Jatkuvia jakaumia. Jatkuvia jakaumia. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme? 2/3. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme? 1/3. Jatkuvia jakaumia Mitä opimme?

Transkriptio

1 TKK (c) Ilkk Melli (4) Jtkuvi jkumi Jtkuv tsie jkum Johdtus todeäköisyyslsket Jtkuvi jkumi TKK (c) Ilkk Melli (4) Jtkuvi jkumi Mitä opimme? /3 Tutustumme tässä luvuss seurvii jtkuvii todeäköisyysjkumii: Jtkuv tsie jkum Jtkuvi jkumi Mitä opimme? /3 Trkstelu kohtee ovt seurvt jkumie omiisuudet: (i) Jkum määrittely (ii) Tiheysfuktio j kertymäfuktio (iii) Odotusrvo, vrissi j stdrdipoikkem (iv) Kuvj Trksteltvie jkumie odotusrvot johdet suor odotusrvo määritelmää ojutue. Todeäköisyysjkum mometit sd kuiteki yleesä kätevimmi johdetuksi käyttämällä hyväksi jkum mometit geeroiv fuktiot; ks. luku Momettiemäfuktio j krkteristie fuktio. TKK (c) Ilkk Melli (4) 3 TKK (c) Ilkk Melli (4) 4 Jtkuvi jkumi Mitä opimme? 3/3 Trkstelemme ormlijkum tpuksess myös ko. jkum oudttvie riippumttomie stuismuuttujie summ jkum. Lisätietoj riippumttomie stuismuuttujie summ jkum määräämisestä: ks. luku Stuismuuttujie muuokset j iide jkumt. Huomutus: Trkoitmme stuismuuttujie riippumttomuudell sitä, että yhdekää stuismuuttuj smt rvot eivät riipu siitä, mitä rvoj muut stuismuuttujt svt; käsite täsmeetää luvuss Kksiulotteiset todeäköisyysjkumt. Esitämme tässä luvuss myös keskeise rj-rvolusee, jok o tärkeimpiä perusteluit ormlijkum keskeiselle semlle tilstotieteessä. Jtkuvi jkumi Esitiedot Esitiedot: ks. seurvi lukuj: Stuismuuttujt j todeäköisyysjkumt Kertymäfuktio Jkumie tuusluvut TKK (c) Ilkk Melli (4) 5 TKK (c) Ilkk Melli (4) 6

2 TKK (c) Ilkk Melli (4) 7 Jtkuvi jkumi Lisätiedot Todeäköisyysjkumie momettie määräämistä trkstell luvuss Momettiemäfuktio j krkteristie fuktio Riippumttomie stuismuuttujie summ jkum määräämistä trkstell luvuss Stuismuuttujie muuokset j iide jkumt Tilstotieteessä pljo käytettyjä ormlijkumst johdettuj jkumi (χ -, F-j t-jkumi) käsitellää luvuss st johdettuj jkumi Jtkuvi jkumi >> Jtkuv tsie jkum TKK (c) Ilkk Melli (4) 8 Jtkuv tsie jkum Avist Jtkuv tsie jkum Kertymäfuktio Odotusrvo Stdrdipoikkem Tiheysfuktio Todeäköisyyksie määräämie jtkuvst tsisest jkumst Vrissi Jtkuv tsie jkum Jtkuv tsie jkum j se tiheysfuktio /3 stuismuuttuj rvoluee relikseli äärellie väli [, ]. Olkoot [, ] j [, ] väli [, ] kksi mielivltist, smpituist osväliä: [, ] [, ] [, ] [, ] = Oletet, että väleihi [, ] j [, ] liittyvät todeäköisyydet ovt yhtä suuri: Pr( [, ]) = Pr( [, ]) TKK (c) Ilkk Melli (4) 9 TKK (c) Ilkk Melli (4) Jtkuv tsie jkum Jtkuv tsie jkum j se tiheysfuktio /3 Stuismuuttuj tiheysfuktio o, x< f( x) =, x, x> Fuktio f(x) kelp tiheysfuktioksi, kosk f( x) dx= Jtkuv tsie jkum Jtkuv tsie jkum j se tiheysfuktio 3/3 Somme, että stuismuuttuj oudtt jtkuv tsist jkum prmetrei j. Merkitä: Uiform(, ) TKK (c) Ilkk Melli (4) TKK (c) Ilkk Melli (4)

3 TKK (c) Ilkk Melli (4) 3 Jtkuv tsie jkum Jtkuv tsie jkum j se kertymäfuktio Uiform(, ). Stuismuuttuj kertymäfuktio o, x x F( x) = Pr( x) =, x, x Jtkuv tsie jkum Jtkuv tsie jkum j se kertymäfuktio: Johto Uiform(, ). Stuismuuttuj tiheysfuktio luseke, ku x [, ] : f( x) = Site stuismuuttuj kertymäfuktio lusekkeeksi sd, ku x [, ] : x x F( x) = Pr( x) = f( t) dt = dt x = x = TKK (c) Ilkk Melli (4) 4 Jtkuv tsie jkum Odotusrvo, vrissi j stdrdipoikkem Jtkuv tsie jkum Odotusrvo johto Uiform(, ). Odotusrvo: + E( ) = Vrissi j stdrdipoikkem: ( ) Vr( ) = D ( ) = D( ) = 3 Uiform(, ) Tällöi + E( ) = xf ( x) dx = x dx = x = ( ) + = TKK (c) Ilkk Melli (4) 5 TKK (c) Ilkk Melli (4) 6 Jtkuv tsie jkum Tiheysfuktio kuvj Jtkuv tsie jkum Tiheysfuktio j se kuvj omiisuudet Kuv oikell esittää jtkuv tsise jkum Uiform(, ) tiheysfuktiot f ( x) =, x Jkum odotusrvo: + E( ) = Uiform(, ) Jtkuv tsise jkum tiheysfuktio f( x) =, x s positiivise vkiorvo /( ) välillä [, ] j s rvo väli [, ] ulkopuolell. + E( ) = TKK (c) Ilkk Melli (4) 7 TKK (c) Ilkk Melli (4) 8

4 TKK (c) Ilkk Melli (4) 9 Jtkuv tsie jkum Kertymäfuktio kuvj Jtkuv tsie jkum Todeäköisyyksie määräämie jtkuvst tsisest jkumst / Kuv oikell esittää jtkuv tsise jkum Uiform(, ) kertymäfuktiot, x x F( x) =, x, x Uiform(, ) Uiform(, ). [c, d] [, ] joki väli [, ] osväli. Väli [c, d] todeäköisyys sd itegroimll jtkuv tsise jkum Uiform(, ) tiheysfuktio f( x) =, x välillä [c, d]: d d c Pr( c d) = f( x) dx= c TKK (c) Ilkk Melli (4) Jtkuv tsie jkum Todeäköisyyksie määräämie jtkuvst tsisest jkumst / Kikkie muide jtkuv tsisee jkum Uiform(, ) liittyvie tphtumie todeäköisyydet sd väli [, ] osvälie todeäköisyyksistä todeäköisyyslske lskusäätöje vull. Jtkuvi jkumi Jtkuv tsie jkum >> TKK (c) Ilkk Melli (4) TKK (c) Ilkk Melli (4) Avist Kertymäfuktio Odotusrvo Poisso-jkum Stdrdipoikkem Tiheysfuktio Todeäköisyyksie määräämie ekspoettijkumst Vrissi j se tiheysfuktio stuismuuttuj tiheysfuktio λx f( x) = λe, λ >, x Fuktio f(x) kelp tiheysfuktioksi, kosk + f( x) dx= Somme, että stuismuuttuj oudtt ekspoettijkum prmetri λ. Merkitä: Exp(λ) TKK (c) Ilkk Melli (4) 3 TKK (c) Ilkk Melli (4) 4

5 TKK (c) Ilkk Melli (4) 5 j se kertymäfuktio Exp(λ). Stuismuuttuj kertymäfuktio o λx F( x) = Pr( x) = e, λ >, x j se kertymäfuktio: Johto Exp(λ). Stuismuuttuj tiheysfuktio: λx f( x) = λe, λ >, x Site stuismuuttuj kertymäfuktioksi sd, ku x : x x λt F( x) = Pr( x) = f( t) dt = λe dt = e λt = e x λx TKK (c) Ilkk Melli (4) 6 Odotusrvo, vrissi j stdrdipoikkem Odotusrvo johto Exp(λ). Odotusrvo: E( ) = λ Vrissi j stdrdipoikkem: Vr( ) = D ( ) = λ D( ) = λ Exp(λ) Tällöi osittisitegroiill sd: + + λx E( ) = xf ( x) dx = xλe dx + λx + λx xe e dx = + + λx = e λ = λ TKK (c) Ilkk Melli (4) 7 TKK (c) Ilkk Melli (4) 8 Tiheysfuktio kuvj Tiheysfuktio j se kuvj omiisuudet Kuv oikell esittää ekspoettijkum Exp(λ) tiheysfuktiot f ( x) = λe λx välillä [, 6], ku (i) λ = / (ii) λ = /4 Jkum odotusrvo: E( ) = / λ Exp(λ).6.5 Exp(/) Exp(/4) 4 6 tiheysfuktio λx f( x) = λe, λ >, x o positiivie kikille ei-egtiivisille rgumeti rvoille: f(x) >, x > Tiheysfuktioll o mksimi pisteessä x = Tiheysfuktio o mootoisesti lskev kikille λ >. TKK (c) Ilkk Melli (4) 9 TKK (c) Ilkk Melli (4) 3

6 TKK (c) Ilkk Melli (4) 3 Kertymäfuktio kuvj Poisso-prosessi Kuv oikell esittää ekspoettijkum Exp(λ) kertymäfuktiot F( x) = e λx välillä [, 6], ku λ = / Exp(λ) Trkstell joki tphtum sttumist jtkuvll ikvälillä, jok pituus o t. Määritellää diskreetti stuismuuttuj Z = Niide tphtumie lukumäärä, jotk sttuvt ikvälillä [, t] Sopivi oletuksi stuismuuttuj Z oudtt Poisso-jkum prmetri νt: Z Poisso(νt) Prmetri νt kuv tphtumitesiteettiä eli tphtumie keskimääräistä lukumäärää ikvälillä, jok pituus o t. TKK (c) Ilkk Melli (4) 3 Poisso-prosessi j ekspoettijkum Z Poisso(νt) Määritellää jtkuv stuismuuttuj = Esimmäise tphtum sttumisik = Tphtumie väliik Stuismuuttuj oudtt ekspoettijkum prmetri ν : Exp(ν) tiheysfuktio johto / Exp(λ) Johdet esi stuismuuttuj kertymäfuktio F. Kertymäfuktio määritelmä j komplemettitodeäköisyyde kv muk ( ) F ( x) = Pr( x) = Pr( > x) Esimmäie tphtum sttuu jhetke x jälkee, jos j vi jos ikvälillä [, x] ei ole sttuut yhtää tphtum. Site Pr( > x) = Pr( Z = ) joss Z Poisso(λx). Poisso-jkum pistetodeäköisyysfuktio kvst sd: Pr( > x) = Pr( Z = ) = exp( λx) TKK (c) Ilkk Melli (4) 33 TKK (c) Ilkk Melli (4) 34 tiheysfuktio johto / uohtmisomiisuus Sijoittmll tämä stuismuuttuj lusekkeesee ( ) klvoll / sd F ( x) = Pr( x) = Pr( > x) = exp( λx) jost stuismuuttuj tiheysfuktioksi sd derivoimll d f ( x) = F( x) = λ exp( λx) dx Site Exp(λ) Exp(λ). Tällöi Pr( + ) = Pr( ) Site ekspoettijkumll o seurv uohtmisomiisuus: Se, että tphtum sttumist o jouduttu odottm j, ei vikut todeäköisyytee joutu odottm j lisää. Poisso-prosessi uohtmisomiisuutt kutsut stokstise prosessi Mrkov-omiisuudeksi. TKK (c) Ilkk Melli (4) 35 TKK (c) Ilkk Melli (4) 36

7 TKK (c) Ilkk Melli (4) 37 Todeäköisyyksie määräämie ekspoettijkumst / Exp(λ). [c, d] [, + ) joki väli [, + ) osväli. Väli [c, d] todeäköisyys sd itegroimll ekspoettijkum Exp(λ) tiheysfuktio λx f( x) = λe, λ >, x välillä [c, d]: d λc λd Pr( c d) = f( x) dx= e e c Todeäköisyyksie määräämie ekspoettijkumst / Kikkie muide ekspoettijkum Exp(λ) liittyvie tphtumie todeäköisyydet sd väli [, ] osvälie todeäköisyyksistä todeäköisyyslske lskusäätöje vull. TKK (c) Ilkk Melli (4) 38 Jtkuvi jkumi Jtkuv tsie jkum >> Avist Kertymäfuktio Odotusrvo Riippumttomie ormlijkutueide stuismuuttujie summ jkum Stdrdipoikkem Stdrdoitu ormlijkum Tiheysfuktio Todeäköisyyksie määräämie ormlijkumst Vrissi TKK (c) Ilkk Melli (4) 39 TKK (c) Ilkk Melli (4) 4 j se tiheysfuktio / stuismuuttuj tiheysfuktio x µ f( x) = exp, < µ <+, σ > σ π σ < x < + Fuktio f(x) kelp tiheysfuktioksi, kosk + f( x) dx= Somme, että stuismuuttuj oudtt ormlijkum prmetrei µ j σ. Merkitä: N(µ, σ ) TKK (c) Ilkk Melli (4) 4 j se tiheysfuktio / kutsut kehittäjäsä muk usei Gussi jkumksi j se tiheysfuktio kuvj Gussi käyräksi ti kellokäyräksi (egl. ell curve). TKK (c) Ilkk Melli (4) 4

8 TKK (c) Ilkk Melli (4) 43 j se kertymäfuktio N(µ, σ ). Stuismuuttuj kertymäfuktio o x t µ σ F( x) = Pr( x) = e dt σ π Kosk ormlijkum tiheysfuktio itegrlifuktiot ei tuet, ii ormlijkum kertymäfuktiolle ei void t eksplisiittistä lusekett. Site ormlijkum kertymäfuktio rvoje määräämisee o käytettävä umeerist itegroiti. Odotusrvo, vrissi j stdrdipoikkem N(µ, σ ). Odotusrvo: E( ) = µ Vrissi j stdrdipoikkem: Vr( ) = D ( ) = σ D( ) = σ TKK (c) Ilkk Melli (4) 44 Odotusrvo johto / Odotusrvo johto / N(µ, σ ) Tällöi Sijoituksell x µ z = σ sd: x µ + + σ σ π E( ) = xf ( x) dx = xe dx + z π µ σ z + + z µ σ π π E( ) = ( + z) e dz = e dz+ ze dz Nyt Perustelu: z + + z σ π π E( ) = µ e dz + ze dz = µ z + + z π e dz e π dz µ = µ = µ = µ kosk itegroitv o stdrdoidu ormlijkum N(,) tiheysfuktio j + z σ ze dz = π kosk itegroitv o muuttuj z prito fuktio. TKK (c) Ilkk Melli (4) 45 TKK (c) Ilkk Melli (4) 46 Tiheysfuktio kuvj Tiheysfuktio j se kuvj omiisuuksi /3 Kuv oikell esittää ormlijkum N(µ, σ ) tiheysfuktiot f( x) = exp ( x σ µ ) σ π välillä [ 6, +6], ku (i) µ = σ = 4 (ii) µ = σ = (iii) µ = +3 σ =.9 Jkum odotusrvo: E( ) = µ { } N(µ, σ ).4. N(3,.9).8 N(, ).6.4 N(, 4) tiheysfuktio f( x) = exp{ ( x µ ) σ π σ } o kikkill positiivie: f(x) > kikille x Tiheysfuktio o yksihuippuie. Tiheysfuktio s mksimirvos pisteessä µ. Tiheysfuktio o symmetrie suor x = µ suhtee: f(µ x) = f(µ + x) kikille x TKK (c) Ilkk Melli (4) 47 TKK (c) Ilkk Melli (4) 48

9 TKK (c) Ilkk Melli (4) 49 Tiheysfuktio j se kuvj omiisuuksi /3 Tiheysfuktio j se kuvj omiisuuksi 3/3 Tiheysfuktioll o kääepisteet pisteissä µ σ j µ + σ j tiheysfuktio o kuper ylöspäi väli [µ σ, µ + σ] sisäpuolell j kuper lspäi väli [µ σ, µ + σ] ulkopuolell. Kikki ormlijkumt ovt smmuotoisi, jos e piirretää stdrdoiduiss yksiköissä x µ z = σ Kuv oikell esittää ormlijkum N(µ, σ ) tiheysfuktiot f( x) = exp ( x σ µ ) σ π Tiheysfuktioll o mksimi pisteessä x = µ Tiheysfuktioll o kääepisteet pisteissä x = µ σ x = µ + σ { } N(µ, σ ) Mksimi Kääepiste Kääepiste σ σ µ σ µ µ + σ TKK (c) Ilkk Melli (4) säätö Kikille ormlijkumille pätee (likimääri): (i) 68% jkum todeäköisyysmssst o välillä [µ σ, µ + σ] (ii) 95% jkum todeäköisyysmssst o välillä [µ σ, µ +σ] (iii) 99.7% jkum todeäköisyysmssst o välillä [µ 3σ, µ +3σ] säätö: Hviollistus N(µ, σ ) µ 3σ µ σ µ σ µ µ + σ µ + σ µ + 3σ 68 % 95 % 99.7 % TKK (c) Ilkk Melli (4) 5 TKK (c) Ilkk Melli (4) 5 Stdrdoitu ormlijkum Stdrdoitu ormlijkum: Tiheysfuktio kuvj N(, ) jolloi siis E( ) = D( ) = Tällöi somme, että stuismuuttuj oudtt stdrdoitu ormlijkum. Kuv oikell esittää stdrdoidu ormlijkum N(, ) tiheysfuktiot f ( x) = exp x π { } N(, )-jkum tiheysfuktio TKK (c) Ilkk Melli (4) 53 TKK (c) Ilkk Melli (4) 54

10 TKK (c) Ilkk Melli (4) 55 Stdrdoitu ormlijkum: Kertymäfuktio kuvj Lierimuuokse jkum Kuv oikell esittää stdrdoidu ormlijkum N(, ) kertymäfuktiot. Stdrdoidu ormlijkum kertymäfuktio F(x) määrittelee kv x F( x) = Pr( x) = f( t) dt joss f(x) o stdrdoidu ormlijkum tiheysfuktio. N(, )-jkum kertymäfuktio N(µ, σ ). Määritellää stuismuuttuj Y = + joss j ovt (ei-stuisi) vkioit. Tällöi Y o ormlie: Y ~N( + µ, σ ) Perustelu: Ks. luku Stuismuuttujie muuokset j iide jkumt. TKK (c) Ilkk Melli (4) 56 Stdrdoiti N(µ, σ ), jolloi E() = µ D() = σ Stdrdoid stuismuuttuj : µ Z = σ Stdrdoitu stuismuuttuj Z oudtt stdrdoitu ormlijkum N(, ): Z ~N(,) j stdrdoitu ormlijkum / Kikki ormlijkumt N(µ, σ ) ovt smmuotoisi stdrdoiduiss yksiköissä µ Z = σ Site todeäköisyydet mielivltisest ormlijkumst N(µ, σ ) void i määrätä stdrdoidu ormlijkum N(, ) vull. TKK (c) Ilkk Melli (4) 57 TKK (c) Ilkk Melli (4) 58 j stdrdoitu ormlijkum / siis N(µ, σ ) Z N(, ) Tällöi Pr( ) µ µ µ = Pr σ σ σ µ µ = Pr Z σ σ TKK (c) Ilkk Melli (4) 59 j stdrdoitu ormlijkum: Esimerkki N(,/ 4) Z = ( µ ) / σ N(,).9.9 µ.8 = µ.8 Z =.7 σ = / 4.7 σ Z = A µ µ =.5 = 3 = = σ σ Stdrdoidu ormlijkum N(, ) tulukoist sd: Aluee A pit-l = Pr (.5 3) = Pr( Z ) =.885 TKK (c) Ilkk Melli (4) 6

11 TKK (c) Ilkk Melli (4) 6 Todeäköisyyksie määräämie stdrdoidust ormlijkumst / Todeäköisyydet stdrdoidust ormlijkumst N(, ) void määrätä jkum kertymäfuktio vull. Z N(, ). stuismuuttuj Z kertymäfuktio Φ(z) = Pr(Z z) Huomutus: Kosk ormlijkum tiheysfuktio itegrlifuktiot ei tuet, ormlijkum kertymäfuktio määräämisee o käytettävä jotki umeerist meetelmää. Siksi useimmiss tilstotietee j todeäköisyyslske oppikirjoiss o vlmis tulukko, joss o tulukoitu ormlijkum kertymäfuktio rvoj j iihi liittyviä todeäköisyyksiä. Todeäköisyyksie määräämie stdrdoidust ormlijkumst / Kikkie stdrdoituu ormlijkum liittyvie tphtumie todeäköisyydet sd todeäköisyyksistä Pr(Z z) = Φ(z) todeäköisyyslske lskusäätöje vull. Esimerkiksi Pr( Z ) =Φ( ) Φ( ) TKK (c) Ilkk Melli (4) 6 Todeäköisyyksie määräämie stdrdoidust ormlijkumst: Tulukot / Stdrdoidu ormlijkum tulukot sisältävät stdrdoidu ormlijkum N(, ) kertymäfuktio Φ(z) rvoj tulukoitu uselle eri rgumeti z rvolle. Site tulukot mhdollistvt seurvie tehtävie rtkisemise: (i) Määrää todeäköisyys Pr(Z z) = Φ(z) ku z o ettu. (ii) Määrää z, ku todeäköisyys Pr(Z z) = Φ(z) o ettu. Todeäköisyyksie määräämie stdrdoidust ormlijkumst: Tulukot / Moiss ormlijkum tulukoiss o tulukoitu todeäköisyyksiä Pr( Z z) =Φ( z) vi, ku z. Tällöi todeäköisyydet Pr(Z z) = Φ( z) sd soveltmll stdrdoidu ormlijkum tiheysfuktio symmetrisyyttä suor z = suhtee: Φ( z) = Pr( Z z) = Pr( Z z) = Pr( Z z) = Φ( z) TKK (c) Ilkk Melli (4) 63 TKK (c) Ilkk Melli (4) 64 Todeäköisyyksie määräämie stdrdoidust ormlijkumst: Esimerkki / Todeäköisyyksie määräämie stdrdoidust ormlijkumst: Esimerkki / Z ~ N(, ) j olkoo f Z (z) stuismuuttuj Z tiheysfuktio. Stdrdoidu ormlijkum N(, ) tulukoist sd: Aluee A pit-l = fz ( z) dz = Pr( Z ) =.843 N(, )-jkum tiheysfuktio A Z ~ N(, ) j olkoo Φ(z) stuismuuttuj Z kertymäfuktio. Stdrdoidu ormlijkum N(, ) tulukoist sd: Φ() = Pr( Z ) =.843 N(, )-jkum kertymäfuktio TKK (c) Ilkk Melli (4) 65 TKK (c) Ilkk Melli (4) 66

12 TKK (c) Ilkk Melli (4) 67 Todeäköisyyksie määräämie ormlijkumst: Ohjelmt N(µ, σ ). Moet tietokoeohjelmt mhdollistvt seurvie tehtävie rtkisemise mielivltisille prmetrie µ, σ rvoille: (i) Määrää todeäköisyys Pr( x) ku x o ettu. (ii) Määrää x, ku todeäköisyys Pr( x) ku o x ettu. Khde ormlijkutuee stuismuuttuj summ jkum N(µ, σ ) Y N(µ Y, σ Y ) j olkoot j Y lisäksi riippumttomi. Määritellää stuismuuttuj W = + Y Tällöi summ W = + Y o ormlie: W ~N( µ + µ Y, σ + σy) Perustelu: Ks. luku Stuismuuttujie muuokset j iide jkumt. TKK (c) Ilkk Melli (4) 68 Normlijkutueide stuismuuttujie summ jkum / i, i =,,, joo riippumttomi ormlijkutueit stuismuuttuji. Site,,, i N( µ i, σi ), i =,,, Y = i i= stuismuuttujie i, i =,,, summ. Normlijkutueide stuismuuttujie summ jkum / Tällöi summ Y o ormlie: Y ~N( µ + µ + + µ, σ + σ + + σ) Soi: Riippumttomie, ormlijkutueide stuismuuttujie summ o ormlie j prmetrit sd yhteelskettvie stuismuuttujie vstvie prmetrie summi. Perustelu: Ks. luku Stuismuuttujie muuokset j iide jkumt. TKK (c) Ilkk Melli (4) 69 TKK (c) Ilkk Melli (4) 7 Normlijkutueide stuismuuttujie summ jkum / i, i =,,, joo riippumttomi, sm ormlijkum oudttvi stuismuuttuji. Site,,, i N( µσ, ), i =,,, Y = i i= stuismuuttujie i, i =,,, summ. Normlijkutueide stuismuuttujie summ jkum / Tällöi summ Y o ormlie: Y = i= i ~N( µ, σ ) Site riippumttomie, sm ormlijkum oudttvie stuismuuttujie summ o ormlie j prmetrit sd yhteelskettvie stuismuuttujie vstvie prmetrie summi. Huomutus: Tulos o erikoistpus riippumttomie, ormlijkutueide stuismuuttujie summ koskevst yleisestä jkumtuloksest. TKK (c) Ilkk Melli (4) 7 TKK (c) Ilkk Melli (4) 7

13 TKK (c) Ilkk Melli (4) 73 Normlijkutueide stuismuuttujie ritmeettise keskirvo jkum / i, i =,,, joo riippumttomi, sm ormlijkum oudttvi stuismuuttuji. Site,,, i N( µσ, ), i =,,, i i = = stuismuuttujie i, i =,,, ritmeettie keskirvo. Normlijkutueide stuismuuttujie ritmeettise keskirvo jkum / Tällöi ritmeettie keskirvo o ormlie: σ ~N( µ, ) Site riippumttomie, sm ormlijkum oudttvie stuismuuttujie ritmeettie keskirvo o ormlie. Huomutus: Ilm ormlisuusoletustki pätee: E( ) = µ D( ) σ = TKK (c) Ilkk Melli (4) 74 Miksi ormlijkum o ormli? Jtkuvi jkumi o sekä teoreettise että soveltv tilstotietee tärkei jkum. keskeie sem tilstotieteessä perustuu siihe teoreettisee j empiirisee tosiseikk, että moii stuisilmiöihi liittyvät stuismuuttujt oudttvt iki pproksimtiivisesti ormlijkum. Mikä o tämä tosiseik selitys? Selitykseä o keskeie rj-rvoluse; ks. seurv kpplett. Jtkuv tsie jkum >> TKK (c) Ilkk Melli (4) 75 TKK (c) Ilkk Melli (4) 76 Johdto / Avist Approksimoiti Asymptoottie Aritmeettie keskirvo Biomijkum De Moivre j Lplce rj-rvoluse Hypergeometrie jkum Kertymäfuktio Poisso-jkum Riippumttomie ormlijkutueide stuismuuttujie summ jkum Stdrdoiti Stdrdoitu ormlijkum Tiheysfuktio i, i =,,, joo riippumttomi, sm ormlijkum N(µ, σ ) oudttvi stuismuuttuji. Tällöi stuismuuttujie i summ Y o ormlie: Y = i= i ~N( µ, σ ) Kysymys: Mitä void so riippumttomie, sm jkum oudttvie stuismuuttujie summ jkumst, jos ko. stuismuuttujt eivät oudt ormlijkum? TKK (c) Ilkk Melli (4) 77 TKK (c) Ilkk Melli (4) 78

14 TKK (c) Ilkk Melli (4) 79 Johdto / Keskeise rj-rvolusee formuloiti /3 Ei-ormliste stuismuuttujie summ ei yleesä ole ormlie. Kuiteki, jos yhteelskettvi o trpeeksi pljo, stuismuuttujie summ o (hyvi yleisi ehdoi) pproksimtiivisesti ormlie. Tämä o keskeise rj-rvolusee oleie sisältö. Kosk moi stuismuuttuji void pitää use riippumttom tekijä summ, t keskeie rjrvoluse selitykse empiiriselle hviolle iide ormlisuudest. i, i =,, joo riippumttomi, smoi jkutueit stuismuuttuji, joide odotusrvo j vrissi ovt E( i ) = µ, i =,, D( i ) = σ, i =,, Y = i i= stuismuuttujie i, i =,,, summ. TKK (c) Ilkk Melli (4) 8 Keskeise rj-rvolusee formuloiti /3 Keskeise rj-rvolusee formuloiti 3/3 Summ Y odotusrvo j vrissi ovt E( Y ) = µ D( Y ) = σ Stdrdoid summ Y : Y µ Z = σ Aet + Tällöi stuismuuttuj Z jkum lähestyy stdrdoitu ormlijkum N(, ). Site keskeie rj-rvoluse soo, että i µ i= lim Pr z =Φ( z) + σ joss Φ o stdrdoidu ormlijkum N(, ) kertymäfuktio. Merkitä: i µ i= N(,) σ TKK (c) Ilkk Melli (4) 8 TKK (c) Ilkk Melli (4) 8 Kommettej /3 Kommettej /3 Keskeiselle rj-rvoluseelle esitetää todistus luvuss Kovergessikäsitteet j rj-rvoluseet. Keskeise rj-rvolusee muk use stuismuuttuj summ o (tietyi ehdoi) pproksimtiivisesti ormlie (lähes) riippumtt yhteelskettvie jkumst. Huomutus: Yhteelskettvie ei trvitse oll edes jtkuvi, v e voivt oll jop diskreettejä. Approksimtio hyvyys riippuu yhteelskettvie stuismuuttujie lukumäärästä, iide jkumst j erityisesti iide jkum vioudest. Approksimtio hyvyys pree, ku yhteelskettvie stuismuuttujie lukumäärä ksv. Jos yhteelskettvie stuismuuttujie jkum o symmetrie, pproksimtio o hyvä jo suhteellise pieillä yhteelskettvie lukumäärillä. Jos yhteelskettvie stuismuuttujie jkum o epäsymmetrie, hyvä pproksimtio vtii eemmä yhteelskettvi. TKK (c) Ilkk Melli (4) 83 TKK (c) Ilkk Melli (4) 84

15 TKK (c) Ilkk Melli (4) 85 Kommettej 3/3 koskee stuismuuttujie symptoottist käyttäytymistä sm tp kui luvuss Jkumie tuusluvut esitetty suurte lukuje lki. Keskeisessä rj-rvoluseess esiityvä rjkäyttäytymise muoto o esimerkki s. jkumkovergessist eli heikost kovergessist. Keskeisestä rj-rvoluseest o olemss yleisempiä muotoj, joiss lieveetää smoijkutueisuus-j riippumttomuusoletuksi. Aritmeettise keskirvo pproksimtiivie jkum Keskeisestä rj-rvoluseest seur: Riippumttomie smoi jkutueide stuismuuttujie i, i =,,, ritmeettie keskirvo i = = i o suurille (mutt äärellisille) pproksimtiivisesti ormlie prmetrei µ j σ /: σ N µ, TKK (c) Ilkk Melli (4) 86 Keskeise rj-rvolusee seuruksi /3 Keskeise rj-rvolusee seuruksi /3 Keskeisellä rj-rvoluseest seur erikoistpuksi moet yksittäisiä jkumi koskevt symptoottiset tulokset. Käsittelemme seurvi erikoistpuksi: (i) Biomijkum lähestyy ormlijkum, ku toistokokeide lukumäärä et ksv. (ii) Poisso-jkum lähestyy ormlijkum, ku jkum itesiteettiprmetri λ rvo et ksv. Sitä, että iomijkum lähestyy toistokokeide lukumäärä ksvess ormlijkum, kutsut tvllisesti De Moivre j Lplce rj-rvoluseeksi. De Moivre j Lplce rj-rvolusee muk iomitodeäköisyyksiä void pproksimoid ormlijkumst määrätyillä todeäköisyyksillä, jos toistokokeide lukumäärä o kylli suuri. Kosk hypergeometrie jkum muistutt tietyi ehdoi iomijkum, myös hypergeometrise jkum todeäköisyyksiä void pproksimoid ormlijkumst määrätyillä todeäköisyyksillä. TKK (c) Ilkk Melli (4) 87 TKK (c) Ilkk Melli (4) 88 Keskeise rj-rvolusee seuruksi 3/3 De Moivre j Lplce rj-rvoluse Poisso-jkum koskev keskeise rj-rvolusee muodo muk Poisso-jkum todeäköisyyksiä void pproksimoid ormlijkumst määrätyillä todeäköisyyksillä. Bi(, p) j q = p. Site E( ) = p Vr( ) = pq Tällöi p lim Pr z =Φ( z) + pq joss Φ o stdrdoidu ormlijkum N(, ) kertymäfuktio. TKK (c) Ilkk Melli (4) 89 TKK (c) Ilkk Melli (4) 9

16 TKK (c) Ilkk Melli (4) 9 De Moivre j Lplce rj-rvoluse: Hviollistus /5 De Moivre j Lplce rj-rvoluse: Hviollistus /5 Klvoill /5-5/5 olev kuvsrj hviollist De Moivre j Lplce rj-rvolusett. Kuvsrj äyttää mite stuismuuttujie Bi(, p) Z N(µ, σ ) jkumt lkvt muistutt yhä eemmä toisi, ku toistokokeide lukumäärä et ksv. Kuvsrjss p =. =,, 3, µ = p σ = p( p) Bi(, p) = p =. j Z N(µ, σ ) µ = p =. σ = p( p) =.9 Kuv oikell esittää stuismuuttuj pistetodeäköisyysfuktiot j stuismuuttuj Z tiheysfuktiot välillä [ 3, ]. Jkumt Bi(,.) j N(.,.9) TKK (c) Ilkk Melli (4) 9 De Moivre j Lplce rj-rvoluse: Hviollistus 3/5 De Moivre j Lplce rj-rvoluse: Hviollistus 4/5 Bi(, p) = p =. j Z N(µ, σ ) µ = p = σ = p( p) =.9 Kuv oikell esittää stuismuuttuj pistetodeäköisyysfuktiot j stuismuuttuj Z tiheysfuktiot välillä [ 3, ]. Jkumt Bi(,.) j N(,.9) Bi(, p) = 3 p =. j Z N(µ, σ ) µ = p = 3 σ = p( p) =.7 Kuv oikell esittää stuismuuttuj pistetodeäköisyysfuktiot j stuismuuttuj Z tiheysfuktiot välillä [ 3, ]. Jkumt Bi(3,.) j N(3,.7) TKK (c) Ilkk Melli (4) 93 TKK (c) Ilkk Melli (4) 94 De Moivre j Lplce rj-rvoluse: Hviollistus 5/5 Biomitodeäköisyydet j ormlijkum /4 Bi(, p) = p =. j Z N(µ, σ ) µ = p = σ = p( p) = 9 Kuv oikell esittää stuismuuttuj pistetodeäköisyysfuktiot j stuismuuttuj Z tiheysfuktiot välillä [, ]. Jkumt Bi(,.) j N(, 9) De Moivre j Lplce rj-rvolusee muk iomijkum Bi(, p) void suurille pproksimoid ormlijkumll N(µ, σ ) joss µ = p σ = pq, q = p TKK (c) Ilkk Melli (4) 95 TKK (c) Ilkk Melli (4) 96

17 TKK (c) Ilkk Melli (4) 97 Biomitodeäköisyydet j ormlijkum /4 Jos siis Bi(, p) ii De Moivre j Lplce rj-rvolusee muk suurille p p Pr( < ) Φ Φ pq pq joss Φ o stdrdoidu ormlijkum N(, ) kertymäfuktio. Biomitodeäköisyydet j ormlijkum 3/4 Jos j ovt kokoislukuj, pproksimtio o hiem prempi, jos käytetää kv + / p / p Pr( < ) Φ Φ pq pq Korjustekijä / ottmie muk perustuu siihe, että diskreettiä iomijkum pproksimoid jtkuvll ormlijkumll. TKK (c) Ilkk Melli (4) 98 Biomitodeäköisyydet j ormlijkum 4/4 Biomitodeäköisyydet j ormlijkum: Esimerkki /3 Jos et, sd pproksimtiotulos + / p Pr( ) = F ( ) Φ pq joss F o iomijkum kertymäfuktio. Jos =, sd pproksimtiotulos + / p / p Pr( = ) = f ( ) Φ Φ pq pq joss f o iomijkum pistetodeäköisyysfuktio. Kuv oikell esittää jkum Bi(,.) pistetodeäköisyysfuktiot j jkum N(, 9) tiheysfuktiot välillä [6, ]. De Moivre j Lplce rjrvolusee muk iomitodeäköisyyttä pisteessä x = 8 void pproksimoid vrjostetu luee pit-lll; ks. klvoj /3-3/3. Jkumt Bi(,.) j N(, 9) TKK (c) Ilkk Melli (4) 99 TKK (c) Ilkk Melli (4) Biomitodeäköisyydet j ormlijkum: Esimerkki /3 Biomitodeäköisyydet j ormlijkum: Esimerkki 3/3 Bi(, p), joss = p =. Tällöi f ( 8) =.48 joss f (x) o iomijkum Bi(,.) pistetodeäköisyysfuktio. Jkumt Bi(,.) j N(, 9) Olkoot µ = p = σ = p( p) = 9 joss = p =. Tällöi 8+ / µ Φ σ 8 / µ Φ =.5 σ joss Φ o stdrdoidu ormlijkum N(, ) kertymäfuktio. Jkumt Bi(,.) j N(, 9) TKK (c) Ilkk Melli (4) TKK (c) Ilkk Melli (4)

18 TKK (c) Ilkk Melli (4) 3 Hypergeometrise jkum todeäköisyydet j ormlijkum / Hypergeometrie jkum HyperGeom(N, r, ) lähestyy perusjouko koo N ksvess rjtt iomijkum Bi(, p) joss p = r/n Hypergeometrise jkum todeäköisyydet j ormlijkum / Site hypergeometrist jkum HyperGeom(N, r, ) void suurille N pproksimoid ormlijkumll N(µ, σ ) joss r µ = N r r σ = N N TKK (c) Ilkk Melli (4) 4 Poisso-jkum j ormlijkum Poisso(λ). Site E( ) = λ Vr( ) = λ Tällöi λ lim Pr z =Φ( z) λ + λ joss Φ o stdrdoidu ormlijkum N(, ) kertymäfuktio. Poisso-jkum todeäköisyydet j ormlijkum /4 Poisso-jkum koskev rj-rvolusee muk Poisso-jkum Poisso(λ) void suurille λ pproksimoid ormlijkumll N(µ, σ ) joss µ = λ σ = λ TKK (c) Ilkk Melli (4) 5 TKK (c) Ilkk Melli (4) 6 Poisso-jkum todeäköisyydet j ormlijkum /4 Jos siis Poisso(λ) ii Poisso-jkum koskev rj-rvolusee muk suurille λ λ λ Pr( < ) Φ Φ λ λ joss Φ o stdrdoidu ormlijkum N(, ) kertymäfuktio. Poisso-jkum todeäköisyydet j ormlijkum 3/4 Jos j ovt kokoislukuj, pproksimtio o hiem prempi, jos käytetää kv + / λ / λ Pr( < ) Φ Φ λ λ Korjustekijä / ottmie muk perustuu siihe, että diskreettiä Poisso-jkum pproksimoid jtkuvll ormlijkumll. TKK (c) Ilkk Melli (4) 7 TKK (c) Ilkk Melli (4) 8

19 TKK (c) Ilkk Melli (4) 9 Poisso-jkum todeäköisyydet j ormlijkum 4/4 Jos et, sd pproksimtiotulos + / λ Pr( ) = F ( ) Φ λ joss F o Poisso-jkum kertymäfuktio. Jos =, sd pproksimtiotulos + / λ / λ Pr( = ) = f ( ) Φ Φ λ λ joss f o Poisso-jkum pistetodeäköisyysfuktio.