Koordinaatistopisteen paikkavektori

3 Vektorit Vektoreita tarvitaan mekaniikassa ja fysiikassa esittämään suureita, joihin liittyy suuruuden lisäksi myös suunta: esim. voima F ja nopeus v. Kuvioissa vektoreita esitetään nuolilla. Vektori voidaan esittää antamalla sen komponentit koordinaattiakselien suunnassa, tai vaihtoehtoisesti antamalla pituus ja suuntakulma esim. Lentokoneen nopeus v = (00m/s, 100 m/s) tai ts. v = 3.6 m/s suuntaan 6.6 o eli lyh. 3.6 <6.6 o Miten vektorin merkintä poikkeaa tavallisista luvuista eli skalaareista? Suositeltava tapa: Jos alkupiste on A ja loppupiste B, käytetään Huom: Koneella kirjoitetussa tekstissä (esim. Office) yläviivojen käyttäminen on hidasta. Tällöin vektori erotetaan skalaarista pelkästä lihavoinnilla. Esim. symbolijonossa (t, k, a, b, v, F, c) on 4 skalaaria ja kolme vektoria (a, v, F)

4 Peruslaskutoimitukset b a Summa a a + b a + b b a + b suunnikassääntö vastavektori -b erotus a b = a + (-b) -b a a b a - b suunnikassääntö vakio*vektori, esim. 3b 3b

5 Esim1) Kuvan suunnikkaan kärjestä A lähtevät vektorit a ja b. Pisteet K ja L ovat suunnikkaan sivujen AD ja CD keskipisteessä. Piste M sijaitsee ¼ matkaa C:stä kohti B:tä. Esitä vektorien a ja b avulla seuraavat vektorit: a) AC= a + b b) BD= -a + b ( eli b a) c) KC= ½ b + a d) AL= b + ½ a e) LK= - ½ a ½ b f) KM = ½ b + a ¼ b = a + ¼ b

6 Vektorit koordinaatistossa a = (,4) b = (-3, ) c = (-1, -4)

7 Algebrallisesti: Vektorien peruslaskutoimitukset komponenttimuodossa (a 1,a ) + (b 1,b ) = (a 1 + b 1, a + b,) (a 1,a ) - (b 1,b ) = (a 1 - b 1, a - b ) t (a 1, a ) = (t a 1, t a ) Esim. Vektori a = (1,) ja b = (3,-). Laske a) a + b = (1+3, -) = (4, 0) b) a b = (1-3, (-)) = (-, 4) c) - b = (-*3, -*(-)) = (-6, 4) d) 3 a 4 b = (3,6) (1, -8) = (3-1, 6 + 8) =(-9, 14) Useat laskimet, mm. wolframalpha osaavat laskea vektoreilla: Esim. tehtävä d) voidaan syöttää 3*(1,) -4*(3,-) [Enter] Eräissä TI-laskimissa sulkujen pitää olla muodossa {1,} tai [1,]

8 a a a 1

9 Esim. a) ( +4 ) = 0 = 4.5 (3 + ) = 13 = 3.6 (1 +4 ) = 17 = 4.1 b) Summavektori ja sen pituus s = (,4)+(-3,)+(-1,-4) =(-, ) s = ( + ) = 8 =.8

10 Janan AB vektorimuoto AB a) Esitä jana AB vektorina, kun päätepisteiden koordinaatit ovat A(-,3) ja B(3,7) (3,7) (-,3) =(3-(-), 7-3) = (5,4) Sääntö: Vektori AB saadaan vähentämällä janan loppupisteen koordinaateista janan alkupisteen koordinaatit b) Laske myös janan pituus AB = (5 +4 )= 41 = 6.4

11 Esimerkki Suunnistaja juoksee ensin rastilta A rastille B, joiden koordinaatit ovat A(150, 00) ja B (340, 30). Sitten hän jatkaa rastille C (400, 60) Laske a) välimatka rastilta A rastille B b) välimatka rastilta B rastille C c) rastin A ja rastin C välimatka linnuntietä. rastivälit vektorimuodossa rastivälien pituudet (340,30)-(150,00) = (190, 10) ( )=5m (400,60)-(340,30) = (60, 300) 306 m (400,60) (150,00) =(50,40) 489 m

12 r φ Napakoordinaatit r ja φ Muunnokset (r < φ) =>(x,y) (x,y) => (r < φ)

13 Napakoordinaatit r,φ Vektoreita esitetään komponenttimuodossa (x,y) tai vaihtoehtoisesti napakoordinaattien avulla (merk. r < φ), missä r = vektorin pituus ja φ on vektorin suuntakulma (vektorin kulma positiivisen x akselin kanssa) Vektorin komponentit (x,y) saadaan napakoordinaateista muunnoskaavoilla x r cos y r sin Tehtävä: Laske kuvan vektoreiden summavektori ja sen pituus. Eräillä laskinmalleilla (mm. Ti-89) tämän tehtävän voisi ratkaista erittäin helposti: [1<60] + [7<155] + [9<70] Enter antaa suoraan summavektorin pituuden ja suunnan [4.53 < 104.4] (ei toimi enää Ti CAS:ssa)

14 Muunnoskaavat molempiin suuntiin Komponenttimuoto ja napakoordinaattiesitys r = (x +y ) φ = tan -1 (y/x) (+ 180 o, jos x<0) r (x,y) (x,y) = (r cosφ, r sinφ) φ Esim. laske ao. kuvan vektorien summavektori ja sen pituus 1 cos60 o 1 sin60 o + 7 cos155 o 7 sin 155 o + 9 cos65 o 9 sin65 o = = 4,385 Summavektori s = (-1.13, 4.39) pituus s = ( ) = 4.53 suunta tan -1 (4.39/-1.13) o = o

15 Esim. Suunnistaja juoksee ensin itään 500 m, ja sitten koilliseen 300 m. Kuinka kaukana hän on lopussa lähtöpisteestään? Lasketaan väli AB vektorimuodossa: AB = (500, 0 ) + (300 cos45 o, 300 sin45 o ) = (71.1, 1.1) Välimatka = vektorin pituus AB = ( ) m= 743 m

16 Esim. Maanmittari määrittää pisteiden A ja B välimatkan. Välissä on este, joka täytyy kiertää, joten mittaus tehdään kuvan mukaisesti pätkissä. Laske vektoreita käyttäen väli AB. (Tehtävä tehtiin syksyllä vaikealla tavalla kosinilauseella) Napakoordinaattilaskimella tehtävä olisi helppo: [150<0] + [130<40] + [ 180<85] [Enter] antaa [373.5 < 44.7] (150, 0 ) + (130 cos40 o, 130 sin40 o )+(180 cos85 o, 180 sin85 o ) = (65.3, 6.9) Vektorin pituus AB = ( ) m= m Laske tehtävät 9-11

17 ke. 5.1 Vektorien pistetulo Vektorien väl. Kulma *tehtäväosiot E ja F: Teht lasketaan To 6.1 3D Vektorit kolme komponenttia (x,y,z) D vektori (a 1,a ) 1 a a a 3D vektori (a 1,a,a 3 ) 1 a a a a 3 Kuvassa on vektori (,3,5) jonka pituus on

18 Vektorien kertolaskut pistetulo antaa reaaliluvun ristitulo antaa vektorin

19 Vektorien skalaaritulo eli pistetulo Vektoreille on määritelty ns. skalaaritulo eli pistetulo ഥa.ഥb b φ a Määritelmä = pituuksien tulo x vektorien välisen kulman kosini Cos funktio on 1- säteisessä ympyrässä kulmaa vastaavan kehäpisteen x koordinaatti => cos0 o = 1, cos90 o = 0, cos180 o = -1

20 Pistetulon laskeminen komponenttimuodosta D -vektorien a = (a 1,a ) ja b = (b 1,b ) pistetulo laskettuna komponenteista Esim. Laske (1, 4). (3, ) = 1*3 + 4* = 11 3D vektoreille Esim. Laske (5, -1, 3). (3,, -4 ) = 5*3 + (-1)* + 3*(-4) = 15 1 = 1

21 Pistetulo laskimissa Esim. (1,,3). (4,5,6) = 1*4+*5+3*6 = =3 WOLFRAMALPHA Käytetään pistettä kertomerkkinä TI -89 TI INSPIRE CAS dotp({1,,3},{4,5,6}) Käytetään dotp() funktiota

22 Esim1. Laske vektorien a ja b pistetulo a. b, kun a) a = 5, b = ja vektorit ovat samansuuntaiset b) a = 5, b = ja vektorit ovat vastakkaissuuntaiset c) a = 5, b = ja vektoreiden välinen kulma = 90 o a) *5*cos0 o = 10 b) *5*cos180 o = -10 c) *5*cos90 o = 0 Esim. Laske vektorien a ja b pistetulo a. b, kun a) a = (,4) ja b = (3,1) b) a = (1,4,) ja b = (3,1, -1) (,4).(3,1) = *3+4*1 = 10 (1,4,).(3,1,-1) = 1*3+4*1+*(-1) = 5 Kaava: a. b=abcos φ =a 1 b 1 +a b +a 3 b 3

23 Pistetulon sovelluksia 1.Vektorien välisen kulman laskeminen. Vektorin projektiot toisen vektorin suunnassa (skalaari- ja vektoriprojektio)

24 1. Vektorien välisen kulman laskeminen Pistetulon määritelmästä a. b = abcos seuraa, että vektorien a ja b välisen kulman voi laskea yhtälöstä cos a b a b Esim. Laske vektorien ( 3, 1) ja ( 1, ) välinen kulma. cos 3 (3,1) (1,) 1 1 3*11* => γ = cos -1 (0.7071) = 45 o

25 . Kolmion sivujen ja kulmien ratkaiseminen, kun kärkipisteet on annettu C Kolmion kärkipisteet ovat A(3,4), B(1,1) ja C(5,). Määritä kolmion ABC a) sivujen pituudet b) kulmat c) ala a) Sivut esitetään vektoreina. Lasketaan pituudet AB = (1,1) (3,4) = (-,-3) AB = 13 AC = (5,) (3,4) = (,-) AC = 8 BC = (5,) (1,1) = (4,1) BC = 17 A α B AB AC ( ) AB AC 1 BA BC ( BA BC (, 3).(, ) cos ( ) (,3).(4,1) o cos ( ) b) Kulmat 1 1 o cos cos ) α = 180 o 78.7 o 4.3 o = 59.0 o c) Ala: A = ½ a b sin γ = ½ 13 8 sin78.7 o = 5.0 ( ala = ½*kahden sivun tulo*niiden välisen kulman sini )

26 3. Vektorin kohtisuoruuden tutkiminen a ba. b = 0 Mitkä kaksi vektoreista a = (1,), b = ( 1, - ) ja c = (4,-) ovat toisiaan vastaan kohtisuorassa? a.b = (1,).(1,-) = 1*1+ *(-) = 1 4 = - 3 ( 0 =>eivät ole kohtisuorassa) a.c = (1,).(4,-) = 1*4+ *(-) = 4 4 = 0 (=>ovat kohtisuorassa) pitempi laskutapa olisi laskea vektorien väliset kulmat edellisen kalvon tapaan 4. Annetun vektorin kanssa kohtisuoran vektorin löytäminen. Esim. Määrää jokin vektoria (, 3) vastaan kohtisuora vektori. Ratkaisu: esim. (3, - ), koska (,3).(3,-) = *3 + 3* - = 0 Muitakin ratkaisuja on: mm. kaikki vektorin (3,-) monikerrat. Yleisesti vektorin (a, b) kanssa kohtisuora vektori on ainakin (b,-a), koska pistetulo on tällöin ab-ba = 0.

27 Projektiot Skalaariprojektio Vektoriprojektio Yksikkövektori

28 Yksikkövektori (cosφ, sinφ) Määritä vektori, joka on vektorin (3,5) suuntainen ja jonka pituus on 1? Tapa1: Ratkaistaan vektorin (3,5) suuntakulma ϕ yhtälöstä tan ϕ = 5/3 = ϕ = tan -1 ( ) = o Kysytty yksikkövektori on siten (1*cos(59.04 o ), 1*sin(59.04 o )) = (0.514, 0.857) Tapa: Lasketaan vektorin (3, 5) pituus: r = (3 + 5 ) = 34 = Kaavoista x = r cos ϕ ja y = r sin ϕ saadaan cos ϕ = x/r ja sin ϕ = y/r Sovellettuna esimerkin vektoriin: (cos ϕ, sin ϕ ) = ( x/r, y/r ) = (3/5.831, 5/5.831) = (0.514, 0.857) Vektorin a = (x, y) suuntainen yksikkövektori a 0 x y (cos,sin) (, ) missä vektorin pituus r = (x + y ) r r

29 Ongelma, joka voidaan ratkaista projektioilla Tien päätepisteet ovat A(100, 50) ja B(700, 150). Pisteessä M(350,450) on muuntaja, josta on vedettävä kaapeli suoraan tielle pisteeseen P. Laske a) Pisteen P etäisyys pisteestä A b) Kaapelin pituus c) Pisteen P koordinaatit

30 Ratkaisu aiemmin opittuja menetelmiä hyödyntäen. Tien päätepisteet ovat A(100, 50) ja B(700, 150). Pisteessä M(350,450) on muuntaja, josta on vedettävä kaapeli suoraan tielle pisteeseen P. Laske a) Pisteen P etäisyys pisteestä A b) Kaapelin pituus c) Pisteen P koordinaatit a) AP:n pituus saadaan kaavalla AMcosα AM = (350,450) (100,50) = (50, 400), pituus AM = ( )= AB = (700,150) (100,50) = (600, 100), pituus AB = ( )= cosα = AM.AB AMAB = = 0.66 Siten janan AP pituus on AMcosα = 471.7*0.66 = 31 m b) Kaapelin pituus AMsinsα cosα = 0.66 => α = cos -1 (0.66) = o, Kaapelin MP pituus AMsinα = 471.7*sin(48.55 o ) = 354 m tai Pythagoraan lauseella m c) Vektoriesitys AP :lle : pituus r = 31 m Suuntakulma ϕ = tan -1 (100/600) = 9.46 o, joten AP = ( r cos ϕ, r sin ϕ) = (31 cos(9.46 o ), 31 sin(9.46 o ) = (308.1, 51.4) Pisteen P koordinaatit : തP = A ҧ + AP = (100, 50 ) + (308.1, 51.4) = (408.1, 101.4)

31 Esimerkkitehtävä voidaan tehdä lyhyemmin seuraavilla kaavoilla Kuvassa on vektorit a ja b, sekä a:n projektiovektori a b vektorin b suunnassa. Projektiovektorin pituutta kutsutaan skalaariprojektioksi : cos b b a b a b a a a a b Projektiovektoria vektorimuodossa kutsutaan vektoriprojektioksi : b b b a b b b b a b a a b b 0 * Teht. 19, 0,1

32 Tien päätepisteet ovat A(100, 50) ja B(700, 150). Pisteessä M(350,450) on muuntaja, josta on vedettävä kaapeli suoraan tielle pisteeseen P. Laske a) Pisteen P etäisyys pisteestä A b) Kaapelin pituus Aiempi esimerkki projektiokaavoja käyttäen c) Pisteen P koordinaatit a) Janan AP pituus on juuri vektorin AM skalaariprojektio vektorilla AB. Ts. kaavan a = AM = (50, 400) ja kaavan b = AB = (600, 100) a b (50,400) (600,100) AP ab 31m b b) Kaapelin pituus lasketaan helpoimmin Pythagoraan lauseella: a = = 471.7, a b = 31 => MP= = 354m c) Vektori AP = vektoriprojektio ഥa b AP a b a b (50,400) (600,100) b (600,100) 0.514*(600,100) b (308.1,51.4) Pisteen P koordinaatit saadaam lisäämällä A:n paikkavektoroon vektori AP: P = A + AP = (100, 50) + ( 308.1, 51.4) = (408.1, 101.4)

33 Janan keskipisteen ja kolmion painopiste lasketaan koordinaattikeskiarvoina pääte- ja kärkipisteistä Janan keskipiste Keskipiste x1 x y1 y : (, ) Kolmion painopiste Painopiste x1 x x3 y1 y y3 : (, 3 3 )

34 Vektoriyhtälöiden ratkaisu algebrallinen menetelmä Esim. kg (G = mg =19.6 N) kuula on juuttunut kahden seinämän väliin kuvan mukaisesti. Laske tukivoimat N 1 ja N seinämästä palloon. Käytä menetelmänä vektorien jakoa komponentteihin. Vastauksena riittää yhtälöpari. Kokeile sen ratkaisua wolframalpha.com:lla Tasapainoehto G + N 1 + N = 0 => (0, -19.6) + (N1cos15, Nsin15) + (N cos135, Nsin135) = (0,0) N 1 cos(15 o ) + N cos(135 o ) = 0 N 1 sin(15 o ) + N sin(135 o ) = 19.6

35 Vektoriyhtälöiden ratkaisu geometrinen menetelmä Esim. kg (G = mg =19.6 N) kuula on juuttunut kahden seinämän väliin kuvan mukaisesti. Laske tukivoimat N 1 ja N seinämästä palloon. Käytä menetelmänä vektorien jakoa komponentteihin. Vastauksena riittää yhtälöpari. Kokeile sen ratkaisua wolframalpha.com:lla Tasapainoehto G + N 1 + N = 0 esitetään voimakolmiona Voimat ratkaistaan sinilauseella 19.6 N N 1 sin60 sin 45 sin75

36 Vektorien ristitulo engl. cross product a b Huom! Ristitulo on määritelty vain 3D vektoreille (ei D)

37 Ristitulon ഥaxഥb määritelmä Ristitulo ഥaxഥb on vektori, joka on 1) Kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan ) Suunta saadaan oikean käden säännöllä: (etusormi a, keskisormi b, peukalo axb) 3) Ristitulovektorin pituus on തaxതb = a b sinϕ sen pituus on vektorien a ja b määräämän suunnikkaan ala Ominaisuuksia: ഥbxഥa = - ഥaxഥb kun järjestys tulossa vaihdetaan, suunta vaihtuu päinvastaiseksi Muuton normaalit osittelulait pitävät paikansa ഥax(ഥb+തc) =ഥaxഥb + തaxതc j.n.e Ristitulo = (0,0,0), kun vektorit a ja b ovat saman- tai vastakkaissuuntaiset.

38 Ristitulon laskeminen A) kynällä ja paperilla, B) laskimella, C) WolframAlphalla A) Käsin laskeminen tapahtuu determinantin avulla Matriisi = lukutaulukko Esim. A = 5 on x neliömatriisi, jonka alkiot ovat, 5, 1 ja Determinantti = neliömatriisiin liittyvä reaaliluku x neliömatriisin determinantti lasketaan sen lävistäjien tulojen erotuksena. Determinanttia merkitään itseisarvomerkeillä tai kirjoittamalla det(a). Kaava: Esim. a b c d = a d c b Det(A) = = *4 1*5 = 8 5 = 3

39 WolframAlphalla: det ((,5), (1,4)) antaa tulokseksi 3 3x3 - neliömatriisi Esim. B = on 3 x 3 neliömatriisi 3 x 3 neliömatriisin determinantin laskeminen Ylärivin alkiot kerrotaan niitä vastaavilla x alideterminanteilla, jotka saadaan peittämällä alkion rivi ja sarake. Tulot lasketaan yhteen siten, että keskimmäisen tulon etumerkki vaihdetaan negatiiviseksi Det(B) =* * * = *(-5) 5*(-) + 1*(-1) = 99 Tarkistus koneella: WolframAlpha: det ((,5,1),(3,1,7),(4,1,)) antaa 99 Laskimissa tarvitaan yhdet sulut enemmän det (((,5,1),(3,1,7),(4,1,))) antaa 99 Excelissä on helppo laskea determinantit

40 Vektorin esitysmuoto (x i + y j ҧ + z തk) 3D vektorin esitys koordinaattiakselien suuntaisten yksikkövektorien avulla Merkitään x, y ja z akselien suuntaisia yksikkövektoreja symboleilla i = (1,0,0), j = (0, 1, 0), k = ( 0,0,1) Tällöin jokainen 3D vektori voidaan esittää niiden avulla, esim Vektori (, 4, 1) = i + 4 j + k Tätä merkintätapaa käyttäen voi myös laskea vektoreja yhteen: Esim (, 1, - 5) + ( 4,, 7 ) = ( + 4, 1 +, ) = (6, 3, ) voidaan laskea myös seuraavasti: i + j -5 k + 4 i + j + 7 k = ( +4) i + (1+) j + (-5+7) k = 6 i +3 j + k mikä muistuttaa paljon polynomilausekkeiden sieventämistä Laskimet eivät tunne yksikkövektoriesitystä

41 ҧ ҧ ҧ ҧ Ristitulo lasketaan determinanttina Vektorien a =(a 1, a, a 3 ) ja b =(b 1, b, b 3 ) ristitulovektori lasketaan determinanttina തaxതb = i j തk a1 a a3 b1 b b3 Ristitulo laskimissa: Esim. (1, 5, ) x (3, 1, 3) = = i * j* k* = 13 i +3 j -14 k = (13, 3, -14) i j തk = 13 i (-3) j + (-14) k Sovellustehtävissä ristitulo kannattaa laskea koneella! 1) WolframAlpha (1,5,)*(3,1,3) Result: (13,3,-14) ) TI laskin crossp((1,5,),(3,1,3)) ssa suluista voi olla aaltosulkuja

42 ҧ ҧ Maanmittareiden kaava kolmion alalle Yleisesti : Kolmion samasta kärjestä lähtevät sivuvektorit ovat (x 1,y ) ja (x, y ). Laske kolmion ala. Kun lisätään vektoreihin z- komponentti 0, ja lasketaan vektorien ristitulo, saadaan (x 1,y,0) x (x, y,,0) = i j തk x1 y1 0 x y 0 = k x1 y1 x y = ( 0, 0, x1 y1 x y ) Kolmion ala A = ½ x1 y1 x y Esim. Kolmion samasta kärjestä lähtevät vektori ovat (,4) ja (5,1) Kolmion ala A = ½ = ½*-18 = 9

43 Tunnit ennen hiihtolomaa: To 9. ristitulon sovellukset Ristitulon sovelluksia Pinta-alalaskut Ma 13. Skalaarikolmitulo + laskuharjoituksia Ke 15. (laskujen tekoa + kertauslaskuja ) Ti 1. kertauslaskujen läpikäynti Ke. koe vektoriopista Huom aika: 9: Laskutehtävien palautus Ke 1.3 koepalautus 1 h To.3 uusintakoe

44 Kolmion pinta-alan laskeminen Ristitulon määritelmä: Seuraus: Olkoot a ja b kaksi vektoria, jotka lähtevät kolmion samasta kärjestä. Kolmion ala = puolet ristitulovektorin a x b pituudesta. Kolmion ala A 1 a b

45 ESIM1: Kolmion kärkipisteet A,B ja C annettu. (3D avaruudessa). Laske kolmion ala Lasketaan kärjestä A lähtevät vektorit: AB = (5,,1) (1,1,1) = (4,1,0) AC = (,7,3) - (1,1,1) = (1,6,) Lasketaan ristitulovektori ABxAC : (4,1,0)x(1,6,) = (, -8, 3) Laskimissa norm() = vektorin pituus Ala on puolet ristitulovektorin pituudesta: A 1 1 a b

46 ESIM1: Kolmion kärkipisteet A,B ja C ovat D koordinaattipisteitä (x,y) kartassa. Laske kolmion ala Lasketaan kärjestä A lähtevät vektorit: AB = (45,) (10,5) = (35,-3) AC = (5,30) (10,5) = (15,5) LISÄTÄÄN VEKTOREIHIN Z- KOORDINAATTI 0 Lasketaan ristitulovektori ABxAC : (35,-3,0)x(15, 5, 0) = (0, 0, 90) Huom! XY tason vektorien pistetulo on z- akselin suuntainen Ala on puolet ristitulovektorin pituudesta: A 1 *90 460

47 Yksinkertaisempi kaava kartassa olevien kolmion muotoisten alueiden pinta-alojen laskentaan LISÄTÄÄN VEKTOREIHIN Z- KOORDINTAATTI 0 ja lasketaan ristitulovektori i j k x1 y1 0 x y 0 x1 x y1 k y Vektorilla on vain z- komponentti, joten sen pituus on puolet tämän arvosta A 1 x1 x y1 y Maanmittauksessa pinta-alalaskenta perustuu kolmioihin ja tämän kaavan käyttöön. Huom! Kaavan determinantti voi olla < 0, joten kaavassa on vielä determinantin ympärillä itseisarvomerkit

48 ESIM1 ratkaistuna maanmittareiden kaavalla Kolmion kärkipisteet A,B ja C ovat D koordinaattipisteitä (x,y) kartassa. Laske kolmion ala Lasketaan kärjestä A lähtevät vektorit: AB = (45,) (10,5) = (35,-3) AC = (5,30) (10,5) = (15,5) A (35* 5 15*( 3))

49 Lasketaan aiempi esimerkki maanmittareiden kaavalla Lasketaan kärjestä A lähtevät vektorit: AB = (45,) (10,5) = (35,-3) AC = (5,30) (10,5) = (15,0) Ala _ A 0 1 ( ) 37.5 Huom! Kaavan determinantti voi olla < 0, joten kaavassa on vielä determinantin ympärillä itseisarvomerkit

50 Esim. Lammen pinta-alan laskeminen Kierretään lampi ja mitataan pisteiden A- F koordinaatit GPS:llä: A = (810, 80) B = (500, 60) C = (550, 350) D =(80, 550) E =(1070, 530) F = (1090, 70) Ala voidaan laskea neljän kolmion alan summana. Ensin pitää laskea vektorit jotka lähtevät pisteestä A: AF = (80, -10) AE = (60,450) AD = (10, 470) AC=(-60, 70) AB=(-310, -0) A 1 ( ) 30050m

51 Kaavat pinta-alalaskuihin 3D kolmion ala A 1 a b Laskin: ½* norm( a x b) x1 D kolmion ala A 1 x y1 y Maanmittarien kaava Tehtäviä: alkuviikon tunteihin liittyviä (osio J: 7, 8) kolmion alan sovellukset (osio K: 9 3)

52 Skalaarikolmitulo ഥaxഥb. തc

53 Kolmitulo ഥaxഥb. തc Kolmitulon laskeminen manuaalisesti: Kolmitulo lasketaan vektoreiden muodostamana determinanttina Esim. Laske (3,,1) x (1,,3).(5,4,) ( 8) ( 13) ( 6) 4 WolframAlpha ja TI- laskimet det( (3,,1), (1,,3), (5,4,)) antaa -4

54 1. Suuntaissärmiön tilavuuden laskeminen Olkoot suuntaissärmiön samasta kärjestä lähtevät kolme vektoria a = (a 1,a,a 3 ), b = (b 1,b,b 3 ) ja c = (c 1,c,c 3 ) ϕ Särmiön tilavuus V = vektorikolmitulon axb.c itseisarvo. Lieriöiden tilavuus V = A h V a b c Perustelu: a b c a b c cos A pohja h

55 Esim. Suuntaissärmiön kärkipisteen A(1,1,1) viereiset kärkipisteet ovat B(5,1,), C(3,7,4) ja D(,,9). Laske suuntaissärmiön tilavuus Lasketaan pisteestä A lähtevät vektorit jotka määräävät kuvan suuntaissärmiön AB = (4,0,1) AC = (, 6, 3) AD = (1, 1, 8) Tilavuus saadaan determinantin avulla det( (4,0,1), (1,6,3), (1,1,8)) = 176 V = 176

56 . Pisteen D kohtisuora etäisyys kolmion ABC tasosta Kysytty etäisyys h= suuntaissärmiön korkeus. ഥa, ഥb ja തc ovat pisteestä A lähtevät vektorit AB, AC ja AD Suuntaissärmiön korkeus on sen tilavuus V jaettuna pohjauunnikkaan alalla A h V A a b c a b

57 Esim. Laske pisteen D(3,7,) etäisyys kolmion A(1,,1)B(7,,1)C(1,4,3) tasosta Lasketaan pisteestä A lähtevät vektorit jotka määräävät kuvan suuntaissärmiön AB = (6,0,0) AC = (0,, ) AD = (, 5, 1) Kysytty etäisyys (kuvan h) = suuntaissärmiön tilavuus V jaettuna sen pohjasuunnikkaan alalla A det( (6,0,0), (0,,), (,5,1)) = -48 => V = 48 norm( (6,0,0)*(0,,) ) = => A = h V A h V A a b c a b a b c a b Laskimissa ja WolframAlphassa Vektorin pituus lasketaan funktiolla norm() Ti laskin det( {{6,0,0}, {0,,}, {,5,1}} ) norm(crossp( {6,0,0}, {0,,} )) norm( {1,,3} )

58 3. Tutki, ovatko pisteet A(1,1,1) B(,3,4) C(7,,1) ja D(5,,1) samassa tasossa. Pisteet ovat samassa tasossa jos vektorien AB, AC ja AD virittämän suuntaissärmiön tilavuus V = 0 Lasketaan A:sta lähtevät vektorit: AB = (1,,3) AC = (6,1,0) AD=(4,1,0) Suuntaissärmiön tilavuus (laskimella) det( (1,,3), (6,1,0), (4,1,0) ) = 34 Vastaus: Pisteet eivät ole samassa tasossa, koska tilavuus V > 0

59 4. Laske tetraedrin tilavuusa, kun sen kärkipisteet ovat A(1,1,1) B(,3,4) C(7,,1) ja D(5,,1) Lasketaan A:sta lähtevät vektorit: AB = (1,,3) AC = (6,1,0) AD=(4,1,0) Pyramidin ja kartion tilavuuden kaava V = 1/3 A *h Tedraedrillä on sama korkeus h kuin suuntaissärmiöllä, mutta pohja on puolet suuntaissärmiön pohjasta: Tilavuus = 1/3* (1/A)*h 1/6 A h = 1/6 suuntaissärmiön tilavuudesta = 34/6 = 5. 33

60 . kokeen koealue: D vektorit 1. Peruslaskutoimitukset summa, erotus, vakio*vektori komponenttimuodossa. Vektorin pituus 3. Yksikkövektori 4. Vektorien pistetulo 5. Vektorien välinen kulma 6. Sovellus: kolmion sivujen pituudet ja kulmat 7. Muunnokset napakoordinaateista komponentteihin ja päinvastoin 8. Vektoriyhtälön ratkaiseminen ( esim. voimien ratkaiseminen ) 9. Skalaariprojektio ja vektoriprojektio 3D vektorit 10. Vektorin pituus ja pistetulo 3D vektoreille 11. Ristitulon laskeminen 1. Ristitulon käyttö pinta-alalaskuissa 13. Skalaarikolmitulon laskeminen 14. Skalaarikolmitulon sovellukset (suuntaissärmiön tilavuus ym)