Kvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa

Transkriptio

1 Kvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa Kvanttiefektit ovat tärkeitä nanoskaalassa. Tässä on ksenon-atomeilla tehtyjä kirjaimia metallipinnalla. Luennon tavoite: Ymmärtää kvanttimekaniikan perusperiaatteet ja soveltaa niitä.

2 Kysymyksiä teiltä Voiko fotoni irrottaa protonin ytimestä? Voiko Bohrin atomimallia soveltaa suurempiin atomeihin kuin vetyyn? Onko kvantittumista olemassa makroskooppisissa ilmiöissä? Kaksi kvanttia samassa pisteessä yhtä aikaa: mitä tapahtuu? Miten kvanttimekaniikka selittää jarrutussäteilyn puuttumisen stationäärisellä tilalla?

3 Kvanttimekaniikkaa yhdessä ulottuvuudessa Aiheet: Schrödingerin yhtälö Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen Hiukkanen laatikossa: energiat ja aaltofunktiot Hiukkanen laatikossa: tulosten tulkitseminen Vastaavuusperiaate Äärelliset potentiaalikuopat Aaltofunktiot Harmoninen oskillaattori kvanttimekaniikassa Lisää kvanttimalleja Kvanttimekaaninen tunneloituminen

4 Läksytesti

5 A quantum particle can pass through a region of space that would be forbidden to a classical particle. What is the name of this process? A. Teleportation B. Vacuum decay C. Lasing D. Trapping E. Tunneling

6 A quantum particle can pass through a region of space that would be forbidden to a classical particle. What is the name of this process? A. Teleportation B. Vacuum decay C. Lasing D. Trapping E. Tunneling

7 A particle in the ground state of a potential energy well A. is at rest. B. has a zero-point motion. C. is equally probable to be found at any point inside the well. D. has a wave function that is zero at all points. E. has zero energy.

8 A particle in the ground state of a potential energy well A. is at rest. B. has a zero-point motion. C. is equally probable to be found at any point inside the well. D. has a wave function that is zero at all points. E. has zero energy.

9 Which of these was not analyzed in this chapter? A. A particle in a capacitor B. A particle in a finite potential well C. A neutron in a nucleus D. An electron in an atom E. An electron in a quantum-well device

10 Which of these was not analyzed in this chapter? A. A particle in a capacitor B. A particle in a finite potential well C. A neutron in a nucleus D. An electron in an atom E. An electron in a quantum-well device

11 Peruskäsitteet ja esimerkkejä

12

13 Schrödingerin yhtälö Tarkastellaan hiukkasta, jonka massa on m ja energia E ja jonka potentiaalienergia on U(x). Potentiaalienergia kuvaa hiukkasen vuorovaikutusta ympäristönsä kanssa (esim. elektroni ytimen sähkökentässä). Hiukkasen aaltofunktio toteuttaa silloin Schrödingerin yhtälön Aaltofunktion tulee toteuttaa seuraavat ehdot: 1. ψ(x) on jatkuva funktio. 2. ψ(x) = 0, jos hiukkasen ei ole mahdollista olla pisteessä x. 3. ψ(x) 0 kun x + ja x. 4. ψ(x) on normitettu, ts. dx ψ (x) 2 = 1.

14 Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöllä on kaksi ratkaisua, ψ 1 (x) ja ψ 2 (x). Yleinen ratkaisu on silloin Tässä A ja B ovat vakioita, jotka voidaan kiinnittää niiden reunaehtojen avulla, jotka ratkaisun täytyy toteuttaa. Jos löydämme vaikka arvaamalla yhtälölle kaksi eri ratkaisua ψ 1 (x) ja ψ 2 (x), niin silloin tiedämme yhtälön yleisen ratkaisun se on tuo tuossa yllä.

15 Kvanttimekaniikan ongelmien ratkaiseminen Selvitetään, millä potentiaalilla U(x) hiukkasen vuorovaikutusta voidaan kuvata. Yleensä todelliset tilanteet ovat niin monimutkaisia, ettei potentiaalia voi tietää vaan pitää käyttää jotain yksinkertaista mallia, esim. laatikkopotentiaalia.

16 Kvanttimekaniikan ongelmien ratkaiseminen Reunaehdot

17 Kvanttimekaniikan ongelmien ratkaiseminen

18 Problem-Solving Strategy: Quantummechanics problems

19 Hiukkanen laatikossa Hiukkanen, jonka massa on m, on rajoitettu liikkumaan yksiulotteisessä laatikossa. Laatikon seinät ovat kohdissa x = 0 ja x = L. 1. Hiukkanen voi liikkua välillä 0 L tasaisella nopeudella eli sen liike-energia on vakio. 2. Riippumatta siitä, miten suuri hiukkasen liike-energia on, hiukkasen on aina käännyttävä pisteissä x = 0 ja x = L. (Seinät ovat äärettömän korkeat.) 3. Hiukkanen ei voi olla alueissa x < 0 ja x > L, ne ovat kiellettyjä alueita. 4. Potentiaalienergia on

20 Laatikon sisällä hiukkasella on vain liikeenergiaa (K). Energiataso piirretään korkeudelle K.

21

22 Hiukkanen laatikossa Kun Schrödingerin yhtälö ratkaistaan tämän potentiaalin tapauksessa, saadaan seuraavat aaltofunktiot ja niitä vastaavat energiat Nämä ovat ainoat mahdolliset ratkaisut ja energiat hiukkaselle laatikossa. Hiukkasen energia on kvantittunut.

23 Normitusehto Hiukkanen laatikossa määrää aaltofunktiossa olevan vakion A arvon: Tilassa n olevan hiukkasen aaltofunktio on silloin

24 Kolmen alimman tilan aaltofunktiot ja todennäköisyystiheydet. Huomaa, että alimmassa tilassa hiukkanen on todennäköisimmin laatikon keskellä, toiseksi alimmalla tilalla oleva hiukkanen ei voi olla laatikon keskellä.

25 Esimerkki: Energiatasot ja kvanttihypyt QUESTIONS:

26 Esimerkki: Energiatasot ja kvanttihypyt

27 Esimerkki: Energiatasot ja kvanttihypyt

28 Esimerkki: Energiatasot ja kvanttihypyt

29 Esimerkki: Energiatasot ja kvanttihypyt

30 Esimerkki: Energiatasot ja kvanttihypyt

31 The Correspondence Principle Niels Bohr esitti, että kvanttisysteemin keskimääräinen käyttäytymisen pitää alkaa muistuttaa klassisen systeemin käyttäytymistä silloin, kun kvanttiluku tulee suureksi eli kun n. Bohr mallin mukaan elektronin radan säde on r = n 2 a B, joten atomista tulee makroskooppinen kappale, kun n. Tätä Bohrin ajatusta, että kvanttifysiikasta siirrytään klassiseen fysiikkaan tasaisesti kvanttilukujen kasvaessa, kutsutaan vastaavuusperiaatteeksi.

32 Vastaavuusperiaate Kun kvanttiluku n kasvaa, aaltofunktion heilahdusten määrä kasvaa. Silloin tn, että hiukkanen on jollakin välillä δx myös kasvaa. Kun välille sopii suuri määrä heilahduksia, klassisen fysiikan ja kvanttimekaniikan mukainen tn ovat lähellä toisiaan. Bohrin vastaavuusperiaate: kvanttifysiikka lähestyy klassisen fysiikan tuloksia, kun kvanttiluvut kasvavat.

33 Potentiaalikuoppa Klassinen mekaniikka: Kineettistä energiaa ei ole tarpeeksi reunan päälle nousemiseen.

34 Energiatasot ja aaltofunktiot Potentiaalikuoppa Laatikko

35 Hiukkanen potentiaalikuopassa: Energia on kvantittunut. Potentiaalikuoppa Sidottuja tiloja on äärellinen määrä. Tilat, joille E > U 0, eivät ole sidottuja tiloja, koska silloin hiukkanen ei pysy potentiaalikuopassa. Kuopan ulkopuolella sillä on liikeenergiaa E U 0. Sidottujen tilojen aaltofunktiot ovat samanlaisia kuin potentiaalilaatikon tapauksessa, mutta energiatasot ovat vähän alempia. Aaltofunktiot jatkuvat klassisesti kielletylle alueelle. Hiukkanen voi siis käydä kääntymässä seinämien sisällä.

36 Potentiaalikuoppa Aaltofunktio klassisesti kielletyllä alueella on Kuopan sisällä aaltofunktio on oskilloiva, mutta seinien x = 0 ja x = L ulkopuolella se käyttäytyy eksponentiaalisesti pienentyen. Voimme määritellä tunkeutumissyvyyden η. Kun ollaan etäisyydellä η seinämästä seinämän sisällä, aaltofunktion arvo pienentynyt tekijällä e 1 = 0.37 siitä, mitä se oli seinän reunassa:

37 Tunkeutumissyvyys

38 QUESTION: Elektronin tunkeutumissyvyys.

39 Elektronin tunkeutumissyvyys.

40 Elektronin tunkeutumissyvyys.

41 Esimerkki: Elektronin tunkeutumissyvyys.

42 Miten piirrän aaltofunktion?

43 Miten piirrän aaltofunktion?

44 Harmoninen oskillaattori Klassisesta mekaniikasta opittu harmonisen värähtelyn potentiaalienergia on Jossa x on etäisyys tasapainopisteestä. Harmonisen oskillaattorin Schrödingerin yhtälö on silloin

45 Harmonisen oskillaattorin potentiaalienergia

46 Harmoninen oskillaattori Harmonisen oskillaattorin alimpien tilojen aaltofunktiot ja vastaavat energiat ovat ω = (k/m) ½ on klassinen kulmataajuus ja n on kvattiluku.

47 Harmonisen osklillaattorin energiatasot ja aaltofunktiot

48 Esimerkki. Värähtelevän elektroni lähettämä säteily QUESTION:

49 Esimerkki. Värähtelevän elektroni lähettämä säteily

50 Esimerkki. Värähtelevän elektroni lähettämä säteily

51 Esimerkki. Värähtelevän elektroni lähettämä säteily

52 Molekyylisidosta kuvaava potentiaali

53

54 Kvanttimekaaninen tunneloituminen Jos seinämä eli potentiaalivalli on äärellisen levyinen (w), hiukkasella on tietty todennäköisyys päätyä vallin ulkopuolle, koska aaltofunktio jatkuu sinne. Tätä kutsutaan tunneloitumiseksi. Tunneloitumistodennäköisyys riippuu tutnkeutumissyvyyden η ja seinämän paksuuden w suhteesta:

55 Yhteenvetokalvot

56 General Principles

57 General Principles

58 General Principles

59 General Principles

60 Important Concepts

61 Important Concepts

62 Applications

63 Chapter 41. Clicker Questions

64 Three de Broglie waves are shown for particles of equal mass. Rank in order, from largest to smallest, the speeds of particles a, b, and c. A. v b > v a > v c B. v b > v a = v c C. v c > v a > v b D. v c > v a = v b E. v a = v b > v c

65 Three de Broglie waves are shown for particles of equal mass. Rank in order, from largest to smallest, the speeds of particles a, b, and c. A. v b > v a > v c B. v b > v a = v c C. v c > v a > v b D. v c > v a = v b E. v a = v b > v c

66 A particle in a rigid box in the n = 2 stationary state is most likely to be found A. In the center of the box. B. One-quarter of the way from either end. C. One-third of the way from either end. D. It is equally likely to be found at any point in the box.

67 A particle in a rigid box in the n = 2 stationary state is most likely to be found A. In the center of the box. B. One-quarter of the way from either end. C. One-third of the way from either end. D. It is equally likely to be found at any point in the box.

68 This is a wave function for a particle in a finite quantum well. What is the particle s quantum number? A. n = 1 B. n = 2 C. n = 3 D. n = 4 E. n = 5

69 This is a wave function for a particle in a finite quantum well. What is the particle s quantum number? A. n = 1 B. n = 2 C. n = 3 D. n = 4 E. n = 5

70 For which potential energy is this an appropriate n = 4 wave function?

71 For which potential energy is this an appropriate n = 4 wave function?

72 Which probability density represents a quantum harmonic oscillator with

73 Which probability density represents a quantum harmonic oscillator with

74 A particle with energy E approaches an energy barrier with height U 0 > E. If U 0 is slowly decreased, the probability that the particle reflects from the barrier A. Increases. B. Decreases. C. Does not change.

75 A particle with energy E approaches an energy barrier with height U 0 > E. If U 0 is slowly decreased, the probability that the particle reflects from the barrier A. Increases. B. Decreases. C. Does not change.