KIINTEÄN AINEEN JA NESTEEN TILANYHTÄLÖT

Transkriptio

1 KIINTEÄN AINEEN JA NESTEEN TILANYHTÄLÖT Lämpölaajeneminen Pituuden lämpölaajeneminen: l = αl o t lo l l = l o + l = l o + αl o t l l = l o (1 + α t) α = pituuden lämpötilakerroin esim. teräs: α = K Pinta-alan lämpölaajeneminen: A = βa o t Ao A A = A o (1 + β t) β = 2α = pinta alan lämpötilakerroin A Tilavuuden lämpölaajeneminen: V = γv o t t o t V o V V = V-V o t = t-t o t > t o V = V o (1 + γ t) γ = 3α = tilavuuden lämpötilakerroin, esim. vesi: γ = 0, K kiinteille aineille γ=3α, α:n arvoja on taulukossa (MAOL s ). Huom! Veden poikkeava lämpölaajeneminen (Veden tilavuus V pienenee (tiheys kasvaa), kun lämpötila t nousee: 0 o C +4 o C) nesteille γ:n arvoja on taulukossa (MAOL s ). kaikille kaasuille tilavuuden lämpötilakerroin on γ = K

2 Teht. 1. Osoita, että γ = 3α ja β = 2α. Todistus. Tarkastellaan kuutiota, a a + a jonka särmän pituus lämpötilassa t1 on a. Särmän pituus lämpötilassa t2 on a + a = a + α a(t 2 t 1 )a = a + α a t = a(1 + α t). Kuution tilavuus on alussa lämpötilassa t1 on V1 = a 3 ja lopussa lämpötilassa t2 kuution tilavuus on V 2 = [a(1 + α t)] 3 = a 3 (1 + α t) 3. Sovelletaan lausekkeeseen (1 + α t) 3 taulukon binomikaavaa: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (MAOL s. 56). Kuution tilavuus lämpötilassa t2 on näin ollen V 2 = a 3 (1 + α t) 3 = a 3 [ α t + 3 1(α t) 2 + (α t) 3 ] V 2 = a 3 (1 + α t) 3 = a 3 [ 1 + 3α t + 3(α t) 2 + (α t) 3 ] (*) hyvin pieniä Koska kiinteillä aineilla α on pieni (α ~ K ), niin termit 3(α t)2 ja (α t) 3 ovat eo. yhtälössä erittäin pieniä, joten niitä ei tarvitse ottaa huomioon. Kuution tilavuuden lauseke (*) voidaan siis mittaustarkkuuden rajoissa kirjoittaa muotoon: V 2 = a 3 (1 + α t) 3 a 3 [ 1 + 3α t] eli V 2 = V 1 (1 + 3α t) (1) Toisaalta kuution tilavuus lämpötilassa t2 on V 2 = V 1 + = V 1 + γv 1 t V 2 = V 1 (1 + γ t) (2) Vertaamalla yhtälöitä (1) ja (2), todetaan, että γ = 3α. Lopuksi voidaan tehdä yleistys ja todeta, että kuutiolle johdettu tilavuuden lämpötila kerroin γ = 3α pätee kaikenmuotoisille (3- ulotteisille) kiinteille kappaleille yleisemminkin. t1 t2

3 Vastaavasti osoitetaan, että β = 2α. Tarkastellaan neliötä eri lämpötiloissa. t1 t2 a a + a Tarkastellaan neliötä lämpötilassa t1, jonka särmän pituus on a ja pinta-ala on A1 = a 2. Lämpötilassa t2 neliön särmän pituus on a + a = a + αa t. Lämpötilassa t2 neliön pinta-ala on A 2 = (a + a) 2 = (a + αa t) 2 A 2 = [a(1 + α t)] 2 = a 2 (1 + α t) 2 = a 2 [ α t + (α t) 2 ] (**) A 2 = a 2 [1 + 2α t + (α t) 2 ] (**) hyvin pieni Koska kiinteillä aineilla α on pieni (α ~ K ), niin termi (α t)2 ja on eo. yhtälössä erittäin pieni, joten sitä ei tarvitse ottaa huomioon. Neliön pinta-alan lauseke (**) voidaan siis mittaustarkkuuden rajoissa kirjoittaa muotoon: A 2 a 2 (1 + 2α t ) (1) Toisaalta neliön pinta-ala lämpötilassa t 2 on A 2 = A 1 + = A 1 + βa 1 t A 2 = A 1 (1 + β t) (2) Vertaamalla yhtälöitä (1) ja (2), todetaan, että β = 2α. Lopuksi voidaan tehdä yleistys ja todeta, että neliölle johdettu pinta-alan lämpötila- kerroin β = 2α pätee kaikenmuotoisille (2-ulotteisille) tasokappaleille yleisemminkin.

4 Teht. 2. Metallilevyssä on pyöreä reikä. Miten reiän koko muuttuu, kun levyä lämmitetään? Ratkaisu. Kun kiinteä kappale laajenee, sen muoto säilyy kuten valokuvaa suurennettaessa (vrt. valokopiosuurennus). Näin ollen myös levyssä oleva reikä laajenee yhtä paljon kuin reiän kokoinen levy laajenisi. Reiällisen metallilevyn muoto siis säilyy lämpötilan noustessa tai laskiessa. Tarkastellaan neliötä, jonka sivu on 4a ja jossa ympyränmuotoinen reikä (säde a). A o 4a a 4a Levyn alkuperäinen pinta-ala A o = (4a) 2 πa 2 = 16a 2 - a 2 Reiällistä levyä aletaan lämmittää, jolloin sen uusi pinta-ala A = A o + A = A o + βa o t = A o + 2αA o t A = A o + 2α(16a 2 πa 2 ) t A = A o + 2α t(16a 2 πa 2 ) reiän ala levyn ala Levyn ala ja reiän ala kasvavat kuumennettaessa kumpikin yhtä paljon eli ne molemmat tulevat 2α t -kertaisiksi, joten reiällisen levyn muoto säilyy.

5 Teht. 3. Näsinneulan tornin korkeus on 120 m ja rakennusmateriaalina käytetyn teräsbetonin pituuden lämpötilakerroin on 1, / o C. Kuinka paljon näkötornin pituus muuttuu, kun lämpötila muuttuu -30 o C:sta + 30 o C:seen? Ratkaisu: l = αl t = 1, m 60 = 0,0864 m l 8,6 cm Vastaus: 8,6 cm. TAI: l = αl T = 1, m 60 K = 0,0864 m K l 8, 6 cm Teht. 4. Järvestä tuotiin kylmää vettä 62 litran terässäiliöön. Säiliö täytettiin ääriään myöten. Vedellä täytettyä terässäiliötä ruvettiin lämmittämään. Alkulämpötila oli +15 C ja loppulämpötila +74 C. Laske ylivaluneen veden määrä. Ratkaisu: Terässäiliö laajenee: V 1 = γv o t = l (74 15) V 1 0, l. Vesi laajenee: V 2 = γv o t = 0, l (74 15) V 2 0,76818 l. Vettä valuu yli V = V 2 V 1 = 0,76818 l 0, l = 0, l V 0,64 l. Vastaus: Vettä valuu yli 6,4 dl. TAI: V 1 = γv o T = l 59K K V 1 0, l jne t = 59 C, T = 59 K