LUKU 6. Weingartenin kuvaus
|
|
- Kaisa Hänninen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 LUKU 6 Weingartenin kuvaus 6.1. Vektorikentän derivaatta Seuraavassa määritellään pinnalla määritellyn reaaliarvoisen funktion ja vektorikentän derivaatta. Nämä tulevat olemaan hyvinmääriteltyjä, kunhan derivointisuunta on pinnalle tangentiaalinen. Tätä varten kannattaa kerrata kurssilta Differentiaalilaskenta 1 [4, luku I], miten derivaatta ja differentioituvuus on määritelty euklidisen avaruuden avoimessa osajoukossa määritellylle funktiolle, ja miksi määrittelyssä pitää rajoittua nimenomaan avoimiin joukkoihin. Kerrataan aluksi derivoinnin ketjusääntö sellaisessa muodossa, josta derivaatta on helppo yleistää pinnalla määritellylle funktiolle ja vektorikentälle. Olkoot V R 3 avoin, p V, (p; v) R 3 p ja f : V R C -funktio. Funktion f derivaatta pisteessä p vektorin v suuntaan on Df(p)v = Df(α(0))α (0) = (f α) (0), missä α: ( ε, ε) V on C -polku siten, että α(0) = p ja α (0) = v. Jos f on määritelty vain pinnalla M, on derivaatta (f α) (0) edelleen hyvinmääritelty, kunhan polku α on pinnan M polku. Määritelmä 6.1. Olkoot M R 3 sileä pinta, p M, v p = (p; v) T p (M), f : M R C -funktio ja X pinnan M C -vektorikenttä. (i) Funktion f derivaatta tangenttivektorin v p suuntaan on D vp f := (f α) (0), missä α: ( ε, ε) M on C -polku siten, että α(0) = p ja α (0) = v. (ii) Vektorikentän X derivaatta tangenttivektorin v p suuntaan on D vp X := (p; (X α) (0)), missä α: ( ε, ε) M on C -polku siten, että α(0) = p ja α (0) = v, ja X on vektorikentän X suuntaosa, X(x) = (x; X(x)), x M. Ennenkuin selvitellään tässä määritellyn derivaatan ominaisuuksia, ja ennen kaikkea osoitetaan, että määritelmä on hyvin asetettu, tarkastellaan kahta esimerkkiä, jotka osoittavat, miksi pinnalla määritellylle funktiolle tai vektorikentälle derivaatta voidaan määritellä vain pinnalle tangentiaaliseen suuntaan. Esimerkki 6.2. Olkoon T := {(x, y, z) R 3 z = 1}. Tällöin T on funktion F : R 3 R, F (x, y, z) = z 1, määräämä sileä tasa-arvopinta, jolle normaalina on F (x, y, z) = (0, 0, 1) ja tangenttiavaruus 1 Viimeksi muutettu T p (T) = {(p; v) T R 3 v = (v 1, v 2, 0)}. 42
2 6.1. VEKTORIKENTÄN DERIVAATTA 43 Olkoon f : T R, f(p) := 0, kaikille p T. Jotta funktion f derivaatta voitaisiin määrätä muihinkin suuntiin kuin pinnalle tangentiaaliseen suuntiin, pitää funktion arvot tuntea jossakin pinnan ympäristössä. Olkoot g ja h funktion f seuraavat laajennukset koko avaruuteen: g : R 3 R, g(p) := 0, ja h: R 3 R, h(x, y, z) := z 1. Olkoon nyt α: ( ε, ε) R 3 C -polku siten, että α(0) = p T ja α (0) = v. Tässä vektorin (p; v) ei tarvitse olla pinnan T tangenttivektori. Nyt g(α(t)) = 0 kaikille t ( ε, ε), joten (g α) (0) = 0. Toisaalta, h(α(t)) = α 3 (t) 1, kun α = (α 1, α 2, α 3 ), joten (h α) (0) = α 3(0) = v 3. Jos polku α valitaan siten, että α 3 (t) = t kaikille t ( ε, ε), on (h α) (0) = v 3 = 1, ja siis (g α) (0) (h α) (0). Siis, jos (p; v) ei ole pinnan T tangenttivektori, derivaatta riippuu siis laajenuksen valinnasta. Jos taas (p; v) on pinnan T tangenttivektori, on v 3 = 0 ja (h α) (0) = v 3 = 0 = (g α) (0). Esimerkki 6.3. Olkoot r > 0 ja M := {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = r 2 } sekä X pinnan M vektorikenttä, jonka suuntaosalle X on X(p) := 1 r p. Olkoot Y ja Z vektorikentän X seuraavat laajennukset (vain suuntaosa on annettu): Y : R 3 R 3, Y (p) := 1 p, ja r Z : R 3 \ {0} R 3, Z(p) := 1 p p. Olkoon nyt α: ( ε, ε) R 3 C -polku siten, että α(0) = p ja α (0) = v. Tässä vektorin (p; v) ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori. Nyt Y (α(t)) = 1 α(t) kaikille t ( ε, ε), joten (Y r α) (0) = 1 r α (0) = 1 v. r Toisaalta, Z(α(t)) = 1 α(t), joten α(t) (Z α) 1 ( d 1 t=0 (0) = α(0) α (0) + α(0) = dt α(t) ) 1 ( α(0) α p v (0) ) p α(0) 3 = 1 r v p v p. r 3 Nyt (Y α) (0) = (Z α) (0), jos ja vain jos p v p = 0, eli p v = 0, tai yhtäpitävästi r 3 v p T p (M). Huomautuksia 6.4. a) Olkoot X pinnan M vektorikenttä ja Y avoimessa joukossa joukossa V M määritelty vektorikenttä, jolle Y (p) = X(p) kaikille p M. Olkoot p M, v p = (p; v) T p (M) ja α: ( ε, ε) M C -polku siten, että α(0) = p ja α (0) = v. Tällöin suuntaosille on ketjusäännön nojalla (X α) (0) = (Y α) (0) = DY (α(0))α (0) = DY (p)v. Siis, derivaatta D vp X ei riipu valitusta polusta α, jolle α(0) = p ja α (0) = v, ainoastaan pisteestä p ja suunnasta v.
3 6.2. WEINGARTENIN KUVAUS 44 b) Derivaatta D vp X ei myöskään riipu siitä, miten a-kohdan laajennus Y valitaan. Nimittäin, jos Z on avoimessa joukossa joukossa V M määritelty vektorikenttä, jolle Z(p) = X(p) kaikille p M, on (Z α)(t) = (Y α)(t) kaikille t ( ε, ε), joten (Z α) (0) = (Y α) (0). c) Kohdan a) lasku antaa menetelmän derivaatan D vp X määräämiseen ilman, että tarvitsee määrätä polku α, jolle α(0) = p ja α (0) = v. c) Kohtien a) ja b) väitteet pätevät myös reaaliarvoisen funktion f derivaatalla (sopivasti modifioituina). Erityisesti, derivaatalle on D vp f = (f α) (0) = Dg(p)v, kun g on avoimessa joukossa joukossa V M määritelty funktio, jolle g(p) = f(p) kaikille p M, ja v p = (p; v) T p (M) Funktioiden ja vektorikenttien derivointia koskevat tutut derivointikaavat, joiden todistaminen jätetään lukijan tehtäväksi (f : M R on pinnalla M määritelty C -funktio, X ja Y ovat pinnan M C -vektorikenttiä ja v p = (p; v) T p (M)): (i) D vp ( X + Y ) = D vp X + Dvp Y ; (ii) D vp (f Y ) = (D vp f) X(p) + f(p) (D vp Y ); (iii) D vp ( X Y ) = (D vp X) Y (p) + X(p) Dvp Y Funktion f tai vektorikentän X derivaatan määräämiseksi kannattaa huomata seuraava käytännöllinen yhteys lokaaleihin parametriesityksiin: Olkoot M R 3 sileä pinta, p M, ϕ: U M pinnan M lokaali parametriesitys ja u 0 U siten, että ϕ(u 0 ) = p. Olkoot edelleen f : M R C -funktio ja X pinnan M C -vektorikenttä. Tällöin derivaatat koordinaattikäyrien tangenttivektorien E ϕ 1 (u 0 ) = ϕ (u 0 ) ja E ϕ 2 (u 0 ) = ϕ (u 0 ), u 1 u 2 suuntiin ovat (f ϕ) (f ϕ) D E ϕ 1 (u 0)f = (u 0 ), D u E ϕ 2 (u 0)f = (u 0 ), 1 u 2 D ( (X ϕ) ) E ϕ 1 (u 0) X = p; (u 0 ), D u ( (X ϕ) ) E ϕ 2 (u 0) X = p; (u 0 ). 1 u 2 Näidenkin kaavojen toteaminen jätetään lukijan tehtäväksi. Kannattaa muistaa, että E ϕ 1 (u 0 ) on polun t ϕ(u 0 + t e 1 ) ja E ϕ 2 (u 0 ) vastaavasti polun t ϕ(u 0 + t e 2 ) tangenttivektori hetkellä t = 0. Tässä e 1 := (1, 0) ja e 2 := (0, 1) Weingartenin kuvaus Yksikkövauhtisen polun α kaarevuus on helppo ymmärtää tangenttivektorin α muutosnopeuteen α liittyväksi ominaisuudeksi. Kaksiulotteiselle pinnalle M R 3 vastaava ajattelutapa ei ole helppoa toteuttaa. Ensinnäkin, jos ϕ: U M on pinnan M lokaali parametriesitys, on tangenttivektoreita nyt kaksi, eli nyt pitäisi selvittää kaksiulotteisen tangenttiavaruuden muuttumisnopeutta. Toisekseen, lokaalia
4 6.2. WEINGARTENIN KUVAUS 45 parametriesitystä ei välttämättä voida korjata sellaiseksi, että koordinaattikäyrät olisivat yksikkövauhtisia. Helpompi lähestymistapa saadaan tutkimalla pinnan yksikkönormaalia. Tasokäyristä kannattaa palauttaa mieleen seuraava Frenet n kaavojen antama kaava: kun α: I R 2 on yksikkövauhtinen polku, on N = κ T, missä T := α, N := Jα ja κ on polun α merkkinen kaarevuus. Määritelmä 6.5. Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p T p (M). Pinnan M Weingartenin kuvaus S p pisteessä p määritellään kaavalla 2 S p (v p ) := D vp N. Huomautuksen 6.4 kohdasta a) saadaan kaava Weingartenin kuvauksen arvojen laskemiseen: Jos V on avoin, pinnan M sisältävä joukko ja Ñ : V R3 C -kuvaus, jolle Ñ M = N, sekä v p = (p; v) T p (M), niin S p (v p ) = (p; DÑ(p)v). Tästä seuraa erityisesti, että Weingartenin kuvaus S p on lineaarikuvaus T p (M) R 3 p. Kuvavektoreista S p (v p ) voidaan sanoa hieman enemmänkin: Koska N on yksikkövektori, on N(p) N(p) = 1 kaikille p M, joten (ks iii) 0 = D vp 1 = 2(D vp N) N(p). Siis D vp N N(p), joten Dvp N Tp (M), eli Weingartenin kuvaus S p on lineaarikuvaus S p : T p (M) T p (M). Weingartenin kuvauksen arvojen S p (v p ) laskemista helpottavat seuraavat kaavat: Olkoot p M, ϕ: U M pinnan M lokaali parametriesitys ja u 0 U siten, että ϕ(u 0 ) = p. Tällöin kohdan kaavojen nojalla ( S p (E ϕ (N ϕ) ) 1 (u 0 )) = p; (u 0 ), u 1 ( S p (E ϕ (N ϕ) ) 2 (u 0 )) = p; (u 0 ). u 2 Koska vektorit E ϕ 1 (u 0 ) ja E ϕ 2 (u 0 ) virittävät tangenttiavaruuden T p (M), saadaan Weingartenin kuvauksen arvot S p (v p ) lasketuksi y.o. derivaattojen avulla kaikille tangenttivektoreille v p T p (M). Kannattaa lisäksi muistaa, että (N ϕ)(u) = ±N ϕ (u), missä N ϕ on tilkun ϕ yksikkönormaali, joka puolestaan on helppo laskea koordinaattikäyrien tangenttivektorien ristitulon avulla. Lause 6.6. Olkoot (M, N) suunnistettu pinta ja α: I M C 2 -polku. Tällöin pinnan M Weingartenin kuvaukselle S on voimassa α (t) N(α(t)) = S α(t) (α (t)) α (t) kaikille t I. 2 Weingartenin kuvauksesta käytetään myös nimitystä muoto-operaattori, varsinkin englannin kielisenä versiona shape operator. Kuten myöhemmin nähdään, Weingartenin kuvaus mittaa pinnan kaareutumista vastaavaan tapaan kuin tasokäyrän kaarevuus.
5 Todistus. Derivoidaan identiteetti puolittain muuttujan t suhteen. Saadaan 6.2. WEINGARTENIN KUVAUS 46 α (t) N(α(t)) = 0 0 = α (t) N(α(t)) + α (t) (N α) (t) = α (t) N(α(t)) + α (t) D (α(t);α (t)) N = α (t) N(α(t)) α (t) S α(t) (α (t)). Lauseen identitetti on erään tasokäyrille tutun kaavan yleistys: kun α: I R 2 on sileä polku, on κ(t) = α (t) J(α (t)) α (t) 3 = α (t) N(t) α (t) 2, kun N := Jα / α. Tasokäyrille lausekkeen S α(t) (α (t)) α (t) tilalla siis on κ(t) α (t) 2. Tämä antaa aiheen seuraavaan määritelmään: Määritelmä 6.7. Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M, u p T p (M) yksikkövektori (siis u p = 1) ja S p pinnan M Weingartenin kuvaus pisteessä p. Pinnan M normaalikaarevuus tangenttivektorin u p suuntaan on k(u p ) := S p (u p ) u p. Kaikille v p T p (M), v p 0 p, asetetaan k(v p ) := S p(v p ) v p v p 2. Kuva 1. Voidaan osoittaa, että pinnan M normaalikaarevuus tangenttivektorin v p suuntaan on pinnan normaalin N(p) ja tangenttivektorin v p määräämän tason {p + s v + t N(p) s, t R} ja pinnan M leikkauskäyrän merkkinen kaarevuus. Kuvassa myös leikkauskäyrän C kuvajoukko N(C) pinnan Gaussin kuvauksessa.
6 6.2. WEINGARTENIN KUVAUS 47 Edellisen lauseen tulos antaa seuraavan, tasokäyrien kaarevuuden merkin merkityksen yleistävän tulkinnan: Jos pinta M tangenttivektorin v p suuntaan liikuttaessa taipuu normaalivektoria N(p) kohti, on normaalikaarevuus k(v p ) 0. Vastaavasti, jos pinta M tangenttivektorin v p suuntaan liikuttaessa taipuu normaalivektorista N(p) poispäin, on normaalikaarevuus k(v p ) 0. Esimerkki 6.8 (Pallo). Olkoot r > 0, M := {p R 3 p = r} ja N(p) := 1 p r (vrt. esimerkkiin 6.3). Tällöin ( D vpn = p; 1 ). r v Pallon Weingartenin kuvaus pisteeessä p M on siis S p (v p ) = (p; 1 ) r v = 1 r v p Tarkastellaan ominaisarvoyhtälöä S p (v p ) = λ v p. Selvästi tämä yhtälö toteutuu kaikille tangenttivektoreille v p, kun λ = 1 r. Jos taas λ 1 r, yhtälö toteutuu ainoastaan vektorille v p = 0 p. Pallon Weingartenin kuvauksen S p ominaisarvot ovat siis λ 1 = λ 2 = 1 r. Näitä vastaaviksi ominaisvektoreiksi kelpaavat mitkä tahansa nollasta eroavat tangenttivektorit. Esimerkki 6.9 (Torus). Olkoot 0 < b < a ja ϕ: R 2 R 3, ϕ(u, v) := ((a + b cos v) cos u, (a + b cos v) sin u, b sin v). Tällöin ϕ on sileä tilkku, jonka kuvajoukko M := ϕ(r 2 ) on sileä pinta, torus Kuva 2. Torus väritettynä ominaisarvon λ 1 avulla. 3 Tarkasteltava torus on esitettävissä myös sileänä tasa-arvopintana ( x 2 + y 2 a ) 2 + z 2 = b 2, joten torus on suunnistuva.
7 Toruksen koordinaattivektorikentät ovat joten tilkulla ϕ on normaalivektori ja yksikkönormaali 6.2. WEINGARTENIN KUVAUS 48 E ϕ 1 (u, v) = (a + b cos v) ( sin u, cos u, 0), E ϕ 2 (u, v) = b ( sin v cos u, sin v sin u, cos v), E ϕ 1 (u, v) E ϕ 2 (u, v) = b (a + b cos v) (cos v cos u, cos v sin u, sin v) N ϕ (u, v) = (cos v cos u, cos v sin u, sin v). Määritelmän 6.5 jälkeen esitettyjen kaavojen nojalla Weingartenin kuvauksen arvot koordinaattivektorikenttien suuntiin saadaan osittaisderivaattoina N ϕ (u, v) = (cos v sin u, cos v cos u, 0) u ja N ϕ (u, v) = (sin v cos u, sin v sin u, cos v). v Koska N ϕ (u, v) = cos v u a + b cos v Eϕ 1 (u, v) ja N ϕ v (u, v) = 1 b Eϕ 2 (u, v), on toruksen Weingartenin kuvauksella S p ominaisarvoina pisteessä p = ϕ(u, v) λ 1 = cos v a + b cos v ja λ 2 = 1 b. Näitä vastaavat ominaisvektorit ovat koordinaattivektorikentät E ϕ 1 (u, v) ja E ϕ 2 (u, v) Kahden edellisen esimerkin kaltainen ominaisuus, että suunnistetun pinnan Weingartenin kuvauksella on reaaliset ominaisarvot, on kaikilla suunnistetuilla pinnoilla. Tämä perustuu seuraavaan Weingartenin kuvauksen tärkeään symmetriaominaisuuteen: Lause Suunnistetun pinnan (M, N) Weingartenin kuvaus S p on symmetrinen jokaisessa pisteessä p M, t.s. (6.1) S p (v p ) w p = v p S p (w p ) kaikille v p, w p T p (M). Todistus. Olkoon ϕ: U M pinnan M lokaali parametriesitys pisteen p ympäristössä siten, että sen yksikkönormaali N ϕ ja pinnan N ovat samansuuntaiset, t.s. N(ϕ(u)) = N ϕ (u) kaikille u = (u 1, u 2 ) U. Määritelmän 6.5 jälkeen esitettyjen kaavojen nojalla Weingartenin kuvauksen arvot koordinaattivektorikenttien suuntiin saadaan osittaisderivaattoina S ϕ(u) (E ϕ 1 (u)) = (ϕ(u); N ϕ ) (u), u 1 S ϕ(u) (E ϕ 2 (u)) = (ϕ(u); N ϕ ) (u). u 2 Derivoidaan identiteetti N ϕ (u) ϕ u 1 (u) = 0
8 muuttujan u 2 suhteen. Saadaan Siis 6.2. WEINGARTENIN KUVAUS 49 0 = N ϕ (u) ϕ (u) + N ϕ 2 ϕ (u) (u) u 2 u 1 u 2 u 1 = S ϕ(u) (E ϕ 2 (u)) E ϕ 1 (u) + N ϕ (u) S ϕ(u) (E ϕ 2 (u)) E ϕ 1 (u) = N ϕ (u) Vaihtamalla muuttujien u 1 ja u 2 roolit, saadaan 2 ϕ u 2 u 1 (u). 2 ϕ u 2 u 1 (u). S ϕ(u) (E ϕ 1 (u)) E ϕ 2 (u) = N ϕ 2 ϕ (u) (u). u 1 u 2 Koska toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat riippumattomia derivointijärjestyksestä (ks. [4, H. A. Schwarzin lause 7.3]), on 2 ϕ u 2 u 1 (u) = 2 ϕ u 1 u 2 (u), joten S ϕ(u) (E ϕ 2 (u)) E ϕ 1 (u) = S ϕ(u) (E ϕ 1 (u)) E ϕ 2 (u). Koska vektorit E ϕ 1 (u) ja E ϕ 2 (u) muodostavat tangenttiavaruudelle T ϕ(u) (M) kannan, seuraa väite lineaarisuusperiaatteesta: bilineaarimuodon (v p, w p ) S p (v p ) w p arvot määräytyvät täysin kantavektoreilla saamistaan arvoista. Yksityiskohtien läpikäyminen jätetään lukijan tehtäväksi. (Esitä mielivaltaiset tangenttivektorit v p, w p T p (M) kantavektoreiden E ϕ 1 (u) ja E ϕ 2 (u) lineaarikombinaatioina, ja laske kaavan (6.1) molemmat puolet auki käyttäen kantavektoreille saatua tulosta apuna.) Weingartenin kuvauksen symmetrisyys takaa sen, että jokaisen suunnistetun pinnan Weingartenin kuvauksella S p on (reaaliset) ominaisarvot (ja vastaavat reaaliset ominaisvektorit). Ominaisarvoilla on selkeä geometrinen merkitys: Olkoot λ R Weingartenin kuvauksen S p ominaisarvo ja v p T p (M) sitä vastaava ominaisvektori. Tällöin on siis S p (v p ) = λ v p, joten Jos erityisesti v p on yksikkövektori, on S p (v p ) v p = λ v p v p = λ v p 2. λ = S p (v p ) v p = k(v p ) pinnan normaalikaarevuus tangenttivektorin v p suuntaan Palautetaan mieleen eräitä tärkeitä tuloksia lineaarikuvauksen ominaisarvoista ja -vektoreista. 4 Olkoot V := T p (M) ja L := S p : T p (M) T p (M), jolloin V on kaksiulotteinen vektoriavaruus ja L symmetrinen lineaarikuvaus V V. Lineaarikuvauksen L ominaisuuksien tarkastelemiseksi sen matriisin avulla menetellään seuraavasti: 1 Valitaan avaruudelle V jokin kanta. 4 Vaikka tässä Weingartenin kuvaus S p on kaksiulotteisen vektoriavaruuden T p (M) lineaarikuvaus itselleen, ei aliavaruutta T p (M) R 3 p kannata samaistaa tason R 2 kanssa eikä Weingartenin kuvausta S p 2 2-matriisiin liian suoraviivaisesti. Katso tarkemmin dokumentista Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki.
9 6.2. WEINGARTENIN KUVAUS 50 2 Käytetään esimerkiksi Gramin ja Schmidtin ortogonalisointimenetelmää [1, 12], jonka avulla valitusta kannasta saadaan sisätuloavaruudelle V ortonormeerattu kanta {t 1, t 2 }. 3 Lineaarikuvauksen L matriisi A := [ a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 ] kannan {t 1, t 2 } suhteen määrätään kantavektoreiden kuvavektoreiden avulla seuraavasti: Lt 1 = a 1,1 t 1 + a 2,1 t 2, Lt 2 = a 1,2 t 1 + a 2,2 t 2. 4 Lineaarikuvauksen matriisi A ortonormeeratun kannan {t 1, t 2 } suhteen on symmetrinen, jos ja vain jos lineaarikuvaus L on symmetrinen eli toteuttaa ehdon Lv w = v Lw kaikille v, w V ; vrt. [2, 6]. 5 Matriisien ominaisarvoteorian [2, luku III] nojalla symmetrisen matriisin A ominaisarvot λ 1 ja λ 2 ovat reaaliset ja vastaavista ominaisvektoreista voidaan muodostaa tasoon R 2 ortonormeerattu kanta {v 1, v 2 }. 6 Olkoon U : R 2 V lineaarikuvaus, joka vie tason standardikannan avaruuden V ortonormeeratuksi kannaksi {t 1, t 2 }, t.s. U(1, 0) = t 1 ja U(0, 1) = t 2. Tällöin lineaarikuvauksen U 1 LU matriisi tason standardikannan suhteen on juuri A, joten kaikille tason vektoreille v on U 1 LUv = Av, t.s. LUv = UAv. Erityisesti, LUv j = UAv j = λ j Uv j, j {1, 2}. 7 Avaruudelle V saadaan ortonormeerattu kanta {e 1, e 2 }, kun e 1 := Uv 1 ja e 2 := Uv 2. Tällöin Le j = λ j e j, joten luvut λ 1 ja λ 2 ovat kuvauksen L ominaisarvot ja vektorit e 1 ja e 2 vastaavat ominaisvektorit. Olkoot nyt k 1 ja k 2 R Weingartenin kuvauksen S p ominaisarvot sekä e 1 ja e 2 T p (M) vastaavat ominaisvektorit, jotka voidaan olettaa yksikkövektoreiksi ja toisiaan vastaan kohtisuoriksi. Jokainen yksikkövektori v T p (M) voidaan esittää muodossa v = cos θ e 1 + sin θ e 2, missä θ R. Pinnan M normaalikaarevuus vektorin v suuntaan on 5 k(v) = S p (v) v = (cos θ S p (e 1 ) + sin θ S p (e 2 )) v = (cos θ k 1 e 1 + sin θ k 2 e 2 ) v = cos 2 θ k 1 + sin 2 θ k 2. Saadusta esityksestä on helppo nähdä, että normaalikaarevuuden k(v) ja ominaisarvojen k 1 ja k 2 välillä on voimassa, kun oletetaan, että k 1 k 2, k 1 = max{k(v) v T p (M), v = 1}, k 2 = min{k(v) v T p (M), v = 1}. Määritelmä Suunnistetun pinnan (M, N) Weingartenin kuvauksen S p ominaisarvot k 1 (p) ja k 2 (p) ovat pinnan M pääkaarevuuksia pisteeessä p ja vastaavat ominaisvektorit e 1 (p) ja e 2 (p) ovat pinnan M pääkaarevuussuuntia pisteeessä p. 5 Tämä tulos tunnetaan Eulerin lauseena [16, 2 6] tai [8, Cor ]. Yhtälö on yksi monista Leonhard Eulerin nimeä kantavista yhtälöistä ja kaavoista. Euler ( ) oli yksi kaikkien aikojen tuottoisimmista matematiikoista. Julkaisujen joukossa on mm. äskettäin suomennettu Kirjeitä saksalaiselle prinsessalle fysiikasta ja filosofiasta, Oy Fram Ab, Vaasa, 2007 (suom. ja toim. Johan Stén).
10 6.2. WEINGARTENIN KUVAUS 51 Lineaarikuvaukselle L: V V (ks ) määritellään determinantti ja jälki asettamalla det L := det A = a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2, ja tr L := tr A := a 1,1 + a 2,2. On helppo todeta, että lineaarikuvauksen determinantti ja jälki ovat hyvinmääriteltyjä (eli määritelty arvo ei riipu valitusta kannasta; kannan ei tässä tarvitse olla edes ortonormeerattu). Määritelmä Suunnistetun pinnan (M, N) Gaussin kaarevuus K(p) ja keskikaarevuus H(p) pisteeessä p määritellään kaavoilla (6.2) K(p) := det S p ja H(p) := 1 2 tr S p. Koska ominaisvektoreiden v 1 ja v 2 muodostamassa kannassa matriisin A määrämän lineaarikuvauksen matriisi on [k1 ] (p) 0, 0 k 2 (p) saadaan K(p) = k 1 (p) k 2 (p) ja H(p) = 1 (k 2 1(p) + k 2 (p)). Gaussin kaarevuutta K(p), keskikaarevuutta H(p) sekä pääkaarevuuksia k 1 (p) ja k 2 (p) sitoo seuraava yhtälö: Lause Suunnistetun pinnan (M, N) pääkaarevuudet k 1 (p) ja k 2 (p) toteuttavat yhtälön λ 2 2H(p) λ + K(p) = 0. Todistus. Olkoon A := [ a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 ] Weingartenin kuvauksen S p matriisi tangenttiavaruuden T p (M) jonkin ortonormeeratun kannan {t 1, t 2 } suhteen. Koska pääkaarevuudet k 1 (p) ja k 2 (p) ovat matriisin A ominaisarvot, toteuttavat ne yhtälön Väite seuraa tästä. det(λ I A) = λ 2 (a 1,1 + a 2,2 ) λ + (a 1,1 a 2,2 a 1,2 a 2,1 ) = 0. Pääkaarevuudet k 1 (p) ja k 2 (p) ovat siis k 1,2 (p) = H(p) ± H(p) 2 K(p). Edellä esitetty ominaisarvoteoriaan perustuva menetelmä antaa geometrisen yhteyden Weingartenin kuvauksen ja varsinkin normaalikaarevuuden, pääkaarevuuksien ja pääkaarevuussuuntien välille. Kaarevuuksien laskeminen onnistuu kuitenkin helpommin, kun apuna käytetään pinnan lokaalia parametriesitystä ja siihen liittyviä Weingartenin yhtälöitä. Näitä tarkastellaan seuraavassa luvussa.
LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
LisätiedotPinnan tangenttivektorit
LUKU 5 Pinnan tangenttivektorit Tästä lähtien oletetaan, että annetut polut, pinnat, funktiot ja vektorikentät ovat C. Vastaavasti, konstruoiduista poluista, pinnoista, funktioista ja vektorikentistä pitää
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
LisätiedotLUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2
LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja
LisätiedotDifferentiaalimuodot
LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja
Lisätiedot(1.1) Ae j = a k,j e k.
Lineaarikuvauksen determinantti ja jälki 1. Lineaarikuvauksen matriisi. Palautetaan mieleen, mikä lineaarikuvauksen matriisi annetun kannan suhteen on. Olkoot V äärellisulotteinen vektoriavaruus, n = dim
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotKäyrän kaarevuus ja kierevyys
Käyrän kaarevuus ja kierevyys LuK-tutkielma Recardt Jua Opiskelijanumero 2435589 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Jodanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Derivointi polulla.........................
LisätiedotTasokäyrän kaarevuus LUKU 1
LUKU Tasokäyrän kaarevuus.. Käyrät Määritelmä.. Polku (eli parametrisoitu käyrä) on jatkuva kuvaus α: I R n, missä I R on väli. Polku α = (α,..., α n ) on (jatkuvasti) derivoituva, jos jokainen α j, j
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotEsimerkki 1.1. Kahdeksikkopolku α: u (sin u, sin 2u) on helppo todeta injektioksi
. Pinnoista.. Pinnan määritelmästä. Monisteen [] määritelmän 4.. mukainen pinta S on sama olio, jollaista abstraktimmassa differentiaaligeometriassa kutsutaan avaruuden R n alimonistoksi (tarkemmin upotetuksi
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotOrtogonaalisen kannan etsiminen
Ortogonaalisen kannan etsiminen Lause 94 (Gramin-Schmidtin menetelmä) Oletetaan, että B = ( v 1,..., v n ) on sisätuloavaruuden V kanta. Merkitään V k = span( v 1,..., v k ) ja w 1 = v 1 w 2 = v 2 v 2,
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
Lisätiedot1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
1 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) 1 missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin
LisätiedotMonistot LUKU 4. (P ): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U R n, avoin joukko W
LUKU 4 Monistot Muistettakoon, että avointen joukkojen U, V R n välinen diffeomorfismi h: U V on C 1 -kuvaus, jolle myös käänteiskuvaus h 1 on C 1. Jatkossa oletetaan, että tarkasteltavat kuvaukset ovat
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
Lisätiedot5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT
5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 22 R. Kangaslampi matriisiteoriaa Kertaus: ominaisarvot
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Ominaisarvoteoriaa Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ominaisarvot Kertaus: ominaisarvot Määritelmä
LisätiedotLineaarikuvaukset. 12. joulukuuta F (A r ) = F (A r ) r .(3) F (s) = s. (4) Skalaareille kannattaa määritellä lisäksi seuraavat tulot:
Lineaarikuvaukset 12. joulukuuta 2005 1 Yleistys multivektoreille Olkoon F lineaarikuvaus vektoriavaruudessa. Yleistetään F luonnollisella tavalla terille F (a 1 a n ) = F (a 1 ) F (a n ), (1) sekä terien
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
Lisätiedot1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotOminaisarvo-hajoitelma ja diagonalisointi
Ominaisarvo-hajoitelma ja a 1 Lause 1: Jos reaalisella n n matriisilla A on n eri suurta reaalista ominaisarvoa λ 1,λ 2,...,λ n, λ i λ j, kun i j, niin vastaavat ominaisvektorit x 1, x 2,..., x n muodostavat
Lisätiedot4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia
23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 5 / vko 48 Tehtävä (L): a) Onko 4 3 sitä vastaava ominaisarvo? b) Onko λ = 3 matriisin matriisin 2 2 3 2 3 7 9 4 5 2 4 4 ominaisvektori? Jos on, mikä on ominaisarvo?
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit
Matriisilaskenta Luento 16: Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektorit Antti Rasila 2016 Ominaisarvot ja ominaisvektorit 1/5 Määritelmä Skalaari λ C on matriisin A C n n ominaisarvo ja vektori v C n sitä
Lisätiedot6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI
6 MATRIISIN DIAGONALISOINTI Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T Muistutus: vektorien a ja b pistetulo (skalaaritulo,
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotNeliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja
7 NELIÖMATRIISIN DIAGONALISOINTI. Ortogonaaliset matriisit Neliömatriisi A on ortogonaalinen (eli ortogonaalimatriisi), jos sen alkiot ovat reaalisia ja A - = A T () Muistutus: Kokoa n olevien vektorien
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotMS-A0004/A0006 Matriisilaskenta
4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
LisätiedotKonformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006
Konformigeometriaa 5. maaliskuuta 006 1 Sisältö 1 Konformigeometria 1.1 Viivan esitys stereograasena projektiona............ 1. Euklidisen avaruuden konformaalinen malli........... 4 Konformikuvaukset
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 14. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 14 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot Ääriarvon laadun tarkastelu Luennolla 6 Tarkastelimme yhden muuttujan funktion f(x) rajoittamatonta optimointia
LisätiedotVEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4
VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 13. Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu
Talousmatematiikan perusteet: Luento 13 Rajoittamaton optimointi Hessen matriisi Ominaisarvot ja vektorit Ääriarvon laadun tarkastelu Viime luennolla Aloimme tarkastella yleisiä, usean muuttujan funktioita
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
Lisätiedotkaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ
58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,,
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
Lisätiedot3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause
3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotOrtogonaaliset matriisit, määritelmä 1
, määritelmä 1 Määritelmä (a). Neliömatriisi Q on ortogonaalinen, jos Q T Q = I. Määritelmästä voidaan antaa samaa tarkoittavat, mutta erilaiselta näyttävät muodot: Määritelmä (b). n n neliömatriisi Q,
LisätiedotLiittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.
Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30
DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa
LisätiedotDerivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2
MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain
LisätiedotVektoreiden A = (A1, A 2, A 3 ) ja B = (B1, B 2, B 3 ) pistetulo on. Edellisestä seuraa
Viikon aiheet Pistetulo (skalaaritulo Vektorien tulot Pistetulo Ristitulo Skalaari- ja vektorikolmitulo Integraalifunktio, alkeisfunktioiden integrointi, yhdistetyn funktion derivaatan integrointi Vektoreiden
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
Lisätiedot6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI
0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
Lisätiedotominaisvektorit. Nyt 2 3 6
Esimerkki 2 6 8 Olkoon A = 40 0 6 5. Etsitäänmatriisinominaisarvotja 0 0 2 ominaisvektorit. Nyt 2 0 2 6 8 2 6 8 I A = 40 05 40 0 6 5 = 4 0 6 5 0 0 0 0 2 0 0 2 15 / 172 Täten c A ( )=det( I A) =( ) ( 2)
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
Lisätiedot