Aikasarja-analyysi I Syksy 2005 Tampereen yliopisto Arto Luoma

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Aikasarja-analyysi I Syksy 2005 Tampereen yliopisto Arto Luoma"

Transkriptio

1 Aikasara-aalyysi I Syksy 5 Tamperee yliopiso Aro Luoma Pääasiallise lähee: Brockwell, Davis: Iroducio o Time Series ad Forecasig Brockwell, Davis: Time Series: Theory ad Mehods (lyh. TSTM).. Johdao. Yleisä Aikasara syyy, ku oai suurea miaaa peräkkäisiä aakohia, esim. seuraaessa aloude kehiysä, eollisuude prosessia ai vaikkapa sää kehiysä. Aikasaroe maemaaie malli o sokasie prosessi {, T}, missä ideksioukko T voi olla diskreei (esim. Z{,±,±, }) ai akuva (esim. [, )). Tällä kurssilla raoiuaa diskreeeihi aikasaroihi. Yleesä aikasaroisa o saaavilla yksi realisaaio ieyllä aikavälillä, esim. x, x,, x. Aikasaraa aalysoimalla pyriää löyämää sokasie prosessi, oka voisi uoaa kyseise sara. Tämä voisi auaa ) ymmärämää oai ukiava ilmiö luoeesa a ) eusamaa sara ulevia arvoa. Aikasara-aalyysiä sovelleaa myös 3) prosessie korolloiissa esim. eollisuudessa, ku säädeävissä oleva prosessi uoaa oo havaioarvoa. 4) Yhde sara vaihelua voidaa pyrkiä seliämää muide saroe vaihelulla, olloi sivuaa samoa ogelmia kui regressioaalyysissä.. Saioaarie prosessi Yleesä aikasara pyriää erilaisilla muuoksilla saaamaa sellaisee muooo, eä se voi kasoa oleva realisaaio saioaarisesa prosessisa. Saioaarisa prosessia voidaa yleesä malliaa ilasollisesi s. ARMA-prosessi avulla. Alkuperäie aikasara voidaa sie kuvaa käyäe saioaarisa aikasaraa a iiä muuoksia, oilla siiä saadaa alkuperäie sara. Prosessi { } saoaa oleva vahvasi saioaarie (sricly saioary), os peräkkäise havaioe yheisakauma ei muuu, ku siirryää aassa eeepäi. Toisi saoe prosessi o vahvasi saioaarie, os sauaisvekorilla ( h, h,, h ) o sama akauma kui vekorilla (,,, ), missä h a ova miä ahasa posiiivisia kokoaislukua. Ku puhuaa saioaarisuudesa, arkoieaa kuieki yleesä s. heikkoa saioaarisuua. Prosessi { } saoaa oleva heikosi saioaarie. saioaarie laaassa mielessä (weakly saioary, saioary i he wide sese), os prosessi odousarvo eikä peräkkäise havaioe kovariassimariisi muuu siirryäessä aassa eeepäi. Tällöi oleeaa, eä E( ) o äärellie kaikissa aikapiseissä, oa odousarvo a kovariassi olisiva määrielyä. Huomaa, eä vahvasa saioaarisuudesa seuraa heikko saioaarisuus, mikäli E ( ) o äärellie, mua heikosa saioaarisuudesa ei välämää seuraa vahva saioaarisuus.

2 Määriellää odousarvofukio µ () E( ) a auokovariassifukio γ (r,s)cov( r, s ) kaikille kokoaisluvuille r a s. Näide fukioide avulla määrielyä prosessi o (heikosi) saioaarie, os odousarvofukio µ () o aasa riippumao vakio a kovariassifukio γ (h,) ei riipu aasa millää kokoaisluvulla h. Jos kyseessä o saioaarie prosessi, kovariassifukio voidaa ilmaisa yhde argumei avulla: γ (h,) γ (h,) γ (h). Lisäksi saioaariselle prosessille voidaa määriellä auokorrelaaiofukio ρ (h) γ (h)/ γ ()Corr( h, ). Esim.. Olkoo {,,,..} oo riippumaomia a samoi akauueia sauaismuuuia, oille E( )µ a Var( )σ. Tarkasellaa sauaisprosessia {Y,,, }, missä Y a Y, ku. Prosessia kusuaa sauaiskävelyksi. Kyseessä o symmerie sauaiskävely, os µ a yksikeraie sauaiskävely, os voi saada arvoksee oko ai -. Prosessi odousarvofukio o µ Y ()E( ) µ a variassi Var(Y ) Var( ) Var( ) Var( ) σ. Koska variassi kasvaa, ku kasvaa, prosessi ei ole saioaarie vaikka µ olisi. Alkuperäie sara { }saadaa sarasa {Y }differoimalla: Y -Y -. Esim.. IID-kohia. Olkoo { } oo riippumaomia a samoi akauueia sauaismuuuia, oide odousarvo o. Tällöi ooa saoaa IID-kohiaksi (IIDidepede ideically disribued). Prosessi o ehkä yksikeraisi esimerkki vahvasa saioaarisuudesa. Koska sauaismuuua ova riippumaomia a samoi akauueia, P( x, x,, x ) P( x )P( x ) P( x ) P( h x )P( h x ) P( h x ) P( h x, h x,, h x ), osa ähdää, eä peräkkäise havaioe yheisakauma pysyy samaa aassa siirryäessä. Merkiää IID-kohiaa { }~IID(,σ ). Esim. 3. Valkoie kohia. Olkoo { } oo korreloimaomia sauaismuuuia, oilla o odousarvo a variassi σ. Silloi ooa saoaa valkoiseksi kohiaksi a merkiää { }~WN(, σ ). Joo o esimerkki (heikosi) saioaarisesa prosessisa sillä määrielmä peruseella µ ()E a γ σ,ku h, ( h, ),ku h. Odousarvo- a kovariassifukio eivä siis riipu :sä. IID-kohia o myös valkoisa kohiaa, os prosessi variassi o äärellie. Valkoie kohia ei se siaa ole välämää IID-kohiaa. Esim. 4. MA()-prosessi. Oleeaa, eä oo {Z,, ±, ±, } o valkoisa kohiaa. Määriellää Z θz -, missä θ o reaaliluku. Tällöi µ () a E σ ( θ ) <. Lisäksi γ ( h, ) σ ( θ ), σ θ,, ku h, ku h ±, ku h >. Koska µ () a γ (h,) eivä riipu :sä, kyseessä o saioaarie prosessi. Auokorrelaaiofukio prosessille { } o

3 ρ ( h, ) θ, ku h, /( θ ),ku h ±,, ku h >. Esim 5. AR()-prosessi. Oleeaa eä { } o saioaarie aikasara, oka oeuaa yhälö φ - Z,,±,, () missä {Z }~WN(,σ ), φ < a Z o korreloimao sauaismuuuie s kassa, ku s<. Tällöi saoaa, eä { } oudaaa auoregressiivisä prosessia viiveellä (eli AR()-prosessia). Oamalla odousarvo yhälö () eri puolisa saadaa prosessi odousarvoksi E. Auokovariassifukio määriämiseksi kerroaa yhälö puoliai -h :lla, missä h>, a oeaa odousarvo puoliai: E ( -h ) φe ( - -h ) E (Z -h ) Cov(, -h ) φ Cov( -, -h ) γ (h)φγ (h-). Rekursiivisesi voidaa pääellä, eä γ (h)φ h γ (). Koska γ (h) Cov( h, ) Cov(, h ) γ (-h), posiiivisille a egaiivisille viiveille h soveluva auokovariassi kaava o γ (h)φ h γ (). Auokorrelaaio puolesaa o ρ (h)γ (h)/γ ()φ h, h,±, Voidaksemme määriää, mikä o γ (), odeaa esi eä Cov(,Z ) Cov(φ - Z, Z ) φcov( -, Z )Cov(Z, Z )Cov(Z, Z )σ, sillä oleukse mukaa Cov( -,Z ). Täe γ ()Cov(, )Cov(, φ - Z )φ γ () σ φ γ () σ, osa saadaa rakaisua, eä γ () σ /(-φ )..4. Oosauokorrelaaiofukio. Yleesä aikasara auokovariassi a -korrelaaiofukioia ei uea, vaa e ouduaa esimoimaa ookse peruseella. Oleeaa, eä meillä o oos x,x,,x osai aikasara realisaaiosa. Tällöi määriellää ooskeskiarvo x x, oosauokovariassifukio h γ h ˆ( ) ( x h x)( x x), < h <, 3

4 a oosauokorrelaaiofukio γˆ( h) ρ ˆ ( h ), < h <. γˆ() Huomaa, eä kyseessä ei ole avallie havaiopareisa (x,x h ) laskeu ooskovariassi. Aeu määrielmä kuieki akaa se ooskovariassi- a ooskorrelaaiomariisi ova ei-egaiivisesi defiiieä. Teoreeise kovariassi- a korrelaaiomariisi ova aia ei-egaiivisesi defiiieä. Lisäksi ei-egaiivisesi defiiiisyys akaa eräide mariisihaoelmie olemassaolo. Oosauokorrelaaiofukiosa voidaa ehdä pääelmiä aikasara geeroiee sauaisprosessi auokorrelaaiofukiosa, mikä voi auaa sopiva malli löyämisessä. Valkoise kohia apauksessa ρ(h), ku h. Tällöi voisi oleaa, eä valkoise kohia prosessi uoama aikasara oosauokorrelaaiofukio olisi lähellä ollaa, ku h. Ise asiassa voidaa osoiaa (TSTM, s. ), eä IID-kohia apauksessa, ku prosessi variassi o äärellie, oosauokorrelaaio ρˆ ( h ), h >, ova riippumaomia a oudaava ormaaliakaumaa N(,/), ku o suuri. Täe oi 95% oosauokorrelaaioisa piäisi osua raoe ±.96/ sisälle, os kysessä o IID-kohia prosessi. Alla o kuviossa simuloiu arvoa IID N(,) -kohiaa. Kuviossa o piirrey oosauokorrelaaiofukio simuloidu aieiso peruseella. Nähdää eä kaikki arvo sioiuva raoe ±.96/ sisälle. Kuvio o uoeu R-käskyillä whieoise<-rorm() plo(s(whieoise),mai"",ylab"") acf(whieoise,mai"",lag.max4) Kuvio. Kuvio. 4

5 Tukiaa seuraavaksi hypoeesia, eä logarimoiu osakekurssi olisi sauaiskävelyprosessi. Alla o piirrey Nokia osakekurssi aala sekä ääössara, oka o saau logarimoimalla a differoimalla alkuperäie sara. Auokorrelaaiofukio peruseella ääössara äyää korreloimaomala prosessila, ii kui piäisiki. Koska ääössara odousarvo ei eroa ilasollisesi merkiäväsi ollasa, siä voidaa piää valkoise kohia prosessia. Haoa σ esimaai o.388. > library(series) > x<-ge.his.quoe(isrume"ok",sar"-9-6", ed"3-9-6",quoe"close") > ok<-a.remove(s(x)) > dlok <-diff(log(ok)) >plo(ok) >plo(dlok) >acf(dlok,lag.max4) >summary(lm(dlok~)) Coefficies: Esimae Sd. Error value Pr(> ) (Iercep) Residual sadard error:.388 o 48 degrees of freedom Alla o piirrey Lake Huro -ärve pia asoa osoiava kuvaaa. Selväsiki aikasara ei ole saioaarie, sillä siiä esiiyy laskeva redi. Ku esimoidaa lieaarie redi avallisella pieimmä eliösumma meeelmällä (OLS), havaiaa ääössarassa posiiivisa auokorrelaaioa pieillä viiveillä. Posiiivie auokorrelaaio äkyy myös arkaselaessa oosauokorrelaaiofukioa. Koska oosauokorrelaaiofukio väheee suuri piirei geomerisesi, voidaa ehdoaa ääössara geeroivaksi prosessiksi AR()-prosessia parameria φ.8. Teoreeie auokorrelaaiofukioha AR()-prosessille o ρ(h)φ h. 5

6 6 >daa(lakehuro) > plo(lakehuro) > a<-lm(lakehuro~ime(lakehuro)) > ablie(a) > plo(residuals(a),ype"l") > lies(c(-5,5),c(,)) > acf(residuals(a))

7 Oosauokorrelaaio voidaa laskea vaikka sara ei olisikaa saioaarie a siä voidaa käyää ei-saioaarisuude oeamisee. Esimerkiksi, os sarassa o lieaarie redi, oosauokorrelaaio laskee hyvi hiaasi :sä, ku h kasvaa. Tämä ohuu siiä, eä sara alkupää o keskiviiva oisella puolella a loppupää oisella puolella, olloi oosauokovariassi lausekkeessa ekiä x x a x h x ova sama merkkisiä eiväkä iide ulo kumoa oisiaa, ellei h ole hyvi suuri. Symmerie sauaiskävely ei ole saioaarie prosessi, mua se muisuaa AR()- prosessia, ku φ o lähellä ykkösä. Myös ässä apauksessa ρ ˆ( h) väheee hiaasi ykkösesä, ku h kasvaa. Jos sarassa o sääöllisä aksollisa vaihelua, myös oosauokorrelaaiokeroimessa o havaiavissa samalaisa vaihelua..5. Klassie haoelma Klassisessa kausihaoelmamallissa (he classical decomposiio model) oleeaa, eä prosessi voidaa akaa kolmee kompoeii, imiäi hiaasi vaihelevaa redii, kausikompoeii a saioaarise kohia saraa. Haoelma voidaa esiää muodossa m s Y, missä m edusaa rediä, s kausikompoeia a Y saioaarisa kohiaa. Mallissa oleeaa, eä d E(Y ), s s d a s, missä d o kausie lukumäärä. Tredi m voidaa eroaa sarasa käyämällä liukuvaa keskiarvoa, oka o erikoisapaus s. lieaarisesa suoimesa. Tredi esimaaiksi saadaa ku kausie lukumäärä o pario dq a m mˆ ( x x... x ) / d q < q, q q q, ˆ (.5x q xq... x q.5x q ) / d, q < q, ku kausie lukumäärä o parillie dq. Tällä suoimella saadaa kausikompoeie vaikuus häviämää a kohia vaikuus hyvi pieeksi. Kausikompoei esimoimiseksi laskeaa kulleki kaudelle k ( k d) keskiarvo w k poikkeamisa x ˆ k d mk d, q < k d q. Koska äide kausikeskiarvoe summa ei välämää ole, muodoseaa kausiermille s k esimaai sˆ k w k d d i w k, k,..., d. Kausipuhdiseu (deseasoalised) sara kausikompoei: saadaa väheämällä alkuperäisesä sarasa d x sˆ,,...,. Lopuksi kausipuhdiseusa sarasa voidaa eroaa redi esimerkiksi soviamalla polyomifukio pieimmä eliösumma meeelmällä. Tredille siis muodoseaa uusi esimaai mˆ. 7

8 Kohiasara Y esimaai o ällöi ääössara Yˆ x mˆ sˆ..6. Kausivaihelu malliamie käyäe harmoisa regressioa. Yksi apa malliaa kausivaihelua voidaa malliaa o s. harmoie regressio. Siiä aikasaraa selieää eri vaiheessa olevilla a eri aauuksia edusavilla siifukioilla. Jos yhde akso piuus (kausie lkm) o d, kausikompoei s voidaa esiää muodossa s a k ( a cos( λ ) b si( λ ) ) missä aauude λ ova lausekkee π/d kokoaisia moikeroa. Tuemaoma keroime a a a, b,,,k, voidaa esimoida aieisosa avallisella pieimmä eliösumma meeelmällä. Sysemaaisempi meeelmä esieää spekriaalyysi yheydessä. Allaolevassa kuviossa o USAccDeahs-aieisoo sovelleu harmoisa regressioa. Siiä o käyey aioasaa kaha maalaaauisia siifukioa, olloi k, λ π/d, λ 4π/d. Kuvio voidaa uoaa R-käskyillä <-ime(usaccdeahs) plo(usaccdeahs,ly,ype"b") a<-lm(usaccdeahs~cbid(si(*pi*%*%rbid(:)),cos(*pi*%*%rbid(:)))) lies(s(predic(a,daa.frame()),sar973,frequecy)) Jos rediä mallieaa paramerie suhee lieaarisella fukiolla, kue polyomilla, kausikompoei a redi voidaa esimoida yleiseyllä pieimmä eliösumma meeelmällä (GLS). Tavallisa PNS-meeelmää (OLS) käyeää, os voidaa oleaa, eä ääössara o 8

9 valkoise kohia prosessi. Malli, ossa redi o oise asee polyomi a oho sisälyy kausikompoei, voidaa esiää muodossa β β β γ u γ d- u,d- Y, missä u,,,d-, o idikaaorimuuua, oka saa arvo, os aahekellä o meossa kausi, a arvo muue. Jos mallissa olisi mukaa kaude d idikaaorimuuua, parameri eivä olisi esimoiuvia. Kausikompoei voidaa laskea kaavalla s γ -(γ...γ d- )/d, ku,...,d-, a s d - (γ...γ d- )/d. Alla o malli esimoiu OLS-meeelmällä käyäe fukioa lm a USAccDeahs-aieisoa. Idikaaorimuuuie mariisi U o muodoseu käyämällä Kroeckeri uloa 6 I, missä 6 o ykkösvekori, oka piuus o 6, a I o -ideieeimariisi. Tulomariisissa o 6 ideieeimariisia alakkai. > <-ime(usaccdeahs) > U<-kroecker(rep(,6),diag()) > a<-lm(usaccdeahs~cbid(,^,u[,-])) > plo(usaccdeahs,ly,ype"b") > lies(s(predic(a,daa.frame()),sar973,frequecy)) 9

10 .7. Lieaarise suoime Aiemmi esielii liukuva keskiarvo esimerkkiä s. lieaarisesa suoimesa. Yleisemmi voidaa määriellä lieaarie suodi m a. Liukuva keskiarvo apauksessa a /(q), ku -q q, a a muulloi. Liukuva keskiarvo o yypillie alipääsösuodi, oka suodaaa aikasarasa pois opeasi vaiheleva kompoei (korkea aauude). Liukuva keskiarvo ei vaikua lieaarisee redii miekää, sillä sovelleaessa liukuvaa keskiarvoa saraa aby saadaa q q q q q q q ( a b( ) Y ) a b Y. q q Yleesä miä suurempi q valiaa, se suurempi asoius saadaa aikaa. Jos q valiaa liia suureksi, redi esimaaisa saaaa ulla huoo, ellei redi ole lieaarie. Voidaa myös suuiella suoimia, oka säilyävä useampiaseise polyomifukio koskemaomia. Liukuva keskiarvo suoimia voi olla useampia peräkkäi. Esimerkiksi 3 5 MA -suodi oimii ii, eä esi laskeaa 3 havaio liukuva keskiarvo a ämä älkee 5 havaio keskiarvo. R-kielessä kirasoo "s" sisälyy fukio "filer", olla voidaa ehdä lieaarisia suodauksia. Suodaime voiva olla yypilää kovoluuiosuoimia ai rekursiivisia suoimia. Seuraavassa o aeu esimerkkeä eriyyppisisä suoimisa a siiä, mie suodaukse voidaa oeuaa R- kielellä. Yksipuolie kovoluuiosuodi: y a x a x - a p x -p R-oeuus: a<-c(a,a,,a p ) y<-filer(x,a,sides) Kaksipuoleie kovoluuiosuodi: y a -p x p a -p x p- a p- x -p a p x -p a<-c(a -p,a -p,,a p-,a p ) y <- filer(x,a,sides) Rekursiivie suodi: y x a y - a p y -p a <- c(a,,a p ) y <- filer(x, a, mehod"recursive")

11 Alapuolella o esiey R-kielie fukio "maverage", oka laskee liukuva keskiarvo. Fukiolle aeaa argumeia suodaeava sara a q, missä q ilmaisee, moako edelävää a seuraavaa havaioa sisällyeää keskiarvoo. Joa liukuva keskiarvo voiaisii laskea myös sara alussa a lopussa, sara alkuu lisäää q keraa esimmäie havaio x a loppuu q keraa viimeie havaio x. maverage<-fucio(series,q) { <-legh(series) y<-c(rep(series[],q),series,rep(series[],q)) fil<-rep(,*q)/(*q) y<-filer(y,fil,sides) y[(q):(q)] } Tredi voidaa esimoida käyäe myös s. ekspoeiaalisa asoiusa. Se määriellää rekursiivisesi seuraavasi: mˆ a ( a) mˆ,,,...,, a m ˆ, missä a o reaaliluku välilä (,). Ku a o lähellä ykkösä saadaa piei asoius a ku se o lähellä :aa, asoius o suuri. Tredi esimaai voidaa ilmaisa myös muodossa a( a) ( ) a m ˆ, ku, olloi ähdää, eä kyseessä o paioeu liukuva keskiarvo. Koska paiokeroime väheevä ekspoeiaalisesi, puhuaa ekspoeiaalisesa asoiuksesa. Fukiolla "expsmooh" voidaa ehdä ekspoeiaalisa asoiusa. expsmooh <- fucio(series, a.5) { series[] <- series[]/a a*filer(series,-a,mehod"recursive") }

12 .8. Muia sigaalihaoiukse meeelmiä Edellä kuvauissa meeelmissä oleeaa, eä kausikompoei pysyy vakioa vuodesa oisee. Kehiyeemmissä meeelmissä se salliaa vaihdella. Näissä meeelmissä o usei myös esipuhdisusosio, oka esii aikasarasa poikkeava havaio, luokielee e sekä poisaa iide vaikuukse. Esipuhdisusvaiheessa voidaa oaa huomioo myös kauppa- ai yöpäivie a lomapäivie vaikuus. Varsiaise kompoeeihi ao älkee ääössara puhaus voidaa arkisaa diagosisi esei. Muisa meeelmisä, oka haoiava aikasara kompoeeihi, ueuimpia o Yhdysvalai ilasokeskukse Cesus Bureau kehiämä Cesus II. Meeelmä uusi variaaio o --REGARIMA. Meeelmä esipuhdisusosio o REGARIMA. Ohelmiso oie osa - akaa aikasara kompoeeihi a se perusuu eri piuise liukuva keskiarvo suodie peräkkäisee sovelamisee. Joa liukuva keskiarvo suoimia voiaisii sovelaa sara molemmissa päissä, saraa euseaa eee- a aaksepäi sopivalla ARIMA-mallilla. Toie ueu meeelmä o Espaa paki kehiämä TRAMO/SEATS. Siiä TRAMO huolehii esipuhdisuksesa a SEATS kompoeeihi aosa. Meeelmää saoaa mallipohaiseksi, sillä se perusuu aikasara malliamisee ARIMA-prosessilla. (SEATS Sigal Exracio i ARIMA Time Series). Kolmas ueu meeelmä o STL (A Seasoal-Tred decomposiio based o Loess). Meeelmässä sekä redi- eä kausikompoei asoieaa s. lössimeeelmällä (loess). Lössimeeelmä perusuu paikallisee regressioo (local regressio), oka soviaa aikasaraa asaise käyrä. Lössimeeelmä poikkeaa paikallisesa regressiosa siiä, eä siiä poikkeavie havaioe vaikuusa pyriää väheämää. R-kielee sisälyy STL-meeelmä. Tasoiusa voidaa sääää paramereilla s.widow a.widow. Parameri s.widow sääää kausi-ikkua leveyä. Miä suuremmaksi parameri arvo valiaa, siä hiaammi kausikompoei muuuu. Jos parameri arvoksi valiaa "per", ai "periodic", kausikompoei ei vaihele vuodesa oisee. Parameri.widow määrää redi-ikkua leveyde. Miä suurempi parameri o, siä asaisempi esimoiu redikäyrä o a siä hiaammi se reagoi sarassa apahuvii muuoksii. TRAMO/SEATS -ohelmaa o esiellää esim. kiroissa Maravall, A. (995): Uobserved Compoes i Ecoomic Time Series. The Hadbook of Applied Ecoomerics, s.-7, a Maravall, Gomez (): Seasoal Adusme ad Sigal Exracio i Ecoomic Time Series. A Course i Time Series Aalysis. --REGARIMA a STL -meeelmiä kuvaaa esim. kirassa Makridakis, Wheelwrigh, Hydma: Forecasig: Mehods ad applicaios.

13 .9. Aikasaroe saaamie saioaariseksi differoimalla Edellä o esiey meeelmiä aikasara redi a mahdollise kausikompoei esimoimiseksi. Ku alkuperäisesä sarasa väheeää redi a kausikompoei, uloksea voidaa saada saioaarie ääössara. Toie meeelmä sara saaamiseksi saioaariseksi o differoii. Ku suorieaa differoii viiveellä, kusaki aikasara havaiosa väheeää edellie havaio. Yhdellä askelella viiväseyä havaioa merkiää operaaorilla B a differoiia viiveellä yksi merkiää operaaorilla. Jos alkuperäie sara o { }, viiveellä differoiu sara o {Y }, missä Y - - -B (-B). (.8.) Differoii viiveellä häviää sarasa lieaarise redikompoei. Jos sara voidaa esiää muodossa abz, missä E(Z ), differoiu sara o - - (abz )-[ab(-)z - ] bz -Z -, oka odousarvofukio o vakio b. Jos redi o asea p oleva polyomifukio, differoiuu saraa ää asea p- oleva redi, (ks. haroiusehävä). Differoiia voidaa käyää myös muu kui redisä ohuva epäsaioaarisuude poisamisee. Esimerkissä, s., esielii sauaiskävely prosessi, oka o epäsaioaarie, koska se variassi kasvaa lieaarisesi aa suhee. Differoimalla prosessi saaii IID-prosessi, oka o saioaarie. Differoii voidaa myös oisaa. Sovelamalla differoiia oise kerra kaavassa (.8.) määrielyy prosessii Y saamme Y -Y - ( - - )-( ) (.8.) Viiveoperaaori B lausekkee käyäyyvä kui polyomi. Määriellää, eä poessi B d arkoiaa sara viiväsämisä d aikayksikköä: B d -d. Tällöi k arkoiaa sara differoiia k keraa. Kaavassa (.8.) esiey oise keraluvu differessi olisi voiu laskea suoraa operaaorie avulla seuraavasi: (-B) ( -BB ) Jos sara redi o polyomifukio asea p, differoimalla sara p keraa, saadaa redi poiseua. Voidaa osoiaa, eä os polyomifukio o m()c c c p p, ii p m()p!c p. Yleesä redi poisamisee riiää yksi ai kaksi differoiia viiveellä. Tämä ohuu siiä, eä aiaki paikallisesi rediä voidaa usei malliaa suoralla ai maala-aseisella polyomilla. Seuraavassa kuvioihi o piirrey USA: populaaioa kuvaava aikasara a kaksi keraa differoiu aikasara. Havaiaa, eei kaksi keraa differoidussa sarassa ole havaiavissa rediä. Sara ei kuiekaa ole saioaarie, sillä variassi kasvaa selväsi. Ogelma voidaa poisaa logarimoimalla alkuperäie sara. Jos alkuperäisessä sarassa variassi kasvaa samalla ku redi kasvaa, ogelmasa voidaa pääsä logarimoimalla ai ekemällä Box-Cox -muuos. 3

14 Kuvio 5. USA: väesö vuode välei Kuvio 6. USA: väesöaieiso differoiua kaksi keraa. Kuvio o uloseu käskyillä plo(uspop,ylab"(millios)") plo(diff(uspop,,),ylab"") Fukiossa "diff" argumei arkoiaa differoiia viiveellä a siä, eä differoii oiseaa kaksi keraa. Differoimalla voidaa pääsä myös eroo kausikompoeisa. Jos sara voidaa esiää muodossa s Y, missä s o kausivaiheluermi, oka akso piuus o d, ii differoimalla viiveellä d saadaa d : (-B d ) - -d (s Y )-(s -d Y -d ) Y -Y -d, sillä s s -d. (Älä sekoia operaaoria d, oka kuvaa differoimisa viiveellä d edellä määrielyy operaaorii d, oka kuvaa differoimisa d keraa viiveellä ). Jos ääössara Y -Y -d sisälää vielä rediä, se voidaa poisaa oisamalla differoiia viiveellä... Jääössara "valkoisuude esaamie". Edellä o pyriy poisamaa sarasa redi a kausivaihelu oko suoraa väheämällä sarasa kyseise kompoei ai differoimalla. Tavoieea o ollu saada saioaarie ääössara. Jos ääössara muisuaa valkoisa kohiaa, voidaa sara malliamie lopeaa. Tällöi eusee voidaa laaia redi a kausivaihelu peruseella. Jos se siaa ääösermeillä o korrelaaioa, korrelaaiorakeea voidaa malliaa a siä voidaa käyää hyväksi eusamisessa. Siksi o ärkeää esaa, vasaako ääössara valkoise kohia prosessia. Kappaleessa.4 odeii, eä os aikasara oudaaa IID(,σ )-prosessia, oosauokorrelaaiokeroime ova likimai N(,/)-akauueia a riippumaomia. Tämä merkisee siä, eä oi 4

15 95% oosauokorrelaaiokeroimisa sioiuu raoe ±.96/ sisälle. Jos auokorrelaaiokeroime o laskeu viiveesee 4 asi a eemmä kui 4 o raoe ulkopuolella, riskiasolla 5 % voidaa hylää hypoeesi, eä kyseessä o valkoise kohia prosessi. Myös os oki oosauokorrelaaiokeroimisa o huomaavasi raoe ulkopuolella, hypoeesi voidaa hylää. Kaikki laskeu oosauokorrelaaiokeroime voidaa sisällyää s. Pormoeau-esii. Jos hypoeesi siiä, eä aikasara oudaaa IID(,σ )-prosessia, piää paikkasa, esisuure Q h o likimai χ (h)-akauuu. Suure Q: arvo kerova siiä, eä auokorrelaaiokeroime ova iseisarvolaa liia suuria, oa kyseessä olisi IID(,σ )-prosessi. Tesiä saoaa Box-Pierce -esiksi. Lug a Box ova ehdoaee esisuurea Q LB ( ) h ρˆ ( ) ρˆ ( ) /( ) oka oudaaa vieläki arkemmi χ (h)-akaumaa. McLeod a Li ova kehiäee Pormoeauesi, oka avulla voidaa esaa, oko ääössarassa epälieaarisa riippuvuua. Tesisuure o Q LB sovelleua aikasaraa, oka o saau koroamalla alkuperäie sara oisee poessii, a se akauma o χ (h). Tesi sopiee parhaie ilaeesee, ossa vaihoehoisea hypoeesia IIDprosessille o s. ARCH-prosessi. Ku haluaa esaa oko peräkkäisillä havaioilla auokorrelaaioa, voidaa käyää s. kääepiseesiä (urig poi es). Jos y,y,,y o oo havaioa, saoaa, eä aahekellä i o kääepise, os y i- <y i a y i >y i ai y i- >y i a y i <y i. Olkoo T kääepiseide lukumäärä IIDsarassa, oka piuus o. Koska kääymäpisee odeäköisyys hekellä i o /3, Voidaa myös osoiaa, eä µ T E(T)(-)/3. σ T Var(T)(6-9)/9. Jos T-µ T o palo ollaa suurempi, voidaa pääellä eä sara vaihaa suuaasa opeammi kui voisi odoaa IID-prosessila a os T-µ T o palo ollaa pieempi, se o merkki posiiivisesa auokorrelaaiosa. Ku o suuri a aikasara oudaaa IID-prosessia, likimai T ~ N(µ T,σ T ), miä voidaa käyää hyväksi esaamisessa. Lieaarise redi oeamisessa o hyödyllie s. äresysesi (rak es). Merkiää P:llä sellaise parie (y i,y ) määrää, eä y > y i, ku > i a i,,,-. Kaikesaa parea (y i,y ), missä >i, o (-)/. Jos aikasara o IID-prosessisa, odeäköisyys, eä y > y i, o /, oe µ P E(P)(/4)(-). 5

16 Voidaa myös osoiaa, eä Suurilla arvoilla likimai σ Var( P) ( )( 5) / 7 P. P ~ N(µ P,σ P ). Jos ääössara valkoisuude lisäksi haluaa ukia se havaioe ormaaliakauueisuua, voidaa käyää kvaiili-kvaiili-kuvioa (qq-plo). Olkoo,,, sauaisoos akaumasa N(,) a Y,Y,,Y akaumasa N(µ,σ ). Merkiää oose äresysuuslukua (i) a Y (i), i,,..,, olloi < < < a Y <Y < <Y. Tällöi E Y () µσ m, missä m E (),,,,. Täsä seuraa, eä piirreäessä parie (m,y () ), (m,y () ) muodosama piseparvi (qq-kuvio) piseide ulisi siaia suuri piirei suoralla. Jos aikasarasa piirreyssä kuviossa havaio eivä ole suuri piirei suoralla, se o merkki siiä, eeivä havaio oudaa ormaaliakaumaa. Odousarvoa m voidaa approksimoida kaavalla Φ - [(-.5)/]. Alla olevilla fukioilla voi ehdä kääymäpise- a äresysesi. Lug-Box -esi a se muuelma voi ehdä s-kirasoo sisälyvällä fukiolla Box.es. Normaaliakaumaa vasaava qq-kuvio voi piirää käskyllä qqorm(x) a siihe liiyvä viiva käskyllä qqlie(x), missä x o ukiava ääössara. Lisäksi ormaalisuua voidaa esaa Jarque-Bera-esillä, oka sisälyy series-kirasoo. Tesi voidaa oeuaa käskyllä arque.bera.es (x) a se perusuu vioude a huipukkuude laskemisee. urig.poi.es <- fucio(x) { DNAME <- deparse(subsiue(x)) <-legh(x) METHOD <- "Turig poi es" <-embed(x,3) STATISTIC<-sum(([,] > [,] & [,] > [,3]) ([,] < [,] & [,] < [,3])) mu <- *(-)/3 sigma <- (6*-9)/9 PVAL<-*(-porm(abs(STATISTIC - mu) / sqr(sigma))) PARAMETER <- c(mu,sigma) ames(statistic) <- "ormal" ames(parameter) <- c("mu", "sigma") srucure(lis(saisic STATISTIC, parameer PARAMETER, p.value PVAL, mehod METHOD, daa.ame DNAME), class "hes") } rak.es <- fucio(x) { DNAME <- deparse(subsiue(x)) <-legh(x) METHOD <- "Rak es" STATISTIC<sum(ouer(x,x,"<")[ouer(:,:,"<")]) mu <- *(-)/4 sigma <- *(-)*(*5)/7 PVAL<-*(-porm(abs(STATISTIC-mu) / sqr(sigma))) PARAMETER <- c(mu,sigma) ames(statistic) <- "ormal" ames(parameter) <- c("mu", "sigma") srucure(lis(saisic STATISTIC, parameer PARAMETER, p.value PVAL, mehod METHOD, daa.ame DNAME), class "hes")} 6

17 Alla o ehy esielly esi saralle dlok ( ks. s. 5). Tesie peruseella ollahypoeesi siiä, eä kyseessä o valkoise kohia prosessi, säilyy. Kuieki Jarque-Pera-esi hylkää hypoeesi ääöse ormaalisuudesa. Tämä voidaa odea myös qq-kuviosa. Se peruseella aieiso suure havaio ova liia suuria verraua ormaaliakaumaa, oe ääöse akauma o oikealle vio. Myös piei havaio o "liia piei". Vious ei äy hisogrammisa aiva yhä selväsi. > Box.es(dlok,lag4,"Lug") Box-Lug es daa: dlok -squared 4.45, df 4, p-value.9748 > Box.es(dlok^,lag4,"Lug") Box-Lug es daa: dlok^ -squared.4779, df 4, p-value.9956 > urig.poi.es(dlok) Turig poi es daa: dlok ormal 69, mu 66., sigma 44.3, p-value.65 > rak.es(dlok) Rak es daa: dlok ormal 534, mu , sigma , p-value.6 > arque.bera.es(dlok) Jarque Bera Tes daa: dlok -squared , df, p-value <.e-6 > qqorm(dlok) > qqlie(dlok) > his(dlok) 7

18 . Saioaarise prosessi.. Yleisä eusamisesa Oleeaa, eä ueaa aikasara {,, ±, } realisaaiosa havaio x,x,,x a haluaa eusaa h askela eeepäi havaioa x h. Aaellaa, eä eusevirheesä e aiheuuvaa appioa voidaa miaa appiofukiolla C(e). Tällöi o luoollisa hakea sellaisa havaioisa x,x,,x riippuvaa eusefukioa f(x,x,,x ), eä E C(e) E C[ h - f(,, )] miimoiuu. Tappiofukio C(e) saa arvo, ku eusevirhe e, a C(e) kasvaa, ku e kasvaa. Kuiekaa ei ole välämäöä, eä C(e) o olla suhee symmerie fukio. Yleisimmi käyey appiofukio o C(e)ae, missä a o oki posiiivie reaaliluku. Tällöi opimaalie eusamie merkisee keskieliövirhee E [ h - f(,, )] miimoimisa. Voidaa osoiaa, eä miimoiva rakaisu o f(,, ) E ( h,, ), (vr. har. eh.). Ehdollise odousarvo laskemiseksi o ueava sauaismuuuie,,, h yheisakauma. Esim.. Oleeaa, eä sauaismuuua a oudaava biormaaliakaumaa. Merkiää odousarvoa E( i ) µ i, i,, variassea Var( i ) σ i a korrelaaioa ρ Corr(, ). Tällöi sauaismuuua akauma ehdolla o myös ormaaliakauma odousarvolla a variassilla E( ) µ ρσ σ - ( -µ ) Var( )σ (-ρ ). Esimerkisä havaiii, eä eusi E( ) o lieaarie eli se o muooa a b. Yleisemmi voidaa osoiaa, eä E ( h,, ) o lieaarie moiuloeise ormaaliakauma apauksessa a voidaa siis esiää muodossa E ( h,, )a a a, missä a,,a ova vakioa. Jos havaioe yheisakauma ei ole ormaalie (s. kyseessä ei ole gaussie prosessi), opimaalie eusi ei välämää ole lieaarie. Tällä kurssilla kuieki raoiuaa arkaselemaa lieaarisia eusimia a opimaalisuude krieeriä käyeää keskieliövirheä. Tämä merkisee siä, eä prosessie määrielyssä raoiuaa esimmäise a oise asee omiaisuuksii, s. odousarvoo a kovariassifukioo... Auokovariassifukio omiaisuuksia Ee kui siirrymme saioaarise prosessie eusamisee, o hyvä ukia hiuka lähemmi äide prosessie omiaisuuksia. Saioaarise prosessi auokovariassifukiolla o seuraava omiaisuude: () γ() () γ(h) γ() kaikilla h: arvoilla (3) γ(h) o parillie fukio, s. γ(h) γ(-h). 8

19 Omiaisuus () seuraa siiä, eä variassi o aia ei-egaiivie a omiaisuus () Cauchy- Schwarz-epäyhälösä. Omiaisuus (3) ohuu siiä, eä γ(h) Cov( h, ) Cov(, h ) γ(-h). Lisäksi auokovariassifukio o ei-egaiivisesi defiiii. Määriellää, eä reaaliarvoie fukio κ o ei-egaiivisesi defiiii, os a κ( i ) (..) i a i, kaikille posiiivisille kokoaisluvuille a vekoreille a(a,a,,a )', missä kompoei a i ova reaalilukua. Huomaa, eä eho (..) voidaa esiää mariisimuodossa a'κa, missä K o mariisi [ κ ). ( i ] i, Lause... Reaaliarvoie kokoaisluvuille määriely fukio o saioaarise aikasara auokovariassifukio os a vai os se o ei-egaiivisesi defiiii. Todisus. Oleeaa, eä γ(h) o saioaarise aikasara { } auokovariassifukio. Olkoo mikä ahasa posiiivie kokoaisluku a a(a,a,,a )' mikä ahasa reaaliluvuisa koosuva vekori, oka piuus o. Tällöi Var(a a a ) i, Cov( a, a ) a γ( i ) a, i i i i, sillä variassi o aia ei-egaiivie. Nähdää siis, eä γ(h) o ei-egaiivisesi defiiii. Todisus oisee suuaa o vaaivampi. Ks. esim. TSTM, Theorem.5.. Esim.. Osoieaa, eä fukio, κ(h) ρ,,, ku h ku h ± muulloi. o ei-egaiivisesi defiiii, ku ρ.5. Huomaaa, eä κ(h) o MA()-prosessi auokovariassifukio, ku aseeaa σ (θ ) a σ θ ρ. Rakaisuksi saadaa ± θ σ ku ρ.5. Rakaisua ei ole olemassa, os ρ >.5. 4ρ ρ θ, 9

20 .3. Lieaarise prosessi Tärkeä ryhmä saioaarisisa prosesesseisa muodosava s. lieaarise prosessi, oide malliamie a eusamie ARMA-malleilla muodosaa kurssi ydiosa. Aikasaraa { } saoaa liaariseksi prosessiksi, os se voidaa esiää muodossa ψ Z, (.3.) kaikilla arvoilla, missä {Z } ~ WN(,σ ) a {ψ } o oo vakioia, oka oeuava ehdo ψ <. Käyämällä siiro-operaaoria B, kaava (.3.) voidaa esiää iiviimmässä muodossa ψ(b)z, missä ψ(b) ψ B. Lieaarisa prosessia saoaa liukuva keskiarvo prosessiksi, os ψ, ku <. Tällöi prosessi voidaa esiää muodossa ψ Z. Huomauus. Eho ψ < akaa sara (.3.) suppeemise (odeäköisyydellä ). Cauhcy-Schwarzi epäyhälö peruseella E Z σ ( [E( Z )] E Z E()σ ). Iseisarvosara odousarvo o äärellie: E ψ Z ψ E Z σ ψ <. Koska iseisarvosara odousarvo o äärellie, iseisarvosara o äärellie odeäköisyydellä, osa seuraa, eä myös alkuperäie sara suppeee odeäköisyydellä. Operaaori ψ(b) voidaa aaella oleva lieaarie suodi, oka syöeeä o sara {Z } a ulosuloa sara { }. Seuraavaksi osoieaa, eä mikä ahasa saioaarie sara aaa ulosuloa saioaarise sara, ku siihe sovelleaa suodia ψ(b).

21 Lause.3.. Olkoo {Y } saioaarie aikasara, oka odousarvo o a kovariassifukio γ Y. Jos ψ <, ii aikasara Y ψ( B) Y ψ (.3.3) o saioaarie odousarvoa a auokovariassifukioa γ ( h ) ψ ψ γ ( h k ). (.3.4) k Siiä erikoisapauksessa, eä {Y } o valkoise kohia prosessi WN(,σ ), k Y ( ) ψ ψ σ h γ h. (.3.5) Todisus. Samoi kui edellisessä huomauuksessa voidaa perusella, eä sara { } suppeee (haoa σ ilalla o γ () ). Koska E(Y ), a E ( ) h E( ) E ψ Y ψ E( Y ) E k ψ ψ Y h ψ k k ψ k k ( h Y k ) E Y Y k ψ ψ k γ Y ( h k), osa voidaa pääellä aikasara { } oleva saioaarie kovariassifukiolla (.3.4). (Se, eä odousarvo a summaukse äresysä voidaa vaihaa, perusuu oleuksee ψ <. ) Jos {Y } o valkoise kohia prosessi, γ Y (hk-) σ, ku k -h, a muue, misä seuraa (.3.5). Huomauus. Suoimia, oilla o iseisesi summauuva keroime, voidaa sovelaa peräkkäi saioaarisee aikasaraa a uloksea saadaa aia saioaarie aikasara. Loppuulokse kaala ei ole merkiysä sillä, missä äresyksessä suoimia sovelleaa. Jos suoimia α ( B) α B a β ( B) β B sovelleaa peräkkäi saraa {Y }, uloksea saadaa sara α ( B ) β( B) Y β( B) α( B) Y ψ( B) Y, missä ψ(b) α(b)β(b). Loppuuloksee pääsää siis myös sovelamalla saraa {Y } yhä suodia ψ(b), oka saadaa keromalla keskeää suoime α(b) a β(b), oka ova siiro-operaaori B poessisaroa.

22 Esim. MA(q)-prosessi. Esimerkki liukuva keskiarvo prosessisa o MA(q)-prosessi, oka voidaa määriellä yhälöllä Z θ Z - θ q Z -q, missä Z ~ WN(,σ ). Kaava (.3.5) erikoisapauksea saadaa MA(q)-prosessi kovariassifukio q σ γ ( h ) h θ θ, h, ku muue h q missä θ. Havaiaa, eä auokovariassifukio häviää, ku h > q. Tällaisa prosessia, oka auokovariassifukio, ku h >q, saoaa q-korreloiueeksi. Voidaa yleisesi osoiaa, eä q-korreloiuu saioaarie prosessi voidaa esiää MA(q)-prosessia (TSTM, Secio 3.). Esim. AR()-prosessi. Esisilmäyksellä AR()-prosessi ei äyä lieaarisela prosessila, sillä se määriellää saioaariseksi prosessiksi, oka oeuaa differessiyhälö - φ - Z, (.3.6) missä Z ~WN(,σ ). Prosessi voidaa kuieki esiää liukuva keskiarvo prosessia, ku φ <. Differessiyhälö (.3.6) voidaa esiää muodossa φ(b) Z, (.3.7) missä φ(b)-φb. Tarkasellaa seuraavaksi suodia ψ(b)/φ(b), oka voidaa geomerise sara summakaavaa käyäe esiää muodossa ψ( B) φb φb φ B... Suoimella o iseisesi summauuva keroime, sillä φ φ... ( φ ) < suodia ψ(b) yhälö (.3.7) molempii puolii saadaa ψ(b)z, eli Z φz - φ Z -,. Sovelamalla osa ähdää, eä { } o liukuva keskiarvo prosessi. Huomauus. Jokaie saioaarie aikasara voidaa esiää liukuva keskiarvo prosessi a deermiisise prosessi summaa. Prosessi o deermiisie, os prosessi havaio määräyyvä äysi edelävie havaioe avulla. Summaesiysä kusuaa Woldi haoelmaksi. O eriäi harviaisa, eä esim. aloudellisissa aikasaroissa esiiyisi deermiisie kompoei. Tällä kurssilla ei käsiellä eempää Woldi haoelmaa.

23 .4. Saioaarise aikasara odouasrvo a kovariassifukio esimoimie Saioaarise prosessi { } odousarvo momeiesimaaori o ooskeskiarvo Se o harhao, sillä E ( ) µ E (... ) /. Ooskeskiarvo keskieliövirhe o ( µ ) Var( i h ) ( i i i ) γ( i h γ( h). Cov( a h Keskieliövirheä voidaa esimoida lausekkeella γˆ( h) ha, os γˆ ( h ), ku h >a. Huomaa, eä γˆ ( h) ei ole luoeava γ(h): esimaaori, os h>/4, missä o aikasara havaioe lukumäärä. Keskieliövirhee lausekea voidaa käyää hyväksi, ku määrieää luoamusväli µ :lle. Jos { } o lieaarie ai ARMA-prosessi, ooskeskiarvo o likimai ormaalisi akauuu..96 Var( ),.96 Var( ). Tällöi 95% luoamusväli µ:lle o ( ) ) i, Oosauokovariassi- a oosauokorrelaaiomariisi ova ei-egaiivisesi defiiieä, samoi kui iide eoreeise vasiee (ks. odisus Brockwell s.58). Ise asiassa e ova posiiivisesi defiiieä, elleivä kaikki sara arvo ole yhä suuria. Lieaarise a eriyisesi ARMA-prosessie apauksessa oosauokorrelaaiokerroie vekori oudaaa likimai moiuloeisa ormaaliakaumaa: (ˆ(),..., ρ ρˆ( k))' ~ N(( ρ(),... ρ( k))', W ), missä mariisi W elemei saadaa Barlei kaavasa Esim. AR()-prosessi w i k { ρ( k i) ρ( k i) ρ( i) ρ( k) } { ρ( k ) ρ( k ) ρ( ) ρ( k) } φ - Z, {Z }~WN(,σ ), apauksessa, missä φ <, auokorrelaaiokerroi viiveellä h o ρ(h)φ h. Oosauokorrelaaiokeroime ρˆ ( i) variassi o w ii /, a voidaa ohaa, eä w ii (-φ i )(φ )(-φ ) - -iφ i. ) 3

24 Alla olevassa kuviossa o piirrey oosauokorrelaaiofukio, oka o saau simuloidusa havaio piuisesa AR()-prosessisa, ossa φ.7. Lisäksi o piirrey eoreeie auokorrelaaiofukio a oosauokorrelaaioille 95% odeäköisyysväli. Havaiaa, eä väli suurilla viiveillä o suurempi, kui IID-kohiaa vasaava odeäköisyysväli, oka myös o piirrey kuvioo. Havaiaa myös, eä oosauokorrelaaiofukio ikää kui "laiehii" eli peräkkäisillä arvoilla o posiiivisa auokorrelaaioa, vaikka eoreeie auokorrelaaiofukio väheee asaisesi. AR(p) -prosessie ideifioii eli viivepiuude p määriys oisuu parhaie osiaisauokorrelaaiofukio avulla, oka esiellää myöhemmi. ><- >phi<-.7 > u<-arma.sim(,ar.7) > x<-:4 > y<-phi^x > z<-(-phi^(*x))*(phi^)/(-phi^) -*x*phi^(*x) > acf(u,4) > lies(x,y,ly3) > lies(x,y.96*(z/)^.5,ly) > lies(x,y-.96*(z/)^.5,ly) Esim.. MA(q) -prosessi auokorrelaaiofukio. Kappaleessa.3 odeii, eä MA(q) -prosessi o q-korreloiuu, eli auokorrelaaiofukio ρ(h) häviää (eli o ), ku h >q. Tämä vuoksi MA(q) prosessia voidaa yriää ideifioida arkaselemalla se oosauokorrelaaiofukioa. Barlei kaava avulla o helppo osoiaa, eä q-korreloiuee prosessi apauksessa Var( ρ ˆ( i) ) [ρ () ρ (q)]/, ku i>q. Alla olevassa kuviossa o oosauokorrelaaiofukio aikasaralle, oka o saau simuloimalla MA()-prosessia Z -.6Z -.8Z -. Kuvioo o piirrey 95% odeäköisyysraa ±.96 -/ (ρ () ρ ()) /, sekä avaomaise raa ±.96 -/. Yleesä käyeää iukempia avaomaisia raoa, sillä korrelaaiokeroime ρ(i) eivä ole avallisesi ueua. Tässä apauksessa ρ()(θ θ θ )/(θ θ ) (-.6-.6*.8)/ (.36.64)-.54 a ρ()θ /(θ θ ).8/(.36.64).4 > u<-arma.sim(,mac(-.6,.8)) > r<-(-.6-.6*.8)/(.36.64) > r<-.8/(.36.64) > upper<-.96*sqr(*r^*r^)/ > lower<--upper > acf(u,4) > lies(c(3,4),c(upper,upper),ly3) > lies(c(3,4),c(lower,lower),ly3) 4

25 .5. Saioaarise aikasaroe eusamie Seuraavaksi ohdeaa lieaarie eusi saioaarise aikasara { } havaiolle h, ku käyeävissä o havio,,. Odousarvo µ a auokovariassifukio γ oleeaa ueuiksi. Merkiää keskieliövirhee mielessä opimaalisa eusia P h a a a -.a. Keroimie a i määriämiseksi miimoidaa lauseke E( h - a -a -a - -.-a ). Derivoimalla lauseke keroimie a i suhee a aseamalla derivaaa olliksi saadaa yhälö E( h - a -a -a - -.-a ) (.5.) E( h - a -a -a - -.-a ) -i, i,,, (.5.) Esimmäisesä yhälösä voidaa pääellä, eä eusevirhee odousarvo o eli opimaalie eusi o harhao. Yhälösä saadaa rakaisua Yhälö (.4.) voidaa kiroiaa muooo a µ(-a -a - -a ). Cov( h - a - a - a a, -i ), i,,, osa ähdää, eä eusevirhe o korreloimao seliävie muuuie, -,, kassa. Yhälö voidaa edellee esiää muodossa a γ(i-) a γ(i-) a γ(i-) γ(hi-), i,,, ai mariisimuodossa γ() γ() γ( ) γ() γ() γ( ) γ( ) a γ( h) γ( ) a γ( h ). γ() a γ( h ) Merkiää mariisiyhälö lyhyesi Γ a γ (h). (.5.3) Opimaalie eusi o siis P h µ ai i µ ) i missä keroime a i määräyyvä yhälö (.5.3) peruseella. (, 5

26 Koska kaava (.5.) peruseella eusevirhee odousarvo o, eusevirhee keskieliövirhe o ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ). ( ' () ' ) ( ' () ) ( ) ( () h h i a a i h a E a a a E a E P E i i i i i i i h i i i h i i i h h h γ γ Γ γ γ γ γ γ µ µ µ µ µ µ µ a a a a Viimeisessä välivaiheessa o käyey hyväksi kaavaa (.5.3)..6. Euseoperaaori P omiaisuuksia Lieaarisella eusimella P Y arkoieaa sauaismuuuie,, -,, lieaarikombiaaioa a a a, oka miimoi keskieliövirhee E(Y- a - a - -a ). Voidaa osoiaa, eä riiävä a välämäömä ehdo keroimille a, a,,a ova (vr. kaava (.5.) a (.5.)) E(Y- a -a -a - -.-a ) (.6.) E[(Y- a -a -a - -.-a ) -i ], i,,,. (.6.) Esimmäie eho merkisee siä, eä eusi o harhao a oie, eä eusevirhe o korreloimao eusavie muuuie kassa. Euseoperaaorilla P o seuraava omiaisuude, oka o hyvä uea: ) ( ) β β β β k k Y P Y P, (lieaarisuus) ) P m m, os m, 3) >. os,, os, m Y P m P Y Y P P m m 6

27 k Todisus: ) Osoieaa, eä lauseke β β P Y oeuaa ehdo (.5.), missä k Y β β Y. (Vasaavasi voidaa arkisaa eho (.5.)). Merkiää Y : opimaalisa eusia P Y a a a - a, olloi E(Y - a -a -a - - -a ) -i, i,,..,. Ny E E E k {[ Y ( β β P Y )] } i k k { ( β β Y ) [ ( a... )]} } a a β β i k [ β ( Y a a... a ) i ] k β E [( Y a a... a ) ], i,,...,. i ) Jos m, o ilmiselvää, eä P m m, sillä euseava muuua m sisälyy eusavii muuuii, -,,. 3) Merkiää P m Ya m a m m a mm a P Y a a a. Oleeaa aluksi, eä m. Tällöi P P m Y P (a m a m m a mm ) a m a m P m a mm P a m a m m a mm P m Y lieaarisuude a kohda ) peruseella. Ku m>, o siis odiseava, eä P Y oeuaa ehdo E(P m Y-P Y) a E(P m Y-P Y) -i. Esimmäie eho oeuuu, koska sekä P m Y eä P Y ova harhaomia eusimia Y:lle. Jälkimmäie eho oeuuu, koska E[(P m Y-P Y) -i ] E[(a m a m m a mm -a -a - -a ) -i ] E[(a m a m m a mm -Y) -i ] E[(Y- a -a - -a ) -i ]. 7

28 3. ARMA-malli 3.. ARMA(p,q)-prosessi Tähä meessä o käsiely auoregressiivisiä AR(p)- a liukuva keskiarvo MA(q)- mallea. O myös mahdollisa yhdisää ämä malli. Määriellää, eä { } o ARMA(p,q)-prosessi, os { } o saioaarie a kaikkia aahekiä -φ - - -φ p -p Z θ Z - θ q Z -q, (3..) missä Z ~ WN(,σ ). Yksikeraisuude vuoksi oleeaa lisäksi, eei polyomeilla (-φ z- -φ p z p ) a (θ z θ q z q ) ei ole yheisiä ekiöiä. Voidaa osoiaa eä yhälöllä (3..) o yksikäsieie saioaarie rakaisu, os kompleksiasossa määriellyllä polyomilla -φ z- -φ p z p ei ole ollakohia yksikköympyrällä {z C: z }. Yleesä kuieki raoiuaa kausaalisii a iveroiuvii ARMA-prosesseihi, sillä ämä prosessi riiävä saioaarise ARMA-prosessie kovariassirakeee malliamisee. Saoaa, eä ARMA-prosessi { } o kausaalie, os se voidaa esiää ääreömää liukuva keskiarvo prosessia Z ψ Z - ψ Z -, missä {Z } ~ WN(,σ ) a ψ <. Eho o yhäpiävä se kassa, eä polyomilla -φ z- -φ p z p ei ole ollakohia kompleksiaso yksikkökiekossa {z C: z }. Vasaavasi ARMA-prosessi { } saoaa oleva iveroiuva, os se voidaa esiää ääreömää auoregressiiviseä prosessia Z π - π -, missä {Z } ~ WN(,σ ) a π <. Eho o yhäpiävä se kassa, eei polyomilla θ z- θ q z q ole ollakohia yksikkökiekossa{ z C: z }. (Yhäpiävä ehdo ova seurausa poessisaroe perusomiaisuuksisa, vr. TSTM, Secio 3..) 8

29 Esim.. Tarkasellaa ARMA-mallia (-.58B-.8B -.8B 3 ) (-.48B-7.9B 8.5B 3 4.4B 4.5B 5 )Z Alla olevii kuvioihi o piirrey polyomie φ(z) -.58z-.8z -.8z 3 a θ(z) -.48z- 7.9z 8.5z 3 4.4z 4.5z 5 ollakohda kompleksiasossa. Koska polyomi φ(z) ollakohda ova yksikköympyrä ulkopuolella, prosessi o kausaalie. Koska osa polyomi θ(z) ollakohdisa o yksikköympyrä sisäpuolella, prosessi ei ole iveroiuva. Oikeapuoleie kuvio o piirrey käyäe R-käskyä plo(polyroo(c(,-.48,-7.9,8.5,4.4,.5)),xlimc(-,),ylimc(-,)) lies(exp(i*seq(-pi,pi,le))) Fukiolla polyroo saadaa fukio uure. Fukiolla abs saaaisii suoraa selville uure iseisarvo, esim. abs(polyroo(c(,-.48,-7.9,8.5,4.4,.5))) aaa ulokse [] osa ähdää eä kolme uura o yksikköympyrä sisäpuolella a kaksi iukasi ulkopuolella. 9

30 3.. ARMA-prosessi muuamie liukuva keskiarvo prosessiksi Oleeaa, eä ARMA-prosessi (-φ B- -φ p B p ) (θ B θ q B q )Z, (3..) missä Z ~ WN(,σ ), o kausaalie. Tällöi se voidaa esiää liukuva keskiarvo prosessia (ψ Bψ B )Z. (3..) Sioiamalla : lauseke (3..) yhälöö (3..) saadaa yhälö (-φ B- -φ p B p ) (ψ Bψ B )Z (θ B θ q B q )Z, oka avulla voidaa rakaisa uemaoma keroime. Merkisemällä eri B: poessea vasaava keroime yhä suuriksi saadaa yhälö θ ψ -φ θ ψ -ψ φ -φ θ 3 ψ 3 -ψ φ -ψ φ -φ 3 e. Esim.. Tarkasellaa ARMA-prosessia (-.8B.B ) (-.3B)Z. Polyomilla φ(z)-.8z.z o ollakohda ±i, oka siaiseva yksikkö ARMA-prosessi o siis kausaalie a voidaa esiää liukuva keskiarvo prosessia (3..). Tuemaoma keroime ψ voidaa rakaisa yhälö (-.8B.B ) (ψ Bψ B ) -.3B peruseella. Saamme eri B: poessie keroimiksi osa saadaa rakaisua Prosessi voidaa siis esiää saraa B: ψ B : ψ -.8ψ. B 3 : ψ 3 -.8ψ.ψ e. ψ ψ -..8ψ ψ 3.8ψ -.ψ e. Z.5Z -.Z -.6Z -3 3

31 3.3. ARMA-prosessi auokovariassifukio määriämie Yksi apa määriää ARMA-prosessi auokovariassifukio o keroa yhälö -φ - - -φ p -p Z θ Z - θ q Z -q puoliai sauaismuuualla -k a oaa odousarvo puoliai. Koska -k o riippumao Z -h : kassa, ku h<k, saadaa E ( -k )- φ E( -k - )- -φ p E( -k -p ) θ k E( -k Z -k ) θ q E( -k Z -q ), (3.3.) ku k q. (Merkiää, eä θ ). Käyämällä hyväksi esiysmuooa yhälö 3.3. saadaa muooo -k Z -k ψ Z -k- ψ Z -k- γ(k)- φ γ(k-)- -φ p γ(k-p) (θ k θ k ψ θ k ψ θ q ψ q-k )σ. (3.3.) Ku k>q, o voimassa yhälö γ(k)- φ γ(k-)- -φ p γ(k-p). (3.3.3) Käyämällä p esimmäisä yhälöä yhälöisä (3.3.) a (3.3.3) voidaa rakaisa auokovariassi γ(), γ(), γ(), γ(p). Tämä älkee rekursiivisesi voidaa rakaisa lopu auokovariassi yhälösä (3.3.3). Esim (akoa). Jakeaa kappalee 3. esimerki käsielyä, ossa arkaselii prosessia olla oli esiysmuoo Z -.3Z -, Z.5Z -.Z -.6Z -3 Auokovariassi γ(), γ() a γ() voidaa rakaisa lieaarisesa yhälöryhmäsä γ()-.8 γ().γ() (-.3.5)σ. γ()-.8 γ().γ() -.3 σ. γ()-.8 γ().γ(). Lopu auokovariassi voidaa rakaisa rekursiivisesi yhälö γ(k)-.8 γ(k-).γ(k-) avulla. Yleie rakaisu voiaisii määriää käyämällä hyväksi differessiyhälöide rakaisukaavoa, mua iihi ei puuua ässä. 3

32 3.4. Osiaisauokorrelaaiofukio Saioaarise aikasara { } osiaisauokorrelaaiofukio α(h) määriellää yhälöillä a α() α(h) φ hh, h, missä φ hh o vekori φh Γh γ h viimeie kompoei, Γ [ ] h h γ( i ) i, a γ h [ γ( ), γ(),..., γ( h) ]'. Vasavasi havaioille {x,x,,x } voidaa määriellä oososiaisauokorrelaaiofukio yhälöillä αˆ () a αˆ (h) φˆ hh, h, missä φˆ hh o vekori φˆ h Γˆ h γˆ h viimeie kompoei. Esim.. AR(p)-prosessi osiaisauokorrelaaiofukio. Kausaalie AR(p)-prosessi määriellää yhälöllä -φ - -.-φ p -p Z, missä {Z }~WN(,σ ) a Cov( s,z ), ku s<. Paras lieaarie eusi havaiolle h havaioe,, h avulla o ˆ, h φ h φ h φ p h p (odisus haroiusehävä). Toisaala havaioe h, h-,, keroime a, a,, a h saadaa yhälösä γ h Γha h, vr. kaava (.4.3). Ny siis a i φ i, ku i p, a a i, ku i>p. Nähdää siis, eä α(p) a p φ p a α(h)a h, ku h>p. Siis AR(p)-prosessi apauksessa osiaiskorrelaaiokerroi viiveellä h o olla, ku h>p. Voisi odoaa eä oososiaisauokorrelaaiokerroi olisi likimai olla, ku h>p. Voidaaki osoiaa, eä AR(p)-prosessi apauksessa osiaisauokorrelaaio αˆ (h) ova likimai riippumaomia a N(,/)-akauueia, ku h>p a o havaioe lukumäärä (ks. TSTM, Secio 8.). Jos siis viiveesä p lähie oososiaisauokorrelaaio aseuu raoe ±.96/ sisäpuolelle, voidaa alusavasi ehdoaa AR(p)-mallia. Huomauus. Osiaisauokorrelaaio voidaa määriellä myös korrelaaioa α(h) Corr( h -P( h, 3,.., h ), -P(, h )), missä P( s, 3,.., h ) arkoiaa havaio s parasa lieaarisa eusia havaioe, 3,.., h avulla. Määrielmä o yhäpiävä aiemmi aeu määrielmä kassa (vr. TSTM, p.7). Iuiiivisesi voidaa aaella, eä laskeaessa osiaisauokorrelaaio o havaioe a h korrelaaiosa poiseu välissä olevie havaioe,, h vaikuus. 3

33 3.5. ARMA-prosessie aksollisuus Reaalilukuvekorille x (x, x,,x - )' voidaa määriellä diskreei Fourier-muuos a(a,a,..,a - )', missä a k x e iωk x [ cos( ω ) i si( ω ) ] k k a luvu ω k πk/ ova Fourieri aauuksia. Keroime a k ova kompleksilukua. Ku ueaa Fourier-muuos, alkuperäie lukuoo x voidaa palauaa kaavalla x k a e iωk k k a k [ cos( ω ) isi( ω ) ] k k. Jokaie : piuie lukuoo x voidaa siis esiää ω k -aauuksise siiaaloe lieaarikombiaaioa. Fourieri keroime a k iseisarvo a k keroo vasaava siiaallo ampliudi eli heilaheluväli. Fourieri aauus ω -k π-πk/ vasaa egaiivisa aauua -ω k a o helppo osoiaa, eä a a, missä viiva yläpuolella arkoiaa liiolukua. Siksi a -k a k. Fourieri k k kerroi a o reaaliluku a o lukuoo x keskiarvo kerroua vakiolla. Alla o piirrey aikasara suspo.year sekä erilaisia approksimaaioia käyäe ampliudilaa suurimpia siiaaloa. > f<-ff(suspo.year) > f<-rep(,89) > f[order(mod(f))[87:89]]<-f[order(mod(f))[87:89]] > appr<-re(ff(f,ivt)/89) > f[order(mod(f))[85:89]]<-f[order(mod(f))[85:89]] > appr<-re(ff(f,ivt)/89) > f[order(mod(f))[83:89]]<-f[order(mod(f))[83:89]] > appr3<-re(ff(f,ivt)/89) 33

34 Koska R-fukio ff ei suoria vakiolla / keromisa, äyyy kääeismuuosa muodoseaessa akaa luvulla 89. Keroime a älkee suuri iseisarvo o keroimella a 6, oka vasaa aauua ω 6 π(6/89). Tää aauua vasaa akso π/ω 6.538, oka o lähiä aurigopilkkue ueua aksoa. Aikasaroa aalysoiaessa käyeää yleisesi periodogrammia, oka o aksollie reaaliluvuille määriely fukio iλ ( ) I λ xe. Ku λω k, missä ω k o yksi Fourieri aauuksisa, ii I (ω k ) a k. Periodogrammi voidaa siis laskea Fourieri muuoksella. Yleesä periodogrammi piirreää välille [,π], sillä periodogrammi akso o π a I (λ) I (-λ). Periodogrammi ilmaisee aikasara x variassi akauumise eri aauuskompoeeihi, sillä γˆ() I( ωk ). Keskiarvo eliö oeuaa k yhälö x I(). Yleesä periodogrammia asoieaa peräkkäisillä liukuva keskiarvo suoimilla, oa akauma ulisi paremmi äkyvii. Tasoiusa arviaa, sillä raakaperiodogrammi ei lähesy eoreeisa spekriiheysfukioa, vaikka ooskoko (ks. Brockwell, s.). Miä useampia ermeä liukuvii keskiarvoihi oeaa, siä pieempi o periodogrammi variassi a siä asaisempi kuvio. Kuieki suoime piuude kasvaamie lisää periodogrammi harhaa. Alla o piirrey aurigopilkkuaieiso periodogrammi sekä periodogrammi, oa o asoieu 5 a 7 ermi liukuvilla keskiarvoilla. Huomaa, eä R skaalaa periodogrammi välille [,.5] väli [,π] siasa. Oikeapuoleise periodogrammi o piirrey käyäe aseikkoa aksoa aauude siasa. Periodogrammeissa o huippu aauudella /, oka vasaa aksoa. > a<-specrum(suspo.year) 34

35 > a$freq<-/a$freq > plo(a,xlab"period",xlimc(,)) a<-specrum(suspo.year,spasc(5,7)) > a$freq<-/a$freq > plo(a,xlab"period") Koska aikasara aksollisuus äkyy myös auokorrelaaiofukiosa, ei liee ylläävää, eä ihωk periodogrammi voidaa laskea oosauokovariassifukiosa: I ( ω k ) γˆ( h) e. Saioaarisille a ollakeskiselle prosesseille { } määriellää spekriiheysfukio kaavalla (, ihλ f λ) e γ( h) π h h < ku auokovariassifukio γ(h) oeuaa ehdo h γ( h ) <. Voidaa osoiaa (Brockwell,s.3), eä ARMA(p,q)-prosessi { }, oka oeuaa differessiyhälö φ(b) θ (B)Z, spekriiheysfukio o iλ σ θ( e ) f ( λ). π iλ φ( e ) Alla olevissa kuvioissa o piirrey AR() a MA() -prosessie spekriiheysfukioia..5 - Z Z.5Z - Z -.5Z - Z 35

36 Havaiaa, eä AR()-prosessi apauksessa aauusakauma o keskiyy pieemmälle alueelle. Ku φ ai θ o egaiivie, speriiheysfukiossa o huippu aauudella π, oka vasaa aksoa. Alla o piirrey AR()-fukio spekreä eri apauksissa. Esimmäisessä apauksessa, ku polyomilla o kaksi kompleksiuura, spekrillä o huippu aauudella π/4. AR-prosessissa siis esiiyy periodisa vaihelua, oka akso o 8 (π/(π/4)). Huomaa kuieki, eä ARMAprosessie apauksessa ei ole kyse aidosa aksollisuudesa, sillä "aalloissa" apahuu vaihesiirymää. B B Z i i ( B )( B) Z 3 ( B )( B) Z ( B )( B) Z Periodogrammi voidaa asoiaa myös ii, eä esimoidaa sopiva AR-malli a piirreää siä vasaava spekriiheysfukio. Loppuulos voi olla kuieki harhaaohava, os malli o ideifioiu vääri. Alhaalla o piirrey suspo.year-saralle periodogrammi ällä meeelmällä. > a<-specrum(suspo.year,mehod"ar") > a$freq<-/a$freq > plo(a,xlimc(,),xlab"period") 36

37 4. Malliamie a eusamie ARMA-prosesseilla 4.. Alusava esimoii Yule-Walker -yhälöillä Yleesä parhaaa esimoiimeeelmää pideää suurimma uskoavuude esimoiia, sillä suurimma uskoavuude esimaaeilla o hyvä suure ookse omiaisuude. Lisäksi moissa erikoisapauksissa voidaa osoiaa, eä SU-esimaaorilla o muihi esimaaoreihi verraua piei keskieliövirhe, vaikka se ei yleesä olekaa harhao. Aikasaramallie apauksessa SUesimoii o umeerisesi raskas oimepide, oe alusavissa arkaseluissa käyeää usei muia esimoiimeeelmiä. Johdeaa seuraavaksi s. Yule-Walker -yhälö AR(p)-malli paramerie esimoimiseksi. Kerroaa ollakeskise a kausaalise AR(p)-prosessi { } määrielevä yhälö φ - φ - φ p -p Z puoliai viiväseyllä havaiolla -k a oeaa odousarvo puoliai, olloi saadaa yhälö γ() φ γ() φ γ() φ p γ(p) σ γ(k) φ γ(k-) φ γ(k-) φ p γ(k-p), k,,,p. Yhälö voidaa esiää mariisimuodossa a Γ p φ γ p (4..) σ γ()-φ' γ p, (4..) missä Γ p o kovariassimariisi Γ [ ] p p γ( i ) i, a γ p ( γ(),..., γ( p))'. Korvaamalla uemaoma kovariassi ookse peruseella esimoiduilla saadaa Yule-Walker -esimaaori a ˆ φ Γ ˆ γ ˆ p p ˆ σ γˆ() φˆ' ˆ γ p (4..3) (4..4) paramereille φ a σ. (Mariisi Γˆ p o kääyvä, ku γ ˆ () > ; ks. Brockwell, Davis, Secio.4..). Voidaa osoiaa, eä saau rakaisu o kausaalie (ks. TSTM, Problem 8.3). Veraamalla rakaisua oososiaisauokorrelaaiokeroime määrielevää kaavaa kappaleessa 3.4. havaiaa, eä αˆ ( p) φˆ p, missä φˆ p o parameri φ p esimaaori, ku esimoidaa AR(p)-malli Yule- Walker-yhälöillä. Yule-Walker -esimoii perusuu momeimeeelmää, ossa eoreeise a esimoidu momei aseeaa yhä suuriksi. Yleesä momeiesimaaoreilla o palo suurempi variassi kui vasaavilla SU-esimaaoreilla. Kuieki voidaa osoiaa, eä suure ookse apauksessa Yule- 37

38 Walker esimaaorilla φˆ o sama akauma kui SU-esimaaorilla. Voidaa osoiaa, eä suure ookse apauksessa likimai ˆ ~ N ( φ, σ Γ p / ) φ. Yule-Walker -rakaisu voidaa esiää myös kaavoilla a φ ˆ p σ ˆ Rˆ ρˆ p γ ˆ() [ ρ R ˆ ˆ ρ ˆ p ' ] p p (4..5), (4..6) missä R ˆ p Γˆ p / γˆ( ) o oosauokorrelaaiomariisi a ρˆ ˆ p (ˆ(),..., ρ ρˆ( p ))' γ p / γˆ( ). Lisäksi keskisey aikasara { } oosauokovariassimariisi voidaa esiää mariisilausekkeea Γ ˆ ' (4..7) p / a esimaaori φˆ muodossa ˆ φ ( ' ) ' y, (4..8) missä x x x3 x x x x x ( p) p a x x3 y x. Yule-Walker -rakaisu siis vasaa ieylaise regressiomalli esimoiia. Rakaisu riippuu aioasaa korrelaaioisa a kovariasseisa, oihi aikasara keskiarvolla ei ole siihe vaikuusa. Aikasara voidaa aia keskisää väheämällä siiä keskiarvo. Lausekkeesa (4..7) voidaa havaia, eä oosauokovariassimariisi o aia ei-egaiivisesi defiiii. 4.. Alusava esimoii Haa-Rissae -algorimilla Haa-Rissae -algorimia voidaa käyää alusavaa ARMA(p,q)-prosessi esimoiii. Algorimi idea o siiä, eä iveroiuva ARMA-prosessi voidaa esiää ääreömää auoregressiiviseä prosessia Z π - π -, Z ~ WN(,σ ) Esimoidaa AR(m) - malli, missä m o suurehko luku (m > max(p,q)) a oleeaa, eä keroime π eivä ole merkiäviä, ku >m. Luku m voidaa valia ii, eä se miimoi Akaike iformaaiokrieeri. R-ohelma fukio "ar" ekee ämä auomaaisesi. Esimoiisa äävää residuaalisaraa Z ˆ } voidaa sie käyää valkoise kohia {Z } esimaaia. { Tämä älkee esimoidaa ARMA(p,q)-malli parameri regressiomalli 38

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista Rahoiusriski ja johdannaise Mai Esola lueno Sokasisisa prosesseisa . Markov ominaisuus Markov -prosessi on sokasinen prosessi, missä ainoasaan muuujan viimeinen havaino on relevani muuujan seuraavaa arvoa

Lisätiedot

Tietoliikennesignaalit

Tietoliikennesignaalit ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime

Lisätiedot

Rakennusosien rakennusfysikaalinen toiminta Ralf Lindberg Professori, Tampereen teknillinen yliopisto ralf.lindberg@tut.fi

Rakennusosien rakennusfysikaalinen toiminta Ralf Lindberg Professori, Tampereen teknillinen yliopisto ralf.lindberg@tut.fi Rakennusosien rakennusfysikaalinen oimina Ralf Lindber Professori, Tampereen eknillinen yliopiso ralf.lindber@u.fi Rakenneosien rakennusfysikaalisen oiminnan ymmärämiseksi on välämäönä piirää kolme eri

Lisätiedot

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto

Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto Kojemeeorologia Sami Haapaala syksy 03 Fysiika laios, Ilmakehäieeide osaso Mialaieide dyaamise omiaisuude Dyaamise uusluvu määriävä mie mialaie käyäyyy syöeide muuuessa Apua käyeää differeiaaliyhälöiä,

Lisätiedot

3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA

3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA S I G N A A L I T E O R I A, O S A I I I TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 44 3 Signaalin suodaus...44 3. Sysmin vas aikaasossa... 44 3. Kausaalisuus a sabiilisuus... 46 3.3 Vas aauusasossa... 46 3.4 Ampliudivas

Lisätiedot

Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihtelu Suomessa vuosina 1776 2005

Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihtelu Suomessa vuosina 1776 2005 Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihelu Suomessa vuosina 1776 2005 Heli Elina Haapalainen (157 095) 26.11.2007 Joensuun Yliopiso Maemaais- luonnonieeiden iedekuna Tieojenkäsielyieeen

Lisätiedot

6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia

6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia 6.4 Variaaiolaskennan oleusen rajoiukse Sivu ss. 27 31 läheien Kirk, ss. 13 143] ja KS, Ch. 5] pohjala Lähökoha oli: jos J:llä on eksremaali (), niin J:n variaaio δj( (), δ()) ():ä pikin on nolla. 1. Välämäön

Lisätiedot

Juuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV.

Juuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV. Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 Keraus K. A: III, B: I, C: II ja IV Kuvaaja: I II III IV Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. a) lim ( ) Nimiäjä ( ) o aia

Lisätiedot

Luento 9. Epälineaarisuus

Luento 9. Epälineaarisuus Lueno 9 Epälineaarisuus 9..7 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!

Lisätiedot

1 Excel-sovelluksen ohje

1 Excel-sovelluksen ohje 1 (11) 1 Excel-sovelluksen ohje Seuraavassa kuvaaan jakeluverkonhalijan kohuullisen konrolloiavien operaiivisen kusannusen (SKOPEX 1 ) arvioimiseen arkoieun Excel-sovelluksen oimina, mukaan lukien sovelluksen

Lisätiedot

Tuotannon suhdannekuvaajan menetelmäkuvaus

Tuotannon suhdannekuvaajan menetelmäkuvaus 1(15) Tuoannon suhdannekuvaajan meneelmäkuvaus Luku 1 Luku 2 Luku 3 Luku 4 Tuoannon suhdannekuvaajan yleiskuvaus Tuoannon suhdannekuvaajan julkaisuaikaaulu, revisoinikäyännö ja jakelu Tuoannon suhdannekuvaajan

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

Vuoden 2004 alkoholiverotuksen muutoksen kulutusvaikutuksen ennustaminen. Linden, Mikael. ISBN 952-458-441-7 ISSN 1458-686X no 13

Vuoden 2004 alkoholiverotuksen muutoksen kulutusvaikutuksen ennustaminen. Linden, Mikael. ISBN 952-458-441-7 ISSN 1458-686X no 13 Vuoden 004 alkoholiverouksen muuoksen kuluusvaikuuksen ennusaminen Linden, Mikael ISBN 95-458-441-7 ISSN 1458-686X no 13 VUODEN 004 ALKOHOLIVEROTUKSEN MUUTOKSEN KULUTUSVAIKUTUKSEN ENNUSTAMINEN Mika Linden

Lisätiedot

Suomen kalamarkkinoiden analyysi yhteisintegraatiomenetelmällä

Suomen kalamarkkinoiden analyysi yhteisintegraatiomenetelmällä KALA- JA RIISTARAPORTTEJA nro 374 Jukka Laiinen Jari Seälä Kaija Saarni Suomen kalamarkkinoiden analyysi yheisinegraaiomeneelmällä Helsinki 006 Julkaisija Riisa- ja kalaalouden ukimuslaios KUVAILULEHTI

Lisätiedot

4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄ- RÄHTELY

4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄ- RÄHTELY Väähelyekaiikka 4. 4 YHDEN VAPAUSASTEEN HARMONINEN PAKKOVÄ- RÄHTELY 4. Johdao Mekaaise syseei ulkoisisa kuoiuksisa aiheuuvaa väähelyä saoaa akkoväähelyksi. Jos syseeissä o vaieusa, o kyseessä vaieeva akkoväähely,

Lisätiedot

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN KULMMODULOITUJEN SIGNLIEN SPEKTRIN LSKEMINEN 1 (3) (3) Spekri laskeie siisaoalle Kulaoduloidu sigaali spekri johaie o yöläsä epälieaarisuudesa johue (epälieaarise aalyysi ova yleesä hakalia). Se voidaa

Lisätiedot

Ene-59.4130, Kuivatus- ja haihdutusprosessit teollisuudessa, Laskuharjoitus 5, syksy 2015

Ene-59.4130, Kuivatus- ja haihdutusprosessit teollisuudessa, Laskuharjoitus 5, syksy 2015 Ene-59.4130, Kuivaus- ja haihduusprosessi eollisuudessa, asuharjoius 5, sysy 2015 Tehävä 4 on ähiehävä Tehävä 1. eijuerrosilassa poleaan rinnain uora ja urvea. Kuoren oseus on 54% ja uiva-aineen ehollinen

Lisätiedot

Työ 2: 1) Sähkönkulutuksen ennustaminen SARIMAX-mallin avulla 2) Sähkön hankinnan optimointi

Työ 2: 1) Sähkönkulutuksen ennustaminen SARIMAX-mallin avulla 2) Sähkön hankinnan optimointi Ma-2.3132 Syseemianalyysilaboraorio I Työ 2: 1) Sähkönkuluuksen ennusaminen SARIMAX-mallin avulla 2) Sähkön hankinnan opimoini 1 yö 2 Aikasarjamalli erään yriyksen sähkönkuluukselle SARIMAX-malli: kausivaihelu,

Lisätiedot

Lineaaristen järjestelmien teoriaa II

Lineaaristen järjestelmien teoriaa II Lieaarise järjeselmie eoriaa II Ohjaavuus Tarkkailavuus havaiavuus Lisää sabiilisuudesa Tilaesimoii, Kalma-suodi TKK/Syseemiaalyysi laboraorio Mielekiioisia kysymyksiä Oko syseemi rakeeelaa sellaie, eä

Lisätiedot

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II

MS-A0502 Todennäköisyyslaskennan ja tilastotieteen peruskurssi Luennot, osa II Otokset MS-A050 Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Lueot, osa II Kaksi hyödyllista jakaumaa 3 Estimoiti G. Gripeberg 4 Luottamusvälit Aalto-yliopisto. helmikuuta 05 5 Hypoteesie testaus 6

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

Monisilmukkainen vaihtovirtapiiri

Monisilmukkainen vaihtovirtapiiri Monisilmukkainen vaihovirapiiri Oeaan arkaselun koheeksi RLC-vaihovirapiiri jossa on käämejä, vasuksia ja kondensaaoreia. Kykenä Tarkasellaan virapiiriä, jossa yksinkeraiseen RLC-piiriin on kodensaaorin

Lisätiedot

MÄNTTÄ-VILPPULAN KAUPUNKI. Mustalahden asemakaava Liikenneselvitys. Työ: E23641. Tampere 18.5.2010

MÄNTTÄ-VILPPULAN KAUPUNKI. Mustalahden asemakaava Liikenneselvitys. Työ: E23641. Tampere 18.5.2010 MÄNÄ-VLPPULAN KAUPUNK Musalahden asemakaava Liikenneselviys yö: E ampere 8..00 ARX Ympärisö Oy PL 0 ampere Puhelin 00 000 elefax 00 00 www.airix.fi oimiso: urku, ampere, Espoo ja Oulu Mänä-Vilppulan kaupunki,

Lisätiedot

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus:

n = 100 x = 0.6 99%:n luottamusväli µ:lle Vastaus: 1. Tietyllä koeella valmistettavie tiivisterekaide halkaisija keskihajoa tiedetää oleva 0.04 tuumaa. Kyseisellä koeella valmistettuje 100 rekaa halkaisijoide keskiarvo oli 0.60 tuumaa. Määrää 95%: ja 99%:

Lisätiedot

PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd

PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Communiy Ld Yriyksen arvonmääriys 1. Yriyksen ase- eli subsanssiarvo Arvioidaan yriyksen aseen vasaavaa puolella olevan omaisuuden käypäarvo, josa

Lisätiedot

7.1. Suurimman uskottavuuden estimointimenetelmä: Johdanto

7.1. Suurimman uskottavuuden estimointimenetelmä: Johdanto Ma-1.361 Tilasollie pääely 7. Suurimma uskoavuude meeelmä ja asympooie eoria Tilasollie pääely 7. Suurimma uskoavuude meeelmä ja asympooie eoria 7.1. Suurimma uskoavuude esimoiimeeelmä: Johdao Aikasarja,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi ARMA-mallit

Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi ARMA-mallit Ilkka Mellin Aikasarja-analyysi ARMA-mallit TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 ARMA-mallit >> ARMA-mallit ja niiden ominaisuudet ARMA-mallien auto- ja osittaisautokorrelaatiofunktiot ARMA-mallien spektri ARMA-mallien

Lisätiedot

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus tilastotieteeseen Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus tilastotieteesee Yhde selittää lieaarie regressiomalli TKK (c) Ilkka Melli (2005) Yhde selittää lieaarie regressiomalli Yhde selittää lieaarie regressiomalli a sitä koskevat oletukset Yhde selittää

Lisätiedot

Rak-54.116 Rakenteiden mekaniikka C, RM C (4 ov) Tentti 30.8.2007

Rak-54.116 Rakenteiden mekaniikka C, RM C (4 ov) Tentti 30.8.2007 Rak-54.116 Rakeneden mekankka, RM (4 ov) Ten.8.7 Krjoa jokaeen koepapern elvä - koko nme, puhuelunm allevvauna - oao, vuokur, enn pävämäärä ekä enävä opnojako koodeneen - opkeljanumero, mukaan luken arkukrjan

Lisätiedot

2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t

2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t Tilasollinen ennusaminen Seppo Pynnönen Tilasoieeen professori, Meneelmäieeiden laios, Vaasan yliopiso. Tausaa Tulevaisuuden ennusaminen on ehkä yksi luoneenomaisimpia piireiä ihmiselle. On ilmeisesi aina

Lisätiedot

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa

Lisätiedot

Luento 6 Luotettavuus ja vikaantumisprosessit

Luento 6 Luotettavuus ja vikaantumisprosessit Tkll korkakoulu ysmaalyys laboraoro Luo 6 Luoavuus a vkaaumsrosss Ah alo ysmaalyys laboraoro Tkll korkakoulu PL 00, 005 TKK Tkll korkakoulu ysmaalyys laboraoro Määrlmä Tarkaslava ykskö luoavuus o s odäkösyys,

Lisätiedot

MAT-02450 Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014

MAT-02450 Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014 MAT-45 Fourier n meneelmä Merja Laaksonen, TTY 4..4 Sisälö Johano 3. Peruskäsieiä................................... 4.. Parillinen ja parion funkio....................... 7.. Heavisien funkio............................

Lisätiedot

6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA

6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINETIIKKA Dyamiia 6. 6 JÄYKÄN KAPPALEEN TASKINETIIKKA 6. Yleisä Jäyä appalee ieiiassa arasellaa appaleesee aiuaie uloise oimie ja seurausea olea liiee (raslaaio ja roaaio) älisiä yheysiä. Voimie äsielyssä ariaa

Lisätiedot

Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä

Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä Dynaaminen opimoini ja ehdollisen vaaeiden meneelmä Meneelmien keskinäinen yheys S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 10 - Peni Säynäjoki Opimoiniopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Meneelmien yhäläisyyksiä

Lisätiedot

x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja.

x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja. Digiaalinen videonkäsiel Harjoius, vasaukse ehäviin 4-0 Tehävä 4. Emämariisi a: V A 0 V B 0 Hila saadaan kanavekorien (=emämariisin sarakkee) avulla. Kunkin piseen paikka hilassa on kokonaisluvulla kerroujen

Lisätiedot

Hoivapalvelut ja eläkemenot vuoteen 2050

Hoivapalvelut ja eläkemenot vuoteen 2050 VATT-TUTKIMUKSIA 94 VATT-RESEARCH REPORTS Pekka Parkkinen Hoivapalvelu ja eläkemeno vuoeen 25 Valion aloudellinen ukimuskeskus Governmen Insiue for Economic Research Helsinki 22 ISBN 951-561-425-2 ISSN

Lisätiedot

STOKASTISET PROSESSIT

STOKASTISET PROSESSIT TEORIA STOKASTISET PROSESSIT Satunnaisuutta sisältävän tapahtumasarjan kulkua koskevaa havaintosarjaa sanotaan aikasarjaksi. Sana korostaa empiirisen, kokeellisesti havaitun tiedon luonnetta. Aikasarjan

Lisätiedot

b) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y)

b) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y) Maemaiikan ja ilasoieeen osaso/hy Differeniaaliyhälö II Laskuharjoius 1 malli Kevä 19 Tehävä 1. Ovako seuraava funkio Lipschiz-jakuvia reaaliakselilla: a) f(x) = x 1/3, b) f(x) = x, c) f(x) = x? a) Ei

Lisätiedot

Finanssipolitiikan tehokkuudesta Yleisen tasapainon tarkasteluja Aino-mallilla

Finanssipolitiikan tehokkuudesta Yleisen tasapainon tarkasteluja Aino-mallilla BoF Online 3 29 Finanssipoliiikan ehokkuudesa Yleisen asapainon arkaseluja Aino-mallilla Juha Kilponen Tässä julkaisussa esiey mielipiee ova kirjoiajan omia eiväkä välämää edusa Suomen Pankin kanaa. Suomen

Lisätiedot

4.3 Signaalin autokorrelaatio

4.3 Signaalin autokorrelaatio 5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.

Lisätiedot

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta Miausekniikan perusee, piirianalyysin kerausa. Ohmin laki: =, ai = Z ( = ännie, = resisanssi, Z = impedanssi, = vira). Kompleksiluvu Kompleksilukua arviaan elekroniikassa analysoiaessa piireä, oka sisälävä

Lisätiedot

2. Tutki toteuttaako seuraava vapaassa tilassa oleva kenttä Maxwellin yhtälöt:

2. Tutki toteuttaako seuraava vapaassa tilassa oleva kenttä Maxwellin yhtälöt: 84 RDIOTKNIIKN PRUSTT aois. Las a gadini f, n f,, b divgnssi, n c oooi, n on n b- ohdassa.. Ti oaao saava vapaassa ilassa olva nä Mawllin hälö:.. Oloon vapaassa ilassa sähönä oplsivoina sinä. Määiä a aallon

Lisätiedot

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi. / Raaisu Aihee: Avaisaa: Momeiemäfuio Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma Kovergessiäsiee ja raja-arvolausee Biomijaauma, Espoeijaauma, Geomerie jaauma, Jaaumaovergessi, Jauva asaie jaauma, Kolmiojaauma,

Lisätiedot

KOMISSION KERTOMUS. Suomi. Perussopimuksen 126 artiklan 3 kohdan nojalla laadittu kertomus

KOMISSION KERTOMUS. Suomi. Perussopimuksen 126 artiklan 3 kohdan nojalla laadittu kertomus EUROOPAN KOMISSIO Bryssel 27.2.205 COM(205) 4 final KOMISSION KERTOMUS Suomi Perussopimuksen 26 ariklan 3 kohdan nojalla laadiu keromus FI FI KOMISSION KERTOMUS Suomi Perussopimuksen 26 ariklan 3 kohdan

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

2.4.2012. Ennen opiskelua OHJAUSTOIMINTA TALOTEKNIIKAN KOULUTUSOHJELMASSA

2.4.2012. Ennen opiskelua OHJAUSTOIMINTA TALOTEKNIIKAN KOULUTUSOHJELMASSA OHJAUSTOIMINTA TALOTEKNIIKAN KOULUTUSOHJELMASSA Mikkelin ammaikorkeakoulun pedagogisen sraegian mukaan ohuksen avoieena on edisää opiskelijoiden siouumisa opiskeluunsa, ukea heidän yksilöllisiä uravalinoan

Lisätiedot

Sormenjälkimenetelmät

Sormenjälkimenetelmät Sormejälkimeetelmät Matti Risteli mristeli@iksula.hut.fi Semiaariesitelmä 23.4.2008 T-106.5800 Satuaisalgoritmit Tietotekiika laitos Tekillie korkeakoulu Tiivistelmä Sormejälkimeetelmät ovat satuaisuutta

Lisätiedot

f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d)

f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d) Tehävä 1. Oleeaan, eä on käössä jakuva kuva, jossa (,, ) keroo harmaasävn arvon paikassa (, ) ajanhekenä. Dnaaminen kuva voidaan esiää Talor sarjana: d d d d d d O ( +, +, + ) = (,, ) + + + + ( ). (4a)

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017

Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017 OY/PJKOMP R 017 Puolijohdekomoeie erusee 571A Rakaisu, Kevä 017 1. Massavaikuuslai mukaisesi eemmisö- ja vähemmisövarauksekuljeajie ulo o vakio i, joka riiuu uolijohdemaeriaalisa ja lämöilasa. Kuvasa 1

Lisätiedot

RIL 256-2010 Suomen Rakennusinsinöörien Liitto RIL ry

RIL 256-2010 Suomen Rakennusinsinöörien Liitto RIL ry Suomen Rakennusinsinöörien Liio RIL ry Julkisen hankinojen kehiämismalli Tuoavuuden paranaminen TUKEFIN-meneelmällä 2 RIL 256-2010 RILin julkaisuilla on oma koisivu, joka löyyy osoieesa www.ril.fi Kirjakauppa

Lisätiedot

z = Amplitudi = itseisarvo ja vaihe = argumentti (arg). arg Piirretään vielä amplitudi- ja vaihespektri:

z = Amplitudi = itseisarvo ja vaihe = argumentti (arg). arg Piirretään vielä amplitudi- ja vaihespektri: Määriä suraavi komplksiluku/siaali ampliudi- a vaiharvo. Piirrä b-kohdassa ampliudi a vaih aauud fukioa ampliudi- a vaihspkri. 6p 8 a z 7, z 8 a z. { } b z cos. Ampliudi isisarvo a vaih arumi ar. a z 7

Lisätiedot

S-55.1100 SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

S-55.1100 SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA S-55.1100 SÄHKÖTKNIIKKA JA KTONIIKKA 2. välikoe 5.5.2008. Saa vasaa vain neljään ehävään! Kimmo Silven 1. aske vira. = 1 kω, = 2 kω, 3 = 4 kω, = 10 V. Diodin ominaiskayra, aseikko 0... 4 ma + 3 Teh. 2.

Lisätiedot

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut

Kaksiulotteinen normaalijakauma Mitta-asteikot Havaintoaineiston kuvaaminen ja otostunnusluvut Mat-2.09 Sovellettu todeäköisyyslasku /Ratkaisut Aiheet: Kaksiulotteie ormaalijakauma Mitta-asteikot Havaitoaieisto kuvaamie ja otostuusluvut Avaisaat: Ehdollie jakauma, Ehdollie odotusarvo, Ehdollie variassi,

Lisätiedot

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit

Tilastolliset menetelmät: Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät Tilastolliset testit Tilastolliset meetelmät: Tilastolliset testit 8. Tilastollie testaus 9. Testejä suhdeasteikollisille muuttujille. Testejä järjestysasteikollisille muuttujille.

Lisätiedot

Painevalukappaleen valettavuus

Painevalukappaleen valettavuus Painevalukappaleen valeavuus Miskolc Universiy Sefan Fredriksson Swecas AB Muokau ja lisäy käännös: Tuula Höök, Pekka Savolainen Tampereen eknillinen yliopiso Painevalukappale äyyy suunniella sien, eä

Lisätiedot

Lyhyiden ja pitkien korkojen tilastollinen vaihtelu

Lyhyiden ja pitkien korkojen tilastollinen vaihtelu Lyhyiden ja pikien korkojen ilasollinen vaihelu Tomi Pekka Juhani Marikainen Joensuun Yliopiso Maemaais-luonnonieeellinen iedekuna / Tieojenkäsielyieeen ja ilasoieeen laios / Tilasoiede Pro Gradu -ukielma

Lisätiedot

Luento 4. Fourier-muunnos

Luento 4. Fourier-muunnos Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II:

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin

Lisätiedot

1. Matemaattinen heiluri, harmoninen värähtelijä Fysiikka IIZF2020

1. Matemaattinen heiluri, harmoninen värähtelijä Fysiikka IIZF2020 1. Maeaainen heiluri, haroninen värähelijä Fysiikka IIZF Juha Jokinen (Selosuksesa vasaava) Janne Kiviäki Ani Lahi Miauspäivä:..9 Laboraorioyön selosus 9..9 Pendulu is a ass hanging fro a pivo poin which

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

Systeemimallit: sisältö

Systeemimallit: sisältö Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen

Lisätiedot

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +. Diffrniaaliyhälö II, harjoius 3, 8 228, rakaisu JL, kuusi sivua a On muunnava linaarinn oisn kraluvun diffrniaaliyhälö ẍ qx f yhäpiäväksi nsimmäisn kraluvun linaarisksi kahdn skalaariyhälön sysmiksi Rak

Lisätiedot

5. KURSSI: Pyöriminen ja gravitaatio (FOTONI 5: PÄÄKOHDAT) PYÖRIMINEN

5. KURSSI: Pyöriminen ja gravitaatio (FOTONI 5: PÄÄKOHDAT) PYÖRIMINEN 5 KURSSI: Pyöimie ja gaitaati (FOTONI 5: PÄÄKOHDAT) PYÖRIMINEN s s KULMASUUREET; kietkulma ϕ =, kietymä = kietkulma muuts ϕ = 360 = π ad (MAOL s 34 (34)) PYÖRIMISLIIKE φ s kulmapeus = ϕ ad ω, yksikkö:[

Lisätiedot

W dt dt t J.

W dt dt t J. DEE-11 Piirianalyysi Harjoius 1 / viikko 3.1 RC-auon akku (8.4 V, 17 mah) on ladau äyeen. Kuinka suuri osa akun energiasa kuluu ensimmäisen 5 min aikana, kun oleeaan mooorin kuluavan vakiovirran 5 A? Oleeaan

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat Sovellettu todennäköisyyslasku A TKK / Ssteemiaalsi laboratorio Mat-2.9 Sovellettu todeäköisslasku A Nordlud Harjoitus 6 (vko 43/23) (Aihe: sekamalli, hteisjakaumia, Laiie luvut 6. 6.3, 8. 8.9). Tässä o edellise viiko laskareissa luvattu

Lisätiedot

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A

Mat-2.090 Sovellettu todennäköisyyslasku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A Mat-.090 Sovellettu todeäköiyylaku A / Ratkaiut Aiheet: Avaiaat: Tilatollite aieito keräämie ja mittaamie Tilatollite aieitoje kuvaamie Oto ja otojakaumat Aritmeettie

Lisätiedot

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)

Solmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2) Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa

Lisätiedot

2. Suoraviivainen liike

2. Suoraviivainen liike . Suoraviivainen liike . Siirymä, keskinopeus ja keskivauhi Aika: unnus, yksikkö: sekuni s Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen asema (paikka) ilmoieaan suoralla olevan piseen paikkakoordinaain (unnus

Lisätiedot

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A. 9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille

Lisätiedot

Flow shop, työnvaiheketju, joustava linja, läpivirtauspaja. Kahden koneen flow shop Johnsonin algoritmi

Flow shop, työnvaiheketju, joustava linja, läpivirtauspaja. Kahden koneen flow shop Johnsonin algoritmi Flow shop önvaheeju jousava lnja läpvrauspaja Flow shopssa önvaheden järjess on sama alla uoella Kosa vahea vo edelää jono vova ö olla vaheleva ja ö vova ohaa osensa äl ö evä oha osaan puhuaan permuaaoaaaulusa

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-

Lisätiedot

I L M A I L U L A I T O S

I L M A I L U L A I T O S I L M A I L U L A I T O S 2005 Ympärisökasaus Lenoasemien ympärisölupahankkee sekä ympärisövaikuusen ja -vahinkoriskien selviäminen hallisiva Ilmailulaioksen ympärisöyöä koimaassa. Kansainvälisillä foorumeilla

Lisätiedot

3 Lukujonot matemaattisena mallina

3 Lukujonot matemaattisena mallina 3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie

Lisätiedot

Luento 7 Järjestelmien ylläpito

Luento 7 Järjestelmien ylläpito Luno 7 Järjslmin ylläpio Ahi Salo Tknillinn korkakoulu PL, 5 TKK Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair ❶ Uusiminn Vioiun komponni korvaaan

Lisätiedot

2 u = 0. j=1. x 2 j=1. Siis funktio v saavuttaa suurimman arvonsa jossakin alueen Ω pisteessä x. Pisteessä x = x on 2 v. (x ) 0.

2 u = 0. j=1. x 2 j=1. Siis funktio v saavuttaa suurimman arvonsa jossakin alueen Ω pisteessä x. Pisteessä x = x on 2 v. (x ) 0. 0. Maksimiperiaate Laplace-yhtälölle 0.. Maksimiperiaate. Alueessa Ω R määritelty kaksi kertaa erivoituva fuktio u o harmoie, jos u = j= = 0. 2 u x 2 j Lause 0.. Olkoot Ω R rajoitettu alue ja u C(Ω) C

Lisätiedot

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN 1 KULMMODULOITUEN SIGNLIEN SPEKTRIN LSKEMINEN Mie laskea eroaa lieaarise odulaaioide apauksesa? Milä spekri äyää epälieaarise prosessi jälkee? 51357 Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015 SPEKTRIN

Lisätiedot

Notor Upotettava. 6 www.fagerhult.fi

Notor Upotettava. 6 www.fagerhult.fi Upoeavan Noor-valaisimen avulla kaoon voidaan luoda joko huomaamaomia ai ehokkaan huomioa herääviä ja yhenäisiä valaisinjonoja ilman minkäänlaisia varjosuksia. Pienesä koosaan huolimaa Noor arjoaa hyvin

Lisätiedot

ETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET

ETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET TRAN TyL:n MUKASN AKUUTUKSN RTYSPRUSTT Tässä peruseessa kaikki suuree koskea eraa, ellei oisin ole määriely. Tässä peruseessa käyey lyhenee: LL Lyhyaikaisissa yösuheissa oleien yönekijäin eläkelaki TaL

Lisätiedot

Harjoitustehtävien ratkaisuja

Harjoitustehtävien ratkaisuja 3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,

Lisätiedot

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.

Lisätiedot

ANALOGISEN VÄRITELEVISION RAKENNE JA TOIMINTA

ANALOGISEN VÄRITELEVISION RAKENNE JA TOIMINTA ANALOGISEN VÄRITELEVISION RAKENNE JA TOIMINTA Tieoliikenneekniikka I 521359A Kari Kärkkäinen Osa 8 1 23 Videosignaalin VSB-odulaaio analogisessa TV-järj. Värielevision videosignaalin siirrossa käyeään

Lisätiedot

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.

Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja. MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,

Lisätiedot

Luento 3. Fourier-sarja

Luento 3. Fourier-sarja Fourier muuos Rayleigh eoreema Spekriiheys Lueo 3 4..6 Fourier-sarja Fourier-sarja avulla pysyii esiämää jaksollie sigaali, joka jaksoaika o. Fourier-sarja Fourier-kompoei Eäpä aperiodise sigaali, joilla

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet

Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-

Lisätiedot

Tiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus

Tiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus Tieonhakumeneelmä Helsingin yliopiso / TKTL.4.04 Toennäköisyyeen perusuva rankkaus Tieonhakumeneelmä Toennäköisyyspohjainen rankkaus Dokumenien haussa ongelmana on löyää käyäjän kyselynä ilmaiseman ieoarpeen

Lisätiedot

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille

Testejä suhdeasteikollisille muuttujille Ilkka Mellin Tilastolliset menetelmät Osa 3: Tilastolliset testit Testejä suhdeasteikollisille muuttujille TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Testejä suhdeasteikollisille muuttujille >> Testit normaalijakauman

Lisätiedot

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1

= true C = true) θ i2. = true C = false) Näiden arvot löydetään kuten edellä Kun verkko on opetettu, niin havainto [x 1 35 Naiivi Bayes Luokkamuuttua C o Bayes-verko uuri a attribuutit X i ovat se lehtiä Naiivi oletus o, että attribuutit ovat ehdollisesti riippumattomia toisistaa aettua luokka Ku käytössä o Boole muuttuat,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s). DEE- Piirianalyysi Ykkösharkan ehävien rakaisuehdoukse. askeaan ensin, kuinka paljon äyeen ladaussa akussa on energiaa. Tämä saadaan laskeua ehäväpaperissa anneujen akun ieojen 8.4 V ja 7 mah avulla. 8.4

Lisätiedot

Suvi Kangasrääsiö MONETAARIMALLIT EUR/USD-VALUUTTAKURSSIN VAIHTELUN SELITTÄJÄNÄ: YHTEISINTEGROITUVUUSANALYYSI ARDL-MALLISSA

Suvi Kangasrääsiö MONETAARIMALLIT EUR/USD-VALUUTTAKURSSIN VAIHTELUN SELITTÄJÄNÄ: YHTEISINTEGROITUVUUSANALYYSI ARDL-MALLISSA OULUN YLIOPISTON KAUPPAKORKEAKOULU Suvi Kangasrääsiö MONETAARIMALLIT EUR/USD-VALUUTTAKURSSIN VAIHTELUN SELITTÄJÄNÄ: YHTEISINTEGROITUVUUSANALYYSI ARDL-MALLISSA Pro gradu -ukielma Talousiede Helmikuu 2016

Lisätiedot

KOMISSION VALMISTELUASIAKIRJA

KOMISSION VALMISTELUASIAKIRJA EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO Bryssel, 23. oukokuua 2007 (24.05) (OR. en) Toimielinen välinen asia: 2006/0039 (CNS) 9851/07 ADD 2 N 239 RESPR 5 CADREN 32 LISÄYS 2 I/A KOHTAA KOSKEVAAN ILMOITUKSEEN Läheäjä:

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit

2. Mittaus ja data 2.1. Johdanto. 2.2. Mittaustyypit 2. Mittaus ja data 2.. Johdato Voidaksemme keksiä tosimaailma relaatioita tarkastelemme sitä kuvaavaa dataa, jote esiksi selvitämme, mitä data perimmiltää o. Data kerätää kuvaamalla mielekiitoaluee oliot

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat:

Mat-2.104 Tilastollisen analyysin perusteet. Testit suhdeasteikollisille muuttujille. Avainsanat: Mat-.04 Tilastollise aalyysi perusteet / Ratkaisut Aiheet: Avaisaat: Testit suhdeasteikollisille muuttujille Hypoteesi, Kahde riippumattoma otokse t-testit, Nollahypoteesi, p-arvo, Päätössäätö, Testi,

Lisätiedot