Gillespie A.: Foundations of Economics., 2011, luvut 6-8, 17, 21 ja 29. ISBN Oxford University Press.
|
|
- Anja Kahma
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Vltiotieteellinen tiedekunt Tloustieteen vlintkoe Arvosteluperusteet Kesä 0 Vlintkoekirjt Gillespie A.: Foundtions of Economics., 0, luvut 6-8, 7, j 9. ISBN Oxford University Press. sekä toinen seurvist: Pohjol, Mtti (0): Tloustieteen oppikirj. 5. uudistettu pinos. ISBN WSOYPro Oy. Aineistokoe edellyttää pitkän mtemtiikn tietoj. eller på svensk Berglund, Tom och Johnsson, Edvrd (007): Introduktion till smhällsekonomisk nlys. ISBN Söderströms förlg. Aineistokoe edellyttää pitkän mtemtiikn tietoj. TEHTÄVÄ ) Suhdnnevihtelulle on esitetty useit selityksiä. Pohjol (s. 9) korost erilisten ulkoisten shokkien, kuten öljyn hinnn vihtelun merkitystä. Gillespie (s. 35) minitsee odotukset j vrstojen vihtelun. Kotitlouksien j yrityksen odotukset jtkuvst ksvust innostvt yrityksiä tekemään investointej, sillä ne uskovt kysynnän ksvvn tulevisuudess. Kotitloudetkin ovt hlukkit kuluttmn uskoessn, että niiden tulovirt säilyy korken. Nämä tekijät vhvistvt toisin. Josskin viheess mielilt kuitenkin kääntyvät pessimistisemmiksi (kenties vnhojen kokemusten perusteell). Odotusten kääntymistä seur sekä kysynnän että investointien väheneminen. Vrstojen tsoon perustuvn teorin mukn ksvun lkuviheess yritykset ovt hluttomi ksvttmn tuotnto, kosk eivät vielä luot ksvun jtkuvuuteen. Tuotnnon sijn kysyntä tyydytetään vrstoj pienentämällä. Jos kysyntä kuitenkin ksv edelleen, yritysten on pkko ryhtyä tuotnnon ljentmiseen. Tällöin ne työllistävät lisää j myös investoivt. Vrstotkin on plutettv entiseen kokoons. Näin nousukusi kiihtyy j kuumenee. Kun kysyntä viimein tittuu, tuotnto ei heti pienennetä, vn vrstot ksvvt. Lskun jtkuess tuotntokin supistetn, jop enemmän kuin kysyntää, sillä vrstot pullistelevt. Smll investoinnit lyödään jäihin. Näin lskusuhdnne muuttuu lmksi. Myös julkisen vlln stbiloivksi iottu suhdnnepolitiikk stt itse siss voimist suhdnneviheluit. Perussyynä on se, että julkisen vlln sm informtio on yleensä vnhentunutt j päätöksenteko vtii ik.
2 b) Suhdnnetyyppejä lsketn olevn kolme, klssiset, lle kymmenen vuott kestävät suhdnteet, nobelvoittj Kuznetsin mukn nimetyt 5-5 vuott kestävät syklit j toisen nobel voittj Kondrtieffin mukn nimetyt pitkät, vuott kestävät syklit (Gillepie s, 350). c) Suhdnnevihtelu käsitellään vlintkoekirjss Pohjol luvuss. Suhdnteit ennustvi indikttoreit puolestn käsitellään vlintkoekirjss Gillespie luvuss. Jälkimmäisessä luetelln kolmentyyppisiä indikttoreit, johtvt (leding), smnikiset( coincident) j viivästettyjä ti lhvi (lgging) indikttoreit. Tehtävässä esitetyistä indikttoreist kolme (uudet utot, kuluttjien luottmus j uudet lint) ovt johtvi, kun ts työttömyys on viivästetty indikttori. Kikki johtvt indikttorit osoittvt, että edessä on uusi nousu (nousev suunt). Sen sijn viivästetty indikttori, osoitt vielä jo sivuutettu lmn pohj (lskev suunt). Indikttorit osoittvt siis smnsuuntisesti. On kuitenkin selvää, että tilnne on epävrm; ennen kokemton Euroopn velkkriisi pienentää kikkien indikttoreiden luotettvuutt. TEHTÄVÄ ) (yhteensä 4 pistettä) Tämä kysymys on kohtuullisen hstv. Siinä pyydetään pohtimn tlousksvu, sitä selittäviä tekijöitä j miden välisten elintsoerojen syitä. Näitä sioit käsitellään Pohjoln kirjn luvuss 9. Vstuksen tulee pohjutu kirjss esitettyihin rgumentteihin. Esimerkillisen vstuksen tulisi sisältää seurvt seikt j esityksen tulisi oll jouhev j looginen. Vstuksess ilmenevät keskeiset seikt ovt: ) Tlousksvu voidn nlysoid knsntlouden tuotntofunktion Y = A*F(K,L,H) vull, joss K, L, H j A ovt tuotnnontekijöitä; tlous ksv kun tuotnnontekijöiden määrä lisääntyy; tärkein / keskeisin tlousksvun moottori on ollut teknologin (A) kehittyminen; muhin tuotnnontekijöihin (K, L, H) pätee lskevn rjtuottvuuden lki. ( piste) ) Elintso vuorostn voidn (pproksimoiden) mitt BKT per cpit:ll, j se vuorostn voidn hjoitt seurviin khteen tekijään: BKT / pop = BKT/L * L/pop, joss pop on mn väkiluku j L mn yhteenlskettu työpnos (esim. tehdyt työtunnit). Tällöin BKT/L (ti edellisen kohdn merkinnöin Y/L) kuv työn tuottvuutt j L/pop työn määrää. Työnmäärää ksvttmll elintso voidn ksvtt vin rjllisesti; työn tuottvuus voi vuorostn ksv rjtt. ( piste)
3 3) Nyt kirjoittmll tuotntofunktio muotoon Y/L = A*F(K/L,,H/L), jolloin voimme selittää eroj työn tuottvuudess (j siis elintsoss) miden välillä seurvsti: erot teknologiss (tämä on tärkein!), erot pääomintensiteetissä j erot koulutustsoss. Empiirisen tutkimuksen mukn erot teknologiss selittävät noin puolet elintsoeroist; toinen puoli selittyy eroill pääomn määrässä j koulutustsoiss. ( piste) (Lisäksi miden välillä on eroj tehdyn työn määrässä mutt on syytä huomioid, että vp-ik (eli ei työnteko) on hyödyke, jonk kuluttminen ksvtt yksilöiden hyvinvointi. Pohdinnt siitä, miksi BKT/pop ei välttämättä ole hyvä hyvinvoinninmittri on voinut korvt muit puutteit tässä kohdss.) 4) Keskeinen syy elintsoeroille onkin ksvun puuttuminen; kun köyhä m pääsee ksvu-urlle ott se (todennäköisesti) iemmin vurstuneit mit kiinni elintsoss; teknologin omksuminen ulkomilt mhdollist luksi muit nopemmn ksvun; erot teknologin tsoss selittävät elintsoeroj premmin kuin erot koulutustsoss. Tehtävän ohess ollut kuvio tukee teori siitä, että köyhä m voi omksumll muiden käytössä olev teknologi ksv nopemmin kuin muut j näin kuro umpeen elintsoeroj. (Tämä koht & kuvion tulkint, piste) Lisäksi puutteit edellisten kohtien tiedoiss on voinut pikt seurvill pohdinnoill / huomioill: - Tlousksvu tukee sellisten instituutioiden olemssolo, jotk mhdollistvt / knnustvt säästämistä j investointej sekä fyysiseen että inhimilliseen pääomn. (0,5 pistettä) - T&K-toimint j sen tukemisen vikutus teknologiseen kehitykseen j näin ollen tlousksvuun. (0,5 pistettä) b) Etelä-Koren keskimääräinen ksvuprosentti on (noin) 6, Sveitsin (noin) prosentti. Pohjol (s. 54) esittää kksinkertistumisjn säännön, jonk mukn siis Etelä-Koren BKT kksinkertistuu jok 70/6=,66 eli (noin) jok vuosi. (0,5 pistettä) Vstvsti Sveitsin tlous kksinkertistuu jok 70/=70 vuosi. (0,5 pistettä) c) Voidn käyttää esimerkiksi seurv rviointitp: Kosk Etelä-Korell on ollut kiinniottoik 30/=,5 kksinkertistumisik, j kosk Etelä-Koren BKT vuonn 975 oli 3
4 noin 5000 $ henkeä kohti, on se ksvnut siis srjoiss Viimeisin luku viitt siihen, että kolms kksinkertistumiskusi ei ehdi kulu loppuun; Etelä-Koren henkeä kohti lskettu BKT jää siis lle dollrin vuonn 005. Vikk Sveitsi on ksvnut hitsti, on se kuitenkin pysytellyt edellä Etelä-Kore, sillä sen BKT oli niin korke vuonn 975, noin dollri. Jkson ikn ksvu oli noin puolet lähtöluvust, joten Sveitsin henkeä kohti lskettu BKT ylittää dollri. Trkt luvut vuonn 005 olivt: Etelä-Kore 808 $ j Sveitsi $. (Oiken suuntiset lskelmt 0,5 pistettä; lisäksi oike vstus 0,5 pistettä) TEHTÄVÄ 3 Kilpilu j monopoli verrtn Pohjoln kirjss, kuvioss 57. Vstv kuvio on esitetty ll. Pisteytys (mx. 6 pistettä): - Vstvnlinen kuvio esitetty oikein (0,5 pistettä); lisäksi kuvio tulkittu oikein (0,5 pistettä); tulkinnksi on riittänyt, että selvästi erottelee vpn kilpilun j monopolin kohtmt kustnnus j tuotto käyrät sekä molempi tilnteit vstvt tspinopisteet. (Tämä koht yhteensä piste.) - Anlyyttinen trkstelu (D, MC j MR käyrät nnettu); vpn kilpilun tspinoehto D = MC ( piste); vpn kilpilun tuottm määrä q=5 (0,5 pistettä) j hint p=6 (0,5 pistettä); monopolin tp-ehto MR=MC ( piste); monopolin tuottm määrä q=3 (0,5 pistettä) j hint p=0 (0,5 pistettä). (Tämä koht yhteensä 4 pistettä.) - Pohdinnt tloudellisen ksvun knnlt; verrttun vpseen kilpiluun, monopoli tuott vähemmän j klliimmll (0,5 pistettä); monopolin iheuttmt mhdolliset dynmiset vikutukset teknologiseen kehitykseen, ei välttämättä knnustimi T&K-toimintn (0,5 pistettä). (Tämä koht yhteensä piste.) (Jommnkummn edellisen seikn puuttumist on korvnnut huomio siitä, että monopoli voi knnust korruptioon, jne. Tosin tästä huomiost on voinut sd vin 0,5 pistettä.) 4
5 TEHTÄVÄ 4 ) Verokiilll trkoitetn ero työnntjn plkkkustnnusten j työntekijän smn plkn välillä. Epäsuorien verojen t m j työnntjn sosiliturvmksujen t vikutus sdn ottmll verokiiln (KME) derivtt ko. tekijöiden suhteen. Lopuksi suoritetn derivttojen vertilu: KME dt m dt dtm dt Y Y F F tm W W t Y Y F F W W t Y Y F F W W t Y Y F F tm W W W W t W W t tm t dtm dt 0 Y Y F F tm W W t t Molemmt derivtt ovt positiivisi. Verokiil ksv siis, kun epäsuori veroj ti työnntjn sosiliturvmksuj nostetn. Kummsskin tpuksess työnteon knnustimet heikkenevät. Verokiil ksv kuitenkin vähemmän epäsuorien verojen noustess, joten epäsuorien verojen nosto hitt vähemmän työnteon knnustvuutt. Artikkelin mukn juuri työnteon knnustvuus on pitkällä tähtäyksellä tärkeää, sillä se määrää bruttoknsntuotteen tson j sen ksvun. Mhdollisesti välttämättömät veronkorotukset tulisi siten tehdä epäsuori veroj nostmll. b) Määritellään verokertymän T t w L(t) äärirvo välillä ( 0 t ). Ensimmäisen kertluvun ehto sdn, kun kirjoitetn T verosteen t funktion j derivoidn se t:n suhteen, setetn derivtt nollksi j rtkistn t: T T( t) t w l( t) (/ ) t w (/ ) t T ' w (3/ ) t 3 w t (3/ ) t 0 t / 3 w (/ ) t w 3 (/ ) t ( / ) t ti t
6 Trkstelln sitten toisen kertluvun ehtoj kummllekin rvolle: T '' w (6 / ) t T ''( / 3) w (6 / w w 0 T ''(0) w )( / 3) 0 w 0 Äärirvo t=/3 on siis mksimi. Verosteen tulee oll /3, jott verokertymä T mksimoituisi. Verokertymä jää nollksi, jos t=0. Myös reunpiste t= tuott pienemmän verokertymän kuin optimlinen rvo. TEHTÄVÄ 5 ) Suomen tloustilnne oli vuonn 0 verrttin hyvä, kosk von Greffin j Vrtiisen rtikkelin mukn tlous oli vielä lskusuhdnteess 00. Vuonn 0 Suomen tlousksvu oli ripeää, työttömyys ste oli verrttin mtl, vltion velk oli kohtuullisell tsoll j investointien tso lähellä eurolueen keskirvo (World Fct Booking ineisto). Vihtotse oli niin ikään vielä koko vuoden oslt trksteltun positiivinen. Huono Suomen tloudess oli, että korkest verosteest huolimtt vltion budjetti oli tppiollinen. Vuoden 0 luss Suomen tlousksvu on pysynyt vkn, mutt sitä vrjost phenev Euroopn velkkriisi. Vltion velkntuminen on siitä huolimtt pysynyt kuriss j työttömyys ei ole ksvnut. Euron rvon lsku on myös uttnut Suomen vientiä j vihtotseemme on kääntynyt negtiiviseksi. Suomen tilnne näyttää kuitenkin vielä kohtuullisen hyvältä. Tästä kertoo myös se, että tehtävän kuluttjbrometri on myös lkuvuoden 0 ikn noussut. b) (Vstusvihtoehto : lyhyt ikväli) Suomell olisi vr elvyttää, eli hrjoitt ekspnsiivist tlouspolitiikk. Tämä uttisi tloutt lisäämällä kotimist kysyntää sekä luomll positiivisi kerroinvikutuksi tlouteen. Elvytys olisi todennäköisesti jnkohtist, kosk Suomen suurin yksittäinen kuppkumppni eli eurolue on jutumss (ellei se ole jo jutunut) tntumn. Suomen tloudess on kuitenkin myös ns. utomttisi suhdnteiden tsji, jotk vrmistvt, että lskusuhdnteess ulkomisen kysynnän hiipuess kotiminen kysyntä ei lske voimkksti. Näitä tsji ovt työttömyyskorvukset j sosiliturv. Voidn siis jtell, että Euroopn epävrmn tilnteen vuoksi ei tehdä mitään, vn nnetn ns. tsjien hoit lyhyen ikvälin ksvun tsoittmist. Korken verosteen vuoksi Suomen tulisi vro lisäämästä veroj. Budjetin tspinottmiseksi Suomen tulisikin mieluummin leikt vltion menoj j luod knnusteit työntekoon. Knnustimi työntekoon voitisiin luod pienentämällä 6
7 työnntjien sosiliturvmksuj, jotk ovt tähän tehokkmpi kuin epäsuorien verojen, kuten tuloverotuksen, lskeminen. Toinen vihtoehto olisi luod knnusteit investoinneille, esim. lskemll pääomverotust. (Vstusvihtoehto : pitkä ikväli). Euroopn epävrmn tilnteen vuoksi Suomen voidn myös suositell keskittyvän pidemmän ikvälin ksvun tukemiseen. Tämä voitisiin tehdä tukemll kotimist tutkimus j kehitystoimint, joll luotisiin edellytyksiä pidemmän ikvälin ksvulle (ns. endogeeninen ksvuteori; Pohjol s. 60). Suomen ongelmn on myös väestön ikääntyminen j ns. huoltosuhteen heikkeneminen, jolloin työllisten osuus väestöstä pienenee. Tähän voitisiin pyrkiä vikuttmn nostmll eläkeikää j knnustmll ihmisiä työskentelemään pidempään (von Greff j Vrtiinen s. - ). Näistä jälkimmäiseen voitisiin vikutt esim. työviihtyvyyttä prntmll. TEHTÄVÄ 6 ) Kreikn tloustilnne oli vuonn 0 huono. BKT supistui, vltioll oli pljon velk j työttömyysste oli hyvin korke (World Fct Book). Kreikn investointiste oli myös huomttvn mtl j vihtotse oli phsti negtiivinen. b) Tärkeintä Kreikn tlouden tspinottmisess olisi velkojen uudelleenjärjestely, eli velktkn pienentäminen. On mtemttisesti (lskennllisesti) selvää, että Kreikk ei pysty mksmn kikki velkojn tkisin. Näin suuren velktkn ll tlouden ksvttminen ei myöskään onnistu, kosk huomttv os sen keräämistä verovroist menee velkojen korkomksuihin j näin sillä ei ole esim. vr hrrst ekspnsiivist tlouspolitiikk. Vihtoehtoin velktkn hoitmiseen on, että huomttv os veloist ostetn pois joko muiden euromiden (eurobondit) ti EKP:n puolest (setelirhoitus). Kreikn plminen omn vluuttn vähentäisi tuonti, lisäisi vientiä j tekisi Kreikst houkuttelevmmn (hlvemmn) mtkilukohteen, kosk sen uusi vluutt vrmsti devlvoituisi euroon j dollriin nähden (Gillespie 0, s ). Nämä prntisivt Kreikn tlouden ksvupotentili. Eurost eromisen lyhyen ikvälin kustnnukset voivt kuitenkin oll huomttvt. Kreikn vltion veln nimellisrvo nousisi vluutn devlvoitumist vstvss suhteess. Vltiolt myös käytännössä loppuisivt rht mks plkkoj j mksuj, kosk Kreikk ei tällä hetkellä pystyisi linmn knsinvälisiltä linmrkkinoilt eivätkä sen verotulot riittäisi kttmn menoj. Tämä johtisi esim. poliisien j opettjien plknmksun ktkemiseen sekä koulujen j sirloiden toiminnn häiriöihin. Kreikk ei myöskään ole ruoktloudeltn omvrinen, joten voimks devlvtio voi joht myös ruokpuln. Onkin mhdollist, että eurost erominen johtisi vielä suurempiin sisäisiin levottomuuksiin kuin mitä tähän mennessä on nähty. Näihin kustnnuksiin vikutt keskeisesi se kuink pljon j millä ehdoill Kreikk sisi erons jälkeen tuke esim. EU:lt. 7
8 Kreikk voi myös pyrkiä tehostmn verotust nostmll epäsuori veroj, mutt näillä olisi vin tlousksvu hidstv j sitä kutt verokertymää lskev vikutus (von Greff j Vrtiinen 00, s., Pohjol 00, s. 6). Kreikn suurin ongelm on, että sillä on liik velk j että sen vluutn rvo on kiinnitetty. Kreikn investointiste pitäisi myös sd nousemn, joll luotisiin ksvun edellytyksiä (Pohjol 00, s ). Huom. Tehtävässä oli keskeistä esittää ymmärrystä Kreikn ongelmllist tilnnett kohtn sekä pystyä esittämään jokin järkevä tlouspoliittinen vihtoehto. 8
Matematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 4 Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss
LisätiedotLINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
Lisätiedotθ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
LisätiedotKäydään läpi: ääriarvo tarkastelua, L Hospital, integraalia ja sarjoja.
DI mtemtiikn opettjksi: Täydennyskurssi, kevät Luentorunko j hrjoituksi viikolle : ti 9.. klo :-5:, to.. klo 9:5-: j klo 4:5-6: Käydään läpi: äärirvo trkstelu, L Hospitl, integrli j srjoj.. Kerrtn äärirvojen
LisätiedotOSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
Lisätiedot2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
LisätiedotII.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku
II. EPÄOLEELLISET INTEGRAALIT nt II.. Suppeneminen Esim. Olkoon f() =, kun >. Tvllinen lsku = / =. Kuitenkn tätä integrli ei ole ikisemmss mielessä määritelty, kosk f ei ole rjoitettu välillä [, ] (eikä
LisätiedotRiemannin integraalista
Lebesguen integrliin sl. 2007 Ari Lehtonen Riemnnin integrlist Johdnto Tämän luentomonisteen trkoituksen on tutustutt lukij Lebesgue n integrliin j sen perusominisuuksiin mhdollisimmn yksinkertisess tpuksess:
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 3 Määrätyn integrlin lskeminen Aiemmin määrittelimme määrätyn integrlin f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:.
LisätiedotMikrotalousteoria 2, 2008, osa III
Sisältö Mikrotlousteori 2, 2008, os III Yrityksen tuotntofunktiost 2 Pnosten substituoitvuus 2 3 Yrityksen teori 3 4 Mittkvedut tuotnnoss 5 5 Yksikkökustnnusten j skltuottojen steen välinen yhteys 5 6
LisätiedotPythagoraan lause. Pythagoras Samoslainen. Pythagoraan lause
Pythgorn luse Pythgors Smoslinen Pythgors on legendrinen kreikklinen mtemtiikko j filosofi. Tiedot hänen elämästään ovt epävrmoj j ristiriitisi. Tärkein Pythgorst j pythgorlisi koskev lähde on Lmlihosin
Lisätiedot5 Epäoleellinen integraali
5 Epäoleellinen integrli 5. Integrlin suppeneminen Olkoon f sellinen välillä [, b[ (ei siis välttämättä pisteessä b) määritelty funktio, että f on Riemnn-integroituv välillä [, ] kikill ], b[ eli on olemss
LisätiedotNäytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.
Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä
LisätiedotTehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,
LisätiedotSyksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
LisätiedotTeoriaa tähän jaksoon on talvikurssin luentomonisteessa luvussa 10. Siihen on linkki sivulta
Jkso 10. Sähkömgneettinen induktio Näytä ti plut tämän jkson tehtävät viimeistään tiistin 13.6.2017. Ekstr-tehtävät vstvt kolme tvllist tehtävää, kun lsketn lskuhrjoituspisteitä. Teori tähän jksoon on
Lisätiedot11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
LisätiedotVALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.2014 Ratkaisut ja arvostelu
VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE 3.6.4 Rtkisut j rvostelu. Koululisen todistuksen keskirvo x on lskettu ) b) c) d) kymmenen ineen perusteell. Jos koululinen nostisi neljän ineen
Lisätiedot6 Kertausosa. 6 Kertausosa
Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)
LisätiedotTee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
LisätiedotRistitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
LisätiedotKirjallisuuskoe. Valtiotieteellinen tiedekunta Taloustieteen ja tilastotieteen valintakoe Arvosteluperusteet Kesä 2016 TEHTÄVÄ 1
Valtiotieteellinen tiedekunta Taloustieteen ja tilastotieteen valintakoe Arvosteluperusteet Kesä 2016 Kirjallisuuskoe TEHTÄVÄ 1 a) Pohjola (s. 198 alkaen, kuvio 12.1) määrittelee noususuhdanteen (laskusuhdanteen)
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()
Lisätiedotx k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b
5 Integrlien lskemisest 51 Riemnnin summt [A2], [4, 61] Rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle ytäpitäväksi on kurssill Anlyysi 2 osoitettu, että Riemnnin summill S P := f(ξ k ) ( ),
Lisätiedot10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
Lisätiedotlim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
LisätiedotPainopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
LisätiedotT Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.
T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä
LisätiedotY56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset
Y6 Mikron jtkokurssi kl 008: HARJOITUSTEHTÄVÄT Mllivstukset Kuluttjn vlint (Muokttu Burketist 006, 07) Olkoon Mrkon udjettirjoite = 40 Mrkoll on hvin kättätvät referenssit j Mrkon rjusustituutiosuhde on
LisätiedotDigitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30
Digitlinen videonkäsittely Hrjoitus 5, vstukset tehtäviin 5-30 Tehtävä 5. ) D DCT sdn tekemällä ensin D DCT kullekin riville, j toistmll D DCT tuloksen sdun kuvn srkkeill. -D N-pisteen DCT:, k 0 N ( k),
LisätiedotEsimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
LisätiedotKertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3
Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm
LisätiedotKertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Mellin (24) 1 Johdtus todennäköisyyslskentn TKK (c) Ilkk Mellin (24) 2 : Mitä opimme? 1/2 Jos stunnisilmiötä hlutn mllint mtemttisesti, on ilmiön tulosvihtoehdot kuvttv numeerisess muodoss.
Lisätiedot4 Taso- ja avaruuskäyrät
P2-luentoj kevät 2008, Pekk Alestlo 4 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Konkreettisin sovelluksin trkstelln nnettu rt pitkin liikkuvn hiukksen
LisätiedotLaskennan mallit (syksy 2010) 1. kurssikoe, ratkaisuja
582206 Lskennn mllit (syksy 2010) 1. kurssikoe, rtkisuj 1. [2+2+2 pistettä] Säännöllisissä lusekkeiss on käytetty tuttu lyhennysmerkintää Σ = ( ). () merkkijonot, joiden kksi ensimmäistä merkkiä ovt joko
Lisätiedot3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
Lisätiedot1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
Lisätiedota = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1
5 Integrli 5.1 Määritelmä j ominisuudet Olkoon f : [, b] R jtkuv. Muodostetn välin [, b] jko = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b j siihen liittyvä yläsumm S = n M k (x k x k 1 ), M k = mx{f(x) x k 1 x x k },
Lisätiedot1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [
1. Derivtn Testi Jos funktio f on jtkuv voimell välillä ], b[ j x 0 ], b[ on kriit. ti singul. piste niin { f (x) < 0, x ], x 0 [ f x (x) > 0, x ]x 0, b[ 0 on lokli minimipiste (1) { f (x) > 0, x ], x
LisätiedotIntegraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
LisätiedotRiemannin integraali
LUKU 5 iemnnin integrli Tässä luvuss funktion f iemnnin integrli merkitään - b f = - b f() d. Vstvsti funktion f Lebesgue in integrli merkitään f = f() dm(). [,b] [,b] Luse 5.1. Olkoon f : [, b] rjoitettu
Lisätiedot9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE-11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET
DEE11110 SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET http://www.tut.fi/smg/course.php?id=57 Rtkisut Hrjoitukset 3, 2014 Tehtävä 1. Pyydetään muodostmn nnetun piirin Nortonin ekvivlentti. Nortonin, smoin kuin Theveninin,
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: Integrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 5.1.216 Pekk Alestlo,
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali
MS-A1{2,3,4,5} (SC, ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 8: ntegrlifunktio j epäoleellinen integrli Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November
LisätiedotR4 Harjoitustehtävien ratkaisut
. Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x
LisätiedotParaabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.
5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson
LisätiedotIntegraalilaskenta. Määrätty integraali
9..08 Integrlilskent Määräämätön Etsitään funktiot Derivoinnille käänteistoimenpide integroiminen Integrlifunktio F(x), jolle F x = f x, lisäksi integrlifunktioille G x = F x + C. Vkion C lisäys (merkitys),
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 3.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen
LisätiedotTYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.
TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk
LisätiedotPolynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
LisätiedotAnalyysin perusteet kauppatieteilijöille 800118P
Anlyysin perusteet kupptieteilijöille 800118P Luentomoniste Kri Myllylä Niin Korteslhti Topi Törmä Oulun yliopisto Mtemttisten tieteiden litos Kevät 2015 Sisältö 1 Derivtt 3 1.1 Määritelmä..............................
LisätiedotVuoden 2014 tuloveroprosentti. Vuoden 2014 kiinteistöveroprosentit
Kunnnvltuusto KOKOUSKUTSU Kokousik Perjnti 15.11.2013 klo 14.00-15.00 Kokouspikk Käsiteltävät sit Asino Liite no Svukosken kunnnvirsto 1 60 Järjestäytymissit 2 61 1-2 Vuoden 2014 tuloveroprosentti 3 62
LisätiedotNumeerinen integrointi
Pitkärnt: Lj mtemtiikk IX9 Numeerinen integrointi IX9 Numeerinen integrointi Numeerisell integroinnill trkoitetn määrätyn integrlin, eli reliluvun I(f,,b) = f(x)dx lskemist numeerisin keinoin (likimäärin)
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki
Mtemtiikn tukikurssi Hnnu Kivimäki Sisältö I Ensimmäinen välikoe Integrointi 2 Osittisintegrointi 5 3 Osmurtohjotelm 4 Lisää osmurtoj 4 5 Sijoituskeino 9 6 Määrätty integrli 2 7 Ylä- j lsumm 22 8 Määrätyn
Lisätiedot6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
Lisätiedot2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 7: Integrli j nlyysin perusluse Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 20, 2017
Lisätiedot3 Mallipohjainen testaus ja samoilutestaus
Tietojenkäsittelytiede 24 Joulukuu 2005 sivut 8 21 Toimittj: Jorm Trhio c kirjoittj(t) Historiljennus mllipohjisess testuksess Timo Kellomäki Tmpereen teknillinen yliopisto Ohjelmistotekniikn litos 1 Johdnto
LisätiedotKieli, merkitys ja logiikka, kevät 2011 HY, Kognitiotiede. Vastaukset 2.
Kieli, merkitys j logiikk, kevät 2011 HY, Kognitiotiede stukset 2. ** Kikiss utomteiss lkutil on. 1.. nn äärelliset utomtit luseille (1-c), jokiselle omns. (1).. c. q3 q4 q3 q4 q5 q6. Muodost äärellinen
LisätiedotL 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )
76638A Termofysiikk Hrjoitus no. 6, rtkisut syyslukukusi 014) 1. Trkstelln L:n pituist nuh, jonk termodynmiikn perusreltio on de = d Q + d W = T ds + F dl, 1) missä F on voim, joll nuh venytetään reversiibelisti
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
LisätiedotAsennusopas. Daikin Altherma Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi
Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Dikin Altherm Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst...
Lisätiedot1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95
9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:
LisätiedotSarjaratkaisun etsiminen Maplella
Srjrtkisun etsiminen Mplell Olkoon trksteltvn ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö: > diffyht:= diff(y(x, x=1y(x^; d diffyht := = dx y( x 1 y( x Tälle pyritään etsimään srjrtkisu origokeskisenä potenssisrjn.
LisätiedotMat Dynaaminen optimointi, mallivastaukset, kierros 8
Mt-.148 Dynminen optimointi, mllivstukset, kierros 8 1. Idelisess tsvirtmoottoriss vääntömomentti on suorn verrnnollinen virtn. Moottori pyörittää ikiliikkuj (ei kitk- ti sähkömgneettisi vstusvoimi). Moottorin
LisätiedotIKÄÄNTYMINEN ETELÄ-SAVOSSA
1 TRENDIKATSAUS 3/215 (31.12.215) TULEVAISUUSLOIKKA ETELÄ-SAVON ENNAKOINTIHANKE 215-217 IKÄÄNTYMINEN ETELÄ-SAVOSSA KATSAUS ETELÄ-SAVON MAAKUNNAN VÄESTÖN IKÄÄNTYMISKEHITYKSEEN Tähän ktsukseen on koottu
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
LisätiedotViivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13
Viivintegrli: "Pc- Mn" - tulkint Otetn funk:o f(,), jok riippuu muudujist j. Jokiselle, tson pisteellä funk:oll on siis joku rvo. Tpillisiä fsiklis- kemillisi esimerkkejä voisivt oll esimerkiksi mss:hes
Lisätiedot= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä.
.. Lukujoo Aluksi Mtemtiiklle o erityise tyypillistä se, että käytäö tiltee settm ogelm bstrhoid. Käytäössä tämä trkoitt sitä, että siitä krsit lilluk vrret. Trkstelu kohteeksi jätetää vi si loogie ydi
LisätiedotReaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LisätiedotSisältö. Integraali 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 20
Integrli 10. syyskuut 2005 sivu 1 / 20 Sisältö 1 Määrätty integrli j integrlifunktio 2 1.1 Integroituvist funktioit 3 1.2 Määrätyn integrlin ominisuuksi 4 1.3 Integrlifunktio 5 1.4 Integrlilskennn tärkeimmät
LisätiedotAsennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi
Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen
LisätiedotMITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
Lisätiedot4. Reaalifunktioiden määrätty integraali
6 4. Relifunktioiden määrätt integrli Vrsinisesti termi "integrli" tulee seurvss esitettävästä määrätstä integrlist, jok on läheistä suku summmiselle. Yhtes derivttn on sitten perustv ltu olev tulos, jot
LisätiedotICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2015
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 25 Kierros 3, 26. 3. tmmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,
LisätiedotKuvausta f sanotaan tällöin isomorfismiksi.
Määritelmä..12. Oletetn, että 1 =(V 1,E 1 ) j 2 =(V 2,E 2 ) ovt yksinkertisi verkkoj. Verkot 1 j 2 ovt isomorfiset, jos seurvt ehdot toteutuvt: (1) on olemss bijektio f : V 1 V 2 (2) kikill, b V 1 pätee,
LisätiedotKognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP
Kognitiivinen mllintminen I, kevät 007 Hrjoitus. Joukko-oppi. MMIL, luvut -3 Rtkisuehdotuksi, MP. Määritellään joukot: A = {,,, 3, 4, 5} E = {, {}, } B = {, 4} F = C = {, } G = {{, }, {,, 4}} D = {, }
Lisätiedot.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek
S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä
LisätiedotVEKTOREILLA LASKEMINEN
..07 VEKTOREILL LSKEMINEN YHTEENLSKU VEKTORIT, M4 Vektoreiden j summ on vektori +. Tämän summvektorin + lkupiste on vektorin lkupiste j loppupiste vektorin loppupiste, kun vektorin lkupisteenä on vektorin
Lisätiedot2.1 Vaillinaiset yhtälöt
.1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön
LisätiedotNumeerinen integrointi.
Numeerinen integrointi. Differentili- j integrlilskent 1, syksy 2015 Hrri Vrpnen Mtemtiikn j systeeminlyysin litos Alto-yliopisto Tiisti 6.10.2015 Sisältö Tylor-menetelmä. Käyttökelpoinen silloin, kun
Lisätiedotsin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.
Mtemtiikn j tilstotieteen litos Osittisdifferentiliyhtälöt Kevät 21 Hrjoitus 9 Rtkisuj Jussi Mrtin 1. Osoit, että Lplce-yhtälö pllokoordinteiss on 2 u 1 r 2 2 u r r 1 r 2 sin θ u 1 2 u sin θ θ θ r 2 sin
LisätiedotMääritelmä Olkoon C R m yksinkertainen kaari ja γ : [a, b] R m sen yksinkertainen parametriesitys, joka on paloittain C 1 -polku.
Muodostetn vektorikentän kri-integrli yksinkertisen kren tpuksess. Plutetn mieleen, että joukko C R m on yksinkertinen kri, jos löytyy sellinen jtkuv bijektio γ : [, b] C, jok on ploittin C 1 -funktio
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 10.10.2016 Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen (Alto-yliopisto,
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät
MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentili- j integrlilskent 1 Luento 9: Integroimismenetelmät Pekk Alestlo, Jrmo Mlinen Alto-yliopisto, Mtemtiikn j systeeminlyysin litos November 27, 2017 Pekk Alestlo,
Lisätiedotja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S
3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki
LisätiedotA-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.
MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Funktiojonot 1
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 JOUNI PARKKONEN Sisältö 0. Tästä tekstistä. Funktiojonot 0. Tästä tekstistä Tämä moniste on trkoitettu käytettäväksi kurssin Srjt j differentiliyhtälöt luentomterilin.
LisätiedotSuorat, käyrät ja kaarevuus
Suort, käyrät j krevuus Jukk Tuomel Professori Mtemtiikn litos, Joensuun yliopisto Suor? Tämä kirjoitus on eräänlinen jtko Timo Tossvisen suorn määritelmää koskevn kirjoitukseen Solmun numeross 2/2002.
Lisätiedot7.lk matematiikka. Geometria 1
7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,
LisätiedotS Fysiikka III (EST), Tentti
S-114.137 Fysiikk III (ES), entti 30.8.006 1. Lämpövoimkone toteutt oheisen kuvn Crnotin prosessi. Koneess on työineen yksi mooli ideliksu. Lske yksitomisen ksun kierroksen ikn tekemän työn suhde kksitomisen
LisätiedotKasvihuonekaasupäästöjen kehitys pääkaupunkiseudulla
YTV MUISTIO 1 Asi 7 / Liite 1 PÄÄKAUPUNKISEUDUN ILMASTOSTRATEGIA 2030 YTV:n hllitus on kokouksessn 14.12.2006 hyväksynyt Pääkupunkiseudun ilmstostrtegiluonnoksen 2030 lusuntojen j knnnottojen pyytämistä
Lisätiedot****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4:
. Murtopotessi MÄÄRITELMÄ : O Olkoo prillie, positiivie kokoisluku. Ei egtiivise luvu :s juuri trkoitt sellist ei-egtiivist luku b, jok :s potessi o. Merkitää b. Kute eliöjuureki tpuksess, luku b täyttää
LisätiedotQ = {q 1, q 2, q 3, q 4 } Σ = {a, b} F = {q 4 },
T-79.48 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 4 Demonstrtiotehtävien rtkisut 4. Tehtävä: Ldi epädeterministinen äärellinen utomtti, jok test onko nnetun inäärijonon kolmnneksi viimeinen merkki,
LisätiedotMatematiikkaolympialaiset 2008 kuusi vaikeaa tehtävää
Solmu 3/2008 Mtemtiikkolympiliset 2008 kuusi vike tehtävää Mtti Lehtinen Mnpuolustuskorkekoulu 49. Knsinväliset mtemtiikkolympiliset pidettiin Mdridiss 4. 22. heinäkuut 2008. Kilpilijoit oli 535 j he edustivt
LisätiedotAutomaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
LisätiedotSUORAKULMAINEN KOLMIO
Clulus Lukion Täydentävä ineisto 45 0 45 60 ( - ) + SUORKULMINEN KOLMIO Pvo Jäppinen lpo Kupiinen Mtti Räsänen Suorkulminen kolmio Suorkulminen kolmio Käsillä olev Lukion Clulus -srjn täydennysmterili
Lisätiedot