Luku 24. Molekyylien liike
|
|
- Iivari Ahola
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Luku 24. Molekyylien liike 1. Molekyylien liike kaasuissa -kineettinen kaasuteoria -törmäykset astian seinämiin ja pintoihin -kaasun effuusio pienestä reiästä -ideaalikaasun kuljetusominaisuudet 2. Molekyylien liike nesteissä -elektrolyyttiliuosten sähkönjohtavuus -ionien liikkuvuus -ion-ioni vuorovaikutukset 3. Diffuusio -termodynaaminen voima - diffuusioyhtälö - diffuusiotodennäköisyydet
2 Kineettinen kaasuteoria perustuu seuraaviin oletuksiin: 1. Kaasu koostuu molekyyleistä (massa m), jotka liikkuvat satunnaisesti 2. Molekyylit ovat pistemäisiä, ts. niiden koko on hyvin paljon pienempi kuin niiden kulkema vapaa matka törmäysten välillä 3. Molekyylit vuorovaikuttavat vain törmäyksessä. Törmäykset ovat elastisia Elastisessa törmäyksessä translaatioliikkeeseen liittyvä kineettinen energia säilyy x-suuntaisen liikemäärän muutos törmäyksessä seinään on "mv x " mv x = 2mv x
3 Tarkastellaan laatikkoa, jossa n mol molekyylejä tilavuudessa V Törmäyksessä seinään A, molekyylin x-suuntaisen liikemäärän muutos = 2mv x Tarkastellaan aikaa Δt, jolloin molekyylit, jotka sijaitsevat tilavuudessa v x ΔtA ehtivät osua seinämään. Keskimäärin puolet näistä molekyyleistä liikkuu vastakkaiseen suuntaan. Muilla molekyyleillä ei ole riittävää x-suuntaista nopeutta (eivät ennätä seinälle ajassa Δt). Molekyylien kappaletiheys = nn A /V, jolloin tilavuudessa v x ΔtA on nn A V v "ta liikemäärämuutos = nn Av "t A x x 2V 2mv 2 = nmav 2 "t x x V molekyylien lukumäärä puolet molekyyleistä...
4 Voima, jolla molekyylit törmäävät seinään saadaan Newtonin mukaan: F = "(mv) "t F = nmav 2 x V Paine = voima/pinta-ala p = nmv 2 x V Kaikilla seinään törmäävillä molekyyleillä ei ole sama nopeus, joten käytämme keskimääräistä nopeuden neliötä <v x2 >: p = nm v 2 x V Molekyyleillä on nopeuskomponentti x,y ja z suunnissa, joten määrittelemme neliöllisen keskinopeuden c = ( v x + v y + v ) 1/ 2 2 z = 3 v x ( ) 1/ 2 v x 2 = 1 3 c 2
5 Voimme kirjoittaa lopputuloksen: pv = 1 3 nmc 2 vrt. ideaalikaasun tilanyhtälö kirjoittamalla yhtäsuuruus: pv = 1 3 nmc 2 = nrt saadaan neliölliselle keskinopeudelle lauseke: " c = 3RT % $ ' # M & 1/ 2 Todellisessa kaasunäytteessä molekyylit törmäilevät ja niiden nopeus muuttuu täten jatkuvasti Nopeuksien kuvaamiseen tarvitaan nopeusjakauma f(v) f(v)dv ilmaisee niiden molekyylien osuuden kaikista molekyyleistä, joiden nopeus on välillä v ja v + dv
6 Lähdetään liikkeelle Boltzmannin jakaumasta, jonka mukaan niiden molekyylien osuus kaikista, joilla on nopeuskomponentit v x, v y, v z on eksponentiaalisesti verrannollinen (translaatio)kineettiseen energiaan E = 1 mv 2 2 x + 1 mv 2 2 y + 1 mv 2 2 z Jakauma voidaan nyt muodostaa: f = Ke "E / kt = Ke "( 1 2 mv x mv y mv z 2 ) = Ke "mv x 2 / 2kT e "mv y 2 / 2kT e "mv z 2 / 2kT K on vakio ja fdv x dv y dv z ilmaiseen niiden molekyylien suhteellisen määrän, joiden nopeuskomponentit ovat välillä v x + dv x, v y + dv y, v z + dv z Nopeudet eri suuntiin voidaan tulkita toisistaan riippumattomiksi f = f (v x ) f (v y ) f (v z ) f (v x ) = K 1/ 3 e "mv x 2 / 2kT
7 Normitusvakio K saadaan ratkaistua määrittelemällä ehto: # $ f (v x )dv x =1 ts. kaikilla molekyyleillä on v x välillä - ja + "# * 1 = K 1/ 3 e "mv x 2 / $ 2#kT ' + 2kT dv x = K 1/ 3 & ) % m ( "* K = ( m /2"kT) 3 / 2 = ( M /2"RT) 3 / 2 nopeuden x-komponenttia kuvaa täten jakauma: # M & f (v x ) = % ( $ 2"RT ' 1/ 2 e )Mv x 2 / 2RT 1/ 2 todennäköisyys, että molekyylillä on nopeus välillä v x + dv x, v y + dv y, v z + dv z 3 / 2 # M & f (v x ) f (v y ) f (v z )dv x dv y dv z = % ( e )Mv 2 / 2RT dv $ 2"RT ' x dv y dv z
8 dv x dv y dv z on itse asissa tilavuuselementti 4πv 2 dv pallossa (pallon kuoren tilavuus), jonka akselit ovat v x, v y, v x Voimme nyt kirjoittaa Maxwellin jakauman molekyylien vauhdille: 3 / 2 # M & f (v) = 4" % ( v 2 e )Mv 2 / 2RT $ 2"RT '
9 jakauman avulla voidaan laskea kaikki nopeudesta riippuvat suureet molekyylijoukolle esim. niiden molek. määrä, joiden nopeus on välillä v 1 ja v 2 saadaan integroimalla: v 2 " v 1 f (v)dv
10 Esim. laske N 2 molekyylin keskinopeus lämpötilassa 25 C. * # M & c = + vf (v)dv = 4" % ( $ 2"RT ' 3 / 2 * + v 3 e )Mv 2 / 2RT # taulukosta (Atkins) $ x 3 e "ax 2 dx = 1 2a 2 # M & c = 4" % ( $ 2"RT ' 3 / 2 1# % 2$ 2RT M & ( ' 2 # = 8RT & % ( $ "M ' 1/ 2 sijoittamalla tarvittavat parametrit saadaan keskinopeudeksi 475 m s -1
11 Nopeusjakaumasta johdettuja suureita c* = todennäköisin nopeus c = keskinopeus c rel = suhteellinen nopeus
12 Kahden molekyylin suhteellisia nopeuksia eri orientaatioissa: keskimääräinen orientaatio
13 Yksinkertainen malli molekyylien törmäyksistä d d törmäys kun etäisyys =1/2 d + 1/2 d = d (törmäyshalkaisija) Kuvitellaan tilanne, jossa molekyylijoukossa vain yksi molekyyli liikkuu: Tämän molekyylin rata (ajassa Δt )muodostaa kuvitteellisen törmäyssylinterin, jonka: pituus = c rel "t poikkipinta-ala = πd 2 = σ (törmäyspoikkipinta-ala) liikkuva molekyyli törmää kaikkiin muihin molekyyleihin, jotka sijaitsevat tässä sylinterissä
14 Molekyylien kappaletiheys määrää sen miten monta molekyyliä tähän kuvitteelliseen törmäyssylinteriin keskimäärin sijoittuu: Kappaletiheys: N = N /V Törmäysten lukumäärä = kappaletiheys x sylinterin tilavuus = N"c rel #t = N V "c rel #t Törmäystaajuus on täten: z = "c rel N Törmäystaajuudella ja kaasun paineella on yhteys toisiinsa. Ideaalikaasulle: N V = nn A V törmäysmallista: = pn A RT = p kt N V = z "c rel z = "c rel p kt riippuu lineaarisesti paineesta
15 Törmäyspoikkipinta-aloja σ/nm 2 : Bentseeni.88 Hiilidioksidi.52 Helium.21 Typpi (N 2 ).43 Keskimääräinen vapaa matka λ on suure, joka ilmaisee sen matkan minkä molekyylit keskimäärin kulkevat törmäysten välillä: Jos törmäystaajuus = z, niin 1/z on se aika, joka molekyyleillä keskimäärin on törmäysten välissä " = c rel z = kt 2 1/ 2 #p
16 Palataan takaisin tarkastelemaan molekyylien törmäyksiä kuvitteelliseen seinämään A Totesimme, että molekyylit jotka sijaitsevat etäisyyden v x Δt päässä seinästä, ehtivät törmätä seinään Olemme myöhemmin oppineet, että molekyylivauhti ei ole vakio vaan sitä kuvaa jakauma f(v x ) törmäysten lukumäärä seinään = NA"t v x f (v x )dx Määrittelemme törmäysvuon: Z W = N v x f (v x )dx Maxwellin jakauma antaa integraalin arvoksi: " # # $ törmäysten lukumäärä/ pinta-ala aika * + # m & v x f (v x )dx = % ( $ 2"kT ' 1/ 2 * v x e )mv x 2 / # + 2kT dv x = kt & % ( $ 2"m' 1/ 2
17 # Saamme siis törmäysvuolle: Z W = N kt & % ( $ 2"m' 1/ 2 Johdimme lausekkeen keskinopeudelle: # c = 8kT & % ( $ "m ' 1/ 2 Z W = 1 4 c N Törmäysvuo saadaan liitetty paineeseen kun merkitään: N = nn A /V = p /kt Z W = p ( 2"mkT) 1/ 2 tyypillisille arvoilla: p = 1 kpa, T= 3 K, N 2 molekyyli: Z W = 3 x 1 23 cm -2 s -1
18 Törmäysvuon lauseketta voidaan soveltaa esim. kun arvioidaan kaasun effuusionopeutta tyhjiöön kaasusylinteri (effuusiokammio), jossa paine p pieni reikä (pinta-ala A ) Effuusionopeus riippuu törmäysten taajuudesta reikään effuusionopeus = Z W A = pa ( 2"mkT) 1/ 2 Effuusionopeuden avulla voidaan määrittää huonosti höyrystyvien aineiden höyrynpaineet
19 Tarkastellaan paineen alenemaa effuusiokammiossa effuusion aikana olettamalla kaasu ideaaliseksi, ts. pv = NkT koska p N, voidaan paineen muutos yhdistää molek. lukumäärän muutokseen kun kaasua effundoituu ulos kammiosta: dp dt = kt V dn dt dn/dt on effuusionopeus reiästä, joten voimme kirjoittaa: dn dt = "Z A = " pa W 2#mkT ( ) 1/ 2 dp dt = " $ kt ' & ) % 2#m( 1/ 2 pa V dp p = " $ kt ' & ) % 2#m( 1/ 2 A p " V dt p dp p = # % kt ( ' * & 2$m) 1/ 2 t A V " dt p = p e "t /# " = & 2#m $ % kt ' ) ( 1/ 2 V A
20 Esimerkki. Cesiumin höyrynpainetta (kiehumispiste 686 C) tutkittiin effuusion avulla, jolloin kammio lämmitettiin lämpötilaan 5 C. Effuusioreiän halkaisija oli.5 mm. Ajan 1 s kuluttua havaittiin kammiossa olevan cesiumin massan pienentyneen 385 mg. Mikä on cesiumin höyrynpaine lämpötilassa 5 C? Massan muutos liittyy suoraan törmäysvuohon: "m = Z W A m"t Z W = "m A m"t = p ( 2#MRT) 1/ 2 # p = 2"RT & % ( $ M ' 1/ 2 )m A )t sijoittamalla arvot saadaan höyrynpaineeksi p = 11 kpa = 83 Torr
21 Kuljetusominaisuudet (transport properties) Yhteistä: Vaste (responssi) = - kuljetuskerroin x pakote A Vuo (flux) = J = suureenvirtaus A [ ][ aika] J(massa) = "D dn dz J(energia) = "# dt dz konsentraatiogradientti lämpötilagradientti J(liikem.x " komp) = "# dv x dz nopeusgradientti D = diffuusiokerroin; κ = lämmönjohtavuuskerroin; η = viskositeettikerroin
22 massavuo konsentraatiogradientissa, ts. molekyylit siirtyvät kohti harvempaa ainetta x-suuntaisen liikemäärän siirtyminen laminaarisessa eli newtoniaalisessa virtauksessa
23 Ideaalikaasun kuljetusominaisuudet: Diffuusio = massan kuljetus D = 1 3 "c ; m 2 s -1 Lämmön johtuminen = energian kuljetus Viskositeetti = liikemäärän kuljetus " = 1 #c C A 3 V,m[ ] = " = 1 3 #c mn = mc (3 2)$ c C V,m (3 2)$N A ; kg m -1 s -1 ; J K -1 m -1 s -1
24 Tarkastellaan diffuusiota kuvan mukaisessa laatikossa, jossa on konsentraatiogradientti. Tarkastelun kohteena on molekyylien siirtyminen kohti matalampaa tiheyttä etäisyydeltä - λ kuvitteellisen tason () läpi etäisyydelle λ. Tarvitsemme molek. kappaletiheydet N(- λ ), N(), N(λ )
25 N Mikäli tarkastelupisteet -λ,, λ lähekkäin, voimme aproksimoida kaarevaa konsentraatioprofiilia lineaarisesti. Oletamme, että λ vastaa yhtä vapaata matkaa N(- λ) tan" = y N (%#) % N!" $ # # &, N (%#) = %#( dn ' dz ) + * & = %( dn ' dz + N () ) + * y α λ N() N(λ) vastaavasti # N (") = "% dn $ dz & ( ' + N () -λ λ z
26 Keskimääräinen törmäysten lukumäärä kuvitteelliseen tasoon A ajassa Δt voidaan laskea törmäysvuon avulla: Z W = 1 4 Nc Voimme nyt kirjoittaa molekyylivuot vasemmalta oikealle J(L R) ja oikealta vasemmalle J(R L): J(L " R) = 1 A 4 N (#$)c%t A %t J(L " R) = 1 A 4 N (#)c $t A $t = 1 4 N (#$)c = 1 4 N (#)c Nettovuo 2 J z = J(L " R) # J(L $ R) = 1 c 4, N () # % & dn 4 3. ( ' dz = # 1 c % & dn 2 ( ' dz ) + * (positiivinen) ) + * / 1 1 #, N () + % &. ( dn -. ' dz ) + * /
27 Jos otetaan huomioon, että molekyylit eivät liiku kohtisuoraan kuvitteellista tasoa A kohti: J z = " 1 c # $ dn 3 & % dz ' ) ( Fickin 1. diffuusiolaki D = 1 3 "c diffuusiokerroin
28 Lämmönjohtuminen tarkoittaa energian kuljettamista lämpötilagradientissa Molekyylin keskimääräinen terminen energia lämpötilassa T: " = #kt kerroin ν (~ 1) riippuu molekyylistä. Monoatomiselle kaasulle ν=3/2 Koska nyt molekyylien kappaletiheys on vakio tarkastelemme suuretta Nε eri paikoissa (-λ,, λ):
29 T y Nε(- λ) α λ N ε() N ε(λ) lämpötila pisteessä -λ, & "(#$) = %k T() # $ dt ) - ( +. ' dz *, & "($) = %k T() + $ dt ) - ( +. ' dz * Vastaavat energiavuot: / 1 lämpötila pisteessä λ / 1 -λ λ z J(L " R) = 1 4 c N#($%) J(L & R) = $ 1 4 c N#(%) Kokonaisenergiavuo voidaan lausua summana: J z = J( L " R) + J( L # R) = $ 1 2 ' dt * %k&c N ), ( dz +
30 Jos otamme taas huomioon, että molekyylit eivät välttämättä liiku suoraviivaisesti kohti kuvitteellista tasoa (vrt. diffuusio): J z = " 1 #k$c N % 3 ' & dt dz ( * ) Määrittelemme lämmönjohtuvuuskertoimen: " = 1 3 #k$c N Ideaalikaasun lämpökapasiteetti: C V,m = "kn A N = N /V = nn A /V = N A [ A] " = 1 #c C 3 V,m[ A]
31 Tarkastellaan viimeisenä kuljetussuureena kaasun viskositeettia laminaarisessa eli Newtoniaalisessa virtatuksessa mv x jos molek. siirtyy virauskerroksesta toiseen (z-suunnassa) siirtää se liikemääränsä (x-suuntaisen) tähän kerrokseen. z
32 mv x Newtoniaalisessa viratuksessa liikemäärä muuttuu lineaarisesti seinämältä poispäin, ts. liikemäärän gradientti on vakio # mv x (") = mv x () + m" dv & x % ( $ dz ' # mv x ()") = mv x () ) m" dv & x % ( $ dz ' -λ λ z x-suuntaisen liikemäärän nettovuo z-suunnassa: J z = 1 Nc ) mv () + m" # dv &, ) # x 4 + x % (. / mv * $ dz ' x () / m" dv &, 3 x 1 + % ( * $ dz '- 5 = + 1 Nm"c # dv & x 2 % ( $ dz '
33 Jos otamme huomioon, että N = N /V = nn A /V = N A [ A] N A m = M ja että molekyylien radat eivät välttämättä ole kohtisuorassa kuvitteellista tasoa kohtaan J z = 1 3 M"c A # [ ] dv x % $ dz Määrittelemme viskositeettikertoimen: & ( ' " = 1 M#c A 3 [ ] " # 1 p [ A] # p viskositeetti on paineesta riippumaton " #T c #T 1/ 2 " #T 3 / 2
34 Molekyylien liikkumista nesteissä voidaan helpoimmin ymmärtää tarkastelemalla elektrolyyttiliuosten sähkönjohtavuutta Sähkönjohtavuutta kuvaava suure on konduktanssi eli johtavuus G = "A l yksikkö Ω -1 = S (Siemens) A l κ = johtokyky (S m -1 ) + - Elektrolyyttiliuoksille ilmoitetaan yleensä molaarinen johtokyky: " m = # c Vahvalle elektrolyytille Λ m riippuu vain vähän konsentraatiosta Heikolle elektrolyytille Λ m riippuu voimakkaasti konsentraatiosta
35 " m " m vahva elektrolyytti heikko elektrolyytti
36 Vahva elektrolyytti on täysin ionisoituneena liuoksessa. Molaariselle johtokyvylle pätee ns. Kohlrauschin laki: " m = " m # Kc 1/ 2 " m = molaarinen rajajohtokyky (c ) " m voidaan jakaa ionien vapaan kulun lain mukaan lausua kationin ja anionin molaaristen rajajohtokykyjen avulla: " m = # + $ + + # % $ % " ± = ionin stoikiometrinen kerroin elektrolyytissä λ/ms m 2 mol -1 H OH Na Cl K Br Zn SO
37 Heikko elektrolyytti on vain osittain ionisoitunut, joten ionisoitumistasapaino (tai protolyysitasapaino jos kyseessä happo) on huomioitava: HA(aq) + H 2 O(l) H 3 O + (aq) + A - (aq) K a = a H 3 O + a A " a HA [ H 3 O + ] = "c [ A # ] = "c [ HA] = (1#")c K a = " 2 c 1#" " = K a 2c *, # 1+ 4c & + % ( -, $ K a ' 1/ 2., )1/, Heikko elektrolyytti on täysin ionisoituneena vain kun c Molaarinen rajajohtokyky riippuu ionisaatioasteesta α: " m = #" m
38 Palataan takaisin tasapainolausekkeeseen: K a = " 2 c 1#" " 2 c + "K a = K a "("c + K a ) = K a 1 "c =1+ " K a Sijoittamalla yhtäsuuruus: " = # m # m Voimme kirjoittaa Ostwaldin laimennuslain: 1 = 1 + " m " m " m c K a (" m ) 2
39 Tarkastellaan ionien liikkuvuutta sähkökentässä E l Jos elektrodien välille kytketään potentiaaliero Δφ syntyy sähkökenttä - + E = "# l + - potentiaaliero Δφ sähkökenttä aiheuttaa voiman ioneihin: F = zee = ze"# l Voima aiheuttaa ioneille kiihtyvyyden Vastustava voima aiheutuu mikroskooppisesta kitkasta : F fric = fs f = 6πηa = kitkakerroin ; s = ajautumisnopeus
40 Ajautumisnopeus on se nopeus joka saavutetaan kun ioniin vaikuttava nettovoima = F = F fric s = zee f = ze 6"#a E määrittelemme ionin liikkuvuuden (mobility): u = ze 6"#a u/1-8 m 2 s -1 V -1 S H OH Na Cl K Br Zn SO
41 Ionin molaarinen johtokyky riippuu liikkuvuudesta: " = zuf F = Faradayn vakio eli se varaus, joka on moolilla elektroneja Elektrolyytin molaarinen rajajohtokyky voidaan nyt kirjoittaa: " m = ( z + u + # + + z $ u $ # $ )F Kuljetusluku määrittelee minkä osan kokonaissähkövirrasta kukin ioni kuljettaa: t ± = I ± I ( t + + t " =1) Rajakuljetusluku (c ) voidaan lausua liikkuvuuksien avulla: t ± = z ± " ± u ± z + " + u + + z # " # u # elektrolyytin kokonaisvaraus = ts. z + v + = z " # " t ± = u ± u + + u "
42 Totesimme, että " = zuf u = " zu voimme nyt kirjoittaa ionin rajakuljetusluvun molaarisen johtokyvyn avulla: " t ± = ± # ± = " ±# ± " + # + + " $ # $ % m
43 Diffuusio dµ Termodynaaminen syy sille, että ainetta siirtyy paikasta toiseen: Kemiallinen potentiaali riippuu kemiallisesta ympäristöstä aine kulkeutuu kohti matalampaa kemiallista potentiaalia µ Kemiallisen potentiaalin muutos kun aine liikkuu matkan dx: # dµ = "µ & % ( dx $ "x ' p,t dx x määrittelimme, että dµ on maksimaalinen ei-tilavuudenmuutostyö # dw = dµ = "µ & % ( dx $ "x ' p,t työ = -voima x matka: $ termodynaaminen voima: F = " #µ ' & ) %#x ( p,t
44 Liuenneen aineen kemiallinen potentiaali: µ = µ + RT ln a Jos aktiivisuus riippuu paikasta termodynaaminen voima $ F = "RT # lna ' & ) % #x ( p,t = " RT a $ #a' & ) %#x ( p,t Ideaaliselle liuokselle: F = " RT c $ #c' & ) %#x( p,t Määrittelimme diffuusioon liittyvän massavuon J: J = "D dc dx = sc A s = ajautumisnopeus
45 Ajautumisnopeus s voidaan lausua: Jos tunnetaan voima ja D s s = J c = " D c dc dx = DF RT Jos elektrolyyttiliuokseen asetetaan elektrodit joiden välillä on sähköinen potentiaaliero niin voima aiheutuu sähkökentästä: F = eze F = zfe (voima yhtä ionia kohti) ( voima mooli kohti) ionin ajautumisnopeus sähkökentässä E riippuu liikkuvuudesta s = ue = zfed RT Einsteinin määritelmä ionin diffuusiokertoimelle: D = urt zf u = zfd RT
46 Nyt olemme valmiita yhdistämään elektrolyytin sähkönjohtokyvyn ionien diffuusioon liuoksessa: " ± = zu ± F = z2 DF 2 RT Elektrolyytin molaarinen rajajohtokyky jaettiin kationista ja anionista aiheutuviin osiin: " m = # + $ + + # % $ % " m = (# + z 2 + D + + # $ z 2 $ D $ ) F 2 RT Nernstin ja Einsteinin yhtälö D/ 1-9 m 2 s -1 H + vedessä 9.31 I 2 heksaanissa 4.5 Na + vedessä 1.33 sukroosi vedessä.522
47 Tarkastellaan massavuota kuvan mukaisessa tilanteessa Kuvitellaan laatikon sisälle kotelo x, x + l Kotelon tilavuus A x l Merkitään vuo kotelon sisään = J(x) vuo ulos kotelosta = -J(x+l) c Konsentraation kasvu kotelossa: "c "t = JAdt Aldt = J l Molekyylien poistuminen toisesta päästä: "c' "t x = # J' Adt Aldt x + l = # J' l
48 nettomuutos kotelossa: "c tot "t = J # J' l Diffuusiossa pakotteena on konsentraatiogradientti, joka muuttuu kotelossa etäisyyden funktiona: " 2 c "x 2 "c "x x x + l Jos tunnetaan konsentraatiogradientti pisteessä x (merkitään sitä "c ) "x Voidaan gradientti ennustaa pisteessä x + l: #"c & % ( $ "x ' x= x +l = "c "x + l # " 2 c & % ( $ "x 2 ' Nyt voimme kirjoittaa vuot: J = "D #c #x J'= "D # $ & #x c + dc % #x l ' ) ( J " J'= Dl # 2 c "c 2 #x 2 "t = D" c "x 2 Diffuusioyhtälö
49 Diffuusioyhtälön mukaan konsentraation muutosnopeus riippuu konsentraation etäisyysriippuvuuden toisesta derivaatasta "c 2 "t = D" c "x 2 Atkins: There is a natural tendency for the wrinkles in a distribution to disappear Tiettyjä reunaehtoja noudattaen diffuusioyhtälö voidaan ratkaista: c(x,t) = n 2 / 4 Dt e#x 1/ 2 A("Dt)
Luku 20 Molekyylien liike
Luku 20 Molekyylien liike (Ideaali)kaasujen kinee5nen teoria Lähtökohdat: 1. Kaasu koostuu molekyyleistä (massa m) joiden liike on satunnaista 2. Molekyylit ovat kooltaan pistemäisiä, ts. molekyylien halkaisija
LisätiedotKULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Touko Herranen Luento 2: kineettistä kaasuteoriaa Pe 24.2.2017 1 Aiheet tänään 1. Maxwellin ja Boltzmannin
Lisätiedotkertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma
infoa kertausta Boltzmannin jakauma Huomenna itsenäisyyspäivänä laitos on kiinni, ei luentoa, ei laskareita. Torstaina laboratoriossa assistentit neuvovat myös laskareissa. Ensi viikolla tiistaina vielä
LisätiedotIdeaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua
Ideaalikaasulaki Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua ja tilanmuuttujat (yhä) paine, tilavuus ja lämpötila Isobaari, kun paine on vakio Kaksi
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 2: Kaasujen kineettistä teoriaa Pe 26.2.2016 1 AIHEET 1. Maxwellin-Boltzmannin
LisätiedotKäyttämällä annettua kokoonpuristuvuuden määritelmää V V. = κv P P = P 0 = P. (b) Lämpölaajenemisesta johtuva säiliön tilavuuden muutos on
766328A ermofysiikka Harjoitus no. 3, ratkaisut (syyslukukausi 201) 1. (a) ilavuus V (, P ) riippuu lämpötilasta ja paineesta P. Sen differentiaali on ( ) ( ) V V dv (, P ) dp + d. P Käyttämällä annettua
Lisätiedotvetyteknologia Polttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-54020 Risto Mikkonen
DEE-5400 olttokennot ja vetyteknologia olttokennon tyhjäkäyntijännite 1 DEE-5400 Risto Mikkonen 1.1.014 g:n määrittäminen olttokennon toiminta perustuu Gibbsin vapaan energian muutokseen. ( G = TS) Ideaalitapauksessa
LisätiedotKAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille]
KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] A) p 1, V 1, T 1 ovat paine tilavuus ja lämpötila tilassa 1 p 2, V 2, T 2 ovat paine tilavuus ja
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotLämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi.
Lämpöoppi Termodynaaminen systeemi Tilanmuuttujat (suureet) Lämpötila T (K) Absoluuttinen asteikko eli Kelvinasteikko! Paine p (Pa, bar) Tilavuus V (l, m 3, ) Ainemäärä n (mol) Eristetty systeemi Ei ole
LisätiedotT F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15
Lisätiedot= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan
LisätiedotTermodynamiikka. Termodynamiikka on outo teoria. Siihen kuuluvat keskeisinä: Systeemit Tilanmuuttujat Tilanyhtälöt. ...jotka ovat kaikki abstraktioita
Termodynamiikka Termodynamiikka on outo teoria. Siihen kuuluvat keskeisinä: Systeemit Tilanmuuttujat Tilanyhtälöt...jotka ovat kaikki abstraktioita Miksi kukaan siis haluaisi oppia termodynamiikkaa? Koska
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotMonissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta
8 LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET Monissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta Tällöin dynamiikan peruslain F = ma käyttäminen ei ole helppoa tai edes mahdollista Newtonin
LisätiedotLuvun 8 laskuesimerkit
Luvun 8 laskuesimerkit Esimerkki 8.1 Heität pallon, jonka massa on 0.40 kg seinään. Pallo osuu seinään horisontaalisella nopeudella 30 m/s ja kimpoaa takaisin niin ikään horisontaalisesti nopeudella 20
Lisätiedot4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.
K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy
LisätiedotChapter 3. The Molecular Dance. Luento Terminen liike Kineettinen kaasuteoria Boltzmann-jakauma Satunnaiskävely
Chapter 3. The Molecular Dance 1 Luento 15.1.016 Terminen liike Kineettinen kaasuteoria Boltzmann-jakauma Satunnaiskävely Chapter 3. The Molecular Dance Solut: Korkeasti järjestyneitä systeemeitä Terminen
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
LisätiedotLuku 5: Diffuusio kiinteissä aineissa
Luku 5: Diffuusio kiinteissä aineissa Käsiteltävät aiheet... Mitä on diffuusio? Miksi sillä on tärkeä merkitys erilaisissa käsittelyissä? Miten diffuusionopeutta voidaan ennustaa? Miten diffuusio riippuu
Lisätiedotm h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0,
76638A Termofysiikka Harjoitus no. 9, ratkaisut syyslukukausi 014) 1. Vesimäärä, jonka massa m 00 g on ylikuumentunut mikroaaltouunissa lämpötilaan T 1 110 383,15 K paineessa P 1 atm 10135 Pa. Veden ominaislämpökapasiteetti
LisätiedotKuljetusilmiöt. Diffuusio Lämmönjohtuminen Viskoosin nesteen virtaus Produktio ja absorptio
Kuljetusilmiöt Diffuusio Lämmönjohtuminen Viskoosin nesteen virtaus Produktio ja absorptio Johdanto Kuljetusilmiöt on yhteinen nimitys prosesseille, joissa aineen molekyylien liike aiheuttaa energian,
LisätiedotTeddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011
Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 1. Systeemin käyttäytymistä faasirajalla kuvaa Clapeyronin yhtälönä tunnettu keskeinen relaatio dt = S m. (1 V m Koska faasitasapainossa reaktion Gibbsin
LisätiedotMaxwell-Boltzmannin jakauma
Maxwell-Boltzmannin jakauma Homogeenisessa tasapainotilassa redusoidut yksihiukkastodennäköisyydet f voivat olla vain nopeuden funktioita, f = f(v ), ja H-funktio ei toisaalta voi riippua ajasta, eli dh
Lisätiedot766328A Termofysiikka Harjoitus no. 10, ratkaisut (syyslukukausi 2014)
7668A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 4). Johdetaan yksiatomisen klassisen ideaalikaasun kemiallisen potentiaalin µ(t,, N) lauseke. (a) Luentojen yhtälön mukaan kemiallinen potentiaali
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
LisätiedotTässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen
KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen
Lisätiedot= 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6,
S-435, Fysiikka III (ES) entti 43 entti / välikoeuusinta I Välikokeen alue Neljän tunnistettavissa olevan hiukkasen mikrokanonisen joukon mahdolliset energiatasot ovat, ε, ε, 3ε, 4ε,, jotka kaikki ovat
Lisätiedoty 2 h 2), (a) Näytä, että virtauksessa olevan fluidialkion tilavuus ei muutu.
Tehtävä 1 Tarkastellaan paineen ajamaa Poisseuille-virtausta kahden yhdensuuntaisen levyn välissä Levyjen välinen etäisyys on 2h Nopeusjakauma raossa on tällöin u(y) = 1 dp ( y 2 h 2), missä y = 0 on raon
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotREAKTIOT JA ENERGIA, KE3. Kaasut
Kaasut REAKTIOT JA ENERGIA, KE3 Kaasu on yksi aineen olomuodosta. Kaasujen käyttäytymistä kokeellisesti tutkimalla on päädytty yksinkertaiseen malliin, ns. ideaalikaasuun. Määritelmä: Ideaalikaasu on yksinkertainen
Lisätiedot1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
LisätiedotP = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 2, ratkaisut (syyslukukausi 204). Kun sylinterissä oleva n moolia ideaalikaasua laajenee reversiibelissä prosessissa kolminkertaiseen tilavuuteen 3,lämpötilamuuttuuprosessinaikanasiten,ettäyhtälö
Lisätiedotvetyteknologia Polttokennon termodynamiikkaa 1 DEE Risto Mikkonen
DEE-5400 olttokennot ja vetyteknologia olttokennon termodynamiikkaa 1 DEE-5400 Risto Mikkonen ermodynamiikan ensimmäinen pääsääntö aseraja Ympäristö asetila Q W Suljettuun systeemiin tuotu lämpö + systeemiin
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
LisätiedotWien R-J /home/heikki/cele2008_2010/musta_kappale_approksimaatio Wed Mar 13 15:33:
1.2 T=12000 K 10 2 T=12000 K 1.0 Wien R-J 10 0 Wien R-J B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 0.8 0.6 0.4 B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 10-2 10-4 10-6 10-8 0.2 10-10 0.0 0 200 400 600 800 1000 nm 10-12 10 0 10 1 10 2
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
LisätiedotTermodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki
Termodynamiikka Fysiikka III 2007 Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Tilanyhtälö paine vakio tilavuus vakio Ideaalikaasun N p= kt pinta V Yleinen aineen p= f V T pinta (, ) Isotermit ja isobaarit Vakiolämpötilakäyrät
LisätiedotLuento 8. Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli. Sähkönjohtavuus Druden malli
Luento 8 Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli Sähkönjohtavuus Druden malli Klassiset C V -mallit Termodynamiikka kun Ei ennustetta arvosta! Klassinen
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä
Sähköstatiikka ja magnetismi Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto.5.13 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä
LisätiedotNesteen sisäinen kitka ja diffuusio
Nesteen sisäinen kitka ja diffuusio 1 Luento.1.016 (oppikirjan luku 4) Nesteen sisäinen kitka Satunnaiskävelyilmiöitä Diffuusio Diffuusio kalvon läpi Diffuusiotensorikuvaus: Magneettiresonanssi (MR) Hermoratojen
LisätiedotTarkastellaan tilannetta, jossa kappale B on levossa ennen törmäystä: v B1x = 0:
8.4 Elastiset törmäykset Liike-energia ja liikemäärä säilyvät elastisissa törmäyksissä Vain konservatiiviset voimat vaikuttavat 1D-tilanteessa kappaleiden A ja B törmäykselle: 1 2 m Av 2 A1x + 1 2 m Bv
Lisätiedotdl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl
Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
Lisätiedot1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
Lisätiedot= 1 kg J kg 1 1 kg 8, J mol 1 K 1 373,15 K kg mol 1 1 kg Pa
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 8, ratkaisut syyslukukausi 2014 1. 1 kg nestemäistä vettä muuttuu höyryksi lämpötilassa T 100 373,15 K ja paineessa P 1 atm 101325 Pa. Veden tiheys ρ 958 kg/m 3 ja moolimassa
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin
LisätiedotFysiikka 1. Coulombin laki ja sähkökenttä. Antti Haarto
ysiikka 1 Coulombin laki ja sähkökenttä Antti Haarto 7.1.1 Sähkövaraus Aine koostuu Varauksettomista neutroneista Positiivisista protoneista Negatiivisista elektroneista Elektronien siirtyessä voi syntyä
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotPuhtaan kaasun fysikaalista tilaa määrittävät seuraavat 4 ominaisuutta, jotka tilanyhtälö sitoo toisiinsa: Paine p
KEMA221 2009 KERTAUSTA IDEAALIKAASU JA REAALIKAASU ATKINS LUKU 1 1 IDEAALIKAASU Ideaalikaasu Koostuu pistemäisistä hiukkasista Ei vuorovaikutuksia hiukkasten välillä Hiukkasten liike satunnaista Hiukkasten
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 3 Kevät E 1 + c 2 m 2 = E (1) p 1 = P (2) E 2 1
763306A JOHDATUS SUHTLLISUUSTORIAAN Ratkaisut 3 Kevät 07. Fuusioreaktio. Lähdetään suoraan annetuista yhtälöistä nergia on suoraan yhtälön ) mukaan + m ) p P ) m + p 3) M + P 4) + m 5) Ratkaistaan seuraavaksi
LisätiedotFluidi virtaa vaakasuoran pinnan yli. Pinnan lähelle muodostuvan rajakerroksen nopeusjakaumaa voidaan approksimoida funktiolla
Tehtävä 1 Fluidi virtaa vaakasuoran pinnan yli. Pinnan lähelle muodostuvan rajakerroksen nopeusjakaumaa voidaan approksimoida funktiolla ( πy ) u(y) = U sin, kun 0 < y < δ. 2δ Tässä U on nopeus kaukana
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 23.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen kinetiikka: hitausmomentti ja liikeyhtälöt (Kirjan luvut 17.1, 17.2 ja 17.4) Osaamistavoitteet Ymmärtää hitausmomentin
LisätiedotIntegroimalla ja käyttämällä lopuksi tilanyhtälöä saadaan T ( ) ( ) H 5,0 10 J + 2,0 10 0,50 1,0 10 0,80 Pa m 70 kj
S-4.35 Fysiikka (ES) entti 3.8.. ääritä yhden haikaasumoolin (O) (a) sisäenergian, (b) entalian muutos tilanmuutoksessa alkutilasta =, bar, =,8 m3 loutilaan =, bar, =,5 m3. ärähtelyn vaausasteet voidaan
LisätiedotAstrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut
Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut 1 a Kaasuseoksen komponentin i vapaa energia voidaan kirjoittaa F i (N,T,V = ln Z i (T,V missä on ko hiukkasten lukumäärä tilavuudessa
LisätiedotCoulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q
Coulombin laki Kahden pistemäisen varatun hiukkasen välinen sähköinen voima F on suoraan verrannollinen varausten Q 1 ja Q 2 tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden r neliöön F = k Q 1Q 2 r 2, k =
LisätiedotFysiikan perusteet. Voimat ja kiihtyvyys. Antti Haarto
Fysiikan perusteet Voimat ja kiihtyvyys Antti Haarto.05.01 Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure
LisätiedotKitka ja Newtonin lakien sovellukset
Kitka ja Newtonin lakien sovellukset Haarto & Karhunen Tavallisimpia voimia: Painovoima G Normaalivoima, Tukivoima Jännitysvoimat Kitkavoimat Voimat yleisesti F f T ja s f k N Vapaakappalekuva Kuva, joka
Lisätiedot(a) Potentiaali ja virtafunktiot saadaan suoraan summaamalla lähteen ja pyörteen funktiot. Potentiaalifunktioksi
Tehtävä 1 Tornadon virtauskenttää voidaan approksimoida kaksiulotteisen nielun ja pyörteen summana Oleta, että nielun voimakkuus on m < ja pyörteen voimakkuus on > (a Määritä tornadon potentiaali- ja virtafunktiot
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 22.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Rotaatioliikkeen kinematiikka: kulmanopeus ja -kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.7, 16.3) Osaamistavoitteet Osata analysoida jäykän
LisätiedotLuku 13. Kertausta Hydrostaattinen paine Noste
Luku 13 Kertausta Hydrostaattinen paine Noste Uutta Jatkuvuusyhtälö Bernoullin laki Virtauksen mallintaminen Esitiedot Voiman ja energian käsitteet Liike-energia ja potentiaalienergia Itseopiskeluun jää
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 6: Vapaaenergia Pe 11.3.2016 1 AIHEET 1. Kemiallinen potentiaali 2. Maxwellin
Lisätiedotln2, missä ν = 1mol. ja lopuksi kaasun saama lämpömäärä I pääsäännön perusteella.
S-114.42, Fysiikka III (S 2. välikoe 4.11.2002 1. Yksi mooli yksiatomista ideaalikaasua on alussa lämpötilassa 0. Kaasu laajenee tilavuudesta 0 tilavuuteen 2 0 a isotermisesti, b isobaarisesti ja c adiabaattisesti.
Lisätiedot( ) ( ) on nimeltään molekyylisironnan mikroskooppinen vaikutusala). Sijoittamalla numeroarvot saadaan vapaaksi matkaksi
S-4.35, FYSIIKKA III, Syksy 00, LH, Loppuiikko 38 LH-* Laske happimolekyylin keskimääräinen apaa matka 300 K lämpötilassa ja,0 baarin paineessa. Voit olettaa, että molekyyli on pallon muotoinen ja pallon
LisätiedotMolaariset ominaislämpökapasiteetit
Molaariset ominaislämpökapasiteetit Yleensä, kun systeemiin tuodaan lämpöä, sen lämpötila nousee. (Ei kuitenkaan aina, kannattaa muistaa, että työllä voi olla osuutta asiaan.) Lämmön ja lämpötilan muutoksen
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotPHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op)
PHYS-A3121 Termodynamiikka (ENG1) (5 op) Sisältö: Nestevirtaukset Elastiset muodonmuutokset Kineettinen kaasuteoria Termodynamiikan käsitteet Termodynamiikan pääsäännöt Termodynaamiset prosessit Termodynaamiset
Lisätiedot8. Klassinen ideaalikaasu
Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 8. Klassinen ideaalikaasu 1 Fysikaalinen tilanne Muistetaan: kokeellisesti
Lisätiedot- Termodynamiikka kuvaa energian siirtoa ( dynamiikkaa ) systeemin sisällä tai systeemien kesken (vrt. klassinen dynamiikka: kappaleiden liike)
KEMA221 2009 TERMODYNAMIIKAN 1. PÄÄSÄÄNTÖ ATKINS LUKU 2 1 1. PERUSKÄSITTEITÄ - Termodynamiikka kuvaa energian siirtoa ( dynamiikkaa ) systeemin sisällä tai systeemien kesken (vrt. klassinen dynamiikka:
LisätiedotLuku 13. Kertausta Hydrostaattinen paine Noste
Luku 13 Kertausta Hydrostaattinen paine Noste Uutta Jatkuvuusyhtälö Bernoullin laki Virtauksen mallintaminen Esitiedot Voiman ja energian käsitteet Liike-energia ja potentiaalienergia Itseopiskeluun jää
LisätiedotBiofysiikka, Luento
Biofysiikka, Luento 4 3..017 1 Diffuusio eri geometrioissa ja sovelluksia Varattujen partikkelien diffuusio (elektrodiffuusio) Johdatus matalien Reynolds-lukujen maailmaan Aikariippuvat diffuusioprosessit
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotLuku Ohmin laki
Luku 9 Sähkövirrat Sähkövirta määriteltiin kappaleessa 7.2 ja huomattiin, että magneettikenttä syntyy sähkövirtojen vaikutuksesta. Tässä kappaleessa tarkastellaan muita sähkövirtaan liittyviä seikkoja
LisätiedotS , Fysiikka III (S) I välikoe Malliratkaisut
S-4.35, Fysiikka III (S) I välikoe 9.0.000 Malliratkaisut Tehtävä Kuution uotoisessa säiliössä, jonka särän pituus on 0,0, on 3,0 0 olekyyliä happea (O) 300 K läpötilassa. a) Kuinka onta kertaa kukin olekyyli
LisätiedotTÄSSÄ ON ESIMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETISMIOPIN KEVÄÄN 2017 MATERIAALISTA
TÄSSÄ ON ESMERKKEJÄ SÄHKÖ- JA MAGNETSMOPN KEVÄÄN 2017 MATERAALSTA a) Määritetään magneettikentän voimakkuus ja suunta q P = +e = 1,6022 10 19 C, v P = (1500 m s ) i, F P = (2,25 10 16 N)j q E = e = 1,6022
Lisätiedot5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
LisätiedotLuento 9: Potentiaalienergia
Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta
LisätiedotMassakeskipiste Kosketusvoimat
Massakeskipiste Kosketusvoimat Luennon tavoitteet Kosketusvoimia Kitka Tukivoima Jännitys Jousivoima Massakeskipisteen käsite ja sillä laskeminen (Resonanssi tiedottaa tarjoavansa kahvia luentotauolla)
LisätiedotLaskuharjoitus 1 Ratkaisut
Vastaukset palautetaan yhtenä PDF-tiedostona MyCourses:iin ke 28.2. klo 14 mennessä. Mahdolliset asia- ja laskuvirheet ja voi ilmoittaa osoitteeseen serge.skorin@aalto.fi. Laskuharjoitus 1 Ratkaisut 1.
LisätiedotVoima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!
6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 10 Noste Nesteeseen upotettuun kappaleeseen vaikuttaa nesteen pintaa kohti suuntautuva nettovoima, noste F B Kappaleen alapinnan kohdalla nestemolekyylien
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän
Lisätiedot1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit
1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 1 Jäykän kappaleen pyöriminen Knight, Ch 1 Jäykkä kappale = kappale, jonka koko ja muoto eivät muutu liikkeen aikana. Jäykkä kappale on malli.
LisätiedotErityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2)
Erityinen suhteellisuusteoria (Harris luku 2) Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Ajan ja pituuden suhteellisuus Relativistinen työ ja kokonaisenergia SMG-aaltojen
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 2: Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö Maanantai 7.11. ja tiistai 8.11. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan
LisätiedotSMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA
SMG-: SÄHKÖTEKNIIKKA Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Tarkoitus on yrittää ymmärtää passiivisten piirikomponenttien toiminnan taustalle olevat luonnonilmiöt. isäksi johdetaan näiden
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotGibbsin energia ja kemiallinen potentiaali määräävät seosten käyttäytymisen
KEMA221 2009 YKSINKERTAISET SEOKSET ATKINS LUKU 5 1 YKSINKERTAISET SEOKSET Gibbsin energia ja kemiallinen potentiaali määräävät seosten käyttäytymisen Seoksia voidaan tarkastella osittaisten moolisuureitten
LisätiedotTermodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka
Termodynamiikan suureita ja vähän muutakin mikko rahikka 2006 m@hyl.fi 1 Lämpötila Suure lämpötila kuvaa kappaleen/systeemin lämpimyyttä (huono ilmaisu). Ihmisen aisteilla on hankala tuntea lämpötilaa,
LisätiedotDEE-54030 Kryogeniikka
DEE-54030 Kryogeniikka Kryogeeninen eristys Mitä lämmönsiirto on? Lämmönsiirto on lämpöenergian välittymistä lämpötilaeron vaikutuksesta. Lämmönsiirron mekanismit Johtuminen Konvektio Säteily Lämmönsiirron
LisätiedotKuva 1. Virtauksen nopeus muuttuu poikkileikkauksen muuttuessa
8. NESTEEN VIRTAUS 8.1 Bernoullin laki Tässä laboratoriotyössä tutkitaan nesteen virtausta ja virtauksiin liittyviä energiahäviöitä. Yleisessä tapauksessa nesteiden virtauksen käsittely on matemaattisesti
Lisätiedot