Robusti tilastollinen päättely ensimmäisen ja toisen ehdollisen momentin mallintamisessa

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Robusti tilastollinen päättely ensimmäisen ja toisen ehdollisen momentin mallintamisessa"

Transkriptio

1 Robusi ilasollinen pääely ensimmäisen ja oisen ehdollisen momenin mallinamisessa ilasoieeen pro gradu ukielma Jarmo Mika Rafael Mikkola Marraskuu

2 SISÄLLYS JOHDANO EORIAA. Robusi kvasiuskoavuusesimoinimeneelmä. Mallispesifikaaion robusi esaaminen 6.. esin yleinen rakenne 7.. Ehdollisen odousarvomallin robusi esi..3 Ehdollisen varianssimallin robusi esi 4.3 ARCH-mallien eoriaa 6.3. ausaa ja mallinamisperiaae 6.3. Yksiuloeisia ARCH-malleja ARCH-mallien esimoini avanomainen ARCH-LM-esi 3.4 ilasollisia ominaisuuksia diagnosisoivia esejä 3.4. Jarque-Bera normaalisuusesi 3.4. avanomaisia yksikköjuuriesejä Ehdollisen varianssimallin riiävyys 35.5 eoriaa sijoiuskoheen yliuoon mallinamisesa 35 3 EMPIIRINEN ANALYYSI Aineisonkuvaus arkaselavien muuujien konsruoini Yliuoomuuujan ilasollisia ominaisuuksia oiminaperiaaeisa mallinvalinaprosessissa Yleisä mallinvalinaperiaaeisa ämän ukimuksen alouseoreeisen ausan merkiys mallinvalinnassa Käyeyn mallinvalinaprosessin pääpiiree Ehdollisen odousarvomallin valina Auokorrelaaioesien ulokse 45

3 ii 3.5. Korkodifferenssimuuujan merkiyksen esaaminen Alusava odousarvomalli Ehdollisen varianssimallin spesifioini ARCH-mallispesifikaaion valina Muiden ARCH-spesifikaaioiden esimoini ARCH-M -spesifikaaion merkisevyyden ukiminen Valiun kokonaismallin esimoiniulokse ja diagnosiikkaa 5 4 JOHOPÄÄÖKSIÄ 5 LÄHEE 55 LIIEE

4 JOHDANO ässä esiyksessä arkasellaan aikasarjaprosessia koskevan ilasollisen pääelyn ekemisä silloin, kun prosessissa voidaan oleaa olevan dynaamisia rakeneia sekä ensimmäisessä eä oisessa ehdollisessa momenissa. ämänkalainen ilanne synyy usein rahoiusaikasarja-aineisoja analysoiaessa. Ehdollise heeroskedasisuusmalli ova noussee keskeisesi esille aikasarjaekonomeriassa 98-luvula lähien ja oisen ehdollisen momenin dynaaminen mallinamisen merkiys aikasarjan kokonaismallin valinnassa korosunu myös ää kaua. Jos voidaan oleaa, eä aikasarjaprosessissa on auokorrelaaioa odousarvossa ja lisäksi ARCH-mallien kalaisia dynaamisia rakeneia ehdollisessa varianssissa, niin ällöin prosessin oikeaa sokasisa kokonaisrakennea approksimoivan mallin valina on monimukaisempaa kuin aikaisemmin yypillisissä apauksissa, joissa pelkän auokorrelaaiomallin ajaeliin riiävän kuvaamaan prosessin ajallisa rakennea. Nykyään eräs ärkeimpiä mielenkiinnon koheia mallinneaessa aikasarjaprosesseja onkin odousarvon ja varianssin mahdollinen riippuvuus oisisaan. Jos näiden kahden ehdollisen momenin välillä on sysemaaisa riippuvuua, niin ällöin vain oisa näisä kahdesa momenisa koskevan spesifikaaioesin ulokse saaava anaa vääriä uloksia, jos esisuureen arvoa laskeaessa ei ehdä ehdollisamisa oisen momenin rakeneiden suheen. Sekä ensimmäisen eä oisen ehdollisen momenin sisäläessä säännöllisiä rakeneia, mallinvalinaa voidaan lähesyä ainakin kolmella eri avalla. Ensimmäisessä vaihoehdossa pyriään esaamaan kummankin momenin spesifikaaioia yhä aikaa esimerkiksi pyrkimällä hei aluksi soviamaan prosessiin mahdollisimman laaja AR-ARCH- malli, joa spesifikaaioesien uloksien peruseella pyriään ämän jälkeen supisamaan. oisessa lähesymisavassa ensimmäisen momenia koskeva esaaminen apahuu ehdolliseuna oisen momenin oleeun mallirakeneen suheen ja päin vasoin

5 oisa momenia esaessa. Kolmannessa lähesymisavassa pyriään selviämään ensin jompaa kumpaa momenia yleensä ehdollisa odousarvoa kuvaava malli sien, eä käyey esi ova robuseja oisessa momenissa yleensä ehdollisessa varianssissa olevien rakeneiden suheen. ässä ukimuksessa yksi keskeinen eoreeinen mielenkiinnonkohde on viimeksi mainiun lähesymisavan mukaisessa mallinvalinnassa arviava robusi esi. Ekonomerisessa mallinamisessa arviaan oisaala usein myös robusisuua normaalijakaumapoikkeamien suheen. Luvussa kaksi esielävä esi ova robuseja sekä heeroskedasisuuden eä ei-normaalisuuden suheen. Luvussa kaksi esiellään siis ilasollisen meneelmien eoriaa sellaisiin aikasarjaekonomerisiin ilaneisiin, joissa sekä ensimmäisessä eä oisessa ehdollisessa momenissa on dynaamisia rakeneia. Luvun aluksi esieään Bollerslevin ja Wooldridgen robusisen kvasiuskoavuusesimaaorin asympooinen jakaumaulos. ämän jälkeen arkasellaan Wooldridgen robusin regressiopohjaisen spesifikaaioesin sovelamisa ehdollisen odousarvon ja ehdollisen varianssin mallien esaamisessa. Seuraavaksi käydään lävise yksiuloeisen ARCH-mallien eoriaa. Luvun lopuksi esiellään joiain diagnosisia esejä ja sijoiuskoheen yliuoon mallinamiseen liiyvää alousieeellisä eoriaa. Luvussa kolme esiellään ulokse empiirisesa analyysisä, jossa sovelleaan luvun kaksi meneelmiä aikasarjaprosessin mallinvalinaan ja esimoiniin. Luvussa neljä ehdään yheenveoa käsiellyisä asioisa.

6 3 EORIAA. Robusi kvasiuskoavuusesimoinimeneelmä Uskoavuusesimaaoria kusuaan kvasiuskoavuusesimaaoriksi, kun siä käyeään ieoisesi ilaneessa, jossa avanomaisen uskoavuusesimoinimeneelmän oleukse eivä ole voimassa. Bollerslev ja Wooldridge (99) ukiva normaalijakauman mukaisen kvasiuskoavuusesimaaorin käyöä ilaneissa, joissa esimoidaan samanaikaisesi sekä ehdollisen odousarvon eä ehdollisen varianssin mallispesifikaaio. Seuraavaksi esieään Bollerslevin ja Wooldridgen (99) robusin kvasiuskoavuusesimaaorin asympooinen jakaumaulos. Oleeaan, eä {(y, z): =,, } on jono saunnaisvekoreia sien, eä y on selieävä endogeeninen saunnaismuuuja ja z on L-uloeinen vekori eksogeenisia saunnaismuuujia. Olkoon edelleen mallin ennala määräyyneiden saunnaismuuujien joukko x (z, y-, z-,, y, z). avoieena on analysoida malleja, joilla kuvaaan vekorin y ehdollisa odousarvoa ja ehdollisa varianssia muuujien x suheen ehdolliseuna. Muuujisa x voidaan arviaessa poisaa muuuja z. oisaala valisemalla x z saadaan poikkileikkausmalleja vasaava mallinnusaseelma. Oleeaan seuraavaksi eä jollain äärellisuloeisella paramerivekorin arvolla θ Θ ehdolliselle odousarvofunkiolle {m(x,θ): θ Θ} ja ehdolliselle varianssifunkiolle {υ(x,θ): θ Θ} päevä samanaikaisesi yhälö (..) E y x ) = m ( x, θ ), =,, ja ( (..) var( y x ) = υ ( x, θ ), =,,. Parameriavaruus Θ on p-uloeisen reaaliavaruuden IR p osajoukko. Lisäksi vekorin x arvo ja paramerivekorin θ funkioiden m(x,θ) ja υ(x,θ) rakenee

7 4 oleeaan unneuiksi. Vekorin y ehdollisen jakauman ei yleisesi jakossa oleea olevan normaalinen. Vakioa lukuunoamaa havainnon log-kvasiuskoavuusfunkion yhälö on (..3) l ( y, x ; θ ) = ( / ) log( υ ( x, θ )) (/ )( y m ( x, θ )) υ ( x, θ ). Käyämällä yleiseylle residuaalifunkiolle merkinää (..4) ε ( y, x, θ ) y m ( x, θ ), saadaan yhälölle (..3) lyhyempi esiys (..5) l ( y, x ; θ ) = ( / ) log( υ ( x, θ )) (/ ) ε ( y, x, θ ) υ ( x, θ ). Paramerivekorin θ kvasiuskoavuusesimaaori θˆ saadaan maksimoimalla kaikkien havainojen kvasiuskoavuusfunkioa (..6) l ( y, x, θ ) = l ( y, x, θ ) paramerivekorin θ suheen. = Seuraavaksi esiellään Wooldridgen normaalijakaumapoikkeamien suheen robusin kvasiuskoavuusesimaaorin asympooinen jakauma. ää varen arviaan lauseke log-uskoavuusfunkion l(y,x,θ) Hessen mariisin ehdolliselle odousarvolle ja pisemäärävekorille. Olkoon Hessen mariisi kvasiuskoavuusfunkion oise osiaisderivaaa sisälävä p p-uloeinen mariisi (..7) H ( θ ) θ θ ' ( θ ) ( θ ) θ θ '. Lausekkeen (..7) avulla voidaan määriellään niin sanou ehdollinen informaaiomariisi (..8) a ( θ ) E[ H ( θ ) x ] Olkoon (kvasi)pisemäärävekori. Paramerivekori θ sisälää sekä ehdollisen odousarvofunkion eä ehdolisen varianssifunkion parameri.

8 5 (..9) s ( θ ) θ ( θ ) = ( θ ). θ Normaalijakauman apauksessa päee niin sanou informaaiomariisiekvivalenssi (..) a ) var[ s ( ) x ] ( θ θ =. Jos vekorin y ehdollinen jakauma ei ole normaalinen, niin ällöin informaaiomariisiekvivalenssi ei yleensä päde. (Bollerslev e al. 99, 48.) Kvasiuskoavuusesimaaorilla voidaan kuienkin ehdä ilasollisa pääelyä eoreeman. avulla, vaikka ukiavan prosessin y ehdollinen jakauma ei noudaakaan normaalijakaumaa. eoreema. Oleeaan säännöllisyysoleukse, joka on esiey arikkelissa Bollerslev e al. (99, 67), ova voimassa ja lisäksi, eä jollain paramerivekorin arvolla θ in(ω) yhälö (..) ja (..) päevä. ällöin kvasiuskoavuusesimaaorille θˆ päee jakaumaulos / (..) [ A B A ] ( θ θ ) N(, I ) (..) A E[ H ( ) / ] = E[ a ( θ )] ˆ θ ja d = p, jossa / (..3) B var s ( θ ) = E[ α ( θ ) α( θ )'] = =. Määriellään lisäksi esimaaori (..4) Aˆ a ( θ ˆ ) ja = (..5) Bˆ = ( θˆ )' ˆ α α ( θ ). eoreeman. säännöllisyysoleuksilla näille esimaaoreille päevä konvergenssi

9 6 ˆ B (..6) B ja ˆ A (..7) A. d d eoreeman. peruseella kvasiuskoavuusesimaaori on asympooisesi normaalisesi jakauunu ja ˆ ˆ ˆ A B A on sen rajajakauman kovarianssimariisin robusi arkenuva esimaaori. Mariisi A ˆ on ˆ ˆ B A Whien robusin kovarianssimariisin arkenuva esimaaori. Yhälön (..3) yhäsuuruus seuraa siiä, eä säännöllisyysoleuksien päiessä ja ehdollisen odousarvofunkion eä ehdollisen varianssifunkion ollessa oikein spesifioiu, kvasipisemäärävekori s(θ) on oikealla paramerivekorinnarvolla θ vekoriarvoinen maringaali-differenssijono. Jos informaaiomariisi ekvivalenssi on voimassa, niin silloin uskoavuusesimaaorin θˆ asympooinen kovarianssimariisin arkenuva esimaaori saadaan laskeua yksinkeraisemmin lausekkeilla (..8) a ˆ Aˆ var( ) / Bˆ θ = =. (Bollerslev e al. 99, ) /. Mallispesifikaaion robusi esaaminen Seuraavassa esiellään Wooldridgen (99, 99) robusien esien eoriaa. Ekonomerisessa mallinamisessa käyeään yleisesi apuregressioia spesifikaaioesien esisuureiden arvojen approksimaiiviseen laskemiseen. Näin ehdään eenkin laskeaessa Lagrangean-kerroinesien eli LM-esien esisuureiden arvoja. Näiden aproksimaiivisen esisuureiden arvojen pienoosominaisuude ova yleensä huonoja ja niiden asympooisen jakauman johaminen edellyää usein joidenkin lisäoleuksien voimassaoloa. Esimerkiksi useissa heeroskedasisuuseseissä jouduaan oleamaan nollahypoeesin voimassaolon lisäksi, eä virheermin neljäs momeni on äärellinen. avanomaise spesifikaaioesi on

10 7 myös yleensä konsruoiu normaalisesi jakauuneille ooksille ja ne eivä yleensä ole päeviä silloin, kun ukiavan muuujan ehdollinen jakauma ei noudaa normaalijakaumaa. ässä luvussa esieävä jakaumaoleuksien suheen robusi esi soveluva dynaamisen mallien ensimmäisen ja oisen ehdollisen momenien spesifikaaioesaukseen yleensä ilman apuoleuksien ekemisä. Näiden esien yleinen rakenne muisuaa LM-esejä siinä mielessä, eä esisuureiden arvon laskeminen edellyää ainoasaan nollahypoeesin mukaisen rajoieun mallin esimoinia. esisuureiden arvojen laskeminen apahuu avanomaisien regressioesimoinien avulla. (Wooldridge 99, 8-9.).. esin yleinen rakenne P Oleeaan, eä { m ( x, ) : α A}, A IR α on skalaarisen saunnaismuuujan y ehdollisen odousarvon E(y x) paramerinen malliperhe. K-uloeinen saunnaismuuujavekori x sisälää seliäjämuuuja, joihin voi kuulua myös muuujan y omia viipeiä. Oleeaan lisäksi, eä esaava nollahypoeesi on (..) E( y x ) m ( x, ) H = =,, jollain α A IR p. : α esauksen koheena on jokin paramerivekoria koskeva rajoie sien, eä vasahypoeesina on hypoeesi (..) E( y x ) m ( x, ) H = =,,, : β jossa M-uloeinen paramerivekori β (M > K) on esieävissä rajoieun mallin oikean paramerin arvon α differenioiuvana funkiona β = c(α) sien, eä c: A B ja α in(a). Oleeaan edelleen, eä on olemassa jono painofunkioia {h(x,γ): γ Γ IR L } sien, eä h(x,γ) >. ämä painofunkio pyriään valisemaan rakeneelaan sellaiseksi, eä se approksimoi mahdollisimman hyvin ehdollisa varianssia V(y x). Funkion h(x,γ) arvo voidaan myös esimoida. ällöin

11 8 paramerin γ esimaaorin γˆ oleeaan olevan arkenuva eli ( ˆ γ γ ) O (), kun { } Γ = p γ. esinsuureen yleinen rakenne perusuu nollahypoeesia (..) vasaavan epälineaarisen mallin (..) y = m ( x, α ) + ε painoeun pienimmän neliösumman esimoinimeneelmään, jossa parameri α arvo esimoidaan rakaisemalla opimoiniehävä (..3) min ( y m ( x, α) ) α A = / h ( x, ˆ γ ). ämän opimoiniehävän ensimmäisen keraluvun ehoyhälö on (..4) ( y m ( x, α) ) α m ( x, α)' = h ( ˆ γ ) (..5) ( x α ) m ( x α ) =, jossa m, ( ). α α, Muodoseaessa esisuureen lauseke gradienivekori m ( x, α) korvaaan jollain sopivalla paramerivekorin α, ehdollisamismuuujien x funkiolla λ x, αˆ ), jolloin esisuureen lausekkeeksi saadaan ( (..6) ( y m ( x, αˆ )) λ ( x, αˆ ). = h ( ˆ γ ) Indikaaorifunkio λ x, αˆ ) pyriään valisemaan sien, eä se miaa ( kulloisessakin esausilaneessa mielenkiinnon koheena olevaa poikkeamaa nollahypoeesin mukaisesa mallisa. Esimerkiksi auokorrelaaioesissä indikaaorifunkio valiaan sien, eä se sisälää virheermin viipeiä, jolloin lausekkeen (..6) mukainen lauseke miaa residuaalien ja niiden viipeiden välisä lineaarisa riippuvuua. Jos lausekkeen (..6) saama arvo poikkeaa nollasa, niin ällöin residuaaleihin ulkiaan jääneen indikaaorifunkion approksimoimaa sysemaaisa rakennea. α

12 9 Olkoon mˆ (, ˆ m x α ), uˆ y mˆ, hˆ h ( x, ˆ γ ) ja ˆ λ (, ˆ λ x α ). ällöin lausekkeen (..6) mukaisen kovarianssin yhäsuuruua nollan kanssa esaavan avanomaisen LM-esisuureen approksimaiivinen arvo saadaan apuregressiolla, jossa muuujaa ˆ uˆ / h selieään muuujilla αmˆ / h ˆ ja ˆλ / ĥ, =,,,. esisuureen arvoa aproksimoi lauseke R, jossa R on avanomainen seliysase kyseisesä apuregressiosa. älle lausekkeelle päee nollahypoeesin voimassa ollessa asympooisesi jakaumaulos R a ~ Q χ, jossa Q M - K. Joa ämä jakauma-aproksimaaio olisi voimassa, äyyy esimaaorin αˆ olla asympooisesi ekvivaleni painoeun PNS-esimaaorin kanssa, ja lisäksi painofunkion esimaaorin ĥ ulee olla ehdollisen varianssin V(y x) arkenuva esimaaori. (Wooldridge 99, 3.) Seuraavassa kahdessa aliluvussa esieään lausekkeeseen (..6) perusuva robusi esi sekä ehdollisen odousarvomallin eä ehdollisen varianssimallin rajoieiden esaamiseen. Näillä esisuureilla on useia mielenkiinoisia ominaisuuksia. Ne ova robuseja aineison normaalisuusoleuspoikkeamien suheen. oisaala ne eivä meneä asympooisa ehokkuua myöskään ehdollisen normaalisuuden päiessä, sillä avanomaisen LM-esien oleuksien ollessa voimassa ne ja vasaava robusi esi ova asympooisesi ekvivaleneja. esisuureiden arvon laskeminen edellyää siis vain rajoieun mallin esimoinia ja ehdollisen odousarvon ja ehdollisen varianssin mallilausekkeisa arviaan vain ensimmäise osiaisderivaaa. Myöskään paramerivekorin rajoiefunkion arkemman rakeneen ai sen gradienivekorin unemisa ei edellyeä. Jos ehdollisen odousarvofunkion ja ehdollisen varianssifunkion rakeneiden esimoini voidaan eroaa oisisaan, niin ällöin ehdollisen odousarvofunkion esieävä esi on joissain apauksissa robusi myös ehdollisen varianssifunkion Näiden residuaalien kanssa määrielmällisesi orogonaalisen seliäjien on olava mukana esisuureen oikean koon säilyämiseksi (ks. MacKinnon 99, 8).

13 väärinspesifioinnin suheen. (Bollerslev e al. 99,5-53.) ämä esi soveluu eriyisen hyvin eksponeniaalisen malliperheen mukaisille malleilla, sillä niiden ehdollisen odousarvomallin parameriesimaaorin asympooinen jakauma on joka apauksessa riippumaon ehdollisen varianssifunkion parameriesimaaorin asympooisesa jakaumasa (Wooldridge 99, 7)... Ehdollisen odousarvomallin robusi esi ässä kappaleessa arkasellaan ehdollisa odousarvomallia koskevan hypoeesin robusia esaamisa silloin, kun ukiavan muuujan y mallinnuksessa on käyey samanaikaisen informaaion lisäksi kaikki heken - informaaio, joka vaikuaa heken arvoon. Olkoon esaava hypoeesi kuen kohdassa (..) eli (..7) : E( y x ) m ( x α ) H = ; =,,, jollain α A IR p, Saunnaisvekori x sisälää kaikki relevani seliäjä joukosa ψ- (z, y-,z-,y-,, z, y), jossa z-muuuja ova eksogeenisia muuujia. Paramerivekorin α esimoinnin oleeaan apahuvan -arkenuvalla esimaaorilla. Esielävän esin käyösä on suurin hyöy ilaneissa, joissa ehdollisen odousarvomallin parameri voidaan esimoida erikseen huomioimaa niiden mahdollisia riippuvuuksia ehdollisen varianssin paramerien kanssa. ämä ei arkoia siä, eä ensimmäisen ja oisen ehdollisen momenin välillä ei saisi olla riippuvuuksia, sillä kuen jo aiemmin odein, esimerkiksi eksponeniaalisen malliperheen mukaisilla malleilla odousarvomallin ja varianssimallin paramerien kvasiuskoavuusesimoini voidaan ehdä erikseen, vaikka vasaavien ehdollisen momenien välillä olisikin riippuvuuksia. esisuure perusuu yleisen esisuureen (..6) mukaiseen lausekkeeseen

14 (..8) ˆ λ ' hˆ eˆ λ ( x, αˆ )' [ h ( x, ˆ γ )] e ( y, x, αˆ ) = = (..9) e ( y, x, ˆ α ) y m ( x, αˆ ) =., jossa avanomainen lausekkeeseen (..8) perusuva LM-esisuure laskeaan siis apuregressiolla sien, eä heeroskedasisuuskorjauja residuaaleja e~ eˆ / hˆ, jossa siis hˆ h ( x, ˆ γ ), selieään heeroskedasisuuskorjauilla pisemäärävekorin arvoilla α α ( ) virheindikaaorin arvoilla m ~ m x, α ˆ / hˆ ja vasaavasi korjauilla ~ λ ˆ λ ( x, αˆ ) / hˆ, =,. ällainen esisuure ei kuienkaan ole robusi ehdollisen varianssin väärinspesifioinnin suheen ja lisäksi esin asympooisen jakaumauloksen voimassaolo edellyää, eä esimaaori αˆ on asympooisesi ekvivaleni painoeun epälineaarisen pienimmän neliösumman esimaaorin kanssa. (Wooldridge 99, 6.) Seuraavalla proseduurilla saadaan laskeua edellisen luvun LM-esisuurea vasaava heeroskedasisuuden suheen robusi ehdollisen odousarvomallin spesifikaaioa esaava esisuure, jonka käyöedellyyksenä on paramerivekorin α -arkenuva esimoini. Proseduuri. i) Esimoidaan parameri α ja γ -arkenuvilla esimaaoreilla, jolloin ˆ p ( nollahypoeesin päiessä ( α ) = O ) α ja ( γ γ ) = O () ˆ p, jossa γ Γ on ei-sokasinen jono. Laskeaan lausekkeiden h ˆ = h(, γ ), mˆ = m ( x, ˆ) α, eˆ = y m ( x, αˆ ), ˆ ( x, αˆ ) α α lausekkeiden u~ hˆ / uˆ, m~ hˆ / mˆ / α ja λ h λ arvo. x λ ja vasaavien modifioiujen ~ ˆ ~ λ arvoja selieään lausekkeen ˆ αm ~ arvoilla, ii) Esimoidaan regressio, jossa lausekkeen alleeaan residuaali r~ ja laskeaan niiden avulla lausekkeiden ~ e r ~ arvo. iii) Esimoidaan lopuksi regressio, jossa vakioa yksi selieään lausekkeen ~, arvoilla. e r ~

15 Nollahypoeesin päiessä on voimassa jakaumaulos R u a ~ χ Q = SSR, jossa SSR on avanomainen residuaalineliösumma kohdan kolme regressiosa. Kohdan kaksi regression seurauksena esisuure käyäyyy asympooisesi ikään kuin se olisi esimoiu painoeulla pienimmän neliösumman meneelmällä. (Wooldridge 99, 6-7.) Heeroskedasisilla virheermeillä esin opimaalise ominaisuude edellyävä ehdollisen varianssifunkion jonkinlaisa spesifioinia painofunkion h avulla. Jos painofunkion arkemmasa rakeneesa ei ole ieoa, se jouduaan korvaamaan jollain muulla funkiolla. Yleisesi sovelleavissa olevan vaihoeho on vakio yksi, jolloin h(x, γ) =, =,,..., (Wooldridge 99, 3.) Robusi LM-esi ehdollisen odousarvomallin rajoieelle Olkoon µ (, β ) x ehdollisen odousarvon rajoiamaon malli, jossa β on M uloeinen paramerivekori (M > K). Oleeaan myös kuen aiemminkin, eä oikea paramerivekorin arvo β on esieävissä rajoieun odousarvomallin m (,α ) oikean paramerin arvon α differenioiuvana funkiona β = c(α) sien, eä c: A B ja α in(a). esaavia rajoieia on näin ollen Q M - K kappalea. Ehdollisen odousarvon mallifunkiolle päee näillä oleuksilla yhälö (..) m ( x, α) µ ( x, c( α)). Robusi LM-esisuure saadaan valisemalla väärinspesifioinnin indikaaoriksi (..) λ ( x, α ) β µ ( x, c( α) ). ällöin kuienkin painoeu pisemäärävekori ja painoeu väärinspesifioinnin indikaaori, (..) m ~ ˆ c( α ) / hˆ ja α β µ α x

16 3 ~ (..3) λ β ˆ µ / ĥ, sisälävä samoja komponeneja (vekorissa ˆ β µ ), joka on poiseava indikaaorisa ennen proseduurin. kohdassa ii) apahuvaa robusisoivaa regressioa. arkasellaan lähemmin esimerkkiä, jossa esaaan auoregressiivisen mallin (..4) y = α + αy α p y p + ε virheermiprosessin ε aseen q auokorreloiuneisuua. Vasahypoeesin mukainen malli virheermeille on siis (..5) ε = φ ε φqε q + η, jolloin nolla- ja vasahypoeesi voidaan esiä muodossa (..6) H : φ, i =,,,q ja i = (..7) H : φ jollain i =,,,q. i avanomaisen LM-esin mukainen väärän spesifikaaion indikaaori on (..8) µ = (, y,..., y, ˆ ε,..., ˆ ε ), jossa β ˆ p q (..9) ˆ ε = y ˆ α αˆ y ˆ α p y p. Ennen kohdan ii) regressioa äsä indikaaorisa on poiseava (p+) ensimmäisä komponenia, joka ova myös regression seliäjien lausekkeessa jälkeen indikaaoriksi ulee (..) ˆ λ ( ˆ ε, ˆ ε,..., ˆ ε )'. q αmˆ. ämän (Wooldridge 99, 9-). Jos painofunkion h, =,,, arvoja ei unnea, niin ne voidaan, kuen jo aiemmin odeiin, korvaa vakiolla yksi eli h =, =,,,. esin voimaa voidaan oisaala paranaa, jos painofunkion rakenne onnisuaan valisemaan sien, eä se aproksimoi ehdollisen varianssin V(y x) rakennea. Painofunkio h(x,α) voiaisiin myös sulauaa indikaaorifunkioon λ(x,α), mua edellä

17 4 olevassa esiyksessä se on arkoiuksella esiey omana erillisenä funkiona. Näin on ehy siksi, eä jos painofunkio onnisuaan spesifioidaan sien, eä se aproksimoi ehdollisa varianssia, niin ällöin saaava robusi esi on asympooisesi ekvivaleni avanomaisen LM-esin kanssa (Wooldridge 99, 7-8)...3 Ehdollisa varianssimallin robusi esi ässä luvussa arkasellaan ehdollisen varianssin mallirakeneen robusia esaamisa sen jälkeen, kun edellisen kohdan mukainen ehdollisen odousarvon malli on odeu riiäväksi. oisin sanoen arkoius on esaa nollahypoeesia, (..) H ': H ( x ) = υ ( x, γ ), =,,... V y päee ja lisäksi jollain paramerivekorin arvolla γ Γ Ehdollinen odousarvofunkio siis oleeaan oikeinspesifioiduksi, joen nollahypoeesi H voidaan esiää myös muodossa (..) ': E ( e ) [ x ] υ ( x γ ) H =, jossa, (..3) e y m x, α ) ( on ehdollisen odousarvomallin residuaalin lauseke oikealla paramerivekorin arvolla α. Yhälön (..) peruseella nollahypoeesin mukainen ehdollisen varianssimallin residuaali on (..4) eˆ ˆ υ e ( αˆ ) υ ( x, ˆ γ ), jossa (..5) e ( αˆ ) e ( x, ˆ α ). Nollahypoeesia H esaava esisuure perusuu sien lausekkeeseen (..3) ˆ ' ( eˆ ˆ υ ) λ ( x, θˆ )' e ( αˆ ) υ ( x, ˆ γ ) = = [ ] λ, jossa esimaaori ˆ α ja ˆ γ oleeaan arkenuviksi oikeiden paramerivekorin arvojen α ja γ suheen. Robusi esisuureen lauseke laskeaan ämän jälkeen analogisesi proseduurin. kanssa. ehdään joiain lisämäärielyjä. Olkoon

18 5 υ ( x, γ ) nollahypoeesin mukainen rajoieu malli, jossa γ Γ IR L. Olkoon edelleen ϕ ( x, δ ) yleisempi rajoiamaon malli, jossa δ IR N sien, eä N > L ja lisäksi Q = N L. esi on robusi jakaumaoleuspoikkeamien suheen. esisuureen arvo laskeaan samalla avoin kuin robusi odousarvoesi. Proseduuri. i) Esimoidaan paramerivekori α ja γ esimaaoreilla, joka ova -arkenuvia nollahypoeesin H päiessä.ja laskeaan arvo lausekkeille ˆ υ, arvo α mˆ, eˆ, ˆ φ eˆ ˆ υ ja ˆ λ ja näiden avulla edelleen painokorjau ~ ~ υ ˆ γ. ~ υ υ φ ˆ ˆ / ˆ, φ/ ˆ υ = eˆ ˆ / υ ja λ ˆ λ / υ ii) Esimoidaan regressio, jossa indikaaorin λ ~ arvoja selieään vekorin ~ γυ ; komponenien arvoilla ja alleeaan Q kappalea residuaaleja r~ i, i =,,...Q. iii) Esimoidaan lopuksi regressio, jossa ykkösen vekoria selieään lausekkeiden ~ φ r ~ i ; i =,,Q arvoilla. Hypoeesin H ' päiessä lauseke R u SSR noudaaa asympooisesi jakaumaa χ Q. SSR on avanomainen residuaalineliösumma kolmannen vaiheen regressiosa. Ennen robusisoivaa regressioa (vaihe ii)) on selieäväsä indikaaorisa aikaisempien esien apaan poiseava seliäjänä käyeyn gradienivekorin kanssa yheise komponeni. (Wooldridge 99, 9.) Robusi LM-esi ehdollisen varianssimallin rajoieelle avanomaisen LM-esin robusi versio saadaan valinnoilla, (..4) λ ( x θ ) δ ϕ ( x, δ ), (..5) υ ( x, γ ) ϕ ( x, c( γ )), jossa δ = c(γ ) ja. ällöin vasaava painoeu lausekkee ova ~ (..6) λ ˆ λ / ˆ υ λ ( x, θˆ ) / υ ( x, c( ˆ γ )) ja

19 6 (..7) ~ υ ˆ υ / ˆ υ = ˆ ϕ C ˆ ˆ / υ, jossa ˆ ϕ = δϕ ( c( ˆ γ )) ja Cˆ = c( ˆ γ ). δ γ γ γ δ Indikaaorisa λˆ on poiseava L ensimmäisä ermiä ennen kohdan kaksi regressioa. ARCH(q)-mallin robusi LM-esi saadaan valisemalla indikaaoriksi vekori ~ λ = ˆ λ = eˆ,..., e. (..8) ( ) (Wooldridge 99, 3-3.) ˆ q.3 ARCH-mallien eoriaa.3. ARCH-mallien ausaa ja mallinamisperiaae Viimeisen parin vuosikymmenen aikana yksi suosiuimmisa ukimuskoheisa ekonomerian piirissä on ollu ehdollisen heeroskedasisuuden mallinaminen. Louis Bachelier kiinnii huomioa ähän ilmiöön empiirisissä aineisoissa jo vuosisadan alussa (Mandelbro 967, 394). Mandelbro arkaseli erilaisen hinasarjojen jakaumia paljon myöhemmin 96-luvulla ja havaisi niissä säännöllisiä heeroskedasisuusrakeneia. Esimerkiksi puuvillan hinasarjoissa iso muuokse seurasiva isoja muuoksia ja piene muuokse pieniä muuoksia, alkuperäisen hinasokin suunnasa riippumaa (Mandelbro 963, 48). Myöhemmässä arikkelissaan Mandelbro oesi lisäksi opimisisesi, eä o refer o sysemaic changes is especially emping. Indeed, o explain he emporal changes of he saisical parameers of he he process of price variaion would consiue a worhwhile firs sep owards he ulimae explanaion of price variaion iself. (Mandelbro 967, 396). Vaikka Mandelbroin kuvailema empiirise jakaumaominaisuude oliva siis iedossa jo paljon ennen vuoa 98, niin ilmiön mallinamiseen käyeiin ää

20 7 ennen lähinnä epäformaaleja meneelmiä. Vuonna 98 julkaisiin Rober Englen arikkeli, jossa ensimmäisen kerran esieiin ekonomerisia malleja näiden ominaisuuksien kuvaamiseen. (Bera e al. 993, 36.) Engle esieli arikkelissaan auoregressiivisen ehdollisen heeroskedasisuusmallin eli ARCH(q)-mallin (AuoRegressive Condiional Heeroskedasiciy model). ämän jälkeen on julkaisu valava joukko arikkeleia, joissa on esiey joko ämän mallin laajennuksia ai uusia samankalaisia malleja. Suurimpia syiä ARCH-mallien 3 suosioon on oisaala se, eä niiden kuvaamia ominaisuuksia esiinyy yleisesi rahoiusaineisoissa ja oisaala se, eä näiden mallien ominaisuude eivä ole risiriidassa alouseorioiden kanssa. Pelkässä ARCH-prosessissa ei oleea olevan auokorrelaaioa ja oisaala rahoiusmarkkinoiden oleeaan yleensä olevan ehokkaa, jolloin kaikki oleellinen informaaio (mukaan lukien prosessin oma hisoria) sisälyy hinaprosessin kulloisenkin ajanheken arvoon. Seuraavan periodin hinnan ajaellaan sien olevan odousarvomielessä riippumaon edellisen ajanheken arvosa. oisaala varianssilla on rahoiuseoriassa keskeinen rooli riskin kuvaajana, joen ARCHmalleilla pysyään mallinamaan ehdollisa riskiä kuvaavan muuujan riippuvuusrakeneia rikkomaa oleusa markkinoiden ehokkuudesa. Ehdollisen varianssin käyäyymisen uneminen on luonnollisesi ärkeää myös silloin, kun arkasellaan ekonomerisen mallien anamien ennnuseiden luoeavuua. ARCH-malleja voidaan sovelaa sellaisenaan aikasarjaprosessin käyäyymisen mallinamiseen, mua yleisempää lienee ARCH(q)-mallin käyö regressiomallin residuaaliprosessin mallispesifikaaiona. ällöin prosessia y mallinneaan lineaarisella regressiomallilla (.3.) y = β ' x + ε,

21 8 jossa x on K-uloeinen vekori seliäviä muuujia ja β on unemaon K- uloeinen paramerivekori. Vekori x voi sisälää myös prosessin y viiväseyjä arvoja. ARCH-spesifikaaion mahdollisamiseksi virheprosessille ε oleeaan ehdollinen jakauma (.3.) ε ~ N(, h ), ψ jossa ehdollisaminen apahuu mallimuuujien aikaisemman hisorian { y x } ψ =,,... suheen. (Bera e al.,993, 39-3.) Keskeinen ominaisuus yhälöiden (.3.) ja (.3.) mukaisen ARCHregressiomallin määrielyssä on se, eä siinä salliaan virheermiprosessin ε ehdollisen varianssin h riippuvuus muuujaprosessien aikaisemmasa hisoriasa. oisaala jakossa esieään sabiilisuusehoja, joiden voimassa ollessa ARCHprosessin ehdoon varianssi pysyy vakioisena ajan kuluessa. Heeroskedasisuus on siis ällöin luoneelaan ainoasaan ehdollisa. Yksiuloeisen ARCH-mallien määriely eroava oisisaan ehdollisen varianssin h rakenneyhälön osala..3. Yksiuloeisia ARCH-malleja Seuraavassa kuvaaan arkemmin muuaman yksiuloeisen ARCH-mallin eoriaa ja niiden ilasollisia ominaisuuksia. Englen ARCH(q)-mallin lisäksi esiellään yleisey ARCH-malli (GARCH-malli) sekä siiä edelleen johdeu inegroiu GARCH-malli (IGARCH-malli) ja eksponeniaalinen GARCH-malli (EGARCH-malli). ARCH(q)-malli Englen (98) alkuperäisessä arikkelissa esieään useia ehdollisen varianssin h rakennea kuvaavia yhälöiä. Yleisesi näiä voidaan kuvaa yhälöllä 3 Nimiysä ARCH malli käyeään ässä eksissä myöhemmin yleisesi kuvaamaan kaikkia ARCH(q) mallisa johdeuja malleja.

22 9 (.3.3) h h( ε, ε,..., ε, α ) =, q joka luonnollisesi piää sisällään hyvin erilaisia rakeneia. Regressiomallin virheermin viipeiden lukumäärä sekä paramerivekorin α ja funkion h arkempi rakenne jäeään ässä esiyksessä anamaa (Engle 98, 989). arkemmin esiyksessä käsiellään kuienkin ARCH-regressiomallia, jossa virheermiprosessin ehdollinen varianssi riippuu lineaarisesi aikaisempien virheermien neliöisä. ämä virheermiprosessin spesifikaaio on siemmin ullu unneuksi ARCH(q)- mallina. Siinä virheprosessin ε ehdollisen varianssin riippuvuusrakeneen määriää yhälö (.3.4) jossa siis h = α ε, + αε + αε + + α q q (.3.5) ε i = y i β ' x i, i =,,,q (Engle 98, 994). Oleamalla, eä α > ja αi ; i =,, q, aaaan ehdollisen varianssin posiiivisuus. Jos lisäksi mallin karakerisisen yhälön q (.3.6) α L α L α ql = kaikki juure ova yksikköympyrän ulkopuolella, niin ARCH(q)-prosessi on kovarianssisaionaarinen ja ällöin prosessin ehdoomalle varianssille saadaan lauseke (.3.7) α var( ε ) = E( ε ) =. q = α j j (Engle 98, 993.) Virheermi ε ova auokorreloiumaomia, mua eivä riippumaomia, sillä niiden välinen riippuvuus on ny oisessa ehdollisessa keskusmomenissa (Bollerslev 986, 3). Kuen yhälösä (.3.4) voidaan nähdä, niin ARCH(q)-mallin avulla saadaan siis mallinneua ilanne, jossa prosessissa apahuneen sokin vaikuus säilyy ehdollisessa varianssissa jonkin aikaa ja lakkaa vähiellen. ähän ominaisuueen

23 liiyy läheisesi myös ARCH-prosessien jakaumien paksuhänäisyys. Engle näyää ARCH()-mallin osala, eä sen implikoima ehdollinen jakauma on huipukkaampi eli paksuhänäisempi kuin normaalijakauma (Engle 98, 99). Yleisey ARCH-malli (GARCH-malli) Sopivan ARCH(q)-mallin löyäminen edellyää usein varsin pikän viiverakeneen (eli ison q arvon) käyöä, mikä lisää riskiä saada negaiivisia varianssiesimaaeja. Engle kiinnii ähän seikkaan huomioa jo alkuperäisen ARCH-arikkelinsa empiirisessä sovelluksessa. Paramerien ja niihin liiyvien rajoieiden lukumäärän pienenämiseksi hän käyää lineaarisesi pieneneviä painokeroimia virheermien neliöermien ε i keroimina. (Engle 98,.) Englen käyämä rakenne voidaan esiää yhälöllä q ε i i= (.3.8) h = α + α w i (.3.9) ( q + ) i w i =. q( q + ), jossa Painofunkion arvo wi pienenevä lineaarisesi ja summauuva ykköseksi. (Bera e al. 993, 3.) Esimoiavia paramereja on siis vain kaksi. oisaala yhälöiden (.3.8) ja (.3.9) mukainen ehdollisen varianssin rakenne ekee kuienkin ehdollisen varianssiprosessin dynamiikan varsin rajoiuneeksi. Bollerslev (986) esieli yleiseyn ARCH-mallin eli GARCH-mallin (Generalized ARCH model), joka mahdollisaa korkea-aseisen ARCH(q)-mallin korvaamisen vähemmän esimoiavia paramereja sisälävällä mallilla. GARCH(p,q)-mallin ehdollisella varianssilla on rakenneyhälö (.3.) h = α + α ε + + α qε q + β h + β ph p +. Yhälössä (.3.) ARCH(q)-mallin vasaavaan yhälöön (.3.4) on lisäy p kappalea ehdollisen varianssin h omia viiväseyjä arvoja. Ehdollisen varianssin posiiivisuuden akaamiseksi Bollerslev esii, eä kaikkien yhälön paramerien

24 olisi olava ei-negaiivisiä sien, eä α >, αi ; i =,,q ja βi ; i =,,p. (Bollerslev 986, 39.) Käyämällä ehdollisen odousarvon ARMA-mallien esiyksisä uuja viivepolynomeja (.3.) (.3.) A q ( L) = α L + α ja ql B( L) = β L + + β pl p ja oleamalla yhälön -B(L) = juurien olevan yksikköympyrän ulkopuolella voidaan yhälösä (.3.) muokaa ääreönuloeisen ARCH( )-mallin mukainen ehdollisen varianssin rakenneyhälö (.3.3) h = α A( L) + ε B() B( L) * = α + δ i ε. i= Keroimille δi saadaan lausekkeen (.3.4) D ( L) = A( L)( B( L)) sarjakehielmäsä yhälö (.3.5) δi = α i + β jδ i j, kun i=, q ja n j= δi = n j= β δ, kun i = q+,. j i j Parameri n = min{ p, i-}. Jos B() <, niin ällöin δi- keroime lähesyvä nollaa i:n kasvaessa rajaomasi. Jos lisäksi D() <, niin ällöin GARCH(p,q)-prosessia voidaan aproksimoida mielivalaisen arkasi saionaarisella ARCH(q)-prosessilla valisemalla q:n arvo arpeeksi isoksi. (Bollerslev 986, 39-3.) Esiyksen (.3.3) jälkimmäisen osan ja ARCH-mallin paramerien * posiiivisuusehojen peruseella ehdollinen varianssi on posiiivinen, jos α > ja δi kaikilla i =,,. Näin alkuperäisille paramereille saaava

25 posiiivisuusehdo ova lievempiä kuin alkuperäisessä Bollerslevin (986) arikkelissa ollee posiiivisuusehdo. Myös empiirisissä ukimuksissa on havaiu, eä joku GARCH(p,q)-prosessin parameri voiva olla negaiivisia, mua ehdollinen varianssi saa sili ainoasaan posiiivisia arvoja. Alkuperäisiä jyrkempiä posiiivisyysehoja ei sien pidä sovelaa kaikissa apauksissa suoraviivaisesi esimoinirajoieina. (Nelson ja Cao, 99, 3 ja 34.) GARCH(p,q)-prosessi on kovarianssisaionaarinen, jos (.3.6) A() + B() <. ällöin ehdoomalle varianssille saadaan yhälö (.3.7) α Var( ε ) =. A() B() (Bollerslev 986, 3.) Määriellään prosessi υ yhälöllä (.3.8) υ = ε h, jolloin ehdolliselle varianssille h saadaan lauseke (.3.9) h = ε υ. Sijoiamalla ämä lauseke GARCH(p,q)-mallin ehdollisen varianssin rakenneyhälöön (.3.) saadaan yhälö q p p β jυ j + i= j= j= (.3.) ε = α + αiε i + β jε j ja edelleen viivepolynomimerkinöjen avulla esiys (.3.) ( α ( L) β ( L) ) ε = α + β ( L) υ + υ äsä muodosa voidaan nähdä, eä GARCH(p,q)-malli muisuaa rakeneelaan prosessin ε auoregressiivisen liukuvan keskiarvon mallia eli ARMA(m,q)-mallia, jossa m = max{p,q}. Näin ollen GARCH(p,q)-mallin voidaan ajaella olevan samankalainen laajennus ARCH(q)-prosessille kuin ehdollisen odousarvon. υ

26 3 ARMA(p,q)-malli on vasaavalle auoregressiiviselle AR(p)-mallille (Bollerslev 986, 38 ja 3). Inegroiunu yleisey ARCH-malli (IGARCH-malli) Aikasarjojen inegroiuneisuusarkaselu ova noussu keskeiseen asemaan ehdollisen odousarvon yheisinegraaioa käsielevän ukimuksen myöä. Empiirisissä ARCH-mallien sovelluksissa on usein havaiu sopivimmaksi malliksi GARCH(,)-malli. ämän mallin heikko kovarianssisaionaarisuus edellyää paramerien epäyhälön α + β voimassa oloa. Useissa empiirisissä < arkaseluissa GARCH(,)-mallin parameriesimaaien summan on havaiu olevan noin yksi eli α + ˆ β. Jos summa α + β odellisuudessa on yksi, niin ˆ silloin GARCH(,)-malli ei enää ole kovarianssisaionaarinen. ällaisen mallin mukaisen ehdollisen varianssin käyäyymisessä on havaiavissa samankalaisia ominaisuuksia kuin ehdollisen odousarvon ARIMA-malleilla. Nimiäin ällainen ehdollisen varianssin prosessi muisaa virheermiprosessin ε soki sellaisenaan. Myös inegroiuneiden ARCH-mallien ehdollisen varianssin ennuseen varianssi kasvaa arkaselavan aikahorisonin pideessä. Engle e al. (986, 6) esieli niin sanoun inegroidun yleiseyn ARCH-mallin eli IGARCH-mallin (Inegraed GARCH model), jossa ehdollisen varianssiyhälön h kerroinparameri vakioa lukuunoamaa summauuva ykköseen eli (.3.) i + p q α β =. i= i= i Englen ja Bollerslevin arikkelin määrielyssä salliaan useamman keraluvun inegroiuneisuus, mua ässä esiyksessä arkasellaan ainoasaan ensimmäisen keraluvun inegroiuneisuua. Yhälön (.3.) mukaisen GARCH(p,q)-mallin esiyksen kanssa analogisen IGARCH(p,q)-mallin rakenneyhälö on (.3.3) φ ( L))( L) ε = α + ( + β ( L)) υ, (

27 4 jossa polynomilla (-φ(l)) ei ole yksikköjuuria (Andersen ja Bollerslev 998, 9). Saionaarisen GARCH(p,q)-mallin varianssin ennuse lähesyy prosessin ehdoona varianssia ennuseavan aikaperiodin pideessä. oisin sanoen (.3.4) E ( h +s ) σ, kun s. ässä E(h+s) on siis ehdollisen varianssin h ennuse s aikavälin päähän ajanheken informaaion peruseella ehynä. (Engle ja Bollerslev 986,.) IGARCH(,)- mallia noudaavalla prosessilla ennuseheken informaaio vaikuaa ehdollisen varianssin ennuseeseen riippumaa siiä, kuinka kauas ulevaisuueen arkaselu ulouu. oisin sanoen (.3.5) E ( h + s ) = h +, kaikilla s =,3, (Engle ja Bollerslev 986, 7.) ällaisen prosessin voidaan ajaella olevan eräänlainen ehdollisen varianssin saunnaiskulkuprosessi. Mikäli IGARCH(,)- mallin ehdollisen varianssiyhälössä vakio α on nollaa suurempi, niin mallin ehdollisen varianssin ennuseen käyäyyminen muisuaa ehdollisen odousarvon saunnaiskulku + drif -prosessin mukaisa käyäyymisä. ällöin ehdollisen varianssin ennuseelle saadaan IGARCH(,)-prosessin apauksessa yhälö (.3.6) E ( h + s ) = sα + h+. (Engle ja Bollerslev 986, 8.) Ehdollisen varianssin inegroiuneisuua ei voida suoraan rinnasaa ehdollisen odousarvon lineaarisen mallien inegroiuneisuueen myöskään siksi, eä sekä GARCH(p,q)- eä IGARCH(p,q)-malli ova epälineaarisia malleja. GARCH-mallin mukainen prosessi voi myös olla vahvasi saionaarinen (jakaumamielessä saionaarinen) olemaa heikosi saionaarinen (kovarianssisaionaarinen). Ensin mainiu vahva saionaarisuus edellyää prosessin äärellisen piuisen (s < ) osaprosessin ε+, ε+,,ε+s ilasollisen yheisjakauman olevan sama ajanheken muuuessa kun aas heikko saionaarisuus edellyää, eä prosessin momeni

28 5 ova äärellisiä ja vakioisia ajassa. ieyillä paramerien arvoilla GARCH-mallin ehdoon varianssi ei ole äärellinen, mua prosessin jakauma pysyy samana muueaessa arkaselavan aikavälin sijainia. GARCH(p,q)-malli voidaan jakaa paramerien avulla kolmeen eri luokkaan sen mukaan esiinyykö niiden ennuseissa, ise prosessin kulussa vai molemmissa pikämuisisuua. Esimerkiksi GARCH(,)-mallilla nämä kolme aluea ova (i) Heikosi saionaarinen alue, jossa α + β < ja jossa sekä ennusee eä ise prosessi ova lyhymuisisia. (ii) Vahvasi, mua ei heikosi, saionaarinen alue, jossa α + β, [ log( + )] / < E β αη h (η on kuen yhälössä (.3.3)) ja jossa ennuse on pikämuisinen, mua ise prosessi lyhymuisinen. (iii) Sekä vahvasi eä heikosi epäsaionaarinen alue; jossa [ log( + )] / E β αη h ja jossa sekä ennuse, eä ise prosessi ova pikämuisisia. IGARCH(p,q)-malli sijaisee alueiden (i) ja (ii) rajalla prosessin ollessa vahvasi saionaarinen ja paksuhänäinen. (Gourieroux 997, 99-.) Eksponeniaalinen yleisey ARCH- malli (EGARCH- malli) Sekä ARCH(q)- eä GARCH(p,q)-mallissa prosessin ehdollisen varianssin käyäyyminen on samankalaisa riippumaa siiä, onko sokki (ε) posiiivinen vai negaiivinen. Nelson(99) esieli eksponeniaalisen yleiseyn ARCH-mallin eli EGARCH-mallin (Exponenial GARCH model), jolla voidaan kuvaa ilannea, jossa sokin vaikuus ehdolliseen varianssiin on erisuuruinen riippuen siiä apahuuko sokki ylöspäin vai alaspäin. EGACH-mallin ehdollisen varianssin rakenneyhälö perusuu yhälöön (.3.7) ln( h ) = α + k= β g( ε k k ), jossa

29 6 (.3.8) g ε ) = θε + γ [ ε E ε ] (. Sokin ε ollessa posiiivinen ( < ε < ), funkio g(ε) on lineaarinen ermin ε suheen kulmakeroimella θ + γ. Jos sokki on negaiivinen (- < ε < ), niin funkio g(ε) on lineaarinen ermin ε suheen kulmakeroimella θ - γ. (Nelson 99, ) Alkuperäisessä esiyksessään Nelson esiää yhälössä (.3.7) vakioermin α ajassa vaihelevana, mua yleensä mallia on sovelleu myöhemmin sien, eä ermi α on korvau vakioermillä α*. ää periaaea noudaeaan jakossa myös ässä esiyksessä. Analogisesi ARMA-mallin kanssa, EGARCH-mallin rakenneyhälö (.3.3) voidaan muuaa vähemmän paramereja sisäläväksi, jos yhälön ääreönuloeinen esiys korvaaan yhälöillä q ( + βl + + β ql ) (.3.9) ln( h ) = α * + g( ε ) p ( α L α L ) (.3.3) ln( h ) = α + αi log( h i ) + p q βi g( ε j ) i= j= (.3.3) α = α /( α α ). * p p, jossa Yhälön (.3.9) osamäärälausekkeen osoiajan ja jakajan lausekkeilla ei oleea olevan yheisiä juuria. Prosessi on vahvasi saionaarinen ja ergodinen, jos p karakerisisen yhälön ( α L α p L ) = juure ova yksikköympyrän ulkopuolella. (Nelson 99, 35.).3.3 ARCH-mallien esimoini Normaalinen uskoavuusesimoini ässä luvussa käydään lävise normaalijakaumaan perusuvan ARCH-mallin uskoavuusesimoinnin periaaeia. Uskoavuusesimoinimeneelmän lisäksi ARCH-mallien esimoinnissa on käyey muun muassa yleiseyä

30 7 momenimeneelmää eli GMM-esimoinimeneelmää sekä erilaisia semi- ja eiparamerisia esimoinimeneelmiä, mua niiä ei arkasella ässä esiyksessä. Vaikka ARCH-malleja sovelleaan usein aineisoon, joka ei ole normaalinen, niin siiä huolimaa yleisimmin käyey esimoinimeneelmä niiden esimoinnissa lienee normaalinen suurimman uskoavuuden meneelmä. Jos empiirinen jakauma on symmerinen, niin ällöin paramerien esimaaien harhaisuus ei yleensä ole ongelma, mua ilasollisen pääelyn päevyys muodosuu kyseenalaiseksi, jos jakauma poikkeaa huomaavasi normaalijakaumasa. Uskoavuusesimoinnin uloksia voidaan paranaa käyämällä normaalijakauman sijaan paremmin aineisoon sopivaa jakaumaa. Yleinen ARCH-mallin log-uskoavuusfunkio voidaan määriellä saunnaismuuujien ε ja η riippuvuusrelaaion avulla. arkasellaan yhälön (.3.) mukaisen regressiomallin residuaaliprosessin saunnaismuuujamuunnosa ε = η h /, jossa sandardoidun heeroskedasisuuskorjaun prosessin η ε / h iheysfunkio f(η) oleeaan unneuksi. ällöin virheermiprosessin ε (y - β x) iheysfunkion g(ε) yhälöksi saadaan (.3.3) g(ε) = = f ( ε h f ( ε h / / d( ηh ) ) dη / ) h /, jossa siis (.3.33) ε (y - β x). Näin havainojen log-uskoavuusfunkio yleisessä muodossa on / (.3.34) l( ) = [ log f ( y β ' x ) h ).5log( h )] (Bollerslev e al. 99,7.) θ. = Käyännössä esimoini apahuu sien, eä uskoavuusyhälöä (.3.34) maksimoidaan sekä ehdollisen odousarvomallin eä ehdollisen varianssimallin

31 8 paramerivekori sisälävän vekorin θ suheen. ämän opimoiniehävän rakaisun löyäminen edellyää ensimmäisen keraluvun ehojen l( θ ) (.3.35) =, i =,,, s θ i rakaisemisa (s on kaikkien esimoiavien paramerien lukumäärä). Joa näiden opimiehojen rakaisuina saaava esimaaori olisiva yksikäsieisiä ja niiä voiaisiin käyää ilasolliseen pääelyyn, äyyy ehdä ieyjä säännöllisyysoleuksia. Myös aikasarjaekonomerisissa aseelmissa päevä säännöllisyysoleukse on esiey esimerkiksi Godfreyn (988) kirjassa (6-7). ARCH(q)-mallia lukuunoamaa muiden ARCH-mallien opimieholausekkee (.3.35) rakaisaan yleensä numeerisesi. Säännöllisyysoleuksien voimassaolon arkisaminen saaaa käyännössä olla hankalaa. Sandardoidun N(,)-jakauuneen saunnaismuuujan η iheysfunkion yhälö on (.3.36) f η ) = (π ) [ ] / exp.5η (. Oamalla huomioon yhälön ε = η h mukainen saunnaismuuujamuunnos, / saadaan prosessille ε iheysfunkio (.3.37) ( ) / / f (π ) exp(.5ε h ) h ε, = jossa siis (.3.38) ε = y β ' x. Näin saadaan edelleen havainojen log-uskoavuusfunkiolle lauseke (.3.39) = [ + ] l( ) ( / ) ln(π ) ε h + ln( h ) θ. = Kvasiuskoavuusesimoinnin oimivuus ARCH-mallien esimoinnissa ARCH(q)-mallin kvasiuskoavuusesimaaori on arkenuva ehdollisen varianssin rakenneyhälön paramerien esimoinnissa, jos kaksi ehdollisa

32 9 momenia ova oikein spesifioiuja ja neljäs momeni on äärellinen eli 4 ε < (Weiss 986, s 5). Neljännen momenin äärellisyyden edellyämä paramerien rajoie-ehdo saaava kuienkin olla isompiaseisilla ARCH(q)- ja GARCH(p,q)- malleilla käyännössä vaikeia perusella (Bera ja Higgins, 993, 35). Samoin kuin siirryäessä AR(p)-mallin esimoinnisa ARMA(p,q)-mallin esimoiniin, esimoini vaikeuuu myös huomaavasi siirryäessä ARCH(q)-mallin esimoinnisa GARCH(p,q)-mallin esimoiniin. Monimukaisempien ARCH-mallien esimoinimeneelmien oimivuua on yleisesi ukiu hyvin vähän. Enien ukimusuloksia on GARCH(,)- ja IGARCH(,)-mallien esimoinnisa. Simuloinikokeiden peruseella näiden kummankin mallin uskoavuusesimaaori on asympooisesi normaalijakauunu. Näidenkin esimaaoreiden jakaumien on kuienkin havaiu olevan vinoja pienissä ooksissa. (Lumsdaine 995, 8.) Edelleen näiden mallien kvasiuskoavuusesimaaoreiden on osoieu olevan ieyillä säännöllisyysoleuksilla arkenuvia ja asympooisesi normaalisesi jakauuneia (Lumsdaine 996, 58). Eri esimoinimeneelmien käyön verailua Sekä kvasiuskoavuusesimaaori eä erilaise semiparamerise esimaaori, joissa käyeään aproksimoiua ehdollisa iheysfunkioa ova yleensä ehoomampia esimaaoreia kuin oikeaan jakaumaoleukseen perusuva uskoavuusesimaaori. oisaala semiparamerise esimaaori ova vinojen epäsymmerisen jakaumien apauksissa ehokkaampia esimaaoreia kuin symmeriseen normaalijakaumaan perusuva kvasiuskoavuusesimaaori (Bollerslev e al. 994, 98). ARCH-mallien esimoinnissa oleeaan yleensä informaaiomariisin lohko- diagonaalisuus, joka mahdollisaa ehdollisen odousarvon ja ehdollisen varianssin

33 3 paramerien erillisen esimoinnin. Jos ehdollisen odousarvon ja ehdollisen varianssin rakenee ova oisisaan riippuvia, niin erillinen esimoini johaa harhaisiin esimoiniuloksiin. Erään ulkinnan mukaan ARCH-ominaisuuden kalaisa käyäyymisä ehdolliseen varianssiin synyy silloin, kun virheprosessin auoregressiivisen regressiomallin parameri sisälävä saunnaiskomponenin. ällöin odousarvon ja varianssin rakenee riippuva oisisaan ehden niiden erillisen esimoinnin epäpäeväksi. (Ks. esimerkiksi Bera e al. 99, 34.) Joidenkin ARCH-mallien rakenne sinällään ekee odousarvo- ja varianssirakeneiden erillisen esimoinnin epäpäeväksi. Näin apahuu esimerkiksi EGARCH(p,q)- mallin apauksessa (Bollerslev e al. 994, 98). oisaala ehdollisen odousarvomallin ja ehdollisen varianssimallien samanaikainen esimoini anaa yleensä arkemma esimaai kuin näiden osien erillinen esimoini (Gourieroux 997, 43)..3.4 avanomainen ARCH-LM-esi ARCH(q)-mallin mukaisen rakeneen olemassaoloa voidaan esaa LM-esillä, jonka nollahypoeesin mukaan ARCH(q)-mallin ehdollisen varianssiyhälön parameri ova nollia (α = α = = αq = yhälössä (.3.4)). ämän esisuureen arvo voidaan laskea apuregressiolla, jossa regressiomallin esimoinnisa saaavien virheermien neliöä selieään vakiolla ja virheermien neliön viiväseyillä ermeillä. Esimoidun apuregression seliysase keraa havainojen lukumäärä (R ) noudaaa nollahypoeesin voimassa ollessa asympooisesi χ -jakaumaa. (Lee 99, 69.) ämän kuen muidenkin apuregressioon perusuvien esien pienoosominaisuude saaava poikea huomaavasi käyeäväsä esin asympooisesa jakaumasa. On olemassa useia ämän esin kanssa asympooisesi ekvivalenia esiä. Yksi ällainen esi saadaan, kun laskeaan esimerkiksi Ljungin ja Boxin auokorrelaaioesi virheermiesimaaien neliölle ˆ ε. (Bollerslev e al. 994, 975.)

34 3 ARCH-mallin mukaisen rakeneen oikea esimoini on ärkeää, sillä väärin spesifioiu ehdollisen varianssin rakenne johaa ieyissä apauksissa ehdollisen odousarvon uskoavuusesimoinnissa harhaisiin esimoiniuloksiin (Bera e al. 993, 356). Myös odousarvomalli on olava oikein spesifioiu, kun esaaan sen residuaalien ARCH-rakeneia. Jos osa seliäjisä puuuu ai ise regressiofunkio onkin odellisuudessa epälineaarinen, niin ällöin residuaaleihin saaaa synyä epälineaarisia rakeneia, joka aiheuava ARCH-esin arvon muuumisen merkiseväksi. Joa kokonaismallin esimaai olisiva oikeia, piäisi saada mahdollisimman selkeä kokonaiskuva paisi ehdollisen odousarvon ja ehdollisen varianssin rakeneisa niin myös näiden välisisä riippuvuuksisa. Joa ässä mielessä pääsäisiin parempaan loppuulokseen, kannaaa ainakin verailun vuoksi käyää spesifikaaioesauksessa myös luvun. mukaisia robuseja esejä..4 ilasollisen ominaisuuksia diagnosisoivia esejä.4. Jarque-Bera -normaalisuusesi Jarquen ja Beran (98) esielemä normaalisuusesi esaa normaalisuua käyämällä prosessin kolmannen keskusmomenin µ ja neljännen 3 3 = E( y i y) keskusmomenin µ esimaaoreia. Seuraavassa on Millsin (993, = E( y i y) 44) esiyksen mukainen peruselu älle esille. Edellä mainiujen keskusmomenien avulla määriellään muuujan empiiriselle jakaumalle vinousmia m3 = µ3 / σ 3 ja huipukkuusmia m4 = µ4 / σ 4, joissa σ on muuujan eoreeinen keskihajona. Näiden miojen esimaai ova (.4.) i ( yi y) = ˆ m = i i /, i = 3,4. ( yi y) =

35 3 Nollahypoeesina olevan normaalijakaumaoleuksen päiessä esimaaoreille (.4.), i =3,4, päevä asympooise jakauma (.4.) m ~ N(,6) ja (.4.3) ( mˆ 4 3) ~ N (,4). ˆ 3 a a Edelleen nollahypoeesin päiessä nämä esimaaori ova asympooisesi riippumaomia ja ällöin niiden painoeulle neliösummalle saadaan asympooinen jakauma a (.4.4) JB = mˆ 3 + ( mˆ 4 3) ~ χ 6 4. Suure esisuureen JB arvo viiaava ei-normaaliseen jakaumaan. esaaessa residuaalien normaalisuua esimaaoreiden (.4.) ermi ( y i y) korvaaan residuaaliesimaaeilla..4. avanomaisia yksikköjuuriesejä Yksikköjuurieseillä esaaan, onko aikasarjamuuujan ehdollisa odousarvorakennea kuvaavassa auoregressiivisessä mallissa yksikköjuuri. esiuloksen viiaessa yksikköjuuren olemassaoloon ämä ulkiaan merkiksi aikasarjan epäsaionaarisuudesa. arkasellaan sokasisen prosessin y auoregressiivisa mallia viipeellä yksi, joa kuvaa yhälö (.4.5) y = α + α y + ε, =,,, jossa virheermiprosessin ε prosessin y menneisyyden suheen ehdolliseun odousarvon oleeaan olevan nolla eli (.4.6) E ε y, y,..., y ). ( = ällöin virheermiprosessi on maringaalidifferenssiprosessi (Wooldridge, 579). ämä oleuksen oleeaan päevän kaikissa luvun.4. malleissa. Malli (.4.5) on perusana avanomaisissa yksikköjuurieseissä. Jos vakioparameri α oikea arvo

36 33 on nolla ja paramerin α oikea arvo yksi, niin ällöin prosessi y on epäsaionaarinen saunnaiskulkuprosessi (.4.7) y = y + ε. Jos aasparamerin α oikea arvo poikkeaa nollasa ja paramerin α oikea arvo on yksi, niin ällöin kyseessä on edelleen epäsaionaarinen saunnaiskulku + drif - prosessi (.4.8) y = α + y + ε, jossa vakioermi α muodosaa prosessin realisaaioon aikarendin. avanomaisessa Dickey-Fuller -yksikköjuuriesissä oleeaan vakioermin α olevan nolla ja esauksen koheena on paramerin α yhäsuuruus ykkösen kanssa. avanomaisilla yksikköjuurieseillä nollahypoeesin H: α = voimassaolo merkisee, eä prosessin rakennea kuvaa epäsaionaarinen malli (.4.7) ja vasahypoeesina on yleensä hypoeesi H: α <. Käyännössä vasahypoeesina on kuienkin hypoeesi - < α <, jonka päiessä malli (.4.5) on saionaarinen AR()-prosessi. Nollahypoeesiksi on valiu epäsaionaarisuua merkisevä yksiäinen paramerin arvo, eikä saionaarisuuden mukaisa väliä (-,), koska ieyn yksiäisen paramerin arvoa mukaisa hypoeesia on helpompi esaa avanomaisella ilasollisella pääelyllä kuin hypoeesia, jossa parameri voisi saada minkä ahansa arvon jolain ieylä välilä (Wooldridge, 579.) Kerroinparamerin α esaamiseen ei päde avanomainen normaalisen pienimmän neliösumman esimoinnin mukainen ilasollinen pääely, jos nollahypoeesi on voimassa. Yleensä yksikköjuuriesi suorieaan epäsuorasi esimoimalla mallisa (.4.7) modifioimalla saau malli (.4.9) y = α + θy + ε, jolloin nollahypoeesi on H: θ = vasahypoeesinaan hypoeesi H: θ <. Jos paramerin θ arvo on nolla, niin myöskään ässä apauksessa paramerin θ - esisuureelle ei päde avanomainen jakauma. Dickey ja Fuller ova määriänee

37 34 simuloimalla -esisuureen jakauman nollahypoeesin ollessa voimassa. ämä jakauma löyyy useimmisa aikasarjaekonomerisisa ohjelmisoisa ja oppikirjoisa. avanomaisen Dickey-Fuller -yksikköjuuriesin on havaiu oimivan huonosi, jos esaavassa prosessissa on selkeiä nollahypoeesin mukaisesa mallisa poikkeavia rakeneia (esimerkiksi aikarendi, kausivaihelua ai rakennemuuoksia). Nämä rakenee piää sien oaa huomioon yksikköjuuren esaamisen yheydessä. Ideana on ällöin esimoida malli, joka saadaan esimallisa (.4.9) oamalla mukaan ermi kuvaamaan näiä deerminisisiä rakeneia. Näin päädyään modifioiuun Dickey-Fuller -yksikköjuuriesiin, jossa vakion lisäksi esiyhälöön voidaan oaa mukaan aikarendi, muia rendirakeneia sekä muuujan y viipeiä, joka puhdisava mahdollisen muuujan y auokorrelaaion vaikuuksen esisuureen arvosa. Eri rendirakeneia sisälävien esien esisuureiden jakauma eroava oisisaan ja ne on aulukoiu erikseen. Phillips ja Perron (988) esiivä, eä jos voidaan oleaa, eä yhälö (.4.9) on auokorrelaaion ja heeroskedasisuuden suheen väärin spesifioiu, niin yhälön (.4.9) modifioinnin sijaan avanomaiselle Dickey-Fuller -esisuureelle (merk. τ µ ) voidaan ehdään korjaus ei-paramerisella esimoinnilla. Korjaulle esisuureelle johdeiin yhälö (.4.) jossa Z( (/ ) ) = ( ˆ / ˆ ) (/ )( ˆ ˆ ) ˆ τ µ τ µ σ σ τl σ τl σ σ τl ( y y ), = y = (.4.) y = ( ) ja

Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä

Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä Dynaaminen opimoini ja ehdollisen vaaeiden meneelmä Meneelmien keskinäinen yheys S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 10 - Peni Säynäjoki Opimoiniopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Meneelmien yhäläisyyksiä

Lisätiedot

XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA

XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA II ADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA Laskenaaajuus akiivisuus Määrieäessä radioakiivisen näyeen akiivisuua (A) uloksena saadaan käyeyn miausyseemin anama laskenaaajuus (). = [II.I] jossa =

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista Rahoiusriski ja johdannaise Mai Esola lueno Sokasisisa prosesseisa . Markov ominaisuus Markov -prosessi on sokasinen prosessi, missä ainoasaan muuujan viimeinen havaino on relevani muuujan seuraavaa arvoa

Lisätiedot

Tiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus

Tiedonhakumenetelmät Tiedonhakumenetelmät Helsingin yliopisto / TKTL. H.Laine 1. Todennäköisyyspohjainen rankkaus Tieonhakumeneelmä Helsingin yliopiso / TKTL.4.04 Toennäköisyyeen perusuva rankkaus Tieonhakumeneelmä Toennäköisyyspohjainen rankkaus Dokumenien haussa ongelmana on löyää käyäjän kyselynä ilmaiseman ieoarpeen

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä,

Lisätiedot

Osaketuottojen volatiliteetin mallintaminen

Osaketuottojen volatiliteetin mallintaminen Osakeuoojen volailieein mallinaminen Kansanalousiede Pro gradu -ukielma Talousieeiden laios Tampereen yliopiso 9.5.008 Janne Kivinen Tampereen yliopiso Talousieeiden laios KIVINEN, JANNE: OSAKETUOTTOJEN

Lisätiedot

2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t

2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t Tilasollinen ennusaminen Seppo Pynnönen Tilasoieeen professori, Meneelmäieeiden laios, Vaasan yliopiso. Tausaa Tulevaisuuden ennusaminen on ehkä yksi luoneenomaisimpia piireiä ihmiselle. On ilmeisesi aina

Lisätiedot

Diskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono:

Diskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono: DEE-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 5, rakaisuehdoukse [johdano impulssivaseeseen] Jakuva-aikaisen järjeselmän impulssivase on vasaavanlainen järjeselmäyökalu kuin diskreeillä puolellakin: impulssivase

Lisätiedot

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli

Yhden selittäjän lineaarinen regressiomalli Moimuuujameeelmä Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Moimuuujameeelmä: Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli Ilkka Melli. Yhde seliäjä lieaarie regressiomalli, se esimoii ja esaus.. Yhde seliäjä lieaarie

Lisätiedot

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa

Lisätiedot

Tasaantumisilmiöt eli transientit

Tasaantumisilmiöt eli transientit uku 12 Tasaanumisilmiö eli ransieni 12.1 Kelan kykeminen asajännieeseen Kappaleessa 11.2 kykeiin reaalinen kela asajännieeseen ja ukiiin energian varasoiumisa kelan magneeikenään. Tilanne on esiey uudelleen

Lisätiedot

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s). DEE- Piirianalyysi Ykkösharkan ehävien rakaisuehdoukse. askeaan ensin, kuinka paljon äyeen ladaussa akussa on energiaa. Tämä saadaan laskeua ehäväpaperissa anneujen akun ieojen 8.4 V ja 7 mah avulla. 8.4

Lisätiedot

W dt dt t J.

W dt dt t J. DEE-11 Piirianalyysi Harjoius 1 / viikko 3.1 RC-auon akku (8.4 V, 17 mah) on ladau äyeen. Kuinka suuri osa akun energiasa kuluu ensimmäisen 5 min aikana, kun oleeaan mooorin kuluavan vakiovirran 5 A? Oleeaan

Lisätiedot

Systeemimallit: sisältö

Systeemimallit: sisältö Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial

Lisätiedot

7.1. Suurimman uskottavuuden estimointimenetelmä: Johdanto

7.1. Suurimman uskottavuuden estimointimenetelmä: Johdanto Ma-1.361 Tilasollie pääely 7. Suurimma uskoavuude meeelmä ja asympooie eoria Tilasollie pääely 7. Suurimma uskoavuude meeelmä ja asympooie eoria 7.1. Suurimma uskoavuude esimoiimeeelmä: Johdao Aikasarja,

Lisätiedot

KYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN

KYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN YYSILMIÖ J SILÄ VÄLYMIE YYSE SIIRO LJEUS HYVÄSI ÄYÄE ieoliikenneekniikka I 559 ari ärkkäinen Osa 5 4 MILLOI? Milloin ja missä kynnysilmiö esiinyy? un vasaanoimen ulon SR siis esi-ilmaisusuodaimen lähdössä

Lisätiedot

Rakennusosien rakennusfysikaalinen toiminta Ralf Lindberg Professori, Tampereen teknillinen yliopisto ralf.lindberg@tut.fi

Rakennusosien rakennusfysikaalinen toiminta Ralf Lindberg Professori, Tampereen teknillinen yliopisto ralf.lindberg@tut.fi Rakennusosien rakennusfysikaalinen oimina Ralf Lindber Professori, Tampereen eknillinen yliopiso ralf.lindber@u.fi Rakenneosien rakennusfysikaalisen oiminnan ymmärämiseksi on välämäönä piirää kolme eri

Lisätiedot

1 Excel-sovelluksen ohje

1 Excel-sovelluksen ohje 1 (11) 1 Excel-sovelluksen ohje Seuraavassa kuvaaan jakeluverkonhalijan kohuullisen konrolloiavien operaiivisen kusannusen (SKOPEX 1 ) arvioimiseen arkoieun Excel-sovelluksen oimina, mukaan lukien sovelluksen

Lisätiedot

Tuotannon suhdannekuvaajan menetelmäkuvaus

Tuotannon suhdannekuvaajan menetelmäkuvaus 1(15) Tuoannon suhdannekuvaajan meneelmäkuvaus Luku 1 Luku 2 Luku 3 Luku 4 Tuoannon suhdannekuvaajan yleiskuvaus Tuoannon suhdannekuvaajan julkaisuaikaaulu, revisoinikäyännö ja jakelu Tuoannon suhdannekuvaajan

Lisätiedot

Lyhyiden ja pitkien korkojen tilastollinen vaihtelu

Lyhyiden ja pitkien korkojen tilastollinen vaihtelu Lyhyiden ja pikien korkojen ilasollinen vaihelu Tomi Pekka Juhani Marikainen Joensuun Yliopiso Maemaais-luonnonieeellinen iedekuna / Tieojenkäsielyieeen ja ilasoieeen laios / Tilasoiede Pro Gradu -ukielma

Lisätiedot

Vuoden 2004 alkoholiverotuksen muutoksen kulutusvaikutuksen ennustaminen. Linden, Mikael. ISBN 952-458-441-7 ISSN 1458-686X no 13

Vuoden 2004 alkoholiverotuksen muutoksen kulutusvaikutuksen ennustaminen. Linden, Mikael. ISBN 952-458-441-7 ISSN 1458-686X no 13 Vuoden 004 alkoholiverouksen muuoksen kuluusvaikuuksen ennusaminen Linden, Mikael ISBN 95-458-441-7 ISSN 1458-686X no 13 VUODEN 004 ALKOHOLIVEROTUKSEN MUUTOKSEN KULUTUSVAIKUTUKSEN ENNUSTAMINEN Mika Linden

Lisätiedot

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän: ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän

Lisätiedot

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen Soimukseneon dynamiikka: johdano ja haiallinen valikoiuminen Ma-2.442 Oimoinioin seminaari Elise Kolola 8.4.2008 S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 4 Elise Kolola Oimoinioin seminaari - Kevä 2008 Esiyksen

Lisätiedot

2. Systeemi- ja signaalimallit

2. Systeemi- ja signaalimallit 2. Syseemi- ja signaalimalli Malliyyppejä: maemaainen malli: muuujien välise suhee kuvau maemaaisesi yhälöin lohkokaaviomalli: syseemin oiminojen looginen jako lohkoihin, joiden välisiä vuorovaikuuksia

Lisätiedot

Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihtelu Suomessa vuosina 1776 2005

Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihtelu Suomessa vuosina 1776 2005 Kokonaishedelmällisyyden sekä hedelmällisyyden keski-iän vaihelu Suomessa vuosina 1776 2005 Heli Elina Haapalainen (157 095) 26.11.2007 Joensuun Yliopiso Maemaais- luonnonieeiden iedekuna Tieojenkäsielyieeen

Lisätiedot

PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd

PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS. KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Community Ltd PK-YRITYKSEN ARVONMÄÄRITYS KTT, DI TOIVO KOSKI elearning Communiy Ld Yriyksen arvonmääriys 1. Yriyksen ase- eli subsanssiarvo Arvioidaan yriyksen aseen vasaavaa puolella olevan omaisuuden käypäarvo, josa

Lisätiedot

Kuukausi- ja kuunvaihdeanomalia Suomen osakemarkkinoilla vuosina 2005-2013

Kuukausi- ja kuunvaihdeanomalia Suomen osakemarkkinoilla vuosina 2005-2013 Kauppaieeellinen iedekuna Talousjohaminen Kandidaainukielma Kuukausi- ja kuunvaihdeanomalia Suomen osakemarkkinoilla vuosina 2005-2013 Monhly and Turn-of-he-Monh anomaly in he Finnish sock marke during

Lisätiedot

Lineaaristen järjestelmien teoriaa

Lineaaristen järjestelmien teoriaa Lineaarisen järjeselmien eoriaa Saavueavuus, ohjaavuus Tarkkailavuus, havaiavuus Klassisen mekaniikan sabiilisuus vs. syseemiekninen sabiilisuusuus Tilaesimoini Kalman-suodin Mielenkiinoisia kysymyksiä

Lisätiedot

Asuntojen huomiointi varallisuusportfolion valinnassa ja hinnoittelussa

Asuntojen huomiointi varallisuusportfolion valinnassa ja hinnoittelussa TAMPEREEN YLIOPISTO Johamiskorkeakoulu Asunojen huomioini varallisuusporfolion valinnassa ja hinnoielussa Kansanalousiede Pro gradu -ukielma Elokuu 2012 Ohjaaja: Hannu Laurila Tuomo Sola TIIVISTELMÄ Tampereen

Lisätiedot

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A. 9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille

Lisätiedot

f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d)

f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d) Tehävä 1. Oleeaan, eä on käössä jakuva kuva, jossa (,, ) keroo harmaasävn arvon paikassa (, ) ajanhekenä. Dnaaminen kuva voidaan esiää Talor sarjana: d d d d d d O ( +, +, + ) = (,, ) + + + + ( ). (4a)

Lisätiedot

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta Miausekniikan perusee, piirianalyysin kerausa. Ohmin laki: =, ai = Z ( = ännie, = resisanssi, Z = impedanssi, = vira). Kompleksiluvu Kompleksilukua arviaan elekroniikassa analysoiaessa piireä, oka sisälävä

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin

Lisätiedot

Suomen kalamarkkinoiden analyysi yhteisintegraatiomenetelmällä

Suomen kalamarkkinoiden analyysi yhteisintegraatiomenetelmällä KALA- JA RIISTARAPORTTEJA nro 374 Jukka Laiinen Jari Seälä Kaija Saarni Suomen kalamarkkinoiden analyysi yheisinegraaiomeneelmällä Helsinki 006 Julkaisija Riisa- ja kalaalouden ukimuslaios KUVAILULEHTI

Lisätiedot

Ratkaisu. Virittäviä puita on kahdeksan erilaista, kun solmut pidetään nimettyinä. Esitetään aluksi verkko kaaviona:

Ratkaisu. Virittäviä puita on kahdeksan erilaista, kun solmut pidetään nimettyinä. Esitetään aluksi verkko kaaviona: Diskreei maemaiikka, sks 00 Harjoius 0, rakaisuisa. Esi viriävä puu suunaamaomalle verkolle G = (X, E, Ψ), kun X := {,,, }, E := { {, }, {, }, {, }, {, }, {, }}, ja Ψ on ieninen kuvaus. Rakaisu. Viriäviä

Lisätiedot

Työ 2: 1) Sähkönkulutuksen ennustaminen SARIMAX-mallin avulla 2) Sähkön hankinnan optimointi

Työ 2: 1) Sähkönkulutuksen ennustaminen SARIMAX-mallin avulla 2) Sähkön hankinnan optimointi Ma-2.3132 Syseemianalyysilaboraorio I Työ 2: 1) Sähkönkuluuksen ennusaminen SARIMAX-mallin avulla 2) Sähkön hankinnan opimoini 1 yö 2 Aikasarjamalli erään yriyksen sähkönkuluukselle SARIMAX-malli: kausivaihelu,

Lisätiedot

KOMISSION VALMISTELUASIAKIRJA

KOMISSION VALMISTELUASIAKIRJA EUROOPAN UNIONIN NEUVOSTO Bryssel, 23. oukokuua 2007 (24.05) (OR. en) Toimielinen välinen asia: 2006/0039 (CNS) 9851/07 ADD 2 N 239 RESPR 5 CADREN 32 LISÄYS 2 I/A KOHTAA KOSKEVAAN ILMOITUKSEEN Läheäjä:

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.4 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vasausen piireiden, sisälöjen ja piseiysen luonnehdina ei sido ylioppilasukinolauakunnan arvoselua. Lopullisessa arvoselussa

Lisätiedot

MAT-02450 Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014

MAT-02450 Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014 MAT-45 Fourier n meneelmä Merja Laaksonen, TTY 4..4 Sisälö Johano 3. Peruskäsieiä................................... 4.. Parillinen ja parion funkio....................... 7.. Heavisien funkio............................

Lisätiedot

Luento 7 Järjestelmien ylläpito

Luento 7 Järjestelmien ylläpito Luno 7 Järjslmin ylläpio Ahi Salo Tknillinn korkakoulu PL, 5 TKK Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair ❶ Uusiminn Vioiun komponni korvaaan

Lisätiedot

Aikasarjatutkimuksia Valkeakosken kaupunki-ilman hajurikkipitoisuuksista

Aikasarjatutkimuksia Valkeakosken kaupunki-ilman hajurikkipitoisuuksista Aikasarjaukimuksia Valkeakosken kaupunki-ilman hajurikkipioisuuksisa Tampereen yliopiso Informaaioieeiden iedekuna VÄISÄNEN, JAANI Pro gradu -ukielma Tilasoiede Lokakuu 004 TAMPEREEN YLIOPISTO Informaaioieeiden

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

Suomen ja kehittyvien markkinoiden välinen yhteisintegraatio pitkällä ja keskipitkällä aikavälillä

Suomen ja kehittyvien markkinoiden välinen yhteisintegraatio pitkällä ja keskipitkällä aikavälillä LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO School of Business Rahoius Suomen ja kehiyvien markkinoiden välinen yheisinegraaio pikällä ja keskipikällä aikavälillä Kandidaain ukielma Olli Keunen 0277353 25.5.2007

Lisätiedot

Termiinikurssi tulevan spot-kurssin ennusteena

Termiinikurssi tulevan spot-kurssin ennusteena TAMPEREEN YLIOPISTO Talousieeiden laios Termiinikurssi ulevan spo-kurssin ennuseena Kansanalousiede Pro gradu-ukielma Talousieeiden laios Tampereen yliopiso 28.2.2006 Ville Kivelä 1 TIIVISTELMÄ Tampereen

Lisätiedot

9. Parametriset mallit, estimointi

9. Parametriset mallit, estimointi 9. Paramerise malli, esimoini Rakeneellise malli paramereillä a priori ulkina & merkiys Black box-malli parameri vain laskennan/soviuksen apuvälineiä Tarkasellaan pääosin diskreeiaikaisia malleja 3. harjoiusyössä

Lisätiedot

KOMISSION KERTOMUS. Suomi. Perussopimuksen 126 artiklan 3 kohdan nojalla laadittu kertomus

KOMISSION KERTOMUS. Suomi. Perussopimuksen 126 artiklan 3 kohdan nojalla laadittu kertomus EUROOPAN KOMISSIO Bryssel 27.2.205 COM(205) 4 final KOMISSION KERTOMUS Suomi Perussopimuksen 26 ariklan 3 kohdan nojalla laadiu keromus FI FI KOMISSION KERTOMUS Suomi Perussopimuksen 26 ariklan 3 kohdan

Lisätiedot

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty

HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekuna/Osaso Fakule/Sekion Faculy Laios Insiuion Deparmen Maemaais-luonnonieeellinen Tekijä Förfaare Auhor Miriam Hägele Työn nimi

Lisätiedot

SUOMEN PANKIN KANSANTALOUDEN OSASTON TYÖPAPEREITA. Ajassa muuttuva NAIRU ja potentiaalinen tuotanto Suomessa

SUOMEN PANKIN KANSANTALOUDEN OSASTON TYÖPAPEREITA. Ajassa muuttuva NAIRU ja potentiaalinen tuotanto Suomessa SUOMEN PANKIN KANSANTALOUDEN OSASTON TYÖPAPEREITA 23.2.1998 2/98 ChrisMarie Rasi JanMarkus Viikari Ajassa muuuva NAIRU ja poeniaalinen uoano Suomessa 2 Ajassa muuuva NAIRU ja poeniaalinen uoano Suomessa

Lisätiedot

Öljyn hinnan ja Yhdysvaltojen dollarin riippuvuussuhde

Öljyn hinnan ja Yhdysvaltojen dollarin riippuvuussuhde Öljyn hinnan ja Yhdysvalojen dollarin riippuvuussuhde Kansanalousiede Pro gradu -ukielma Talousieeiden laios Tampereen yliopiso Toukokuu 2010 Jari Hännikäinen TIIVISTLMÄ Tampereen yliopiso Talousieeiden

Lisätiedot

ETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET

ETERAN TyEL:n MUKAISEN VAKUUTUKSEN ERITYISPERUSTEET TRAN TyL:n MUKASN AKUUTUKSN RTYSPRUSTT Tässä peruseessa kaikki suuree koskea eraa, ellei oisin ole määriely. Tässä peruseessa käyey lyhenee: LL Lyhyaikaisissa yösuheissa oleien yönekijäin eläkelaki TaL

Lisätiedot

A-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat!

A-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat! MAA Koe 7..03 A-osio. Ei laskina! Valise seuraavisa kolmesa ehäväsä vain kaksi joihin vasaa! A. a) Mikä on funkion f(x) määrieljoukko, jos f( x) x b) Muua ulomuooon: 4a 8a 4 A. a) Rakaise hälö: x 4x b)

Lisätiedot

Dynaamiset regressiomallit

Dynaamiset regressiomallit MS-C2128 Ennustaminen ja Aikasarja-analyysi, Lauri Viitasaari Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Perustieteiden korkeakoulu Aalto-yliopisto Syksy 2016 Tilastolliset aikasarjat voidaan jakaa kahteen

Lisätiedot

2. Suoraviivainen liike

2. Suoraviivainen liike . Suoraviivainen liike . Siirymä, keskinopeus ja keskivauhi Aika: unnus, yksikkö: sekuni s Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen asema (paikka) ilmoieaan suoralla olevan piseen paikkakoordinaain (unnus

Lisätiedot

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt SMG-500 Verolasennan numeerise meneelmä Ehdouse harjoiusen 4 raaisuisi Haeaan ensin ehävän analyyinen raaisu: dx 0 0 0 0 dx 00e = 0 = 00e 00 x = e + = 5e + alueho: x(0 = 0 0 x 0 = 5e + = 0 = 5 0 0 0 5

Lisätiedot

Systeemidynamiikka ja liikkeenjohto

Systeemidynamiikka ja liikkeenjohto Syseemidynamiikka ja liikkeenjoho Opimoiniopin seminaari 21.2.2007 Ilkka Leppänen S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 11 Ilkka Leppänen Opimoiniopin seminaari - Kevä 2007 Sisälö Johdano dynaamisen pääökseneon

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 3, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 3, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- ineaarise järjeselmä Harjoius 3, harjoiusenpiäjille arkoieu rakaisuehdoukse Ennen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu Piirianalyysin juuri suorianee

Lisätiedot

Luento 11. tietoverkkotekniikan laitos

Luento 11. tietoverkkotekniikan laitos Lueno Lueno Sokasise signaali ja prosessi II. Sokasise prosessi Pruju Saionaarisuus, ergodisuus Auo ja risikorrelaaio ehospekri.3 Kohinan suodaaminen Sokasinen raja arvo ja derivaaa Winer Khinchin eoreema.3

Lisätiedot

Finanssipolitiikan tehokkuudesta Yleisen tasapainon tarkasteluja Aino-mallilla

Finanssipolitiikan tehokkuudesta Yleisen tasapainon tarkasteluja Aino-mallilla BoF Online 3 29 Finanssipoliiikan ehokkuudesa Yleisen asapainon arkaseluja Aino-mallilla Juha Kilponen Tässä julkaisussa esiey mielipiee ova kirjoiajan omia eiväkä välämää edusa Suomen Pankin kanaa. Suomen

Lisätiedot

( ) N z ( RADIOAKTIIVISUUS TILASTOLLISENA ILMIÖNÄ. B.1 Radioaktiivisten ytimien hajoamislaki. P( z) =

( ) N z ( RADIOAKTIIVISUUS TILASTOLLISENA ILMIÖNÄ. B.1 Radioaktiivisten ytimien hajoamislaki. P( z) = B RADIOAKTIIVISUUS TILASTOLLISENA ILMIÖNÄ B.1 Radioakiivisen yimien hajoamislaki Miaaessa radioakiivisen yimien hajoamisessa synyvän säeilyn inensieeiä havaiaan, eä ilmaisimeen aikayksikössä saapuvien

Lisätiedot

MÄNTTÄ-VILPPULAN KAUPUNKI. Mustalahden asemakaava Liikenneselvitys. Työ: E23641. Tampere 18.5.2010

MÄNTTÄ-VILPPULAN KAUPUNKI. Mustalahden asemakaava Liikenneselvitys. Työ: E23641. Tampere 18.5.2010 MÄNÄ-VLPPULAN KAUPUNK Musalahden asemakaava Liikenneselviys yö: E ampere 8..00 ARX Ympärisö Oy PL 0 ampere Puhelin 00 000 elefax 00 00 www.airix.fi oimiso: urku, ampere, Espoo ja Oulu Mänä-Vilppulan kaupunki,

Lisätiedot

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +. Diffrniaaliyhälö II, harjoius 3, 8 228, rakaisu JL, kuusi sivua a On muunnava linaarinn oisn kraluvun diffrniaaliyhälö ẍ qx f yhäpiäväksi nsimmäisn kraluvun linaarisksi kahdn skalaariyhälön sysmiksi Rak

Lisätiedot

S Signaalit ja järjestelmät Tentti

S Signaalit ja järjestelmät Tentti S-7. Signaali ja järjeselmä eni..6 Vasaa ehävään, ehävisä 7 oeaan huomioon neljä parhaien suorieua ehävää.. Vasaa lyhyesi seuraaviin osaehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä kaksi ehoa kanaunkioiden φ

Lisätiedot

x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja.

x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja. Digiaalinen videonkäsiel Harjoius, vasaukse ehäviin 4-0 Tehävä 4. Emämariisi a: V A 0 V B 0 Hila saadaan kanavekorien (=emämariisin sarakkee) avulla. Kunkin piseen paikka hilassa on kokonaisluvulla kerroujen

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia 8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.

Lisätiedot

Tuotannon suhdannekuvaajan menetelmäkuvaus

Tuotannon suhdannekuvaajan menetelmäkuvaus 1(19) Tuoannon suhdannekuvaajan meneelmäkuvaus Luku 1 Luku 2 Luku 3 Luku 4 Tuoannon suhdannekuvaajan yleiskuvaus Tuoannon suhdannekuvaajan julkaisuaikaaulu, revisoinikäyännö ja jakelu Tuoannon suhdannekuvaajan

Lisätiedot

Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) (

Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) ( TT/TV Inegraalimuunnokse Fourier-muunnos, ehäviä : Vasauksia Meropolia/. Koivumäki v(. Määriä oheisen signaalin Fourier-muunnos. Vinkki: Superposiio, viive. Voidaan sovelaa superposiioperiaaea, koska signaalin

Lisätiedot

VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT DISCUSSION PAPERS. JULKISEN TALOUDEN PITKÄN AIKAVÄLIN LASKENTAMALLIT Katsaus kirjallisuuteen

VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT DISCUSSION PAPERS. JULKISEN TALOUDEN PITKÄN AIKAVÄLIN LASKENTAMALLIT Katsaus kirjallisuuteen VATT-KESKUSTELUALOITTEITA VATT DISCUSSION PAPERS 445 JULKISEN TALOUDEN PITKÄN AIKAVÄLIN LASKENTAMALLIT Kasaus kirjallisuueen Juho Kosiainen Valion aloudellinen ukimuskeskus Governmen Insiue for Economic

Lisätiedot

OSINKOJEN JA PÄÄOMAVOITTOJEN VEROTUKSEN VAIKUTUKSET OSAKKEEN ARVOON

OSINKOJEN JA PÄÄOMAVOITTOJEN VEROTUKSEN VAIKUTUKSET OSAKKEEN ARVOON AMPN YLIOPISO Kauppaieeien laios OSINKOJN JA PÄÄOMAVOIOJN VOUKSN VAIKUUKS OSAKKN AVOON Laskenaoimi Seminaariukielma Helmikuu 2004 Ohjaaja: Ismo Vuorinen apani Höök 3 SISÄLLYS JOHDANO... 4. ukielman ausaa...4.2

Lisätiedot

Derivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan

Derivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan 87 5. Eliminoinimeneely Tarkaellaan -kokoia vakiokeroimia yeemiä + x a a x a x + a x b() x = = = +. a a x a x a x b () (3) b() x + Derivoimalla enimmäinen komponeni, ijoiamalla jälkimmäien derivaaa iihen

Lisätiedot

TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta

TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta KK ieoliikennelaboraorio 7.2.27 Seppo Saasamoinen Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali, kun ulosignaali ja järjeselmän

Lisätiedot

Euroopan kehittyvien osakemarkkinoiden yhteisintegraatio

Euroopan kehittyvien osakemarkkinoiden yhteisintegraatio LAPPEENRANNAN TEKNILLINEN YLIOPISTO KAUPPATIETEIDEN OSASTO Laskenaoimen ja rahoiuksen laios Rahoius Euroopan kehiyvien osakemarkkinoiden yheisinegraaio ja kausalieei Aarne Björklund Rahoius 4 0239210 Sisällyslueelo

Lisätiedot

Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5

Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5 S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali,

Lisätiedot

Parametriset mallit. parametreillä a priori tulkinta & merkitys. parametrit vain laskennan/sovituksen apuvälineitä

Parametriset mallit. parametreillä a priori tulkinta & merkitys. parametrit vain laskennan/sovituksen apuvälineitä Paramerise malli Rakeneellise malli paramereillä a priori ulkina & merkiys Black box-malli parameri vain laskennan/soviuksen apuvälineiä Tarkasellaan pääosin lineaarisia diskreeiaikaisia blackbox-malleja

Lisätiedot

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009

Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009 Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 8 (viikko 14) Tehävä 1 LAD-käyrä siiryy ylöspäin. Ulkomaisen hinojen nousessa oman maan reaalinen vaihokurssi heikkenee 1 vaihoase vahvisuu IS-käyrä

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta TARJONTA SUOMEN ASUNTOMARKKINOILLA

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Taloustieteiden tiedekunta TARJONTA SUOMEN ASUNTOMARKKINOILLA JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Talousieeiden iedekuna TARJONTA SUOMEN ASUNTOMARKKINOILLA Kansanalousiede Pro gradu -ukielma Helmikuu 2006 Laaia: Janne Lilavuori Ohaaa: Professori Kari Heimonen JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO

Lisätiedot

Laskelmia verotuksen painopisteen muuttamisen vaikutuksista dynaamisessa yleisen tasapainon mallissa

Laskelmia verotuksen painopisteen muuttamisen vaikutuksista dynaamisessa yleisen tasapainon mallissa Laskelmia verouksen painopiseen muuamisen vaikuuksisa dynaamisessa yleisen asapainon mallissa Juha Kilponen ja Jouko Vilmunen TTässä arikkelissa esieään laskelmia siiä, mien verouksen painopiseen siiräminen

Lisätiedot

Kuntaeläkkeiden rahoitus ja kunnalliset palvelut

Kuntaeläkkeiden rahoitus ja kunnalliset palvelut Kunaeläkkeiden rahoius ja kunnallise palvelu I LA Rapori LA Repors 30.1.2013 No 4 Kunaeläkkeiden rahoius ja kunnallise palvelu Jukka Lassila * Niku Määänen ** armo Valkonen *** * LA linkeinoelämän ukimuslaios,

Lisätiedot

6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia

6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia 6.4 Variaaiolaskennan oleusen rajoiukse Sivu ss. 27 31 läheien Kirk, ss. 13 143] ja KS, Ch. 5] pohjala Lähökoha oli: jos J:llä on eksremaali (), niin J:n variaaio δj( (), δ()) ():ä pikin on nolla. 1. Välämäön

Lisätiedot

STOKASTISIA MALLEJA SÄHKÖN HINNOITTELUUN. Sanni Sieviläinen

STOKASTISIA MALLEJA SÄHKÖN HINNOITTELUUN. Sanni Sieviläinen HELSINGIN YLIOPISTO Maemaais-Luonnonieeellinen iedekuna Maemaiikan ja ilasoieeen laios STOKASTISIA MALLEJA SÄHKÖN HINNOITTELUUN Sanni Sieviläinen Pro Gradu-ukielma Ohjaaja: Dario Gasbarra 3. syyskuua 215

Lisätiedot

SÄHKÖN HINTA POHJOISMAISILLA SÄHKÖMARKKINOILLA

SÄHKÖN HINTA POHJOISMAISILLA SÄHKÖMARKKINOILLA TAMPEREEN YLIOPISTO Talousieeiden laios SÄHKÖN HINTA POHJOISMAISILLA SÄHKÖMARKKINOILLA Kansanalousiede Pro gradu -ukielma Tammikuu 2009 Ohjaaja: Hannu Laurila Tero Särkijärvi TIIVISTELMÄ Tampereen yliopiso

Lisätiedot

Suunnitteluharjoitus s-2016 (...k-2017)

Suunnitteluharjoitus s-2016 (...k-2017) 1 Suunnieluharjoius s-2016 (...k-2017) HAKKURITEHOLÄHDE Seuraavan push-pull-yyppisen hakkurieholäheen komponeni ulisi valia (muunajaa lukuunoamaa). V1 iin 230 V ± 10 % 50 Hz V3 Perusieoja kykennäsä Verkkoasasuunauksen

Lisätiedot

RIL 256-2010 Suomen Rakennusinsinöörien Liitto RIL ry

RIL 256-2010 Suomen Rakennusinsinöörien Liitto RIL ry Suomen Rakennusinsinöörien Liio RIL ry Julkisen hankinojen kehiämismalli Tuoavuuden paranaminen TUKEFIN-meneelmällä 2 RIL 256-2010 RILin julkaisuilla on oma koisivu, joka löyyy osoieesa www.ril.fi Kirjakauppa

Lisätiedot

Luento 11. Stationaariset prosessit

Luento 11. Stationaariset prosessit Lueno Soasisen prosessin ehosperi Signaalin suodaus Kaisarajoieu anava 5..6 Saionaarise prosessi Auoorrelaaio φ * * (, ) ( ), { } { } jos prosessi on saionaarinen auoorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan

Lisätiedot

Mat Sovelletun matematiikan erikoistyö. ARCH-mallit

Mat Sovelletun matematiikan erikoistyö. ARCH-mallit Ma-.48 Sovelleun maemaiikan erikoisyö ARCH-malli Jua Saloeimo 57739V Teknillinen korkeakoulu Teknillisen maemaiikan ja fysiikan osaso Syseemianalyysin laboraorio soossa 3..9 Sisällyslueelo. siue.... ARCH-malli....

Lisätiedot

Epävarmuus diskonttokoroissa ja mittakaavaetu vs. joustavuus

Epävarmuus diskonttokoroissa ja mittakaavaetu vs. joustavuus Epävarmuus diskonokoroissa ja miakaavaeu vs. jousavuus Opimoiniopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Esielmän sisälö Kirjan Invesmen Under Uncerainy osan I luvu 4 ja 5. Mien epävarmuus diskonokorossa vaikuaa

Lisätiedot

YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB)

YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB) YKSISIVUKAISTAODULAATIO SSB ien kaisaa voi sääsää verrauna DSB- a A-modulaaioihin? ikä on Hilber-munnin? 5357A Tieoliikenneekniikka I Osa 9 Kari Kärkkäinen Kevä 05 YKSISIVUKAISTAODULAATION IDEA DSB & A-inormaaio

Lisätiedot

b) Esitä kilpaileva myötöviivamekanismi a-kohdassa esittämällesi mekanismille ja vertaile näillä mekanismeilla määritettyjä kuormitettavuuksia (2p)

b) Esitä kilpaileva myötöviivamekanismi a-kohdassa esittämällesi mekanismille ja vertaile näillä mekanismeilla määritettyjä kuormitettavuuksia (2p) LUT / Teräsrakenee/Timo Björk BK80A30: Teräsrakenee II:.5.016 Oheismaeriaalin käyö EI salliua, laskimen käyö on salliua, lausekkeia ehäväosion lopussa Vasaukse laadiaan ehäväpaperille, joka palaueava,

Lisätiedot

Systeemimallit: sisältö

Systeemimallit: sisältö Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -uvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jauva-aiaisen lineaarisen järjeselmän siirofunio, sabiilisuus Laplace-muunnos Disreeiaiaisen lineaarisen järjeselmän

Lisätiedot

Lineaaristen järjestelmien teoriaa II

Lineaaristen järjestelmien teoriaa II Lieaarise järjeselmie eoriaa II Ohjaavuus Tarkkailavuus havaiavuus Lisää sabiilisuudesa Tilaesimoii, Kalma-suodi TKK/Syseemiaalyysi laboraorio Mielekiioisia kysymyksiä Oko syseemi rakeeelaa sellaie, eä

Lisätiedot

SUOMEN PANKIN KANSANTALOUSOSASTON TYÖPAPEREITA

SUOMEN PANKIN KANSANTALOUSOSASTON TYÖPAPEREITA SUOMEN PANKIN KANSANTALOUSOSASTON TYÖPAPEREITA 10.10.2004 1/2004 Hannes Kaadu Kuluajahinainflaaion miaaminen Yhdysvalloissa 2 Kuluajahinainflaaion miaaminen Yhdysvalloissa Kansanalousosason yöpapereia

Lisätiedot

BETONI-TERÄS LIITTORAKENTEIDEN SUUNNITTELU EUROKOODIEN MUKAAN (TTY 2009) Betonipäivät 2010

BETONI-TERÄS LIITTORAKENTEIDEN SUUNNITTELU EUROKOODIEN MUKAAN (TTY 2009) Betonipäivät 2010 DIPLOMITYÖ: BETONI-TERÄS LIITTORAKENTEIDEN SUUNNITTELU EUROKOODIEN MUKAAN (TTY 29) Beonipäivä 21 DIPLOMITYÖ prosessina Aie: yön eeäjän aloieesa Selviykse beonin, eräksen ja puun osala oli jo ey/käynnissä

Lisätiedot

Finavian ympäristötyö 2006: Vesipäästöjen hallintaa ja tehokkaita prosesseja

Finavian ympäristötyö 2006: Vesipäästöjen hallintaa ja tehokkaita prosesseja 9 Y M P Ä R I S T Ö K A T S A U S 2006 2 Finavian ympärisöyö 2006: Vesipääsöjen hallinaa ja ehokkaia prosesseja Jääneson aiheuama kuormius aseiain hallinaan Finavia vasaa maahuolinayriysen jäänesoon käyämän

Lisätiedot

Lorentz-muunnos L(v) on operaatio, joka voidaan esittää myös matriisina

Lorentz-muunnos L(v) on operaatio, joka voidaan esittää myös matriisina Lorenz-muunnos L on operaaio, joka oidaan esiää myös mariisina L / / mariisi L muodosaa ryhmän: kaksi peräkkäisä Lorenz-muunnosa on myös Lorenz-muunnos, ja on olemassa myös kääneinen Lorenz- muunnos 3

Lisätiedot

Sijoitusriskien ja rahoitustekniikan vaikutus TyEL-maksun kehitykseen

Sijoitusriskien ja rahoitustekniikan vaikutus TyEL-maksun kehitykseen Ismo Risku ja Kasimir Kaliva Sijoiusriskien ja rahoiusekniikan vaikuus TyEL-maksun kehiykseen Eläkeurvakeskuksen keskuselualoieia 009:6 Ismo Risku ja Kasimir Kaliva Sijoiusriskien ja rahoiusekniikan vaikuus

Lisätiedot

Mittaus- ja säätölaitteet IRIS, IRIS-S ja IRIS-M

Mittaus- ja säätölaitteet IRIS, IRIS-S ja IRIS-M Miaus- ja sääölaiee IRIS, IRIS-S ja IRIS-M KANSIO 4 VÄLI ESITE Lapinleimu Miaus- ja sääölaiee IRIS, IRIS-S ja IRIS-M IRIS, IRIS-S Rakenne IRIS muodosuu runko-osasa, sääösäleisä, sääömuerisa ai sääökahvasa

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Tuotannon suhdannekuvaajan menetelmäkuvaus

Tuotannon suhdannekuvaajan menetelmäkuvaus 1(16) Tuoannon suhdannekuvaajan meneelmäkuvaus Luku 1 Luku 2 Luku 3 Luku 4 Tuoannon suhdannekuvaajan yleiskuvaus Tuoannon suhdannekuvaajan julkaisuaikaaulu, revisoinikäyännö ja jakelu Tuoannon suhdannekuvaajan

Lisätiedot

TALOUSTIETEIDEN TIEDEKUNTA. Lauri Tenhunen KAIKKIALLA LÄSNÄ OLEVAN TIETOTEKNIIKAN TALOUSTIETEELLISTÄ ANALYYSIÄ

TALOUSTIETEIDEN TIEDEKUNTA. Lauri Tenhunen KAIKKIALLA LÄSNÄ OLEVAN TIETOTEKNIIKAN TALOUSTIETEELLISTÄ ANALYYSIÄ TLOUSTIETEIDEN TIEDEKUNT Lauri Tenhunen KIKKILL LÄSNÄ OLEVN TIETOTEKNIIKN TLOUSTIETEELLISTÄ NLYYSIÄ Pro gradu ukielma Yleinen alousiede Tammikuu 03 SISÄLLYS Sisällys Kuvio ja auluko JOHDNTO... 5 VERKOSTOTLOUSTIETEEN

Lisätiedot

2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23

2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23 LISÄTEHTÄVÄT. Maemaainen malli ja funkio 9. a) f (-) = - (-) + = - + = -6 b) f (-) = (-) - (-) + = - (-8) + = 8 + 8 + = 80. a) f ( ) = + f ( ) = 0 + = 0 ( ) = ± = ± = ai = Vasaus: = - ai = b) + = + = 0

Lisätiedot