Olkoot f : S R 3 pinnan S jatkuva vektorikenttä ja V U kompakti Jordanjoukko. Tällöin vektorikentän f pintaintegraali yli joukon T := ϕ(v ) S on

Transkriptio

1 1. Differentiaalimuodon integraalista II 1.1. ektorikentän pintaintegraali. (Ks. [2, 2.1] ja [2, 2.2.2] Olkoot S R 3 sileä alkeispinta ja ϕ: U S sen parametriesitys. Pinnan suunnistukseksi valitaan seuraavassa vektori n, jolle ( n) n(ϕ(u)) := 1ϕ(u) 2 ϕ(u) 1 ϕ(u) 2 ϕ(u) kaikille u U. Olkoot f : S R 3 pinnan S jatkuva vektorikenttä ja U kompakti Jordanjoukko. Tällöin vektorikentän f pintaintegraali yli joukon T := ϕ( ) S on f(x) ds(x) ( = (f(x) n(x)) ds(x) = f(ϕ(u)) 1 ϕ(u) 2 ϕ(u) ) du. T Integroitava funktio on ( f ϕ 1 ϕ 2 ϕ ) f 1 ϕ 1 ϕ 1 2 ϕ 1 = f 2 ϕ 1 ϕ 2 2 ϕ 2 f 3 ϕ = f 1 ϕ 1ϕ 2 2 ϕ 2 f 2 ϕ + f 3 ϕ 1 ϕ 2 2 ϕ 2. Tässä esiintyvät determinantit ovat kuvausten (ϕ 2, ϕ 3 ), (ϕ 1, ϕ 3 ) ja (ϕ 1, ϕ 2 ) Jacobin determinantteja. Kukin pintaintegraalin f(x) d S(x) muodostavista integraaleista, esimerkiksi f 1 ϕ 1ϕ 2 2 ϕ 2 T du on samankaltainen, jollaiseen päädyttäisiin, kun kaksiulotteisessa integraalissa tehdään muuttujanvaihto x = ϕ(u). Kun kaksiulotteisen integraalin muuttujanvaihtokaava on mukavasti tulkittavissa differentiaalien väkätulon avulla, eikö samankaltainen voisi onnistua pintaintegraalille? 1.2. Differentiaalinen 2-muoto. Seuraavassa euklidisen avaruuden R 3 koordinaattifunktioita merkitään x 1, x 2 ja x 3, ja parametriavaruuden R 2 koordinaattifunktioita u 1 ja u 2. Lasketaan väkätulo dx 2 dx 3 niin, että sijoitetaan x = ϕ(u): dx 2 dx 3 = (dϕ 2 (u)) (ϕ 3 (u)) = ( 1 ϕ 2 (u) du ϕ 2 (u) du 2 ) ( 1 ϕ 3 (u) du ϕ 3 (u) du 2 ) = 1 ϕ 2 (u) 2 ϕ 3 (u) du 1 du ϕ 2 (u) 1 ϕ 3 (u) du 2 du 1 = ( 1 ϕ 2 (u) 2 ϕ 3 (u) 2 ϕ 2 (u) 1 ϕ 3 (u) ) du 1 du 2 = 1ϕ 2 (u) 2 ϕ 2 (u) 1 ϕ 3 (u) 2 ϕ 3 (u) du 1 du 2, missä käytettiin alternoivuudesta differentiaaleille seuraavia kaavoja du 1 du 1 = 0, du 2 du 2 = 0 ja du 2 du 1 = du 1 du 2. astaavalla tavalla saadaan (huomaa järjestys dx 3 dx 1! ja vertaa pintaintegraalin integroitavaan funktioon) dx 3 dx 1 = 1ϕ 3 (u) 2 ϕ 3 (u) 1 ϕ 1 (u) 2 ϕ 1 (u) du 1 du 2, dx 1 dx 2 = 1ϕ 1 (u) 2 ϕ 1 (u) 1 ϕ 2 (u) 2 ϕ 2 (u) du 1 du 2. 1 iimeksi muutettu

2 Siis, jos asetetaan ω(x) := f 1 (x) dx 2 dx 3 + f 2 (x) dx 3 dx 1 + f 3 (x) dx 1 dx 2, muuttuu ω(x) sijoituksella x = ϕ(u) muotoon (ϕ ω)(u) := f 1 ϕ 1ϕ 2 2 ϕ 2 du 1 du 2 + f 2 ϕ 1ϕ 3 2 ϕ 3 1 ϕ 1 2 ϕ 1 du 1 du 2 + f 3 ϕ 1 ϕ 2 2 ϕ 2 du 1 du 2 = ( f ϕ 1 ϕ 2 ϕ ) du 1 du 2. Pintaintegraalin määritelmä saa nyt hyvin yksinkertaisen muodon f ds = ω = ϕ ω. T ϕ( ) Siis, kun vektorikentän f = (f 1, f 2, f 3 ) sijasta integroitavaksi otetaankin ns. differentiaalinen 2-muoto ω(x) := f 1 (x) dx 2 dx 3 + f 2 (x) dx 3 dx 1 + f 3 (x) dx 1 dx 2, saadaan differentiaalimuodon ω integraali yksinkertaisesti sijoittamalla x = ϕ(u), laskemalla väkätulot alternoivina tuloina ja interoimalla saatu muuttujan u = (u 1, u 2 ) differentiaalimuoto kuten Greenin lauseen tarkasteluissa tehtiin tavallisena kaksiulotteisena integraalina. Muotoa ω = f 1 dx 2 dx 3 + f 2 dx 3 dx 1 + f 3 dx 1 dx 2 olevaa lauseketta kutsutaan differentiaaliseksi 2-muodoksi. Huomaa indeksointitapa: termissä f i dx j dx k väkätulon indeksien j ja k ja vektorin f komponenttien f i vastaavuus saadaan positiivisessa k 3 kiertojärjestyksessä (= vastapäivään) jonosta (1, 2, 3): j Pinnan pinta-ala. ektorikentän pintaintegraalia lähestyttiin reaaliarvoisen funktion pintaintegraalista käsin. Entäpä kääntäen, kun nyt differentiaalimuotojen integraali vastaa vektorikentän pintaintegraalia, ja vain differentiaalimuotojen integraali on käytettävissä? Ongelma ratkeaa helposti, kun palautetaan mieleen vektorikentän pintaintegraalin määritelmä [2, määr ]: f d S = (f n) ds, kun n on pinnalle S valittu suunnistus (eli jatkuva yksikkönormaalivektorikenttä). Tässäkin oletetaan, että normaali n saadaan parametrisoinnista ϕ kaavan ( n) mukaisesti. Jos erityisesti valitaan f = n, on n d S = 1 ds = A(S). Reaaliarvoiselle funktiolle g : S R tehdään vastaavasti: kun valitaan f = g n, on g n d S = g ds. Olkoon pinnan S normaali n määritelty parametriesityksen ϕ avulla kuten kaavassa ( n). Olkoon n = (n 1, n 2, n 3 ). Määritellään pinnan S pinta-alamuoto ω S asettamalla ω S := n 1 dx 2 dx 3 + n 2 dx 3 dx 1 + n 3 dx 1 dx 2. Tällöin S ω S = A(S). astaavasti, kun reealiarvoiseen funktioon g : S R liitetään 2-muoto η := g ω S = g n 1 dx 2 dx 3 + g n 2 dx 3 dx 1 + g n 3 dx 1 dx 2, on S η = S g ω S = S g ds Ulkoinen derivaatta. Olkoon η = f 1 dx 1 + f 2 dx 2 + f 3 dx 3 alueen G R 3 differentiaalinen 1-muoto. Määritellään muodon η ulkoinen derivaatta asettamalla dη := df 1 dx 1 + df 2 dx 2 + df 3 dx 3, i 2

3 missä df j = 1 f j dx f j dx f j dx 3 on reaaliarvoisen funktion f j differentiaali. Koska tulos dη on differentiaalisten 1-muotojen df j ja dx j väkätulo, on tulos esitettävissä väkätulojen dx 2 dx 3, dx 3 dx 1 ja dx 1 dx 2 lineaarikombinaationa (laske yksityiskohtaisesti; kannattaa!). Entä millainen on differentiaalisen 2-muodon ω = f 1 dx 2 dx 3 + f 2 dx 3 dx 1 + f 3 dx 1 dx 2 ulkoinen derivaatta? Käytetään samaa määritelmää dω := df 1 dx 2 dx 3 + df 2 dx 3 dx 1 + df 3 dx 1 dx 2. Tässä esiintyvät väkätulot df i dx j dx k ovat kuitenkin kolmen 1-muodon väkätuloja, joita ei ole vielä määritelty. Mutta kun lasketaan formaalisti käyttäen apuna väkätulon alternoivuutta, saadaan jokainen muotoa df i dx j dx k oleva väkätulo sievennetyksi muotoon g dx 1 dx 2 dx 3, missä g on reaaliarvoinen funktio (laske yksityiskohtaisesti; kannattaa!). Muotoa g dx 1 dx 2 dx 3 olevia lausekkeita kutsutaan differentiaalisiksi 3-muodoiksi. Tarpeen tullen niitä integroidaan luonnollisella tavalla: g dx K 1 dx 2 dx 3 := g(x) d(x K 1, x 2, x 3 ), kun K G on kompakti Jordan-joukko. Funktioille ja vektorikentille määritellyillä differentiaalioperaatioilla, gradientti reaaliarvoisille funktioille ja roottori ja divergenssi vektorikentille, on varsin kaunis yhteys differentiaalimuotojen ulkoiseen derivaattaan, varsinkin kun lisäksi sovitaan, että reaaliarvoiselle funktiolle differentiaali on sen ulkoinen derivaatta. Reaaliarvoista funktiota on tällaisessa yhteydessä sopivaa kutsua differentiaaliseksi 0-muodoksi. Olkoot x, y, z kanooniset koordinaattikuvaukset alueessa G R 3, f : G R C 2 - funktio ja F C 2 -vektorikenttä alueessa G, F (p) = (X(p), Y (p), Z(p)). Määritellään vektorikenttää F vastaavat 1-muoto η F (ns. vektorikentän F duaalimuoto) ja 2-muoto ω F kaavoilla η F := X dx + Y dy + Z dz, Tällöin ω F := X dy dz + Y dz dx + Z dx dy. df = η grad f, dη F = ω rot F, dω F = (div F ) dx dy dz. 3 Suoraaviivaisella laskulla voidaan todeta, että mille tahansa C 2 -differentiaalimuodolle ω (myös 0-muodolle eli funktiolle) on voimassa d(dω) = 0. 2 Tästä saadaan funktioille f ja vektorikentille F identiteetit rot(grad f) = 0 ja div(rot F ) = Gaussin ja Stokesin lauseet. Kaikki klassisen vektorianalyysin kuuluisat lauseet voidaan esittää yhtenäisellä tavalla käyttäen differentiaalimuotoja. Lause 1.1 (Green). Olkoon γ : I R 2 positiivisesti suunnistettu paloittain sileä umpinainen Jordan-polku ja A käyrän γ(i) sisäpuoli. Olkoon ω = f 1 dx 1 + f 2 dx 2 jatkuvasti differentioituva differentiaalinen 1-muoto avoimessa joukossa G R 2, jolle A G. Tällöin γ 2 iimeistään tässä vaiheessa on syytä herätä huomaamaan, että differentiaalimuotojen ulkoinen derivaatta d ei ole lainkaan sama asia kuin realiarvoisten funktioiden korkeamman kertaluvun differentiaali. A

4 äite seuraa luentomonisteen [2, 1.4.3] Greenin lauseesta, kun lasketaan dω = df 1 dx 1 + df 2 dx 2 = 2 f 1 dx 2 dx f 2 dx 1 dx 2 = ( 1 f 2 2 f 1 ) dx 1 dx 2. Lause 1.2. Olkoon A R n avoin joukko, u: A R jatkuvasti differentioituva ja γ : [a, b] A paloittain jatkuvasti differentioituva polku. Tällöin du = b u(γ(t)). a γ Lause 1.3 (Gauss). Olkoon A R 3 rajoitettu alue, jonka reuna A on paloittain sileä pinta. Olkoon n: A R 3 reunan A ulkoinen yksikkönormaali. Olkoon ω = f 1 dx 2 dx 3 + f 2 dx 3 dx 1 + f 3 dx 1 dx 2 jatkuvasti differentioituva differentiaalinen 2-muoto avoimessa joukossa G R 3, jolle A G. Tällöin A äite seuraa luentomonisteen [2, 1.4.3] Gaussin lauseesta, kun lasketaan dω = df 1 dx 2 dx 3 + df 2 dx 3 dx 1 + df 3 dx 1 dx 2 = 1 f 1 dx 1 dx 2 dx f 2 dx 2 dx 3 dx f 3 dx 3 dx 1 dx 2 = ( 1 f f f 3 ) dx 1 dx 2 dx 3 Huomaa, että kahdessa jälkimmäisessä väkätulossa tarvitaan kaksi tulon tekijöiden vaihtoa, jotta päästään väkätuloon dx 1 dx 2 dx 3. Lause 1.4 (Stokes). Olkoon S = ϕ(u) rajoitettu sileä alkeispinta siten, että U on positiivisesti suunnistetun paloittain sileä umpinaisen Jordan-polun γ : I R 2 sisäpuoli. Pisteille x = ϕ(u) olkoon n(x) := 1ϕ(u) 2 ϕ(u) 1 ϕ(u) 2 ϕ(u) pinnan S suunnistus. Olkoon ω = f 1 dx 1 + f 2 dx 2 + f 3 dx 3 jatkuvasti differentioituva differentiaalinen 1-muoto avoimessa joukossa G R 3, jolle S G. Tällöin S+ äite seuraa luentomonisteen [2, 2.2.8] Stokesin lauseesta, kun lasketaan dω = df 1 dx 1 + df 2 dx 2 + df 3 dx 3 = ( 2 f 1 dx f 1 dx 3 ) dx 1 + ( 1 f 2 dx f 2 dx 3 ) dx 2 + ( 1 f 3 dx f 3 dx 2 ) dx 3 = ( 2 f 3 3 f 2 ) dx 2 dx 3 + ( 3 f 1 1 f 3 ) dx 3 dx 1 + ( 1 f 2 2 f 1 ) dx 1 dx 2 Saatua differentiaalista 2-muotoa vastaava vektorikenttä on vektorikentän (f 1, f 2, f 3 ) roottori. Lause 1.5 (Stokes Cartan). Olkoot M kompakti m-ulotteinen suunnistettu reunallinen tai reunaton monisto ja ω jatkuvasti differentioituva (m 1)-muoto monistolla M. Tällöin dω = ω. M A S M 4

5 Todistus löytyy esimerkiksi kirjoista [14, Thm. 5-5], [12, Thm. 37.2], [13, luku 8, 5.2], [5, osa II/2, luvun 5 liite]. Stokesin lauseen historiasta katso artikkelia [8]. Kirjallisuutta [1] Petri Juutinen: ektorifunktioiden analyysi 2A, luentomuistiinpanoja keväältä [2] Petri Juutinen: ektorifunktioiden analyysi 2B, luentomuistiinpanoja keväältä [3] Tom M. Apostol: Mathematical analysis. A modern approach to advanced calculus, Addison Wesley, ensimmäinen laitos, viides painos, 1971 (alunperin 1957). [4] Richard Courant ja Fritz John: Introduction to calculus and analysis, olume I, uusintapainos vuoden 1989 laitoksesta, Classics in Mathematics, Springer, [5] Richard Courant ja Fritz John: Introduction to calculus and analysis, olume II/1 ja II/2, uusintapainos vuoden 1989 laitoksesta, Classics in Mathematics, Springer, [6] Jean Dieudonné: Infinitesimal Calculus, Hermann, Paris [7] Ernst Hairer ja Gerhard Wanner: Analysis by its history, Undergraduate Texts in Mathematics, Readings in Mathematics, kolmas korjattu painos, Springer, [8] ictor J. Katz: The history of Stokes theorem, Mathematics Magazine 52 (1979), no. 3, [9] Serge Lang: Undergraduate analysis, toinen laitos, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1997 (korjattu neljäs painos 2005). [10] Serge Lang: Complex analysis, neljäs laitos, Graduate Texts in Mathematics 103, Springer, [11] Jacqueline Lelong-Ferrand ja Jean-Marie Arnaudiès : Cours de mathématiques 1 4. Dunod. 1. Algèbre, 3 e édition, 1978 ; 2. Analyse, 4 e édition, 1977 ; 3. Géométrie et cinématique, 2 e édition, Equations différentielles, intégrales multiples, fonctions holomorphes, 2 e édition, [12] James R. Munkres: Analysis on manifolds, Advanced Book Classics, Westview Press, [13] Theodore Shifrin: Multivariable mathematics. Linear algebra, multivariable calculus, and manifolds, John Wiley & Sons, [14] Michael Spivak: Calculus on manifolds. A modern approach to classical theorems of advanced calculus, Addison-Wesley, 1965; korjattu painos, [15] Dirk J. Struik (toim.): A source book in mathematics, , Princeton University Press, [16] John A. Thorpe: Elementary topics in differential geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-erlag,