Kvanttimekaniikan perusteet
|
|
- Taisto Jere Kähkönen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kvanttimekaniikan perusteet Schrödingerin yhtälö Sironta potentiaaliaskeleesta Elektronitilat potentiaalikuopassa Harmoninen oskillaattori Tilatiheys lisää sirontailmiöistä Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys Aaltofunktio on yleisesti kompleksinen paikan funktio ψ ( x). Yksinkertaisin aaltofunktioon liittyvä mitattavissa oleva ominaisuus on todennäköisyystiheys = ψ ( x).
2 d ψ + E ( ), p x ψ = Eψ m dx ( x) Schrödingerin yhtälö Aineaaltokenttä toteuttaa Scrödingerin yhtälön missä E p ( ) P = ψ x, y, z dv. hiukkasen näkemä potentiaalienergia. Hiukkasen esiintymistodennäköisyys tilavuudessa V on: V V Jos hiukkanen on lokalisoitunut aaltofunktio voidaan normittaa: ψ,, dv=. Koko Avaruus ( xyz) Aaltoyhtälön muodostaminen Schrödinger päätyi tutkimaan aineaaltoyhtälöitä de Broglien inspiroimana. Hän yhdisti stationäärisiin tiloihin seisovan aaltokuvan ja esitti 96 aaltoyhtälön, joka kuvasi aineaaltojen etenemistä. Schrödingerin yhtälö on kvanttimekaniikan perusoletus eli postulaatti. Sitä voidaan perustella analogioilla klassisiin aaltoyhtälöihin muttei johtaa niistä. Erwin Schrödinger (887 96) Itävaltalainen teoreettinen fyysikko Fysiikan Nobel 933: uuden atomiteorian kehittämisestä.
3 Potentiaalilaatikko /3 Schrödingerin yhtälö : d ψ + k ψ = 0; k = me dx ψ ( x) = Acos kx+ Bsin kx Reunaehto : ψ ( x) = 0 pisteessä x = 0 A= 0 ψ ( x) = Bsinkx Reunaehto : pistessä x = a Bsin ka = 0 ka =± nπ ; n =,,3,.. nπ x Ominaisfunktiot : ψ ( x) = Bsin a k π Ominaisarvot : E = = n ; n =,,3,.. m ma n =,, 3,.. eivät tuota uusia ominaistiloja (eroavat vain vaihetekijällä) a a ψ n ( ) 0 0 B= ψ a 0 n Potentiaalilaatikko /3 Ominaisfunktioiden normitus : nπ x x dx= B sin dx= a ; B voidaan valita reaaliseksi! a ( x) = asin( nπ x a) Ortonormitettu funktiojoukko : * jos n= m ψn ( x) ψm ( x) dx= δnm δnm = jos n m π Ominaisarvot : ma E = n ; n =,,3,.. 3
4 Potentiaalilaatikko 3/3 Aaltofunktioiden pariteetti: Jos hiukkasen potentiaalienergia on symmetrinen pisteen O suhteen myös todennäköisyystiheyden on oltava symmetrinen tämän pisteen suhteen. Piste x = a/ on symmetriakeskus ψ = ψ n n ( a/ x) ψ n ( x a/) ( a/ x) =± ψ ( x a/) n Aaltofunktiot ja todennäköisyystiheydet + parillinen funktio pariton funktio a / :n suhteen Elektronitilat 3D potentiaalikuutiossa Potentiaalikuution aaltofunktio on x,y ja z suunnissa laskettujen aaltofunktioiden tulo (Schrödingerin yhtälön sanotaan separoituvan kolmeksi riippumattomaksi yhtälöksi) (,, ) ( / ) 3/ sin n π x sin n π xyz a y sin n 3π ψ = z a a a Reunaehdot ovat nyt ψ ( 0, yz, ) = ψ ( ayz,, ) = 0 ψ ( x,0, z) = ψ ( x, a, z) = 0 ψ ( xy,,0) = ψ ( xya,, ) = 0 ja sallitut aaltovektorin arvot π π π kx = n; ky = n; kz = n3 missä n, n, n3 =,,3,.. a a a ( 3) π ja ominaisenergiat E = n + n + n ma Kuution särmien pituus on a. Kuution ulkopuolella potentiaalienergia on ääretön. Kuution tilavuus V = a 3. 4
5 Tilatiheys suuressa 3D laatikossa Tilatiheysjatkumo on raja-arvo, jota lähestytään kuution sivun pituuden kasvaessa. Seuraavaksi johdamme tilatiheyden suurelle äärettömän kovalle kuutionmuotoiselle potentiaaliboksille, jonka tilavuus on V = a 3 Tilatiheyden johtaminen /4 Huomaamme, että jokaiseen kolmen positiivisen kokonaisluvun n, n, n 3 muodostamaan lukujoukkoon (kolmikkoon) liittyy yksi ominaistila. Laskemme aluksi niiden tilojen lukumäärän joiden energia on pienempi kuin mielivaltaisesti valittu energia E. Kokonaisluvut n, n, n on siis valittava siten, että π ma ( n + n + n3) E tai vaihtoehtoisesti ( n + n + n3 ) E ma π 3 Tilojen lukumäärän laskemiseksi muodostamme 3-ulotteisen avaruuden. Jokaiseen tämän avaruuden tilavuudeltaan ykkösen suuruiseen kuutioon liitämme kolmikon n, n, n 3. Kolmikko ilmaiseen ko. yksikkökuution sijainnin origon suhteen. 5
6 Tilatiheyden johtaminen /4 Kuvan mielivaltaisen yksikkökuution etäisyys origosta on R = ( n + n3 + n3 ) sillä sen lähinnä origoa sijaitsevan nurkan koordinaatit ovat juuri n, n, n 3. Ne yksikkökuutiot, joille pätee ( 3) n + n + n ma E () π ovat siis origosta enintään etäisyydellä ( + + 3) ma ma R = E Jos nimittäin R > E π π ma R = n n n > E π ristiriidassa yhtälön () kanssa. mikä on Kuvaan on piirretty mielivaltaiseen kolmikkoon liittyvä yksikkökuutio. Kolmikkoihin liittyvät yksikkökuutiot täyttävät koko avaruuden. Tilatiheyden johtaminen 3/4 Integroidaan niiden yksikkökoppien yhteinen tilavuus, joiden etäisyys origosta on pienempi ( 3 3) kuin R = n + n + n R 4 dn dn dn = R 8 3 ( Ema π ) Tämä on -osa R-säteisen pallon tilavuudesta. 8 Vain /8 osa pallon tilavuudesta kelpaa siksi, että ainoastaan ne yksikkökopit, joilla n, n, n 3 ovat kaikki positiivisia kokonaislukuja vastaavat aidosti erilaisia ominaistiloja) 3 6
7 Tilatiheyden johtaminen 4/4 Sijoittamalla R saadaan pallon kahdeksasosan tilavuudeksi 3/ 4 Ema π 83 π Tämä on siis KAIKKIEN niiden ominaistilojen lukumäärä joiden energia on enintään E. Jos g( E) on ominaitilojen tiheys energiayksikköä kohden täytyy tilatiheyden integraalin välillä [ 0, E] olla sama kuin edellä laskettu tilojen kokonaismäärä 3/ E 4 Ema g( E) de = π 83 0 π Derivoimalla tämä puolittain saamme ratkaistuksi tilojen tiheyden energianyksikköä 3 kohden. Merkitsemällä kuution tilavuus V = a saamme: 3/ π m g / ( E) = VE 4 π Tämä on vielä kerrottava kahdella, sillä elektronilla on kaksi spintilaa kutakin energian arvoa kohden. Tilatiheyksien vertailua * Elektroneilla fotoneilla ja fononeilla on SAMA TILATIHEYS!! aallonpituuden yksikköä kohden, sillä kyseessä on kuution muotoiseen kaviteettiin tai resonaattoriin muodostuvien seisovien aaltojen lukumäärä aallonpituuden yksikköä kohden. ( λ) = ( λ) = ( λ) ( λ) g g g g elektroni fotoni fononi Tämän avulla saamme johdettua fotonien tilatiheyden elektronien tilatiheydestä: ( λ) = elektroni ( ) ( / λ) ( λ) ( ) ( / λ) g g E de d g g E de d elektroni = fotoni fotoni ( ) = ( λ) ( / λ) = ( ) ( / λ) ( / λ) g fotoni E g de d g fotoni elektroni E de d de d elektroni fotoni * Tätä johtamista ei tule tenttiin tai välikokeeseen! 7
8 Tilatiheys aallonpituuden suhteen Elektronille: E = p / m, p = h/ λ ja E = h /( mλ ) h 4π ( de / dλ ) = = elektroni 3 3 mλ mλ 3/ π m / 4π g( λ) = V( 4 π /( mλ )) 4πV = π mλ λ hc Fotonille: E = hf = hc/ λ ja λ = hc/ E ( de/ dλ) = fotoni λ hc 4πV 4πV g fotoni ( E) = g( λ) ( de/ dλ) = 4πV = = E fotoni λ λ hc λ hc Fotonien tilatiheys fotonin tajuuden yksikköä kohden on 4πV g fotoni ( f ) = g fotoni ( E) ( de / df ) = ( ) 4πV hf h = f hc c Kerrottuna tekijällä (fotonin kaksi polarisaatiotilaa) tämä on sama kuin mustan kappaleen säteilyn tilatiheys ontelossa, jonka tilavuus on V. Tilatiheys aallonpituuden yksikköä kohden on sama elektroneille ja fotoneille. Huomaa, että tämä tilatiheys on negatiivinen - mieti miksi!! * Tätä johtamista ei tule tenttiin tai välikokeeseen! Vapaan hiukkasen aaltofunktio Vapaalle hiukkaselle potentiaalienergia ja Scrödingerin yhtälö siis muotoa E p = 0, ψ ψ Eψ k ψ 0 missä k d d me = + = = m dx dx Tämän yhtälön yleinen ratkaisu on ikx ikx ψ ( x) = Ae + Be tai ψ ( x) = Asin kx+ Bsin kx tai ψ ( x) = Ccos( kx+ δ) missä ABC,,, δ ovat integrointivakioita Tasoaallon reaaliosa 8
9 ψ me ψ d + = 0 dx ikx ψ x = Ae + Be ( ) ψ m E ( ) αx Potentiaaliaskel E<E 0 Schrödingerin yhtälö alueessa I ikx Schrödingerin yhtälö alueessa II ( E ) d 0 + ψ = 0 dx αx ψ x = Ce + De Jatkuvuusehto aaltofunktiolle ja derivaatalle dψ( x= 0) dψ( x= 0) ψ( x= 0) = ψ( x= 0); = dx dx ( ik + α ) A ika B= ja C = ik α ik α Aaltofunktio E<E 0 Aaltofunktio alueessa I ikx ik + α ikx ψ ( x) = A e + e ik α Aaltofunktio alueessa II ik α x ψ ( x) = Ae ik α Alueessa I vaihtoehtoinen esitysmuoto ik α 4k α ψ ( x) = A cos kx sin kx A cos sin kx kx ik α k k + α k sillä aaltofunktio voidaan aina kertoa kompleksisella vaihetekijällä e i δ : ik 4k Huom. vaikka E<E iδ 0 aaltofunktio e ik α tunkeutuu kynnyksen sisään!! k + α 9
10 Potentiaalikynnyksen rajatapaus on potentiaaliseinä. Aaltofunktio on = 0 alueessa (II), sillä hiukkanen ei tunneloidu äärettömän kovan seinän sisään. Potentiaaliseinä Hiukkasvirran tiheys Hiukkasen todennäköisyysvirran tiheys * * Ψ ( xt, ) Ψ ( xt, ) jxt (, ) = Ψ ( xt, ) Ψ ( xt, ) im x x ( xt, ) ± ikx ωt Vapaalle hiukkaselle Ψ = Ae + ikx ωt k Ψ ( xt, ) = Ae j= A virta x-akselin posit. suuntaan m ikx ωt k Ψ ( xt, ) = Ae j= A virta x-akselin negat. suuntaan m Virran lauseke johdetaan yksityiskohtaisesti Luvussa 3: Aineaaltodynamiikka 0
11 Heijastumis- ja läpäisykerroin Aaltofunktio alueessa I ikx ik + α ikx ψ ( x) = A e + e ik α Ajasta riippuva stationäärinen tila i( kx ωt) ik + α i( kx ωt Ψ ) ( xt, ) = A e + e ik α Virta vasemmalta oikealle (inc) k jinc = A m Heijastuskerroin: jref R = = Kokonaisheijastus j inc Virta oikealta vasemmalle (ref) ik + α k k jref = A = A ik α m m ψ + ψ = 0 k = d me me dx ψ x ikx ikx = Ae + Be ( ) Potentiaaliaskel E>E 0 Schrödingerin yhtälö alueessa I Schrödingerin yhtälö alueessa II d ( ) ( ) ψ m E E0 m E E0 + ψ = 0 k = dx ψ ik x ik x ( x) = Ce + Be [ B = 0, alueessa II ei vasem. eten. aaltoa] Jatkuvuusehdoista: k k k B = A; C = A k + k k + k
12 Heijastumis- ja läpäisykertoimet ikx k k ikx ψ ( x) = A e + e k + k ik x k ik x ψ ( x) = Ce = Ae k + k k Tuleva jinc = A m k k k Heijastunut jref = A k + k m k k Läpäissyt jtran = A k + k m jref k k jtran k R = = ; T = = j k + k j k + k inc inc Huom! R + T = ( ) Harmoninen oskillaattori Harmonisen oskillaattorin Schrödingerin yhtälö d ψ + kx ψ = Eψ m dx Ominaisarvot: E = n+ ω ; ω = k m n = 0,,,3,.. n 0 0 Ensimmäiset ominaisfunktiot ( ) n En ψ n x α = mω0 / 0 / α x / ω0 ψ 0( x) = ( α / π ) e 3 / α x / ω0 ψ ( x) = ( α / π ) αxe 5 / α x / ω0 ψ ( x) = ( α /8 π ) ( 4α x ) e 3 7 / 3 3 α x / ω 0 ψ 3 ( x) = ( α /48 π ) ( 8α x ax) e
13 Harmonisen oskillaattorin perustila /3 d ψ + kx ψ = Eψ m dx Muutujanvaihdos: y = αx; α = mk / = mω / λ = E / ω ( λn y ) ( ) 0 n n 0 d ψ + ψ = 0 () dy d ψ Suurilla y:n arvoilla () voidaan kirjoittaa = y ψ () dy Reunaehdon ψ ( x ) =0 toteuttava ratkaisu on ψ ( y) = Ae β A ja β määrätään sijoittamalla (3) yhtälöön () y (3) βy βy βy βae + 4 β y Ae = y Ae. (4) Harmonisen oskillaattorin perustila /3 Suurilla y:n arvoilla yhtälön (4) vasemman puolen ensimmäinen termi on pieni joten βy βy 4β y Ae = y Ae 4β = β = / Miksi β = / ei käy? Saamme siis ratkaisuksi suurilla y:n arvoilla ψ ( y) = Ae y / Sijoittamalla alkuperäiseen Schrödingerin yhtälöön () saadaan y n y 4β β + λ = 0 Josta β = λ E = E = ω λ /= β ω /= ω ( ) ( ) ( ) n n n= 0 0 n 0 0 3
14 Harmonisen oskillaattorin perustila 3/3 Näin saatiin perustilan energia ja aaltofunktio ψ ( ) 0 x y = A0e α x = A0e missä α = Vakio A 0 mk /. määrätään vielä normitusehdosta α x α x Ae Ae dx= A = ( α π ) Korkeampien tilojen laskemiseen voidaan helpohkosti osoittaa oikeaksi rekursiokaava. / Aaltofunktiot ja todennäköisyystiheydet Klassisesti kielletty alue Potentiaalienergia on symmetrinen pisteen x = 0 suhteen, joten aaltofunktiot ovat tämän pisten suhteen parillisia tai parittomia. 4
15 Vastaavuusperiaate Bohrin vastaavuusperiaate: Suurilla kvanttiluvuilla hiukkasen todennäköisyystiheys lähestyy klassiseen rataan liittyvää sijaintitodennäköisyyttä. Harmonisen oskillaattorin korkeisiin viritettyihin tiloihin liittyvä todennäköisyystiheys on suuri hiukkasen klassisten käännepisteiden läheisyydessä, jossa hiukkanen on enimmän aikaa. Äärellinen potentiaalikuoppa d ψ Alue I ja III: 0 αψ = dx m( E0 E) α = αx ψ ( x) = C e + D e αx IIII, IIII, d ψ Alue II: + k ψ = 0 dx me k = ψ ( x) = Acoskx+ Bsinkx Fysikaaliset reunaehdot: D I = C = 0 III 5
16 Graafinen ratkaisu Parilliset tilat B = 0 ma π E = Jatkuvuusehdot x = a / ka αa / Acos = DIIIe ka αa / kasin = α DIIIe ma 3π E = ka ma ktan = α tan E = E 0 E E Piirretään tämän yhtälön molempien puolien kuvaajat energian funktiona ja etsitään leikkauspisteet Energiat saadaan kuvaajien leikkauspisteistä m= m e E0 = 7 mev ja 70 mev a = 5,3 nm Parilliset tilat rajalla E<<E 0 E Kun 0 E E0 kasvaa leikkaa tangentin E epäjatkuvuuskohtien läheisyydessä: ma nπ E = n =,3,5,7,.. π E = n n =, 3,5, 7,.. ma Nämä ovat äärettämän potentiaalilaatikon parilliset ominaistilat. 6
17 Parittomat tilat Parittomat tilat A = 0 ma E = π Jatkuvuusehdot x = a / ka αa / Bsin = DIII e ka α a / kbcos = αdiii e ka ma E0 E kcot = α cot E = ma E E = π Mallin parametrit: m= me, E0 = 7 mev ja 70 mev a = 5,3 nm Parittomat tilat rajalla E<<E 0 E Kun 0 E E0 kasvaa leikkaa kotangentin E epäjatkuvuuskohtien läheisyydessä: ma nπ E = n =,4,6,.. π E = n n =,4,6,.. ma Nämä ovat äärettämän potentiaalilaatikon parittomat ominaistilat. 7
18 Sironta potentiaalivallista Hiukkaset saapuvat vasemmalta, heijastuvat takaisin, tai läpäisevät vallin. Ratkaistaan Schrödingerin yhtälö erikseen alueissa (I- III) ja liitetään funktiot ja niiden derivaatat rajapinnoilla x=0 ja x=a. Huom! Alueessa III vain läpäissyt oikealle etenevä aalto Läpäisykertoimen johtaminen: E>E 0 Alueessa I Alueessa II Alueessa III ikx ikx ik x ik x ikx I = Ae + Be II = Ce + De III = Ee k = me k = m( E E0 ) k = me ψ ψ ψ Jatkuvuusehdot ik a ik a ika Ce De Ee A B C D + = + = + x = a x = 0 ik a ik a ika ik( A B) = ik ( C D) ik ( Ce De ) = ikee. Neljä yhtälöä viisi tuntematonta esitetään B,C,D,E A :n avulla s 4kk ika ik a E = A missä r = e, s = e r ( k + k ) ( k k ) s B,C,D saadaan vastaavasti. 8
19 Läpäisykerroin Läpäisykerroin saadaan laskemalla todennäköisyys virran tiheydet : Tuleva virta Läpäissyt virta hk hk hk s 4kk jinc = A jtrans = E = A m m m r ( k + k ) ( k k ) s T = E m( E E ) + sin a 4 EE ( ) 0 0 E0 T = + sinh 4 EE ( E) E0 me E 0 a 0 ( ) E E 0 > E< E0 Läpäisykerroin Energia yksiköissä E 0 /0 Hiukkanen voi läpäistä vallin vaikka E<E 0. Klassisen fysiikan mukaan tämä on kiellettyä! Läpäisykerroin lähestyy ykköstä suurilla energioilla. Huomaa minimit alueella E>E 0. Ne edustavat aineaallon useampikertaista heijastumista vallin sisällä. 9
20 Tunnelointimikroskooppi Elektronit voivat tunneloitua neulan kärjen ja johtavan pinnan välillä. Tunnelointivirta antaa yhden atomin tarkkuudella tietoa pinnan rakenteesta. STM = scanning tunneling microscope Heinrich Rohrer and Gerd Binnig Fysiikan Nobel 986 tunnelointimikroskoopin kehittämisestä Schrödingerin yhtälö d ψ + E ( ) p x ψ = Eψ m dx ( x y z) Yhteenveto /3 Todennäköisyystiheys : P x koko avaruus ψ,, dxdydz = ( ) = ψ ( x) Normitus (diskreetissä tilassa olevalle hiukkaselle) Aaltofunktion jatkuvuusehdot rajapinnoilla : dψ( x= 0) dψ( x= 0) ψ( x = 0) = ψ( x = 0) ja = dx dx 0
21 ( k + k' ) Yhteenveto /3 Hiukkasvirrantiheys = vuo (johdetaan luvussa III) * * ψ( x) ψ ( x) jx ( ) = ψ ( x) ψ( x) im x x Läpäisykerroin ja heijastuskerroin potentiaaliaskeleelle k' C 4 kk ' k B k k ' T = = ; R= = ka ka k + k' Potentiaaliboksin ominaisenergiat ja ominaisfunktiot p n π E = = ; ψn x = C sin n x a m ma ( ) ( π ) ge ( ) = 5/ 3/ π m h Yhteenveto 3/3 Tilojen tiheys 3D potentiaalilaatikossa 3 V E / Harmoninen oskillaattori d ψ + kx ψ = Eψ m dx y E = n+ ω; ψ x = H y e, y = α x, α ( ) ( ) ( ) n n n = mk ; H n ( y) on Hermiten polynomi Pariteetti symmetriapisteen O suhteen ψ =± ψ A A'
Kvanttimekaniikan perusteet
Kvanttimekaniikan perusteet Schrödingerin yhtälö Sironta potentiaaliaskeleesta Elektronitilat potentiaalikuopassa Harmoninen oskillaattori Tilatiheys lisää sirontailmiöistä Aineaaltokenttä ja todennäköisyystiheys
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotAineaaltodynamiikkaa
Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset
Lisätiedot5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA
5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista
LisätiedotKVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET...57
KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEET...57.1 Johdanto... 57. Aaltofunktio ja todennäköisyystiheys... 58.3 Schrödingerin yhtälö... 61.3.1 Vapaan hiukkasen aaltofunktio... 6.4 Hiukkasen sironta potentiaaliaskeleesta...
LisätiedotPotentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa
Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,
LisätiedotS Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe
S-114.1327 Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe 1.3.21 Ilkka Tittonen 1. Vastaa seuraaviin kysymyksiin perustellusti, mutta ytimekkäästi (esim. 5-1 lausetta) (2p per kohta). a) Mikä on sidottu tila? Anna
LisätiedotLisävaatimuksia aaltofunktiolle
Lisävaatimuksia aaltofunktiolle (1) Koska Ψ*Ψ on äärellinen => Ψ on äärellinen. () Koska P = Ψ*Ψdτ => Ψ on yksiselitteinen. (3) Ψ on jatkuva. (4) dψ/dτ on jatkuva. Esimerkki Epäkelpoja aaltofunktioita
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotSidotut tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 5. Mikro- ja nanotekniikan laitos
Sidotut tilat Harris luku 5 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Johdanto Tähän asti tutkittu aineaaltojen ominaisuuksia Seuraavaksi ryhdytään käyttämään aineaaltoja
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
Lisätiedotψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)
76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5
Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan
LisätiedotVapaat tilat. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 6. Mikro- ja nanotekniikan laitos
Vapaat tilat Harris luku 6 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Potentiaaliaskel Potentiaalivalli ja tunneloituminen Aaltopaketti ja aineaallon eteneminen Potentiaaliaskel
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
LisätiedotLuku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:
Luku 9: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Rotaatio eli pyörimisliike Vibraatio eli värähdysliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön
Lisätiedot1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =
S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
LisätiedotKvanttimekaniikan perusteet
Kvttimekiik perusteet Aieltokettä j todeäköisyystieys Scrödigeri ytälö Sirot potetiliskeleest lektroitilt potetilikuopss Hrmoie oskillttori Tiltieys lisää sirotilmiöistä Altofuktio o yleisesti kompleksie
Lisätiedotd Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali
6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla
LisätiedotAINEAALTODYNAMIIKKA...105
AINEAALTODYNAMIIKKA...105 3.1 Aikariippuva Schrödingerin yhtälö... 105 3.1.1 Stationääriset tilat... 108 3.1.. Ei-stationääriset tilat... 109 3.1.3 Aaltofunktioon liittyvä todennäköisyysvirta... 113 3.1.4
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
LisätiedotIntegroimistekniikkaa Integraalifunktio
. Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri
LisätiedotOsallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai
Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:
LisätiedotA = (a 2x) 2. f (x) = 12x 2 8ax + a 2 = 0 x = 8a ± 64a 2 48a x = a 6 tai x = a 2.
MATP53 Approbatur B Harjoitus 7 Maanantai..5. (Teht. s. 9.) Neliön muotoisesta pahviarkista, jonka sivun pituus on a, taitellaan kanneton laatikko niin, että pahviarkin nurkista leikataan neliön muotoiset
LisätiedotTodennäköisyys ja epämääräisyysperiaate
Todennäköisyys ja epämääräisyysperiaate Luento 7 Hiukkas-aaltodualismi vaatii uudenlaisen kielenkäytön omaksumista kuvaamaan iukkasten liikettä ja paikkaa. Newtonin mekaniikassa iukkanen on aina jossain
LisätiedotAineaaltodynamiikka. Aikariippuva Schrödingerin yhtälö. Stationääriset tilat. Ei-stationääriset tilat
Aieaaltodyamiikka Aikariiuva Scrödigeri ytälö Aieaaltoketä aikariiuvuude määrää ytälö Aieaaltokettie riiuvuus ajasta aikariiuva Scrödigeri ytälö Statioääriset ja ei-statioääriset tilat Aaltoaketit Kvattimekaiika
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 16. lokakuuta 2013 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 13. lokakuuta 2014 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)
Lisätiedot(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme
S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät
LisätiedotJukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2
S 437 Fysiikka III Kevät 8 Jukka Tulkki 8 askuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 34 klo : mennessä Assistentit: Jaakko Timonen Ville Pale Pyry Kivisaari auri Salmia (jaakkotimonen@tkkfi) (villepale@tkkfi)
Lisätiedotl 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +
LisätiedotFYSA2031 Potentiaalikuoppa
FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017
763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,
LisätiedotKvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa
Kvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa Kvanttiefektit ovat tärkeitä nanoskaalassa. Tässä on ksenon-atomeilla tehtyjä kirjaimia metallipinnalla. Luennon tavoite: Ymmärtää kvanttimekaniikan perusperiaatteet
Lisätiedot780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op
78392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op Luennot: 5.9.-15.11.216 Ma klo 8-1 PR12 Ti klo 12-14 PR12 Risto Laitinen (22.2.-14.3.) Epäorgaanisen kemian tutkimusyksikkö (KE 313) PL 3 914 Oulun yliopisto
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotSini- ja kosinifunktio
Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään
LisätiedotBraggin ehdon mukaan hilatasojen etäisyys (111)-tasoille on
763343A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 2 Kevät 2018 1. Tehtävä: Kuparin kiderakenne on pkk. Käyttäen säteilyä, jonka aallonpituus on 0.1537 nm, havaittiin kuparin (111-heijastus sirontakulman θ arvolla
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
LisätiedotRatkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
LisätiedotVoima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen
Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
Lisätiedot17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
99 17. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Differentiaaliyhtälön x'(t) = f(x(t),t), x(t) n määrittelemän systeemin sanotaan olevan autonominen, jos oikea puoli ei eksplisiittisesti riipu
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
LisätiedotRatkaise tehtävä 1 ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (2p)
Matematiikan TESTI 3, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/07 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotH7 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan
Lisätiedot, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n,
S-114.6, Fysiikka IV (EST),. VK 4.5.005, Ratkaisut 1. Selitä lyhyesti mutta mahdollisimman täsmällisesti: a) Keskimääräisen kentän malli ja itsenäisten elektronien approksimaatio. b) Monen fermionin aaltofunktion
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
LisätiedotOsittaisdifferentiaaliyhtälöt
Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).
LisätiedotPisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta
Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i
LisätiedotAineen aaltoluonne. Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala. Kevät Harris luku 4. Mikro- ja nanotekniikan laitos
Aineen aaltoluonne Harris luku 4 Yliopistonlehtori, TkT Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Kevät 2016 Aineaallot Heisenbergin epätarkkuusperiaate Fourier-muunnos ja epätarkkuusperiaate Aineaaltojen
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
LisätiedotTILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)
TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on
Lisätiedot3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE
3. MATERIALISTISTEN HIUKKASTEN AALTOLUONNE 3.1. DE BROGLIE AALLOT 1905: Aaltojen hiukkasominaisuudet 1924: Hiukkasten aalto-ominaisuudet: de Broglien hypoteesi Liikkuvat hiukkaset käyttäytyvät aaltojen
Lisätiedotb) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)
Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
Lisätiedota) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva. VASTAUS:
6. Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot 6.1. Käänteisfunktion olemassaolo 165. Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f : R 2 R 2, f (x,y) = (ysinx, x + y + 1) a) on lokaali käänteisfunktio,
LisätiedotLuku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin:
Luku 8: Kvanttimekaniikan soveltaminen eri liiketyyppeihin: Translaatioliike (hiukkanen laatikossa) Vibraatio eli värähdysliike Rotaatio eli pyörimisliike 1 Vapaan hiukkasen (V =0) Schrödingerin yhtälön
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
Lisätiedot766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013
766326A Atomifysiikka 1 - Syksy 2013 Luennot n. 46 tuntia Torstaisin 8-10 sali IT116 Perjantaisin 8-10 sali L6 Poikkeuksia: to 19.9. luento vain 8-9 to 17.10. luento vain 8-9 to 14.11. luento vain 8-9
Lisätiedota 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
LisätiedotEnergian säilymislain perusteella elektronin rekyylienergia on fotnien energioiden erotus: (1)
S-11446 Fysiikka IV (Sf), I Väliko 544 1 Osoita, ttä Comptonin sironnassa lktronin suurin mahdollinn rkyylinrgia voidaan sittää muodossa E Kin hf 1 + mc /hf Enrgian säilymislain prustlla lktronin rkyylinrgia
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotTfy Fysiikka IIB Mallivastaukset
Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotFysiikka 8. Aine ja säteily
Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian
LisätiedotJuuri 12 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.5.08 Kertaus K. a) Polynomi P() = + 8 on jaollinen polynomilla Q() =, jos = on polynomin P nollakohta, eli P() = 0. P() = + 8 = 54 08 +
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotKVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA
KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka KVANTTITEORIA Metso Tampere 13.11.2005 MODERNI
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotT R Hψ = H(r + R)ψ(r + R) = H(r)ψ(r + R) Kahden peräkkäisen translaation vaikutus ei riipu
Elektronit periodisessa potentiaalissa Tarkastellaan täydellistä Bravais n hilan kuvaamaa kidettä. Vaikka todelliset kiinteät aineet eivät esiinnykään täydellisinä hiloina, voidaan poikkeamat periodisuudesta
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Lisätiedot