Käyrän kaarevuus ja kierevyys
|
|
- Paavo Rantanen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Käyrän kaarevuus ja kierevyys LuK-tutkielma Recardt Jua Opiskelijanumero Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2017
2 Sisältö 1 Jodanto 2 2 Esitietoja Derivointi polulla Ristitulo Suunnistus Käyrä tasossa ja Frenet'n kaavat tasokäyrälle 8 4 Käyrä avaruudessa ja Frenet'n kaavat avaruuskäyrälle 9 5 Esimerkki 13 Lädeluettelo 14 1
3 1 Jodanto Tämän työn tarkoitus on kertoa lukijalle, miten än voi itse oppia määrittämään käyrälle kaarevuuden tasossa tai kaarevuuden ja kierevyyden avaruudessa. Aluksi määritellään muutamia asioita ja käydään läpi lauseita, joita tullaan tarvitsemaan myöempien kappaleiden teorioissa.tämän jälkeen käsitellään erillisissä kappaleissa ensin käyrää tasossa ja sen jälkeen käsittellään käyrää avaruudessa. Työssä on käytetty kata kirjaa [1] ja [2], joiden tiedot on tarkemmin ilmoitettu työn lopussa. Kirjoista kerättyä informaatiota on pyritty esittämään lukijalle madollisimman selkeässä järjestyksessä ja muodossa josta se olisi elpompi ymmärtää. Pääosin todistukset ovat läes suoraan otettu kirjoista kuten myös esimerki 5.1, mutta muuten teksti on tety siten, että suoraa lainaamista ei tekstissä ole. Kappaleessa 2.1 olevat säännöt olen itse todistanut. Jotta lukijalle olisi elpompaa ymmärtää työn sisältöä on suositeltavaa, että än allitsee vektorien ja vektorikenttien käsitteet sekä perustiedot derivoinnista. Näiden asioiden yleinen allitseminen ja ymmärtäminen edesauttavat tekstin lukemista. 2
4 2 Esitietoja 2.1 Derivointi polulla Olkoon I R avoin väli. Nyt polku α on jatkuva kuvaus joukolta I reaalilukuavaruudelle R n, jossa luku n on sellainen, että se kuulu luonnollisiin lukuiin N. Vektorikenttä X polulla α on jatkuva kuvaus joukolta I reaalilukuavaruudelle R n R n, missä vektorikenttä X(t) pisteessä t voidaan esittää polun α(t) pisteessä t komponenttifunktioina. Tämä kuvaa komponenttifunktioita jotka alkavat komponenttifunktiosta X 1 ja päättyät komponenttifnktioon X n, eli X(t) = (α(t); X 1 (t),..., X n (t)). Jos jokainen komponenttifunktio X i (t) on äärettömän monta kertaa derivoituva, sanotaan, että vektorikenttä X on C -vektorikenttä polulla α. Polulla α olevan vektorikentän derivaatta on X (t) = ( α(t); dx 1(t),..., dx n(t) ). dt dt Polun nopeusvektorikenttä α on muotoa α(t) = ( α(t); dα 1(t) dt Vastaavasti kiityvyysvektorikenttä on muotoa α(t) = ( α(t); d2 α 1 (t) dt,..., dα n(t) ). dt,..., d2 α n (t)). dt Seuraavaksi käsitellään muutamia sääntöjä ja todistetaan ne. Säännöt voidaan todentaa derivoimisen avulla. Vektorin yläpuolella oleva piste kuvaa tavallista derivointia reaaliarvoiselle funktiolle, siis Säännöt: 1. ( X + Y ) (t) = X (t)+ Y (t) f(t) = df dt. 2. ( f X)(t) = f X(t), luku f vastaa jotain vakiota. 3
5 3. ( X Y ) (t) = X(t) Y (t) + X(t) Y (t), missä X Y = n i=1 X iy i on tavallinen pistetulo. Todistus. Ensimmäinen kodan todistus. Vektorit X ja Y ovat deriovoituvia pisteessä t niin ( X + Y )(t + ) ( X + Y )(t) = X(t + ) + Y (t + ) X(t) + Y (t) X(t = + ) X(t) Toisen kodan todistus + Y (t + ) Y (t) X(t) + Y (t), 0. (f X)(t + ) (f X)(t) = f X(t + ) f X(t) f ( X)(t + ) ( X)(t) Kolmannen kodan todistus f X(t), 0. ( X Y )(t + ) ( X Y )(t) X(t = + ) Y (t + ) X(t) Y (t + ) + X(t) Y (t + ) X(t) Y (t) X(t + ) X(t) Y (t+)+ X(t) Y (t + ) Y (t) X(t) Y (t)+ X(t) Y (t). 2.2 Ristitulo Määritelmä 2.1. Jos jossakin avaruuden R 3 pisteessä p on kaksi tangenttivektoria v ja w, niiden ristitulo saa aikaan tangenttivektorin, joka voidaan esittää matriisina e 1 e 2 e 3 v w = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 Lasketaan yllä olevan matriisin determinantti ensimmäisen rivin suteen. 4
6 det( v w) = ( 1) 1+1 e 1 det v 2 v 3 w 2 w 3 + ( 1) 1+2 e 2 det v 1 v 3 w 1 w 3 + ( 1)1+3 e 3 det v 1 v 2 w 1 w 2 = e 1 (v 2 w 3 v 3 w 2 ) e 2 (v 1 w 3 v 3 w 1 ) + e 3 (v 1 w 2 v 2 w 1 ). Determinantin perimmäinen tarkoitus on ilmaista, että ristitulo tangenttivektorien v ja w välillä on lineaarinen kummallekin tangenttivektorille v ja w, sekä täyttää vuorotteluedon v w = w v. Siitä seuraa erityisesti, että tangenttivektorin v ristitulo itsensä kanssa on nolla. Lemma 2.2. Vektoreiden v ja w keskenään otettu ristitulo on sellainen, että se on kotisuorassa vektoreiin v ja w näden ja vektoreiden ristitulon pituudeksi saadaan seuraavaa v w 2 = ( v v)( w w) ( v w) 2. Todistus. Tedään vektoreiden v ja w ristitulon ja pistetulon kaavasta v ( v w) matriisiesitys v 1 v 2 v 3 v ( v w) = v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3. Lasketaan determinantti kolmannen rivin suteen det(v (v w)) = ( 1) 1+1 w 1 det v 2 v 3 v 2 v 3 + ( 1) 1+2 w 2 det v 1 v 3 v 1 v 3 + ( 1)1+3 w 3 det v 1 v 2 v 1 v 2 = w 1 (v 2 v 3 v 3 v 2 ) w 2 (v 1 v 3 v 3 v 1 ) = w w 2 0 w 3 0 = 0 Matriisin determinantiksi saadaan nolla, koska sen ensimmäinen ja toinen rivi ovat samat. Tästä seuraa se, että vektoreiden ristitulo on ortogonaalinen. Lasketaan seuraavaksi vektoreiden ristitulon pituus seuraavasti (vv)(ww) (vw) 2 = ( v i 2 )( w j 2 ) ( v i w i ) 2 5
7 = i,j v i 2 w j 2 ( v i 2 w i i<j v i w j v j w j ) = i j v i 2 w j 2 2 i<j v i w i v j w j. Avataan summa ( (vi1 w j2 ) 2 +(v i2 w j1 ) 2 +(v i1 w j3 ) 2 +(v i3 w j1 ) 2 +(v i2 w j3 ) 2 +(v i3 w j2 ) (v in w jn+1 ) 2 ( (v i1 v j2 w i1 w j2 )+(v i1 v j3 w i1 w j3 )+(v i2 v j3 w i2 w j3 )+...+(v in v jn+1 w in w jn+1 ) ) Toisaalta v w = ( v w) ( v w) = Σc i 2 = (v 2 w 3 v 3 w 2 ) 2 + (v 3 w 1 v 1 w 3 ) 2 + (v 1 w 2 v 2 w 1 ) 2 Avaamalla potenssin saamme saman vastauksen minkä saimme yläpuolelle = (v 2 w 3 v 3 w 2 )(v 2 w 3 v 3 w 2 ) + (v 3 w 1 v 1 w 3 )(v 3 w 1 v 1 w 3 ) +(v 1 w 2 v 2 w 1 )(v 1 w 2 v 2 w 1 ) = ( (v 2 w 3 ) 2 + (v 3 w 2 ) 2 2(v 2 v 3 w 2 w 3 ) ) + ( (v 3 w 1 ) 2 + (v 1 w 3 ) 2 2(v 1 v 3 w 1 w 3 )) ) + ( (v 1 w 2 ) 2 + (v 2 w 1 ) 2 2(v 1 v 2 w 1 w 2 ) ) = ( (v 2 w 3 ) 2 + (v 3 w 2 ) 2 + (v 3 w 1 ) 2 + (v 1 w 3 ) 2 + (v 1 w 2 ) 2 + (v 2 w 1 ) 2) 2 ( (v 2 v 3 w 2 w 3 ) + (v 1 v 3 w 1 w 3 ) + (v 1 v 2 w 1 w 2 ) ) Muuttamalla ieman järjestystä saadaan = ( (v 1 w 2 ) 2 + (v 2 w 1 ) 2 + (v 1 w 3 ) 2 + (v 3 w 1 ) 2 + (v 2 w 3 ) 2 + (v 3 w 2 ) 2) 2 ( (v 1 v 2 w 1 w 2 ) + (v 1 v 3 w 1 w 3 ) + (v 2 v 3 w 2 w 3 ), joka on verrattavissa edellä ilmoitettuun pituuteen v 2 i w 2 j 2 v i w i v j w j. i<j i j 6
8 2.3 Suunnistus Seuraavaksi määritellään pinnalle suunnistus.tämä saadaan määritettyä pinnassa olevien vektorikenttien avulla seuraavasti. Määritelmä 2.3. Pinnan S suunnistus n-ulotteiselle pinnalle on sen C - yksikkönormaalivektorikenttä. Suunnistetuksi pinnaksi sanotaan pintaa, joka on varustettu suunnistuksella N. Lause 2.4. Olkoon nyt S R n+1 n-ulotteinen pinta, joka on myös polkuytenäinen. Täten pinnalle S on olemassa tasan kaksi yksikkönormaalivektorikenttää X ja Y, jotka ovat C -yksikkönormaalivektorikenttiä. Lisäksi pätee, että yksikkönormaalivektorikenttä X on ytäsuuri kuin negatiivinen yksikkönormaalivektorikenttä Y. Toisin sanoen X(p) = Y (p). Todistus. Olkoon nyt fuktio f kuvaus reaalilukuavaruudelta R n+1 reaalilukuavaruudelle R sellainen C -kuvaus, että pinta S on fuktion f alkukuva pisteessä c, joka kuuluu reaalilukuiin R, sekä funktion f ensimmäisen derivaatan tulee olla erisuuri kuin nolla jokaisessa pisteessä x, joka kuuluu joukolle S. Tällöin voidaan merkitä, N 1 (p) := f(p) f(p). Vektorikenttä N on pinnan S yksikkönormaalivektorikenttä. Kuten on myös yksikkönormaalivektorikenttä N 2, joka on negatiivinen yksikkönormaalivektorikenttä N 1. Lauseen pääväite on se, että ei ole olemassa kolmatta yksikkönormaalivektorikenttää N 3. Jos näin olisi yksikkönormaalivektorikenttä N 3 tulisi olla kotisuorassa pinnan S tangenttia koti pisteessä p josta seuraisi, että olisi olemassa jokin luku g(p) siten, että N 3 (p) = g(p) N 1 (p). Edellä olleesta saadaan, että piste g(p) on sama asia kuin yksikkönormaalivektorikenttien N 3 (p) ja N 1 (p) tulo. Piste g(p) on siis näin ollen joko plus tai miinus yksi. Koska kuva g(s) on jatkuva polkuytenäisellä joukolla S niin kuvakin on polkuytenäinen. Tästä seuraa, että funktio g on vakio. Siis yksikkönormaalivektorikenttä N 3 on, joko yksikkönormaalivektorikenttä N 1 tai yksikkönormaalivektorikenttä N 2. 7
9 3 Käyrä tasossa ja Frenet'n kaavat tasokäyrälle Seuraavaksi käydään läpi kuinka tasossa olevasta käyrästä on madollista määrittää käyrän kaarevuus derivaattaa apuna käyttäen, sekä määritetään Frenet'n kaavat tasolle. Olkoon polku α C -polku. Polku α on kuvaus joukolta I reaalilukuavaruudelle R 2. Lisäksi jokaisessa polun α pisteessä t olevan nopeusvektorikentän α pituus on yksi. Toisin sanoen α(t) = 1. Merkitään nyt yksikkötangenttivektorikenttä T (t) vastaamaan nyt polun nopeusvektorikenttä α(t) pisteessä t. Olkoon myös yksikkönormaalivektorikenttä N, joka kulkee pitkin polkua α ja on kotisuorassa nopeusvektorikentän α vastaan jokaisessa pisteessä t, joka kuuluu joukkoon I. Koska jokaisessa pisteessä t yksikkönormaalivektorikenttä N on pituudeltaan yksi, niin yksikkönormaalivektorikentän derivaatta N on yksikkönormaalivektorikentän N kanssa kotisuorassa, toisin sanoen, koska niin tämän derivaatan tulee olla 0, eli N(t) N(t) = 1, 0 = d dt ( N(t) N(t)) = N(t) N(t) + N(t) N(t), joten N(t) N(t) = 0. Näin ollen täytyy olla olemassa jokin luku κ(t), joka kuuluu reaalilukuiin R, joka kuvaisi ajan etkellä t polun α kaarevuutta siten, että N = κ(t) T (t). (1) Määritelmä 3.1. Määritellään luku κ(t) siten, että se on polun α kaarevuusluku pisteessä t, joka kuuluu polulle α. Koska yksikkötangenttivektorikenttän pituus on jokaisessa pisteessä t yksi, kun piste t kuuluu joukkoon I, yksikkötangenttivektorikenttä T on kotisuorassa oman derivaattavektorikenttänsä T kanssa. Toisin sanoen yksikkötangenttivektorikenttä on sama asia kuin yksikkönormaalivektorikenttä N(t), jota kerrotaan jollain luvulla λ, joka kuuluu reaalilukuiin R. Koska yksikkötangenttivektorin T (t) tulo yksikkönormaalivektorin N(t) kanssa on nolla jokaisessa pisteessä t, niin 0 = d dt ( T N) = T N + T N. 8
10 Siten T (t) N(t) = T (t) N(t) = T (t) ( κ(t) T (t)) = κ(t) T (t) T (t) = κ(t). Toisaalta joten Koska niin 0 = d dt ( T (t) T (t)) = 2 T (t) T (t), T (t) = λ(t) N(t). T (t) N(t) = λ(t) N(t) N(t) = λ(t), T (t) = κ(t) N. (2) Ydistämällä edellä olleet kaavat (1) ja (2) saadaan Frenet'n kaavat polulle α, { N = κt T = κn. 4 Käyrä avaruudessa ja Frenet'n kaavat avaruuskäyrälle Seuraavaksi esitetään, kuinka voidaan ilmaista avaruudessa olevasta käyrästä sen kaarevuus ja kierevyys. Tapa, jolla edellisessä kappaleessa määritettiin kaarevuus tasokäyrälle, ei sellaisenaan sovellu avaruuskäyrän kaarevuuden määrittämiseen. Tämä jotuu siitä, että tangentin ortogonaalikomplementti on kaksiulotteinen. Tangentin ortogonaalikomplementti vastaa avaruuskäyrän normaalia. Olkoon polku α kuvaus joukolta I reaaliavaruudelle R 3, sekä polun α nopeusvektorikenttä α pituudeltaan yksi. Siis α(t) = 1 kaikilla pisteillä t, jotka kuuluvat joukolle I. Oletetaan, että polun kiityvyys α on eri suuri kuin nolla kaikissa pisteissä t joukossa I. Siis polun α toinen derivaatta ei saa olla nolla. Koska 0 = d ( α(t) α(t)) = 2 α(t) α(t), dt niin pisteessä t polun ensimmäinen derivaatta α(t) on kotisuorassa polun toisen derivaatan α kanssa. Määritellään seuraavaksi,että 9
11 on polun α päänormaali ja N(t) = α(t) α(t) B(t) = T (t) N(t) on polun sivunormaali. Polun kaarevuus κ(t) määritellään tangentin avulla T (t) = κ(t) N(t). (3) Nyt B(t) = λ 1 T (t) + λ2 N(t) + λ3 B(t) Koska sivunormaalin B pituus on yksi B(t) = 1 niin se on kotisuorassa omaa derivaattaansa B(t) vastaan. Näin ollen λ3 = 0, jolloin B(t) = λ 1T (t) + λ2n(t) Toisaalta B(t) = d dt ( T (t) N(t)) = T (t) N(t) + T (t) N(t) = T (t) N(t) Koska T (t) N(t) on kotisuorassa yksikkötangenttivektorikenttää T (t) vastaan lemmen 2.2 nojalla, on λ 1 = 0. Siis B(t) = λ 2 N(t). Polun α kierevyyttä merkitään kierevyysluvulla τ(t), joka on nyt τ(t) = λ 2. Toisin sanoen B(t) = τ(t) N(t) (4) Lemman 2.2 nojalla sivunormaali B(t) on kotisuorassa sekä normaalin N(t), että tangentin T (t) kanssa. Lisäksi sivunormaalin B(t) pituus B(t) on yksi. 10
12 Toisaalta N(t) = B(t) T (t), josta derivoimalla saadaan N(t) = B(t) T (t) + B(t) T (t) Sijoitetaan tunnetut T = κ(t) N(t) ja B(t) = τ(t) N(t). = τ(t) N(t) T (t) + B(t) κ(t) N(t) = τ(t) T (t) N(t) + N(t) κ(t) B(t) = τ(t) B(t) + κ(t) T (t). Täten yksikkönormaalivektorin deivaatta N voidaan ilmaista muodossa N = κ T + τ B (5) Kaavoista (3), (4) ja (5) saadaan avaruudessa R 3 Frenet'n kaavat T = κ N N = κ T + τ B B = τ N. Lause 4.1. Polku β on täsokäyrä, jos ja vain jos sen kierevyys τ on nolla ja kaarevuusluku κ on aidosti suurempaa kuin nolla. Todistus. Aluksi oletetaan, että käyrä β on tasokäyrä, jolta löytyy jotkin pisteet p ja q siten, että voimme esittää käyrän pisteen β(t) ja pisteen p erotuksen ristitulo pisteen q kanssa, joka tuottaa tulokseksi nollan, siis (β(s) p) q = 0, jokaisella pisteellä s. Derivoimalla edellä olevaa saamme β(s) (q) = β(s) (q) = 0 Näin ollen voimme sanoa, että piste q on aina ortogonaalinen yksikkötangenttivektorin T kanssa siis myös polun ensimmäisen derivaatan β kanssa. Lisäksi se on myös ortogonaalinen yksikköpäänormaalivektorin N kanssa, joka tarkoittaa samaa asiaa kuin yksikkösivunormaalivektorin derivaatan derivaattaa 11
13 β, joka sitten jaetaan kaarevuusluvulla κ, siis β/κ. Myös yksikkösivunormaalivektori B on ortogonaalinen yksikkönormaalivektorin N ja yksikkötangenttivektorin T kanssa. Tämä siksi, koska yksikkösivunormaalivektorin pituus on yksi. Sen derivaattaksi saadaan nolla ja kierevyys on näin myös nolla. Toisaalta kun kierevyysluku τ on nolla ja yksikkösivunormaalivektorin derivaatta B on nolla. Silloin yksikkösivunormaalivektori B on ydensuuntainen ja avaruudessa R 3 se voidaan nyt tunnistaa pisteeksi. Nyt asetamme niin, että käyrä β on taso joka kulkee käyrän nollapisteen β(0) kautta. Lisäksi se olisi kotisuorassa yksikkösivunormaalivektorin kanssa. Todistetaan tämä siten, että esitetään se funktiona josta derivoimalla f(s) = (β(s) β(0)) B, df ds = β B = T B = 0, Huomataan, että selvästi fuktion f arvo nollassa on nolla. Siitä seuraa (β(s) β(0)) B. Tästä seuraa, että käyrä β on kokonaan alutulla tasolla ja se on kotisuorassa omaan päänormaaliinsa näden. 12
14 5 Esimerkki Seuraavaksi käydään läpi esimerkki aieeseen liittyen. Esimerkki 5.1. Tarkastellaan ruuviviivaa eli spiraalia α(t)=(a cos t, a sin t, b t), a > 0, b > 0. Tässä α = a 2 + b 2 =: c. Jos β(t):=α(t/c) on β(t) = 1. Siis T (t) = β(t) = (β(t); ( a c sin t c, a c cos t c, b c )), N(t) = β(t)/ β(t) = (β(t); ( cos t c, sin t c, 0)), ja κ(t)= β(t) =a/b 2. Koska T = (β(t); ( b c sin t c, b c cos t c, a c )), on joten B(t) = (β(t); b c 2 cos t c, b c 2 sin t c, 0)), τ(t) = b/c 2. 13
15 Lädeluettelo [1] A. Letonen: Dierentiaaligeometria. Jyväskylä 1993 (sivut 59-60, ja 87-95) [2] B. O'Neill: Elementary Dierential geometry Second edition (sivut 49, ja 64-65) 14
Tasokäyrän kaarevuus LUKU 1
LUKU Tasokäyrän kaarevuus.. Käyrät Määritelmä.. Polku (eli parametrisoitu käyrä) on jatkuva kuvaus α: I R n, missä I R on väli. Polku α = (α,..., α n ) on (jatkuvasti) derivoituva, jos jokainen α j, j
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
LisätiedotLUKU 6. Weingartenin kuvaus
LUKU 6 Weingartenin kuvaus 6.1. Vektorikentän derivaatta Seuraavassa määritellään pinnalla määritellyn reaaliarvoisen funktion ja vektorikentän derivaatta. Nämä tulevat olemaan hyvinmääriteltyjä, kunhan
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
LisätiedotPinnan tangenttivektorit
LUKU 5 Pinnan tangenttivektorit Tästä lähtien oletetaan, että annetut polut, pinnat, funktiot ja vektorikentät ovat C. Vastaavasti, konstruoiduista poluista, pinnoista, funktioista ja vektorikentistä pitää
LisätiedotLUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto
LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen
Lisätiedot4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia
23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotDifferentiaalimuodot
LUKU 2 Differentiaalimuodot Olkoot A R n ja p A. Vektori pisteessä p on pari (p; v), missä v R n. Pisteeseen p kiinnitetyn vektorin v p := (p; v) ensimmäinen komponentti p on vektorin v p paikkaosa ja
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 4: Taso- ja avaruuskäyrät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 4: Taso- ja avaruuskäyrät Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Motivaatio Tässä tutustutaan
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotCantorin joukon suoristuvuus tasossa
Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
LisätiedotHyperpintojen geometriaa
Hyperpintojen geometriaa Pro Gradu-tutkielma Heikki Hyväri Opiskelijanumero 136592 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Tarvittavia esitietoja 4 1.1 Kuvaajat
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
Lisätiedotjakokulmassa x 4 x 8 x 3x
Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotJohdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9
Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotMat. tukikurssi 27.3.
Mat. tukikurssi 7.. Tänään oli paljon vaikeita aiheita: - suunnattu derivaatta - kokonaisdierentiaali - dierentiaalikehitelmä - implisiittinen derivointi Nämä kaikki liittvät aika läheisesti toisiinsa.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
LisätiedotAntti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotSuorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.
Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,
LisätiedotLineaariset kongruenssiyhtälöryhmät
Lineaariset kongruenssiyhtälöryhmät LuK-tutkielma Jesse Salo 2309369 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sisältö Johdanto 2 1 Kongruensseista 3 1.1 Kongruenssin ominaisuuksia...................
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
LisätiedotVektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
LisätiedotViikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi
Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
Lisätiedot3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause
3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 4
Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,
Lisätiedot1 Kertaus. Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa:
1 Kertaus Lineaarinen optimointitehtävä on muotoa: min c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n kun a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n b 2 (11) a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
LisätiedotTehtäväsarja I Tehtävät 1-5 perustuvat monisteen kappaleisiin ja tehtävä 6 kappaleeseen 2.8.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävät -5 perustuvat monisteen kappaleisiin..7 ja tehtävä 6 kappaleeseen.8..
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
Lisätiedot10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotHilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr
Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214
LisätiedotLineaarinen yhtälöryhmä
Lineaarinen yhtälöryhmä 1 / 39 Lineaarinen yhtälö Määritelmä 1 Lineaarinen yhtälö on muotoa a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, missä a i, b R, i = 1,..., n ovat tunnettuja ja x i R, i = 1,..., n ovat tuntemattomia.
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotMonistot LUKU 4. (P ): on olemassa avoin, pisteen x sisältävä joukko U R n, avoin joukko W
LUKU 4 Monistot Muistettakoon, että avointen joukkojen U, V R n välinen diffeomorfismi h: U V on C 1 -kuvaus, jolle myös käänteiskuvaus h 1 on C 1. Jatkossa oletetaan, että tarkasteltavat kuvaukset ovat
LisätiedotPistetulo eli skalaaritulo
Pistetulo eli skalaaritulo VEKTORIT, MAA4 Pistetulo on kahden vektorin välinen tulo. Tarkastellaan ensin kahden vektorin välistä kulmaa. Vektorien a ja, kun a 0, välinen kulma on (kuva) kovera kun a vektorit
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
Lisätiedot