Mikrotalousteoria 2, 2008, osa I
|
|
- Hilja Pääkkönen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Mikrotalousteoria 2, 2008, osa I Kirjallisuus (soveltuvin osin): 1) Gravelle & Rees: Microeconomics 2) Estola: Kansantaloustieteen perusteet 3) Chiang: Fundamental methods of Mathematical Economics 4) De Jong: Dimensional Analysis for Economists Sisältö 1 Symbolien merkintätavat 1 2 Teorioiden mitattavuudesta 2 3 Funktion homogeenisuudesta 3 4 Kuluttajan preferenssirelaatio 3 5 Funktion konkaavisuudesta (kuperuudesta) 4 6 Neliömuodoista Neliömuodot ja funktion konkaavisuus Komparatiivisen statiikan periaate 7 8 Optimointi yhtälörajoitteilla 7 9 Optimointi epäyhtälörajoitteilla 8 10 Envelope -teoreema Envelope -teoreeman sovelluksia Symbolien merkintätavat Vektorit: Symbolilla X = (x 1, x 2,..., x n ) merkitään n-ulotteisen avaruuden alkiota eli vektoria, joka on järjestettyjen n -alkioiden (vektorin komponenttien) joukko. Vektorin X komponentit x i, i = 1, 2,..., n ovat joko reaalilukuja, skalaareja tai skalaariarvoisia funktioita. Merkintä X, Y Ω tarkoittaa, että vektorit X, Y kuuluvat joukkoon Ω. Ilmaisu Ω R n tarkoittaa, että joukko Ω on n-ulotteisen vektoriavaruuden R n osajoukko, n = 1, 2, 3,.... 1
2 2 Teorioiden mitattavuudesta Yleinen vaatimus fysikaalisten luonnonlakien matemaattisille esitysmuodoille on, että ovat riippumattomia siitä, missä mittayksiköissä yhtälöissä esiintyvät suureet on mitattu. Tällaiset yhtälöt ovat homogeenisia dimensioiden suhteen eli dimensiohomogeenisia, ja ne toteuttavat lisäksi seuraavan aksiooman. Bridgmanin aksiooma (BA) (de Jong 1967) Kahden samandimensioisen suureen suhdeluku ei saa riippua niiden mittayksiköistä. Vain sellaiset (matemaattiset) muunnosoperaatiot (-funktiot) ovat mielekkäitä dimensionaalisilla suureilla (skalaareilla), jotka toteuttavat BA:n. Esim. Olkoon meillä kaksi massaa mitattuina kilogrammoina tuottaen mittaluvut x 1, y 1. Muutetaan nyt mittayksikkö kilogramma a-kertaiseksi, a > 0. Tällöin saamme uudet mittaluvut x 1 /a, y 1 /a. Nyt BA toteutuu, sillä x 1 /a y 1 /a = x 1 y 1. Myös potenssifunktio toteuttaa BA:n, sillä (x 1 /a) b (y 1 /a) = xb 1. b On myös olemassa matemaattisia muunnosfunktioita, jotka eivät toteuta BA:aa. Esimerkiksi kaikki transkendentiaaliset funktiot kuten sin(x), cos(x), e x, log(x) jne. ovat tällaisia. Tarkastellaan esimerkkinä logaritmifunktiota. sillä esimerkiksi y b 1 log(x 1 /a) log(y 1 /a) log(x 1) log(y 1 ), 0.5 log(2) log(4) log(2/2) log(4/2) = 0. Siis kaikki matemaattiseen muotoon kirjoitetut teoriat, jotka sisältävät mittayksiköllisiä suureita, tulisi olla kirjoitetut sellaisessa muodossa, että jos mittayksikkömuunnos tehdään esimerkiksi euro cent tai viikko vuorokausi yhtälö säilyttää alkuperäisen muotonsa. Edelleen kaikkien teorioissa esiintyvien transkendentiaalisten muunnosfunktioiden argumenttien tulisi olla dimensiottomia (mittayksiköttömiä). 2
3 3 Funktion homogeenisuudesta Funktion f : R n R sanotaan olevan k:nnen asteen homogeeninen, jos sille pätee f(s X) = s k f( X), s R, s X = (sx 1,..., sx n ); muista vektorin kertominen reaaliluvulla! Jos k=0, f on nollannen asteen homogeeninen; jos k = 1, f on ensimmäisen asteen homogeeninen eli lineaarihomogeeninen jne. Jos yrityksen tuotantofunktio f : R n R on homogeeninen astetta 1, kaikkien panosten muuttaminen s kertaisiksi muuttaa tuotantonopeuden s- kertaiseksi. Eulerin tulos lineaarihomogeenisille funktioille: y = f(sx 1,..., sx n ) = sf ( x 1,..., x n ) Derivoimalla yo. yhtälö puolittain s:n suhteen, vasemmasta puolesta saadaan Oikeasta puolesta taas saadaan dy ds = x x n = x 1 x n dy ds = f( X). Asettamalla nämä yhtäsuuriksi, saadaan Eulerin tulos: n i=1 x i x i. f( X) = n i=1 x i x i. Jos f : R n R on yrityksen lineaarihomogeeninen tuotantofunktio, Eulerin tulos kertoo, että yrityksen tuotantonopeus voidaan ilmaista sellaisena panoskäyttöjen summana, jossa panoskäyttöjen kertoimet ovat niiden rajatuottavuudet. 4 Kuluttajan preferenssirelaatio Merkintä X Y tarkoittaa, että kuluttaja pitää kulutusnopeusvektoria X vähintään yhtä hyvänä kuin kulutusnopeusvektoria Y. Merkintä X Y tarkoittaa, että kuluttaja pitää kulutusnopeusvektoria X parempana kuin kulutusnopeusvektoria Y. Merkintä X Y tarkoittaa, että kuluttaja pitää 3
4 kulutusnopeusvektoria X yhtä hyvänä (samanarvoisena) kuin kulutusnopeusvektoria Y. Vastaavasti merkintä X Y tarkoittaa, että kuluttaja ei pidä kulutusnopeusvektoria X vähintään yhtä hyvänä kuin kulutusnopeusvektoria Y. Huom! Preferenssirelaatio on eri asia kuin suurempi tai yhtä suuri kuin -relaatio matematiikassa. Yleisesti ottaen, matematiikassa vektoreille ei ole määritelty järjestysrelaatiota. Sen sijaan vektorien erilaiset normit, esimerkiksi Euklidinen normi ja itseisarvonormi, X = n x 2 i, X n I = x i, i=1 reaaliarvoisina kuvauksina R n R ovat järjestysrelaatiollisia. 5 Funktion konkaavisuudesta (kuperuudesta) Funktio f : R n R on konkaavi, jos i=1 af( X) + (1 a)f( Y ) f(a X + (1 a) Y ), missä X, Y R n ja 0 < a < 1. Funktio on siis konkaavi, jos funktion arvo jokaisen avoimen määrittelyvälin a X + (1 a) Y jokaisessa pisteessä on vähintään yhtä suuri kuin sellaisen suoran saama arvo ko. pisteessä, joka kulkee funktion välin päätepisteissä saamien arvojen kautta. Funktio f : R n R on konveksi (kovera), jos af( X) + (1 a)f( Y ) f(a X + (1 a) Y ). Funktio f : R n R on aidosti (strictly) konkaavi tai konveksi, jos yo. määritelmissä merkit ja voidaan korvata merkeullä > ja <. Funktio f : R n R on kvasikonkaavi (näennäis-), jos 0 < a < 1 f( Y ) f( X) f(a X + (1 a) Y ) f( X). Funktion kvasikonkaavisuus merkitsee sitä, että jos lasketaan funktion arvo kahdessa pisteessä siten, että funktion arvo pisteessä Y on vähintään yhtä suuri kuin pisteessä X, niin funktion arvo määrittelyvälin a X + (1 a) Y jokaisessa pisteessä on vähintään yhtä suuri kuin pisteessä X. Funktio f : R n R on kvasikonveksi, jos f( Y ) f( X) f(a X + (1 a) Y ) f( Y ). 4
5 Harj: Osoita että funktion konkaavisuudesta seuraa kvasi-konkaavisuus. Funktio f : R n R on aidosti (strictly) kvasikonkaavi tai konveksi, jos yllä esitetyissä määritelmissä oikeanpuoleiset epäyhtälömerkit voidaan korvata > ja < merkeillä. Funktio f : R n R on tarkasti (explicitly) kvasikonkaavi, jos f( Y ) > f( X) f(a X + (1 a) Y ) > f( X). Huom! Tarkasti kvasikonkaavi funktio on myös aidosti kvasikonkaavi mutta päinvastainen väite ei päde. Joukko on konveksi, jos se sisältää kaikki joukon kahden pisteen muodostamat kuperat yhdisteet, eli näiden pisteiden yhdistejanan muodostaman pistejoukon. Huom! Älä sekoita konveksia funktiota ja konveksia joukkoa toisiinsa. Niillä ei ole keskenään sinänsä mitään yhteyttä, mutta seuraava väite voidaan kuitenkin todistaa. Väite: Jos f : R n R on kvasikonkaavi, f:n tasokäyrän, eli pisteiden f( X) = c, c vakio ja sitä suurempien funktion arvojen muodostama joukko on konveksi joukko. Differentioituva funktio f : R n R on konkaavi, jos f( Y ) f( X) + n i=1 x i ( X)(y i x i ), missä X, Y R n. Funktio f : R n R on aidosti konkaavi, jos edellisessä määritelmässä -merkki muunnetaan <:ksi. Funktion konveksisuuden määritelmä saadaan kääntämällä epäyhtälöiden merkit. 6 Neliömuodoista Tarkastelemme tässä vain kahden muuttujan tilannetta vaikka tilanne on yleistettävissä n:n muuttujan tapaukseen, missä n on positiivinen kokonaisluku (katso Chiang). Kahden muuttujan x, y lineaarinen muoto on z = ax + by, a, b vakioita. Lineaarimuodossa jokaisen yhteenlaskettavan termin potenssien summa = 1. Kahden muuttujan neliömuoto on z = ax 2 + bxy + cy 2, a, b, c vakioita. 5
6 Neliömuodossa yhteenlaskettavien termien potenssien summa = 2. Funktion z = f(x, y) toisen kertaluvun differentiaali neliömuotona: Ensimmäisen kertaluvun differentiaali on Toisen kertaluvun differentiaali on dz = f x dx + f y dy. d 2 z = f xx (dx) 2 +f yx dxdy+f xy dydx+f yy (dy) 2 = f xx (dx) 2 +2f xy dxdy+f yy (dy) 2, sillä jatkuvien osittaisderivaattafunktioiden tapauksessa voidaan osoittaa, että f xy = f yx. Toisen kertaluvun differentiaali voidaan tulkita neliömuodoksi muunnoksilla dx = u, dy = v f xx = a, f xy = b, f yy = c; ( ) ( ) a b u d 2 z = au 2 + 2buv + cv 2 = (u, v) = Z b c v H Z T, missä Z = (u, v) ja yläindeksillä T merkitään matriisin transpoosia. Neliömuoto A = X H X T on positiivisesti määritelty kun positiivisesti puolimääritelty kun negatiivisesti määritelty kun A > 0 A 0 A < 0 negatiivisesti puolimääritelty kun A 0, missä sana määritelty vastaa englanninkielistä termiä definite ja puoli vastaa termiä semi. Edellä esitetty neliömuoto d 2 z on positiivisesti määritelty, jos ( ) ( ) fxx f H = xy a b = b c f yx f yy on positiivisesti määritelty matriisi, eli f xx > 0 ja f xx f yy f 2 xy > 0. Huom! Tällöin myös f yy > 0. Vastaavasti neliömuoto d 2 z on negatiivisesti määritelty, jos H on negatiivisesti määritelty matriisi, eli f xx < 0 ja f xx f yy f 2 xy > 0 (Chiang: Quadratic forms etc, väite voidaan todistaa esim. neliöön täydentämällä). 6.1 Neliömuodot ja funktion konkaavisuus Kahdesti jatkuvasti derivoituva funktio f : R n R, z = f( X), X R n on konkaavi (konveksi), jos ja vain jos d 2 z on kaikkialla negatiivisesti (positiivisesti) puolimääritelty neliömuoto. Funktio f on aidosti konkaavi (konveksi), jos d 2 z on kaikkialla negatiivisesti (positiivisesti) määritelty neliömuoto. 6
7 7 Komparatiivisen statiikan periaate Tarkastelemme tässä vain kahden muuttujan tilannetta, mutta tulokset voidaan yleistää n:n muuttujan tapaukseen. Muodostetaan seuraavasta yhtälöryhmästä matriisiesitys: ax + by = c kx + hy = m ( ) ( ) a b x = k h y ( ) c. m Ratkaistaan yo. yhtälöryhmä esim. Cramerin säännöllä tai ratkaisemalla toisesta yhtälöstä x tai y ja sijoittamalla toiseen yhtälöön: x = ch bm ah bk, y = am ck ah bk. Oletus: a = 2, b = 3, c = 4, k = 5, h = 6, m = 10. Tällöin systeemin ratkaisu on x = 2 ja y = 0. Oletetaan seuraavaksi, että a muuttuu Tällöin systeemin ratkaisu on x = 10 ja y = 6.7. Jos taas a muuttuu 2 3. Tällöin ratkaisu on x = 2 ja y = 10/3. Nyt x a = x a hx (ah bk), = 4, a=2 y a y a = kx ja (ah bk) = 10 3 = a=2 Koska x / a > y / a kun a = 2, voidaan päätellä, että a:n muutos aiheuttaa absoluuttisesti suuremman muutoksen x:n tasapainoarvoon kuin y:n. Tällaisia vertailuja kutsutaan komparatiiviseksi statiikaksi, eli systeemin tasapainotilojen vertailuksi. Yllä lasketuista tuloksista voidaan päätellä, että a:n marginaalinen kasvu kasvattaa x :ä ja pienentää y :ä. Tämä nähdään myös yllä lasketuista tasapainoarvojen muutoksista kun a : 2 2, 4. Jos kuitenkin a kasvaa enemmän kuin marginaalisesti, yllä johdetut osittaisderivaatat voivat ennustaa väärin muuttujien tasapainoarvojen muutossuunnat. Tämä nähdään tuloksista a : Optimointi yhtälörajoitteilla Maksimoidaan funktiota f : R n R eli f( X) R, X R n rajoitteilla b j = g j ( X), b j R, j = 1,..., m, X = (x1,..., x n ). Merk. λ = (λ 1,..., λ n ). 7
8 Minimointiongelmat jätetään tarkastelematta, sillä f( X):n maksimointi tuottaa saman ratkaisun kuin f( X):n minimointi. Muodostetaan seuraava Lagrangen funktio: max X, λ L( X, λ) = f( X) + m λ j [b j g j ( X)]. Välttämättömät ehdot sidotun ääriarvotehtävän maksimille ovat L = 0 m g j λ j = 0, i = 1,..., n, x i x i x i j=1 j=1 L λ j = 0 b j g j ( X) = 0, j = 1,... m. Yo. yhtälöt voidaan kirjoittaa seuraavasti: m g j = λ j, i = 1,..., n, x i x i j=1 b j = g j ( X), j = 1,..., m. Optimointiongelma määrittelee funktion f optimaalisen arvon f( X ) kun X = (x 1,..., x n) on sidotun ääriarvotehtävän ratkaisu. 9 Optimointi epäyhtälörajoitteilla Maksimoidaan f : R n R, f( X) rajoitteilla g j ( X) b j x i 0, b j R, i = 1,... n, j = 1,..., m. Muodostetaan Lagrangen funktio: L( X, λ) = f( X) m + λ j [b j g j ( X)]. max X, λ Maksimin välttämättömät ehdot ovat: L 0 m g j λ j 0, x i x i x i j=1 j=1 x i 0 ja x i L x i = 0, i = 1,... n L 0 b j g j ( λ L X) 0, λ j 0 ja λ j = 0, j = 1,... m. j λ j Jomman kumman suureista L x i tai x i on siten oltava nollan suuruinen, samoin toisen suureista L λ j ja λ j on oltava nollan suuruinen. Näitä kutsutaan Kuhnin ja Tuckerin välttämättömiksi ehdoiksi maksimipisteelle. Minimointiongelma muodostetaan vastaavasti, mutta tarkkana pitää olla epäyhtälöiden merkkien kanssa. 8
9 10 Envelope -teoreema Merkitään y = f(x, a) ja valitaan x funktiota f optimoiden (minimoiden tai maksimoiden), eli ratkaistaan x:n arvo seuraavasti: x = 0 x = g(a). Määritellään nyt seuraava funktio y = f ( g(a), a ), jossa x valitaan aina funktion f arvoa optimoiden. Funktio y on siis y:n optimaalinen arvofunktio. Tällöin pätee dy da = x g (a) + a = a sillä x = 0. Tätä kutsutaan envelope -teoreemaksi mikä kertoo sen, että systeemin eksogeenisen muuttujan a muutos muuttaa alkuperäisen funktion y arvoa saman verran kuin optimaalisenkin funktion y arvoa. Ehtona on, että endogeenisen muuttujan x arvo valitaan aina optimaalisesti. Tätä tulosta voidaan hyödyntää kansantaloustieteessä komparatiivisen statiikan yhteydessä Envelope -teoreeman sovelluksia Täydellisen kilpailun markkinatilanteen yrityksen voittofunktio on Π = pq C(q), missä C(q) = a(q)q ja a(q) = a + bq; a(q) ovat yksikkökustannukset, q tuotantonopeus ja p tuotteen yksikköhinta. Voittofunktio on tällöin: ja voiton maksimoinnin ehto on: Π = pq aq bq 2, Π q = 0 p C (q) = 0 p = a + 2bq q = p a 2b. Määritellään voittofunktio, jossa tuotantonopeus valitaan aina optimaalisesti: ( ) 2 Π = pq aq bq 2 (p a)2 p a = b. 2b 2b Tällöin saadaan ( ) dπ p a dp = 2 2b (p a) 2b = p a 2b = q. Johdetaan sama tulos yleisessä muodossa esitetylle voittofunktiolle, jossa tuotantonopeus valitaan aina optimaalisesti Π = pq (p) C ( q (p) ) ; 9
10 dπ dp = q (p) + p q p C ( q q p = q (p) + p C ) q q p = q (p). Tulos saatiin olettamalla p = C/ q, mikä on ehto sille, että tuotantonopeus q valitaan optimaalisesti. 10
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotLuento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa
Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon
Lisätiedot1 Rajoittamaton optimointi
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 7 materiaali 5 Rajoittamaton optimointi Yhden muuttujan tapaus f R! R Muistutetaan mieleen maksimin määritelmä. Funktiolla f on maksimi pisteessä x jos kaikille y
Lisätiedot2 Osittaisderivaattojen sovelluksia
2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100
HARJOITUS, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE 07.. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 0x +0xy +5y (b.) f(x,y) = 4x y xy +x+y +00 (a.) Funktion kriittiset pisteet ratkaisevat
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
Lisätiedot, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi I
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause
Lisätiedot= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.
HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to
Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. 3. Luennon sisältö
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO 3. Luennon sisältö Lineaarisen optimointitehtävän sallittu alue Optimointitehtävien muunnoksia Lineaarisen yhtälöryhmän perusmuoto ja perusratkaisut Lineaarisen optimointitehtävän
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016 Antti Rasila
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat.
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 6: Ääriarvojen luokittelu. Lagrangen kertojat. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
LisätiedotHarjoitus 7: vastausvihjeet
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 31C01100 Kevät 2017 Topi Hokkanen topi.hokkanen@aalto.fi Harjoitus 7: vastausvihjeet 1. (Epäyhtälörajoitteet) Olkoon f (x, y) = 6x + 4y ja g (x, y) = x 2 + y 2 2.
LisätiedotPiiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R
Lineaarinen optimointi vastaus, harj 1, Syksy 2016. 1. Teollisuuslaitos valmistaa piirejä R 1 ja R 2, joissa on neljää eri komponenttia seuraavat määrät: Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R 1 3 1 2 2 R 2 4 2 3 0 Päivittäistä
LisätiedotMatematiikan perusteet taloustieteilij oille I
Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedotläheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotMatematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
Lisätiedotb 1. b m ) + ( 2b Ax) + (b b)
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-9 Optimointioppi Kimmo Berg 5 harjoitus - ratkaisut min Ax b (vertaa PNS-tehtävät) a x + + a n x n a) Ax b = a m x + + a mn x n = x a a m }{{}
LisätiedotAlgebra. 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. 2. Laske. a) Luku 2 on luonnollinen luku.
Algebra 1. Ovatko alla olevat väittämät tosia? Perustele tai anna vastaesimerkki. a) Luku on luonnollinen luku. b) Z c) Luvut 5 6 ja 7 8 ovat rationaalilukuja, mutta luvut ja π eivät. d) sin(45 ) R e)
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMalliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) f(x) = 2x + 21. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että imoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) f(x) = x (pienin kokonaisluku
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
Lisätiedot1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotDuaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa. Mat , Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki
Duaalisuus kokonaislukuoptimoinnissa Mat-2.4191, Sovelletun matematiikan tutkijaseminaari, kevät 2008, Janne Karimäki Sisältö Duaalisuus binäärisissä optimointitehtävissä Lagrangen duaalisuus Lagrangen
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotPELITEORIAN TALOUSTIETEELLISIÄ SOVELLUKSIA
PELITEORIAN TALOUSTIETEELLISIÄ SOVELLUKSIA Matti Estola 29 marraskuuta 2013 Sisältö 1 Cournot'in duopolimalli 2 2 Pelin Nash -tasapainon tulkinta 3 3 Cournot'in mallin graanen ratkaisu 4 4 Bertrandin duopolimalli
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Lokaalit ääriarvot Yhden muuttujan funktion f (x) lokaali maksimi on piste x 0, jossa f (x) on suurempi kuin muualle pisteen x 0 ympäristössä, eli kun f (x 0 )
Lisätiedotf(x, y) = x 2 y 2 f(0, t) = t 2 < 0 < t 2 = f(t, 0) kaikilla t 0.
Ääriarvon laatu Jatkuvasti derivoituvan funktion f lokaali ääriarvokohta (x 0, y 0 ) on aina kriittinen piste (ts. f x (x, y) = f y (x, y) = 0, kun x = x 0 ja y = y 0 ), mutta kriittinen piste ei ole aina
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedot1 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina
Taloustieteen mat.menetelmät syksy27 materiaali II-2 Rajoitettu optimointi II - kustannusfunktio, Lagrangen kertoimet varjohintoina. Tuotanto Yritys valmistaa yhtä tuotetta n:stä tuotannontekijästä/panoksesta
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotMalliratkaisut Demo 4
Malliratkaisut Demo 4 1. tehtävä a) () = 2+1. Funktio on lineaarinen, joten se on unimodaalinen sekä maksimoinnin että minimoinnin suhteen. Funktio on konveksi ja konkaavi. b) () = (suurin kokonaisluku
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotTaloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali 1
Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali 1 1 Taloustiede tutkii niukkojen resurssien kohdentamista kilpaileviin tarkoituksiin mikä on hyvä tapa kohdentaa? miten arvioida tuloksia? mitä niukkuus tarkoittaa?
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
LisätiedotKuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotTaustatietoja ja perusteita
Taustatietoja ja perusteita Vektorit: x R n pystyvektoreita, transpoosi x T Sisätulo: x T y = n i=1 x i y i Normi: x = x T x = ni=1 x 2 i Etäisyys: Kahden R n :n vektorin välinen etäisyys x y 1 Avoin pallo:
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
LisätiedotBM20A0300, Matematiikka KoTiB1
BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja
LisätiedotLuento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi.
Luento 12: Duaalitehtävä. Tarkennuksia Lagrangen kertoimen tulkintaan. Hajautettu optimointi. Konveksisuus Muista x + αd, α 0, on pisteestä x R n alkava puolisuora, joka on vektorin d suuntainen. Samoin
LisätiedotMat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5
Mat-2.148 Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 5 1. Kotitehtävä. 2. Lasketaan aluksi korkoa korolle. Jos korkoprosentti on r, ja korko maksetaan n kertaa vuodessa t vuoden ajan, niin kokonaisvuosikorko
LisätiedotMATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 2011
MATEMATIIKAN ALKEET II (YE19B), SYKSY 011 Sisältö 1. Matriisin definiittisyys 1. Konkaavit ja konveksit funktiot 3 3. Ääriarvotehtävien toisen kertaluvun riittävät ehdot 7 3.1. Rajoittamaton ääriarvotehtävä
LisätiedotKKT: log p i v 1 + v 2 x i = 0, i = 1,...,n.
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-2.139 Optimointioppi Kimmo Berg 7. harjoitus - ratkaisut 1. Oletetaan aluksi, että epäyhtälöt eivät ole aktiivisia p i > 0. Tässä tapauksess KKTehdot
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotMatematiikka B1 - TUDI
Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotMikrotalousteoria 2, 2008, osa II
Sisältö Mikrotalousteoria 2, 2008, osa II 1 Kuluttajan valintateorian aksioomat 1 2 Kuluttajan kulutusmahdollisuuksien joukko 3 3 Hyötyfunktion olemassaolo ja määrittely 3 4 Marginaalinen vaihtosuhde kahden
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1
LisätiedotOptimaalisuusehdot. Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0
Optimaalisuusehdot Yleinen minimointitehtävä (NLP): min f(x) kun g i (x) 0 h j (x) = 0 i = 1,..., m j = 1,..., l missä f : R n R, g i : R n R kaikilla i = 1,..., m, ja h j : R n R kaikilla j = 1,..., l
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
Lisätiedotf(x 1, x 2 ) = x x 1 k 1 k 2 k 1, k 2 x 2 1, 0 1 f(1, 1)h 1 = h = h 2 1, 1 12 f(1, 1)h 1 h 2
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 7 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset 6.. Olkoon f : G R, G = {(x, x ) R x > }, f(x, x ) = x x. Etsi differentiaalit d k f(, ), k =,,. Ratkaisu:
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe Ratkaisuehdotus. 1. (35 pistettä)
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, HY Kurssikoe 26.10.2017 Ratkaisuehdotus 1. (35 pistettä) (a) Seuraavat matriisit on saatu eräistä yhtälöryhmistä alkeisrivitoimituksilla. Kuinka monta ratkaisua yhtälöryhmällä
LisätiedotFunktiot, L4. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktio ja kuvaus. Yhdistetty funktio. eksponenttifunktio. Logaritmi-funktio. Logaritmikaavat.
Funktiot, L4 eksponentti-funktio Funktio (Käytännöllinen määritelmä) 1 Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.fi) kurssi8, / Etälukio (edu.fi) kurssi8, logaritmifunktio / Etälukio (edu.fi) Funktio (Käytännöllinen
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Funktion kuperuussuunnat Derivoituva funktio f (x) on pisteessä x aidosti konveksi, jos sen toinen derivaatta on positiivinen f (x) > 0. Vastaavasti f (x) on aidosti
LisätiedotYhtälön oikealla puolella on säteen neliö, joten r. = 5 eli r = ± 5. Koska säde on positiivinen, niin r = 5.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 31 Kirjoitetaan yhtälö keskipistemuotoon ( x x ) + ( y y ) = r. 0 0 a) ( x 4) + ( y 1) = 49 Yhtälön vasemmalta puolelta nähdään, että x 0 = 4 ja y 0 = 1, joten ympyrän
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
Lisätiedot