Luku 20 Molekyylien liike

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Luku 20 Molekyylien liike"

Kaarlo Mäki
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

Luku 20 Molekyylien liike (Ideaali)kaasujen kinee5nen teoria Lähtökohdat: 1. Kaasu koostuu molekyyleistä (massa m) joiden liike on satunnaista 2. Molekyylit ovat kooltaan pistemäisiä, ts.

1 Luku 20 Molekyylien liike (Ideaali)kaasujen kinee5nen teoria Lähtökohdat: 1. Kaasu koostuu molekyyleistä (massa m) joiden liike on satunnaista 2. Molekyylit ovat kooltaan pistemäisiä, ts. molekyylien halkaisija on paljon pienempi kuin molekyylien keskimääräinen etäisyys törmäysten välillä 3. Molekyylien välillä ei ole vuorovaikutuksia paitsi törmäyksissä. Törmäykset ovat elasesia (kinee5nen energia säilyy) Paine aiheutuu törmäyksestä seinämään Muutos x- suuntaisessa liikemäärässä = 2mv x 1

Tarkastellaan törmäysten määrää aikayksikössä t seinään A kuvileellisessa törmäyslaaekossa Molekyylit kulkevat ajassa t kohe seinää matkan v x Δt Tilavuudessa v x Δt A olevat molekyylit "ehtivät"

2 Tarkastellaan törmäysten määrää aikayksikössä t seinään A kuvileellisessa törmäyslaaekossa Molekyylit kulkevat ajassa t kohe seinää matkan v x Δt Tilavuudessa v x Δt A olevat molekyylit "ehtivät" törmäämään seinään ajassa Δt Molekyylien lukumäärä tilavuudessa v x Δt A = ( nn A /V ) v x Δt A Huomaa, elä puolet molekyyleistä liikkuu niin, elä niiden nopeuden x- kompo- nen5 on vastakkaiseen x- suuntaan x-suuntaisen liikemäärän muutos seinämällä = nn A Av x Δt 2V Liikemäärän muutosnopeus = Δ ( mv x ) Δt = nmav 2 x V 2mv x = nmav 2 xδt V = seinään kohdistuva voima paine = voima/pinta-ala p = nmv 2 x V 2

3 Koska kaikki seinään törmäävät molekyylit eivät liiku samalla nopeudella, korvataan v x 2 keskimääräisellä nopeudella v x 2 Merkitään c 2 = v 2 = v x 2 + v y 2 + v z 2 p = nm v 2 x V c = neliöllinen keskinopeus Koska liike on satunnaista ja kaikki liikesuunnat saman arvoisia c 2 = 3 v x 2 v x 2 = 1 3 c2 Yhdistämällä tulos ideaalikaasujen Elanyhtälön kanssa: p = nrt V = nmc2 3V " c = $ 3RT # M % ' & 1/2 = ideaalikaasun neliöllinen keskinopeus 3

Kaasussa, molekyylien törmäyksistä johtuen nopeudet muuluvat jatkuvase eikä neliöllinen keskinopeus yksinään riitä kuvamaan kaasun käyläytymistä Tarkemman kuvauksen kaasusta antaa Maxwellin

4 Kaasussa, molekyylien törmäyksistä johtuen nopeudet muuluvat jatkuvase eikä neliöllinen keskinopeus yksinään riitä kuvamaan kaasun käyläytymistä Tarkemman kuvauksen kaasusta antaa Maxwellin laki molekyylivauheen jakaumasta! M $ f (v) = 4π # & " 2π RT % 3/2 v 2 e Mv2 /2 RT Jakaumasta voidaan integroimalla laskea Eetyllä nopeusvälillä olevien molekyylien osuus: v 2 v 1 f (v)dv 4

5 Jakaumasta voidaan johtaa joukko molekyylien nopeuksia kuvaavien suureiden keskimääräisiä arvoja Laskuperiaate: suure = suure x jakauma Esim. keskinopeus c = 0! M $ vf (v)dv=4π# & " 2π RT % 3/2 e Mv2 /2! RT dv= 8RT $ # & " π M % v 3 0 1/2 Todennäköisin nopeus Keskinopeus Neliöllinen keskinopeus 5

6 Suhteellinen keskinopeus kuvaa keskimääräistä nopeula jolla molekyylit liikkuvat toisiinsa nähden: c rel = 2 1/2 c Jos kaikki molekyylit samanlaisia! c rel = 8kT $ # & " πµ % 1/2 Jos kaasussa kandenlaisia molekyylejä: missä µ = m A m B m A + m B = redusoitu massa 6

Törmäysten tarkasteluun voidaan käylää yksinkertaista törmäysputkea Molekyylit törmäävät kun niiden keskinäinen etäisyys = d = törmäyshalkaisija Jos molekyylit oletetaan koviksi palloiksi d =

7 Törmäysten tarkasteluun voidaan käylää yksinkertaista törmäysputkea Molekyylit törmäävät kun niiden keskinäinen etäisyys = d = törmäyshalkaisija Jos molekyylit oletetaan koviksi palloiksi d = molekyylin halkaisija Törmäysputken poikkipinta- ala σ = πd 2 Aikayksikössä Δt molekyyli liikkuu matkan c rel Δt ja törmää ''törmäysputken'' alueella oleviin molekyyleihin. Törmäysten lukumäärä = molekyylien lukumäärä ( ) eli σ c rel Δt N /V törmäystaajuus z = σ c rel ( N /V ) = σ c rel p kt Keskimääräinen vapaa matka törmäysten välillä: λ = c rel / z = kt σ p 7

8 Kun tarkastellaan molekyylien törmäyksiä pintoja kohden, käytetään törmäysvuon käsitelä v x Δt Vuo(flux) = nopeus jolla tarkasteltava suure kulkee Eetyn pinta- alan läpi aikayksikössä, jaeluna pinta- alalla ja aikayksiköllä A Molekyyli joka sijaitsee etäisyyden v x Δt sisällä törmää seinään A ajassa Δt Törmäysten kokonaismäärä aikayksikössä: Av x Δt ( N /V)) Määrittelemme törmäysvuon: Z W = v x (N /V) = törmäysten lukumäärä pinta-ala ja aikayksikköä kohden Kun huomioimme molekyylivauheen jakauman f(v x ): ( ) v x Z W = N /V f (v x )dv x = N /V 0 ( ) # kt & % ( $ 2πm ' 1/2 = 1 4 c(n /V) (N /V) = (nn A /V) = p / kt p Z W = ( 2πmkT ) 1/2 8

9 A 0 Kaasun effuusionopeus pienen reiän läpi: Z W A 0 = pa 0 ( 2πmkT ) = pa 0 N A 1/2 (2π MRT ) 1/2 Effuusionopeuden avulla voidaan määrilää heikose höyrystyvän aineen höyrynpaine (Knudsenin menetelmä) Kuljetussuureita (transport properees) ovat lämmönjohtuminen, diffuusio ja viskositee5 Kuljetussuureille on ominaista, elä poikkeama tasapainoelasta aiheulaa ominaisuuden kulkeutumisen niin, elä kemiallinen poteneaali minimoituu Lämmönjohtokyky - energiaa kulkeutuu Diffuusio - massaa (ainela) kulkeutuu Viskositee5 - liikemäärää kulkeutuu Kinee5sen kaasuteorian avulla voidaan kuvata kuljetusilmiöitä ideaalikaasuissa 9

10 Kuljetussuureille on yhteistä, elä termodynaaminen pakote aiheulaa vasteen, eli kulkeutuvan suureen vuon (J). Pakote on gradien5 kulkeutumiseen liilyvän suureen jakautumisessa Diffuusion aiheulaa gradien5 konsentraaeossa: J(aine) = D dn dz vaste pakote D = diffuusiokerroin (m 2 s - 1 ) 10

Lämmön johtumisessa pakote on lämpöelagradien5: J(energia) = κ dt dz Viskositee5 aiheutuu siitä, elä nestevirtauksessa (laminaarinen virtaus) nestekerrosten liikemäärä ei ole vakio vaan lähellä

11 Lämmön johtumisessa pakote on lämpöelagradien5: J(energia) = κ dt dz Viskositee5 aiheutuu siitä, elä nestevirtauksessa (laminaarinen virtaus) nestekerrosten liikemäärä ei ole vakio vaan lähellä seinämää virtaus on hitaampaa. Termodynaaminen pakote on gradien5 X- suuntaisessa liikemäärässä ja vaste liikemäärän kuljetus kerrosten välillä J(liikemäärä(x)) = η dv x dz η = viskositee5kerroin (viskositee5) kgm 1 s 1 tai 10 1 kgm 1 s 1 = 1 P (poise) 11

12 Ideaalikaasujen kuljetuskertoimille voidaan johtaa lausekkeet kinee5sen kaasuteorian pohjalta: D = 1 3 λc λ pienenee paineen kasvaessa (törmäykset lisääntyvät) keskinopeus kasvaa lämpöelan kasvaessa λ on suurempi pienille molekyyleille (pienempi törmäyshalkaisija) κ = 1 3 λcc V,m [ A ] Kaasun kyky kuljelaa energiaa kasvaa paineen kasvaessa, toisaalta λ pienee paineen kasvaessa κ riippuu paineesta vain kun paine on pieni (tällöin λ:aa rajoittaa astian koko, ei törmäykset muihin molekyyleihin) Aineet joilla on suuri lämpökapasitee5 kuljetavat energiaa par- haiten η = 1 Mλc A 3 [ ] λ 1/ p ja [ A] p kaasun viskositeetti riippumaton paineesta c T 1/2 kaasun viskositeetti kasvaa lämpötilan kasvaessa.nesteille tilanne on päinvastainen 12

Ionien liikkuminen nesteessä + Δφ - l SähkökenLä: E = Δφ l Ioniin kohdistuva sähköinen voima: F = zee = zeδφ l Voima aiheulaa ionille kiihtyvyyden kohe elektrodia Liuo5men viskositee5 aiheulaa

13 Ionien liikkuminen nesteessä + Δφ - l SähkökenLä: E = Δφ l Ioniin kohdistuva sähköinen voima: F = zee = zeδφ l Voima aiheulaa ionille kiihtyvyyden kohe elektrodia Liuo5men viskositee5 aiheulaa kitkavoiman, joka hidastaa kiihtyvyylä (vrt. ilmanvastus) F fric = fs f = 6πηa missä η = viskositeetti ja a = ionin säde Pian voimat kompensoivat toisensa ja ioni liikkuu vakionopeudella s (ajautumisnopeus) F = F fric s= zee f Määritellään ionin liikkuvuus: u = ze f s = ue = ze 6πηa 13

14 Ionin liikkuvuudella on suora yhteys ionin sähkönjohtokykyyn: λ ± = zu ± F (F = N A e = Faradayn vakio) ElektrolyyEn sähkönjohtokyky koostuu anionin ja kaeonin osuuksista: Λ m = (z + u + ν + + z u ν ) (äärettömässä laimennuksessa) 14

15 Diffuusio aiheutuu kemialliseen poteneaaliin liilyvästä termodynaamisesta voimasta x x+dx µ µ + dµ x " dw = dµ = µ % $ ' # x & p,t dx Vakiopaineessa ja lämpöelassa maksimaalinen ei- Elavuudenmuutos työ Työ = vastustava voima x matka dw = Fdx # Termodynaaminen voima voidaan määritellä: F = µ & % ( $ x ' Liuenneen aineen kemiallinen poteneaali riippuu akeivisuudesta: p,t EfekEivinen voima moolia kohe. $ µ = µ + RT ln a F = RT ln a ' & ) % x ( # F = RT lnc & % ( $ x ' p,t = RT c # c & % ( $ x ' p,t p,t Ideaalinen liuos Voima aiheutuu siitä, elä konsentraa- Eo ei ole vakio vaan riippuu paikasta 15

MääriLelimme diffuusiosta aiheutuvan vuon: J = D dx dc = sc s = D c dc dx = DF RT Ioneille liuoksissa Eedämme, elä s = ue ja sähköinen voima F = N A eze = zfe ue = DzFE RT D = urt zf Einsteinin

16 MääriLelimme diffuusiosta aiheutuvan vuon: J = D dx dc = sc s = D c dc dx = DF RT Ioneille liuoksissa Eedämme, elä s = ue ja sähköinen voima F = N A eze = zfe ue = DzFE RT D = urt zf Einsteinin yhtälö diffuusiokertoimelle Yhditämällä tähän Eeto, elä ioinin liikkuvuula vastustava kitkavoima aiheutuu liuo5men viskositeeesta: u = ze 6πηa D = zert 6πηazF = kt 6πηa Stokesin ja Einsteinin yhtälö F = N A e R = N A k 16

17 Diffuusiokertoimen avulla voidaan mm. laskea keskimääräinen diffuusioetäisyys ja neliöllinen keskietäisyys:! x = 2 Dt $ # & " π % 1/2 x 2 1/2 = ( 2Dt) 1/2 Diffuusio on hyvin hidas prosessi! D = 5x10 10 m 2 s 1 17

Samankaltaiset tiedostot

KULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta