Aalto-yliopisto, Teknillisen fysiikan laitos PHYS-E0460 Reaktorifysiikan perusteet Harjoitus 5, mallivastaukset Syksy 2016

Transkriptio

1 Alto-yliopisto, Teknillisen fysiikn litos Sipilä/Heikinheimo PHYS-E0460 Rektorifysiikn perusteet Hrjoitus 5, mllivstukset Syksy 2016 Tehtävä 2 on tämän hrjoituskierroksen tulutehtävä Vlmistudu esittelemään rtkisusi keskiviikon 1210 hrjoitustilisuudess, jos hlut pisteet tehtävästä Tehtävän rtkisseiden nimet kerätään tilisuuden luss j yksi opiskelij rvotn esittelemään vstuksens tulull Hyväksyttävän rtkisun ei trvitse oll täydellisesti oikein Muut hrjoituskierroksen tehtävät käydään läpi demotehtävinä ssistentin johdoll eikä niitä rvioid Vinkit tulutehtävään: Lmrshin esimerkki 65 j tulukko 62 1 Kevytvesirektoriss on polttoineen urnidioksidi UO 2 (tiheys 10,2 g/cm 3, jonk väkevöintiste on 2 % Moderttori-polttoine-tilvuussuhde on 2,0, terminen hitttekijä d = 0,9 j veden tiheys 0,75 g/cm 3 Kuink suuri on terminen käyttösuhde f ( 235 U:n bsorptio/kokonisbsorptio? Mikroskooppiset termiset bsorptiovikutuslt j tomipinot ovt tulukoss 235 U 238 U H 2 O O σ [b] 678 2,7 0,664 0,0 A Rtkisu Tässä tehtävässä ei otet huomioon polttoineen suojkuort Terminen (polttoineen käyttösuhde f sdn fissiiliin polttoineeseen bsorboituneiden neutronien osuuten kikist bsorboituneist neutroneist: f = Σ h φ F V F Σ F φ F V F + Σ M φ M V M, (1 missä V F j φ F ovt polttoinesuvn tilvuus j terminen vuo suvss V M j φ M ovt moderttorin tilvuus j terminen vuo moderttoriss Σ F on polttoineen bsorptiovikutusl, Σ h on polttoineess olevn fissiilin ineen bsorptiovikutusl j Σ M on moderttorin bsorptiovikutusl Kun merkitään d = φ M /φ F j γ = V M /V F, sdn f = Σ h Σ F + dγσ M = Σ 235 Σ Σ dγσ M (2 Mkroskooppiset vikutuslt sdn mikroskooppisist tutull yhtälöllä Σ = nσ = σ N A ρ/m, missä n on tomitiheys ([n] = ydintä/cm 3, N A on Avogdron luku, ρ tiheys 1

2 j M moolimss: Σ m = Σ H2 O = n(h 2 Oσ (H 2 O = N Aρ(H 2 O M(H 2 O σ (H 2 O = 6, ,75 18 Σ 235 = n 235 σ 235 = N A 0,02 6, ,02 0,3085 cm 1 0, cm 2 0,0167 cm 1 ρ(uo 2 M(UO 2 σ ,2 0, , cm 2 ρ(uo 2 Σ 238 = n 238 σ 238 = N A 0,98 M(UO 2 σ 238 6, ,2 0,98 0, , , cm 2 0,0602 cm 1, missä 0, , on pproksimtio urnin moolimsslle Tehtävässä oli nnettu γ = 2,0 j d = 0,9 Lopputulokseksi sdn f = 0,3085 0,774 (3 0, , ,0 0,9 0,0167 2

3 2 Äärettömän pitkä kriittinen pljs levyrektori (slb rector, pksuus 200 cm, sisältää 235 U: j grfiitti homogeenisen seoksen Suurin terminen neutronivuo rektoriss on /cm 2 s Rektorille L 2 TM = 3500 cm 2 M = 368 cm 2 η T = 2065 ρ M = 160 g/cm 3 σ M (E 0 = b σ F (T = 681 b g F (T = 0987 g ff (T = 0976 σ f (E 0 = 582 b E R = J Käyttäen modifioitu yksiryhmäteori lske rektorin kupevuus b 235 U kriittinen konsentrtio c terminen vuo rektoriss d rektorin terminen teho (W/cm 2 Rtkisu Rektorin kupevuus sdn kvll (Lmrsh tulukko 62: ( π 2 Bg 2 = = 2467 cm 2 (4 = B = 157 cm 2 (5 b Modifioiduss yksiryhmäteoriss yhtälö (Lmrsh 674 voidn kirjoitt muuttujn vull muotoon jost sdn Z = N F σ F N M σ M (6 η T Z Z B 2 (L 2 T M + Z M + M = 1, (7 Z = 1 + B 2(L 2 T M + M η T 1 B 2 M = (8 Käyttäen Z:n määritelmää, sdn polttoineen j moderttoriineen mssojen suhteeksi σ M (E 0 M F m F = Z m M = m M (9 g F (T σ F (E 0 M M j m F = m F m M ρ M = g/cm 2 (10 c Tulukon (Lmrsh 62 mukisesti vuo on muoto ( πx ( πx φ T = Acos = φ T MAX cos (11 3

4 d Edelleen käyttäen tulukko 62 sdn φ T MAX = 157P = P = φ T MAXE R Σ f (12 E R Σ f 157 Terminen fissiovikutusl sdn ilmoitettujen rvojen vull siten, että π Σ f = n f g ff (T σ f (E 0 2 n f = N F V Sijoittmll tehon yhtälöön sdn = m F N A M F (13 P = π 2 φ T MAX E R m F N A g ff (T σ f (E 0 157M F 8,45 W/cm 2 (14 4

5 3 Suuren kuutionmuotoisen grfiittirektorin polttoineen on luonnonurni Rektorin prmetrit ovt k = 1,0735 p = 0,8843 L 2 T = 3500 cm 2 f = 0,8964 = 396 cm 2 σ f (00253 ev = 4,19 b φ mx φ ve = 3,88 Rektorin toimiess 25 MW:n teholl termisen neutronivuon mksimi on /cm 2 s Määrää rektorin kriittinen koko b Mikä on kriittisessä rektoriss olevn urnin kokonismss? Rtkisu Rektori on kriittinen, eli sen ksvutekijä on 1: k eff = k 1 + B 2 gm 2 T = B 2 g = k 1 M 2 T = 1 (15 = k 1 L 2 T + = 1, ( cm 2 = 1, cm 2 (16 Toislt kuutiorektorin geometrinen kupevuus on ( π 2 Bg 2 = 3 (17 = = 3π B g = 3π 1253 cm (18 1, cm 2 Siis rektorin kriittinen koko on V cr = m 3 (19 b Trvittvn urnin mss sdn johdettu lähtemällä rektorin tehon lusekkeest: P = E f Σ f φ dv = E f Σ f φ ve V cr, (20 missä Lisäksi tiedetään, että V E f = yhdessä fissioss vputuv energi = 200 MeV Σ f = mkroskooppinen fissiovikutusl termiselle vuolle φ ve = keskimääräinen terminen vuo φ ve = φ mx = φ mx φ mx /φ ve 3,88 (21 Σ f = n U σ f = n U π 2 σ f, (22 5

6 missä σ f on vikutusl termiselle vuolle j σ f = σ f (00253 ev on vikutusl 2200 m/s -vuolle Siis π P = E f n U 2 σ φ mx f 3,88 V cr (23 = 2 3,88P n U = πef σ f φ mx V cr (24 n U on siis urnitomej/tilvuusyksikkö Urnitomien kokonismäärä on N U = V cr n U j urnin mss näin ollen m U = N UM U N A = V crn U M U N A = 7,76P M U πna E f σ f φ mx (25 Sijoittmll lukurvot sdn Tämä on siis ko rektorin kriittinen urnimss m U = 64,4 t (26 6

7 4 Sivusuuntiin äärettömän -pksuisen levyn keskellä on tsolähde, jok emittoi S nope neutroni/cm 2 s Käyttäen kksiryhmädiffuusioteori tspinotilss: Määrää terminen j nope vuo levyn sisällä b Jos levyn toisell puolell on tyhjiö j toisell väliinett, miten neutronivuo käyttäytyy näissä lueiss? Rtkisu Lmrsh s 248 N-ryhmädiffuusio: E Ryhmä 1 Ryhmä 2 Ryhmä g Ryhmä N 1 Ryhmä N Ryhmän g diffuusioyhtälö: missä eri termit ovt D g 2 φ }{{} g Σ g φ g }{{} 1 2 N n=g+1 g 1 Σ g n φ g + Σ n g φ n = S g, (27 }{{} n=1 5 } {{ } 3 1 = virtus ulos lueest 2 = bsorptio } {{ } 4 3 = siront ryhmästä g lempiin ryhmiin 4 = siront ryhmään g ylemmistä ryhmistä 5 = lähde Tässä käytetään 2-ryhmämenetelmää: ensimmäistä, nopeiden neutronien muodostm ryhmää merkitään lindeksillä yksi j termisten neutronien ryhmää merkitään lindeksillä kksi Jko näihin ryhmiin on vrsin mielivltist Energirjksi ryhmien välillä voidn vlit esim 1 ev Tehtävän geometri on kuvn 1 mukinen Kuvss merkinnöissä A trkoitt levyä j S tsolähdettä levyn sisällä Merkinnät C j B trkoittvt levyn eri puolill olevi ineit, jotk voivt oll smt 7

8 C A S A B /2 /2 x Kuv 1: Tehtävän geometri Trkstelln diffuuusiot levyn sisällä, ensin nopen ryhmän yhtälö: D 1 2 φ 1 Σ 1 φ 1 Σ 1 2 φ 1 = S 1, (28 missä lähde on muoto S 1 = Sδ(x Voidn olett, että nopeiden neutronien bsorptio väliineeseen on vähäistä, joten Σ 1 φ 1 0 Yksinkertisuuden vuoksi voidn myös merkitä Σ 1 2 = Σ 1 Termi Σ 1 φ 1 on niiden neutronien lukumäärä, jotk hidstuvt termisiin nopeuksiin tilvuutt j ikyksikköä kohti Tämä tunnetn nimellä hidstumistiheys j sitä merkitään q T = Σ 1 φ 1 Nopest ryhmästä hidstuvt neutronit ovt tässä termisen ryhmän inut lähde, joten termisen ryhmän yhtälöksi tulee Esitetään yhtälöt vielä kootusti: D 2 φ 2 Σ φ 2 = S 2 = q T = Σ 1 φ 1 (29 I: 2 φ 1 1 φ 1 = Sδ(x D 1 II: 2 φ 2 1 φ L 2 2 = Σ 1φ 1 T D, missä = D 1 /Σ 1 on nk Fermi-ikä j L 2 T = D/Σ on terminen diffuusiol Rtkistn ensin I (kosk se ei riipu II:st j sitten I:n vull II: (30 2 φ 1 1 φ 1 = 0, x > 0 (31 ( ( x = φ 1 = A exp + C exp x (32 τt τt Oletetn, että levy on pksu, jolloin ei trvit ekstrpoltiopituutt reunoill Reunehto on tällöin ( ( φ 1 2 = 0 = C = exp A (33 τt 8

9 Sijoittmll tämä sdn rtkisuksi ( ( ] x x φ 1 (x > 0 = A [exp exp τt τt ( [ ( ( ] 2x 2x = A exp 2 exp 2 exp 2 ( 2x = A sinh 2 (34 Rtkisun on oltv symmetrinen (φ 1 (x = φ 1 ( x, joten ( 2 x φ 1 (x = A sinh 2 (35 Positiivinen vkio A sdn määritettyä (kuink ollkn lähde-ehdost Integroidn diffuusioyhtälö välin [ ɛ, ɛ] yli: ɛ ɛ d 2 φ 1 dx 2 dx 1 ɛ ɛ φ 1 dx = S ɛ δ(x dx D 1 [ dφ1 dx (ɛ dφ ] 1 dx ( ɛ 1 ɛ φ 1 dx = S (36 ɛ D 1 Kun ɛ 0, vuon integrli menee nollksi j φ 1 :n prillisuuden nojll (prillisen funktion derivtt on priton lähde-ehdoksi sdn j tästä edelleen derivoimll vuot dφ 1 dx (0 = A ( τt 2 2 dφ 1 dx (0 = S D 1, (37 ɛ = S 2D 1 (38 = A = S τ ( T (39 2D 1 2 Sijoittmll sdn nopen vuon rtkisuksi S ( 2 x φ 1 (x = ( sinh 2D (40 Aloitetn seurvksi termisen vuon rtkiseminen homogeeniyhtälöstä d 2 φ 2 dx 1 φ 2 L 2 2 = 0, (41 T jok rtke kuten nope vuo edellä: ( 2 x φ 2 = A sinh (42 2L T 9

10 Täydellisen yhtälön lähdetermi on vkio kert edellä rtkistu nope vuo, jok on hyperbolinen sini -funktio Otetn siis täydellisen yhtälön erityisrtkisun yritteeksi ( 2 x φ 2 = C sinh 2 Sijoittmll tämä täydelliseen yhtälöön sdn ( ( C 2 x sinh 2 C 2 x sinh 2 L 2 T = Σ 1φ 1 D Sijoittmll nopen vuon rtkisu piklleen, nähdään että yllä kikiss termeissä on sm hyperbolinen sini tekijänä Sdn siis ( 1 C 1 = Σ 1 S τ ( T (44 L 2 T D 2D 1 2 = C = (43 S 1 2Σ ( L 2 T (, (45 2 j vuoksi tulee φ 2 = ( 2 x 2 S sinh ( 2 x 2Σ ( L 2 T ( + A sinh 2 2L T (46 Vkion A määrittämisessä toimii symmetriehto, eli J(0 = D dφ 2 (0 = 0 Ehto dx ei voinut käyttää nopen vuon tpuksess, kosk origoss oli singulrinen lähde Siispä ( ( C τt 2 A = 0 (47 L T 2L T = A = SL T 1 2Σ (L 2 T τ ( (48 T 2 Termiseksi vuoksi sdn lopult φ 2 = S sinh 2Σ (L 2 T τ L T ( T ( 2 x 2L T L T ( sinh 2 x τt ( 2 2 (49 Huh-huh J tämä oli vst 2-ryhmälsku yksinkertisess 1D-geometriss ilmn fissiolähdettä Termisissä rektoreiss kksi ryhmää riittää, jos niiden ryhmävkiot (vikutuslt j diffuusiokertoimet on osttu generoid oikein 1 Nopeille rektoreille vditn 7+ ryhmää Ryhmämäärää ksvttmll sdn toki trkempi 1 Tästä lisää kurssill PHYS-E0562 Ydinenergitekniikn jtkokurssi Lisäksi hyvään trkkuuteen oikeiss rektorigeometrioiss trvitn homogenisointi j ns epäjtkuvuustekijöitä, joist lisää toivottvsti ts joskus järjestettävällä Tfy-56 erikoiskurssill Rektorifysiikn lskentmenetelmät 10

11 tuloksi, mutt uudest ryhmästä stv lisähyöty vähenee ryhmien määrän ksvess Ryhmämäärän lisääntyessä trvitsee ott huomioon vähemmän fysiikk Esimerkiksi noin 2000 ryhmällä voidn hoit mm rsksmetllien elstinen siront kohtuullisen trksti, mutt resonnssinkäsittely moniryhmämenetelmällä vtii ryhmää (n 10 ryhmää tunnettu resonnssi kohti Pienemmällä ryhmämäärällä näiden vikutus huomioidn erilisill fysiklisill pproksimtioill ryhmävkioit lskettess Mutt lopetetn minosktko tähän b Levyn oikell puolell (B tyhjiö j vsemmll (C bsorboiv j sirottv 2 väliinett Näiden seuruksen reunehdot hnkloituvt j vuo ei ole enää symmetrinen keskiviivn suhteen Tyhjiössä vuo säilyy vkion, kosk äärettömälle tsolähteelle ei tphdu 1/r-vimennust Lähde-ehdot sdn kuten edellä integroimll: lim [φ ɛ 0 1(ɛ φ 1( ɛ] = S, (50 D 1 lim [φ ɛ 0 2(ɛ φ 2( ɛ] = 0 (51 C A A B C A A B nope terminen /2 /2 x /2 /2 x 2 Pelkästään bsorboiv väliine s ikn eksponentilisen vimenemisen Sirottv väliine tuott kuvtun symmetririkon 11