Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Matematiikka ja teknologia, kevät 2011"

Transkriptio

1 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 13. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos

2 Tarkoitus Kurssin tarkoituksena on tutustuttaa ja käydä läpi eräisiin teknologisiin sovelluksiin liittyvää matematiikkaa. Kurssilla pyritään vastaamaan ennemmin kysymykseen mihin tätä [matematiikkaa] tarvitaan? kuin kysymykseen miten tämä vempain toimii?. Ei välttämättä käydä läpi kaikkea asiaan liittyvää matematiikkaa, vaan kiinnostavin osa. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

3 Rakenne Luennot koostuvat kahdesta osasta, perusosasta klo 16:05 17:15 ja jatko-osasta 17:25 18:30. Kurssin voi suorittaa kahdessa laajuudessa: 1 op Tämä suoritustapa edellyttää osallistumista vähintään viiden luennon perusosaan sekä tiivistelmän (<150 sanaa) kirjoittamista niistä. 2 op Tämä suoritustapa edellyttää osallistumista vähintään viiden luennon kumpaankin osaan sekä tiivistelmän (<250 sanaa) kirjoittamista niistä. Tiivistelmästä enemmän kohta. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

4 Sisältö Kurssi koostuu kuudesta (seitsemästä) toisistaan riippumattomasta luennosta. Aihepiirit ovat: 13.1 Global positioning system (GPS) 20.1 Satunnaislukugeneraattorit 27.1 Google ja PageRank algoritmi 3.2 JPEG kuvanpakkaus 10.2 ei luentoa! 17.2 Geometria arkkitehtuurissa 24.2 ROF kuvan virheenpoisto (3.3 Fraktaalit ja kuvanpakkaus) HUOM! 3.3 on ylimääräinen luento fraktaaleista tässä luennossa ei ole ollenkaan perusosaa, koska aiheen käsittely vaatii enemmän matemaattista pohjaa. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

5 Tiivistelmästä Perusosan tiivistelmässä vastataan seuraaviin kysymyksiin: Mitä matematiikkaa ilmiöön liittyy? Miksi juuri tämä matematiikka on relevanttia? Jatko-osan tiivistelmässä vastataan lisäksi kysymykseen: Miten tätä matematiikkaa käytetään? Tiivistelmän yleisiä ohjeita: Lukija ei tiedä sisältöä, mutta aihepiiri yleensä on tuttu Kerro asioita, älä pelkästään luettele Kirjoita käytetyt lähteet näkyviin [ei osa tiivistelmää]. HUOM! Sanamäärät ovat ylärajoja tärkeä ei ole sanojen vaan asian määrä! Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

6 Tiivistelmien palautus Luennot ovat viikoilla 2 5 ja 7 8(9). Ensimmäisten 3 4 tiivistelmän palautus on 17.2 (viikko 7). Loput tiivistelmät palautetaan 10.3 mennessä. Jos tiivistelmä näyttää siltä, että se on viidessä minuutissa Wikipediasta värkätty, niin ei mene läpi... Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

7 Aihe 1: GPS Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

8 GPS GPS Global Positioning System on paikannusjärjestelmä joka perustuu satelliittien lähettämien signaalien käyttöön. Toimintaan 7/95 kun ensimmäiset 24 satelliittia olivat radoillaan. satelliitit ovat kuudella radalla, km korkeudessa (kiertoaika 11h58min). Jokaisessa satelliitissa on atomikello, ja se lähettää signaalin ennalta sovittuina aikoina (2/s). Jokaisen satelliitin sijainti on tiedossa (laskettavissa). Näiden tietojen avulla GPS vastaanotin voi määrittää sijainnin n. 20m tarkkuudella (100m ennen 5/2000). Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

9 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Oletetaan, että vastaanotin havaitsee signaalin ajanhetkellä t 1. Tämä signaali on lähetetty tasan edellisenä sekuntina tai puolisekuntina t 1, koska aikaisemmat signaalit ovat jo ohittaneet maapallon ( 1 2 s c = km). Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

10 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Oletetaan, että vastaanotin havaitsee signaalin ajanhetkellä t 1. Tämä signaali on lähetetty tasan edellisenä sekuntina tai puolisekuntina t 1, koska aikaisemmat signaalit ovat jo ohittaneet maapallon ( 1 2 s c = km). Signaalin kulkuaika on siis t 1 := t 1 t 1 ja kuljettu matka on c t 1. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

11 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Oletetaan, että vastaanotin havaitsee signaalin ajanhetkellä t 1. Tämä signaali on lähetetty tasan edellisenä sekuntina tai puolisekuntina t 1, koska aikaisemmat signaalit ovat jo ohittaneet maapallon ( 1 2 s c = km). Signaalin kulkuaika on siis t 1 := t 1 t 1 ja kuljettu matka on c t 1. Merkitään satelliitin paikkaa koordinaattimuodossa (a 1, b 1, c 1 ). GPS vastaanotin sijaitsee siis etäisyydellä c t 1 tästä, eli sen koordinaatit (x, y, z) toteuttavat, Pytagoran lauseen mukaisesti, yhtälön (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 + (z c 1 ) 2 = (c t 1 ) 2. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

12 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Oletetaan, että vastaanotin havaitsee signaalin ajanhetkellä t 1. Tämä signaali on lähetetty tasan edellisenä sekuntina tai puolisekuntina t 1, koska aikaisemmat signaalit ovat jo ohittaneet maapallon ( 1 2 s c = km). Signaalin kulkuaika on siis t 1 := t 1 t 1 ja kuljettu matka on c t 1. Merkitään satelliitin paikkaa koordinaattimuodossa (a 1, b 1, c 1 ). GPS vastaanotin sijaitsee siis etäisyydellä c t 1 tästä, eli sen koordinaatit (x, y, z) toteuttavat, Pytagoran lauseen mukaisesti, yhtälön (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 + (z c 1 ) 2 = (c t 1 ) 2. Tämän yhtälön toteuttavat kaikki sopivalla pallonkuorella olevat pisteet, eli se ei vielä määrää sijaintia. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

13 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Paikan määräämiseksi käytämme hyväksi useamman satelliitin tietoja. Vastaavalla tavalla saamme (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 + (z c 1 ) 2 = (c t 1 ) 2, (1) (x a 2 ) 2 + (y b 2 ) 2 + (z c 2 ) 2 = (c t 2 ) 2, (2) (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 + (z c 3 ) 2 = (c t 3 ) 2, (3) missä (a i, b i, c i ) merkkaa satelliitin i sijaintia ja t i aikaa jolta signaalilla kuluu saapua satelliitista vastaanottimelle. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

14 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Paikan määräämiseksi käytämme hyväksi useamman satelliitin tietoja. Vastaavalla tavalla saamme (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 + (z c 1 ) 2 = (c t 1 ) 2, (1) (x a 2 ) 2 + (y b 2 ) 2 + (z c 2 ) 2 = (c t 2 ) 2, (2) (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 + (z c 3 ) 2 = (c t 3 ) 2, (3) missä (a i, b i, c i ) merkkaa satelliitin i sijaintia ja t i aikaa jolta signaalilla kuluu saapua satelliitista vastaanottimelle. Yhtälöryhmässä on kolme muuttujaa ja kolme yhtälöä, mutta se ei ole lineaarinen, eli siihen ei voi soveltaa yleistä ratkaisumenetelmää. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

15 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Paikan määräämiseksi käytämme hyväksi useamman satelliitin tietoja. Vastaavalla tavalla saamme (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 + (z c 1 ) 2 = (c t 1 ) 2, (1) (x a 2 ) 2 + (y b 2 ) 2 + (z c 2 ) 2 = (c t 2 ) 2, (2) (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 + (z c 3 ) 2 = (c t 3 ) 2, (3) missä (a i, b i, c i ) merkkaa satelliitin i sijaintia ja t i aikaa jolta signaalilla kuluu saapua satelliitista vastaanottimelle. Yhtälöryhmässä on kolme muuttujaa ja kolme yhtälöä, mutta se ei ole lineaarinen, eli siihen ei voi soveltaa yleistä ratkaisumenetelmää. Ratkaisuun voisi käyttää numeerista menetelmää, mutta pienellä päättelyllä voimme säästää paljon vaivaa. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

16 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Toisen asteen termit (x 2, y 2, z 2 ) esiintyvät kaikissa yhtälöissä samalla kertoimella. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

17 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Toisen asteen termit (x 2, y 2, z 2 ) esiintyvät kaikissa yhtälöissä samalla kertoimella. Siten on hyödyllistä tarkastella yhtälöitä (1) (3), (2) (3) ja (3): 2(a 3 a 1 )x + 2(b 3 b 1 )y + 2(c 3 c 1 )z = O 1, (4) 2(a 3 a 2 )x + 2(b 3 b 2 )y + 2(c 3 c 2 )z = O 2, (5) (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 + (z c 3 ) 2 = (c t 3 ) 2. (6) Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

18 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Toisen asteen termit (x 2, y 2, z 2 ) esiintyvät kaikissa yhtälöissä samalla kertoimella. Siten on hyödyllistä tarkastella yhtälöitä (1) (3), (2) (3) ja (3): 2(a 3 a 1 )x + 2(b 3 b 1 )y + 2(c 3 c 1 )z = O 1, (4) 2(a 3 a 2 )x + 2(b 3 b 2 )y + 2(c 3 c 2 )z = O 2, (5) (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 + (z c 3 ) 2 = (c t 3 ) 2. (6) Nyt yhtälöt (4)&(5) ovat lineaarisia, mutta kahdessa yhtälössä on kolme tuntematonta. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

19 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Toisen asteen termit (x 2, y 2, z 2 ) esiintyvät kaikissa yhtälöissä samalla kertoimella. Siten on hyödyllistä tarkastella yhtälöitä (1) (3), (2) (3) ja (3): 2(a 3 a 1 )x + 2(b 3 b 1 )y + 2(c 3 c 1 )z = O 1, (4) 2(a 3 a 2 )x + 2(b 3 b 2 )y + 2(c 3 c 2 )z = O 2, (5) (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 + (z c 3 ) 2 = (c t 3 ) 2. (6) Nyt yhtälöt (4)&(5) ovat lineaarisia, mutta kahdessa yhtälössä on kolme tuntematonta. Ongelma ratkeaa, kun ensin ratkaisemme yhtälöistä (4)&(5) muuttujat x ja y muuttujan z lineaarisena funktiona. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

20 Miten sijainti määritellään? (versio 1) Toisen asteen termit (x 2, y 2, z 2 ) esiintyvät kaikissa yhtälöissä samalla kertoimella. Siten on hyödyllistä tarkastella yhtälöitä (1) (3), (2) (3) ja (3): 2(a 3 a 1 )x + 2(b 3 b 1 )y + 2(c 3 c 1 )z = O 1, (4) 2(a 3 a 2 )x + 2(b 3 b 2 )y + 2(c 3 c 2 )z = O 2, (5) (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 + (z c 3 ) 2 = (c t 3 ) 2. (6) Nyt yhtälöt (4)&(5) ovat lineaarisia, mutta kahdessa yhtälössä on kolme tuntematonta. Ongelma ratkeaa, kun ensin ratkaisemme yhtälöistä (4)&(5) muuttujat x ja y muuttujan z lineaarisena funktiona. Kun nämä sijoitetaan yhtälöön (6), saadaan muuttujan z suhteen toisen asteen yhtälö, joka voidaan ratkaista. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

21 Ongelma ajastuksen kanssa Tavallinen GPS vastaanotin ei sisällä atomikelloa! Jos vastaanottimen kello on esimerkiksi 0,0001 sekuntia väärässä, niin virhe paikannuksessa on 0, 0001s c = 15000m. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

22 Ongelma ajastuksen kanssa Tavallinen GPS vastaanotin ei sisällä atomikelloa! Jos vastaanottimen kello on esimerkiksi 0,0001 sekuntia väärässä, niin virhe paikannuksessa on 0, 0001s c = 15000m. Ongelma voidaan ratkaista huomaamalla, että vastaanottimen kello on lyhyessä ajassa erittäin tarkka (esim. virhe s sekunnissa), vaikka virhettä olisi kertynyt pitkän aikavälin kuluessa paljon enemmän. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

23 Miten sijainti määritellään? (versio 2) Oletetaan seuraavaksi, että kaikki satelliitit ovat (atomikelloineen) täsmälleen oikeassa ajassa, mutta GPS vastaanottimen kello saattaa olla väärässä. Merkitään vastaanottimen ajan virhettä muuttujalla τ, eli GPS aika = oikea aika + τ. Oletetaan edelleen, että vastaanotin havaitsee signaalin ajanhetkellä t 1, omalla kellolla mitattuna. Tämä signaali on lähetetty aikaan t 1, satelliitin kellolla mitattuna. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

24 Miten sijainti määritellään? (versio 2) Oletetaan seuraavaksi, että kaikki satelliitit ovat (atomikelloineen) täsmälleen oikeassa ajassa, mutta GPS vastaanottimen kello saattaa olla väärässä. Merkitään vastaanottimen ajan virhettä muuttujalla τ, eli GPS aika = oikea aika + τ. Oletetaan edelleen, että vastaanotin havaitsee signaalin ajanhetkellä t 1, omalla kellolla mitattuna. Tämä signaali on lähetetty aikaan t 1, satelliitin kellolla mitattuna. Signaalin todellinen vastaanottohetki on, muuttujan τ määritelmän mukaan, t 1 τ. Signaalin kulkuaika on siis t 1 τ (muista, että t 1 = t 1 t 1 ) ja kuljettu matka on c (t 1 τ). Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

25 Miten sijainti määritellään? (versio 2) Oletetaan seuraavaksi, että kaikki satelliitit ovat (atomikelloineen) täsmälleen oikeassa ajassa, mutta GPS vastaanottimen kello saattaa olla väärässä. Merkitään vastaanottimen ajan virhettä muuttujalla τ, eli GPS aika = oikea aika + τ. Oletetaan edelleen, että vastaanotin havaitsee signaalin ajanhetkellä t 1, omalla kellolla mitattuna. Tämä signaali on lähetetty aikaan t 1, satelliitin kellolla mitattuna. Signaalin todellinen vastaanottohetki on, muuttujan τ määritelmän mukaan, t 1 τ. Signaalin kulkuaika on siis t 1 τ (muista, että t 1 = t 1 t 1 ) ja kuljettu matka on c (t 1 τ). Aiemman päättelyn mukaisesti (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 + (z c 1 ) 2 = (c (t 1 τ)) 2. Nyt myös τ on tuntematon muuttuja. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

26 Miten sijainti määritellään? (versio 2) Koska tuntemattomia muuttujia on neljä, tarvitsemme neljä yhtälöä; ne saadaan vastaanottamalla signaali vielä neljänneltä satelliitilta: (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 + (z c 1 ) 2 = (c (t 1 τ)) 2, (x a 2 ) 2 + (y b 2 ) 2 + (z c 2 ) 2 = (c (t 2 τ)) 2, (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 + (z c 3 ) 2 = (c (t 3 τ)) 2, (x a 4 ) 2 + (y b 4 ) 2 + (z c 4 ) 2 = (c (t 4 τ)) 2. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

27 Miten sijainti määritellään? (versio 2) Koska tuntemattomia muuttujia on neljä, tarvitsemme neljä yhtälöä; ne saadaan vastaanottamalla signaali vielä neljänneltä satelliitilta: (x a 1 ) 2 + (y b 1 ) 2 + (z c 1 ) 2 = (c (t 1 τ)) 2, (x a 2 ) 2 + (y b 2 ) 2 + (z c 2 ) 2 = (c (t 2 τ)) 2, (x a 3 ) 2 + (y b 3 ) 2 + (z c 3 ) 2 = (c (t 3 τ)) 2, (x a 4 ) 2 + (y b 4 ) 2 + (z c 4 ) 2 = (c (t 4 τ)) 2. Yhtälöryhmässä on neljä muuttujaa ja neljä yhtälöä, mutta se ei ole lineaarinen, elikä siihen ei voi soveltaa yleistä ratkaisumenetelmää. Aikaisempaa menetelmää kuitenkin toimii, ja sillä päädytään ensin kolmen yhtälön lineaariseen ryhmään. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

28 Realiteetteja ja muita parannuksia Usein voi käytössä olla useampi kuin 4 satelliittia. Silloin voidaan valita ne, joisa saa parhaan paikkatiedon: vastaavien pallonkuorien pitää leikata mahdollisimman kohtisuorassa. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

29 Realiteetteja ja muita parannuksia Usein voi käytössä olla useampi kuin 4 satelliittia. Silloin voidaan valita ne, joisa saa parhaan paikkatiedon: vastaavien pallonkuorien pitää leikata mahdollisimman kohtisuorassa. Ilmakehästä johtuen signaalin nopeus ei ole täsmälleen c eikä reitti suora. Mikäli tämä korjataan ( Differential GPS ) voi tarkkuus paikannuksessa olla luokkaa 1cm. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

30 Realiteetteja ja muita parannuksia Usein voi käytössä olla useampi kuin 4 satelliittia. Silloin voidaan valita ne, joisa saa parhaan paikkatiedon: vastaavien pallonkuorien pitää leikata mahdollisimman kohtisuorassa. Ilmakehästä johtuen signaalin nopeus ei ole täsmälleen c eikä reitti suora. Mikäli tämä korjataan ( Differential GPS ) voi tarkkuus paikannuksessa olla luokkaa 1cm. Erikoisen suhteellisuusteorian mukaan liikkuva kello (satelliitissa) käy hitaammin kuin paikallaan oleva. Toisaalta yleisen suhteellisuusteorian mukaan maan painovoiman muutoksen ansiosta kellot satelliiteissa käyvät nopeammin. Nämä efektit täytyy ajan mittauksessa korjata. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

31 Realiteetteja ja muita parannuksia Usein voi käytössä olla useampi kuin 4 satelliittia. Silloin voidaan valita ne, joisa saa parhaan paikkatiedon: vastaavien pallonkuorien pitää leikata mahdollisimman kohtisuorassa. Ilmakehästä johtuen signaalin nopeus ei ole täsmälleen c eikä reitti suora. Mikäli tämä korjataan ( Differential GPS ) voi tarkkuus paikannuksessa olla luokkaa 1cm. Erikoisen suhteellisuusteorian mukaan liikkuva kello (satelliitissa) käy hitaammin kuin paikallaan oleva. Toisaalta yleisen suhteellisuusteorian mukaan maan painovoiman muutoksen ansiosta kellot satelliiteissa käyvät nopeammin. Nämä efektit täytyy ajan mittauksessa korjata. Eri syistä (esim. muiden kappaleiden painovoima) satelliitit eivät pysy täsmälleen alkuperäisillä radoillaan. Tästä syystä satelliitin lähettämä signaali sisältää tiedon radan muutoksista. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

32 Väliaika ja muutama matemaattinen käsite Matriisi, vektori, rivivektori Käänteismatriisi, determinantti Lineaarisesti riippumaton/riippuva [Aritmetiikka modulo 2, kunta F 2, periodinen jono] Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

33 Miten sijainti määritellään? (versio 1 syv) Aiemmin tarkastelimme yhtälöryhmää 2(a 3 a 1 )x + 2(b 3 b 1 )y + 2(c 3 c 1 )z = O 1, 2(a 3 a 2 )x + 2(b 3 b 2 )y + 2(c 3 c 2 )z = O 2. Miten ratkaisemme muuttujan z yhtälöryhmästä? Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

34 Miten sijainti määritellään? (versio 1 syv) Aiemmin tarkastelimme yhtälöryhmää 2(a 3 a 1 )x + 2(b 3 b 1 )y + 2(c 3 c 1 )z = O 1, 2(a 3 a 2 )x + 2(b 3 b 2 )y + 2(c 3 c 2 )z = O 2. Miten ratkaisemme muuttujan z yhtälöryhmästä? Asetetaan ( ) a3 a A := 2 1 b 3 b 1, c := 2 a 3 a 2 b 3 b 2 ( c3 c 1 c 3 c 2 Nyt yhtälöpari voidaan kirjoittaa matriisimuodossa: ( ) x A = ω c z. y ), ω := ( O1 O 2 ). Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

35 Miten sijainti määritellään? (versio 1 syv) Matriisiyhtälö ( ) x A = ω c z y kerrotaan matriisin A käänteismatriisilla. Näin saamme ( ) x = A 1 ω A 1 c z, y josta erityisesti nähdään, että x ja y ovat lineaarisia muuttujan z suhteen. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

36 Miten sijainti määritellään? (versio 1 syv) Matriisiyhtälö ( ) x A = ω c z y kerrotaan matriisin A käänteismatriisilla. Näin saamme ( ) x = A 1 ω A 1 c z, y josta erityisesti nähdään, että x ja y ovat lineaarisia muuttujan z suhteen. Tässä herää (toivottavasti) kysymys, miten tiedämme matriisin A olevan kääntyvä? Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

37 Miten sijainti määritellään? (versio 1 syv) Meidän pitää siis selvittää, milloin matriisilla ( ) a3 a A = 2 1 b 3 b 1 a 3 a 2 b 3 b 2 on käänteismatriisi. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

38 Miten sijainti määritellään? (versio 1 syv) Meidän pitää siis selvittää, milloin matriisilla ( ) a3 a A = 2 1 b 3 b 1 a 3 a 2 b 3 b 2 on käänteismatriisi. Tämä tapahtuu jos ja vain jos matriisin rivit ovat toisistaan lineaarisesti riippumattomia (determinantti eroaa nollasta). Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

39 Miten sijainti määritellään? (versio 1 syv) Meidän pitää siis selvittää, milloin matriisilla ( ) a3 a A = 2 1 b 3 b 1 a 3 a 2 b 3 b 2 on käänteismatriisi. Tämä tapahtuu jos ja vain jos matriisin rivit ovat toisistaan lineaarisesti riippumattomia (determinantti eroaa nollasta). Ensimmäinen rivivektori osoittaa satelliitista 1 satelliittiin 3, toinen satelliitista 2 satelliittiin 3. Vektorit ovat siis lineaarisesti riippuvia täsmälleen silloin kun kolme satelliittia ovat samalla suoralla (x-y tasossa). Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

40 Miten sijainti määritellään? (versio 2 syv) Paikannusongelman realistisemmassa versiossa päädyimme käyttämään tietoa neljästä satelliitista, jolloin ensin piti ratkaista neljän muuttuja ja kolmen yhtälön lineaarinen ryhmä. Nyt matriisia A vastaa matriisi ( a4 a 1 b 4 b 1 c 4 c ) 1 2 a 4 a 2 b 4 b 2 c 4 c 2. a 4 a 3 b 4 b 3 c 4 c 3 Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

41 Miten sijainti määritellään? (versio 2 syv) Matriisi 2 ( a4 a 1 b 4 b 1 c 4 c ) 1 a 4 a 2 b 4 b 2 c 4 c 2 a 4 a 3 b 4 b 3 c 4 c 3 on kääntyvä jos ja vain jos rivit ovat toisistaan lineaarisesti riippumattomia, eli eivät kaikki sisälly mihinkään tasoon. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

42 Miten sijainti määritellään? (versio 2 syv) Matriisi 2 ( a4 a 1 b 4 b 1 c 4 c ) 1 a 4 a 2 b 4 b 2 c 4 c 2 a 4 a 3 b 4 b 3 c 4 c 3 on kääntyvä jos ja vain jos rivit ovat toisistaan lineaarisesti riippumattomia, eli eivät kaikki sisälly mihinkään tasoon. Rivivektori k osoittaa satelliitista k satelliittiin 4; joten ne ovat siis lineaarisesti riippuvia täsmälleen silloin kun kaikki neljä satelliittia ovat samassa tasossa. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

43 Miten sijainti määritellään? (versio 2 syv) Matriisi 2 ( a4 a 1 b 4 b 1 c 4 c ) 1 a 4 a 2 b 4 b 2 c 4 c 2 a 4 a 3 b 4 b 3 c 4 c 3 on kääntyvä jos ja vain jos rivit ovat toisistaan lineaarisesti riippumattomia, eli eivät kaikki sisälly mihinkään tasoon. Rivivektori k osoittaa satelliitista k satelliittiin 4; joten ne ovat siis lineaarisesti riippuvia täsmälleen silloin kun kaikki neljä satelliittia ovat samassa tasossa. Tästä syystä satelliittien kiertoradat on suunniteltu niin, että jokaisena ajanhetkenä on jokaisesta maapallon pisteestä näkyvissä vähintään neljä satelliittia jotka eivät ole lähellä samaa tasoa. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

44 Lineaarinen siirtorekisteri Tähän saakka emme ole ottaneet kantaa siihen, missä muodossa signaali välittyy satelliitilta vastaanottimeen. Itse asiassa kaikki satelliitit käyttävät samaa taajuutta (n. 1500MHz) ja haluttut signaalit koodataan käyttäen niin sanottua asynkronista CDMA (code division multiple access) menetelmää. Tämä menetelmä perustuu lineaaristen siirtorekisterien (Linear shift registers) käyttöön. Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

45 Lineaarinen siirtorekisteri Tähän saakka emme ole ottaneet kantaa siihen, missä muodossa signaali välittyy satelliitilta vastaanottimeen. Itse asiassa kaikki satelliitit käyttävät samaa taajuutta (n. 1500MHz) ja haluttut signaalit koodataan käyttäen niin sanottua asynkronista CDMA (code division multiple access) menetelmää. Tämä menetelmä perustuu lineaaristen siirtorekisterien (Linear shift registers) käyttöön. [piirros taululle] Peter Hästö Matemaattisten tieteiden laitos 13. tammikuuta / 22

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 3. helmikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Sisältö Kurssi koostuu kuudesta (seitsemästä) toisistaan riippumattomasta luennosta. Aihepiirit ovat:

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä ja yhtälöpareja Osaan muokata

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 27. tammikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Sisältö Kurssi koostuu kuudesta (seitsemästä) toisistaan riippumattomasta luennosta. Aihepiirit ovat:

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 24. helmikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Sisältö Kurssi koostuu kuudesta (seitsemästä) toisistaan riippumattomasta luennosta. Aihepiirit ovat:

Lisätiedot

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät

Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................

Lisätiedot

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio

2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio. 2.2 Gaussin eliminaatio x = x 2 = 5/2 x 3 = 2 eli Ratkaisu on siis x = (x x 2 x 3 ) = ( 5/2 2) (Tarkista sijoittamalla!) 5/2 2 Tämä piste on alkuperäisten tasojen ainoa leikkauspiste Se on myös piste/vektori jonka matriisi A

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Käänteismatriisin ominaisuuksia

Käänteismatriisin ominaisuuksia Käänteismatriisin ominaisuuksia Lause 1.4. Jos A ja B ovat säännöllisiä ja luku λ 0, niin 1) (A 1 ) 1 = A 2) (λa) 1 = 1 λ A 1 3) (AB) 1 = B 1 A 1 4) (A T ) 1 = (A 1 ) T. Tod.... Ortogonaaliset matriisit

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi

Talousmatematiikan perusteet: Luento 10. Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Talousmatematiikan perusteet: Luento 10 Lineaarikuvaus Matriisin aste Determinantti Käänteismatriisi Lineaarikuvaus Esim. Yritys tekee elintarviketeollisuuden käyttämää puolivalmistetta, jossa käytetään

Lisätiedot

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011

Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Matematiikka ja teknologia, kevät 2011 Peter Hästö 17. helmikuuta 2011 Matemaattisten tieteiden laitos Sisältö Kurssi koostuu kuudesta (seitsemästä) toisistaan riippumattomasta luennosta. Aihepiirit ovat:

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 3 Kevät 2011 1 Singulaariarvohajotelma (Singular Value Decomposition, SVD) Olkoon A R m n matriisi 1. Tällöin A voidaan esittää muodossa A = UΣV T,

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

802118P Lineaarialgebra I (4 op)

802118P Lineaarialgebra I (4 op) 802118P Lineaarialgebra I (4 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2012 Lineaarialgebra I Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M206 Kurssin kotisivu

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä

7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä 7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan

Lisätiedot

Satelliittipaikannus

Satelliittipaikannus Kolme maailmalaajuista järjestelmää 1. GPS (USAn puolustusministeriö) Täydessä laajuudessaan toiminnassa v. 1994. http://www.navcen.uscg.gov/gps/default.htm 2. GLONASS (Venäjän hallitus) Ilmeisesti 11

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1.

Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 25.5.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:

Vapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa.

Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7 Matriisilaskenta Kurssin loppuosassa tutustutaan matriiseihin ja niiden käyttöön yhtälöryhmien ratkaisemisessa. 7.1 Lineaariset yhtälöryhmät Yhtälöryhmät liittyvät tilanteisiin, joissa on monta tuntematonta

Lisätiedot

Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari

Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari Julkinen opetusnäyte Yliopisto-opettajan tehtävä, matematiikka Klo 8:55-9:15 TkT Simo Ali-Löytty Aihe: Lineaarisen yhtälöryhmän pienimmän neliösumman ratkaisu Kohdeyleisö: toisen vuoden teekkari 1 y y

Lisätiedot

Ominaisarvo ja ominaisvektori

Ominaisarvo ja ominaisvektori Määritelmä Ominaisarvo ja ominaisvektori Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Reaaliluku λ on matriisin ominaisarvo, jos on olemassa sellainen vektori v R n, että v 0 ja A v = λ v. Vektoria v, joka

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 2015

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 2015 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 5, Syksy 205 Päivityksiä: 4.0.205 klo 5:0. Tehtävässä 3b vektorin x lauseke korjattu. 5.0.205 klo 3:20. Tehtävässä 8d viittaus väärään tehtävään

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 6.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Kertausta: Kääntyvien matriisien lause Lause 1 Oletetaan, että A on n n -neliömatriisi. Seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä.

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 4.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Viimeiset harjoitukset on palautettava torstaina 13.6. Laskaripisteensä ja läsnäolonsa voi kukin tarkistaa

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi, s2016, L2

Matemaattinen Analyysi, s2016, L2 Matemaattinen Analyysi, s2016, L2 riippumattomuus, 1 Esimerkkejä esimerkki Dieetti-välipala 1: Opiskelija Ken Obi on dieetillä. Lenkin jälkeen Ken pysähtyy välipalalle. Dieetin mukaan hänen pitäisi saada

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M Hirvensalo mikhirve@utufi V Junnila viljun@utufi Luentokalvot 5 1

Lisätiedot

Similaarisuus. Määritelmä. Huom.

Similaarisuus. Määritelmä. Huom. Similaarisuus Määritelmä Neliömatriisi A M n n on similaarinen neliömatriisin B M n n kanssa, jos on olemassa kääntyvä matriisi P M n n, jolle pätee Tällöin merkitään A B. Huom. Havaitaan, että P 1 AP

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 30.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/19 Käytännön asioita Kurssi on suunnilleen puolessa välissä. Kannattaa tarkistaa tavoitetaulukosta, mitä on oppinut ja

Lisätiedot

5 Lineaariset yhtälöryhmät

5 Lineaariset yhtälöryhmät 5 Lineaariset yhtälöryhmät Edellisen luvun lopun esimerkissä päädyttiin yhtälöryhmään, jonka ratkaisemisesta riippui, kuuluuko tietty vektori eräiden toisten vektorien virittämään aliavaruuteen Tämäntyyppisiä

Lisätiedot

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä

Matriisien tulo. Matriisit ja lineaarinen yhtälöryhmä Matriisien tulo Lause Olkoot A, B ja C matriiseja ja R Tällöin (a) A(B + C) =AB + AC, (b) (A + B)C = AC + BC, (c) A(BC) =(AB)C, (d) ( A)B = A( B) = (AB), aina, kun kyseiset laskutoimitukset on määritelty

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät

1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 1 Matriisit ja lineaariset yhtälöryhmät 11 Yhtälöryhmä matriisimuodossa m n-matriisi sisältää mn kpl reaali- tai kompleksilukuja, jotka on asetetettu suorakaiteen muotoiseksi kaavioksi: a 11 a 12 a 1n

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä) Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Dynaamiset regressiomallit

Dynaamiset regressiomallit MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Heikki Seppälä Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2015 Viikko 6: 1 Kalmanin suodatin Aiemmin käsitellyt

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Determinantit. Kaksirivinen determinantti. Aiheet. Kaksirivinen determinantti. Kaksirivinen determinantti. Kolmirivinen determinantti

Determinantit. Kaksirivinen determinantti. Aiheet. Kaksirivinen determinantti. Kaksirivinen determinantti. Kolmirivinen determinantti Determinantit 1 2 2-matriisin ( A = on det(a) = a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 ) = a 11a 22 a 12 a 21. 1 2 2-matriisin on det(a) = Esim. Jos A = ( a 11 a 12 a 21 a 22 A = a 11 a 12 a 21 a 22 )

Lisätiedot

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C =

4. Lasketaan transienttivirrat ja -jännitteet kuvan piiristä. Piirielimien arvot ovat C = BMA58 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 6, Syksy 5. Olkoon [ 6 6 A =, B = 4 [ 3 4, C = 4 3 [ 5 Määritä matriisien A ja C ominaisarvot ja ominaisvektorit. Näytä lisäksi että matriisilla B

Lisätiedot

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3.

Ominaisarvoon 4 liittyvät ominaisvektorit ovat yhtälön Ax = 4x eli yhtälöryhmän x 1 + 2x 2 + x 3 = 4x 1 3x 2 + x 3 = 4x 2 5x 2 x 3 = 4x 3. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Ylimääräinen harjoitus 6 Ratkaisut A:n karakteristinen funktio p A on λ p A (λ) det(a λi ) 0 λ ( λ) 0 5 λ λ 5 λ ( λ) (( λ) (

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 4 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 862015 klo 1615 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma

Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma Matriisilaskenta Luento 8: LU-hajotelma Antti Rasila 2016 Matriisihajotelmat 1/2 Usein matriisiyhtälön Ax = y ratkaiseminen on epäkäytännöllistä ja hidasta. Siksi numeerisessa matriisilaskennassa usein

Lisätiedot

3.2.2 Tikhonovin regularisaatio

3.2.2 Tikhonovin regularisaatio 3 Tikhonovin regularisaatio Olkoon x 0 R n tuntematon, M R m n teoriamatriisi ja y Mx + ε R m (316 annettu data Häiriöherkässä ongelmassa pienimmän neliösumman miniminormiratkaisu x M + y Q N (M x + M

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla:

A = a b B = c d. d e f. g h i determinantti on det(c) = a(ei fh) b(di fg) + c(dh eg). Matriisin determinanttia voi merkitä myös pystyviivojen avulla: 11 Determinantti Neliömatriisille voidaan laskea luku, joka kertoo muun muassa, onko matriisi kääntyvä vai ei Tätä lukua kutsutaan matriisin determinantiksi Determinantilla on muitakin sovelluksia, mutta

Lisätiedot

Osittaistuenta Gaussin algoritmissa: Etsitään 1. sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio ja vaihdetaan tämä tukialkioiksi (eli ko. rivi 1. riviksi).

Osittaistuenta Gaussin algoritmissa: Etsitään 1. sarakkeen itseisarvoltaan suurin alkio ja vaihdetaan tämä tukialkioiksi (eli ko. rivi 1. riviksi). Liukuluvut Tietokonelaskuissa käytetään liukulukuja: mikä esittää lukua ± α α α M β k ± ( M α i β i )β k, i= β on järjestelmän kantaluku, α α M liukuluvun mantissa, α,, α M lukuja,,,, β, siten että α Esimerkki

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 14 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Matriisinormi

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian perusteet 2017

Suhteellisuusteorian perusteet 2017 Suhteellisuusteorian perusteet 017 Harjoitus 5 esitetään laskuharjoituksissa viikolla 17 1. Tarkastellaan avaruusaikaa, jossa on vain yksi avaruusulottuvuus x. Nollasta poikkeavat metriikan komponentit

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus

Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +

Lisätiedot

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo

Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Matriisilaskenta Luento 12: Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Antti Rasila 2016 Vektoriavaruuden kannan olemassaolo Jos {v 1, v 2,..., v k } on äärellisulotteisen vektoriavaruuden V lineaarisesti riippumaton

Lisätiedot

Aiheet. Kvadraattinen yhtälöryhmä. Kvadraattinen homogeeninen YR. Vapaa tai sidottu matriisi. Vapauden tutkiminen. Yhteenvetoa.

Aiheet. Kvadraattinen yhtälöryhmä. Kvadraattinen homogeeninen YR. Vapaa tai sidottu matriisi. Vapauden tutkiminen. Yhteenvetoa. Yhtälöryhmän ratkaisujen lukumäärä, L8 Esimerkki kvadraattinen Haluamme ratkaista n 4x + y z = x + y + z = 5 x + y + z = 4 4 x 4 + y x y z = + z 5 4 = 5 4 Esimerkki kvadraattinen Yhtälöryhmä on kvadraattinen,

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 6. Ryöppyvirheitä korjaavat koodit Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 2 / 34 6.1 Peruskäsitteitä Aiemmin on implisiittisesti

Lisätiedot

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio

Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Luku 3 Likimääräisratkaisut ja regularisaatio Käytännön inversio-ongelmissa annettu data y ei aina ole tarkkaa, vaan sisältää häiriöitä. Tuntemattomasta x on annettu häiriöinen data y F (x + }{{}}{{} ε.

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Ortogonaalisen kannan etsiminen

Ortogonaalisen kannan etsiminen Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 4 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 4 Suora ja taso Ennakkotehtävät 1. a) Kappale kulkee yhdessä sekunnissa vektorin s, joten kahdessa sekunnissa kappale kulkee vektorin 2 s. Pisteestä A = ( 3, 5) päästään pisteeseen P, jossa kappale sijaitsee,

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 4 Kevät 20 Regularisointi Eräs keino yrittää ratkaista (likimääräisesti) huonosti asetettuja ongelmia on regularisaatio. Regularisoinnissa ongelmaa

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 4. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 4. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 4 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 4 () Numeeriset menetelmät 21.3.2013 1 / 44 Luennon 4 sisältö Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta: Choleskyn menetelmä

Lisätiedot

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1

Mat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 Mat-214 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 1 1 a) Sekoitussäiliöön A virtaa puhdasta vettä virtauksella v A, säiliöstä A säiliöön B täysin sekoittunutta liuosta virtauksella v AB ja säiliöstä

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin

Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun 7 eli vapauden käsitteeseen ja homogeenisiin HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2014 Harjoitus 4 Ratkaisujen viimeinen palautuspäivä: pe 662014 klo 1930 Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kurssimateriaalin lukuun

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.2 BCH-koodin dekoodaus Tarkastellaan t virhettä korjaavaa n-pituista BCH-koodia. Olkoon α primitiivinen n:s ykkösen juuri, c = c(x)

Lisätiedot

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2

2.3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. b b 4ac = 2 .3 Juurien laatu. Juurien ja kertoimien väliset yhtälöt. Jako tekijöihin. Toisen asteen yhtälön a + b + c 0 ratkaisukaavassa neliöjuuren alla olevaa lauseketta b b 4ac + a b b 4ac a D b 4 ac sanotaan yhtälön

Lisätiedot

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8

Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8 Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 7 8 Kevät 2011 1 Iteratiivisista menetelmistä Tähän mennessä on tarkasteltu niin sanottuja suoria menetelmiä, joissa (likimääräinen) ratkaisu saadaan

Lisätiedot

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2

BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 BM20A0700, Matematiikka KoTiB2 Luennot: Matti Alatalo, Harjoitukset: Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luku 7. 1 Kurssin sisältö Matriiseihin

Lisätiedot

1 Rajoittamaton optimointi

1 Rajoittamaton optimointi Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y

Lisätiedot

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause

1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla

Lisätiedot

ja piirrä sitä vastaavat kaksi käyrää ja tarkista ratkaisusi kuvastasi.

ja piirrä sitä vastaavat kaksi käyrää ja tarkista ratkaisusi kuvastasi. Harjoituksia yhtälöryhmistä ja matriiseista 1. Ratkaise yhtälöpari (F 1 ja F 2 ovat tuntemattomia) cos( ) F 1 + cos( ) F 2 = 0 sin( ) F 1 + sin( ) F 2 = -1730, kun = -50 ja = -145. 2. Ratkaise yhtälöpari

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.3 Lineaarisen koodin dekoodaus Oletetaan, että lähetettäessä kanavaan sana c saadaan sana r = c + e, missä e on häiriön aiheuttama

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / Ratkaisut MS-C34 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt, IV/26 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Harjoitus 4 / t Alkuviikon tuntitehtävä Hahmottele matriisia A ( 2 6 3 vastaava vektorikenttä Matriisia A

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot