Pro gradu -tutkielma

Transkriptio

1 Pro gradu -tutkielma Kolmen pisteen Schwarzin-Pickin lemma Ahmed Khalif Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Joulukuu 2012

2 Tiivistelmä Tässä opinnäytetyössä tarkastellaan kompleksitasossa määriteltyjä analyyttisia kuvauksia. Tarkastelun kohteena ovat erityisesti kompleksitason avoimen yksikkökiekon itselleen kuvaavat analyyttiset kuvaukset. Luvuissa 1,2,3 ja 4 esitellään tutkielman kannalta tärkeät kompleksianalyysiin liittyvät määritelmät ja tulokset. Luvussa 5 osoitetaan klassinen Schwarzin lemma muodossa, että kompleksitason avoimen yksikkökiekon itselleen kuvaavat analyyttiset funktiot joko kutistavat euklidista etäisyyttä tai ovat kiertoja origon ympäri. Luvussa 7 käsitellään hyperbolista tasoa. Hyperbolinen taso muodostetaan varustamalla kompleksitason avoin yksikkökiekko hyperbolisella metriikalla. Hyperbolisen tason ainoat isometriat ovat luvussa 6 esitettävät automorfismit. Luvussa 9 esitellään Schwarzin-Pickin lemma. Lemma on hyperbolinen versio klassisesta Schwarzin lemmasta ja se antaa myös vahvempia tuloksia avoimen yksikkökiekon itselleen kuvaaville analyyttisille kuvauksille kuin klassinen Schwarzin lemma. Toiseksi viimeisessä luvussa laajennetaan ja vahvennetaan Schwarzin-Pickin lemmaa, esittelemällä kolmen pisteen Schwarzin- Pickin lemma. Kolmen pisteen Schwarzin-Pickin lemmasta saadaan tärkeitä seurauksia, joita sovelletaan viimeisessä luvussa hyperbolisen tason hyperbolisten derivaattojen tarkastelussa.

3 Sisältö 1 Johdanto 4 2 Analyyttiset funktiot 5 3 Gaussin keskiarvolause 7 4 Maksimiperiaate 8 5 Schwarzin lemma 10 6 Yksikkökiekon konformiset automorfismit 12 7 Kiekko D hyperbolisena tasona Hyperbolinen pituus ja etäisyys Hyperbolisen tason isometriat ja pseudohyperbolinen etäisyys 26 8 Hyperboliset geodeesit 35 9 Schwarzin-Pickin lemma Schwarzin-Pickin lemman laajennus Kolmen pisteen Schwarzin-Pickin lemma Hyperbolinen derivaatta 48

4 1 Johdanto 4 1 Johdanto Tarkastelemme tutkielmassa avoimen yksikkökiekon D itselleen kuvaavia analyyttisia kuvauksia f : D D. Kiekko D on kompleksitason alue ja määrittelemme sen D = {z C : z < 1}. Alussa kuvauksen f tarkastelu tapahtuu kompleksitasossa C, jonka jälkeen siirrymme tarkastelemaan sitä hyperbolisessa tasossa D. Otamme tarkastelun lähtökohdaksi saksalaisen matemaatikon Herman Schwarzin ( nimeä kantavan tuloksen eli Schwarzin lemman: Jos f on avoimen yksikkökiekon D itselleen kuvaava analyyttinen kuvaus, jolle pätee ehto f(0 = 0, niin silloin on voimassa, että f(z < z, kaikilla z D\{0} ja f (0 < 1 tai f(z = e iφ z, jollakin φ R. Muotoilemme Schwarzin lemmalle hyperbolisen version. Tulos, jonka alunperin esitti itävaltalainen matemaatikko Georg Pick ( , tunnetaan nimellä Schwarzin-Pickin lemma: Olkoon f avoimen yksikkökiekon D itselleen kuvaava analyyttinen kuvaus. Tällöin pätee h D (f(z, f(w h D (z, w, kaikilla z, w D. Yhtäsuuruus on voimassa, jos ja vain jos f on kiekon D konforminen automorfismi. Tutkielmamme pääaiheessa esitämme kolmen pisteen Schwarzin-Pickin lemman: Olkoon f avoimen yksikkökiekon D itselleen kuvaava analyyttinen kuvaus, joka ei ole kiekon D konforminen automorfismi. Tällöin pätee h D (f (z, v, f (w, v h D (z, w, kaikilla z, w, v D. Kuvaus f on hyperbolinen erotusosamäärä. Epäyhtälön yhtäsuuruus on voimassa, jos ja vain jos f on astetta kaksi oleva Blaschken tulo. Kolmen pisteen Schwarzin-Pickin lemman avulla, saamme muotoiltua erilaisia lausekkeita hyperbolisen tason D hyperbolisille derivaatoille.

5 2 Analyyttiset funktiot 5 2 Analyyttiset funktiot 2.1 Määritelmä. Olkoon G C avoin joukko ja f : G C kompleksiarvoinen funktio. Tällöin funktiolla f on kompleksinen derivaatta pisteessä z 0 G, jos raja-arvo f(z f(z 0 lim z z 0 z z 0 on olemassa. Kyseistä raja-arvoa kutsutaan funktion f derivaataksi pisteessä z 0 ja sitä merkitään f (z Määritelmä. Olkoon z o C ja r > 0 ja sovitaan, että D r (z 0 = D(z 0, r on z 0 -keskinen r-säteinen avoin kiekko. Tällöin f on analyyttinen pisteessä z 0, jos funktio f on kompleksisesti derivoituva pisteen z 0 ympäristössä, eli on olemassa r > 0 siten, että f on kompleksisesti derivoituva kaikilla z D r (z 0. Funktio f on analyyttinen avoimessa joukossa A, jos f on analyyttinen jokaisessa avoimen joukon A pisteessä. 2.3 Määritelmä (polkuyhtenäisyys. Joukko A C on polkuyhtenäinen, jos jokainen pari z, w A voidaan yhdistää joukossa A polulla γ : [a, b] A, a < b. 2.4 Lause. [KA, 2.20 yhtenäinen joukko] Jos joukko A on polkuyhtenäinen, niin se on yhtenäinen. 2.5 Määritelmä (Alue. Jos kompleksitasossa ei-tyhjä joukko A on sekä avoin, että yhtenäinen, niin silloin joukko A on alue kompleksitasossa. 2.6 Määritelmä (Konformisuus. Olkoon f analyyttinen kuvaus alueessa A ja olkoon kaikilla z 0 A voimassa, että f (z 0 0. Tällöin funktio f on konforminen alueessa A. Funktio f säilyttää pisteen z 0 kautta kulkevien polkujen väliset kulmat. 2.7 Määritelmä (Konformisen automorfismin määritelmä. Olkoon A kompleksitason alue ja f analyyttinen bijektio, jolle pätee f : A A. Tällöin kuvaus f on alueen A automorfismi. Lisäksi, jos funktio f on konforminen alueessa A, silloin sanomme, että f on alueen A konforminen automorfismi.

6 2 Analyyttiset funktiot Lause. [RHS, Cauchyn-Riemannin yhtälöt] Olkoon A epätyhjä alue kompleksitasossa ja f analyyttinen alueessa A. Silloin, jos f = u + iv eli f(x, y = u(x, y + iv(x, y, missä x, y R ja u, v : A R, niin u ja v ovat reaalisesti differentioituvia joukossa A ja toteuttavat Cauchyn- Riemannin yhtälöt alueessa A seuraavasti. u x = v y ja v x = u y 2.9 Lause. Oletetaan, että f : A C on analyyttinen alueessa A C ja z 0 A on funktion f nollakohta. Tällöin f(z = (z z 0 n g(z, jollakin n N, missä g on analyyttinen alueessa A ja g(z Lause. [KA, 3.13] Olkoon f analyyttinen alueessa A ja oletetaan, että alueessa A jokin seuraavista funktioista on vakio Re(f, Im(f, f tai Arg(f. Tällöin funktio f on vakio alueessa A Lause. [RHS, 7.10 Cauchyn integraalikaava] Oletetaan, että f on analyyttinen avoimessa joukossa A C ja kiekolle D r (z 0, r > 0 pätee D r (z 0 A. Tällöin f(z = 1 f(ξ 2πi ξ z dξ, z D r(z 0 D r(z 0 kun D r (z 0 on kiekon D r (z 0 reuna suunnistettuna vastapäivään. Reunaympyrä voidaan parametrisoida polulla γ(t = z 0 + re it, kun t [0, 2π] Määritelmä. [KA, s.62 Tulopolku] Olkoon A kompleksitason C alue.tällöin, jos γ 1 : [a, b] A ja γ 2 : [c, d] A ovat sileitä polkuja alueessa A siten, että polun γ 1 loppupiste on sama kuin polun γ 2 alkupiste eli γ 1 (b = γ 2 (c, niin silloin polkujen γ 1 ja γ 2 tulopolku on { γ1 (t, a t b (γ 1 γ 1 (t = γ 2 (c b + t, b t b + (d + c.

7 3 Gaussin keskiarvolause 7 3 Gaussin keskiarvolause Gaussin keskiarvolause saadaan erikoistapauksena Cauchyn integraalikaavasta. Gaussin keskiarvolause ilmoittaa, että analyyttisen funktion arvo kiekon keskipisteessä saadaan määritettyä, kun se lausutaan funktion kiekon reunalla saamien arvojen keskiarvona. Esitämme lyhyen Gaussin keskiarvolauseen todistuksen. Todistus idea pohjautuu lähteeseen [KA, s.81]. 3.1 Lause (Gaussin keskiarvolause. Olkoon A kompleksitason alue ja f : A C analyyttinen kuvaus. Oletetaan, että kiekon D r (z 0 sulkeuma D r (z 0 sisältyy alueeseen A. Tällöin f(z 0 = 1 2π f(z 0 + re it dt. 2π 0 Todistus. Olkoon nyt z D r (z 0. Cauchyn integraalikaavan nojalla pätee jokaisella z D r (z 0 f(z = 1 f(ξ 2πi D r(z 0 ξ z dξ. Valitaan nyt z = z 0 ja merkitään ξ z 0 = re it, jolloin saamme ξ = z 0 + re it ja dξ = ire it dt. Nyt sijoittamalla yllä olevat merkinnät Cauchyn integraalikaavan saamme f(z 0 = 1 2π f(z 0 + re it ire it dt = 1 2π f(z 2πi 0 z 0 + re it 0 + re it dt. z 0 2π 0 Esitämme seuraavassa luvussa yksi kompleksianalyysin keskeisimmistä tuloksista. Kyseinen tulos seuraa osittain Gaussin keskiarvolauseesta.

8 4 Maksimiperiaate 8 4 Maksimiperiaate Lauseessa 2.10 mainitaan alueessa A analyyttisen funktion saavan vakioarvon, jos sen moduli on vakio. Maksimiperiaatteessa tämä ehto tiukkenee entisestään. Maksimiperiaatteen mukaan analyyttisen funktion moduli ei voi saada paikallisia maksimia alueen A sisällä, ellei kyseessä ole vakiofunktio alueessa A. Lauseen todistuksen idea pohjautuu lähteeseen [KA, s.81]. 4.1 Lause (Maksimiperiaatteen heikko muoto. Oletetaan, että f on analyyttinen alueessa A C. Jos funktion modulilla f on lokaali maksimi jossakin alueen A pisteessä, niin f on vakiofunktio. Todistus. Olkoon z 0 sellainen mielivaltainen alueen A piste, että funktion f modulilla on lokaali maksimi siinä pisteessä. Tällöin on olemassa R > 0 siten, että f(z f(z 0 kaikilla z D(z 0, R. Olkoon nyt 0 < r < R. Gaussin keskiarvolauseen nojalla 2π f(z 0 = 1 f(z 0 + re it dt 2π 0 1 2π f(z 0 + re it dt 2π 0 1 2π f(z 0 dt 2π 0 = f(z 0. Koska f on jatkuva, niin f(z 0 = f(z 0 + r exp(it kaikilla t [0, 2π]. Näin pätee kaikilla r (0, R. Siis f(z = f(z 0 kaikilla z D(z 0, R. Eli itse f on vakio koko kiekossa D(z 0, R. Koska z 0 oli mielivaltainen piste alueessa A, niin täytyy funktion f olla vakio koko alueessa A.

9 4 Maksimiperiaate 9 Voimme nyt maksimiperiaatteen heikon muodon avulla muotoilla maksimiperiaatteen vahvan muodon. Maksimiperiaatteen vahvan muodon mukaan analyyttisen funktion moduli saavuttaa maksimiarvonsa alueen A reunapisteissä A. 4.2 Lause (Maksimiperiaatteen vahva muoto. Olkoon f analyyttinen rajoitetussa alueessa A ja jatkuva alueen A sulkeumassa. Tällöin jokaisella z A pätee f(z max z A f(z. Jos tässä yhtäsuuruus on voimassa jollakin alueen A pisteellä z, niin funktio f on vakiokuvaus alueessa A. Todistus. Jatkuvana kuvauksena f saa maksimiarvon jossakin kompaktin joukon Ā pisteessä. Oletetaan, että maksimiarvo saavutetaan jossakin joukon A pisteessä eli että on olemassa piste z 0 A, jolla f(z f(z 0 jokaisella z Ā. Tällöin maksimiperiaatteen heikon muodon nojalla f on vakiokuvaus joukossa A ja jatkuvuuden nojalla f on vakiokuvaus joukossa Ā. Kääntäen, jos f ei saavuta maksimiarvonsa missään joukon A pisteessä, silloin maksimiarvo saavutetaan jollakin z Ā \ A = A. Tällöin jokaisella z A pätee seuraava arvio f(z max f(z. z A

10 5 Schwarzin lemma 10 5 Schwarzin lemma Tämä luku käsittelee Schwarzin lemmaa. Lemma asettaa tiukkoja rajoituksia analyyttisille kuvauksille. Tässä työssä rajoitumme kuvauksiin f : D C siten, että f(z 1 kaikilla z D. Esitettävä todistus idea pohjautuu lähteisiin [KA, s.83] ja [AN, ]. 5.1 Lause (Schwarzin lemma. Olkoon D avoin yksikkökiekko ja f : D C analyyttinen kuvaus alueessa D. Oletetaan, että funktio f toteuttaa ehdot f(0 = 0 ja f(z 1 jokaisella z D. Tällöin jokaisella z D pätee seuraavat arviot f(z z (5.1 f (0 1. (5.2 Jos yhtäsuuruus pätee kohdassa (5.1 jollakin z D\{0}, niin f on tason kierto. Tällöin f on funktio, jolla on esitys f(z = λz jokaisella z D, missä λ C, λ = 1 ja f (0 = 1. Todistus. Analyyttisen funktion nollakohtaominaisuuden ja ehdosta f(0 = 0 saamme f(z = (z 0g(z = zg(z, missä g : D C on analyyttinen funktio alueessa D. Asetamme funktion g seuraavasti f(z, z D\{0} z g(z = (5.3 f (0, z = 0. Nyt g on selvästi jatkuva, kun z 0. Toisaalta f(z lim g(z = lim z 0 z 0 z = lim z 0 f(0 + z f(0 z = f (0 = g(0, eli g on myös jatkuva origossa. Olkoon z D mielivaltaisesti valittu ja sitten kiinnitetty. Valitaan R siten, että z < R < 1. Oletuksen f(z 1 nojalla saamme g(z = f(z z 1 z = 1 R kaikilla z = R. Maksimiperiaatteen vahvan muodon nojalla on voimassa seuraava arvio g(z 1 R,

11 5 Schwarzin lemma 11 kun z R < 1. Annamme luvun R lähestyä lukua 1, jolloin g(z 1, z D. (5.4 Nyt f(z z mikä todistaa kohdan (5.1 epäyhtälön. Epäyhtälö (5.4 toteuttaa myös kohdan (5.2 arvion f (0 = g(0 1. Jos nyt yhtäsuuruus on voimassa epäyhtälölle (5.4 jollakin z D, niin siitä seuraa maksimiperiaatteen vahvan muodon nojalla, että kuvaus g on vakio kiekossa D(0, R eli g = 1. Näin kaikilla R < 1. Siis myös kiekossa D. Tällöin f(z = z ja löydämme vakion λ C jonka modulille pätee λ = 1. Nyt f(z = λz ja funktio f on tason kierto. Edelleen, kun asetamme λ = e iα, α R, saamme g(0 = f (0 = 1 kuten pitääkin.

12 6 Yksikkökiekon konformiset automorfismit 12 6 Yksikkökiekon konformiset automorfismit Tässä luvussa määrittelemme yksikkökiekon konformiset automorfismit tai tarkemmin sanottuna yksikkökiekon analyyttiset bijektiot itselleen. Otamme lähtökohdaksi Möbius-kuvaukset. Möbius-kuvaukset ovat muotoa f(z = az + b, kun a, b, c, d C ja ad bc 0 (6.1 cz + d olevia ensimmäisen asteen analyyttisia rationaalifunktioita. Ne ovat laajennetun kompleksitason konformisia bijektioita itselleen. Ehto ad bc 0 estää Möbius-kuvauksia surkastumasta vakioksi,[rhs, 13.2]. Möbius-kuvaukset muodostavat ryhmän, kun laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen. Möbius-kuvausten käänteiskuvaukset ovat muotoa f 1 (z = dz b, kun a, b, c, d C ja ad bc 0, (6.2 cz + a olevia Möbius-kuvauksia. Tavoitteemme on löytää ne Möbius-kuvaukset, jotka kuvaavat avoimen yksikkökiekon D itselleen. Seuraavien lauseiden tiedot ja todistusideat pohjautuvat lähteeseen [BM1, 1.1.1]. 6.1 Lause. Jos f on Möbius-kuvaus, jolla on seuraava esitys f(z = az + c cz + a, kun a, c C ja a 2 c 2 = 1, (6.3 niin silloin kuvaus f määrittelee kiekon D konformisen automorfismin. Todistus. Kuvaus f toteuttaa kohdan (6.1 ehdon aa cc = a 2 c 2 = 1 0, joten selvästikin f on Möbius-kuvaus. Möbius-kuvauksena, kuvaus f on analyyttinen ja myös bijektiivinen. Lisäksi sen derivaatalle pätee f (z = a 2 c 2 0, z D. (6.4 (cz + a 2 Siis f on, Määritelmän 2.6 nojalla, konforminen kiekossa D. Näytämme vielä, että muotoa (6.3 olevat funktiot kuvaavat yksikkökiekon D itselleen. Olkoon z = 1 ja siis piste z D. Nyt

13 6 Yksikkökiekon konformiset automorfismit 13 f(z = az + c = cz + a azz + cz = cz + a = a + cz cz + a z az + c cz + a = a z 2 + cz cz + a = cz + a cz + a = 1. Siis f kuvaa kiekon D reunan kiekon D reunalle eli f( D = D. Näytetään, että kiekon D sisäpisteet kuvautuvat kiekon D sisäpisteille. Olkoon z = 0. Nyt f(0 = a0 + c c0 + a = c a. Koska a 2 c 2 = ( a c ( a + c = 1, niin täytyy olla a c > 0, josta seuraa, että a > c. Edelleen f(0 = c a = c a < 1, siis sisäpiste z = 0 kuvautuu jollekin kiekon D sisäpisteelle. Jatkuvana kuvauksena funktio f kuvaa yhtenäiseen joukon D yhtenäiselle joukolle D ja siis f(d = D. Siis analyyttisena kuvauksena, f on Määritelmän 2.7 nojalla kiekon D automorfismi. Olemme näin saaneet osoitettua, että muotoa (6.3 olevat Möbius-kuvaukset määrittelevät kiekon D konformisia automorfismeja. Tulemme osoittamaan Lauseessa 6.4, että kiekon D konformiset automorfismit määrittelevät myös muotoa (6.3 olevia Möbius-kuvauksia. Merkitsemme tästä eteenpäin kaikki muotoa (6.3 olevat Möbius-kuvaukset joukoksi A(D ja kutsumme sen alkioita kiekon D konformisiksi automorfismeiksi. ( Osoitamme seuraavaksi, että joukko A(D muodostaa ryhmän A(D,, kun laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen.

14 6 Yksikkökiekon konformiset automorfismit Lause. ( Kiekon D konformisten automorfismien joukko A(D muodostaa ryhmän A(D,, kun laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen. Todistus. Olkoon nyt h A(D sellainen kuvaus, jonka vakio c on nolla. Tällöin h(z = az + 0 0z + a = z, kun a = 1. Jos nyt f A(D on mikä tahansa kiekon D konforminen automorfismi, niin silloin pätee, että h f = f h = f. Siis h on joukon A(D neutraalialkio (identiteettialkio. Kuvauksen f käänteiskuvaus f 1 (z = az c cz + a, kun a, c C ja a 2 c 2 = 1, kuuluu myös joukkoon A(D. Olkoon f, g A(D, ja merkitään f(z = a 1z + c 1 c 1 z + a 1 ja g(z = a 2z + c 2 c 2 z + a 2, missä a 1 2 c 1 2 = 1 ja a 2 2 c 2 2 = 1. Nyt yhdistetty kuvaus (f g(z = f(g(z = (a 1a 2 + c 1 c 2 z + a 1 c 2 + c 1 a 2 (c 1 a 2 + a 1 c 2 z + c 1 c 2 + a 1 a 2 täyttää kohdan (6.3 ehdot, sillä a 1 a 2 + c 1 c 2 = c 1 c 2 + a 1 a 2 ja a 1 c 2 + c 1 a 2 = c 1 a 2 + a 1 c 2 ja edelleen a 1 a 2 + c 1 c 2 2 c 1 a 2 + a 1 c 2 2 = 1. Eli f g A(D, ja siis ryhmä on suljettu kuvausten yhdistämisen suhteen. Lisäksi, jos f, g, h A(D, niin silloin on voimassa (f g h = f (g h, eli liitäntälaki pätee. ( Olemme siis saanneet näytettyä, että joukko A(D muodostaa ryhmän A(D,, kun laskutoimituksena on kuvausten yhdistäminen.

15 6 Yksikkökiekon konformiset automorfismit 15 Möbius-kuvauksilla on monia hyödyllisiä ominaisuuksia, joita käytetään kuvaustehtävien ratkaisuissa. Möbius-kuvaukset muun muassa säilyttävät kaksoissuhteet, [RHS, 13.5]. Ne kuvaavat ympyrät ympyröiksi tai suoriksi ja suorat ympyröiksi tai suoriksi, [RHS, 13.8]. Yksi Möbius-kuvausten hyödyllisistä ominaisuuksista työssämme tulee olemaan joukkoon A(D liittyvä ominaisuus. Tämä ominaisuus kertoo meille, että jos z, w D, niin silloin on olemassa kuvaus f A(D siten, että f(z = w. 6.3 Lemma. Möbius-kuvausten ryhmä A(D toimii transitiivisesti kiekossa D. Todistus. Olkoon f A(D sellainen funktio, joka kuvaa origon mielivaltaisesti valitulle pisteelle z 0 D. Tällöin funktio f on muotoa f(z = az + az 0 z 0 az + a, missä a D ja a 2 z 0 a 2 = 1. Toisaalta, jos myös g A(D ja funktiolla g on esitys g(z = az aw 0 w 0 az + a, missä w 0 on mielivaltaisesti valittu kiekon D piste ja a D siten, että a 2 aw 2 = 1, niin silloin g kuvaa piste w 0 origoksi. Nyt yhdistetty kuvaus h(z = (f g(z kuvaa piste w 0 pisteeksi z 0, eli h(w 0 = z 0. Lauseen 6.2 nojalla kuvaus h kuuluu joukkoon A(D. Olemme siis saanneet näytettyä, että kaikilla w 0, z 0 D on olemassa kuvaus h A(D, siten että h(w 0 = z 0. Käyttämällä edellisiä kohtia hyväksi, näytämme seuraavassa lauseessa, että jokainen kiekon D konforminen automorfismi on myös muotoa (6.3.

16 6 Yksikkökiekon konformiset automorfismit Lause. Olkoon f kiekon D konforminen automorfismi. Tällöin f on muotoa (6.3 oleva Möbius-kuvaus. Todistus. Olkoon f kiekon D konforminen automorfismi. Tällöin f(0 D, ja Lemman 6.3 nojalla löytyy sellainen kuvaus g A(D, että g(f(0 = 0. Määritellään h = g f. Tällöin pätee Lauseen 6.2 nojalla, että h A(D ja siis myös h 1 A(D. Kuvauksella h on voimassa h(0 = f(g(0 = 0, jolloin myös h 1 (0 = 0. Nyt kuvaukset h ja h 1 toteuttavat Schwarzin lemman oletukset ja siitä seuraa, että h(z z ja h 1 (w w, kaikilla z, w D. Erityisesti, kun z = h 1 (w, niin silloin on voimassa h(z = w ja saamme pääteltyä, että z = h 1 (w w = h(z z. Siis h(z = z, kaikilla z D. Schwarzin lemman erikoistapauksen nojalla kuvaus h on nyt kierto origon ympäri ja sillä on esitys h(z = e iφ z, jollakin φ R. Edellinen esitys kuvaukselle h näyttää ensisilmäyksellä poikkeavaan merkittävästi muotoa (6.3 olevista kuvauksista. Kuitenkin, kun sijoitamme siihen a = e 1 2 iφ ja c = 0 saamme h(z = e 1 2 iφ + 0 = e 1 2 iφ z 0z + e 1 2 iφ e = e iφ 2 iφ+ 1 2 iφ z = e iφ z, kun e 1 2 iφ = 1. Eli funktio h tosiaankin on muotoa (6.3 oleva Möbiuskuvaus. Nyt kuvauksella f on esitys f = g 1 h. Koska g 1, h A(D, niin täytyy Lauseen 6.2 nojalla olla voimassa, että myös f A(D. Olemme siis saanneet näytettyä, että jokainen kiekon D konforminen automorfismi on muotoa (6.3 oleva Möbius-kuvaus.

17 7 Kiekko D hyperbolisena tasona 17 7 Kiekko D hyperbolisena tasona Varustamalla kiekon D metriikalla λ(z dz saamme uuden tason, joka toteuttaa kaikki tasolta vaadittavat ehdot. Kutsumme jatkossa tätä uutta tasoa hyperboliseksi tasoksi. Hyperbolisen tason D geometria poikkeaa meille varsin tutusta euklidisen tason geometriasta. Euklidisen tason geometria sopii hyvin yhteen intuitiomme kanssa, sillä tason pisteiden väliset etäisyydet antaa aina jana. Edellinen ei aina toteudu Hyperbolisessa tasossa D, koska tason pisteiden väliset etäisyydet voivat olla ympyrän kaaria. Tämän takia toisinaan kutsutaan hyperbolista tasoa D epäeuklidiseksi tasoksi. Tämän luvun määritelmät, lauseet ja todistusideat pohjautuvat lähteisiin [BM1], [BM2] ja [OL]. Lisäksi käytämme runsaasti hyväksi edellisten lukujen tietoja. 7.1 Määritelmä. Hyperbolinen taso on kiekko D varustettuna metriikalla λ(z dz = 2 dz 1 z 2. Herää kysymys miksi varustamme nimenomaan kiekon D juuri tällä metriikalla? Ideana metriikan λ(z dz tuominen kiekoon D perustuu differentiaalilausekkeen ( kaarialkio dz 1 z 2 ominaisuudesta pysyä muuttumattomana kiekon D konformisten automorfismien kuvauksissa, [OL, s.35]. Osoitamme differentiaalilausekkeen muuttumattomuutta kuvauksen f A(D avulla. Nyt Lauseen 6.1 nojalla on voimassa, että f(z = az + b bz + a, kun a, b C ja a 2 b 2 = 1. Olkoot z 1, z 2, w 1, w 2 D. Merkitsemme w 1 = f(z 1 ja w 2 = f(z 2. Tällöin

18 7 Kiekko D hyperbolisena tasona 18 edelleen jolloin Tällöin w 1 w 2 = az 1 + b bz 1 + a az 2 + b bz 2 + a = (az 1 + b(bz 2 + a (bz 1 + a(bz 2 + a (az 2 + b(bz 1 + a (bz 2 + a(bz 1 + a = aaz 1 + bbz 2 aaz 2 bbz 1 (bz 1 + a(bz 2 + a = (aa bb(z 1 z 2 (bz 1 + a(bz 2 + a z 1 z 2 = (bz 1 + a(bz 2 + a, 1 w 1 w 2 = 1 1 z 1 z 2 = 1 z 1 z 2 (bz 1 + a(bz 2 + a, 1 (1 w 1 w 2 (bz 1 + a(bz 2 + a. Nyt, kun z 1 z 2, saamme z 1 z 2 1 z 1 z 2 = w 1 w 2 (bz 1 + a(bz 2 + a 1 w 1 w 2 (bz 1 + a(bz 2 + a z 1 z 2 1 z 1 z 2 = w 1 w 2 1 w 1 w 2. dz 1 z 2 = dw 1 w 2, eli differentiaalilauseke pysyy muuttumattomana.

19 7.1 Hyperbolinen pituus ja etäisyys Hyperbolinen pituus ja etäisyys 7.2 Määritelmä. Polku γ on jatkuva kuvaus γ : [a, b] A, missä A on kompleksitason alue, a < b ja a, b R. Polku γ on sileä, jos se on paloittain jatkuvasti differentioituva välillä [a, b]. Olkoot z ja w mielivaltaisia pisteitä kiekossa D ja olkoon γ sellainen kiekoon D sisältyvä sileä polku, joka yhdistää pisteet z ja w. Tällöin saamme määriteltyä polun γ hyperbolisen pituuden hyperbolisessa tasossa D, kun integroimme hyperbolista metriikkaa polkua γ pitkin, [BM2, s.11], l D (γ = γ λ D dz = γ (t dt, kun t [0, 1]. (7.1 1 γ(t 2 Euklidisessa tasossa etäisyys määritellään kaavalla d(x, y = y x, kun x, y R 2. Vastaavasti saamme määritettyä hyperboliselle tasolle D etäisyyslausekkeen, kun otamme infimumin kaikkien kiekon D sileiden polkujen γ yli, jotka yhdistävät pisteet z ja w avoimessa yksikkökiekossa D, [BM2, s.11], h D (z, w = inf γ l D (γ. (7.2 Tällä tavalla määritelty hyperbolinen etäisyys h D toteuttaa kaikki etäisyydeltä vaadittavat ehdot, [BM2, s.11]. 1. h D (z, w 0, kaikilla z, w D ja h D (z, w = 0, jos ja vain josnz = w. Todistus. Olkoon z w. Tällöin on voimassa kaikille pisteet z ja w yhdistäville kiekon D sileille poluille, että l D (γ > 0. Nyt kohdan (7.2 nojalla pätee myös, että h D (z, w > 0. Oletetaan nyt, että z = w. Tällöin kaikille edellä mainituille poluille pätee, että l D (γ = 0, mikä tarkoittaa kohdan (7.2 nojalla, että myös h D (z, w = 0. Eli kaikilla z, w D pätee, että h D (z, w 0.

20 7.1 Hyperbolinen pituus ja etäisyys h D (z, w = h D (w, z, kaikilla z, w D. 3. h D (z, w h D (z, u + h D (u, w, kaikilla z, w, u D. Todistus. Olkoon γ z u kiekon D sileä polku, joka yhdistää pisteet z, u D kiekossa D. Olkoon γ u w toinen kiekon D sileä polku, joka yhdistää pisteet u, w D kiekossa D. Tällöin Määritelmän 2.12 nojalla tulopolku { γz u (2t, kun t [0, 1 γ z w (t = (γ z u γ u w (t = ] 2 γ u w (2t 1, kun t [ 1, 1] 2 on hyvin määritelty ja yhdistää pisteet z, w D kiekossa D. Saamme nyt kohdan (7.2 nojalla h D (z, w = inf l D = inf λ D (z dz γ z w γ z w λ D (z dz = λ D (z dz γ z w γ z u γ u w = λ D (z dz + λ D (z dz. γ z u γ u w γ z w Ottamalla nyt infimum kaikkien pisteitä z ja u sekä u ja w yhdistävien polkujen yli, saamme halutun muodon h D (z, w h D (z, u + h D (u, w. Tarkastelemme nyt hyperbolista etäisyyttä h D, kun pisteet sijaitsevat hyperbolisen tason D reaaliakselilla eli avoimella välillä ( 1, 1. Seuraavan lauseen tiedot ja todistusideat pohjautuvat lähteisiin [BM1, 1.2.2] ja [BM2, s.13].

21 7.1 Hyperbolinen pituus ja etäisyys Lause. Olkoot a ja b reaalilukuja, joille pätee 1 < a < b < 1. Tällöin on voimassa seuraava kaava ( 1 + b a 1 ab h D (a, b = log. (7.3 1 b a 1 ab Lisäksi, jos myös c on reaaliluku, jolle pätee 1 < a < b < c < 1, niin silloin on voimassa h D (a, c = h D (a, b + h D (b, c (7.4 Todistus. Olkoon γ kiekon D sileä polku, joka yhdistää avoimen yksikkökiekon D reaaliakselin pisteet a ja b ja olkoon lisäksi a < b. Esitämme polkua γ muodossa γ(t = u(t + iv(t, missä t [0, 1]. Nyt γ(0 = u(0 + iv(0 = a ja γ(1 = u(1 + iv(1 = b, mistä päätelemme, että γ(0 = u(0 = a ja γ(1 = u(1 = b, sillä a ja b ovat reaalilukuja. Edelleen γ (t = u (t 2 + v (t 2 u (t 2 = u (t u (t ja γ(t 2 = u(t 2 + v(t 2 u(t 2. Käyttämällä polun hyperbolisen pituuden määritelmää (7.1, saamme l D (γ = = = = / γ (t 1 γ(t dt 2 0 ( u (t 1 u(t + u (t 1 + u(t 0 u (t 1 u(t dt + 1 log 1 u(t + 0 2u (t 1 u(t dt 2 dt u (t 1 + u(t dt / 1 0 log 1 + u(t.

22 7.1 Hyperbolinen pituus ja etäisyys 22 Sijoittamalla nyt saamme l D (γ log 1 u(1 + log 1 u(0 + log 1 + u(1 log 1 + u(0 = log(1 a log(1 b + log(1 + b log(1 + a = log 1 a 1 b + log 1 + b 1 + a (1 a(1 + b = log (1 b(1 + a ( 1 + b a = log Näin ollen pätee 1 ab 1 b a 1 ab. ( 1 + b a 1 ab l D (γ log, 1 b a 1 ab mistä puolestaan seuraa, kohdan (7.2 nojalla, että myös ( 1 + b a 1 ab h D (a, b = inf l D (γ log. γ 1 b a 1 ab Valitsemme nyt γ(t = a + t(b a, kun t [0, 1], jolloin edellisessä lausekkeessa pätee yhtäsuuruus ( 1 + b a 1 ab h D (a, b = inf l D (γ = log, γ 1 b a 1 ab Näin sen takia, että nyt polku γ(t = u(t määrittelee janan hyperbolisen tason D reaaliakselilta. Näin olemme saaneet näytetyksi kohdan (7.3 väittämän. Osoitamme nyt kohdan (7.4, käyttämällä kohdan (7.3 tietoa hyväksi. Nyt ( 1 + b a 1 ab h D (a, b = log, 1 b a 1 ab ( 1 + c b 1 bc h D (b, c = log 1 c b 1 bc ja ( 1 + c a 1 ac h D (a, c = log 1 c a. 1 ac

23 7.1 Hyperbolinen pituus ja etäisyys 23 Edelleen ( ( 1 + b a 1 ab 1 + c b 1 bc h D (a, b + h D (b, c = log + log 1 b a 1 c b 1 ab 1 bc ( 1 + b a 1 ab = log 1 + c b 1 bc 1 b a 1 c b 1 ab 1 bc ( 1 ab + b a = log 1 ab b + a 1 bc + c b 1 bc c + b ( (1 a + b(1 a (1 b + c(1 b = log (1 + a b(1 + a (1 + b c(1 + b ( (1 a(1 + b (1 b(1 + c = log (1 + a(1 b (1 + b(1 c ( ( (1 a(1 + c 1 + c a ac = log = log (1 + a(1 c 1 c + a ac ( ( 1 ac + (c a 1 + c a 1 ac = log = log 1 ac (c a 1 c a 1 ac = h D (a, c. Olemme näin osoittaneet kohdan (7.4 tuloksen. Tarkemmin sanottuna kohdan tulos kertoo meille, että hyperbolisessa tasossa etäisyys h D on additiivinen, kun pisteet sijaitsevat kiekon D reaaliakselilla, [BM2, s.14]. Saamme edellisten kohtien avulla muotoiltua etäisyyslausekkeen origon ja mielivaltaisen pisteen z D väliselle etäisyydelle, [BM1, s.11]. Voimme olettaa, ettei piste z ole kiekon D reaaliakselilla, muuten lauseke palautuisi kohtaan (7.4.

24 7.1 Hyperbolinen pituus ja etäisyys Lause. Olkoon z mielivaltainen piste kiekossa D. Tällöin ( 1 + z h D (0, z = log 1 z (7.5 Todistus. Olkoon z kiekon D piste. Nyt piste z voidaan esittää polaarimuodossa z = z e iφ, kun φ R. Olkoon γ sellainen sileä polku, joka yhdistää pisteet 0 ja z. Tällöin kuvaus f(γ = e iφ γ vastaavasti yhdistää pisteet 0 ja z. Kuvaus γ e iφ γ siis kääntää pisteitä 0 ja z yhdistävän sileän polun γ pisteisiin 0 ja z yhdistäväksi sileäksi poluksi e iφ γ. Kuvaus f on bijektio ja näin ollen polkujen vastaavuus yksikäsitteinen. Tarkastelemme nyt polkujen e iφ γ ja γ hyperbolisia pituuksia. Kohdan (7.1 nojalla saamme l D (e iφ γ = = = b a b a b a = l D (γ, 2 (e iφ γ (t 1 e iφ γ(t 2 dt 2 e iφ γ (t 1 e iφ γ(t 2 dt 2 γ (t 1 γ(t 2 dt kun t [a, b] ja e iφ = 1. Eli poluilla on yhtä suuri hyperbolinen pituus. Kohdan (7.2 nojalla pätee nyt, että h D (0, z = inf l D (e iφ γ = inf l D(γ = h D (0, z. f(γ γ Piste z on reaaliluku välillä ( 1, 1, tällöin kohdan (7.3 nojalla saamme ( 1 + z 0 ( 1 0 z 1 + z h D (0, z = log = log = h 1 z 0 D (0, z. 1 z 1 0 z Näin ollaan saatu osoitettua lauseen väittämä. Nyt kiekon D mielivaltaisen pisteen z etäisyys origosta voidaan aina palauttaa tapauksen h D (0, z, mikä onnistuu aina edellisen tapaukseen valossa. Lauseesta 7.4 seuraa, myös mielenkiintoinen arvio kiekon D reunan hyperbolisesta etäisyydestä suhteessa muihin kiekon D pisteisiin, [BM2, s.16].

25 7.1 Hyperbolinen pituus ja etäisyys Korollaari. Olkoot z ja w mielivaltaisia pisteitä kiekossa D. Tällöin h D (0, z, kun z 1. ja h D (w, z, kun z 1. Todistus. Lauseen 7.4 nojalla pisteen z etäisyys origosta on ( 1 + z h D (0, z =. 1 z Nyt kun z 1, menee yllä olevan lausekkeen nimittäjä kohti nollaa 1 z 0 ja koko lauseke menee kohti ääretöntä h D (0, z. Toisaalta, jos w on myös mielivaltainen piste kiekossa D, on silloin kolmio epäyhtälön nojalla voimassa, että h D (0, z h D (0, w + h D (w, z. Edelleen, kun z 1, menee kolmioepäyhtälön vasen puoli kohti ääretöntä. Nyt kolmioepäyhtälön oikean puolen termi h D (0, w saa, Lauseen 7.4 nojalla, jonkin kiinteän arvon. Näin ollen, täyty olla voimassa, että h D (w, z, kun z 1. Edellä käytyjen nojalla, voidaan päätellä, että hyperbolisen tason D reuna D on äärettömän kaukana, suhteessa avoimen yksikkökiekon D pisteisiin.

26 7.2 Hyperbolisen tason isometriat ja pseudohyperbolinen etäisyys Hyperbolisen tason isometriat ja pseudohyperbolinen etäisyys Tässä luvussa muotoilemme täsmällisen kaavan etäisyydelle h D (z, w, kun z ja w ovat mielivaltaisia lukuja kiekossa D. Edellisissä kohdissa saimme rakennettua täsmällisen kaavan hyperboliselle etäisyydelle h D (0, z. Kyseisen kaavan muotoilussa, käytimme hyväksi tietoa kiekon D reaaliakselin pisteiden välisistä hyperbolisista etäisyyksistä. Vastaavasti käyttämällä tietoa hyperbolisen tason isometrioista ja niin kutsuttua pseudohyperbolista metriikka, saamme muotoiltua kaavan etäisyydelle h D (z, w. 7.6 Määritelmä. Analyyttinen kuvaus f : D D on metriikan λ D (z dz lokaali isometria, jos jokaisella z D pätee, että λ D (f(z f (z = λ D (z. (7.6 Olemme edellä osoittaneet, että differentiaalilauseke dz 1 z 2 säilyy kiekon D konformisten automorfismien kuvauksissa. Differentiaalilauseke eroaa hyperbolisesta metriikasta λ D (z dz = 2 dz 1 z 2 ainoastaan vakiolla 2. Tarkastelemme seuraavaksi, miten kiekon D konformisten automorfismien kuvaukset f A(D suhtautuvat metriikkaan λ D (z dz, [BM1, 1.2.5]. 7.7 Lause. Analyyttinen funktio f : D D on metriikan λ D (z dz lokaali isometria, jos ja vain jos se on kiekon D konforminen automorfismi. Todistus. Olkoon f kiekon D konforminen automorfismi. Tällöin kuvauksella f on, Lauseen 6.1 nojalla, seuraava esitys Nyt f(z = az + c cz + a, kun a, c D ja a 2 c 2 = 1. f (z = a(cz + a (az + cc (cz + a 2 = acz acz + a 2 c 2 (cz + a 2 1 = (cz + a. 2

27 7.2 Hyperbolisen tason isometriat ja pseudohyperbolinen etäisyys 27 Edelleen λ D (f(z f (z = 2 f (z 1 f(z = f(z 2 2 (cz+a = 2 1 az+c = 2 cz+a 2 cz + a az + c 2 = (cz + a(cz + a (az + c(az + c 2 = czcz + acz + acz + aa azaz acz acz cc 2 = c 2 z 2 + ( a 2 c 2 a 2 z 2 2 = 1 a 2 z 2 + c 2 z 2 2 = 1 z 2 ( a 2 c 2 = 2 1 z = λ D(z. 2 (cz+a 2 Eli kuvaukset f A(D säilyttävät hyperbolisen metriikan. Osoitamme vielä, että ainoat analyyttiset kuvaukset f : D D, jotka säilyttävät metriikan λ D (z dz, ovat täsmälleen ne kuvaukset, jotka kuuluvat joukkoon A(D. Olkoon nyt f 1 ja f 2 metriikan λ D (z dz lokaaleja isometrioita. Tällöin derivoinnin ketjusäännön nojalla saamme λ D (f 1 f 2 (z (f 1 f 2 (z = λ D (f 1 (f 2 (z f 1(f 2 (zf 2(z = λ D (f 1 (f 2 (z f 1(f 2 (z f 2(z = λ D (f 2 (z f 2(z = λ D (z. Eli isometrioiden kuvausten yhdistetyt kuvaukset ovat myös isometrioita. Jos nyt f : D D on lokaali isometria, niin silloin voimme Lemman 6.3 nojalla valita sellainen kuvauksen g A(D, että g(f(0 = 0. Tällöin λ D ((g f(0 = 2, sillä ja edelleen λ D (g(f(0 = 2 1 g(f(0 = = 2 2 λ D ((g f(0 (g f (0 = λ D (0 = 2,

28 7.2 Hyperbolisen tason isometriat ja pseudohyperbolinen etäisyys 28 täytyy siis päteä, että (g f (0 = 1. Schwarzin lemman nojalla, yhdistetty kuvaus g f on nyt kierto origon ympäri ja siis kiekon D konforminen automorfismi. Nyt g f A(D. Tällöin Lauseen 6.2 nojalla pitäisi päteä myös, että f A(D. Olemme näin osoittaneet, että kuvaus f on hyperbolisen metriikan isometria, jos ja vain jos f A(D. 7.8 Määritelmä. Analyyttinen funktio f : D D on etäisyyden h D isometria, jos kaikilla z, w D pätee, että h D (f(z, f(w = h D (z, w (7.7 Tarkastelemme seuraavaksi, miten kiekon D konformisten automorfismien kuvaukset f A(D suhtautuvat hyperbolisen etäisyyteen h D, [BM1, 1.2.7]. 7.9 Lause. Analyyttinen funktio f : D D on etäisyyden h D isometria, jos ja vain jos f on kiekon D konforminen automorfismi. Todistus. Oletetaan aluksi, että f A(D. Kuvaus f on nyt, edellisen lauseen perusteella, hyperbolisen metriikan lokaali isometria. Olkoot γ ja f(γ kiekon D sileitä polkuja siten, että polku γ yhdistää pisteet z, w D ja polku f(γ pisteet f(z, f(w D. Tällöin polkujen hyperbolisille pituuksille pätee seuraava arvio l D (f(γ = λ D (w dw = λ D (f(z f (z dz = λ D (z dz = l D (γ. f(γ γ Nyt, kun otamme polkujen hyperbolisista pituuksista suurimman alarajan, saamme ja edelleen kohdan (7.2 nojalla inf l D(f(γ inf l D(γ f(γ γ h D (f(z, f(w h D (z, w, kaikilla z, w D. Toisaalta f 1 on myös kiekon D konforminen automorfismi, joten vastaavalla päättelyllä saamme h D (f 1 (z, f 1 (w h D (z, w, kaikilla z, w D. Jos nyt merkitsemme f(z = a ja f(w = b, niin silloin saamme h D (f(z, f(w h D (z, w = h D (f 1 (a, f 1 (b h D (a, b = h D (f(z, f(w. γ

29 7.2 Hyperbolisen tason isometriat ja pseudohyperbolinen etäisyys 29 Siis h D (f(z, f(w = h D (z, w, kaikilla z, w D, joten f on hyperbolisen etäisyyden h D isometria. Näytämme seuraavaksi, että kuvaukset f A(D ovat ainoat kuvaukset, jotka ovat isometrioita etäisyyden h D suhteen. Osoitamme ensin, että yhdistetyt etäisyyden h D isometriat ovat myös h D isometrioita. Olkoot f 1 ja f 2 h D isometrioita. Tällöin h D ((f 1 f 2 (z, (f 1 f 2 (w = h D (f 1 (f 2 (z, f 1 (f 2 (w = h D (f 2 (z, f 2 (w = h D (z, w. Siis h D isometrioiden yhdistetty kuvaus on myös h D isometria. Jos nyt f : D D on h D isometria ja g A(D, niin silloin yhditetty kuvaus g f on myös h D isometria. Nyt f(0 D ja voimme valita, Lemman 6.3 nojalla, kuvauksen g A(D siten, että g(f(0 = 0. Voimme nyt, isometrian johdosta, lausua h D (0, z = h D (g(f(0, g(f(z = h D (0, g(f(z, jolloin saamme Lauseen 7.4 nojalla, että h D (0, z = log 1 + z 1 z = log1 + g(f(z 1 g(f(z = h D(0, g(f(z. Edelleen log 1 + z 1 z = log1 + g(f(z 1 g(f(z, mistä saamme arvion g(f(z = z. Siis yhdistetty kuvaus g f on, Schwarzin Lemman erikoistapauksen nojalla, kierto origon ympäri, jolloin voimassa on, että g f A(D. Mutta nyt, Lauseen 6.2 nojalla, pätee että f A(D. Olemme siis saaneet näytettyä, että analyyttinen kuvaus f : D D on h D isometria, jos ja vain jos f on kiekon D konforminen automorfismi. Tämän luvun loppuosassa perehdymme niin sanottuun pseudohyperboliseen etäisyyteen, jota lyhyesti merkitsemme ρ D. Pseudohyperbolinen etäisyys määritellään kaavalla, [BM2, s.12] ρ D (z, w = z w, kun z, w D. (7.8 1 zw

30 7.2 Hyperbolisen tason isometriat ja pseudohyperbolinen etäisyys 30 Tulemme näkemään, että tällä tavalla määritettynä, ρ D täyttää kaikki etäisyydeltä vaadittavat ehdot. Lisäksi tulemme näyttämään etäisyyksien h D ja ρ D välillä vallitsevaa relaatiota. Sitä ennen asetamme muutamia määritelmiä Määritelmä. [BM1, 1.1.2] Olkoon f kiekon D konforminen automorfismi. Tällöin kuvauksella f on esitys ( z w f(z = e iφ, kun φ R ja z, w D. 1 zw 7.11 Määritelmä. [RHS] Kompleksitason C hyperbolinen sini, hyperbolinen kosini ja hyperbolinen tangentti määritellään kaikilla z C seuraavalla tavalla sinh(z = 1 2 (ez e z cosh(z = 1 2 (ex + e z tanh(z = sinh(z cosh(z = e2z 1 e 2z Lemma. Hyperboliselle tangentille pätee seuraava yhteenlaskukaava kaikilla z, w R tanh(z + w = tanh(z + tanh(w 1 + tanh(z tanh(w, Todistus. Olkoot z ja w kompleksilukuja. Nyt Määritelmän 7.11 nojalla saamme, että mikä osoittaa lemman. + e2w 1 e 2z +1 e 2w 1 e 2w 1 e 2z +1 e 2w 1 tanh(z + w = e2(z+w 1 e2z 1 e 2(z+w + 1 = 1 + e2z 1 = tanh(z + tanh(w 1 + tanh(z tanh(w, Edellä käytyjen tietojen valossa, olemme vihdoinkin valmiita esittämään tarkan kaavan etäisyydelle h D (z, w, kun z, w ovat mielivaltaisia pisteitä hyperbolisessa tasossa D. Kaavan muotoilemisessa, käytämme lähteitä [BM1, 1.2.9] ja [BM2, 2.2].

31 7.2 Hyperbolisen tason isometriat ja pseudohyperbolinen etäisyys Lause. Olkoot z, w mielivaltaisia pisteitä kiekossa D. Tällöin on voimassa, että h D (z, w = log 1 + ρ D(z, w, kaikilla z, w D, missä (7.9 1 ρ D (z, w ρ D (z, w = z w. 1 zw Todistus. Oletetaan, että f on kiekon D konforminen automorfismi. Tällöin Määritelmän 7.10 nojalla kuvauksella f on esitys ( z w f(z = e iφ, jollakin φ R ja z, w D, 1 zw jolloin f(w = 0. Nyt, kun käytämme seuraava päättelyketjua, saamme h D (z, w (1 = h D (w, z (2 = h D (f(w, f(z = h D (0, f(z (3 = h D (0, f(z = h D (0, e iφ z w 1 zw = h D (0, z w 1 zw (4 = h D (0, ρ D (z, w (5 = log 1 + ρ D(z, w 1 ρ D (z, w. Päättelyketjun kohdan (1 yhtäsuuruus seuraa etäisyyden h D ominaisuudesta. Kohdan (2 yhtäsuuruus seuraa Lauseesta 7.9. Kohtien (3,(5 yhtäsuuruudet puolestaan seuraavat Lauseesta 7.4 ja kohta (4 seuraa pseudohyperbolisen etäisyyden määritelmästä.

32 7.2 Hyperbolisen tason isometriat ja pseudohyperbolinen etäisyys 32 Etäisyydet h D ja ρ D linkittyvät myös toisellakin tavalla, [BM2, s.14] Lause. Olkoot z, w mielivaltaisia pisteitä kiekossa D. Tällöin on voimassa, että ( 1 ρ D (z, w = tanh 2 h D(z, w. (7.10 Todistus. Edellisen lauseen nojalla pätee nyt, että h D (z, w = log 1 + ρ D(z, w, kaikilla z, w D. 1 ρ D (z, w Sijoittamalla nyt edellinen lauseke kohdan (7.10 saamme ( 1 tanh( 2 h 1 D(z, w = tanh 2 log1 + ρ D(z, w 1 ρ D (z, w ( 1 sinh = ( cosh ( = elog ( e log = = log 1+ρ D(z,w 2 1 ρ D (z,w 1 log 1+ρ D(z,w 2 1 ρ D (z,w 1+ρ D (z,w 1 ρ D (z,w 1+ρ D (z,w 1 ρ D (z,w 1 2 ( 1+ρD (z,w 1 ρ D (z,w ( 1+ρD (z,w 1 ρ D (z,w 1 2 e log ( e log ( ρ D (z,w 1 ρ D (z,w 1 1+ρ D (z,w 1 ρ D (z,w + 1 ( 1 1+ρD (z,w 2 1 ρ D (z,w ( 1+ρD (z,w 1 ρ D (z,w ρ D (z,w 1 ρ D (z,w ρ D (z,w 1 ρ D (z,w 1 2 = 1 + ρ D(z, w 1 + ρ D (z, w 1 + ρ D (z, w + 1 ρ D (z, w = 2ρ D(z, w 2 = ρ D (z, w.

33 7.2 Hyperbolisen tason isometriat ja pseudohyperbolinen etäisyys 33 Siis hyperbolinen etäisyys h D ja pseudohyperbolinen etäisyys ρ D kytkeytyvät toisiinsa hyperbolisen tangentin kautta. Lisäksi, jos f on kiekon D konforminen automorfismi, niin silloin pseudohyperbolisille etäisyyksille on voimassa ρ D (f(z, f(w = ρ D (z, w, (7.11 sillä Lauseen 7.14 nojalla pätee, että 1 1 ρ D (f(z, f(w = tanh( 2 h D(f(z, f(w = tanh( 2 h D(z, w = ρ D (z, w. Eli kiekon D konformiset automorfismit ovat myös pseudohyperbolisen etäisyyden ρ D isometrioita. Näytämme seuraavaksi, että pseudohyperbolinen etäisyys todellakin määrittelee etäisyysfunktion ρ D, [BM2, s.14]. Lauseen 7.14 nojalla pätee, että 1 ρ D (z, w = tanh( 2 h D(z, w (7.12 = e 1 2 h D(z,w e 1 2 h D(z,w e 1 2 h D(z,w + e 1 2 h D(z,w, (7.13 jolloin päättelemme, että e 1 2 h D(z,w e 1 2 h D(z,w, kaikilla z, w D, sillä, h D (z, w 0 ja edelleen 1 2 h D(z, w 0, kaikilla z, w D. Edellisistä kohdista seuraa nyt, että ρ D (z, w 0 kaikilla z, w D. Toisaalta, jos 1 ρ D (z, w = tanh( 2 h D(z, w = 0, niin, silloin täytyy olla voimassa, että 1 2 h D(z, w = 0, mikä pätee, jos ja vain jos z = w. Etäisyys ρ D on myös vaihdannainen. Etäisyyden ρ D vaihdannaisuus seuraa etäisyyden h D vaihdannaisuudesta, sillä 1 1 ρ D (z, w = tanh( 2 h D(z, w = tanh( 2 h D(w, z = ρ D (w, z. Pseudohyperbolinen etäisyys ρ D toteutaa kolmioepäyhtälön. Olkoot z, w D.

34 7.2 Hyperbolisen tason isometriat ja pseudohyperbolinen etäisyys 34 Tällöin lauseen 7.14 avulla, saamme rakennettua seuraavan päättelyketjun 1 ρ D (z, w = tanh( 2 h D(z, w (1 1 tanh( 2 (h D(z, v + h D (v, w (2 = tanh( 1h 2 D(z, v + tanh( 1h 2 D(v, w 1 + tanh( 1h 2 D(z, vtanh( 1h 2 D(v, w (3 < tanh( 1 2 h D(z, v = ρ D (z, v + ρ D (v, w. 1 + tanh( 2 h D(v, w Päättelyketjun kohdan (1 epäyhtälö seuraa siitä, että etäisyys h D toteuttaa kolmioepäyhtälön. Kohdan (2 yhtäsuuruus puolestaan seuraa hyperbolisen tangentin summakaavasta. Arvioimalla hyperbolisen tangentin summakaavaa ylöspäin, saamme kohdasta (3 aidon epäyhtälön. Näin olemme näyttäneet, että ρ D toteuttaa kolmioepäyhtälön. Erityisesti kolmioepäyhtälössä pätee aina aito epäyhtälö. Tämä tarkoittaa, ettei pseudohyperbolinen etäisyys koskaan ole additiivinen kiekon D pisteissä, toisin kuin etäisyys h D, joka on additiivinen kiekon D reaaliakselin pisteissä.

35 8 Hyperboliset geodeesit 35 8 Hyperboliset geodeesit Tässä luvussa tarkastellaan hyperbolisen tason D geodeeseja. Geodeesit ovat tarkasteltavan avaruuden metriikan huomioon ottaen lyhyimpiä polkuja avaruuden pisteiden välillä. Euklidisen metriikan mielessä geodeesit siis vastaavat suorien janoja. [BM1, s.16]. 8.1 Määritelmä. Olkoot z ja w mielivaltaisia pisteitä kiekossa D. Tällöin pisteiden z ja w välinen hyperbolinen geodeesi sijaitsee kiekon D origon kautta kulkevalla suoralla tai kaarella C D, missä C on se yksikäsitteinen euklidinen ympyrä, joka kulkee pisteiden z ja w kautta ja kohtaa kiekon D reunan kohtisuorasti. Merkitsemme pisteiden z ja w välistä hyperbolista geodeesia joukoksi < z, w >. Hyperbolisen tason D metriikan näkökulmassa ympyrän kaari voi siis olla samassa asemassa, kuin suora euklidisessa tasossa. Tämän takia Eukleiden paralleeliaksiooma (Kuva 1 ei ole voimassa hyperbolisen tason D geometriassa. Kuva 1 Kuvasta 1 nähdään, miksei hyperbolisen tason D geometriassa voi olla voimassa paralleeliaksiooma: löydämme aina lukemattomia origon kautta kulkevia hyperbolisen tason D suoria, jotka ovat yhdensuuntaisia pisteiden z ja w kautta kulkevan ympyrä kaaren kanssa.

36 8 Hyperboliset geodeesit Määritelmä. Olkoon γ z w mikä tahansa sileä polku, joka yhdistää pisteet z, w D kiekossa D. Tällöin polun γ z w hyperbolinen pituus l D (γ z w on yhtä suuri, kuin hyperbolinen etäisyys h D (z, w, jos ja vain jos γ z w =< z, w >, missä γ z w on polun jälki. Osoitimme Lauseessa 7.3, että etäisyys h D on additiivinen kiekon D reaaliakselin pisteissä. Edellinen olisi nyt, Määritelmän 8.1 ja Määritelmän 8.2 valossa, helppoa ymmärtää, sillä yksikkökiekon D reaaliakseli kulkee origon kautta ja näin ollen sen janat ovat geodeeseja hyperbolisessa tasossa D. Yleistämme tämän ja näytämme, että etäisyys h D on additiivinen minkä tahansa hyperbolisen tason D geodeesin pitkin, [BM1, ]. 8.3 Lause. Olkoot z ja w kiekon D erillisiä pisteitä. Tällöin on voimassa h D (z, w = h D (z, v + h D (v, w, jos ja vain jos piste v D on pisteiden z ja w välisellä geodeesillä < z, w >. Todistus. Olkoon γ z v : [a, b] D sellainen kiekon D sileä polku, joka yhdistää pisteet z ja v ja jonka jälki γ z v yhtyy geodeesiin < z, w >. Lisäksi olkoon γ v w : [a, b] D toinen kiekon D sileä polku, joka yhdistää pisteet v ja w ja jonka jälki γ v w myös yhtyy geodeesiin < v, w >. Nyt tulopolku γ z v γ v w on hyvin määritelty ja yhdistää pisteet z ja w. Tällöin Määritelmän 8.2 ja tulopolun Määritelmän 2.12 nojalla saamme l D (γ z v γ v w = l D (γ z v + l D (γ v w = h D (z, v + h D (v, w, jos ja vain jos Siis jos ja vain jos γ z v γ v w =< z, w >. h D (z, w = h D (z, v + h D (v, w, h D (z, w = l D (γ z v γ v w, mutta nyt Määritelmän 8.2 mukaan näin on, jos ja vain jos ja siis v < z, w >. < z, w >= γ z w

37 9 Schwarzin-Pickin lemma 37 9 Schwarzin-Pickin lemma Annamme tässä luvussa hyperbolinen version Schwarzin lemmasta. Tämä versio, jota yleensä kutsutaan Schwarzin-Pikcin lemmaksi, osoittaa meille, että muotoa f : D D olevat analyyttiset kuvaukset joko kutistavat hyperbolista etäisyyttä h D tai ne ovat etäisyyden h D isometrioita. Käytämme lemman muotoilemiseksi lähdettä [BM1, 1.4.1]. 9.1 Lause (Schwarzin-Pickin lemma. Oletetaan, että f : D D on analyyttinen kuvaus. Tällöin kuvauksella f on voimassa seuraavat ehdot i f on hyperbolinen kutistus, tämä tarkoittaa sitä, että kaikilla z w D pätee h D (f(z, f(w < h D (z, w ja λ D (f(z f (z < λ D (z, tai ii f on hyperbolinen isometria, tämä tarkoittaa sitä, että kaikilla z, w D pätee h D (f(z, f(w = h D (z, w ja λ D (f(z f (z = λ D (z. Todistus. Lauseen 7.9 nojalla kohdan ii ensimmäinen osa on voimassa, jos ja vain jos f on kiekon D konforminen automorfismi. Toisaalta, jos kohdan ii ensimmäinen osa on voimassa, jolloin f on kiekon D konforminen automorfismi, niin silloin täytyy, Lauseen 7.7 nojalla, olla myös kohdan ii toinenkin osa voimassa. Siis kohdan ii tulokset ovat voimassa, jos ja vain jos f on kiekon D konforminen automorfismi. Oletamme nyt, että f ei ole hyperbolinen isometria. Olkoon w D kiinnitetty ja asetamme funktion F (z = f(z f(w 1 f(wf(z z w, kun z w z D, 1 wz

38 9 Schwarzin-Pickin lemma 38 ja f(z f(w F (w = lim F (z = lim z w z w z w = f (w ( 1 w 2 1 f(w 2 1 wz 1 f(wf(z. Nyt kuvaus F : D D on analyyttinen, kun z w ja jatkuva pisteessä w D, joten F on analyyttinen koko määrittelyjoukossaan, [KA, s.86, s.92]. Määritelmän 7.10 nojalla funktion F osoittaja ja nimittäjä f(z f(w 1 f(wf(z, z w 1 wz ovat kuvauksia, jotka kuvaavat yksikkökiekon D itselleen. Tällöin f(z f(w 1 f(wf(z 1 ja jatkuvuuden nojalla lim z D z w = 1. 1 wz Edelleen lim sup F (z = lim sup z 1 z 1 f(z f(w 1 f(wf(z z w 1 wz 1 lim sup z 1 z w = 1 1 = 1. 1 wz Nyt, Lauseen 4.2 (Maksimiperiaate nojalla, on voimassa F (z 1 kaikilla z D. Siis kaikilla z w D pätee f(z f(w 1 f(wf(z z w. 1 wz Mutta nyt edellinen lauseke on yhtäpitävä pseudohyperbolisen etäisyyden määritelmän kohdan (7.8 kanssa, sillä f(z f(w ρ D (f(z, f(w = 1 f(wf(z z w = ρ D (z, w. 1 wz

39 9 Schwarzin-Pickin lemma 39 Siis F (z 1 kaikilla z D, jos ja vain jos ρ D (f(z, f(w ρ D (z, w, kun z w. Jos nyt jollakin z D pätee, että F (z = 1, niin silloin, Lauseen 4.2 (Maksimiperiaate nojalla, F on vakiofunktio, jonka moduli on 1. Tällöin F (z = 1 kaikilla z D, mistä puolestaan seuraa, että ρ D (f(z, f(w = ρ D (z, w. Toisaalta edellisellä lausekkeella on myös, Lauseen 7.14 nojalla, seuraava esitys ( 1 ( 1 tanh 2 h D(f(z, f(w = tanh 2 h D(z, w, mikä taas tarkoittaa, hyperbolisen tangentin aidon kasvavuuden nojalla, että myös h D (f(z, f(w = h D (z, w, kaikilla z, w D. Nyt kuitenkin, Lauseen 7.9 nojalla, f olisi kiekon D konforminen automorfismi. Tämä puolestaan on vastoin oletustamme, että f ei ole kiekon D konforminen automorfismi. Täytyy siis olla F (z < 1 kaikilla z D, jolloin myös ρ D (f(z, f(w < ρ D (z, w, kaikilla z, w D ja z w D. Edelleen hyperbolisen tangentin aidon kasvavuuden nojalla on myös silloin voimassa, että h D (f(z, f(w < h D (z, w, kaikilla z, w D ja z w D. Koska olimme vapaasti valinneet luvun w D, niin edellinen tulos on voimassa kaikille yksikkökiekon itselleen kuvaaville analyyttisille kuvauksille, jotka eivät ole yksikkökiekon D konformisia automorfismeja. Näin olemme saaneet osoitettua kohdan i ensimmäisen osan. Osoitamme nyt kohdan i toisen osan kiinnittämällä edelleen luvun w D. Nyt kohdan ensimmäisen osan nojalla on voimassa F (z < 1, kaikilla z D.

40 9 Schwarzin-Pickin lemma 40 Erityisesti nyt pätee myös, että F (w < 1, jolloin edelleen josta F (w = f 1 w 2 (w 1 f(w < 1, f(w 2 f (w < 2 1 f(w 2 f (w < 1 1 w 2, 2 1 w 2. Siis λ D (f(w f (w < λ D (w. Koska olimme vapaasti valinneet luvun w D, niin edellinen tulos on voimassa kaikille yksikkökiekon itselleen kuvaaville analyyttisille kuvauksille, jotka eivät ole yksikkökiekon D konformisia automorfismeja. Näin olemme saaneet osoitettua kohdan i toisenkin osan.

41 10 Schwarzin-Pickin lemman laajennus Schwarzin-Pickin lemman laajennus Tässä luvussa käsittelemme tutkielmamme pääaiheen: Kolmen pisteen Schwarzin-Pickin lemma. Kolmen pisteen Schwarzin-Pickin lemma antaa meille selvästi enemmän tietoa analyyttisten kuvausten f : D D käyttäytymisestä avoimessa yksikkökiekossa D, kuin Luvussa 9 käsittelemämme klassista kahden pisteen Schwarzin-Pickin lemma. Lisäksi saamme kolmen pisteen Schwarzin-Pickin lemman avulla johdettua hyödyllisiä lausekkeita hyperbolisille derivaatoille. Ennen varsinaisen aiheen etenemistä, tarvitsemme tietoa Blaschken tulon kuvauksista ja hyperbolisesta erotusosamäärästä Määritelmä. [BM2, s.19] Oletetaan, että F ei ole vakiofunktio. Tällöin funktio F : D D on (äärellinen Blaschken tulo, jos F on analyyttinen avoimessa yksikkökiekossa D, jatkuva sen sulkeumassa D ja F (z = 1 aina, kun z D. Lisäksi, jos g on kiekon D konforminen automorfismi ja z D, niin silloin yhdistetyt kuvaukset (F g(z ja (g F (z ovat myös Blaschken tuloja Lemma. Funktio F on Blaschken tulo, jos ja vain jos F on kiekon D konformisten automorfismien äärellinen tulo. Todistus. Väitteen toinen suunta on selvä, sillä Määritelmän 10.1 nojalla kiekon D konformiset automorfismit ovat Blaschken tuloja, joten jos F on kiekon D konformisten automorfismien äärellinen tulo, niin silloin F on myös Blaschken tulo. Osoitamme nyt, että jos F on Blaschken tulo, niin silloin se on myös kiekon D konformisten automorfismien äärellinen tulo. Oletetaan, että F ei ole vakiofunktio kiekossa D. Nyt funktiolla F täytyy olla ainakin yksi nollakohta kiekossa D, sillä jos funktiolla F ei ole yhtään nollakohtaa kiekossa D, niin silloin funktion 1 F modulilla olisi lokaali maksimi kiekossa D, jolloin 1 F olisi maksimiperiaatteen nojalla vakiofunktio. Mutta silloin F olisi myös vakiofunktio ja se olisi ristiriidassa oletuksemme F ei ole vakiofunktio kanssa. Siis funktiolla F on ainakin yksi nollakohta kiekossa D. Toisaalta, funktion F nollakohtien lukumäärä kiekossa D täytyy olla äärellinen, sillä jos nollakohtien lukumäärä olisi ääretön, niin silloin nollakohtien joukon kasaantumispiste c olisi kiekon D reunalla c D, [KA, 9.21]. Edellinen puolestaan tarkoittaisi sitä, että F (c = 0, joka taas olisi ristiriidassa Määritelmän 10.1 kanssa. Siis funktion F nollakohtien lukumäärä on äärellinen. Merkitsemme funktion F nollakohtia kiekossa D a 1,..., a m, missä a j D ja j = 1,..., m N. Nyt kuvaus F 0 (z = F (z k m=1 ( z am 1 a mz

42 10 Schwarzin-Pickin lemman laajennus 42 on Blaschken tulo, jolla ei ole nollakohtia kiekossa D, [BM2, s.19]. Edellä pääteltyjen nojalla funktio F 0 (z on vakio kiekossa D. Erityisesti F 0 (z = b jollakin b D. Nyt Koska ( z a m 1 a mz F (z = b k m=1 ( z am. 1 a m z A(D kaikilla z D, niin täytyy Blaschken tulon F (z olla kiekon D konformisten automorfismien äärellinen tulo. Sanomme myös, että F on astetta k oleva Blaschken tulo, jos funktiolla F (z on täsmälleen k epätriviaalia tekijää kiekossa D. Seuraavaksi määrittelemme kiekossa D eräänlaisen suunnatun etäisyyden, joka hyperbolisesta etäisyydestä poiketen saa myös kompleksisia arvoja. Voimme ymmärtää tätä suunnattua etäisyyttä ajattelemalla, että se vastaa kiekon D pisteiden erotusta, kun hyperbolinen etäisyys vastaisi kiekon D pisteiden erotuksen itseisarvoa Määritelmä. Pisteiden z, w D välinen kompleksinen pseudohyperbolinen etäisyys on [z, w] = z w, kun z, w D. ( wz Kompleksisen pseudohyperbolisen etäisyyden moduli [z, w] puolestaan määrittelee etäisyyden ρ D (z, w. Muotoilemme seuraavaksi hyperbolisen erotusosamäärän, kompleksisen pseudohyperbolisen etäisyyden avulla, [BM2, 4.2] Määritelmä. Olkoon f : D D analyyttinen kuvaus ja oletetaan, että z, w D ovat erillisiä pisteitä. Tällöin hyperbolinen erotusosamäärä on f (z, w = [f(z, f(w] [z, w] = f(z f(w 1 f(wf(z z w. ( wz Hyperbolinen erotusosamäärä (z, w f (z, w on kahden muuttujan funktio. Kuitenkin kiinnittämällä piste w D, saamme tehtyä hyperbolisesta erotusosamäärästä yhden muuttujan z f (z, w funktion. Seuraava lause antaa meille lisää tietoa hyperbolisesta erotusosamäärästä, [BM2, 4.3].