Jaksollisista funktioista
|
|
- Marjut Lahti
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Jaksollisisa funkioisa Jukka Liukkonen Ylioeaja Helsingin ammaikorkeakoulu Sadia Ymärillämme ja joa sisällämme on runsaasi jaksollisina oisuvia ilmiöiä: äivä seuraa yöä, kesä alvea, sydän lyö ahdissa, mainingi keinuava veneä, varusöllö oisaa yks oisa vihellysään varhaiskevään hämärässä. Jaksollisen ilmiön maemaainen malli on jaksollinen funkio. Millaisia jaksoja funkiolla voi olla? Onko jaksollisen funkioiden summa aina jaksollinen? Voiko kahden jaksollisen funkion summalla olla lyhyemiä jaksoja kuin yheenlaskeavilla funkioilla? Jaksollisen funkioiden erusominaisuuksia Noudaamme yleisä käyänöä ja merkisemme luonnollisen lukujen joukkoa symbolilla N = {1, 2, 3,...}, kokonaislukujen joukkoa symbolilla Z, raionaalilukujen joukkoa symbolilla Q ja reaalilukujen joukkoa symbolilla R. Reaalilukua sanoaan funkion f : R R jaksoksi, jos yhälö f( + ) = f() oeuuu kaikilla reaaliluvuilla. Tällöin merkiään f( + ) f(). Funkio f on jaksollinen, jos sillä on ainakin yksi nollasa eroava jakso. Kahden jakson ja summa ja erous ova jaksoja, sillä f( + + ) f( + ) f(), f( + ) f( + + ) f( + ) f(). Valisemalla = ja oisamalla edellisä ääelyä havaiaan, eä jakson monikera n on jakso kaikilla kokonaisluvuilla n. Esimerkki 1. (a) Funkio sin : R R on jaksollinen; jakso muodosava joukon { 2nπ n Z }. (b) Mikä ahansa reaaliluku kelaa vakiofunkion f() c jaksoksi. (c) Määrielemme jokaisa reaalilukua kohi joukon + Q aseamalla + Q = { + r r Q }. (1) Jos 1 ja 2 ova reaalilukuja, on vain kaksi vaihoehoa: joko 1 + Q = 2 + Q ai 1 + Q 2 + Q =. Toisin sanoen jouko (1) ova keskenään erillisiä. Eho 1 + Q = 2 + Q oeuuu äsmälleen silloin, kun 1 2 Q. Joukkojen (1) yhdise on ieenkin koko R. Tällaisa kokoelmaa joukon R erillisiä osajoukkoja, joiden yhdise on R, kusuaan joukon R osiukseksi, ja R on joukkojen (1) erillinen yhdise. On aana merkiä R/Q = { + Q R }.
2 Inuiiivisesi unuu selvälä, eä jokaisa joukon R/Q alkioa Φ R voidaan valia edusamaan yksi joukon Φ alkio 1 ; merkiäköön siä symbolilla ϕ(φ) Φ. Tällä avoin saadaan ns. valinakuvaus ϕ : R/Q R, Φ ϕ(φ). Edellä sanoun eruseella kaikki raionaaliluvu ova yhdiseyn kuvauksen φ : R R, ϕ( + Q). jaksoja, kun aas yksikään irraionaaliluku ei ole jakso. Jos funkion osiiivisen jaksojen joukossa on ienin alkio, siä sanoaan funkion erusjaksoksi. Edellisen esimerkin kuvauksilla f ja φ ei ole erusjaksoa. Sinifunkion erusjakso on 2π. Jakuvan funkion jaksojen äärellinen raja-arvo on aina jakso: Lemma 2. Jos n on jakuvan funkion f jakso kaikilla n N, ja n kun n, raja-arvo on funkion f jakso. Todisus. Olkoon reaaliluku. Koska + n + kun n, jakuvuuden eruseella f( + n ) f( + ) kun n. Jos lisäksi f( + n ) = f() kaikilla n N, raja-arvon yksikäsieisyyden nojalla f( + ) = f(). Lause 3. Jos jakuva jaksollinen funkio ei ole vakiofunkio, sillä on erusjakso. Todisus. Olkoon f jakuva jaksollinen funkio. Merkiään = inf { > 0 on funkion f jakso }; s. on funkion f osiiivisen jaksojen suurin alaraja 2. Taauksessa > 0 luku on erusjakso lemman 2 eruseella. Taauksessa = 0 funkio f on vakio, kuen seuraavasa ilmenee. Olkoon 0 kiineä reaaliluku ja f( 0 ) = s 0. Riiää osoiaa, eä f() s 0 < ε kaikilla R olia ε > 0 mien ieni ahansa. Olkoon siis ε > 0. Jakuvuuden määrielmän eruseella on olemassa δ > 0, jolle f() s 0 < ε kaikilla ] 0 δ, 0 +δ[. Valisemme funkiolle f osiiivisen jakson δ < δ. Väie seuraa siiä, eä f oisaa iseään lukusuoran R eiävillä väleillä [ 0 k δ, 0 k δ + δ [, k Z, sillä ällöin f() s 0 < ε kaikilla [ 0 k δ, 0 k δ + δ [. Kuen arkkasilmäinen lukija huomasi, edellisen odisuksen aauksessa = 0 funkio f riii oleaa jakuvaksi vain yhdessä isessä s 0. Siis jos funkiolla f on mielivalaisen ieniä osiiivisia jaksoja, ja f on jakuva yhdessäkin iseessä, niin f on ise asiassa vakiofunkio. Reaalilukua δ > 0 sanoaan reaalilukujen x ja y yheiseksi miaksi, jos x = aδ ja y = bδ joillakin kokonaisluvuilla a ja b. Lukuja x ja y sanoaan yheismiallisiksi, jos niillä on yheinen mia; muussa aauksessa x ja y ova yheismiaoma. Luku nolla on yheismiallinen kaikkien muiden lukujen kanssa. On hyvin heloa osoiaa, eä x ja y ova yheismiaoma äsmälleen silloin, kun seuraava eho on voimassa: jos m, n Z ja mx + ny = 0, niin m = n = 0. Lukujen yheismiaomuuden käsie muisuaa siis vekorien lineaarisen riiumaomuuden käsieä. 3 Seuraavan lemman muooilu ja odisus ova lehori Heikki Visin käsialaa. Merkisemme S(x, y) = { mx + ny m, n Z }, S + (x, y) = { s S(x, y) s > 0 } ja σ(x, y) = inf S + (x, y). Lemma 4. Luvu x ja y ova yheismiallise, jos ja vain jos σ(x, y) > 0. Tällöin (a) S(x, y) = { kσ(x, y) k Z }, (b) σ(x, y) on lukujen x ja y yheinen mia, ja (c) σ(x, y) on asan jaollinen kaikilla lukujen x ja y yheisillä mioilla. Todisus. Olkoon δ lukujen x ja y yheinen mia, a, b Z, x = aδ, y = bδ ja s S + (x, y). Esiämme luvun s muodossa s = mx + ny, missä m, n Z. Koska δ > 0 ja s = (ma + nb)δ > 0, välämää ma + nb 1 ja siis s δ. Näin ollen δ on joukon S + (x, y) eräs alaraja, ja σ(x, y) δ > 0. Näin olemme odisanee, eä lukujen x ja y yheismiallisuudesa seuraa eho σ(x, y) > 0. Käänäen: olkoon σ(x, y) > 0. Valisemme alkion s S + (x, y), jolle σ(x, y) s < 2σ(x, y). Taauksessa σ(x, y) < s olisi olemassa s S + (x, y), jolle σ(x, y) s < s. Selväsi s s S + (x, y) ja s s < σ(x, y), mikä on risiriidassa luvun σ(x, y) määrielmän kanssa. Siis σ(x, y) s, jolloin σ(x, y) = s S + (x, y) eli σ(x, y) = min S + (x, y). Eriyisesi kσ(x, y) S(x, y) kaikilla k Z. Siis yhälössä (a) oikea uoli on vasemman osajoukko. Näyämme vielä, eä vasen uoli on oikean osajoukko. Jos olisi s S(x, y) ja kσ(x, y) < 1 Maemaaisessa mielessä kyseessä on syvällinen asia, ns. valina-aksiooma. 2 Luku a on reaalilukujoukon A alaraja, jos a x kaikilla x A. Jos joukolla on yksikin alaraja, joukkoa sanoaan alhaala rajoieuksi. Ns. äydellisyysaksiooman nojalla alhaala rajoieun eäyhjän joukon alarajojen joukossa on suurin alkio; siä merkiään inf A. 3 Ise asiassa kysymys on juuri lineaarisesa riiumaomuudesa, jos R ulkiaan Q-keroimiseksi vekoriavaruudeksi ja x sekä y kyseisen avaruuden vekoreiksi.
3 s < (k + 1)σ(x, y) eräällä k Z, luku s kσ(x, y) olisi aidosi ienemi joukon S + (x, y) alkio kuin σ(x, y), mikä on risiriia. Siis jokainen joukon S(x, y) alkio on muooa kσ(x, y), k Z. Täen (a) on ullu odiseuksi. Väie (b) seuraa kohdasa (a) ja siiä, eä x, y S(x, y). Näin olemme odisanee myös sen, eä ehdosa σ(x, y) > 0 seuraa lukujen x ja y yheismiallisuus. Olkoo δ, a ja b kuen odisuksen alussa. Koska σ(x, y) S(x, y), on olemassa luvu m, n Z, joille σ(x, y) = mx + ny = (ma + nb)δ. Tässä ma + nb Z. Sien myös (c) on voimassa. Lemma 5. Olkoo x ja y yheismiaomia lukuja. Tällöin mx + ny saadaan mielivalaisen lähelle nollaa valisemalla kokonaislukukeroime m ja n, m 0 ai n 0, soivasi. Todisus. Lemman 4 nojalla σ(x, y) = 0. Lemma 6. Jos funkiolla on keskenään yheismiaoma jakso, sillä on mielivalaisen ieniä jaksoja. Todisus. Olkoo ja funkion yheismiaoma jakso. Lemman 5 nojalla luku m + n 0 saadaan mielivalaisen lähelle nollaa valisemalla kokonaislukukeroime m ja n, m 0 ai n 0, soivasi. Väie seuraa siiä, eä m + n on jakso. Lause 7. Jos jakuvalla funkiolla on keskenään yheismiaoma jakso, funkio on vakio. Todisus. Väie on väliön seuraus lauseesa 3 ja lemmasa 6. Jaksollisen funkioiden summa Kahden jaksollisen funkion summa ei välämää ole jaksollinen, kuen seuraava esimerkki osoiaa: Esimerkki 8. Tarkaselkaamme kaha kosinifunkioa ( ) ( ) 2π 2π f() A cos + α ja g() B cos + β, joilla on yheismiaoma erusjakso ja. Jos summalla (f + g)() f() + g() olisi jakso r, jakson yli oeu inegraali olisi välämää nolla, sillä kummankin kosinifunkion inegraali yli kaikkien rajoieujen välien muodosava rajoieun joukon. Tällöin nimiäin summan inegraalin monikera +r n (f(s) + g(s)) ds +nr +nr (f(s) + g(s)) ds f(s) ds + +nr g(s) ds ei voi kasvaa rajaa kokonaisluvun n kasvaessa rajaa. Siis +r 0 (f(s) + g(s)) ds +r ( ) +r ( ) 2πs 2πs A cos + α ds + B cos + β ds A ( ) 2π( + r) 2π sin + α A ( ) 2π 2π sin + α + B ( ) 2π( + r) 2π sin + β B ( ) 2π 2π sin + β eli ( 2π A sin ( 2π B sin ) + α + 2πr ( 2π A sin + β ) B sin + 2πr ) + α ( 2π + β ). Yhälön vasemman uolen eräs jakso on. Toisaala myös on vasemman uolen jakso, sillä on oikean uolen jakso. Vasemmalla uolella on siis jakuva funkio, jolla on yheismiaoma jakso. Lauseen 7 eruseella vasen uoli on vakiofunkio, mua se on mahdollisa vain aauksessa 2πr = m 2π eli r = m, missä m Z. Oikea uoli on vakio vain, jos 2πr = n 2π eli r = n, missä n Z. Tällöin n m = 0, joen yheismiaomuuden nojalla n = m = 0. Siis r = 0. Johoääös: Jos kahdella kosinifunkiolla on yheismiaoma erusjakso, niiden summa ei ole jaksollinen. Sama koskee luonnollisesi myös sinifunkioia. Yheismiallisia erusjaksoja arkaselaessa yksiköksi voidaan valia yheinen mia. Näin ajaellen arkaselu voidaan rajoiaa sellaisiin funkioihin, joiden erusjakso ova osiiivisia kokonaislukuja. Lemma 9. Olkoon funkiolla f jakso N ja funkiolla g jakso N. Jos r on asan jaollinen kummallakin luvuisa ja, niin r on summan f + g jakso. Todisus. Oleakaamme, eä r on sekä luvun eä luvun monikera. Tällöin r on sekä funkion f eä funkion g jakso, joen r on summan f + g jakso. Jos x ja y 0 ova reaalilukuja, merkisemme x mod y = x max { my m Z, my x }.
4 Kokonaislukujen m 0 ja n > 0 aauksessa m mod n arkoiaa siis jakojäännösä, kun m jaeaan luvulla n. Seuraava esimerkki osoiaa, eä eäjakuvan funkion ei arvise olla vakio, vaikka sillä onkin yheismiaoma jakso (vr. lause 7). Esimerkki 10. Olkoon ξ kiineä irraionaaliluku. Jaamme reaaliluvu kahdeksi erilliseksi joukoksi sen eruseella, voidaanko ne esiää muodossa m + nξ, m, n Z, (2) vai ei. Jos m, n Z ja m + nξ = m + n ξ, niin m m = (n n)ξ, jolloin luvun ξ irraionaalisuuden eruseella välämää n = n ja m = m. Siis luvun esiys muodossa (2) on yksikäsieinen. Määrielemme funkio f, g : R R aseamalla { m mod 3 + nξ, = m + nξ, m, n Z, f() = 0, muulloin, ja g() = { m mod 2 nξ, = m + nξ, m, n Z, 0, muulloin. Funkion f eräs jakso on 3. Näyämme, eä luku r, 0 < r < 3, ei voi olla funkion f jakso. Jos r = m + nξ, missä m, n Z, niin f(1 + r) = (m + 1) mod 3 + nξ 1 = f(1). Eäyhälö nähdään väliömäsi odeksi ukimalla aaukse n = 0 ja n 0 erikseen. Jos r ei ole muooa (2), myöskään 1 + r ei ole muooa (2). Tällöin f(1 + r) = 0 1 = f(1). Siis funkiolla f on erusjakso 3. Samoin funkiolla g on erusjakso 2. On lisäksi ilmeisä, eä summalla f + g on jakso ξ. Lemman 9 nojalla summalla on myös jakson ξ kanssa yheismiaon jakso 2 3 = 6. Lemman 6 mukaan funkiolla f + g on ällöin mielivalaisen ieniä jaksoja. Johoääös: Vaikka kummallakin kahdesa funkiosa on erusjaksona kokonaisluku, funkioiden summalla voi olla ääreön määrä mielivalaisen ieniä irraionaalisia jaksoja. Lause 11. Olkoon funkiolla f erusjakso N ja funkiolla g erusjakso N, missä lukujen ja suurin yheinen ekijä on sy(, ) = 1. Jos r = m/n on summan f + g jakso, missä m N ja n N, niin m on jaollinen ulolla. Todisus. Yhälösä f( + knr) + g( + knr) f() + g() saadaan keroimella k = f( + m) f() (3) ja keroimella k = g( + m) g(). (4) Yhälö (3) oeuuu vain, jos m on jaollinen luvulla, sillä muulloin funkiolla f olisi jaksoa lyhyemi osiiivinen jakso m mod. Samoin (4) oeuuu vain, jos m on jaollinen luvulla. Korollaari 12. Olkoon funkiolla f erusjakso N ja funkiolla g erusjakso N, missä sy(, ) = 1. Jos n N ja /n on summan f + g jakso, niin sy(, n) = 1. Esimerkki yheismiallisisa jaksoisa Korollaarin 12 innoiamina konsruimme esimerkin aauksesa, jossa funkiolla f on erusjakso 3, funkiolla g on erusjakso 2, ja summalla f + g on erusjakso 6/5. Rakennamme esimerkin eäjakuvisa funkioisa määrielemällä niiden arvo nollaksi muualla aisi iseissä n/5, n Z. Koska jokaisella funkioisa f, g ja f + g on jaksona 6, voimme rajoiaa arkaselu funkioiden arvoihin iseissä n/5, 0 n < 30. Louksi muuamme eäjakuva funkio jakuviksi oeraaiolla, joa maemaaiko nimiävä konvoluuioksi; siinä jaksollisuusominaisuude säilyvä. Merkisemme lyhyyden vuoksi f n = f(n/5), n = 0, 1,..., 14, g n = g(n/5), n = 0, 1,..., 9, S n = (f + g)(n/5), n = 0, 1,..., 5. Funkiolla f +g on jaksona 6/5, jos ja vain jos seuraava yhälö ova voimassa yh aikaa: S 0 = f 0 + g 0 = f 6 + g 6 = f 12 + g 2 (5) = f 3 + g 8 = f 9 + g 4, S 1 = f 1 + g 1 = f 7 + g 7 = f 13 + g 3 (6) = f 4 + g 9 = f 10 + g 5, S 2 = f 2 + g 2 = f 8 + g 8 = f 14 + g 4 (7) = f 5 + g 0 = f 11 + g 6, S 3 = f 3 + g 3 = f 9 + g 9 = f 0 + g 5 (8) = f 6 + g 1 = f 12 + g 7, S 4 = f 4 + g 4 = f 10 + g 0 = f 1 + g 6 (9) = f 7 + g 2 = f 13 + g 8, S 5 = f 5 + g 5 = f 11 + g 1 = f 2 + g 7 (10) = f 8 + g 3 = f 14 + g 9.
5 Kun yhälöisä (5) ja (6) rakaisaan g 0,..., g 9 ja sijoieaan yhälöihin (7) (10), saadaan S 2 = f 2 + S 0 f 12 = f 8 + S 0 f 3 (11) = f 14 + S 0 f 9 = f 5 + S 0 f 0 = f 11 + S 0 f 6, S 3 = f 3 + S 1 f 13 = f 9 + S 1 f 4 (12) = f 0 + S 1 f 10 = f 6 + S 1 f 1 = f 12 + S 1 f 7, S 4 = f 4 + S 0 f 9 = f 10 + S 0 f 0 (13) = f 1 + S 0 f 6 = f 7 + S 0 f 12 = f 13 + S 0 f 3, S 5 = f 5 + S 1 f 10 = f 11 + S 1 f 1 (14) = f 2 + S 1 f 7 = f 8 + S 1 f 13 = f 14 + S 1 f 4. f 0 = f 10 S 1 + S 3, g 0 = S 4 f 10, f 2 = f 7 S 1 + S 5, g 1 = S 1 f 1, f 3 = f 13 S 1 + S 3, g 2 = S 4 f 7, f 5 = f 10 S 1 + S 5, g 3 = S 1 f 13, f 6 = f 1 S 1 + S 3, g 4 = S 4 f 4, f 8 = f 13 S 1 + S 5, g 5 = S 1 f 10, f 9 = f 4 S 1 + S 3, g 6 = S 4 f 1, f 11 = f 1 S 1 + S 5, g 7 = S 1 f 7, f 12 = f 7 S 1 + S 3, g 8 = S 4 f 13, f 14 = f 4 S 1 + S 5, g 9 = S 1 f 4. Esimerkki 13. Valisemalla S 0 = S 1 = S 2 = 0, S 3 = S 5 = 1 ja S 4 = 1 ehdo (25) ja (26) oeuuva. Aseamme f 1 = 1 ja f 4 = f 7 = f 10 = f 13 = 0. Silloin f 0 = f 2 = f 3 = f 5 = f 8 = f 9 = f 12 = f 14 = 1, f 6 = f 11 = 2, g 0 = g 1 = g 2 = g 4 = g 8 = 1, g 3 = g 5 = g 7 = g 9 = 0 ja g 6 = 2. Funkioiden f, g ja f + g arvoisa saadaan seuraava aulukko: Yhälöisä (11) rakeava ja yhälöisä (14) rakeava f 0 = f 5 + S 0 S 2, (15) f 3 = f 8 + S 0 S 2, (16) f 6 = f 11 + S 0 S 2, (17) f 9 = f 14 + S 0 S 2, (18) f 12 = f 2 + S 0 S 2, (19) f 2 = f 7 + S 5 S 1, (20) f 5 = f 10 + S 5 S 1, (21) f 8 = f 13 + S 5 S 1, (22) f 11 = f 1 + S 5 S 1, (23) f 14 = f 4 + S 5 S 1. (24) Sijoiamalla nämä yhälöihin (12) (13) saadaan S 3 = S 0 S 2 + S 5, (25) S 4 = S 1 + S 2 S 5. (26) Johoääös: Jos vakio S 0,..., S 5 oeuava ehdo (25) ja (26), yhälöryhmällä (5) (10) on ääreömän mona rakaisua. Ne saadaan valisemalla vaaasi arvo muuujille f 1, f 4, f 7, f 10, f 13 ja laskemalla muuujille f 2, f 5, f 8, f 11, f 14 arvo kaavoisa (20) (24). Tämän jälkeen muuujille f 0, f 3, f 6, f 9, f 12 laskeaan arvo kaavoisa (15) (19) ja muuujille g 0,..., g 9 yhälöisä (5) ja (6). Jos vakio S 0,..., S 5 eivä oeua ehoja (25) ja (26), yhälöryhmällä (5) (10) ei ole yhään rakaisua. Ehojen (25) ja (26) oeuuessa rakaisuksi saadaan f() g() f() + g() 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Taulukkoa ajaellaan jakeavan jaksollisesi arvoille = n/5, n Z, missä n < 0 ja 30 n. Jos ei ole muooa n/5, n Z, funkioiden arvo iseessä aseeaan nolliksi. Silloin funkion f erusjakso on 3, funkion g erusjakso on 2, ja funkion f + g erusjakso on 6/5.
6 Esimerkki 14. Muokkaamme esimerkin 13 muooon, jossa esiinyy vain jakuvia funkioia, ai ise asiassa ns. C -funkioia eli sellaisia funkioia, joilla on kaikkien keralukujen derivaaa. Käyämme rakennusalikkana funkiosa { e 2 /( 2 1), 1 < < 1, ψ : R R, ψ() = 0, muulloin, skaalaamalla saaavia funkioia ψ a () = ψ(/a), a > 0. Kuvaus ψ a on nolla välin ] a, a[ ulkouolella, se on aidosi vähenevä välillä [0,a[, ψ(0) = 1 ja ψ a ( ) = ψ a () kaikilla R. Lisäksi funkiolla ψ a on kaikkien keralukujen derivaaa kaikissa lukusuoran iseissä. Derivoiuvuus iseissä a ja a seuraa siiä, eä eksonenifunkio e voiaa kasvussa kaikki olynomifunkio, kun kasvaa rajaa. Siirämällä funkioa ψ 0,1 luvun n/5 verran saadaan kuvaukse θ n : R R, θ() = ψ 0,1 ( n/5), n Z. Funkio θ n on nolla välin ] n/5 1/10, n/5 + 1/10 [ ulkouolella. Korvaamalla esimerkissä 13 funkio f funkiolla F : R R, F () = f(n/5) θ n (), ja funkio g funkiolla G : R R, G() = n= n= g(n/5) θ n (), saamme C -kuvaukse F, G ja F + G, joilla on sama jaksollisuusominaisuude kuin funkioilla f, g ja f + g. Louksi Keksikö ise mielenkiinoisia jaksollisiin funkioihin liiyviä ilmiöiä? Voidaanko esimerkki 8 yleisää muillekin kuin rigonomerisille funkioille? Onko olemassa funkioia f ja g, joisa ensimmäisen erusjakso on 2, oisen erusjakso on 3 ja summan f + g erusjakso on 6/7? Enä muu aaukse, joia korollaari 12 ei sulje ois? Älä urhaudu! Rakaisujen keksiminen voi olla hyvinkin hankalaa, eikä niihin kannaa liikaa uhlaa aikaansa. Mikä sien on liikaa no jaa, riiuu kiinnosuksen määräsä. Ise käyin ämän juun kirjoiamiseen uole hiiholomasani. Aikaisemmin olin mieiny näiä asioia aina silloin ällöin muuamien kuukausien kuluessa. Jos jokin käsie ai muu asia jäi hämäräksi, Tamereen eknillisen ylioison verkkodokumeni Johdaus korkeakoulumaemaiikkaan osoieessa h://mawww.ee.u.fi/jkkm/oc.hml saaaa olla avuksi, vaikka eriaaeessa lukion ikän maemaiikan iäisi riiää.
5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä
1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa
Lisätiedot9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.
9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille
Lisätiedotb) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y)
Maemaiikan ja ilasoieeen osaso/hy Differeniaaliyhälö II Laskuharjoius 1 malli Kevä 19 Tehävä 1. Ovako seuraava funkio Lipschiz-jakuvia reaaliakselilla: a) f(x) = x 1/3, b) f(x) = x, c) f(x) = x? a) Ei
LisätiedotSopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen
Soimukseneon dynamiikka: johdano ja haiallinen valikoiuminen Ma-2.442 Oimoinioin seminaari Elise Kolola 8.4.2008 S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 4 Elise Kolola Oimoinioin seminaari - Kevä 2008 Esiyksen
Lisätiedotjoka on separoituva yhtälö, jolla ei ole reaalisia triviaaliratkaisuja. Ratkaistaan: z z(x) dx =
HY / Maemaiikan ja ilasoieeen laios Differeniaalihälö I kevä 09 Harjois 4 Rakaisehdoksia. Rakaise differeniaalihälö = (x + + Rakais: Tehdään differeniaalihälöön lineaarinen mnnos z(x = x + (x + jolloin
Lisätiedotẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.
Diffrniaaliyhälö II, harjoius 3, 8 228, rakaisu JL, kuusi sivua a On muunnava linaarinn oisn kraluvun diffrniaaliyhälö ẍ qx f yhäpiäväksi nsimmäisn kraluvun linaarisksi kahdn skalaariyhälön sysmiksi Rak
LisätiedotRahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille
Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial
LisätiedotA-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat!
MAA Koe 7..03 A-osio. Ei laskina! Valise seuraavisa kolmesa ehäväsä vain kaksi joihin vasaa! A. a) Mikä on funkion f(x) määrieljoukko, jos f( x) x b) Muua ulomuooon: 4a 8a 4 A. a) Rakaise hälö: x 4x b)
Lisätiedot( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri.
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 1/11 1. Johda anneun pulssin Fourier-muunnos ja hahmoele ampliudispekri. Käyä esim. derivoinieoreemaa, ja älä unohda 1. derivaaan epäjakuvuuskohia!
LisätiedotW dt dt t J.
DEE-11 Piirianalyysi Harjoius 1 / viikko 3.1 RC-auon akku (8.4 V, 17 mah) on ladau äyeen. Kuinka suuri osa akun energiasa kuluu ensimmäisen 5 min aikana, kun oleeaan mooorin kuluavan vakiovirran 5 A? Oleeaan
LisätiedotRatkaisu. Virittäviä puita on kahdeksan erilaista, kun solmut pidetään nimettyinä. Esitetään aluksi verkko kaaviona:
Diskreei maemaiikka, sks 00 Harjoius 0, rakaisuisa. Esi viriävä puu suunaamaomalle verkolle G = (X, E, Ψ), kun X := {,,, }, E := { {, }, {, }, {, }, {, }, {, }}, ja Ψ on ieninen kuvaus. Rakaisu. Viriäviä
LisätiedotDerivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan
87 5. Eliminoinimeneely Tarkaellaan -kokoia vakiokeroimia yeemiä + x a a x a x + a x b() x = = = +. a a x a x a x b () (3) b() x + Derivoimalla enimmäinen komponeni, ijoiamalla jälkimmäien derivaaa iihen
LisätiedotMallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009
Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin
LisätiedotLuento 4. Fourier-muunnos
Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II:
LisätiedotSysteemimallit: sisältö
Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen
LisätiedotKYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN
YYSILMIÖ J SILÄ VÄLYMIE YYSE SIIRO LJEUS HYVÄSI ÄYÄE ieoliikenneekniikka I 559 ari ärkkäinen Osa 5 4 MILLOI? Milloin ja missä kynnysilmiö esiinyy? un vasaanoimen ulon SR siis esi-ilmaisusuodaimen lähdössä
Lisätiedot( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:
ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotKojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto
Kojemeeorologia Sami Haapaala syksy 03 Fysiika laios, Ilmakehäieeide osaso Mialaieide dyaamise omiaisuude Dyaamise uusluvu määriävä mie mialaie käyäyyy syöeide muuuessa Apua käyeää differeiaaliyhälöiä,
LisätiedotDEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset
D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä,
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
Lisätiedot2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23
LISÄTEHTÄVÄT. Maemaainen malli ja funkio 9. a) f (-) = - (-) + = - + = -6 b) f (-) = (-) - (-) + = - (-8) + = 8 + 8 + = 80. a) f ( ) = + f ( ) = 0 + = 0 ( ) = ± = ± = ai = Vasaus: = - ai = b) + = + = 0
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.4 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vasausen piireiden, sisälöjen ja piseiysen luonnehdina ei sido ylioppilasukinolauakunnan arvoselua. Lopullisessa arvoselussa
LisätiedotTasaantumisilmiöt eli transientit
uku 12 Tasaanumisilmiö eli ransieni 12.1 Kelan kykeminen asajännieeseen Kappaleessa 11.2 kykeiin reaalinen kela asajännieeseen ja ukiiin energian varasoiumisa kelan magneeikenään. Tilanne on esiey uudelleen
Lisätiedotd ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotMAT-02450 Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014
MAT-45 Fourier n meneelmä Merja Laaksonen, TTY 4..4 Sisälö Johano 3. Peruskäsieiä................................... 4.. Parillinen ja parion funkio....................... 7.. Heavisien funkio............................
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
Lisätiedot1. Todista/Prove (b) Lause 2.4. käyttäen Lausetta 2.3./by using Theorem b 1 ; 1 b + 1 ; 1 b 1 1
KETJUMURTOLUVUT Harjoiuksia 209. Todisa/Prove Lause 2.2. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. Lause 2.4. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. 2. Määrää Canorin kehielmä luvuille 0,, 2, 3, 4, 5,
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
LisätiedotPuolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017
OY/PJKOMP R 017 Puolijohdekomoeie erusee 571A Rakaisu, Kevä 017 1. Massavaikuuslai mukaisesi eemmisö- ja vähemmisövarauksekuljeajie ulo o vakio i, joka riiuu uolijohdemaeriaalisa ja lämöilasa. Kuvasa 1
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus Aiheet
Talousmatematiikan perusteet, L2 Kertaus 1 Laskutoimitukset tehdään seuraavassa järjestyksessä 1. Sulkujen sisällä olevat lausekkeet (alkaen sisältä ulospäin) 2. potenssit ja juurilausekkeet 3. kerto-
Lisätiedotja jäännösluokkien joukkoa
3. Polynomien jäännösluokkarenkaat Olkoon F kunta, ja olkoon m F[x]. Polynomeille f, g F [x] määritellään kongruenssi(-relaatio) asettamalla g f mod m : m g f g = f + m h jollekin h F [x]. Kongruenssi
LisätiedotMittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta
Miausekniikan perusee, piirianalyysin kerausa. Ohmin laki: =, ai = Z ( = ännie, = resisanssi, Z = impedanssi, = vira). Kompleksiluvu Kompleksilukua arviaan elekroniikassa analysoiaessa piireä, oka sisälävä
LisätiedotTietoliikennesignaalit
ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime
LisätiedotLuento 2. Järjestelmät aika-alueessa Konvoluutio-integraali. tietoverkkotekniikan laitos
Lueno 2 Järjeselmä aika-alueessa Konvoluuio-inegraali Lueno 2 Lueno 2 Järjeselmä aika alueessa; Konvoluuio inegraali 2.1 Järjeselmien perusominaisuude Oppenheim 1.5. 1.6 Muisillise ja muisioma järjeselmä
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotSilloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) (
TT/TV Inegraalimuunnokse Fourier-muunnos, ehäviä : Vasauksia Meropolia/. Koivumäki v(. Määriä oheisen signaalin Fourier-muunnos. Vinkki: Superposiio, viive. Voidaan sovelaa superposiioperiaaea, koska signaalin
LisätiedotDiskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono:
DEE-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 5, rakaisuehdoukse [johdano impulssivaseeseen] Jakuva-aikaisen järjeselmän impulssivase on vasaavanlainen järjeselmäyökalu kuin diskreeillä puolellakin: impulssivase
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
LisätiedotDynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä
Dynaaminen opimoini ja ehdollisen vaaeiden meneelmä Meneelmien keskinäinen yheys S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 10 - Peni Säynäjoki Opimoiniopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Meneelmien yhäläisyyksiä
Lisätiedotx v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja.
Digiaalinen videonkäsiel Harjoius, vasaukse ehäviin 4-0 Tehävä 4. Emämariisi a: V A 0 V B 0 Hila saadaan kanavekorien (=emämariisin sarakkee) avulla. Kunkin piseen paikka hilassa on kokonaisluvulla kerroujen
Lisätiedot12. ARKISIA SOVELLUKSIA
MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina
Lisätiedot3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
Lisätiedot6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia
6.4 Variaaiolaskennan oleusen rajoiukse Sivu ss. 27 31 läheien Kirk, ss. 13 143] ja KS, Ch. 5] pohjala Lähökoha oli: jos J:llä on eksremaali (), niin J:n variaaio δj( (), δ()) ():ä pikin on nolla. 1. Välämäön
LisätiedotJuuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 Keraus K. A: III, B: I, C: II ja IV Kuvaaja: I II III IV Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. a) lim ( ) Nimiäjä ( ) o aia
LisätiedotLineaaristen järjestelmien teoriaa II
Lieaarise järjeselmie eoriaa II Ohjaavuus Tarkkailavuus havaiavuus Lisää sabiilisuudesa Tilaesimoii, Kalma-suodi TKK/Syseemiaalyysi laboraorio Mielekiioisia kysymyksiä Oko syseemi rakeeelaa sellaie, eä
LisätiedotETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET
TRAN TyL:n MUKASN AKUUTUKSN RTYSPRUSTT Tässä peruseessa kaikki suuree koskea eraa, ellei oisin ole määriely. Tässä peruseessa käyey lyhenee: LL Lyhyaikaisissa yösuheissa oleien yönekijäin eläkelaki TaL
LisätiedotTakaperäiset stokastiset dierentiaaliyhtälöt, niiden rahoitusteoreettisia sovelluskohteita ja johdatus Itô-analyysiin
Takaperäise sokasise diereniaaliyhälö, niiden rahoiuseoreeisia sovelluskoheia ja johdaus Iô-analyysiin Topias Tolonen 13. joulukuua 217 Pro gradu -ukielma Maemaiikan ja ilasoieeen laios Ohjaaja: Dario
LisätiedotTKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta
KK ieoliikennelaboraorio 7.2.27 Seppo Saasamoinen Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali, kun ulosignaali ja järjeselmän
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotTiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty. Laitos/Institution Department. Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Tekijä/Författare Author
Tiedekuna/Osaso Fakule/Sekion Faculy Maemaais-luonnonieeellinen iedekuna Tekijä/Förfaare Auhor Laios/Insiuion Deparmen Maemaiikan ja ilasoieeen laios Tommi Hyvärinen Työn nimi / Arbees iel Tile Burgersin
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
Lisätiedot( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt
SMG-500 Verolasennan numeerise meneelmä Ehdouse harjoiusen 4 raaisuisi Haeaan ensin ehävän analyyinen raaisu: dx 0 0 0 0 dx 00e = 0 = 00e 00 x = e + = 5e + alueho: x(0 = 0 0 x 0 = 5e + = 0 = 5 0 0 0 5
Lisätiedot3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =
Lisätiedot2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t
Tilasollinen ennusaminen Seppo Pynnönen Tilasoieeen professori, Meneelmäieeiden laios, Vaasan yliopiso. Tausaa Tulevaisuuden ennusaminen on ehkä yksi luoneenomaisimpia piireiä ihmiselle. On ilmeisesi aina
Lisätiedot1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 01 Lisätetävät Ratkaisut 1. Määritä funktion f : [ 1, 3], suurin ja pienin arvo. f (x)= x 3 3x, Ratkaisu. Funktio f on jatkuva suljetulla
LisätiedotJohda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
/ Raaisu Aihee: Avaisaa: Momeiemäfuio Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma Kovergessiäsiee ja raja-arvolausee Biomijaauma, Espoeijaauma, Geomerie jaauma, Jaaumaovergessi, Jauva asaie jaauma, Kolmiojaauma,
LisätiedotAlkulukujen harmoninen sarja
Alkulukujen harmoninen sarja LuK-tutkielma Markus Horneman Oiskelijanumero:2434548 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun ylioisto Syksy 207 Sisältö Johdanto 2 Hyödyllisiä tuloksia ja määritelmiä 3. Alkuluvuista............................
LisätiedotMuuttuvan kokonaissensitiivisyyden mallinnus valvontaohjelman riskinarvioinnissa esimerkkinä munintaparvet
Muuuvan kokonaissnsiiivisyyn mallinnus valvonaohjlman riskinarvioinnissa simrkkinä muninaarv Tausa: Aimma salmonllarojki FooBUG rojki ja uusi malli muninaarvill 8. EFSA WG: salmonlla muninaarvissa. Samaa
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
LisätiedotMallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009
Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 8 (viikko 14) Tehävä 1 LAD-käyrä siiryy ylöspäin. Ulkomaisen hinojen nousessa oman maan reaalinen vaihokurssi heikkenee 1 vaihoase vahvisuu IS-käyrä
LisätiedotSisällys. Alkusanat. Alkusanat. Tehtävien ratkaisuja
Sisällys Alkusana Thävin rakaisuja Joukko-oppia Logiikkaa 6 Todisusmnlmiä Lukuoriaa Lisähäviä Pikasi 9 Krauskok painos Alkusana Tämä ainiso liiyy pikän mamaiikan oppikirjaan Lukion Calculus 6:n, ja s on
LisätiedotKonvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5
S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali,
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotTäydennetään teoriaa seuraavilla tuloksilla tapauksista, joissa moninkertaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on yksi:
77 Aemmn oleen, eä mars A on dagonalsouva. Tällanen on lanne äsmälleen sllon, un joasen omnasarvon geomernen eraluu on sama un algebrallnen. Täydenneään eoraa seuraavlla uloslla apaussa, jossa monnerasen
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotVÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 14: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, harmoninen kuormitusheräte
4/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 4: Yhden vaausaseen vaieneva akkvärähely, harninen kuriusheräe LIIKEYHTÄLÖN JOHTO JA RATKAISU Kuvassa n esiey visksisi vaienneun yhden vaausaseen harnisen akkvärähelijän erusalli.
Lisätiedot1. Logiikan ja joukko-opin alkeet
1. Logiikan ja joukko-opin alkeet 1.1. Logiikkaa 1. Osoita totuusarvotauluja käyttäen, että implikaatio p q voidaan kirjoittaa muotoon p q, ts. että propositio (p q) ( p q) on identtisesti tosi. 2. Todista
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 1 Matemaattisesta päättelystä Matemaattisen analyysin kurssin (kuten minkä tahansa matematiikan kurssin) seuraamista helpottaa huomattavasti, jos opiskelija ymmärtää
LisätiedotOnko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?
Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotXII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA
II ADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA Laskenaaajuus akiivisuus Määrieäessä radioakiivisen näyeen akiivisuua (A) uloksena saadaan käyeyn miausyseemin anama laskenaaajuus (). = [II.I] jossa =
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
LisätiedotKOMISSION VALMISTELUASIAKIRJA
EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO Bryssel, 23. oukokuua 2007 (24.05) (OR. en) Toimielinen välinen asia: 2006/0039 (CNS) 9851/07 ADD 2 N 239 RESPR 5 CADREN 32 LISÄYS 2 I/A KOHTAA KOSKEVAAN ILMOITUKSEEN Läheäjä:
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot2. Systeemi- ja signaalimallit
2. Syseemi- ja signaalimalli Malliyyppejä: maemaainen malli: muuujien välise suhee kuvau maemaaisesi yhälöin lohkokaaviomalli: syseemin oiminojen looginen jako lohkoihin, joiden välisiä vuorovaikuuksia
LisätiedotRakennusosien rakennusfysikaalinen toiminta Ralf Lindberg Professori, Tampereen teknillinen yliopisto ralf.lindberg@tut.fi
Rakennusosien rakennusfysikaalinen oimina Ralf Lindber Professori, Tampereen eknillinen yliopiso ralf.lindber@u.fi Rakenneosien rakennusfysikaalisen oiminnan ymmärämiseksi on välämäönä piirää kolme eri
Lisätiedot3. Kongruenssit. 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi
3. Kongruenssit 3.1 Jakojäännös ja kongruenssi Tässä kappaleessa esitellään kokonaislukujen modulaarinen aritmetiikka (ns. kellotauluaritmetiikka), jossa luvut tyypillisesti korvataan niillä jakojäännöksillä,
Lisätiedot4 Matemaattinen induktio
4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla
LisätiedotHuomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).
DEE- Piirianalyysi Ykkösharkan ehävien rakaisuehdoukse. askeaan ensin, kuinka paljon äyeen ladaussa akussa on energiaa. Tämä saadaan laskeua ehäväpaperissa anneujen akun ieojen 8.4 V ja 7 mah avulla. 8.4
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
LisätiedotTestaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo
Testaa taitosi 1: Lauseen totuusarvo 1. a) Laadi lauseen A (B A) totuustaulu. b) Millä lauseiden A ja B totuusarvoilla a-kohdan lause on tosi? c) Suomenna a-kohdan lause, kun lause A on olen vihainen ja
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
Lisätiedot2. Suoraviivainen liike
. Suoraviivainen liike . Siirymä, keskinopeus ja keskivauhi Aika: unnus, yksikkö: sekuni s Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen asema (paikka) ilmoieaan suoralla olevan piseen paikkakoordinaain (unnus
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
LisätiedotHarjoitustehtävien ratkaisut. Joukko-opin harjoituksia. MAB1: Luvut ja lukujoukot 2
MAB: Luvut ja lukujoukot Harjoitustehtävien ratkaisut Joukko-opin harjoituksia T Joukossa W V ovat kaikki joukkojen W ja V alkiot, siis alkiot, jotka ovat joko W :n tai V :n tai molempien alkioita. Siis
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 4 Mikko Salo 4.9.2017 Sisältö 1. Rationaali ja irrationaaliluvut 2. Induktiotodistus Rationaaliluvut Määritelmä Reaaliluku x on rationaaliluku, jos x = m n kokonaisluvuille
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotKurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.
HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on
Lisätiedot