Kvanttimekaniikan perusteet

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kvanttimekaniikan perusteet"

Transkriptio

1 Kvanttimekaniikan perusteet Schrödingerin yhtälö Sironta potentiaaliaskeleesta Elektronitilat potentiaalikuopassa Harmoninen oskillaattori Tilatiheys lisää sirontailmiöistä Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys Aaltofunktio on yleisesti kompleksinen paikan funktio ψ ( x). Yksinkertaisin aaltofunktioon liittyvä mitattavissa oleva ominaisuus on todennäköisyystiheys = ψ ( x).

2 d ψ + E ( ), p x ψ = Eψ m dx ( x) Schrödingerin yhtälö Aineaaltokenttä toteuttaa Scrödingerin yhtälön missä E p ( ) P = ψ x, y, z dv. hiukkasen näkemä potentiaalienergia. Hiukkasen esiintymistodennäköisyys tilavuudessa V on: V V Jos hiukkanen on lokalisoitunut aaltofunktio voidaan normittaa: ψ,, dv=. Koko Avaruus ( xyz) Aaltoyhtälön muodostaminen Schrödinger päätyi tutkimaan aineaaltoyhtälöitä de Broglien inspiroimana. Hän yhdisti stationäärisiin tiloihin seisovan aaltokuvan ja esitti 96 aaltoyhtälön, joka kuvasi aineaaltojen etenemistä. Schrödingerin yhtälö on kvanttimekaniikan perusoletus eli postulaatti. Sitä voidaan perustella analogioilla klassisiin aaltoyhtälöihin muttei johtaa niistä. Erwin Schrödinger (887 96) Itävaltalainen teoreettinen fyysikko Fysiikan Nobel 933: uuden atomiteorian kehittämisestä.

3 Potentiaalilaatikko /3 Schrödingerin yhtälö : d ψ + k ψ = 0; k = me dx ψ ( x) = Acos kx+ Bsin kx Reunaehto : ψ ( x) = 0 pisteessä x = 0 A= 0 ψ ( x) = Bsinkx Reunaehto : pistessä x = a Bsin ka = 0 ka =± nπ ; n =,,3,.. nπ x Ominaisfunktiot : ψ ( x) = Bsin a k π Ominaisarvot : E = = n ; n =,,3,.. m ma n =,, 3,.. eivät tuota uusia ominaistiloja (eroavat vain vaihetekijällä) a a ψ n ( ) 0 0 B= ψ a 0 n Potentiaalilaatikko /3 Ominaisfunktioiden normitus : nπ x x dx= B sin dx= a ; B voidaan valita reaaliseksi! a ( x) = asin( nπ x a) Ortonormitettu funktiojoukko : * jos n= m ψn ( x) ψm ( x) dx= δnm δnm = jos n m π Ominaisarvot : ma E = n ; n =,,3,.. 3

4 Potentiaalilaatikko 3/3 Aaltofunktioiden pariteetti: Jos hiukkasen potentiaalienergia on symmetrinen pisteen O suhteen myös todennäköisyystiheyden on oltava symmetrinen tämän pisteen suhteen. Piste x = a/ on symmetriakeskus ψ = ψ n n ( a/ x) ψ n ( x a/) ( a/ x) =± ψ ( x a/) n Aaltofunktiot ja todennäköisyystiheydet + parillinen funktio pariton funktio a / :n suhteen Elektronitilat 3D potentiaalikuutiossa Potentiaalikuution aaltofunktio on x,y ja z suunnissa laskettujen aaltofunktioiden tulo (Schrödingerin yhtälön sanotaan separoituvan kolmeksi riippumattomaksi yhtälöksi) (,, ) ( / ) 3/ sin n π x sin n π xyz a y sin n 3π ψ = z a a a Reunaehdot ovat nyt ψ ( 0, yz, ) = ψ ( ayz,, ) = 0 ψ ( x,0, z) = ψ ( x, a, z) = 0 ψ ( xy,,0) = ψ ( xya,, ) = 0 ja sallitut aaltovektorin arvot π π π kx = n; ky = n; kz = n3 missä n, n, n3 =,,3,.. a a a ( 3) π ja ominaisenergiat E = n + n + n ma Kuution särmien pituus on a. Kuution ulkopuolella potentiaalienergia on ääretön. Kuution tilavuus V = a 3. 4

5 Tilatiheys suuressa 3D laatikossa Tilatiheysjatkumo on raja-arvo, jota lähestytään kuution sivun pituuden kasvaessa. Seuraavaksi johdamme tilatiheyden suurelle äärettömän kovalle kuutionmuotoiselle potentiaaliboksille, jonka tilavuus on V = a 3 Tilatiheyden johtaminen /4 Huomaamme, että jokaiseen kolmen positiivisen kokonaisluvun n, n, n 3 muodostamaan lukujoukkoon (kolmikkoon) liittyy yksi ominaistila. Laskemme aluksi niiden tilojen lukumäärän joiden energia on pienempi kuin mielivaltaisesti valittu energia E. Kokonaisluvut n, n, n on siis valittava siten, että π ma ( n + n + n3) E tai vaihtoehtoisesti ( n + n + n3 ) E ma π 3 Tilojen lukumäärän laskemiseksi muodostamme 3-ulotteisen avaruuden. Jokaiseen tämän avaruuden tilavuudeltaan ykkösen suuruiseen kuutioon liitämme kolmikon n, n, n 3. Kolmikko ilmaiseen ko. yksikkökuution sijainnin origon suhteen. 5

6 Tilatiheyden johtaminen /4 Kuvan mielivaltaisen yksikkökuution etäisyys origosta on R = ( n + n3 + n3 ) sillä sen lähinnä origoa sijaitsevan nurkan koordinaatit ovat juuri n, n, n 3. Ne yksikkökuutiot, joille pätee ( 3) n + n + n ma E () π ovat siis origosta enintään etäisyydellä ( + + 3) ma ma R = E Jos nimittäin R > E π π ma R = n n n > E π ristiriidassa yhtälön () kanssa. mikä on Kuvaan on piirretty mielivaltaiseen kolmikkoon liittyvä yksikkökuutio. Kolmikkoihin liittyvät yksikkökuutiot täyttävät koko avaruuden. Tilatiheyden johtaminen 3/4 Integroidaan niiden yksikkökoppien yhteinen tilavuus, joiden etäisyys origosta on pienempi ( 3 3) kuin R = n + n + n R 4 dn dn dn = R 8 3 ( Ema π ) Tämä on -osa R-säteisen pallon tilavuudesta. 8 Vain /8 osa pallon tilavuudesta kelpaa siksi, että ainoastaan ne yksikkökopit, joilla n, n, n 3 ovat kaikki positiivisia kokonaislukuja vastaavat aidosti erilaisia ominaistiloja) 3 6

7 Tilatiheyden johtaminen 4/4 Sijoittamalla R saadaan pallon kahdeksasosan tilavuudeksi 3/ 4 Ema π 83 π Tämä on siis KAIKKIEN niiden ominaistilojen lukumäärä joiden energia on enintään E. Jos g( E) on ominaitilojen tiheys energiayksikköä kohden täytyy tilatiheyden integraalin välillä [ 0, E] olla sama kuin edellä laskettu tilojen kokonaismäärä 3/ E 4 Ema g( E) de = π 83 0 π Derivoimalla tämä puolittain saamme ratkaistuksi tilojen tiheyden energianyksikköä 3 kohden. Merkitsemällä kuution tilavuus V = a saamme: 3/ π m g / ( E) = VE 4 π Tämä on vielä kerrottava kahdella, sillä elektronilla on kaksi spintilaa kutakin energian arvoa kohden. Tilatiheyksien vertailua * Elektroneilla fotoneilla ja fononeilla on SAMA TILATIHEYS!! aallonpituuden yksikköä kohden, sillä kyseessä on kuution muotoiseen kaviteettiin tai resonaattoriin muodostuvien seisovien aaltojen lukumäärä aallonpituuden yksikköä kohden. ( λ) = ( λ) = ( λ) ( λ) g g g g elektroni fotoni fononi Tämän avulla saamme johdettua fotonien tilatiheyden elektronien tilatiheydestä: ( λ) = elektroni ( ) ( / λ) ( λ) ( ) ( / λ) g g E de d g g E de d elektroni = fotoni fotoni ( ) = ( λ) ( / λ) = ( ) ( / λ) ( / λ) g fotoni E g de d g fotoni elektroni E de d de d elektroni fotoni * Tätä johtamista ei tule tenttiin tai välikokeeseen! 7

8 Tilatiheys aallonpituuden suhteen Elektronille: E = p / m, p = h/ λ ja E = h /( mλ ) h 4π ( de / dλ ) = = elektroni 3 3 mλ mλ 3/ π m / 4π g( λ) = V( 4 π /( mλ )) 4πV = π mλ λ hc Fotonille: E = hf = hc/ λ ja λ = hc/ E ( de/ dλ) = fotoni λ hc 4πV 4πV g fotoni ( E) = g( λ) ( de/ dλ) = 4πV = = E fotoni λ λ hc λ hc Fotonien tilatiheys fotonin tajuuden yksikköä kohden on 4πV g fotoni ( f ) = g fotoni ( E) ( de / df ) = ( ) 4πV hf h = f hc c Kerrottuna tekijällä (fotonin kaksi polarisaatiotilaa) tämä on sama kuin mustan kappaleen säteilyn tilatiheys ontelossa, jonka tilavuus on V. Tilatiheys aallonpituuden yksikköä kohden on sama elektroneille ja fotoneille. Huomaa, että tämä tilatiheys on negatiivinen - mieti miksi!! * Tätä johtamista ei tule tenttiin tai välikokeeseen! Vapaan hiukkasen aaltofunktio Vapaalle hiukkaselle potentiaalienergia ja Scrödingerin yhtälö siis muotoa E p = 0, ψ ψ Eψ k ψ 0 missä k d d me = + = = m dx dx Tämän yhtälön yleinen ratkaisu on ikx ikx ψ ( x) = Ae + Be tai ψ ( x) = Asin kx+ Bsin kx tai ψ ( x) = Ccos( kx+ δ) missä ABC,,, δ ovat integrointivakioita Tasoaallon reaaliosa 8

9 ψ me ψ d + = 0 dx ikx ψ x = Ae + Be ( ) ψ m E ( ) αx Potentiaaliaskel E<E 0 Schrödingerin yhtälö alueessa I ikx Schrödingerin yhtälö alueessa II ( E ) d 0 + ψ = 0 dx αx ψ x = Ce + De Jatkuvuusehto aaltofunktiolle ja derivaatalle dψ( x= 0) dψ( x= 0) ψ( x= 0) = ψ( x= 0); = dx dx ( ik + α ) A ika B= ja C = ik α ik α Aaltofunktio E<E 0 Aaltofunktio alueessa I ikx ik + α ikx ψ ( x) = A e + e ik α Aaltofunktio alueessa II ik α x ψ ( x) = Ae ik α Alueessa I vaihtoehtoinen esitysmuoto ik α 4k α ψ ( x) = A cos kx sin kx A cos sin kx kx ik α k k + α k sillä aaltofunktio voidaan aina kertoa kompleksisella vaihetekijällä e i δ : ik 4k Huom. vaikka E<E iδ 0 aaltofunktio e ik α tunkeutuu kynnyksen sisään!! k + α 9

10 Potentiaalikynnyksen rajatapaus on potentiaaliseinä. Aaltofunktio on = 0 alueessa (II), sillä hiukkanen ei tunneloidu äärettömän kovan seinän sisään. Potentiaaliseinä Hiukkasvirran tiheys Hiukkasen todennäköisyysvirran tiheys * * Ψ ( xt, ) Ψ ( xt, ) jxt (, ) = Ψ ( xt, ) Ψ ( xt, ) im x x ( xt, ) ± ikx ωt Vapaalle hiukkaselle Ψ = Ae + ikx ωt k Ψ ( xt, ) = Ae j= A virta x-akselin posit. suuntaan m ikx ωt k Ψ ( xt, ) = Ae j= A virta x-akselin negat. suuntaan m Virran lauseke johdetaan yksityiskohtaisesti Luvussa 3: Aineaaltodynamiikka 0

11 Heijastumis- ja läpäisykerroin Aaltofunktio alueessa I ikx ik + α ikx ψ ( x) = A e + e ik α Ajasta riippuva stationäärinen tila i( kx ωt) ik + α i( kx ωt Ψ ) ( xt, ) = A e + e ik α Virta vasemmalta oikealle (inc) k jinc = A m Heijastuskerroin: jref R = = Kokonaisheijastus j inc Virta oikealta vasemmalle (ref) ik + α k k jref = A = A ik α m m ψ + ψ = 0 k = d me me dx ψ x ikx ikx = Ae + Be ( ) Potentiaaliaskel E>E 0 Schrödingerin yhtälö alueessa I Schrödingerin yhtälö alueessa II d ( ) ( ) ψ m E E0 m E E0 + ψ = 0 k = dx ψ ik x ik x ( x) = Ce + Be [ B = 0, alueessa II ei vasem. eten. aaltoa] Jatkuvuusehdoista: k k k B = A; C = A k + k k + k

12 Heijastumis- ja läpäisykertoimet ikx k k ikx ψ ( x) = A e + e k + k ik x k ik x ψ ( x) = Ce = Ae k + k k Tuleva jinc = A m k k k Heijastunut jref = A k + k m k k Läpäissyt jtran = A k + k m jref k k jtran k R = = ; T = = j k + k j k + k inc inc Huom! R + T = ( ) Harmoninen oskillaattori Harmonisen oskillaattorin Schrödingerin yhtälö d ψ + kx ψ = Eψ m dx Ominaisarvot: E = n+ ω ; ω = k m n = 0,,,3,.. n 0 0 Ensimmäiset ominaisfunktiot ( ) n En ψ n x α = mω0 / 0 / α x / ω0 ψ 0( x) = ( α / π ) e 3 / α x / ω0 ψ ( x) = ( α / π ) αxe 5 / α x / ω0 ψ ( x) = ( α /8 π ) ( 4α x ) e 3 7 / 3 3 α x / ω 0 ψ 3 ( x) = ( α /48 π ) ( 8α x ax) e

13 Harmonisen oskillaattorin perustila /3 d ψ + kx ψ = Eψ m dx Muutujanvaihdos: y = αx; α = mk / = mω / λ = E / ω ( λn y ) ( ) 0 n n 0 d ψ + ψ = 0 () dy d ψ Suurilla y:n arvoilla () voidaan kirjoittaa = y ψ () dy Reunaehdon ψ ( x ) =0 toteuttava ratkaisu on ψ ( y) = Ae β A ja β määrätään sijoittamalla (3) yhtälöön () y (3) βy βy βy βae + 4 β y Ae = y Ae. (4) Harmonisen oskillaattorin perustila /3 Suurilla y:n arvoilla yhtälön (4) vasemman puolen ensimmäinen termi on pieni joten βy βy 4β y Ae = y Ae 4β = β = / Miksi β = / ei käy? Saamme siis ratkaisuksi suurilla y:n arvoilla ψ ( y) = Ae y / Sijoittamalla alkuperäiseen Schrödingerin yhtälöön () saadaan y n y 4β β + λ = 0 Josta β = λ E = E = ω λ /= β ω /= ω ( ) ( ) ( ) n n n= 0 0 n 0 0 3

14 Harmonisen oskillaattorin perustila 3/3 Näin saatiin perustilan energia ja aaltofunktio ψ ( ) 0 x y = A0e α x = A0e missä α = Vakio A 0 mk /. määrätään vielä normitusehdosta α x α x Ae Ae dx= A = ( α π ) Korkeampien tilojen laskemiseen voidaan helpohkosti osoittaa oikeaksi rekursiokaava. / Aaltofunktiot ja todennäköisyystiheydet Klassisesti kielletty alue Potentiaalienergia on symmetrinen pisteen x = 0 suhteen, joten aaltofunktiot ovat tämän pisten suhteen parillisia tai parittomia. 4

15 Vastaavuusperiaate Bohrin vastaavuusperiaate: Suurilla kvanttiluvuilla hiukkasen todennäköisyystiheys lähestyy klassiseen rataan liittyvää sijaintitodennäköisyyttä. Harmonisen oskillaattorin korkeisiin viritettyihin tiloihin liittyvä todennäköisyystiheys on suuri hiukkasen klassisten käännepisteiden läheisyydessä, jossa hiukkanen on enimmän aikaa. Äärellinen potentiaalikuoppa d ψ Alue I ja III: 0 αψ = dx m( E0 E) α = αx ψ ( x) = C e + D e αx IIII, IIII, d ψ Alue II: + k ψ = 0 dx me k = ψ ( x) = Acoskx+ Bsinkx Fysikaaliset reunaehdot: D I = C = 0 III 5

16 Graafinen ratkaisu Parilliset tilat B = 0 ma π E = Jatkuvuusehdot x = a / ka αa / Acos = DIIIe ka αa / kasin = α DIIIe ma 3π E = ka ma ktan = α tan E = E 0 E E Piirretään tämän yhtälön molempien puolien kuvaajat energian funktiona ja etsitään leikkauspisteet Energiat saadaan kuvaajien leikkauspisteistä m= m e E0 = 7 mev ja 70 mev a = 5,3 nm Parilliset tilat rajalla E<<E 0 E Kun 0 E E0 kasvaa leikkaa tangentin E epäjatkuvuuskohtien läheisyydessä: ma nπ E = n =,3,5,7,.. π E = n n =, 3,5, 7,.. ma Nämä ovat äärettämän potentiaalilaatikon parilliset ominaistilat. 6

17 Parittomat tilat Parittomat tilat A = 0 ma E = π Jatkuvuusehdot x = a / ka αa / Bsin = DIII e ka α a / kbcos = αdiii e ka ma E0 E kcot = α cot E = ma E E = π Mallin parametrit: m= me, E0 = 7 mev ja 70 mev a = 5,3 nm Parittomat tilat rajalla E<<E 0 E Kun 0 E E0 kasvaa leikkaa kotangentin E epäjatkuvuuskohtien läheisyydessä: ma nπ E = n =,4,6,.. π E = n n =,4,6,.. ma Nämä ovat äärettämän potentiaalilaatikon parittomat ominaistilat. 7

18 Sironta potentiaalivallista Hiukkaset saapuvat vasemmalta, heijastuvat takaisin, tai läpäisevät vallin. Ratkaistaan Schrödingerin yhtälö erikseen alueissa (I- III) ja liitetään funktiot ja niiden derivaatat rajapinnoilla x=0 ja x=a. Huom! Alueessa III vain läpäissyt oikealle etenevä aalto Läpäisykertoimen johtaminen: E>E 0 Alueessa I Alueessa II Alueessa III ikx ikx ik x ik x ikx I = Ae + Be II = Ce + De III = Ee k = me k = m( E E0 ) k = me ψ ψ ψ Jatkuvuusehdot ik a ik a ika Ce De Ee A B C D + = + = + x = a x = 0 ik a ik a ika ik( A B) = ik ( C D) ik ( Ce De ) = ikee. Neljä yhtälöä viisi tuntematonta esitetään B,C,D,E A :n avulla s 4kk ika ik a E = A missä r = e, s = e r ( k + k ) ( k k ) s B,C,D saadaan vastaavasti. 8

19 Läpäisykerroin Läpäisykerroin saadaan laskemalla todennäköisyys virran tiheydet : Tuleva virta Läpäissyt virta hk hk hk s 4kk jinc = A jtrans = E = A m m m r ( k + k ) ( k k ) s T = E m( E E ) + sin a 4 EE ( ) 0 0 E0 T = + sinh 4 EE ( E) E0 me E 0 a 0 ( ) E E 0 > E< E0 Läpäisykerroin Energia yksiköissä E 0 /0 Hiukkanen voi läpäistä vallin vaikka E<E 0. Klassisen fysiikan mukaan tämä on kiellettyä! Läpäisykerroin lähestyy ykköstä suurilla energioilla. Huomaa minimit alueella E>E 0. Ne edustavat aineaallon useampikertaista heijastumista vallin sisällä. 9

20 Tunnelointimikroskooppi Elektronit voivat tunneloitua neulan kärjen ja johtavan pinnan välillä. Tunnelointivirta antaa yhden atomin tarkkuudella tietoa pinnan rakenteesta. STM = scanning tunneling microscope Heinrich Rohrer and Gerd Binnig Fysiikan Nobel 986 tunnelointimikroskoopin kehittämisestä Schrödingerin yhtälö d ψ + E ( ) p x ψ = Eψ m dx ( x y z) Yhteenveto /3 Todennäköisyystiheys : P x koko avaruus ψ,, dxdydz = ( ) = ψ ( x) Normitus (diskreetissä tilassa olevalle hiukkaselle) Aaltofunktion jatkuvuusehdot rajapinnoilla : dψ( x= 0) dψ( x= 0) ψ( x = 0) = ψ( x = 0) ja = dx dx 0

21 ( k + k' ) Yhteenveto /3 Hiukkasvirrantiheys = vuo (johdetaan luvussa III) * * ψ( x) ψ ( x) jx ( ) = ψ ( x) ψ( x) im x x Läpäisykerroin ja heijastuskerroin potentiaaliaskeleelle k' C 4 kk ' k B k k ' T = = ; R= = ka ka k + k' Potentiaaliboksin ominaisenergiat ja ominaisfunktiot p n π E = = ; ψn x = C sin n x a m ma ( ) ( π ) ge ( ) = 5/ 3/ π m h Yhteenveto 3/3 Tilojen tiheys 3D potentiaalilaatikossa 3 V E / Harmoninen oskillaattori d ψ + kx ψ = Eψ m dx y E = n+ ω; ψ x = H y e, y = α x, α ( ) ( ) ( ) n n n = mk ; H n ( y) on Hermiten polynomi Pariteetti symmetriapisteen O suhteen ψ =± ψ A A'

Kvanttimekaniikan perusteet

Kvanttimekaniikan perusteet Kvanttimekaniikan perusteet Schrödingerin yhtälö Sironta potentiaaliaskeleesta Elektronitilat potentiaalikuopassa Harmoninen oskillaattori Tilatiheys lisää sirontailmiöistä Aineaaltokenttä ja todennäköisyystiheys

Lisätiedot

Aikariippuva Schrödingerin yhtälö

Aikariippuva Schrödingerin yhtälö Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin

Lisätiedot

Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)

Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen) Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,

Lisätiedot

5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA

5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA 5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista

Lisätiedot

KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET...57

KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET...57 KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET...57.1 Johdanto... 57. Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys... 58.3 Schrödingerin yhtälö... 61.3.1 Vapaan hiukkasen aaltofunktio... 6.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta...

Lisätiedot

Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa

Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe

S Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe S-114.1327 Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe 1.3.21 Ilkka Tittonen 1. Vastaa seuraaviin kysymyksiin perustellusti, mutta ytimekkäästi (esim. 5-1 lausetta) (2p per kohta). a) Mikä on sidottu tila? Anna

Lisätiedot

Lisävaatimuksia aaltofunktiolle

Lisävaatimuksia aaltofunktiolle Lisävaatimuksia aaltofunktiolle (1) Koska Ψ*Ψ on äärellinen => Ψ on äärellinen. () Koska P = Ψ*Ψdτ => Ψ on yksiselitteinen. (3) Ψ on jatkuva. (4) dψ/dτ on jatkuva. Esimerkki Epäkelpoja aaltofunktioita

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta

S Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,

Lisätiedot

Sidotut tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 5. Mikro- ja nanotekniikan laitos

Sidotut tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 5. Mikro- ja nanotekniikan laitos Sidotut tilat Harris luku 5 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Tähän asti tutkittu aineaaltojen ominaisuuksia Seuraavaksi ryhdytään käyttämään aineaaltoja

Lisätiedot

Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.

Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu

Lisätiedot

ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)

ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4) 76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa

Lisätiedot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5

Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan

Lisätiedot

Vapaat tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 6. Mikro- ja nanotekniikan laitos

Vapaat tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 6. Mikro- ja nanotekniikan laitos Vapaat tilat Harris luku 6 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Potentiaaliaskel Potentiaalivalli ja tunneloituminen Aaltopaketti ja aineaallon eteneminen Potentiaaliaskel

Lisätiedot

1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus

1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä

Lisätiedot

Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:

Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Rotaatio eli pyörimisliike Vibraatio eli värähdysliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön

Lisätiedot

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV = S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.

J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z. FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,

Lisätiedot

Tilat ja observaabelit

Tilat ja observaabelit Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ

Lisätiedot

Kvanttimekaniikan perusteet

Kvanttimekaniikan perusteet Kvttimekiik perusteet Aieltokettä j todeäköisyystieys Scrödigeri ytälö Sirot potetiliskeleest lektroitilt potetilikuopss Hrmoie oskillttori Tiltieys lisää sirotilmiöistä Altofuktio o yleisesti kompleksie

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

AINEAALTODYNAMIIKKA...105

AINEAALTODYNAMIIKKA...105 AINEAALTODYNAMIIKKA...105 3.1 Aikariippuva Schrödingerin yhtälö... 105 3.1.1 Stationääriset tilat... 108 3.1.. Ei-stationääriset tilat... 109 3.1.3 Aaltofunktioon liittyvä todennäköisyysvirta... 113 3.1.4

Lisätiedot

Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2

Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2 766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.

Lisätiedot

1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori

1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

Todennäköisyys ja epämääräisyysperiaate

Todennäköisyys ja epämääräisyysperiaate Todennäköisyys ja epämääräisyysperiaate Luento 7 Hiukkas-aaltodualismi vaatii uudenlaisen kielenkäytön omaksumista kuvaamaan iukkasten liikettä ja paikkaa. Newtonin mekaniikassa iukkanen on aina jossain

Lisätiedot

1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria

1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.

Lisätiedot

Osallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai

Osallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:

Lisätiedot

Aineaaltodynamiikka. Aikariippuva Schrödingerin yhtälö. Stationääriset tilat. Ei-stationääriset tilat

Aineaaltodynamiikka. Aikariippuva Schrödingerin yhtälö. Stationääriset tilat. Ei-stationääriset tilat Aieaaltodyamiikka Aikariiuva Scrödigeri ytälö Aieaaltoketä aikariiuvuude määrää ytälö Aieaaltokettie riiuvuus ajasta aikariiuva Scrödigeri ytälö Statioääriset ja ei-statioääriset tilat Aaltoaketit Kvattimekaiika

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 16. lokakuuta 2013 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan

Lisätiedot

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 13. lokakuuta 2014 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan

Lisätiedot

(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme

(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät

Lisätiedot

Jukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2

Jukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2 S 437 Fysiikka III Kevät 8 Jukka Tulkki 8 askuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 34 klo : mennessä Assistentit: Jaakko Timonen Ville Pale Pyry Kivisaari auri Salmia (jaakkotimonen@tkkfi) (villepale@tkkfi)

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

FYSA2031 Potentiaalikuoppa

FYSA2031 Potentiaalikuoppa FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali

Lisätiedot

Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen

Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Kvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa

Kvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa Kvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa Kvanttiefektit ovat tärkeitä nanoskaalassa. Tässä on ksenon-atomeilla tehtyjä kirjaimia metallipinnalla. Luennon tavoite: Ymmärtää kvanttimekaniikan perusperiaatteet

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

Sini- ja kosinifunktio

Sini- ja kosinifunktio Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op

780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op 78392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op Luennot: 5.9.-15.11.216 Ma klo 8-1 PR12 Ti klo 12-14 PR12 Risto Laitinen (22.2.-14.3.) Epäorgaanisen kemian tutkimusyksikkö (KE 313) PL 3 914 Oulun yliopisto

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n,

, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n, S-114.6, Fysiikka IV (EST),. VK 4.5.005, Ratkaisut 1. Selitä lyhyesti mutta mahdollisimman täsmällisesti: a) Keskimääräisen kentän malli ja itsenäisten elektronien approksimaatio. b) Monen fermionin aaltofunktion

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai . (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

Aineen aaltoluonne. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 4. Mikro- ja nanotekniikan laitos

Aineen aaltoluonne. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 4. Mikro- ja nanotekniikan laitos Aineen aaltoluonne Harris luku 4 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Aineaallot Heisenbergin epätarkkuusperiaate Fourier-muunnos ja epätarkkuusperiaate Aineaaltojen

Lisätiedot

TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)

TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE

3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE 3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE 3.1. DE BROGLIE AALLOT 1905: Aaltojen hiukkasominaisuudet 1924: Hiukkasten aalto-ominaisuudet: de Broglien hypoteesi Liikkuvat hiukkaset käyttäytyvät aaltojen

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS: 6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,

Lisätiedot

Luku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:

Luku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Luku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Vibraatio eli värähdysliike Rotaatio eli pyörimisliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön

Lisätiedot

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0 6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun

Lisätiedot

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009 Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset

Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013

766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013 766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013 Luennot n. 46 tuntia Torstaisin 8-10 sali IT116 Perjantaisin 8-10 sali L6 Poikkeuksia: to 19.9. luento vain 8-9 to 17.10. luento vain 8-9 to 14.11. luento vain 8-9

Lisätiedot

Energian säilymislain perusteella elektronin rekyylienergia on fotnien energioiden erotus: (1)

Energian säilymislain perusteella elektronin rekyylienergia on fotnien energioiden erotus: (1) S-11446 Fysiikka IV (Sf), I Väliko 544 1 Osoita, ttä Comptonin sironnassa lktronin suurin mahdollinn rkyylinrgia voidaan sittää muodossa E Kin hf 1 + mc /hf Enrgian säilymislain prustlla lktronin rkyylinrgia

Lisätiedot

kolminkertaisesti tehtäviä tavallisiin harjoituksiin verrattuna, voi sen kokonaan tekemällä saada suunnilleen kolmen tavallisen harjoituksen edestä

kolminkertaisesti tehtäviä tavallisiin harjoituksiin verrattuna, voi sen kokonaan tekemällä saada suunnilleen kolmen tavallisen harjoituksen edestä Matematiikkaa kemisteille, kevät 2013 Ylimääräisiä laskuharjoituksia Tällä laskuharjoituksella voi korottaa laskuharjoituspisteitään, mikäli niitä ei ole riittävästi kurssin läpäisemiseen, tai vaihtoehtoisesti

Lisätiedot

KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA

KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka KVANTTITEORIA Metso Tampere 13.11.2005 MODERNI

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Fysiikka 8. Aine ja säteily

Fysiikka 8. Aine ja säteily Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian

Lisätiedot

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

T R Hψ = H(r + R)ψ(r + R) = H(r)ψ(r + R) Kahden peräkkäisen translaation vaikutus ei riipu

T R Hψ = H(r + R)ψ(r + R) = H(r)ψ(r + R) Kahden peräkkäisen translaation vaikutus ei riipu Elektronit periodisessa potentiaalissa Tarkastellaan täydellistä Bravais n hilan kuvaamaa kidettä. Vaikka todelliset kiinteät aineet eivät esiinnykään täydellisinä hiloina, voidaan poikkeamat periodisuudesta

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

dx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx

dx = d dψ dx ) + eikx (ik du u + 2ike e ikx u i ike ikx u + e udx 763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 5 Kevät 2014 1. Tehtävä: Johda luetomateriaali kaavat d 2 u i k du 2 m + Uxu = E k 2 u p = k + u x i d ux. Ratkaisu: Oletetaa, että ψx = e ikx ux, missä ux +

Lisätiedot

1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus

1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus KEMA5 syksy 16 Kertausta keskeisistä asioista 1 Aaltofunktio, todennäköisyystulkinta ja normitus Kvanttimekaniikassa tarkasteltavaa systeemiä kuvaa aaltofunktio ψ. Aaltofunktio on puhtaan matemaattinen

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Klassisen fysiikan ja kvanttimekaniikan yhteys

Klassisen fysiikan ja kvanttimekaniikan yhteys Klassise fysiika ja kvattimekaiika yhteys Scrödigeri yhtälö ei statioäärisistä tiloista muodostuvie aaltopakettie aikakäyttäytymie oudattaa Newtoi lakeja. Newtoi mekaiikka voidaa johtaa Schrödigeri yhtälöstä.

Lisätiedot

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä

Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä Käy vastaamassa kyselyyn kurssin pedanet-sivulla (TÄRKEÄ ensi vuotta ajatellen) Kurssin suorittaminen ja arviointi: vähintään 50 tehtävää tehtynä (vihkon palautus kokeeseen tullessa) Koe Mahdolliset testit

Lisätiedot

Jatko-opintoseminaari Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus. Petteri Laakkonen

Jatko-opintoseminaari Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus. Petteri Laakkonen Jatko-opintoseminaari 21-211 Kevyttä johdattelua kvanttimekaniikkaan: Tila-avaruus Petteri Laakkonen 23.9.21 Tämä teksti on tiivistelmä kirjan [1] luvun 2 tekstistä. Pyrkimyksenä on esittää perustellusti

Lisätiedot

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia)

Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Kahden suoran leikkauspiste ja välinen kulma (suoraparvia) Piste x 0, y 0 on suoralla, jos sen koordinaatit toteuttavat suoran yhtälön. Esimerkki Olkoon suora 2x + y + 8 = 0 y = 2x 8. Piste 5,2 ei ole

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot