Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Transkriptio

1 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos

2 Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää matematiikkaa. Kurssilla pyritään vastaamaan ennemmin kysymykseen mihin tätä [matematiikkaa] tarvitaan? kuin kysymykseen miten tämä vempain toimii?. Ei välttämättä käydä läpi kaikkea asiaan liittyvää matematiikkaa, vaan kiinnostavin osa. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

3 Rakenne Luennot koostuvat kahdesta osasta, perusosasta klo 16:05 17:15 ja jatko-osasta 17:25 18:30. Kurssin voi suorittaa kahdessa laajuudessa: 1 op Tämä suoritustapa edellyttää osallistumista vähintään viiden luennon perusosaan sekä tiivistelmän (<150 sanaa) kirjoittamista niistä. 2 op Tämä suoritustapa edellyttää osallistumista vähintään viiden luennon kumpaankin osaan sekä tiivistelmän (<250 sanaa) kirjoittamista niistä. Tiivistelmästä enemmän kohta. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

4 Sisältö Kurssi koostuu kuudesta (seitsemästä) toisistaan riippumattomasta luennosta. Aihepiirit ovat: 13.1 Global positioning system (GPS) 20.1 Satunnaislukugeneraattorit 27.1 Google ja PageRank algoritmi 3.2 JPEG kuvanpakkaus 10.2 ei luentoa! 17.2 Geometria arkkitehtuurissa 24.2 ROF kuvan virheenpoisto (3.3 Fraktaalit ja kuvanpakkaus) HUOM! 3.3 on ylimääräinen luento fraktaaleista tässä luennossa ei ole ollenkaan perusosaa, koska aiheen käsittely vaatii enemmän matemaattista pohjaa. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

5 Tiivistelmästä Perusosan tiivistelmässä vastataan seuraaviin kysymyksiin: Mitä matematiikkaa ilmiöön liittyy? Miksi juuri tämä matematiikka on relevanttia? Jatko-osan tiivistelmässä vastataan lisäksi kysymykseen: Miten tätä matematiikkaa käytetään? Tiivistelmän yleisiä ohjeita: Lukija ei tiedä sisältöä, mutta aihepiiri yleensä on tuttu Kerro asioita, älä pelkästään luettele Kirjoita käytetyt lähteet näkyviin [ei osa tiivistelmää]. HUOM! Sanamäärät ovat ylärajoja tärkeä ei ole sanojen vaan asian määrä! Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

6 Tiivistelmien palautus Luennot ovat viikoilla 2 5 ja 7 8(9). Ensimmäisten 3 4 tiivistelmän palautus on 17.2 (viikko 7). Loput tiivistelmät palautetaan 10.3 mennessä. Jos tiivistelmä näyttää siltä, että se on viidessä minuutissa Wikipediasta värkätty, niin ei mene läpi... Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

7 Aihe 1: GPS Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

8 GPS GPS Global Positioning System on paikannusjärjestelmä joka perustuu satelliittien lähettämien signaalien käyttöön. Toimintaan 7/95 kun ensimmäiset 24 satelliittia olivat radoillaan. satelliitit ovat kuudella radalla, km korkeudessa (kiertoaika 11h58min). Jokaisessa satelliitissa on atomikello, ja se lähettää signaalin ennalta sovittuina aikoina (2/s). Jokaisen satelliitin sijainti on tiedossa (laskettavissa). Näiden tietojen avulla GPS vastaanotin voi määrittää sijainnin n. 20m tarkkuudella (100m ennen 5/2000). Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

9 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Oletetaan, että vastaanotin havaitsee signaalin ajanhetkellä t 1. Tämä signaali on lähetetty tasan edellisenä sekuntina tai puolisekuntina t 1, koska aikaisemmat signaalit ovat jo ohittaneet maapallon ( 1 2 s c = km). Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

10 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Oletetaan, että vastaanotin havaitsee signaalin ajanhetkellä t 1. Tämä signaali on lähetetty tasan edellisenä sekuntina tai puolisekuntina t 1, koska aikaisemmat signaalit ovat jo ohittaneet maapallon ( 1 2 s c = km). Signaalin kulkuaika on siis t 1 := t 1 t 1 ja kuljettu matka on c t 1. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

11 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Oletetaan, että vastaanotin havaitsee signaalin ajanhetkellä t 1. Tämä signaali on lähetetty tasan edellisenä sekuntina tai puolisekuntina t 1, koska aikaisemmat signaalit ovat jo ohittaneet maapallon ( 1 2 s c = km). Signaalin kulkuaika on siis t 1 := t 1 t 1 ja kuljettu matka on c t 1. Merkitään satelliitin paikkaa koordinaattimuodossa (a 1, b 1, c 1 ). GPS vastaanotin sijaitsee siis etäisyydellä c t 1 tästä, eli sen koordinaatit (x, y, z) toteuttavat, Pytagoran lauseen mukaisesti, yhtälön (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 + (z c 1 ) 2 = (c t 1 ) 2. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

12 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Oletetaan, että vastaanotin havaitsee signaalin ajanhetkellä t 1. Tämä signaali on lähetetty tasan edellisenä sekuntina tai puolisekuntina t 1, koska aikaisemmat signaalit ovat jo ohittaneet maapallon ( 1 2 s c = km). Signaalin kulkuaika on siis t 1 := t 1 t 1 ja kuljettu matka on c t 1. Merkitään satelliitin paikkaa koordinaattimuodossa (a 1, b 1, c 1 ). GPS vastaanotin sijaitsee siis etäisyydellä c t 1 tästä, eli sen koordinaatit (x, y, z) toteuttavat, Pytagoran lauseen mukaisesti, yhtälön (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 + (z c 1 ) 2 = (c t 1 ) 2. Tämän yhtälön toteuttavat kaikki sopivalla pallonkuorella olevat pisteet, eli se ei vielä määrää sijaintia. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

13 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Paikan määräämiseksi käytämme hyväksi useamman satelliitin tietoja. Vastaavalla tavalla saamme (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 + (z c 1 ) 2 = (c t 1 ) 2, (1) (x a 2 ) 2 + (y b 2 ) 2 + (z c 2 ) 2 = (c t 2 ) 2, (2) (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 + (z c 3 ) 2 = (c t 3 ) 2, (3) missä (a i, b i, c i ) merkkaa satelliitin i sijaintia ja t i aikaa jolta signaalilla kuluu saapua satelliitista vastaanottimelle. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

14 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Paikan määräämiseksi käytämme hyväksi useamman satelliitin tietoja. Vastaavalla tavalla saamme (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 + (z c 1 ) 2 = (c t 1 ) 2, (1) (x a 2 ) 2 + (y b 2 ) 2 + (z c 2 ) 2 = (c t 2 ) 2, (2) (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 + (z c 3 ) 2 = (c t 3 ) 2, (3) missä (a i, b i, c i ) merkkaa satelliitin i sijaintia ja t i aikaa jolta signaalilla kuluu saapua satelliitista vastaanottimelle. Yhtälöryhmässä on kolme muuttujaa ja kolme yhtälöä, mutta se ei ole lineaarinen, eli siihen ei voi soveltaa yleistä ratkaisumenetelmää. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

15 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Paikan määräämiseksi käytämme hyväksi useamman satelliitin tietoja. Vastaavalla tavalla saamme (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 + (z c 1 ) 2 = (c t 1 ) 2, (1) (x a 2 ) 2 + (y b 2 ) 2 + (z c 2 ) 2 = (c t 2 ) 2, (2) (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 + (z c 3 ) 2 = (c t 3 ) 2, (3) missä (a i, b i, c i ) merkkaa satelliitin i sijaintia ja t i aikaa jolta signaalilla kuluu saapua satelliitista vastaanottimelle. Yhtälöryhmässä on kolme muuttujaa ja kolme yhtälöä, mutta se ei ole lineaarinen, eli siihen ei voi soveltaa yleistä ratkaisumenetelmää. Ratkaisuun voisi käyttää numeerista menetelmää, mutta pienellä päättelyllä voimme säästää paljon vaivaa. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

16 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Toisen asteen termit (x 2, y 2, z 2 ) esiintyvät kaikissa yhtälöissä samalla kertoimella. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

17 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Toisen asteen termit (x 2, y 2, z 2 ) esiintyvät kaikissa yhtälöissä samalla kertoimella. Siten on hyödyllistä tarkastella yhtälöitä (1) (3), (2) (3) ja (3): 2(a 3 a 1 )x + 2(b 3 b 1 )y + 2(c 3 c 1 )z = O 1, (4) 2(a 3 a 2 )x + 2(b 3 b 2 )y + 2(c 3 c 2 )z = O 2, (5) (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 + (z c 3 ) 2 = (c t 3 ) 2. (6) Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

18 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Toisen asteen termit (x 2, y 2, z 2 ) esiintyvät kaikissa yhtälöissä samalla kertoimella. Siten on hyödyllistä tarkastella yhtälöitä (1) (3), (2) (3) ja (3): 2(a 3 a 1 )x + 2(b 3 b 1 )y + 2(c 3 c 1 )z = O 1, (4) 2(a 3 a 2 )x + 2(b 3 b 2 )y + 2(c 3 c 2 )z = O 2, (5) (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 + (z c 3 ) 2 = (c t 3 ) 2. (6) Nyt yhtälöt (4)&(5) ovat lineaarisia, mutta kahdessa yhtälössä on kolme tuntematonta. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

19 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Toisen asteen termit (x 2, y 2, z 2 ) esiintyvät kaikissa yhtälöissä samalla kertoimella. Siten on hyödyllistä tarkastella yhtälöitä (1) (3), (2) (3) ja (3): 2(a 3 a 1 )x + 2(b 3 b 1 )y + 2(c 3 c 1 )z = O 1, (4) 2(a 3 a 2 )x + 2(b 3 b 2 )y + 2(c 3 c 2 )z = O 2, (5) (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 + (z c 3 ) 2 = (c t 3 ) 2. (6) Nyt yhtälöt (4)&(5) ovat lineaarisia, mutta kahdessa yhtälössä on kolme tuntematonta. Ongelma ratkeaa, kun ensin ratkaisemme yhtälöistä (4)&(5) muuttujat x ja y muuttujan z lineaarisena funktiona. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

20 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Toisen asteen termit (x 2, y 2, z 2 ) esiintyvät kaikissa yhtälöissä samalla kertoimella. Siten on hyödyllistä tarkastella yhtälöitä (1) (3), (2) (3) ja (3): 2(a 3 a 1 )x + 2(b 3 b 1 )y + 2(c 3 c 1 )z = O 1, (4) 2(a 3 a 2 )x + 2(b 3 b 2 )y + 2(c 3 c 2 )z = O 2, (5) (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 + (z c 3 ) 2 = (c t 3 ) 2. (6) Nyt yhtälöt (4)&(5) ovat lineaarisia, mutta kahdessa yhtälössä on kolme tuntematonta. Ongelma ratkeaa, kun ensin ratkaisemme yhtälöistä (4)&(5) muuttujat x ja y muuttujan z lineaarisena funktiona. Kun nämä sijoitetaan yhtälöön (6), saadaan muuttujan z suhteen toisen asteen yhtälö, joka voidaan ratkaista. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

21 Ongelma ajastuksen kanssa Tavallinen GPS vastaanotin ei sisällä atomikelloa! Jos vastaanottimen kello on esimerkiksi 0,0001 sekuntia väärässä, niin virhe paikannuksessa on 0, 0001s c = 15000m. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

22 Ongelma ajastuksen kanssa Tavallinen GPS vastaanotin ei sisällä atomikelloa! Jos vastaanottimen kello on esimerkiksi 0,0001 sekuntia väärässä, niin virhe paikannuksessa on 0, 0001s c = 15000m. Ongelma voidaan ratkaista huomaamalla, että vastaanottimen kello on lyhyessä ajassa erittäin tarkka (esim. virhe s sekunnissa), vaikka virhettä olisi kertynyt pitkän aikavälin kuluessa paljon enemmän. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

23 Miten sijainti määritellään? (versio 2) Oletetaan seuraavaksi, että kaikki satelliitit ovat (atomikelloineen) täsmälleen oikeassa ajassa, mutta GPS vastaanottimen kello saattaa olla väärässä. Merkitään vastaanottimen ajan virhettä muuttujalla τ, eli GPS aika = oikea aika + τ. Oletetaan edelleen, että vastaanotin havaitsee signaalin ajanhetkellä t 1, omalla kellolla mitattuna. Tämä signaali on lähetetty aikaan t 1, satelliitin kellolla mitattuna. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

24 Miten sijainti määritellään? (versio 2) Oletetaan seuraavaksi, että kaikki satelliitit ovat (atomikelloineen) täsmälleen oikeassa ajassa, mutta GPS vastaanottimen kello saattaa olla väärässä. Merkitään vastaanottimen ajan virhettä muuttujalla τ, eli GPS aika = oikea aika + τ. Oletetaan edelleen, että vastaanotin havaitsee signaalin ajanhetkellä t 1, omalla kellolla mitattuna. Tämä signaali on lähetetty aikaan t 1, satelliitin kellolla mitattuna. Signaalin todellinen vastaanottohetki on, muuttujan τ määritelmän mukaan, t 1 τ. Signaalin kulkuaika on siis t 1 τ (muista, että t 1 = t 1 t 1 ) ja kuljettu matka on c (t 1 τ). Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

25 Miten sijainti määritellään? (versio 2) Oletetaan seuraavaksi, että kaikki satelliitit ovat (atomikelloineen) täsmälleen oikeassa ajassa, mutta GPS vastaanottimen kello saattaa olla väärässä. Merkitään vastaanottimen ajan virhettä muuttujalla τ, eli GPS aika = oikea aika + τ. Oletetaan edelleen, että vastaanotin havaitsee signaalin ajanhetkellä t 1, omalla kellolla mitattuna. Tämä signaali on lähetetty aikaan t 1, satelliitin kellolla mitattuna. Signaalin todellinen vastaanottohetki on, muuttujan τ määritelmän mukaan, t 1 τ. Signaalin kulkuaika on siis t 1 τ (muista, että t 1 = t 1 t 1 ) ja kuljettu matka on c (t 1 τ). Aiemman päättelyn mukaisesti (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 + (z c 1 ) 2 = (c (t 1 τ)) 2. Nyt myös τ on tuntematon muuttuja. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

26 Miten sijainti määritellään? (versio 2) Koska tuntemattomia muuttujia on neljä, tarvitsemme neljä yhtälöä; ne saadaan vastaanottamalla signaali vielä neljänneltä satelliitilta: (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 + (z c 1 ) 2 = (c (t 1 τ)) 2, (x a 2 ) 2 + (y b 2 ) 2 + (z c 2 ) 2 = (c (t 2 τ)) 2, (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 + (z c 3 ) 2 = (c (t 3 τ)) 2, (x a 4 ) 2 + (y b 4 ) 2 + (z c 4 ) 2 = (c (t 4 τ)) 2. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

27 Miten sijainti määritellään? (versio 2) Koska tuntemattomia muuttujia on neljä, tarvitsemme neljä yhtälöä; ne saadaan vastaanottamalla signaali vielä neljänneltä satelliitilta: (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 + (z c 1 ) 2 = (c (t 1 τ)) 2, (x a 2 ) 2 + (y b 2 ) 2 + (z c 2 ) 2 = (c (t 2 τ)) 2, (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 + (z c 3 ) 2 = (c (t 3 τ)) 2, (x a 4 ) 2 + (y b 4 ) 2 + (z c 4 ) 2 = (c (t 4 τ)) 2. Yhtälöryhmässä on neljä muuttujaa ja neljä yhtälöä, mutta se ei ole lineaarinen, elikä siihen ei voi soveltaa yleistä ratkaisumenetelmää. Aikaisempaa menetelmää kuitenkin toimii, ja sillä päädytään ensin kolmen yhtälön lineaariseen ryhmään. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

28 Realiteetteja ja muita parannuksia Usein voi käytössä olla useampi kuin 4 satelliittia. Silloin voidaan valita ne, joisa saa parhaan paikkatiedon: vastaavien pallonkuorien pitää leikata mahdollisimman kohtisuorassa. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

29 Realiteetteja ja muita parannuksia Usein voi käytössä olla useampi kuin 4 satelliittia. Silloin voidaan valita ne, joisa saa parhaan paikkatiedon: vastaavien pallonkuorien pitää leikata mahdollisimman kohtisuorassa. Ilmakehästä johtuen signaalin nopeus ei ole täsmälleen c eikä reitti suora. Mikäli tämä korjataan ( Differential GPS ) voi tarkkuus paikannuksessa olla luokkaa 1cm. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

30 Realiteetteja ja muita parannuksia Usein voi käytössä olla useampi kuin 4 satelliittia. Silloin voidaan valita ne, joisa saa parhaan paikkatiedon: vastaavien pallonkuorien pitää leikata mahdollisimman kohtisuorassa. Ilmakehästä johtuen signaalin nopeus ei ole täsmälleen c eikä reitti suora. Mikäli tämä korjataan ( Differential GPS ) voi tarkkuus paikannuksessa olla luokkaa 1cm. Erikoisen suhteellisuusteorian mukaan liikkuva kello (satelliitissa) käy hitaammin kuin paikallaan oleva. Toisaalta yleisen suhteellisuusteorian mukaan maan painovoiman muutoksen ansiosta kellot satelliiteissa käyvät nopeammin. Nämä efektit täytyy ajan mittauksessa korjata. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

31 Realiteetteja ja muita parannuksia Usein voi käytössä olla useampi kuin 4 satelliittia. Silloin voidaan valita ne, joisa saa parhaan paikkatiedon: vastaavien pallonkuorien pitää leikata mahdollisimman kohtisuorassa. Ilmakehästä johtuen signaalin nopeus ei ole täsmälleen c eikä reitti suora. Mikäli tämä korjataan ( Differential GPS ) voi tarkkuus paikannuksessa olla luokkaa 1cm. Erikoisen suhteellisuusteorian mukaan liikkuva kello (satelliitissa) käy hitaammin kuin paikallaan oleva. Toisaalta yleisen suhteellisuusteorian mukaan maan painovoiman muutoksen ansiosta kellot satelliiteissa käyvät nopeammin. Nämä efektit täytyy ajan mittauksessa korjata. Eri syistä (esim. muiden kappaleiden painovoima) satelliitit eivät pysy täsmälleen alkuperäisillä radoillaan. Tästä syystä satelliitin lähettämä signaali sisältää tiedon radan muutoksista. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

32 Väliaika ja muutama matemaattinen käsite Matriisi, vektori, rivivektori Käänteismatriisi, determinantti Lineaarisesti riippumaton/riippuva [Aritmetiikka modulo 2, kunta F 2, periodinen jono] Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

33 Miten sijainti määritellään? (versio 1 syv) Aiemmin tarkastelimme yhtälöryhmää 2(a 3 a 1 )x + 2(b 3 b 1 )y + 2(c 3 c 1 )z = O 1, 2(a 3 a 2 )x + 2(b 3 b 2 )y + 2(c 3 c 2 )z = O 2. Miten ratkaisemme muuttujan z yhtälöryhmästä? Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

34 Miten sijainti määritellään? (versio 1 syv) Aiemmin tarkastelimme yhtälöryhmää 2(a 3 a 1 )x + 2(b 3 b 1 )y + 2(c 3 c 1 )z = O 1, 2(a 3 a 2 )x + 2(b 3 b 2 )y + 2(c 3 c 2 )z = O 2. Miten ratkaisemme muuttujan z yhtälöryhmästä? Asetetaan ( ) a3 a A := 2 1 b 3 b 1, c := 2 a 3 a 2 b 3 b 2 ( c3 c 1 c 3 c 2 Nyt yhtälöpari voidaan kirjoittaa matriisimuodossa: ( ) x A = ω c z. y ), ω := ( O1 O 2 ). Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

35 Miten sijainti määritellään? (versio 1 syv) Matriisiyhtälö ( ) x A = ω c z y kerrotaan matriisin A käänteismatriisilla. Näin saamme ( ) x = A 1 ω A 1 c z, y josta erityisesti nähdään, että x ja y ovat lineaarisia muuttujan z suhteen. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

36 Miten sijainti määritellään? (versio 1 syv) Matriisiyhtälö ( ) x A = ω c z y kerrotaan matriisin A käänteismatriisilla. Näin saamme ( ) x = A 1 ω A 1 c z, y josta erityisesti nähdään, että x ja y ovat lineaarisia muuttujan z suhteen. Tässä herää (toivottavasti) kysymys, miten tiedämme matriisin A olevan kääntyvä? Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

37 Miten sijainti määritellään? (versio 1 syv) Meidän pitää siis selvittää, milloin matriisilla ( ) a3 a A = 2 1 b 3 b 1 a 3 a 2 b 3 b 2 on käänteismatriisi. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

38 Miten sijainti määritellään? (versio 1 syv) Meidän pitää siis selvittää, milloin matriisilla ( ) a3 a A = 2 1 b 3 b 1 a 3 a 2 b 3 b 2 on käänteismatriisi. Tämä tapahtuu jos ja vain jos matriisin rivit ovat toisistaan lineaarisesti riippumattomia (determinantti eroaa nollasta). Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

39 Miten sijainti määritellään? (versio 1 syv) Meidän pitää siis selvittää, milloin matriisilla ( ) a3 a A = 2 1 b 3 b 1 a 3 a 2 b 3 b 2 on käänteismatriisi. Tämä tapahtuu jos ja vain jos matriisin rivit ovat toisistaan lineaarisesti riippumattomia (determinantti eroaa nollasta). Ensimmäinen rivivektori osoittaa satelliitista 1 satelliittiin 3, toinen satelliitista 2 satelliittiin 3. Vektorit ovat siis lineaarisesti riippuvia täsmälleen silloin kun kolme satelliittia ovat samalla suoralla (x-y tasossa). Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

40 Miten sijainti määritellään? (versio 2 syv) Paikannusongelman realistisemmassa versiossa päädyimme käyttämään tietoa neljästä satelliitista, jolloin ensin piti ratkaista neljän muuttuja ja kolmen yhtälön lineaarinen ryhmä. Nyt matriisia A vastaa matriisi ( a4 a 1 b 4 b 1 c 4 c ) 1 2 a 4 a 2 b 4 b 2 c 4 c 2. a 4 a 3 b 4 b 3 c 4 c 3 Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

41 Miten sijainti määritellään? (versio 2 syv) Matriisi 2 ( a4 a 1 b 4 b 1 c 4 c ) 1 a 4 a 2 b 4 b 2 c 4 c 2 a 4 a 3 b 4 b 3 c 4 c 3 on kääntyvä jos ja vain jos rivit ovat toisistaan lineaarisesti riippumattomia, eli eivät kaikki sisälly mihinkään tasoon. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

42 Miten sijainti määritellään? (versio 2 syv) Matriisi 2 ( a4 a 1 b 4 b 1 c 4 c ) 1 a 4 a 2 b 4 b 2 c 4 c 2 a 4 a 3 b 4 b 3 c 4 c 3 on kääntyvä jos ja vain jos rivit ovat toisistaan lineaarisesti riippumattomia, eli eivät kaikki sisälly mihinkään tasoon. Rivivektori k osoittaa satelliitista k satelliittiin 4; joten ne ovat siis lineaarisesti riippuvia täsmälleen silloin kun kaikki neljä satelliittia ovat samassa tasossa. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

43 Miten sijainti määritellään? (versio 2 syv) Matriisi 2 ( a4 a 1 b 4 b 1 c 4 c ) 1 a 4 a 2 b 4 b 2 c 4 c 2 a 4 a 3 b 4 b 3 c 4 c 3 on kääntyvä jos ja vain jos rivit ovat toisistaan lineaarisesti riippumattomia, eli eivät kaikki sisälly mihinkään tasoon. Rivivektori k osoittaa satelliitista k satelliittiin 4; joten ne ovat siis lineaarisesti riippuvia täsmälleen silloin kun kaikki neljä satelliittia ovat samassa tasossa. Tästä syystä satelliittien kiertoradat on suunniteltu niin, että jokaisena ajanhetkenä on jokaisesta maapallon pisteestä näkyvissä vähintään neljä satelliittia jotka eivät ole lähellä samaa tasoa. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

44 Lineaarinen siirtorekisteri Tähän saakka emme ole ottaneet kantaa siihen, missä muodossa signaali välittyy satelliitilta vastaanottimeen. Itse asiassa kaikki satelliitit käyttävät samaa taajuutta (n. 1500MHz) ja haluttut signaalit koodataan käyttäen niin sanottua asynkronista CDMA (code division multiple access) menetelmää. Tämä menetelmä perustuu lineaaristen siirtorekisterien (Linear shift registers) käyttöön. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

45 Lineaarinen siirtorekisteri Tähän saakka emme ole ottaneet kantaa siihen, missä muodossa signaali välittyy satelliitilta vastaanottimeen. Itse asiassa kaikki satelliitit käyttävät samaa taajuutta (n. 1500MHz) ja haluttut signaalit koodataan käyttäen niin sanottua asynkronista CDMA (code division multiple access) menetelmää. Tämä menetelmä perustuu lineaaristen siirtorekisterien (Linear shift registers) käyttöön. [piirros taululle] Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22