MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 6: Vektorikentän viivaintegraali

Transkriptio

1 MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 6: Vektorikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

2 Esimerkki: funktion keskiarvon laskeminen 1/3 Määritetään paraabelin kaaren y = x 2, x [ 2, 2], a) keskikaarevuus ja b) keskikaarevuussäde. Suoraviivaisin paraabelin parametrisointi on muotoa x = t, y = t 2, t [ 2, 2]. Tällöin r (t) = i + 2tj ja r (t) = 1 + 4t 2, joten kaarenpituudeksi saadaan ˆ ˆ 2 ˆ 2 1 ds = 1 + 4t2 dt = t2 dt 2 = ln( 17 4) 9.3, missä integraali laskettiin sijoituksella t = 1 2 sinh u. Paraabelin pisteessä r(t) sen kaarevuus on muotoa κ(r(t)) = x (t)y (t) y (t)x (t) ( 2 = x (t) 2 + y (t) 2 ) 3 ( 1 + 4t 2 ). 3 0 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

3 Esimerkki: funktion keskiarvon laskeminen 2/3 Kohdassa a) saadaan keskikaarevuudeksi ˆ 1 κ ds = 1 ˆ 2 κ(r(t)) r (t) dt l l 2 = 4 l = 4 l ˆ 2 ˆ ( 1 + 4t 2 ) t 2 dt dt 1 + 4t 2 = 2 arctan , l missä integroinnin apuna käytettiin sijoitusta t = u/2. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

4 Esimerkki: funktion keskiarvon laskeminen 3/3 Kohdassa b) saadaan keskikaarevuussäteeksi ˆ 1 R ds = 1 ˆ 2 R(r(t)) r (t) dt l l 2 = 1 l ˆ 2 2 ( 1 + 4t 2 ) t 2 dt = 1 l ˆ 2 0 (1 + 4t 2 ) 2 = l Huomaa, että yksittäisessä pisteessä R = 1/κ, mutta b-kohdan tulos poikkeaa huomattavasti arvosta 1/ Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

5 Vektorikentän viivaintegraali 1/4 Skalaarikenttien jälkeen siirrytään vektorikenttiin, joita ovat mm. erilaiset nopeuskentät, sähkökentän voimakkuuus ja magneettivuon tiheys. Yleisesti vektorikentällä tarkoitetaan vektoriarvoista funktiota F : A R k, missä A R n. Jokaisella r A vektorikentän arvo F (r) R k, joten se voidaan kirjoittaa muodossa F (r) = F 1 (r)e F k (r)e k luonnollisen kannan yksikkövektoreiden avulla. Funktiot F i : A R ovat n:n muuttujan funktioita, ja niitä kutsutaan vektorikentän F koordinaattifunktioiksi. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

6 Vektorikentän viivaintegraali 2/4 Esim. Tason vektorikentän F (x, y) = (x + y)i + xyj koordinaattifunktiot ovat F 1 (x, y) = x + y ja F 2 (x, y) = xy. Kentän arvoja ovat esim. F ( 1, 2) = i 2j ja F (1, 1) = 2i + j. Määritelmä Olkoon R n käyrä, jolla on paloittain jatkuvasti derivoituva parametrisointi r = r(t), t [a, b]. Jos F : R on vektorikenttä, niin sen viivaintegraali käyrää pitkin on ˆ F dr = ˆ b a F (r(t)) r (t) dt. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

7 Vektorikentän viivaintegraali 3/4 Määritelmää voidaan motivoida ajattelemalla voiman tekemää työtä, kun kappale liikkuu sen vaikutuksesta käyrää pitkin. Esimerkiksi kaksiulotteisessa tapauksessa on r (t) = x (t)i + y (t)j, joten F (r(t)) r (t) = (F 1 (r(t))i + F 2 (r(t))j) (x (t)i + y (t)j) Integraaliksi saadaan ˆ b a F (r(t)) r (t) dt = = F 1 (r(t))x (t) + F 2 (r(t))y (t). ˆ b a (F 1 (r(t))x (t) + F 2 (r(t))y (t)) dt. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

8 Vektorikentän viivaintegraali 4/4 Jälkimmäinen muoto johtaa tulkinnoilla dx = x (t) dt, dy = y (t) dt viivaintegraalin vaihtoehtoiseen merkintään ˆ ˆ F dr = F 1 dx + F 2 dy, missä koordinaattifunktiot ovat suoraan näkyvillä. Kolmiulotteisessa tapauksessa mukaan tulee vielä termi F 3 dz. Perinnesyistä kaavassa ei ole tapana käyttää sulkuja. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

9 Huomautuksia Skalaarikentän viivaintegraalia koskevat huomautukset voidaan toistaa vektorikentän viivaintegraalille yhtä lukuunottamatta. Jos nimittäin käyrän parametrisoinnin suunta vaihdetaan vastakkaiseksi, niin vektorikentän viivaintegraalin arvo vaihtaa merkkiä, kun taas vastaavalla toimenpiteellä ei ole vaikutusta skalaarikenttien viivaintegraaleihin. Tämä ilmiö on helppo ymmärtää sen vuoksi, että vastakkaiselle parametrisoinnille r tangenttivektori r (t) on kussakin käyrän pisteessä vastakkaissuuntainen alkuperäiseen verrattuna, ja tämä vaihtaa integroitavan funktion etumerkin. Skalaarikentän tapauksessa etumerkki ei muutu lausekkeen r (t) vuoksi. Vektorikentän viivaintegraalia laskettaessa on siis tunnettava myös käyrän positiivinen suunta. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

10 Esimerkki 1/2 Lasketaan viivaintegraali F dr, kun F (x, y) = yi + xj ja käyrä on yksikköympyrä positiiviseen suuntaan kierrettynä. Laskussa käytetään viivaintegraalin jälkimmäistä muotoa y dx + x dy. Parametrisointi on muotoa x = cos t, y = sin t, t [0, 2π], joten dx = sin t dt ja dy = cos t dt. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

11 Esimerkki 2/2 Integraaliksi saadaan siis y dx + x dy = ˆ 2π 0 = (( sin t) ( sin t) + cos t cos t) dt ˆ 2π 0 1 dt = 2π. Pistetulomuodossa lasketaan ensin F (r(t)) r (t) = ( sin ti + cos tj) ( sin ti + cos tj) = 1, josta integraali saadaan samalla tavalla. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

12 Esimerkki 1/3 Toisena esimerkkinä käsitellään hieman hankalampaa tilannetta, jossa integrointi täytyy tehdä kahdessa osassa. Lasketaan viivaintegraali F dr, kun F (x, y) = x 2 i + y 2 j ja käyrä koostuu osakäyrista 1 = {(x, sin πx) 0 x 1} ja 2 = [(0, 0), (1, 0)] (pisteet (0, 0) ja (1, 0) yhdistävä jana) myötäpäivään kierrettynä. Nyt jotka on laskettava erikseen. ˆ ˆ F dr = F dr + 1 F dr, 2 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

13 Esimerkki 2/3 Käyrällä 1 on parametrisointi x = t, y = sin(πt), t [0, 1], jolloin dx = dt ja dy = π cos(πt) dt. Integraaliksi saadaan siis ˆ F dr = 1 = ˆ 1 0 = x 2 dx + y 2 dy (t sin 2 (πt) π cos(πt)) dt 1 0 ( 1 3 t3 + 1 ) 3 sin3 (πt) = 1 3. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

14 Esimerkki 3/3 Käyrä 2 on hieman helpompi parametrisoida vastakkaiseen suuntaan siten, että (0, 0) on alkupiste ja (1, 0) päätepiste. Tällöin x = t, y = 0 ja t [0, 1]. Integraaliksi saadaan ˆ 1 joten positiiviseen suuntaan tulos on ˆ Yhteensä saadaan siis 0 t 2 1 dt = 1 3, 2 x 2 dx + y 2 dy = 1 3. x 2 dx + y 2 dy = = 0. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

15 Huomautuksia 1/2 Edellä olevan esimerkin tulos ei ole sattuma, vaan itse asiassa kyseessä olevan vektorikentän viivaintegraali kaikkia umpinaisia käyriä pitkin on nolla. Jos nimittäin r = r(t) on umpinaisen tasokäyrän paloittain jatkuvasti derivoituva parametrisointi välillä [a, b], niin x(a) = x(b) ja y(a) = y(b). Tällöin ˆ ˆ b x 2 dx + y 2 dy = (x(t) 2 x (t) + y(t) 2 y (t)) dt a a b = 1 3 (x(t)3 + y(t) 3 ) = 0, sillä sijoitus ylä- ja alarajoilla antaa saman tuloksen. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

16 Huomautuksia 2/2 Edellisen esimerkin ominaisuus on vain konservatiivisilla vektorikentillä, ts. vektorikenttä voidaan esittää muodossa F (x, y, z) = (x, y, z) = x φi + y φj + z φk, missä funktiota φ: R 3 R kutsutaan F :n (skaalaari-) potentiaaliksi. Fysikaalinen tulkinta: Konservatiivisen voimakentän tekemä työ riippuu vain kappaleen alku- ja päätepisteestä, muttei siitä, mitä reittiä kappale on kulkenut. Tämä liittyy myös seuraavana esitettävään matemaattiseen tulokseen. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

17 Konservatiivinen vektorikenttä ja viivaintegraali Lause Vektorikentälle F seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: Vektorikenttä F on konservatiivinen. Jokaista umpinaista käyrää pitkin pätee F dr = 0. Jos käyrän 1 alkupiste on sama kuin käyrälle 2, ja sama pätee niiden päätepisteille, niin ˆ ˆ F dr = F dr. 1 2 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

18 Huomautuksia Tulos voidaan perustella helposti seuraavan idean avulla: Käyristä 1 ja 2 voidaan muodostaa umpinainen käyrä ja soveltaa siihen ensimmäistä ehtoa. Toisaalta umpinainen käyrä voidaan jakaa kahteen osaan, joilla on samat päätepisteet, ja soveltaa näihin jälkimmäistä ehtoa. Lisäksi täytyy tutkia käyrien suuntia ja muistaa, että vastakkainen suunta vaihtaa viivaintegraalin etumerkin. Seuraavan esimerkin avulla päädytään tulokseen, jonka mukaan tasoalueen pinta-ala voidaan laskea erään vektorikentän viivaintegraalina alueen reunaa pitkin. Sovelluksena saadaan mm. monikulmion pinta-alalle pelkästään sen kärkipisteistä riippuva kaava. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

19 Esimerkki 1/2 Lasketaan viivaintegraali ˆ x dy, kun on pisteet (x 0, y 0 ) ja (x 1, y 1 ) yhdistävä jana. Integroitavana on siis vektorikenttä F (x, y) = xj. Janalla on parametrisointi { x = (1 t)x 0 + tx 1 y = (1 t)y 0 + ty 1, missä t [0, 1]. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

20 Esimerkki 2/2 Tällöin dx = (x 1 x 0 ) dt ja dy = (y 1 y 0 ) dt, joten ˆ x dy = ˆ 1 0 = (y 1 y 0 ) ((1 t)x 0 + tx 1 ) (y 1 y 0 ) dt ˆ ((1 t)x 0 + tx 1 ) dt 1 = (y 1 y 0 ) (t t 2 /2)x t2 x 1 ) = 1 2 (x 0 + x 1 )(y 1 y 0 ). Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

21 Sovellus: pinta-ala ja viivaintegraali 1/3 Esimerkin lausekkeen itseisarvo esittää sellaisen puolisuunnikkaan pinta-alaa, jonka rajaavat annettu jana ja suorat y = y 0, y = y 1 sekä x = 0. Jos yleisemmässä tilanteessa vastaava viivaintegraali lasketaan peräkkäisten pisteiden (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ), (x n+1, y n+1 ) = (x 0, y 0 ) määräämän monikulmion reunaa pitkin positiiviseen kiertosuuntaan eli niin, että monikulmion sisäpuoli jää vasemmalle, on tuloksena monikulmion pinta-alalle kaava A = 1 2 n (x k + x k+1 )(y k+1 y k ). k=0 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

22 Sovellus: pinta-ala ja viivaintegraali 2/3 Tämä voidaan perustella geometrisesti jakamalla tarkasteltava alue suorilla y = y k puolisuunnikkaisiin ja soveltamalla niihin esimerkin tulosta. Siis esimerkiksi Suomen pinta-ala voidaan laskea kartalta rajaviivan kärkien koordinaateista ilman, että alue täytyy jakaa kolmioihin tai muihin yksinkertaisiin osiin. Koska yleisen tasoalueen pinta-ala määritellään approksimoimalla aluetta monikulmioilla yhä tarkemmin, ei liene yllättävää, että tulos on voimassa yleisemminkin: Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

23 Sovellus: pinta-ala ja viivaintegraali 3/3 Lause Olkoon umpinainen ja itseään leikkaamaton tasokäyrä, jolla on paloittain jatkuvasti derivoituva parametrisointi. Tällöin käyrän rajaaman tasoalueen pinta-ala on A = x dy, jos käyrä kierretään positiiviseen suuntaan. Kyseessä on erikoistapaus Greenin kaavasta, johon palataan myöhemmin tällä kurssilla. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

24 Huomautus Vaihtamalla muuttujien roolit ja suorittamalla yllä olevat laskut uudelleen nähdään, että pinta-ala voidaan laskea myös viivaintegraalina A = y dx. Tämä selittää mm. sen, miksi ideaalikaasun termodynaamisessa Vp-tason kiertoprosessissa (arnot n sykli) viivaintegraali p dv vastaa syklin sisään jäävää pinta-alaa, ja on toisaalta I pääsäännön mukaan sama kuin syklin vaatima tai sen tekemä työ, kiertosuunnasta riippuen. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

25 Viivaintegraalin laskeminen konservatiivisen kentän tapauksessa Jos potentiaalifunktio φ tunnetaan, on F = φ viivaintegaalin laskeminen helppoa. Saadaan kaava (vrt. Analyysin peruslause): ˆ F dr = φ(r(b)) φ(r(a)), kun r : [a, b] R n, n 2, eli integraalin arvo riippuu vain käyrän päätepisteistä. Tulos kuitenkin edellyttää, että jos F : D R n niin alueen D sisällä jokainen umpinainen käyrä voidaan jatkuvasti kutistaa pisteeksi 1 Tasossa tämä tarkoittaa, että D:n sisällä ei ole reikiä. Tällöin vektorikentän F konservatiivisuudelle saadaan myös riittävät ja välttämättömät ehdot: F 1 y = F 2 x, F 1 z = F 3 x, ja F 2 z = F 3 y. 1 Tämän idean täsmällinen muotoileminen vaatii nk. topologian ja siihen kuuluvan homotopiateorian tuntemista. Näitä ei asioita ei esiinny peruskursseissa. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

26 Esimerkki 1/2 Olk. F = Ax sin(πy)i + ( x 2 cos(πy) + Bye z) j + y 2 e z k. Määritetään A, B siten, että F on konservatiivinen ja lasketaan ˆ F dr kun on a) käyrä r = cos ti + sin 2tj + sin 2 tk, t [0, 2π] ja b) paraboloidin z = x 2 + 4y 2 ja tason z = 3x 2y leikkaus pisteestä (0, 0, 0) pisteeseen (1, 1/2, 2). Havaitaan aluksi, että ehdot F 1 y = F 2 x, F 1 z = F 3 x, ja F 2 z = F 3 y. pätevät vain, jos Aπx cos(πy) = 2x cos(πy), Saadaan A = 2/π ja B = 2. 0 = 0 ja Bye z = 2ye z Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27

27 Esimerkki 2/2 Näillä vakioiden arvoilla saadaan F = φ, missä φ(x, y, z) = x2 sin(πy) π y 2 e z. Tapauksessa a) r(0) = i = r(2π), eli käyrä on suljettu. Siten F dr = φ dr = 0. Tapauksessa b) päätepisteet ovat (0, 0, 0) ja (1, 1/2, 2), joten ˆ ( x 2 ) sin(πy) (1,1/2,2) F dr = y 2 e z π (0,0,0) = 1 π 1 4e 2. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy / 27