MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 6: Vektorikentän viivaintegraali
|
|
- Kauko Oskari Hakala
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 6: Vektorikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
2 Esimerkki: funktion keskiarvon laskeminen 1/3 Määritetään paraabelin kaaren y = x 2, x [ 2, 2], a) keskikaarevuus ja b) keskikaarevuussäde. Suoraviivaisin paraabelin parametrisointi on muotoa x = t, y = t 2, t [ 2, 2]. Tällöin r (t) = i + 2tj ja r (t) = 1 + 4t 2, joten kaarenpituudeksi saadaan ˆ ˆ 2 ˆ 2 1 ds = 1 + 4t2 dt = t2 dt 2 = ln( 17 4) 9.3, missä integraali laskettiin sijoituksella t = 1 2 sinh u. Paraabelin pisteessä r(t) sen kaarevuus on muotoa κ(r(t)) = x (t)y (t) y (t)x (t) ( 2 = x (t) 2 + y (t) 2 ) 3 ( 1 + 4t 2 ). 3 0 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
3 Esimerkki: funktion keskiarvon laskeminen 2/3 Kohdassa a) saadaan keskikaarevuudeksi ˆ 1 κ ds = 1 ˆ 2 κ(r(t)) r (t) dt l l 2 = 4 l = 4 l ˆ 2 ˆ ( 1 + 4t 2 ) t 2 dt dt 1 + 4t 2 = 2 arctan , l missä integroinnin apuna käytettiin sijoitusta t = u/2. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
4 Esimerkki: funktion keskiarvon laskeminen 3/3 Kohdassa b) saadaan keskikaarevuussäteeksi ˆ 1 R ds = 1 ˆ 2 R(r(t)) r (t) dt l l 2 = 1 l ˆ 2 2 ( 1 + 4t 2 ) t 2 dt = 1 l ˆ 2 0 (1 + 4t 2 ) 2 = l Huomaa, että yksittäisessä pisteessä R = 1/κ, mutta b-kohdan tulos poikkeaa huomattavasti arvosta 1/ Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
5 Vektorikentän viivaintegraali 1/4 Skalaarikenttien jälkeen siirrytään vektorikenttiin, joita ovat mm. erilaiset nopeuskentät, sähkökentän voimakkuuus ja magneettivuon tiheys. Yleisesti vektorikentällä tarkoitetaan vektoriarvoista funktiota F : A R k, missä A R n. Jokaisella r A vektorikentän arvo F (r) R k, joten se voidaan kirjoittaa muodossa F (r) = F 1 (r)e F k (r)e k luonnollisen kannan yksikkövektoreiden avulla. Funktiot F i : A R ovat n:n muuttujan funktioita, ja niitä kutsutaan vektorikentän F koordinaattifunktioiksi. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
6 Vektorikentän viivaintegraali 2/4 Esim. Tason vektorikentän F (x, y) = (x + y)i + xyj koordinaattifunktiot ovat F 1 (x, y) = x + y ja F 2 (x, y) = xy. Kentän arvoja ovat esim. F ( 1, 2) = i 2j ja F (1, 1) = 2i + j. Määritelmä Olkoon R n käyrä, jolla on paloittain jatkuvasti derivoituva parametrisointi r = r(t), t [a, b]. Jos F : R on vektorikenttä, niin sen viivaintegraali käyrää pitkin on ˆ F dr = ˆ b a F (r(t)) r (t) dt. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
7 Vektorikentän viivaintegraali 3/4 Määritelmää voidaan motivoida ajattelemalla voiman tekemää työtä, kun kappale liikkuu sen vaikutuksesta käyrää pitkin. Esimerkiksi kaksiulotteisessa tapauksessa on r (t) = x (t)i + y (t)j, joten F (r(t)) r (t) = (F 1 (r(t))i + F 2 (r(t))j) (x (t)i + y (t)j) Integraaliksi saadaan ˆ b a F (r(t)) r (t) dt = = F 1 (r(t))x (t) + F 2 (r(t))y (t). ˆ b a (F 1 (r(t))x (t) + F 2 (r(t))y (t)) dt. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
8 Vektorikentän viivaintegraali 4/4 Jälkimmäinen muoto johtaa tulkinnoilla dx = x (t) dt, dy = y (t) dt viivaintegraalin vaihtoehtoiseen merkintään ˆ ˆ F dr = F 1 dx + F 2 dy, missä koordinaattifunktiot ovat suoraan näkyvillä. Kolmiulotteisessa tapauksessa mukaan tulee vielä termi F 3 dz. Perinnesyistä kaavassa ei ole tapana käyttää sulkuja. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
9 Huomautuksia Skalaarikentän viivaintegraalia koskevat huomautukset voidaan toistaa vektorikentän viivaintegraalille yhtä lukuunottamatta. Jos nimittäin käyrän parametrisoinnin suunta vaihdetaan vastakkaiseksi, niin vektorikentän viivaintegraalin arvo vaihtaa merkkiä, kun taas vastaavalla toimenpiteellä ei ole vaikutusta skalaarikenttien viivaintegraaleihin. Tämä ilmiö on helppo ymmärtää sen vuoksi, että vastakkaiselle parametrisoinnille r tangenttivektori r (t) on kussakin käyrän pisteessä vastakkaissuuntainen alkuperäiseen verrattuna, ja tämä vaihtaa integroitavan funktion etumerkin. Skalaarikentän tapauksessa etumerkki ei muutu lausekkeen r (t) vuoksi. Vektorikentän viivaintegraalia laskettaessa on siis tunnettava myös käyrän positiivinen suunta. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
10 Esimerkki 1/2 Lasketaan viivaintegraali F dr, kun F (x, y) = yi + xj ja käyrä on yksikköympyrä positiiviseen suuntaan kierrettynä. Laskussa käytetään viivaintegraalin jälkimmäistä muotoa y dx + x dy. Parametrisointi on muotoa x = cos t, y = sin t, t [0, 2π], joten dx = sin t dt ja dy = cos t dt. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
11 Esimerkki 2/2 Integraaliksi saadaan siis y dx + x dy = ˆ 2π 0 = (( sin t) ( sin t) + cos t cos t) dt ˆ 2π 0 1 dt = 2π. Pistetulomuodossa lasketaan ensin F (r(t)) r (t) = ( sin ti + cos tj) ( sin ti + cos tj) = 1, josta integraali saadaan samalla tavalla. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
12 Esimerkki 1/3 Toisena esimerkkinä käsitellään hieman hankalampaa tilannetta, jossa integrointi täytyy tehdä kahdessa osassa. Lasketaan viivaintegraali F dr, kun F (x, y) = x 2 i + y 2 j ja käyrä koostuu osakäyrista 1 = {(x, sin πx) 0 x 1} ja 2 = [(0, 0), (1, 0)] (pisteet (0, 0) ja (1, 0) yhdistävä jana) myötäpäivään kierrettynä. Nyt jotka on laskettava erikseen. ˆ ˆ F dr = F dr + 1 F dr, 2 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
13 Esimerkki 2/3 Käyrällä 1 on parametrisointi x = t, y = sin(πt), t [0, 1], jolloin dx = dt ja dy = π cos(πt) dt. Integraaliksi saadaan siis ˆ F dr = 1 = ˆ 1 0 = x 2 dx + y 2 dy (t sin 2 (πt) π cos(πt)) dt 1 0 ( 1 3 t3 + 1 ) 3 sin3 (πt) = 1 3. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
14 Esimerkki 3/3 Käyrä 2 on hieman helpompi parametrisoida vastakkaiseen suuntaan siten, että (0, 0) on alkupiste ja (1, 0) päätepiste. Tällöin x = t, y = 0 ja t [0, 1]. Integraaliksi saadaan ˆ 1 joten positiiviseen suuntaan tulos on ˆ Yhteensä saadaan siis 0 t 2 1 dt = 1 3, 2 x 2 dx + y 2 dy = 1 3. x 2 dx + y 2 dy = = 0. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
15 Huomautuksia 1/2 Edellä olevan esimerkin tulos ei ole sattuma, vaan itse asiassa kyseessä olevan vektorikentän viivaintegraali kaikkia umpinaisia käyriä pitkin on nolla. Jos nimittäin r = r(t) on umpinaisen tasokäyrän paloittain jatkuvasti derivoituva parametrisointi välillä [a, b], niin x(a) = x(b) ja y(a) = y(b). Tällöin ˆ ˆ b x 2 dx + y 2 dy = (x(t) 2 x (t) + y(t) 2 y (t)) dt a a b = 1 3 (x(t)3 + y(t) 3 ) = 0, sillä sijoitus ylä- ja alarajoilla antaa saman tuloksen. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
16 Huomautuksia 2/2 Edellisen esimerkin ominaisuus on vain konservatiivisilla vektorikentillä, ts. vektorikenttä voidaan esittää muodossa F (x, y, z) = (x, y, z) = x φi + y φj + z φk, missä funktiota φ: R 3 R kutsutaan F :n (skaalaari-) potentiaaliksi. Fysikaalinen tulkinta: Konservatiivisen voimakentän tekemä työ riippuu vain kappaleen alku- ja päätepisteestä, muttei siitä, mitä reittiä kappale on kulkenut. Tämä liittyy myös seuraavana esitettävään matemaattiseen tulokseen. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
17 Konservatiivinen vektorikenttä ja viivaintegraali Lause Vektorikentälle F seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: Vektorikenttä F on konservatiivinen. Jokaista umpinaista käyrää pitkin pätee F dr = 0. Jos käyrän 1 alkupiste on sama kuin käyrälle 2, ja sama pätee niiden päätepisteille, niin ˆ ˆ F dr = F dr. 1 2 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
18 Huomautuksia Tulos voidaan perustella helposti seuraavan idean avulla: Käyristä 1 ja 2 voidaan muodostaa umpinainen käyrä ja soveltaa siihen ensimmäistä ehtoa. Toisaalta umpinainen käyrä voidaan jakaa kahteen osaan, joilla on samat päätepisteet, ja soveltaa näihin jälkimmäistä ehtoa. Lisäksi täytyy tutkia käyrien suuntia ja muistaa, että vastakkainen suunta vaihtaa viivaintegraalin etumerkin. Seuraavan esimerkin avulla päädytään tulokseen, jonka mukaan tasoalueen pinta-ala voidaan laskea erään vektorikentän viivaintegraalina alueen reunaa pitkin. Sovelluksena saadaan mm. monikulmion pinta-alalle pelkästään sen kärkipisteistä riippuva kaava. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
19 Esimerkki 1/2 Lasketaan viivaintegraali ˆ x dy, kun on pisteet (x 0, y 0 ) ja (x 1, y 1 ) yhdistävä jana. Integroitavana on siis vektorikenttä F (x, y) = xj. Janalla on parametrisointi { x = (1 t)x 0 + tx 1 y = (1 t)y 0 + ty 1, missä t [0, 1]. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
20 Esimerkki 2/2 Tällöin dx = (x 1 x 0 ) dt ja dy = (y 1 y 0 ) dt, joten ˆ x dy = ˆ 1 0 = (y 1 y 0 ) ((1 t)x 0 + tx 1 ) (y 1 y 0 ) dt ˆ ((1 t)x 0 + tx 1 ) dt 1 = (y 1 y 0 ) (t t 2 /2)x t2 x 1 ) = 1 2 (x 0 + x 1 )(y 1 y 0 ). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
21 Sovellus: pinta-ala ja viivaintegraali 1/3 Esimerkin lausekkeen itseisarvo esittää sellaisen puolisuunnikkaan pinta-alaa, jonka rajaavat annettu jana ja suorat y = y 0, y = y 1 sekä x = 0. Jos yleisemmässä tilanteessa vastaava viivaintegraali lasketaan peräkkäisten pisteiden (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ), (x n+1, y n+1 ) = (x 0, y 0 ) määräämän monikulmion reunaa pitkin positiiviseen kiertosuuntaan eli niin, että monikulmion sisäpuoli jää vasemmalle, on tuloksena monikulmion pinta-alalle kaava A = 1 2 n (x k + x k+1 )(y k+1 y k ). k=0 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
22 Sovellus: pinta-ala ja viivaintegraali 2/3 Tämä voidaan perustella geometrisesti jakamalla tarkasteltava alue suorilla y = y k puolisuunnikkaisiin ja soveltamalla niihin esimerkin tulosta. Siis esimerkiksi Suomen pinta-ala voidaan laskea kartalta rajaviivan kärkien koordinaateista ilman, että alue täytyy jakaa kolmioihin tai muihin yksinkertaisiin osiin. Koska yleisen tasoalueen pinta-ala määritellään approksimoimalla aluetta monikulmioilla yhä tarkemmin, ei liene yllättävää, että tulos on voimassa yleisemminkin: Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
23 Sovellus: pinta-ala ja viivaintegraali 3/3 Lause Olkoon umpinainen ja itseään leikkaamaton tasokäyrä, jolla on paloittain jatkuvasti derivoituva parametrisointi. Tällöin käyrän rajaaman tasoalueen pinta-ala on A = x dy, jos käyrä kierretään positiiviseen suuntaan. Kyseessä on erikoistapaus Greenin kaavasta, johon palataan myöhemmin tällä kurssilla. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
24 Huomautus Vaihtamalla muuttujien roolit ja suorittamalla yllä olevat laskut uudelleen nähdään, että pinta-ala voidaan laskea myös viivaintegraalina A = y dx. Tämä selittää mm. sen, miksi ideaalikaasun termodynaamisessa Vp-tason kiertoprosessissa (arnot n sykli) viivaintegraali p dv vastaa syklin sisään jäävää pinta-alaa, ja on toisaalta I pääsäännön mukaan sama kuin syklin vaatima tai sen tekemä työ, kiertosuunnasta riippuen. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
25 Viivaintegraalin laskeminen konservatiivisen kentän tapauksessa Jos potentiaalifunktio φ tunnetaan, on F = φ viivaintegaalin laskeminen helppoa. Saadaan kaava (vrt. Analyysin peruslause): ˆ F dr = φ(r(b)) φ(r(a)), kun r : [a, b] R n, n 2, eli integraalin arvo riippuu vain käyrän päätepisteistä. Tulos kuitenkin edellyttää, että jos F : D R n niin alueen D sisällä jokainen umpinainen käyrä voidaan jatkuvasti kutistaa pisteeksi 1 Tasossa tämä tarkoittaa, että D:n sisällä ei ole reikiä. Tällöin vektorikentän F konservatiivisuudelle saadaan myös riittävät ja välttämättömät ehdot: F 1 y = F 2 x, F 1 z = F 3 x, ja F 2 z = F 3 y. 1 Tämän idean täsmällinen muotoileminen vaatii nk. topologian ja siihen kuuluvan homotopiateorian tuntemista. Näitä ei asioita ei esiinny peruskursseissa. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
26 Esimerkki 1/2 Olk. F = Ax sin(πy)i + ( x 2 cos(πy) + Bye z) j + y 2 e z k. Määritetään A, B siten, että F on konservatiivinen ja lasketaan ˆ F dr kun on a) käyrä r = cos ti + sin 2tj + sin 2 tk, t [0, 2π] ja b) paraboloidin z = x 2 + 4y 2 ja tason z = 3x 2y leikkaus pisteestä (0, 0, 0) pisteeseen (1, 1/2, 2). Havaitaan aluksi, että ehdot F 1 y = F 2 x, F 1 z = F 3 x, ja F 2 z = F 3 y. pätevät vain, jos Aπx cos(πy) = 2x cos(πy), Saadaan A = 2/π ja B = 2. 0 = 0 ja Bye z = 2ye z Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
27 Esimerkki 2/2 Näillä vakioiden arvoilla saadaan F = φ, missä φ(x, y, z) = x2 sin(πy) π y 2 e z. Tapauksessa a) r(0) = i = r(2π), eli käyrä on suljettu. Siten F dr = φ dr = 0. Tapauksessa b) päätepisteet ovat (0, 0, 0) ja (1, 1/2, 2), joten ˆ ( x 2 ) sin(πy) (1,1/2,2) F dr = y 2 e z π (0,0,0) = 1 π 1 4e 2. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 /
LisätiedotFr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:
15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 4: Taso- ja avaruuskäyrät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 4: Taso- ja avaruuskäyrät Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Motivaatio Tässä tutustutaan
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
Lisätiedot= ( F dx F dy F dz).
17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit).
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R
LisätiedotMS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /
M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43
Lisätiedotf x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.
13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi S2
Mat-1.122 Matematiikan peruskurssi S2 Ratkaisuehdotuksia Harjoitus 12 alkuviikko Tehtävä 1 Hahmottele annetut vektorikentät sekä niiden kenttäviivat tapauksissa. a)f(x, y) xi + yj b)f(x, y) e x i + e -x
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
Lisätiedot4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia
23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
Lisätiedotx (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1
BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 5 Tasointegraalin laskeminen iemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille f (x, ydxdy. Tässä siis funktio f (x, y integroidaan muuttujien x
Lisätiedotedition). Luennot seuraavat tätä kirjaa, mutta eivät orjallisesti.
1 VEKTORIANALYYSI FYSA114 (3 op), kevät 2014 Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: 53-55, ma 9-10 ja ke 12-14 Luentoja ei ole viikoilla 16 ja 17 eli 14 274 Harjoitusassistentti: Ville Kotimäki Laskuharjoitukset:
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotLuennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: , ma 9-10 ja ke Luentoja ei ole viikoilla 15 (pääsiäisviikko).
1 VEKTORIANALYYSI FYSA114 (3 op), kevät 2017 Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: 63 35, ma 9-10 ja ke 12-14 Luentoja ei ole viikoilla 15 (pääsiäisviikko) Harjoitusassistentit: Petri Kuusela ja Tapani
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 4
Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotYmpyrä 1/6 Sisältö ESITIEDOT: käyrä, kulma, piste, suora
Ympyrä 1/6 Sisältö Ympyrä ja sen yhtälö Tason pisteet, jotka ovat vakioetäisyydellä kiinteästä pisteestä, muodostavat ympyrän eli ympyräviivan. Kiinteä piste on ympyrän keskipiste ja vakioetäisyys sen
LisätiedotVektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 17 1. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( k ) + 5 k, b) k 1 x 5 dx, e) ( ln(k + 1) k ), c) k 1 cos(πx) dx, f) k e x dx, 1 k e k k kx dx.. Olkoon
LisätiedotIntegroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
Lisätiedot(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.
Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.
Lisätiedotx n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
Lisätiedot= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
LisätiedotViivaintegraali ja Greenin lause
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Markus Vaajala Viivaintegraali ja Greenin lause Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tammikuu 213 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö Vaajala,
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotOsoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitusviikko 5 /
M-A3x ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/217 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitusviikko 5 / 2. 24.3. Harjoitustehtäviä 1 6 lasketaan alkuviikon harjoituksessa. Harjoituksessa laskematta
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
Lisätiedot12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa
12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotPinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali
Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A23 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 216 Laskuharjoitus 2A (Vastaukset) Alkuviikolla
LisätiedotMäärätty integraali. Markus Helén. Mäntän lukio
Määrätty integraali Markus Helén Pinta-ala Monikulmio on tasokuvio, jota rajoittaa suljettu, itseään leikkaamaton murtoviiva. Monikulmio voidaan aina jakaa kolmioiksi. Alueen pinta-ala on näiden kolmioiden
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 TFM Laskuharjoitus 2L Tehtävät 1-3 ovat kotitehtäviä, jotka on tarkoitus laskea ennen loppuviikon harjoitusta. Tehtävät 4-6 palautetaan kirjallisena A4-paperilla
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotTällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.
39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja
Lisätiedot